高中数学必修二《点、直线、平面之间的位置关系》复习课优秀教学设计
2高中数学必修2精品教案：2 点、直线、平面之间的位置关系 教案
第二章 点、直线、平面之间的位置关系(必修2)一、知识结构1．2．空间中平行、垂直间的转化关系二、学习目标1．直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解可以作为推理依据的公理和定理。
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。
等角定理 。
2．以空间的上述公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。
判定定理在选修2-1中在证明，性质定理要求证明。
3．运用获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
三、课时安排全章约需10+2课时2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 ------------------- 3课时2.2 直线、平面平行的判定及其性质 --------------------3+1课时2.3 直线、平面垂直的判定及其性质--------------------3+1课时小结----------------------------------1课时四、教学建议2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时）第一课时平面教学内容平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。
学习目标1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。
2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。
3．了解作为以后推理依据的三个公理。
教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。
要点分析1．三种语言间的联系图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。
文字语言——对图像的描述、解释与讨论。
符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。
高中数学必修二《点、直线、平面之间的位置关系》复习课优秀教学设计
掌握基本图形，证明平行垂直
《点、直线、平面之间的位置关系》复习课教学设计
【教材分析】
点、直线、平面之间的位置关系，是立体几何的重要内容，也是高考的常考内容，题型以
证明、计算为主。
本节课选自《人教A版2003课标版必修2》的《点、直线、平面之间的
位置关系》复习小结。
本章的内容较多，复习课分两个课时，本课时内容为平行垂直的证
明问题，第二课时为计算等综合问题。
【新课标要求】
①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，
认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
【教学对象】
高一年级学生
【学情分析】
通过直观感知、操作确认，学生对课本出现的公理、判定定理、性质定理有初步的认识，
但是在思辨论证方面，特别是综合问题就显得束手无策。
本节课旨在通过简单的基本模型，
如三棱锥，四棱锥，圆柱、正方体等，熟悉一些简单常见模型的线面关系，常见条件的转
化方法，进而学会分析处理综合问题。
【设计理念】
1。
必修二空间点、直线、平面之间地位置关系(教案设计)
实用标准文档文案大全第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第1课时教学内容：2.1.1 平面教学目标一、知识与技能1. 利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2. 掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1. 平面的概念及表示；2. 平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学过程教学内容师生互动设计意图创设情境导入新课什么是平面？一些能看得见的平面实例.师：生活中常见的如黑板、桌面等，给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容.形成平面的概念教师备课系统──多媒体教案2 续上表主题探究合作交流1. 平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的.加强对知识的理解培养，自觉钻研的学习习惯.数形结合，加深理解.主题探究合作交流2. 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长（如图）．如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）．（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.点A在平面α内，记作：A∈α; 点B在平面α外，记作：B α．师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：通过类比探索，培养学生知识迁移能力，加强知识的系统性.D CBAααβαβα·A·B实用标准文档文案大全续上表主题探究 合作交流 3. 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号表示为 A ∈LB ∈L ⇒L ⊂α． A ∈α B ∈α公理1：判断直线是否在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 ⇒ 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α.公理2作用：确定一个平面的依据.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为：P ∈α∩β⇒ α∩β=L ，且P ∈L ．公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解.师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理1．教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．引导学生归纳出公理2．教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义.注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3．通过类比探索，培养学生知识迁移能力，加强知识的系统性.·BLA · α C ·B · A· α β P · α L教师备课系统──多媒体教案4 续上表拓展创新应用提高4. 教材P43 例1通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用.教师及时评价和纠正同学的表达方法，规范画图和符号表示.巩固提高．小结1．平面的概念，画法及表示方法.2．平面的性质及其作用．3．符号表示．4．注意事项．学生归纳总结、教师给予点拨、完善并板书.培养学生归纳整合知识能力，以及思维的灵活性与严谨性.课堂作业1. 下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（2）一个平面的面积可以等于6cm2；（3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A. 0B. 1C. 2D. 32. 若点A在直线b上，在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作（）．A . A∈b∈β B. A∈b⊂β C. A⊂b⊂β D. A⊂b∈β3. 图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．4. 空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案：1.A 2. B 3.D 4. 3或4第2课时教学内容2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1. 了解空间中两条直线的位置关系；A B C D实用标准文档文案大全2. 理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3. 理解并掌握公理4和等角定理；4. 理解异面直线所成角的定义、范围及应用. 二、过程与方法1. 经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2. 体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法. 三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣. 教学重点、难点教学重点1. 异面直线的概念.2. 公理4及等角定理. 教学难点异面直线所成角的计算. 教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法.教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围. 教法与学法导航教学方法 探究讨论法． 学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标. 教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板． 学生准备 三角板. 教学过程详见下表. 教学环节教学内容师生互动设计 意图 创设情境 导入新课 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 通过身边实物，相互交流异面直线的概念．师：空间两条直线有多少种位置关系？设疑激趣点出主题．1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体教师备课系统──多媒体教案6探索新知 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 异面直线作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系． 教师再次强调异面直线不共面的特点． 演示提高上课效率.师生互动，突破重点.探索新知 2. 平行公理 思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，那么BB'与DD'平行吗？ 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 如果a//b ，b//c ， 那么a//c. 例2空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形.师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？生：是．强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用．例2的讲解让学生掌握了公理4的运用．续上表探索新知 3. 思考：在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.空间中，结论是否仍然成立呢？等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或让学生观察、思考：等角定理为异面直线所成的角的概念作准实用标准文档文案大全互补. ∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC =∠A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C'=180°教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．备.探索新知探索新知4. 异面直线所成的角如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）．例3（投影）师：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈（0，π2）；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念.例3让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识.续上表教师备课系统──多媒体教案8拓展创新 应用提高教材P49 练习1、2．生完成练习，教师当堂评价.充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定.小结本节课学习了哪些知识内容？ 2．计算异面直线所成的角应注意什么？ 学生归纳，然后老师补充、完善． 小结知识，形成整体思维． 课堂作业1. 异面直线是指（ ）．A. 空间中两条不相交的直线B. 分别位于两不同平面内的两条直线C. 平面内的一条直线与平面外的一条直线D. 不同在任何一个平面内的两条直线2. 如右图所示，在三棱锥P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）．A. 2对B. 3对C. 4对D. 6对3. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中与棱AA 1平行的棱共有（ ）． A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条4. 空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行，若α=60°，则β的大小为（ ）． .答案：1. D 2. B 3. C 4. 60°或120°第3课时实用标准文档教学内容2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1. 了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2. 提高空间想象能力.二、过程与方法1. 通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2. 利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表.教学教学内容师生互动设计文案大全教师备课系统──多媒体教案10过程意图 创设情境 导入新课问题1：空间中直线和直线有几种位置关系？ 问题2：一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？ 生1：平行、相交、异面；生2：有三种位置关系： （1）直线在平面内； （2）直线与平面相交； （3）直线与平面平行． 师肯定并板书，点出主题. 复习回顾，激发学习兴趣.主题探究 合作交流1．直线与平面的位置关系. （1）直线在平面内——有无数个公共点.（2）直线与平面相交——有且仅有一个公共点.（3）直线在平面平行——没有公共点.其中直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外，记作a α⊄.直线a 在面α内的符号语言是a ⊂α.图形语言是：直线a 与面α相交的a ∩α= A .图形语言是符号语言是：直线a 与面α平行的符号语言是a ∥α. 图形语言是：师：有谁能讲出这三种位置有什么特点吗？生：直线在平面内时二者有无数个公共点.直线与平面相交时，二者有且仅有一个公共点.直线与平面平行时，三者没有公共点（师板书）．师：我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外.师：直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？谁来画图表示一个和书写一下.学生上台画图表示. 师；好. 应该注意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.加强对知识的理解培养，自觉钻研的学习习惯，数形结合，加深理解.实用标准文档文案大全续上表主题探究合作交流2．平面与平面的位置关系 （1）问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？（2）问题2：如图所示，围成长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′的六个面，两两之间的位置关系有几种？（3）平面与平面的位置关系平面与平面平行——没有公共点.平面与平面相交——有且只有一条公共直线.平面与平面平行的符号语言是α∥β.图形语言是：师：下面请同学们思考以下两个问题（投影）．生：平行、相交.师：它们有什么特点？ 生：两个平面平行时二者没有公共点，两个平面相交时，二者有且仅有一条公共直线（师板书）．师：下面请同学们用图形和符号把平面和平面的位置关系表示出来……师：下面我们来看几个例子（投影例1）．通过类比探索，培养学生知识迁移能力. 加强知识的系统性.教师备课系统──多媒体教案12续上表拓展创新 应用提高 例1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α.②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线没有公共点.A. 0B. 1C. 2D. 3 例 2 已知平面α∥β，直线a α⊂，求证a ∥β.证明：假设a 不平行β，则a在β内或a 与β相交. ∴a 与β有公共点.又a α⊂.∴a 与β有公共点，与面α∥面β矛盾. ∴α∥β.学生先独立完成，然后讨论、共同研究，得出答案.教师利用投影仪给出示范.师：如图，我们借助长方体模型，棱AA 1所在直线有无数点在平面ABCD 外，但棱AA 1所在直线与平面ABCD 相交，所以命题①不正确；A 1B 1所在直线平行于平面ABCD ，A 1B 1显然不平行于BD ，所以命题②不正确；A 1B 1∥AB ，A 1B 1所在直线平行于平面ABCD ，但直线AB ⊂ 平面ABCD ，所以命题③不正确；l 与平面α平行，则l 与α无公共点，l 与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题④正确，应选B. 师：投影例2，并读题，先让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解.例1 通过示范传授学生一个通过模型来研究问题的方法，加深对概念的理解.例2目标训练学生思维的灵活，并加深对面面平行、线面平行的理解. 小结1．直线与平面、平面与平面的位置关系.2．“正难到反”数学思想与反证法解题步骤. 3.“分类讨论”数学思想． 学生归纳总结、教师给予点拨、完善并板书.培养学生整合知识能力，以及思维的灵活性与严谨性.实用标准文档文案大全课堂作业1. 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）． A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交C ．任意一条直线都不相交D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2.“平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“α//l ”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（1）AB 没有被平面α遮挡； （2）AB 被平面α遮挡. 答案：略4．已知α，β，直线a ，b ，且α∥β，a α⊂，b β⊂，则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6. 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内.已知：l ∥α，点P ∈α，P ∈m ，m ∥l ， 求证：m α⊂.证明：设l 与P 确定的平面为β，且αβ= m ′，则l ∥m ′.又知l ∥m ，m m P '=，由平行公理可知，m 与m ′重合. 所以m α⊂.教师备课系统──多媒体教案14教案 B 第1课时教学内容：2.1.1 平面教学目标1. 了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2. 理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3. 通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行.实践活动：1. 仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2. 只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3. 请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题.今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1. 水平放置的平面2. 竖直放置的平面实用标准文档文案大全图2（1）图2（2）3. 倾斜放置的平面图34. 请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图5. 平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的2倍. 如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图6.αAB CDαβFEAB CD图5 图6 图7 平面常用希腊字母,,αβγ等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面α、平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图5的平面α，也可表示为平面ABCD，平面AC或平面BD.前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.图4（1）图4（2）图4（3）图4（4）教师备课系统──多媒体教案16我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点A 在平面α内，记为A α∈；点B 在平面α外，记为B α∉ （如图7）.再来研究一下直线与平面的位置关系. 将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.,,A l B l ∈∈且,,A B l ααα∈∈⇒⊂．图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．图9（1） 图9（2） 图9（3）例2 识图填空（在空格内分别填上⊄⊂∉∈,,,）． A____a ；A____α， B____a ；B____α， a ____α；a ____α= B ， b ____α；B____b ．图10 图11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？ 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关系，并试着用图画出来. 图12试问：如图13是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系） 由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理3 如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点的直线. ABα l Aa α A a αabB αA 图12αA BC实用标准文档文案大全lP l αβαβ∈⇒=且P l ∈．图13例3 如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来. 【解析】在（1）中，,,l a A a B αβαβ===.在（2）中，,,,,b l a a l P B l P βαβα⊂=⊂==.三、巩固练习教材P43练习1—4. 四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？ （2）三个公理的内容及作用是什么？ （3）判断共面的方法. 五、布置作业P51 习题A 组 1，2．第2课时教学内容：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 教学目标：一、知识目标1. 了解空间中两条直线的位置关系；2. 理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3. 理解并掌握公理4． 二、能力目标1. 让学生在观察中培养自主思考的能力；2. 通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.βlα P教师备课系统──多媒体教案18三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣. 教学重点、难点教学重点：1. 异面直线的概念；2. 公理4. 教学难点：异面直线的概念. 学法与教学用具1. 学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2. 教学用具：多媒体、长方体模型、三角板． 教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）． 相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）． 2．实例.十字路口——立交桥．立交桥中， 两条路线AB ，CD 既不平行，又不相交（非平面问题）． 六角螺母二、新课讲解1. 异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行． 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内． 合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行． 空间两直线的位置关系： 按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线； （2）不同在任何一个平面内：异面直线． 按公共点个数分（1）有一个公共点: 相交直线；（2）无公共点：平行直线、异面直线． 2．异面直线的画法 说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托.ABCD。
点、直线、平面之间的位置关系复习 高中数学必修二全套教案
课题：点、直线、平面之间的位置关系复习教材分析：前面学习了空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行的判定及其性质，直线、平面垂直的判定及其性质等内容；通过本节学习进一步巩固前面学习的内容，突出重点总结归律，使原来的知识更系统，使原来的方法更清晰，形成完整的知识结构和方法体系。
课型：复习课教学要求：1．理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系．2．熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题．3．通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界．教学重点：总结证明平行问题和证明垂直问题的方法。
教学难点：总结求二面角的方法。
教学过程：一．知识要点：P的小结部分．学生阅读教材76二．典例解析：1．例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O 为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。
解析：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。
（2）按线线平行⇒线面平行⇒面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B 1D 1∥平面BDF ，O ’H∥平面BDF 。
（3）为证A 1O ⊥平面BDF ，由三垂线定理，易得BD ⊥A 1O ，再寻A 1O 垂直于平面BDF 内的另一条直线。
猜想A 1O ⊥OF 。
借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A 1O 2+OF 2=A 1F 2⇒A 1O ⊥OF 。
（4）∵ CC 1⊥平面AC∴ CC 1⊥BD又BD ⊥AC∴ BD ⊥平面AA 1C又BD ⊂平面BDF∴ 平面BDF ⊥平面AA 1C评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路2．例2．如图，三棱锥D —ABC 中，平面ABD 、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a ，且二面角D —AB —C=600。
高中必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系《直线与平面垂直的判定》教学设计
《直线与平面垂直的判定》一、教学内容解析本节主要内容是由直线和平面垂直的概念发现直线和平面垂直的判定定理的探索过程，是在学习了空间的点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的空间的另一种重要位置关系的学习.垂直是立体几何的核心概念之一直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况, 它既是直线与平面位置关系的深化,又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础, 在教材中起到了承上启下的作用, 具有相当重要的地位. 新课标要求立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.故对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开, 而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开, 通过该内容的学习, 能进一步培养学生空间想象能力, 发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力,体会“平面化”思想和“降维”思想.同时体验新课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流等理念.教学重点 :直观感知、操作确认概括出直线与平面垂直的定义和判定定理 .教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 .二、教学目标解析知识与技能：1、经历对实例、图片的观察, 提炼直线与平面垂直的定义, 并能正确理解直线与平面垂直的定义;2、通过直观感知、操作确认, 归纳直线与平面垂直的判定定理, 并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题 ;过程与方法：1、通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力 .2、在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力, 同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想 .3、尝试用数学语言(文字、符号、图形语言) 对定义和定理进行准确表述和合理转换 .情感、态度与价值观：经历线面垂直的定义和定理的探索过程, 提高严谨与求实的学习作风, 形成锲而不舍的钻研精神和科学态度 .三、教学过程设计（1）利用多媒体课件展示生活中一组图片，让学生直观感知线面垂直。
高中数学二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系复习 教案
第二章点、直线、平面之间的位置关系复习教学目标：1．理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系．2．熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题．3．通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力,学会用数学方法认识世界改造世界．教学重点：总结证明平行问题和证明垂直问题的方法.教学难点：总结求二面角的方法。
教学过程:一、知识结构-------——-—--——-——-——--———-—--—-—--——---——--———----——-—-----——-———-—————--—---——-———--——---————-——（平行） 判定性质直线与平面平行 平面与平面平行 直线与平面平行 平面与平面平行=--—-—--—-—--————————----———-—--—-—-—--—（垂直） -——-————---——-—-——————-———-———-—--—--———--—-—-—--—-———-—--—二、典例解析：例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，O 为AC 与判定 性质 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直BD的交点（如图),求证：（1)EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF;（4）平面BDF⊥平面AA1C。
解析：（1)欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D 内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’,显然BO’即是.(2）按线线平行线面平行⇒面面平行的思路,在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线,转化为证明:B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。
（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。
猜想A1O⊥OF。
借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2⇒A1O⊥OF。
高一数学必修2：第二章《点、直线、平面之间的位置关系》教案(新人教A版必修2)
点、直线、平面之间的位置关系复习（一）课型：复习课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固1、P.73 A 组第1题2、P.74 A 组第6、8题（四）、课堂练习：1．选择题 （1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（ ） （A ）4个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）没有 （B ）有一条 （C ）有无数条 （D ）α内所有直线 答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA =a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是 ， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a 27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直 A A ′CαODCPαABC 1B 11D 1DC课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.76 B组第2题。
必修二空间点直线平面之间的位置关系教案
必修二空间点直线平面之间的位置关系教案一、教学目标：1.了解空间中点、直线、平面的基本概念，并能够准确描述它们之间的位置关系。
2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的几何性质。
3.应用所学知识解决实际问题。
二、教学重点：1.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的基本属性。
2.能够应用所学知识解决实际问题。
三、教学内容：1.空间中点、直线、平面的概念及其表示方法。
2.直线与直线的位置关系：相交、平行。
3.直线与平面的位置关系：相交于一点、平行于平面。
4.平面与平面的位置关系：相交、平行。
四、教学过程：步骤一：导入新知识（15分钟）1.复习并巩固二维平面几何中的直线和平行线的概念，积累一些直线和平行线的性质；2.通过一些常见的平行线的例子，引出直线和直线、直线和平面、平面和平面之间的位置关系。
步骤二：点、直线、平面的概念及表示方法（10分钟）1.引导学生回顾点、直线、平面的概念和表示方法，使用示意图加深理解；2.提问引导学生思考：点确定直线，直线确定平面，点和平面之间是否必然相交？步骤三：直线与直线的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与直线相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与直线平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤四：直线与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与平面相交于一点时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤五：平面与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察平面与平面相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察平面与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤六：综合应用（15分钟）1.提供一些综合性问题，让学生应用所学知识解决问题；2.引导学生分析问题，并给出解决思路；3.让学生个别或小组合作展开思考，解决问题；4.客观给予学生合理的评价和鼓励。
人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思
人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思一、教学目标通过本次教学，学生将能够：1.掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；2.学会使用空间几何中的基本概念和基本问题；3.进一步培养学生的数学思维，提高学生的空间想象能力和综合运用能力。
二、教学重点和难点教学重点：1.理解空间中点、直线、平面的概念和特征；2.掌握点与直线、点与平面的位置关系以及直线与平面的位置关系；3.运用三视图法和参考投影法解决平面与平面的位置关系。
教学难点：1.掌握点、直线、平面的共面关系；2.学会在空间中画出图形；3.掌握平面间的位置关系。
三、教学过程1. 导入环节（5分钟）引导学生通过生活实际情境，复习几何学中的点、线、面的概念，并对此进行概括，展现本课内容的片面性和局限性，进而引导学生思考如何通过分别考虑点、直线、平面的位置关系的方法来全面把握几何学中的空间图形。
同时，激发学生空间想象的能力。
2. 正式教学环节（40分钟）1）点与直线的位置关系教师介绍点与直线的位置关系，并用图形进行示范。
然后，让学生自己分析和总结，归纳出点与直线的位置关系的有关性质。
例如：•点在直线上；•点在直线上的外部；•点在线的两侧；•点与直线相离。
2）点与平面的位置关系引入点与平面的位置关系，老师同样先给出范例进行示范，帮助学生加深理解。
然后，再让学生自己探究和总结，归纳点与平面的位置关系的有关性质。
例如：•点在平面上；•点在平面上的内部；•点在平面上的外部。
3）直线与平面的位置关系讲述直线与平面的位置关系，为学生提供相关的图形，并进行实操。
教师同样应给学生提供足够多的机会，让学生自行探究总结，得出有关性质。
例如：•直线在平面上；•直线与平面交于一点；•直线与平面平行；•直线与平面垂直。
4）平面与平面的位置关系在学习与应用前面的知识点后，适当引入平面与平面的位置关系。
老师还是要以图形为依据，实践出多重案例，使学生理解平面与平面的位置关系的本质。
高中数学必修2《空间点、直线与平面之间的位置关系》教案
⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案 ⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案 课题名称 《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》 科 ⽬ ⾼中数学 教学时间 1课时 学习者分析 通过第⼀章《空间⼏何体》的学习，学⽣对于⽴体⼏何已经有了初步的认识，能够识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，并理解它们的⼏何特征。
但是这种理解还只是建⽴在观察、感知的基础上的，对于原理学⽣是不明确的，所以学⽣此时有很强的求知欲，急于想搞清楚为什么;同时学⽣经过⾼中⼀年的学习，已经具备了⼀定的逻辑推理能⼒，只是缺乏训练，不够严密，不够清晰;有⼀定的⾃主探究和合作学习的能⼒，但有待提⾼，并愿意动⼿并参与分组讨论。
教学⽬标 ⼀、知识与技能 1. 理解空间点、直线、平⾯的概念，知道空间点、直线、平⾯之间存在什么样的关系; 2. 记忆三公理三推论，能够⽤简单的语⾔概括三公理三推论，会⽤图形表⽰三公理三推论，并将其转化成数学符号语⾔; 3. 明确三公理三推论的功能，掌握使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题的⽅法。
⼆、过程与⽅法 1. 通过⾃⼰动⼿制作模型，直观地感知空间点、直线与平⾯之间的位置关系，以及三公理三推论; 2. 通过思考、讨论，发现三公理三推论的条件和结论; 3. 通过例题的训练，进⼀步理解三公理三推论，明确三公理三推论的功能。
三、情感态度与价值观 1. 通过操作、观察、讨论培养对⽴体⼏何的兴趣，建⽴合作的意识; 2. 感受⽴体⼏何逻辑体系的严密性，培养学⽣细⼼的学习品质。
教学重点、难点 1. 理解三公理三推论的概念及其内涵; 2. 使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题。
教学资源 (1)每位同学准备两张硬纸板，其中⼀张中间⽤⼩⼑划条缝，铅笔三根; (2)教师⾃制的多媒体课件。
《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教学过程的描述 教学活动1 ⼀、导⼊新课 1. 回忆构成平⾯图形的基本元素：点、直线。
高中数学必修二《空间点直线平面之间的位置关系》教学设计
空间直线与平面的位置关系(复习课)一、教学设计1.教学内容分析空间直线与平面的位置关系是《普通高中数学课程标准（实验）》教材必修2第二章第一节的内容.空间直线与平面的位置关系是空间几何的基石，它以线与线的位置关系为基础，又为面与面的位置关系作支撑，它像纽带一样，联系着线与线，线与面，面与面三种位置关系的转化，能有效地让学生形成空间观念，培养学生抽象的空间思维能力和逻辑思维能力.并能正确的用符号语言表达空间直线与平面的位置关系.能够运用相关的性质、公理、定理去判断或证明空间直线与平面的位置关系，也为后面进一步学习平面与平面的位置关系打好基础.故这节内容是空间几何中极为重要的一节内容.而高考的考试《大纲》中对这一内容的要求是理解，也是对学生学习的最高要求，在高考试卷的考查中必有空间直线与平面平行或垂直的证明问题.因此本节内容无论是从教材的学习要求还是高考的考查要求，都具有重中之重的地们和作用.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：教学重点：空间直线与平面位置关系知识的网络构建，理解线面关系的判定和性质定理，并运用其判定或证明有关线面位置关系的问题，强化逻辑思维能力的培养与表达.2、学生学情分析高三年级学生已具备必要基础知识储备，但系统性、连贯性、逻辑性还是不足，知识还没有有效地转化为能力.空间中的几何问题是多数学生心中的一道坎，有些同学更是一见到就头痛，特别是部分学生平面几何的内容都不太熟练.因些针对学生的实际情况，在复习中结合课本，让学生通过填写多维度知识表，去构建知识网络，切实理解空间直线与平面的位置关系及其判定和性质，深刻体会线线与线面位置关系的转化，从而将空间问题转化为平面问题处理的思想方法，起到温故而知新的作用.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：教学难点：如何寻找平面内的直线与平面外的直线平行或垂直关系，以及严密规范的逻辑表达.归纳概括，构建知识网络.3、教学目标分析（1）知识目标：巩固基础知识，完成空间直线与平面的位置关系，知识的网络构建.（2）能力目标：进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换，正确使用各种语言，培养学生空间想象能力，抽象概括能力和逻辑思维能力.（3）情感目标：让学生在独立思考和合作交流的过程中感知知识网络构建的乐趣，在空间问题与平面问题的证明转化中体会客观世界中不同角度的联系与转化，从而形成积极的学习数学的情感.4、教学策略分析本节课教学我采用“问题引导，温故知新——归纳概括，构建网络——反思提炼，生成方法——问题探究，深化完善——巩固训练，提升能力”的教学方法，由浅入深，循序渐进，给不同层次的学生提供思考，创造成功的机会，只有学生动起来，主动去回顾，去归纳，去探究.才能在课堂上领悟更深、学得更透，真正达到温故知新提升能力的目标.所以本节课我采用了导学案式的方式，让学生自主思考，把课堂还给学生，让他们去讨论，去归纳总结，暴露问题.从而真正解决学生的疑惑，这样使学生更敢于表现自己，提高数学的概括表达能力和逻辑思维能力，老师适时地点拨，深化知识，授人以渔，帮助学生总结与提高.二、教学过程设计1、问题引导，温故知新A B C D.【教学活动】回顾我们所学习的空间直线与平面的位置关系，观察长方体ABCD—''''A B C D的六个面所在平面有几种位置关问题1.找出线段'A B所在的直线与长方体ABCD—'''' Array系？为什么？【设计意图】从学生熟悉的图形出发，引导学生从直观的图形判断直线与平面的位置关系，初步寻找方法，引入课题.2. 归纳概括，构造网络【教学活动】分组讨论导学案中的表格内容，小组派代表板书内容，老师巡视，及时补充学生遗漏不足之处.【设计意图】学生讨论更能增加学生对知识的探索欲，也可以让学生帮助学生，增强合作意识.3.反思提炼，生成方法【教学活动】介绍线线位置−−→←−−面面位置的联系与转化.←−−线面位置−−→【设计意图】让学生掌握空间中线面关系的内涵与外在联系，提高知识整体性的理解.4.问题探究，深化完善例1.（2014辽宁）已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若∥α，n ∥α，则m ∥n B. 若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D. 若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α【设计意图】 本题是线面关系的判定定理应用，同时从常见的构造法入手对构造长方体或正方体，化抽象为具体的图形进行判断，体会构造法的妙用.例2. 如图所示，在正方体ABCD —1111A B C D 中，E 为AB 的中点，F 为面11ADD A 的中心. 求：①直线1BD 与平面1A DE 的位置关系？ 变式：直线1BD 与平面1EFB 的位置呢？ ②直线1BD 与平面1ACB 垂直吗？说明理由.【设计意图】 加深成面平行、垂直判定理的理解，同时也要注意抓住问题的实质，当条件在变时，不变的是什么，我们要解决的问题是什么，同时要学会从多角度考虑问题，一题多解.5.巩固训练，提升能力1.（2014浙江） 设,m n 表示两条不同直线，α、β是两个不同平面，则（ ） A. 若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B. 若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC. 若m ⊥β，n ⊥β， n ⊥α，则m ⊥αD. 若m ⊥n ，n ⊥β， β⊥α，则m ⊥α2.（2014湖北） 如图，在正方体ABCD —1111A B C D 中,,,,,E F P Q M N 分别是棱111111,,,.,AB AD DD BB A B A D 的中点，求证：（1）直线1BC ∥平面EFPQ ； （2）直线1AC ⊥平面PQMN .。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系复习教案【人教版】高中数学必修
第二章 点、直线、平面之间的位置关系单元小结导航 知识链接 即知识网络图主要考查线线、线面及面面的平行与垂直，空间角和距离的计算。
从解答题来看，遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法、平移法、转化法等数学方法；注意考查转化与化归的思想（即立体问题平面化，面面问题线面问题线线问题；几何问题代数化）。
思想方法小结1． 掌握直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直的证明（判定）方法是本章的重要内容，必须熟练掌握各种常用的证明定理。
(1) 直线与直线平行，常用的证明方法有：i 共面且无公共点的两条直线平行；（定义）ii 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么直线和交线平行；（线面平行，线线平行）iii 同平行于一条直线的两条直线平行；iv 若两平面平行，又分别与第三个平面相交，则它们的交线平行；v 垂直于同一平面的两条直线平行。
(2) 直线与平面平行，常用的证明方法有：i 一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行；（定义）ii 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；（判定）（线线平行，线面平行）iii 如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。
（面面平行，线面平行）直 线 与 平面平面空间两条直线 空间 直线与平面 空间两个平面 平面的概念和性质 平面的表示法 平行直线 异面直线 相交直线 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 两个平面平行 两个平面相交 公理4及等角定理异面直线所成的角 判定 性质 概念 垂直 斜交 二面角判定 性质 概念 垂直 斜交(3)平面与平面平行，常用的证明方法有：i两个平面没有公共点，则这两个平面平行；（定义）ii若一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；（判定）（线面平行，面面平行）iii垂直于同一直线的两个平面平行；iv两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；v一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交线，那么这两个平面平行。
高一数学第二章《点直线平面间的位置关系》教案
个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画α=α=∅或A三．典例分析：例1.画出两个竖直放置的相交平面。
β如图示：β=∈,l A l应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两=FG P分别属于直线AB平面ABD，∴平面CBD在直线BD上.四、巩固深化，发展思维-ABCD A是异面直线a αa αaba βb β11B C B=11A BD 平面//点评：本题进一步加深了空间问题平面化的思想。
可引导学生给出符号语言表述：若)变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把，把桌面抽象为平面，那么你认为保证直线与平面垂中的两条相交直线、）你认为直线还垂直于平面吗？，则吗？请说明理由．β=且m ，那么φN≠,m n β=,n αβ⊥⊥表示三个平面，给出下列四个命题：在β内的射影，=== // = A l BA a bB cl l c l c a c b A αβββγβγαγβα∈∴⊥∴⊥⊥∴⊂∴，内过点取两条直线和且与相交，设，同理在平面中：，又下列命题中错误的是（、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
=b A b,．已知l与m是两条不同的直线，若直线α，则//mβ=且m当底面四（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）上的射影是H的垂心PC，则的中点为M，例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a ⊥βαβcPb aαβcPba。
最新人教版高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系——复习》教学设计
教学设计本章复习(一)整体设计课型：复习课一、教学目标1．知识与技能(1)使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；(2)通过对知识的梳理，提高学生归纳知识和综合运用知识的能力．2．过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系．3．情感态度与价值观学生通过知识的整合、梳理，理解空间点、线、面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化．三、教学设计(一)知识回顾，整体认识1．本章知识回顾(1)空间点、线、面间的位置关系；(2)直线、平面平行的判定及其性质；(3)直线、平面垂直的判定及其性质．2．本章知识结构框图(二)整合知识，发展思维1．刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础．公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据．2．空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题．3．空间平行、垂直之间的转化与联系：4．观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可．(三)应用举例，深化巩固1．习题2.3A组第1题2．习题2.3A组第6、8题(四)课堂练习：1．选择题(1)如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是()A．4B．6C．7D．8(2)直线a与平面α斜交，则在平面α内与直线a垂直的直线…()A．没有B．有一条C．有无数条D．α内所有直线答案：(1)D(2)C2．填空题(1)边长为a的正六边形ABCDEF在平面α内，P A⊥α，P A＝a，则P到CD的距离为________，P到BC的距离为________．(2)AC是平面α的斜线，且AO＝a，AO与α成60°角，OC⊂α，AA′⊥α于A′，∠A′OC ＝45°，则A到直线OC的距离是________，∠AOC的余弦值是______．答案：(1)2a72a(2)144a243．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.分析：A1C在面ABCD上的射影AC⊥BD，A1C在面CC1D1D上的射影D1C⊥C1D，所以A1C⊥BD，A1C⊥C1D，从而有A1C⊥平面BC1D.课后作业1．阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，领会问题解决的思想方法．2．习题2.3B组第2题．本章复习(二)整体设计课型：复习课一、复习目标：1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题．二、例题分析：1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G，连接AG，FG，∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴AE∥B1G，又∵E为AA1中点，∴AE＝B1G.∴四边形AGB 1E 是平行四边形．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ，GF ＝AD ， ∴四边形AGFD 是平行四边形． ∴AG ∥DF .∴B 1E ∥DF ，B 1E ⊂面EB 1D 1. ∴DF ∥平面EB 1D 1. ∵FD ∩BD ＝D ， ∴平面EB 1D 1∥平面FBD .说明 要证“面面平行”，只要证“线面平行”，要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行．2 如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分； (2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP . 证明：(1)∵M 、N 是AB 、BC 的中点， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .∵P 、Q 是CD 、DA 的中点， ∴PQ ∥CA ，PQ ＝12CA .∴MN ∥QP ，MN ＝QP ， ∴MNPQ 是平行四边形．∴▱MNPQ 的对角线MP 、NQ 相交且互相平分．(2)由(1)，AC ∥MN .记平面MNP (即平面MNPQ )为α.显然AC ⊄α. 否则，若AC ⊂α，由A ∈α，M ∈α，得B ∈α； 由A ∈α，Q ∈α，得D ∈α， 则A 、B 、C 、D ∈α，与已知四边形ABCD 是空间四边形矛盾． 又∵MN ⊂α，∴AC ∥α，即AC ∥平面MNP . 同理可证BD ∥平面MNP .3 四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC＝90°，求证：BD ⊥平面ACD .证明：取CD 的中点G ，连接EG ，FG ， ∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点， ∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ， ∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2.∴EG ⊥FG ， ∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ， ∴BD ⊥平面ACD .4 如图，P 是△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ，CB ⊥平面P AB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，AN ＝3NB .(1)求证：MN ⊥AB ；(2)当∠APB ＝90°，AB ＝2BC ＝4时，求MN 的长． (1)证明：取PB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ， ∵M 是PC 的中点，∴MQ ∥BC . ∵CB ⊥平面P AB ，∴MQ ⊥平面P AB . ∴MQ ⊥AB ，取AB 的中点D ，连接PD ， ∵P A ＝PB ，∴PD ⊥AB .又AN ＝3NB ，∴BN ＝ND .∴QN ∥PD ，∴QN ⊥AB . ∵MQ ∩QN ＝Q ，∴AB ⊥平面MNQ . ∵MN ⊂面MNQ ，∴MN ⊥AB .(2)解：∵∠APB ＝90°，P A ＝PB ，∴PD ＝12AB ＝2.∴QN ＝1.∵MQ ⊥平面P AB ，∴MQ ⊥NQ ，且MQ ＝12BC ＝1.∴MN ＝ 2.课后作业：1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，经过其对角线BD 1的平面分别与棱AA 1、CC 1相交于E ，F 两点，则四边形EBFD 1的形状为______________．2．已知直线a 、b 和平面M 、N ，且a ⊥M ，那么( ) A ．b ∥M ⇒b ⊥a B ．b ⊥a ⇒b ∥M C ．N ⊥M ⇒a ∥N D ．a ⊄N ⇒M ∩N ≠∅3．如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，(1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD .(3)若∠PDA ＝π4，求证：MN ⊥平面PCD .4．如图，已知SA ，SB ，SC 是由一点S 引出的不共面的三条射线，∠ASC ＝∠ASB ＝45°，∠BSC ＝60°，∠SAB ＝90°，求证：AB ⊥SC .。
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掌握基本图形，证明平行垂直《点、直线、平面之间的位置关系》复习课教学设计【教材分析】点、直线、平面之间的位置关系，是立体几何的重要内容，也是高考的常考内容，题型以证明、计算为主。
本节课选自《人教A版2003课标版必修2》的《点、直线、平面之间的位置关系》复习小结。
本章的内容较多，复习课分两个课时，本课时内容为平行垂直的证明问题，第二课时为计算等综合问题。
【新课标要求】①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
【教学对象】高一年级学生【学情分析】通过直观感知、操作确认，学生对课本出现的公理、判定定理、性质定理有初步的认识，但是在思辨论证方面，特别是综合问题就显得束手无策。
本节课旨在通过简单的基本模型，如三棱锥，四棱锥，圆柱、正方体等，熟悉一些简单常见模型的线面关系，常见条件的转化方法，进而学会分析处理综合问题。
【设计理念】本节课采用自主学习+教师点拨的形式，由浅入深，从简单到综合，化解平行垂直证明的难点，在每个环节完成后，教师都会及时引导学生反思，提升认识。
【教学目标】知识与技能——掌握平行之间的转化，垂直之间的转化，通过对知识的梳理，提高学生归纳知识和综合运用知识的能力。
过程与方法——通过对平行的转化关系和垂直的转化关系的梳理，认识到各类平行、垂直问题的实质；通过简单模型的推理与证明，熟悉常见条件的转化方法，凸显数学知识的发展与联系。
情感与价值观——通过对知识的整合、梳理，理解线线、线面、面面位置关系之间的联系，进一步培养学生空间想象能力和解决问题的能力。
【教学重点】线线平行、线线垂直的证明方法【教学难点】平行、垂直关系的转化【教法】探究式、互动式、启发式【教具】激光翻页笔、PPT课件、学案【教学过程】I 、课前自主学习学案一、平行问题1． 直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质定理自然语言 一条直线与平面α没有公共点，就说这条直线与这个平面平行平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行图形条件结论a ∥αb ∥α a ∥b2. 面面平行的判定与性质判定性质定义 定理 自然 语言一个平面与另一个平面没有公共点，就说这个平面与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行一个平面与两个平行平面相交，则交线平行两个平面平行，其中一个平面内的任意直线都与另一个平面平行图形条件结论 α∥βα∥β a ∥ba ∥α二、垂直问题（一）、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的 都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．性质垂直于同一条直线的两平面平行．（二）、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2．平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【学生活动】学生在课前完成知识点梳理【设计意图】学生通过课前梳理平行与垂直的定义、判定定理，性质定理，熟悉自然语言、符号语言、图形语言，特别是规范书写证明过程中的符号语言，提高课堂效率。
II 、自主学习成果展示（三）、线线、线面、面面转化关系： 1、平行问题的转化关系2、垂直问题的转化关系【教师活动】教师通过查阅前一天学案的完成情况，找出设计合理，内容全面的网络图，及时表扬做得认真的同学，点评网络图中存在的问题。
【设计意图】通过学生的自主梳理，对知识进行整合，规范自然语言、图形语言、符号语言的使用方法。
教师及时肯定与反馈，极大地鼓励学生认真完成作业，激发学习的动力。
题组训练与方法提炼一：（平行关系）1、已知空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是三角形ABC 和三角形ACD 的重心. 求证：PQ //平面BCD.2、如图，在三棱锥A-BCD 中,E 、F 、N 、M 分别为各棱的中点， 求证:E N∥平面ACDBCD A PQ E F3、如图所示，底面为矩形ABCD ，M,N 分别是AB,PC 的中点.求证：MN //平面PAD .【师生活动】该题组安排了常见的已知条件，简单模型的线面平行问题，由学生在课前独立思考完成。
教师根据实际完成情况，展示逻辑严密，语言规范的证明过程，并邀请学生上台分享自己的解法，其中第三题出现了两种典型的做法。
【设计意图】通过自主学习，学生有足够的思考时间，并练习完整的书写过程。
教师在课前完成批改，并 指出过程中的问题。
教师可以通过学生在课堂上的分享的思路和书写格式，进一步了解学生对基本方法的掌握情况。
总结一:根据上述题组训练,请总结常见的证明线面平行的方法:教师补充：常见平行线的构造方法 （1）利用相似比（2）构造平行四边形 （3）构造中位线 （4）公理4（5）线面平行的性质定理： （6）面面平行的性质定理： （7）线面垂直的性质定理：【师生活动】学生根据基本模型，提炼常见平行线的构造方法，教师及时点评，并作出相应的补充。
【设计意图】学生通过做题提炼方法，有一个完整的知识加工和提炼的过程，有助于产生更深刻的理解和深刻的印象。
教师及时点评，引导学生拓宽思路，丰富基本方法。
N MFD C B AE题组训练与方法提炼二：（垂直关系）1、A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点。
求证: BC ⊥平面A 1AC ；2、如图：在三棱锥V-ABC 中，VA=VC ，AB=BC ，求证：VB ⊥AC3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 求证：平面A 1 C 1CA ⊥平面B 1 D 1DB.【师生活动】学生分享线面垂直、线线垂直、面面垂直三类基本题型的证法，教师点评证明过程中的亮点和不足，点拨常用条件的转化思路。
【设计意图】该题组涉及圆柱、三棱锥、正方体三类基本图形，涉及侧棱垂直于底面，等腰三角形等垂直条件的转化方法，有利于帮助学生积累垂直的构造方法。
总结三:根据上述题组训练,请总结常见的证明线线垂直的方法:VA BC教师补充：常见垂直关系的构造方法：（1）利用定义； （2）勾股定理；（3）利用相似或全等证明直角； （4）等腰三角形底边中线；（5）正方形、菱形对角线互相垂直； （6）线面垂直的定义。
【师生活动】学生根据基本模型，常见条件提炼垂直的构造方法，教师及时点评，并作出相应的补充。
【设计意图】学生通过观察简单模型，更有利于梳理线面的位置关系，有助于产生更深刻的理解和深刻的印象。
教师及时点评，引导学生拓宽思路，丰富基本方法。
思考：平行题组训练中出现了哪些简单几何体模型？出现了哪些常见的条件？遇到了哪些困难？垂直题组训练中出现了哪些简单几何体模型？出现了哪些常见的条件？遇到了哪些困难？【师生活动】教师引导学生关注基本模型和常见条件，关注证明过程中遇到的难点与障碍，以及思考如何化解。
【设计意图】通过简单的题组训练，使学生清晰地认识到空间几何体中的线线、线面、面面位置关系，熟悉常见条件的转化方法，积累证明思路。
能力提升一：1、如图：S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 是SC 的中点，求证：SA//平面BMD2、已知正方体1111D C B A ABCD ，O 是底面ABCD 对角线的交点，求证：O C 1//平面11D AB .总结二:根据上述能力提升一,请总结在证明线线平行时可能遇到哪些困难，可以采用哪些方法化解？____________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【师生活动】教师点拨如何构造平行线：（1）连接对角线，构造中点；（2）过已知直线构造交面。
【设计意图】在线面平行的证明过程中，有时很难构造平行线，本题组旨在解决这类问题，揭示可以采用下列方法：（1）连接对角线，构造中点； （2）过已知直线与交线构造交面。
（3）构造平行面，转化为证明面面平行。
能力提升二：（垂直关系） 1、 已知在∆A B C 中，∠=︒C 90，P A ⊥平面ABC ，A E P B ⊥于E ，A F P C⊥于F ， 求证:⊥PE 平面AEF 。
【师生活动】教师用分析法引导学生分析线面垂直的证明思路，并板书证明思路。
【设计意图】D 1ODB AC 1B 1A 1CFDEC1B1A1CBA有些证明题，往往很难直接看出证明思路，不妨采用分析法逆推，得出每一步结论需要 成立的条件。
在逆推的过程中，我们需要了解到证明线面垂直可以转化为证明线线垂直，简单题中常常已知或较易转化出一组线线垂直，只需要利用条件构造另一组线线垂直 即可，而综合题中可能需要构造两组线线垂直，本题涉及的方法是不断地把线线垂直再次 转化为线面垂直。
本题的难点是在证明线面垂直时，如何构造垂面，可以根据题中已有的 一组线线垂直+需要证明的一组线线垂直去构造垂面，从而逐步转化，这是一种以结论当条 件构造平面的方法。
2、如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱 1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。
求证：⊥F B 1平面AEF ；【师生活动】教师引导学生分析线面垂直的证明思路，并板书证明思路。
【设计意图】本题涉及两种线线垂直的证明方法：（1）勾股定理；（2）构造垂面，转化为线面垂直。