材料力学第七章B

τ −30 =
0
σ x −σ y
2
τxy
sin 2α +τ xy cos 2α
σx
− 40 − 60 = sin( −60° ) + (−50) cos(−60° ) = 18.3MPa 2
(2) 求主应力和主单元体的方位
2τ xy 2× (−50) tan2α0 = − =− = −1 σ x −σ y − 40 − 60
cos 2α −τ xy sin 2α σα = + 2 2 σ x −σ y sin 2α +τ xy cos 2α τα = 2
σ x + σ y σ x −σ y
σα + σα+90 = σ x + σ y
°
两相互垂直面上的正应力之和保持一个 两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数 保持一个常数
τα =
σ x −σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α
σ x −σ y 2 2 τmax 得到 τmax和τmin ) +τ xy =± ( 2 τmin 2τ xy σ x −σ y 和 tan2α1 = 比较 tan2α0 = − σ x −σ y 2τ xy
1 π π 2α1 = 2α0 + , α1 = α0 + 可见 tan2α0 = − 2 4 tan2α1
确定主应力方向的具体规则如下 (1)当 (1)当
σ x ≥ σ y时 ， α0和 α0+90° 中绝对值较小的一个确定 绝对值较小的一个确定
σmax 所在的平面
(2)当 σ x < σ y 时 ， α0和 α0+90° 中绝对值较小的一个确定 (2)当 绝对值较小的一个确定 σmin 所在的平面 (3)当α0和 α0+90° 绝对值相等时，主应力的方向可由公式判断 (3)当 主应力的方向可由公式判断 0+90° 绝对值相等时
τ
y n E D
e
τyx σx τxy
f
α
σx
o
x
B CF
2α 2α0 A
σ
σy
D′
a
σx
τ
B CF
E 2α D
o
2α0 A
σ
证
明
σy
D′
σx
OF = OC + CF = OC + CE cos(2α0 + 2α)
= OC + CDcos 2α0 cos 2α −CDsin 2α0 sin 2α σ x +σ y σ x −σ y = + cos 2α −τ xy sin 2α = σα 2 2
1、最大切应力的方位(The direction of maximum shearing stress ) 最大切应力的方位(The 令
σ x −σ y dτα = 2[ cos 2α −τ xy sin 2α] = 0 dα 2 σ x −σ y α1 tan2α1 = α + 90° 1 2τ xy
τ τyx σx τxy σy
x o
σ
1、步骤（Steps) 步骤（ (1) 建 σ - τ 坐标系, 选定比例尺 坐标系,
y
τ τyx
D
σx
σx τxy
x
o
σy
B C D′ A
σ
(2)量取 (2)量取
OA= σ x OB= σy BD′= τyx
σx
AD = τ xy 得 D 点 (3)量取 (3)量取 得 D′ 点 (4)连接 DD′两点的直线与 (4)连接 DD′两点的直线与σ 轴相交于 C 点 (5)以 为圆心, (5)以C为圆心, CD 为半径作圆,即得相应于该单元体的应力圆 为半径作圆,即得相应于该单元体的应力圆
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ xy sin 2α
三、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and it’s direction) σ x +σ y σ x −σ y σα = cos 2α −τ xy sin 2α + 2 2 σ x −σ y τα = sin 2α +τ xy cos 2α 2
1、圆心的坐标 (Coordinate of circle center)
C(
σx +σ y
2
2
,0)
2、圆的半径（Radius of circle) R = (σ x − σ y )2 + τ 2 圆的半径（ xy 此圆习惯上称为 应力圆 ( plane stress circle) , 或称为莫尔圆 (Mohr’s circle)
R= (
σ x −σ y
σx
τ
D
o
σy
B C D′
2α0 A
σ
σx
τxy 2τxy AD tan∠DCA = = = σx − σy σx − σy CA 2
= tan(-2α0 )
三、应力圆的应用（Application of stress-circle) 应力圆的应用（ stress1、求单元体上任一截面上的应力 求单元体上任一截面上的应力 从应力圆的半径 CD 按方位角 α 的转向 转动 2α 得到半径 CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 σα 和切应力 τα 。
σ1 = 80.7MPa σ2 = 0 σ3 = −60.7MPa
σy σ3 σ1 τxy σx
22.5° 22.5°
例7-5 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位. 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位. 解 （1）求主平面方位
σx = σy =0
tan2α0 = −
2τxy σx − σy
§7-3 二向应力状态分析-图解法 二向应力状态分析(Analysis of plane stress-state with stressgraphical means)
一、应力圆 (Mohr’s circle)
斜截面上应力计算公式: 斜截面上应力计算公式:
cos 2α −τ xy sin 2α σα − = 2 2 σ x −σ y sin 2α +τ xy cos 2α τα = 2
σ3
45 α0 = − 45°
°
τxy
45° °
σ1
σ1 = τ ， σ2 = 0 ， σ3 = - τ
圆轴扭转时各点即为纯剪切状态，表面各点为危险点，其 圆轴扭转时各点即为纯剪切状态，表面各点为危险点， 最大正应力所在的主平面联成倾角为45 的螺旋面， 最大正应力所在的主平面联成倾角为45°的螺旋面，如果 45° 材料为铸铁，则杆件将沿这一螺旋面发生断裂破坏． 材料为铸铁，则杆件将沿这一螺旋面发生断裂破坏．
σ x − σ y 2 2 26MPa σmax σ x + σ y ) + τ xy = = ± ( 2 2 − 96MPa σmin
σ1 = 26MPa, σ2 = 0, σ3 = −96MPa
例7-4 图示单元体，已知 σx =-40MPa， σy =60MPa，τxy=-50MPa. 图示单元体， 40MPa， =60MPa， 试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。 (1) 求 ef 截面上的应力
FE = CEsin( 2αo + 2α) = CDsin 2α0 cos 2α + CDcos 2α0 sin 2α σ x −σ y =τ xy cos 2α + sin 2α = τα
2
结
论
点面之间 的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 的对应关系：单元体某一面上的应力，
应于应力圆上某一点的坐标。 应于应力圆上某一点的坐标。
90° 2α0 = − 90°
பைடு நூலகம்（2）求主应力
45° α0 = − 45°
= −∞
σ3
τxy
45° °
σ1
把α０＝±45°分别代入公式计算： 45°分别代入公式计算：
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ xy sin 2α
α0= -45°与 σ１ 对应 45°
σ1 = τ ， σ2 = 0 ， σ3 = - τ
(σα −
2、证明(Prove) 证明(Prove)
σx +σ y
2
) +τα = (
2 2
σ x −σ y
2
τ
2 )2 +τ xy
(1)该圆的圆心 (1)该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为
D
σx +σ y
(2)该圆半径为 (2)该圆半径为
o
σy
2 xy
B C D′ A
σ
2
) +τ
2
2 σx +σ y 1 1 OC = OB + (OA − OB) = (OA + OB) = 2 2 2 σ x −σ y 2 2 2 2 CD = CA + AD = ( ) +τ xy 2
例7-3 简支梁如图所示.已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切应 简支梁如图所示. 截面上A 70MPa， .确定 确定A 力分别为σ =-70MPa，τ =50MPa .确定A点的主应力及主平面的 方位. 方位.
m A m a l
σ τ
把从A 解： 把从A点处截取的单元体放大如图
σ
A
σx = −70M Pa ,σ y = 0,