不等式恒成立问题经典例题97345教学文稿
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高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是.注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的P为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
二、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.解：由题意知，函数在区间上是减函数.在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.三、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.四、最值法当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.例4 已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.例5 对于任意实数P，不等式│P+1│+│P-2│＞a恒成立，求实数a的取值范围.分析①：把左边看作P的函数关系，就可利用函数最值求解.解法1：设f（P）=│P+1│+│P-2│=-2P+1,（P≤1）3，（-1＜P≤2）2P-1,（P＞2）∴f（P）min=3.∴a＜3.分析②：利用绝对值不等式│a│-│b│＜│a±b│＜│a│+│b│求解f（P）=│P+1│+│P-2│的最小值.解法2：设f（P）=│P+1│+│P-2│，∵│P+1│+│P-2│≥│（P+1）-（P-2）│=3，∴f（P）min=3.∴a＜3.分析③：利用绝对值的几何意义求解.解法3：设P、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│P+1│+│P-2│=│PA│+│PB│，当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3，当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│＞3，因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当a＜3时，│PA│+│PB│＞a恒成立，即对任意实数P，不等式│P+1│+│P-2│＞a 恒成立.∴实数a的取值范围为（-∞，3）.小结求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.。
人教版数学高二-备课资料不等式的恒成立的问题
不等式的恒成立的问题053100不等式的恒成立是中学数学的一重点，是数学的一难点，同时也是同学们经常出现错误的问题，下面就恒等式的问题总结如下。
一 一次函数的恒成立问题例 1不等式2(2)0a x a -+>在[0,1]x ∈上恒成立，求a 的取值范围解：设2()(2)f x a x a =-+，则有题意得2(0)0002(1)0(2)0f a a f a a >>⎧⎧⇒⇒<<⎨⎨>-+>⎩⎩ 点评；对于一次函数的恒成立问题，一般是根据单调性，函数在[,]m n 上的恒大于零，应有()0()0f m f n >⎧⎨>⎩，如果恒小于零应有()0()0f m f n <⎧⎨<⎩。
二 分离参数法例2 若关于x 的不等式(1)10k x -+>在(2,1)-内恒成立，求k 的取值范围。
解：先将参数k 分离出来，(2,1),1(3,0)x x ∈-∴-∈-，由(1)10k x -+>得，11k x <-，原问题即为(2,1)x ∈-时，11k x <-恒成立，因为11(2,1),(,)13x x ∈-∴∈+∞-，所以使11k x <-在(2,1)-内恒成立的条件为13k ≤ 点评：解此类问题的方法是将参数分离出来，使参数放到一边，变量放到一边，使()a f x ≥恒成立max [()]a f x ≥；()a f x ≤恒成立min [()]a f x ⇒≤。
三 常量与变量的转化例3 对于满足2p ≤的所有实数p ，求使不等式212x px x p ++>+恒成立的的x 取值范围。
解：把不等式化为2(1)(1)0x p x -+->，并令2()(1)(1)f p x p x =-+-，它是关于p 的一次函数，由222p p ≤⇒-≤≤，由一次函数的单调性可知(2)(1)(3)01(2)(1)(1)0f x x x f x x -=-->⎧⇒<-⎨=-+>⎩或3x > 点评：如果把不等式看作关于x 的二次不等式，则求解过程繁琐，如果把不等式看作关于p 的一次不等式，则可以简化解题过程，这就是变量与常量的转化的好处。
基本不等式的恒成立问题
基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。
2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。
二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。
- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。
- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。
- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。
2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。
- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。
- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。
- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。
- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。
3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。
不等式恒成立
不等式恒成立问题的几种解法学案内容分析与“不等式恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数、数列、不等式、三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法，是历年高考的热点 学习目标掌握不等式恒成立问题的几种解法及能够熟练应用解决有关不等式恒成立问题 例1 已知不等式0,0122>>+-a ax x (1)的取值范围是数时不等式恒成立，则实a R x ∈_________ (2)[]的取值范围是数时不等式恒成立，则实a x 2,1∈__________(3)[]的取值范围是数时不等式恒成立，则实a x 1,1-∈__________(4)[]的取值范围是数时不等式恒成立，则实x a 2,1∈___________练习的取值范围求实数单调递减，，在区间设已知函数a x f R x x ax x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+++=31-32-)(.,1)(23[][][]的取值范围成立，求实数都有）（取值范围成立，求实数都有）（已知函数例a x g x f x x a x g x f x x a xa x g ax x x f )()(,4,2,2,12)()(,2,110,0,)(12)(22121,2>∈∈∀>∈∀≠>=+-=[][][]的取值范围恒成立，求实数不等式）（的取值范围成立求实数，不等式a x g x g x x a x g x f x x 2)()(,2,1,4)()(4,2,2,1)3(21212121<>∈∀>∈∀∈∃例3[]____log )1()(,2,12的取值范围是的值恒为负值，则函数当a x x x f x a --=∈练习的取值范围求实数时若当的单调区间时，求函数当已知函数a x f x x f a ax e x x f x ,0)(,0)2()(21)1()1()(.12≥≥=--=________21)()1,1(,)(,1,0.22的取值范围是成立，则实数时均有不等式函数已知a x f x a x x f a a x <-∈-=≠>总结升华 （1）化归最值（2）分离参数（3）数形结合。
高中数学教学论文 例谈恒成立不等式的求解策略
例谈恒成立不等式的求解策略含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，也是各类考试的热点．这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径．通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用．下面就其常见类型及解题策略举例说明． 一﹑可化为一次不等式恒成立的问题例1．对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围．分析：习惯上把x 当作自变量，记函数p x p x y -+-+=3)4(2，于是问题转化为： 当[]4,0∈p 时，0>y 恒成立，求x 的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．解：设函数)34()1()(2+-+-=x x p x p f ，显然1≠x ，则)(p f 是p 的一次函数，要使0)(>p f 恒成立，当且仅当0)0(>f ，且0)4(>f 时，解得x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃--∞． 点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p 的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．二﹑二次不等式恒成立问题例2．已知关于x 的不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论．解：(1)当0542=-+m m 时，即1=m 或5-=m ，显然1=m 时，符合条件， 5-=m 不符合条件;(2) 当0542≠-+m m 时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得222450,16(1)12(45)0m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩，解得191<<m ． 综合(1)(2)得，实数m 的取值范围为[)19,1． 三﹑绝对值不等式恒成立问题例3．对于任意实数x ，不等式a x x <--+21恒成立，求实数a 的取值范围．分析1：把左边看作x 的函数关系，就可利用函数最值求解．解法1：设21)(--+=x x x f ，则3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩，∴3)(max =x f ，∴3>a ．分析2：利用绝对值的几何意义求解．解法2：设x ﹑1-﹑2在数轴上对应点分别是P ﹑A ﹑B ，则PB PA x x -=--+21 当点P 在线段AB 上时，33≤-≤-PB PA ;当点P 在点A 的左侧时， 3-=-PB PA ;当点P 在点A 的右侧时， 3=-PB PA ;因此，无论点P 在何处，总有33≤-≤-PB PA ，所以当3>a 时， a PB PA <-恒成立， 即对于任意实数x ，不等式a x x <--+21恒成立时，实数a 的取值范围为),3(+∞．分析3：利用绝对值不等式b a b a b a +≤±≤-求解21)(--+=x x x f 的最大值．解法3：设21)(--+=x x x f ． ()()32121=--+≤--+x x x x 且2=x 时等式成立， ∴3)(max =x f ，∴3>a ．四﹑含对数﹑指数﹑三角函数的不等式恒成立问题例4．当)21,0(∈x 时，不等式x x a log 2<恒成立，求a 的取值范围．分析：注意到函数2)(x x f =，x x g a log )(=都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切)21,0(∈x ，)()(x g x f <恒成立，只要在)21,0(内， x x g a log )(=的图象在2)(x x f =图象的上方即可．显然10<<a ，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即)21()21(g f ≥． 解：设2)(x x f =，x x g a log )(=，则要使对一切)21,0(∈x ，)()(x g x f <恒成立，由图象可知10<<a ，并且)21()21(g f ≥，故有4121log ≥a ， 161≥∴a ， 又 10<<a 1161<≤∴a 点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用．此外，从图象上直观得到10<<a 后还需考查区间)21,0(右端点21=x 处的函数值的大小．五、形如“()a f x ≥”型不等式形如“()a f x ≥”或“()a f x ≤”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“)(x f a ≥在D x ∈上恒成立，则max )]([x f a ≥(D x ∈);)(x f a ≤在D x ∈上恒成立，则min )]([x f a ≤(D x ∈)”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型． 例5．已知二次函数x ax x f +=2)(，若[]1,0∈x 时，恒有1)(≤x f ，求a 的取值范围．解： 1)(≤x f ，∴112≤+≤-x ax ， 即x ax x -≤≤--112（1）当0=x 时，不等式101≤⨯≤-a 显然成立， ∴R a ∈（2）当10≤<x 时，由x ax x -≤≤--112得xx a x x 111122-≤≤--．041)211(1122≥--=-x x x ，0)11(min 2=-x x，0≤∴a ． 又 241)211(1122-≤++-=--x x x ，2)11(max 2-=--x x，2-≥∴a ． 02≤≤-∴a ． 综上得，a 的取值范围为20a -≤≤．六、形如“12()()()f x f x f x ≤≤”型不等式例6．已知函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值为 ． 解： 对任意R x ∈，不等式)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，∴)(1x f ，)(2x f 分别是)(x f 的最小值和最大值． 对于函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是2，即半个周期． ∴21x x -的最小值为2 七、形如“1212()()()22x x f x f x f ++>”型不等式 例7．在x y 2=，x y 2log =，2x y =，x y cos =这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件2)()()2(2121x f x f x x f +>+的函数应是凸函数的性质，画草图即知x y 2log =，x y cos =符合题意，故此题选（C ）．八、形如“()()f x g x <”型不等式例8．已知函数)1lg(21)(+=x x f ，)2lg()(t x x g +=，若当[]1,0∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数t 的取值范围．解：)()(x g x f ≤在[]1,0∈x 20x t -≤在[]1,0∈x 恒成立⇔ t x x ---21在[]1,0上的最大值小于或等于零．令()2F x x t -，121412121)(++-=-+='x x x x F []1,0∈x ， ∴0)(<'x F 即)(x F 在[]1,0上单调递减， )0(F 是最大值．∴01)0()(≤-=≤t F x f ，即1≥t ．九、形如“12()()f x g x <”型不等式例9．已知函数34331)(23+--=x x x x f ，29)(c x x g +-=，若对任意[]2,2,21-∈x x ，都有)()(21x g x f <，求c 的范围．解：∵对任意[]2,2,21-∈x x ，都有)()(21x g x f <成立，min max )]([)]([x g x f <∴． 32)(2--='x x x f ，令0)(>'x f 得3>x 或1-<x ;0)(<'x f 得31<<-x ． ∴ )(x f 在[]1,2--为增函数，在[]2,1-为减函数．(1)3,f -= 3)]([max =∴x f 2183c +-<∴，24-<∴c ．。
不等式恒成立问题经典例题
解：原不等式可化为：m(x2 1) 2x 1 0
令 f (m) m(x2 1) 2x 1, m2, 2
由题意得：
f (2) 2x2 2x 3 0 f (2) 2x2 2x 1 0
所以
1 7 x 1 3
2
2
例2、若对于任意 p 2 ，不等式x2 px 1 2x p 恒成立，
解：若1-m=0即m=1时，原不等式可化为：3>0,适合题意。
若1-m≠0即m≠1时， 令
f (x) (1 m)x2 (m 1)x 3, x2, 2
由题意得：
1m 0 f (1) 1 m 11 0 或
24 4
1m 0 f (2) 6m 9 0
所以 11 m 3 2
例2、若对于任意 m 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0 恒
成立，求实数x的取值范围
解： 原不等式可化为： (x2 x)m x2 x 3 0
令 f (m) (x2 x)m x2 x 3,m2,2
由题意得：
f (2) x2 3x 3 0 f (2) x2 x 3 0
所以
1 13 x 1 13
2
2
例2、若对于任意
，不等式
恒
成立，求实数x的取值范围
求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：x2 ( p 2)x p 1 0
令 f (p) (x 1)p x2 2x 1, p2,2
由题意得：
f (2) x2 4x 3 0 f (2) x2 1 0
所以
x 1 或 x 3
例2、若对于任意 x 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0 恒成立，求实数m的取值范围
例1：不等式x²-2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a的范 围。
不等式恒成立问题的大全
不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，数a 的取值围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值围为),31()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，数m 的取值围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值围为)1,3[-。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔1．已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++，其中k 为实数.(1)若对任意的[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值围； (2)若对任意的[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值围. (3)若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值围.【分析及解】 (1) 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .(2)由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x .∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f . 由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或, ∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .(3) 若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由(2)可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+，32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤2．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，数a 的取值围。
专题03 不等式恒成立或有解问题(解析版)
专题03 不等式恒成立或有解问题专题概述含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.典型例题【例1】（2019秋•崇川区校级月考）关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有实数解，则实数a 的取值范围是【分析】关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有解，等价于2()max a x x<-，其中[1x ∈，4]，求出2()f x x x=-在[1x ∈，4]的最大值即可． 【解答】解：关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有实数解， 等价于2()max a x x<-，[1x ∈，4]；设2()f x x x=-，其中[1x ∈，4]， 则函数()f x 在[1x ∈，4]内单调递减，当1x =时，函数()f x 取得最大值为f （1）1=； 所以实数a 的取值范围是(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞．【例2】（2018秋•凌源市期末）不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是 ． 【分析】设21y x kx =-+，将不等式恒成立的问题转化为函数21y x kx =-+图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】解：依题意，设21y x kx =-+， 因为不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， 所以△240k =-<，解得(2,2)k ∈-，故答案为：(2,2)-．【例3】（2018春•朔州期末）已知不等式116a x y x y++对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ．【分析】由题设知1()()16min ax y x y++对于任意正实数x ，y 恒成立，所以116a +，由此能求出正实数a 的最小值． 【解答】解：不等式116a x yx y++对任意正实数x ，y 恒成立， ∴1()()16min ax y x y ++对于任意正实数x ，y 恒成立1()()11a y axx y a a x y x y++=+++++116a ∴+即3)0，又0a >，39min a ∴=． 故答案为：9【变式训练】1.（2019秋•琼山区校级月考）当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是 ．【分析】不等式恒成立等价于2m x x >--恒成立，设2()f x x x =--，(1,2)x ∈，求出()f x 的最大值即可．【解答】解：(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，等价于2m x x>--恒成立；设2()f x x x=--，其中(1,2)x ∈；则22()()222f x x x x x=-+-=-x =“=”．()f x ∴的最大值为()max f x =-m ∴的取值范围是m >-故答案为：(-)+∞．2．（2019春•慈溪市期中）关于x 的不等式230x ax a -++在区间[2-，0]上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【分析】先分离参数得4(1)21a x x -++-，再利用基本不等式求右边式子的最大值得解． 【解答】解：由题得234(1)211x a x x x +=-++--因为20x -， 311x ∴---所以44(1)2[1]2224211x x x x-++=--++-=--- 当1x =-时得到等号． 所以2a -． 故答案为：2a -3．（2012•沭阳县校级模拟）对一切正整数n ，不等式211x nx n ->+恒成立，则实数x 的取值范围是 【分析】确定右边对应函数的值域，将恒成立问题转化为具体不等式，即可求得x 的取值范围． 【解答】解：考查1111n y n n ==-++，一切正整数n ，函数为单调增函数，112y ∴> 对一切正整数n ，不等式211x nx n ->+恒成立， ∴211x x - ∴10x x- 0x ∴<或1x∴实数x 的取值范围是(,0)[1-∞，)+∞故答案为：(,0)[1-∞，)+∞专题强化1．（2020•一卷模拟）已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞B ．4(,)7-∞C ．)+∞D ．4(,)7+∞【分析】由题意不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可．【解答】解：(0x ∈，2]时，不等式可化为32aax x+<；当0a =时，不等式为02<，满足题意； 当0a >时，不等式化为32x x a+<，则2323x a >=，当且仅当x =所以a <0a <<当0a <时，32x x a+>恒成立；综上知，实数a 的取值范围是(-∞． 故选：A ．2．（2019秋•临渭区期末）若不等式2440x ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(16,0)-B ．(16-，0]C ．(,0)-∞D ．(8,8)-【分析】根据一元二次不等式的解集为R ，△0<，列不等式求出a 的取值范围． 【解答】解：不等式2440x ax ++>的解集为R ， ∴△24440a =-⨯⨯<，解得88a -<<，∴实数a 的取值范围是(8,8)-．故选：D ．3．（2020•乃东区校级一模）若不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立，则a 的最小值为( )A ．52-B ．0C ．2-D ．3-【分析】不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立1()max a x x ⇔--，(0x ∈，1]2．令1()f x x x =--，(0x ∈，1]2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立1()max a x x ⇔--，(0x ∈，1]2．令1()f x x x =--，(0x ∈，1]2． 22211()10x f x x x'-=-+=>，∴函数()f x 在(0x ∈，1]2上单调递增，∴当12x =时，函数()f x 取得最大值，115()2222f =--=-．a ∴的最小值为52-．故选：A ．4．（2019春•黑龙江期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解，则实数m 的取值范围为 ( )A ．(3,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,3)-∞-【分析】关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解，等价于22240m +->或24440m +->， 求出m 的取值范围即可．【解答】解：关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解， 所以22240m +->或24440m +->， 解答0m >或3m >-，所以实数m 的取值范围是(3,)-+∞． 故选：A ．5．（2019秋•徐州期中）若关于x 的不等式240x x a -->在14x <<内有解，则实数a 的取值范围( ) A ．3a <-B ．0a <C ．4a <-D ．4a -【分析】把不等式化为24a x x <-，求出2()4f x x x =-在(1,4)x ∈的取值范围，即可求得a 的取值范围． 【解答】解：不等式240x x a -->可化为24a x x <-； 设2()4f x x x =-，其中(1,4)x ∈； 则2()(2)4f x x =--， 所以()f x f <（4）0=；所以不等式在14x <<内有解，实数a 的取值范围是0a <． 故选：B ．6．（2019春•舒城县期末）若不等式243x Px x P +>+-当04p 时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[1-，3] B ．(-∞，1]-C ．[3，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【分析】当1x =-时，代入不等可排除A ，B ，当3x =，代入不等式可排除C ，从而得到正确选项． 【解答】解：当1x =-时，由243x Px x P +>+-，得4p <，故1x =-不符合条件，排除A ，B ；当3x =时，由243x Px x P +>+-，得0p >，故3x =不符合条件，排除C ， 故选：D ．7．（2019春•昆都仑区校级期中）若不等式24x m x +，[0x ∈，1]恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m -或0mB ．3m -C ．30m -D ．3m -【分析】不等式24x m x +，[0x ∈，1]恒成立，只需2(4)min m x x -，求出2()4f x x x =-的最小值即可． 【解答】解：不等式24x m x +，[0x ∈，1]恒成立， ∴只需2(4)min m x x -，[0x ∈，1]函数22()4(2)4f x x x x =-=--，[0x ∈，1]， ()min f x f ∴=（1）3=-，3m ∴-，故选：D ．8．（2019春•思明区校级月考）若关于x 的不等式22840x x a ---在14x 内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．4a -B ．4a -C ．12a -D ．12a -【分析】原不等式化为2284a x x --，问题等价于a 小于或等于2284y x x =--在[1，4]内的最大值时即可．【解答】解：原不等式22840x x a ---化为：2284a x x --， 设函数2284y x x =--，其中14x ；则4x =时函数2284y x x =--取得最大值为是4-， 所以实数a 的取值范围是4a -． 故选：A ．9．（2020春•南昌月考）若关于x 的不等式11()81xxλ有正整数解，则实数λ的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【分析】令()lnx f x x =，由题意，存在正整数x ，使不等式81()ln f x λ能成立．利用导数求出()f x 的最大值，可得实数λ的最小值．【解答】解：关于x 的不等式11()81xxλ有正整数解，∴81x x λ，∴43lnx ln xλ． x 为正整数，0λ>，∴4381lnxln ln xλλ=．令()lnx f x x =，则21()lnxf x x -'=． 当(0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减， 故当x e =时，()f x 取得最大值． 而e 不是正整数，23e <<，f （2）2826ln ln ==，f （3）3936ln ln ==，f ∴（3）f >（2）． 故只要f （3）81ln λ即可，求得12λ，故选：D ．10．（2019春•兴庆区校级期末）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+恒成立，则a 的取值范围为 ( )A ．11a -B ．1aC ．1a -D ．1a -【分析】由题意可得1a x -在1x >恒成立，求得110x-<-<，即可得到所求范围． 【解答】解：对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+恒成立， 可得10ax +，即1a x-在1x >恒成立， 由1x >可得110x-<-<，则1a -， 故选：D ．11．（2019秋•沭阳县期中）正数a ，b 满足21a b +=，且22142a b t --恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(-∞B ．，)+∞C ．[D ．1[2，)+∞【分析】由0a >，0b >，21a b +=得，22414a b ab +=-，于是问题转化为：1242t ab ab +-恒成立，令1(,)42f a b ab =-，求得(,)f a b 的最大值，只需(,)max t f a b 即可．【解答】解：0a >，0b >，21a b +=， 22414a b ab ∴+=-，22142a b t ∴--恒成立，转化为1242t ab ab +-恒成立，令(f a ，21113)44())2844b ab ab =-==-， 又由0a >，0b >，21a b +=得：1222a b ab =+， 18ab∴（当且仅当14a =，12b =时取“=” )；(f a ∴，213))44max b =-=． 2t． 故选：B ．12．（2019秋•开封期末）已知0m >，0n >，141m n+=，若不等式22m n x x a +-++对已知的m ，n 及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[8，)+∞B ．[3，)+∞C ．(-∞，3]D ．(-∞，8]【分析】先结合基本不等式求出m n +的范围；再根据不等式恒成立结合二次函数即可求解 【解答】解：144()()5529n m n m n m n m n m n m +=++=+++， 当且仅当4n mm n=时等号成立， 229x x a ∴-++，即2229(1)8a x x x -+=-+， 8a ∴．故选：D ．13．（2019秋•楚雄州期末）已知0x >，0y >，若不等式2(2)()18m x y x y++恒成立，则正数m 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】先结合基本不等式求出前半部分的最小值，再结合恒成立即可求解． 【解答】解：因为0x >，0y >，正数m ；∴24(2)()2222m x my x y m m x y y x++=+++++， 因为不等式2(2)()18m x y x y++恒成立，所以2218m ++，即2)0，2， 所以4m ． 故选：B ．14．（2020•湖北模拟）若不等式11014m x x+--对1(0,)4x ∈恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1114x x+-的最小值为9，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，1(0,)4x ∈，则140x ->，则1141414(14)44(1[4(14)]()552914414414414x x x x x x x x x x x x -+=+=+-+=+++⨯----， 当且仅当142x x -=时等号成立， 则1114x x+-的最小值为9， 若不等式11014m x x+--对1(0,)4x ∈恒成立，即式1114m x x +-恒成立，必有9m 恒成立， 故实数m 的最大值为9； 故选：C ．15．（2019秋•呼和浩特期末）若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且存在这样的x ，y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,4)-B ．(4,1)-C ．(-∞，4)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，3)(0-⋃，)+∞【分析】由144()()2444y y x yx x x y y x+=++=++，利用基本不等式可求其最小值，存在x ，y 使不等式234y x m m +<+有解，即2()34min yx m m +<+，解不等式可求． 【解答】解：正实数x ，y 满足141x y +=，1444()()2224444y y x y x y x x x y y x y ∴+=++=+++= 当且仅当44x y y x =且141x y+=，即2x =，8y =时取等号，存在x ，y 使不等式234yx m m +<+有解， 243m m ∴<+，解可得1m >或4m <-，故选：C ．16．（2019秋•怀化期末）若两个正实数x ，y 满足211x y+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(,2)[4-∞-，)+∞B ．(,4)[2-∞-，)+∞C ．(2,4)-D ．(4,2)-【分析】由题意和基本不等式可得2x y +的最小值，再由恒成立可得m 的不等式，解不等式可得m 范围． 【解答】解：正实数x ，y 满足211x y+=， 212(2)()x y x y x y∴+=++444428y x y x x y x =+++=， 当且仅当4y xx y=即4x =且2y =时2x y +取最小值8， 222x y m m +>+恒成立，282m m ∴>+，解关于m 的不等式可得42m -<< 故选：D ．。
不等式中的恒成立问题
不等式中的恒成立问题主讲人 王洪英不等式中的恒成立问题能够很好的考察函数、不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐，而大家在碰到不等式中的恒成立问题时，往感觉无从下手，而且此类问题有时表现比较隐蔽，不易分辨，下面通过实例就不等式中的恒成立问题的常用解法加以剖析。
1、函数（或方程）思想【例1】已知│m │＜2时，不等式ｘ2+m ｘ+1＞2ｘ+m 恒成立，求实数ｘ的取值范围。
分析：通过把对应的不等式问题转化为函数问题，构造一次函数求解，结合函数思想，利用已知条件求出ｘ的取值范围。
解：原不等式即为(1-ｘ)m-ｘ2 +2ｘ-1＜0,在│m │＜2时,即-2＜m ＜2恒成立.令ƒ(m)= (1-ｘ)m-ｘ2 +2ｘ-1 则{ 即{ 解得ｘ≤-1或ｘ≥3.所以ｘ的取值范围是(-∞,-1］∪[9, ∞).点评:本题利用了一次函数的图象,即只要在两点m=-2和m=2处的函数值均小于零即可满足恒成立,巧妙的解出了ｘ的取ƒ(2)≤0 ƒ(-2)≤02(1-ｘ)-ｘ2 +2ｘ-1≤0-2(1-ｘ)-ｘ2+2ｘ-1≤0值范围,解决此类问题转换主元后得到的函数一般是一次函数或易于求解满足条件的函数.2.最值思维【例2】已知不等式（ｘ+y ）9对任意正实数ｘ，y恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8分析：如果对（ｘ+y 各取最时，要使取“＝”条件相同，必须且只有a ＝1，但此时右端的最小值为4，显然不等式不恒成立。
因此，要先对左端进行变形，尽量避免两次使用基本不等式求解。
解：不等式（ｘ+y）≥9对任意正实数ｘ,y恒成立，则≥9对任意正实数ｘ,y 恒成立，即ma ｘ≥9,而≥由≥9解得 a ≥2或 a ≤-4（舍去）。
所以正实数a 的最小取值为4，故选择答案（B ）。
点评：本题是一道二元不等式恒成立问题，在解答中要注意利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三相等”。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题经典教程
不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法1转换求函数的最值：(1) 若不等式f (X )〉A 在区间D 上恒成立,则等价于在区间 D 上f (x )mi n >A ，二f(x)的下界大于A (2) 若不等式f (x )c B 在区间D 上恒成立,则等价于在区间 D 上f (x )max £ B , f(X)的上界小于A 例1、设f(x)=x -2ax+2,当x = ［-1,+::］时，都有f(x) _ a 恒成立，求a 的取值范围。
1, • ：： , f X - 0恒成立，试求实数a 的取值范围例 3、 R 上的函数f (x )既是奇函数，又是减函数，且当日€ 0丄［时，有 < 2丿2f c o s 2ms Hn f -2^-2 - 0恒成立，求实数 m 的取值范围.例4、已知函数f (x) = ax 4 In x - bx 4-c(x 0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a 、b 为常数.(1)试确 定a 、b 的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x 0，不等式f (x p ： -2c 2恒成立，求c 的取值范围。
2、主参换位法例5、若不等式ax -V 0对x • 1,2 ］恒成立，求实数 a 的取值范围例6、若对于任意a 兰1，不等式x 2+(a-4)x+4-2a =0恒成立，求实数 x 的取值范围2x 2x ax例7、已知函数f(x^a x^3x 2(a 1)x1，其中a 为实数•若不等式3 2a (0, •:'-)都成立，求实数x 的取值范围.3、分离参数法(1)将参数与变量分离，即化为 F f x (或g ，< f x )恒成立的形式;(2)求f x 在D 上的最大(或最小)值；(3)解不等式g"「：f(X)max (或g ■乞f x min )，得■的取值范围。
适用题型：(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易求出。
(完整版)《不等式恒成立问题》教案
《不等式恒成立问题》一、教学目标：（1）知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划求最值。
（2）能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，提升解决问题的能力。
（3）情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地参加高考。
二、教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。
三、教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。
四、教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。
五、教具准备：多媒体课件六、教学过程：高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。
如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。
12例1.若不等式x +ax +1≥0对于一切x x ∈(0,]成立，2则a 的最小值为（）A.0B.-25 D.-3C.-211由x ∈(0,]，∴a ≥-(x +).，法一:不等式可化为ax ≥-x 2-1Q (x +111∴(-x -)max )在(0,]上是减函数,x x 22法二：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-a .2255=-∴a ≥-22x①a oy1x 2⎧a ⎪-≤0⎨2⇒a ≥0⎪⎩f (0)≥0②③ooyx =-yya 212x1⎧a -≥⎪⎪22⇒-1<a <0⎨⎪f (1)≥0⎪⎩2a 1⎧0<-<⎪⎪225⎨⇒-≤a ≤-1a 2⎪f (-)≥0⎪⎩2a2a2法三：验证法：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-.212当a =0时，f (x )=x +1≥0在（0,]恒成立。
212当a =-2时，f (x )=x 2-2x +1=（x -1）在（0,]恒成立。
25551当a =-时，f (x )=x 2-x +1，对称轴x =，（0,]是f (x )的减区间，224211f ()=0，故f (x )≥0在（0,]恒成立。
不等式中恒成立问题的解法研究教学内容
不等式中恒成立问题的解法研究兴义八中 李明生在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
不等式恒成立问题
法
例3 已知函数f x是定义在R上的减函数,且f a2 x f a 1 2x2 对x R恒成立,求实数a的取值范围；
解 f x在R上单调递减,且f a2 x f a 1 2x2
a2 x a 1 2x2 a2 a 2x2 x 1对x R恒成立
令g
x
2x2
x
1, 在x
恒 成 立不 等 式 中求 参 问 题
1、几个结论
a f x 恒成立 a fmax x
a
f
x 恒成立
a
fmin x
a f x 恒成立 a fmax x
a
f
x 恒成立
a
fmin x
2、题目中一般会有两个参数，一个是已知参数，另一个是欲求 参数；
例1
1当x
1 4
x 1 x 1
x 1
x 1
x2 4x 2a 4
x 1
已知关于x的函数y x2 ax a,当x 2, 时恒大于0,求a的
取值范围；
方 法
x0
a 2
二 ：
1 a
2
2
a
4
fmin
x
f
2
4a
0
a
4
二 次 函 数
2
a 2
2
a
4
fmin
x
f
a 2
a
a2 4
0
0
a
4
综合12可得a 4
的
值
域
求
解 2x 1 m x2 1m x2 1 2x 1 0
方 令f m x2 1 m 2x 1, f m 0,当m 2, 2
法 三
f
2
0
不等式恒成立问题教案
不等式恒成立问题教案教学目标：1．掌握解决不等式恒成立问题的基本方法：最值分析法、变量分离法、图像法等；能根据题目的构成特征，合理选择解题最优策略；2．在解决不等式恒成立问题的过程中，体验数形结合，函数与方程，分类讨论的数学思想方法；3．养成眼睛的思维习惯，提高分析解决问题的能力.教学重点: 处理不等式恒成立问题的基本方法．教学难点：不等式恒成立问题解法的合理选择．教学内容：一、复习二次不等式的恒成立问题二、例题分析例题1. 对于一切实数x，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．变式1：对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．变式2：对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．例题2. 若关于的不等式对任意在恒成立，则实常数的取值范围是.答案：巩固练习1：1. 在上定义运算：，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 _________________2．若函数在上有意义，则实数a的取值范围是______3. 已知关于的方程恒有解，求实数的取值范围。
例题3.：如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是_______巩固练习2：2. 当x(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x恒成立，求a的取值范围．3. 设函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．答案：三、知识回顾，方法总结；1．最值分析法2．分离变量法3．图像法四、结束语：数学常见恒成立,最值分析来考虑;变量分离和图像,往往也来共参与.五、教学反思1. 第三轮复习的内容可以参照二模的一些新题型，提高学生的学习兴趣2. 复习的内容偏重于基础，可以在思维上再加深一些难度。
3. 课上学生的含参问题的计算能力不强，需要在以后的教学过程中加以改进教学说明：不等式的恒成立问题是高考中常见的一类问题，解题方法比较多，需要让学生在复习过程中加以提炼。
所以我在第三轮复习时选择了这个课题让学生研究。
在教学过程中主要抓住了解不等式恒成立问题的一些基本类型加以复习巩固和课堂练习。
不等式恒成立问题的几种求解策略(老师用)讲课教案
常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。
1 变量转换策略例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围.解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。
因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。
令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g ，得133133+-<<--x .点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。
2 零点分布策略例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(220f f a ，即a 的取值范围为[-7，2].点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了.3 函数最值策略例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22m in a f x f a或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ， 即a 的取值范围为]222,5[+--.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(.本题也可以用零点分布策略求解.4 变量分离策略例4 已知函数|54|)(2--=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方，求k 的取值范围.解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于543],5,1[2++->+-∈∀x x k kx x 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于543],5,1[2++->+-∈∀x x k kx x 恒成立3542+++->⇔x x x k 对于]5,1[-∈∀x 恒成立,令]5,1[,3542-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则],8,2[,10)16(∈++-=t t t y 4=∴t 当,即x =1时2m ax =y , ∴k 的取值范围是k >2.变式 若本题中将k kx y 3+=改为2)3(+=x k y ，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于54)3(],5,1[22++->+-∈∀x x x k x 恒成立22)3(54+++->⇔x x x k 对于]5,1[-∈∀x 恒成立,令]5,1[,)3(5422-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则,169)454(1101622+--=-+-=t t t y ]8,2[∈t ， 时即当51,454==∴x t ,169max =y , ∴k 的取值范围是k >169.点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.练习：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
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不等式恒成立问题的一般步骤： （1）明确变量和参数（求谁的范围谁是参数，谁的范 围已知谁是自变量），合理变形（一次二次不等式的标 准形式或变量参数的分离式 ）。 （2） 构建函数,注意标明自变量范围。 （3)求函数的最值或限值，利用最值或限值构建关于参 数的不等式求出参数的范围。 注意事项： （1）形式上的一元二次不等式要对二次项系数等零不 等零进行讨论。 （2）指对不等式在底数不确定时要对底数进行讨论。 （3）如最值或限值总在定义域的两端点处产生时，不 必讨论。
解:要使函数f(x)有意义,则必有
kx2 6kx (k 8) 0
因为函数f(x)的定义域为R,所以
kx2 6kx (k 8) 0 对一切 x R恒成立. ①当k=0,不等式8>0对一切 x R 恒成立.
②当k≠0时,不等式 kx2 6kx (k 8) 0对一切
x R 恒成立,则必有
k>0
(6k)2 4k(k 8) 0
解得:0<k≤1
综上所述: 0 ≤ k≤1
易错题
1.函数 f (x) log1 (x2 kx 2) 的定义域为R,
2
求实数k的取值范围. (2 2, 2 2)
2.函数 f (x) log1 (x2 kx 2) 的值域为R,
2
求实数k的取值范围.
恒成立，求实数x的取值范围
练习5、若对于任意
x 0,
1 2
，不等式
x2 ax 1 0
恒成
立，求实数a的取值范围
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2x 1 m(x2 1)
恒成立，求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：m(x2 1) 2x 1 0
令 f (m) m(x2 1) 2x 1, m2, 2
f (x) (1 m)x2 (m 1)x 3, x2, 2
由题意得：
1m 0 f (1) 1 m 11 0 或
24 4
1m 0 f (2) 6m 9 0
所以 11 m 3 2
练习4、若对于任意 m 2，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0
恒成立，求实数x的取值范围
由题意得：
f (2) 2x2 2x 3 0 f (2) 2x2 2x 1 0
所以
1 7 x 1 3
2
2
练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x2 px 1 2x p 恒成
立，求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：x2 ( p 2)x p 1 0
令 f (p) (x 1)p x2 2x 1, p2,2
(, 2 2] U[2 2, )
例1：不等式 x2 ax 4 0 当 x (1,2) 时恒
成立，求a的范围。
解： 令 f (x) x2 ax 4, x (1,2)
由题意得：
f 1 a 5 0 f 2 2a 8 0
所以 a 5
例2：不等式x²-2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a 的范围。
f x下限 0x D
不等式 f x 0在区间D上恒成立 f xmax 0x D 或
f x上限 0x D
不等式 f a f x在区间D上恒成立 f (a) f xmaxx D 或
f (a) f x上限x D
不等式 f (a) f x在区间D上恒成立 f (a) f xminx D 或
例题选讲
恒成立问题
例1.不等式 (a 2)x2 2(a 2)x 4 0
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。
变式1.不等式(a2 4)x2 (a 2)x 1 0 的解为空集 ，求a的取值范围。
变式2.若函数 f (x) kx2 6kx (k 8) 的定义
域为R,求实数k的取值范围.
由题意得：
f (2) x2 4x 3 0 f (2) x2 1 0
所以
x 1 或 x 3
练习3、若对于任意 x 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 -m=0即m=1时，原不等式可化为：3>0,适合题意。
若1-m≠0即m≠1时， 令
解：原不等式可化为：
x2 2ax a 2 0
令 f (x) x2 2ax a 2, x 1,
x a f x的图像开口向上，且对称轴为
由题意得：
a 1
f 1 a 3 0 或
a 1
f a a2 a 2 0
所以 3 a 1
不等式恒成立问题的解题原理：
不等式 f x 0 在区间D上恒成立 f xmin 0x D 或
例1、若对于任意 a 1 ，不等式x2 (a 4)x 2a 0 恒成 立，求实数x的取值范围
解：令 f (a) (x 2)a x2 4x, a 1,1
由题意得：
f 1 x2 5x 2 0 f 1 x2 3x 2 0
所以 x 3 17 或 x 5 17
2
2
例2、若对于任意 x 0,1 ，不等式 x2 2mx 2m 1 0
解： 原不等式可化为： (x2 x)m x2 x 3 0
令 f (m) (x2 x)m x2 x 3,m2,2
由题意得：
f (2) x2 3x 3 0 f (2) x2 x 3 0
所以
1 13 x 1 13
2
2
练习5、若对于任意
恒成立，求实数x的取值范围
练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x2 px 1 2x p 恒成
立，求实数x的取值范围
练习3、若对于任意 x 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0 恒成立，求实数m的取值范围
练习4、若对于任意 m 2，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0
恒成立，求实数m的取值范围
解 令 f (x) x2 2mx 2m1, x0,1 x m : f (x) 的图像开口向上，且对称轴为
由题意得：
m0
或
f (0) 2m 1 0
0 m1
m 1
f (m) m2 2m 1 0 或 f (1) 2 0
所以 m 1 2
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2x 1 m(x2 1)