第七章 多元统计分析
多元统计分析
多元统计分析在统计学中，多元统计分析是一种研究多个变量之间关系的方法。
它是利用多个变量的观测值来对问题进行全面、综合的分析，从而揭示出变量之间的相互影响和作用机制。
多元统计分析能够准确地描述和解释变量之间的关系，为决策者提供有力的科学依据。
多元统计分析广泛应用于社会科学、经济学、医学、心理学等各个领域。
通过对多个变量进行统计分析，我们可以找到变量之间的关联，发现潜在的模式和规律。
这有助于我们更好地理解研究对象的特征和行为，为决策制定提供准确的预测和建议。
在多元统计分析中，常用的方法包括相关分析、回归分析、因子分析、聚类分析等。
相关分析是研究变量之间的关联性，通过计算相关系数来衡量变量之间的线性关系强度和方向。
回归分析则是研究因变量与自变量之间的关系，通过建立数学模型来进行预测和解释。
因子分析可以将一组相关变量简化为几个相互独立的维度，帮助我们观察变量之间的隐藏结构。
聚类分析则可以将观测样本根据相似性进行分类，发现样本之间的群体关系和特征。
多元统计分析的过程一般包括数据收集、数据预处理、变量选择、模型建立和结果解释等几个阶段。
数据收集是获取原始数据的过程，可以通过问卷调查、实验观测等方式进行。
数据预处理是对原始数据进行清洗、整编和转换，以便于分析和解释。
变量选择是根据研究目标和方法选择合适的变量进行分析。
模型建立是根据预设的理论框架和统计方法建立数学模型，进而进行统计分析。
结果解释是对统计结果进行解读和推断，将统计结论转化为实际问题的解决方案。
多元统计分析的优势在于它能够综合考虑多个变量之间的复杂关系。
相比于单变量分析，它能够提供更全面、准确的信息和结论。
例如，在市场研究中，我们可以利用多元统计分析来探索消费者的购买行为和喜好，从而制定有针对性的营销策略。
在医学研究中，多元统计分析可以帮助研究人员分析影响疾病风险的多个因素，为疾病预防和治疗提供科学依据。
然而，多元统计分析也存在一些局限性和挑战。
首先，多元统计分析要求样本数据的质量高，数据之间需要存在一定的相关性才能进行分析。
多元统计分析
多元统计分析
在多元统计分析中，我们可以同时考虑几个变量之间的关系，而不仅
仅是单一变量之间的关系。
通过这种分析，我们可以发现和理解变量之间
的相互作用，以及它们对结果的影响。
在进行多元统计分析之前，首先需要对原始数据进行预处理。
预处理
包括缺失值处理、异常值处理、变量转换等步骤，以确保数据的准确性和
完整性。
然后可以选择合适的多元统计方法来进行分析。
多元统计分析的方法包括回归分析、方差分析、因子分析等。
回归分
析用于研究因变量和自变量之间的关系，可以用于预测和解释结果变量。
方差分析用于研究不同组之间的差异，可以用于比较不同组的平均值差异。
因子分析用于确定变量之间的潜在关系，可以用于降维和变量选择。
除了以上介绍的方法外，还有其他一些方法可以用于多元统计分析，
如聚类分析、判别分析、聚类分析等。
聚类分析用于将样本分为不同的组，可以帮助我们发现样本之间的相似性和差异性。
判别分析用于研究变量之
间的关系，并用于分类和预测。
聚类分析用于研究变量之间的关系，并用
于发现变量之间的模式。
总之，多元统计分析是一种强大的工具，可以帮助我们更全面地理解
和解释数据。
通过使用多元统计方法，我们可以发现变量之间的关系，并
用于预测和解释结果变量。
因此，多元统计分析在各个领域中都有着广泛
的应用。
《多元统计分析》课件
数据预处理和清洗
1
数据清洗
解决缺失值、异常值和重复数据问题。
2
标准化处理
对数据进行标准化、归一化和正态化处理。
3
变量选择
学习如何选择影响结果的重要变量。
描述性统计分析
1 中心趋势分析
运用平均值、中位数和众数等指标揭示数据的集中情况。
2 离散程度分析
探索数据的离散程度，如标准差和方差。
3 分布形态分析
识别数据分布的形态，如正态分布和偏态分布。
相关分析
线性相关
学习如何评估变量之间的 线性关系。
非线性相关
探索变量之间的非线性关 系，如曲线和曲面拟合。
相关系数
了解相关系数的计算方法 及其解释。
统计显著性检验
1
假设检验
学习如何根据样本数据推断总体参数。
2
置信区间
了解如何估计总体参数的范围。
3
显著性水平
确定显著性水平及其对推断的影响。
回归分析
线性回归
构建线性回归模型来预测因变量。
回归诊断
评估回归模型用。
多元方差分析
单因素设计
比较多个组之间的差异。
多重比较
确定组之间的具体差异。
二因素设计
考虑两个自变量对因变量的 影响。
《多元统计分析》PPT课件
探索多元统计分析的定义、概念和应用。从数据预处理到分析模型选择，帮 助解决实际问题。了解多元统计软件和未来发展方向。
数据结构和类型
结构
探索多元数据的各种结 构，包括矩阵、向量和 表格。
类型
了解多元数据的分类， 如连续型、离散型、定 类型和定序型。
示例
使用实际案例来展示多 元数据的结构和类型。
第七章 多元统计分析(1)1
Cov( Ax, By ) = ACov( x, y ) BT
二、多元正态分布 定义
若p维随机变量 x = ( x1 , x2 ,..., x p )′ 的概率密度函 维随机变量 数为
f ( x1 , x 2 , L , x p ) = 1 (2π ) | Σ |
1 n x = ∑ x(i ) n i =1 1 k nα (α ) = ∑∑ x(i ) n α =1 i =1 1 k (α ) = ∑ nα x n α =1 1 x = X ′1 n
1 n x j = ∑ xij ( j = 1,2, L, p) n i =1
1 (α ) = ∑∑ xij n α =1 i =1
为第i个 设p维随机变量 x = ( x1 , x2 ,..., x p )′ E(xi)为第 个 维随机变量 ， 为第 随机变量的数学期望(或均值)( )(i=1,2,…,p)，则称 随机变量的数学期望(或均值)( )
E ( x) = ( E ( x1 ), E ( x2 ),L , E ( x p ) )′ = µ ˆ
( )
nα × p
, (α = 1,2, L , k ; i = 1,2, L , nα ; j = 1,2, L , p )
常见统计量
(1)总体 (1)总体Gα的样本均值 总体 向量表示法 矩阵表示法 分量表示法
( x (α ) = ( x1(α ) , x2(α ) ,..., x pα ) )′
x
(α ) ij
个总体G 第α个总体 α的样本矩阵
( X (α ) = ( x1(α ) , x2α ) , L , x (pα ) ) (α x(′1()α ) x11 ) , (α ) (α ) x(′2 ) x21 , = = M M ( ( ) x(′nα )) xnα 1 , α α (α x12 ) , L , (α x22 ) , L ,
《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
多元统计分析
多元统计分析多元统计分析是一种用于处理和解释多维数据的方法。
它将多个变量同时考虑，并探索变量之间的关系和模式。
在许多领域，例如社会科学、医学研究和市场调查中，多元统计分析被广泛应用于数据分析和决策支持。
通过对大量数据进行综合分析，我们可以获得更准确的结论和洞察力，为问题的解决提供有力的支持。
1. 多元统计分析的基本概念和方法多元统计分析涉及许多不同的技术和方法。
其中一些包括主成分分析、因子分析、聚类分析、判别分析和多元回归分析。
这些方法可以帮助我们降维、识别变量间的关系、发现群组和预测未来趋势。
2. 主成分分析主成分分析是一种降维技术，可以将大量的变量转化为相对较少的几个无关变量，称为主成分。
通过这种方式，我们可以更好地理解数据，并减少冗余信息。
主成分分析通常用于数据可视化和探索性分析。
3. 因子分析因子分析是一种用于探索变量之间潜在关系的技术。
它可以帮助我们确定潜在因素，即变量背后的共同因素。
因子分析常用于市场研究，以确定产品特征或消费者态度的维度。
通过这种方式，我们可以对复杂的数据进行简化和解释。
4. 聚类分析聚类分析是一种将相似观测对象划分为群组的技术。
它基于变量间的相似性或距离度量，将观测对象聚合在一起，并形成具有相似特征的群组。
聚类分析常用于市场分割和客户分类。
5. 判别分析判别分析是一种用于预测和分类的技术。
它可以帮助我们从一系列的预测变量中确定哪些变量对于区分不同组别是最重要的。
判别分析常用于医学诊断、人力资源管理和贷款风险评估等领域。
6. 多元回归分析多元回归分析用于研究多个自变量对因变量的影响。
通过建立回归模型，我们可以理解各个变量对于因变量的相对重要性，并进行预测和解释。
总结：多元统计分析是一种强大的数据分析工具，可以帮助我们理解和解释复杂的多维数据。
通过运用各种分析方法，我们可以从大量的数据中发现模式和关系，并得出准确的结论和洞察力。
无论是在学术研究、商业决策还是社会科学领域，多元统计分析都发挥着重要的作用。
多元统计分析
聚类分析根据对象的特征和距离度量将相似的对象归为一类 。常见的聚类方法包括层次聚类、K均值聚类和密度聚类等。 聚类分析有助于发现数据的内在结构，用于分类、模式识别 和决策支持。
判别分析
总结词
判别分析是一种有监督学习方法，通过已知分类的数据建立判别函数，用于预 测新数据的分类。
详细描述
判别分析利用已知分类的数据建立判别函数，用于预测新数据的分类。常见的 判别分析方法包括线性判别分析和二次判别分析等。判别分析广泛应用于分类、 模式识别和决策支持等领域。
市场研究的定义和过程
市场研究定义
市场研究是一种系统的方法，用于收 集和分析关于消费者、市场和竞争对 手的数据，以帮助企业了解市场趋势、 消费者需求和竞争态势，从而做出更 好的商业决策。
市场研究过程
市场研究过程包括确定研究目标、设 计研究方案、收集数据、分析数据和 报告结果等步骤。
多元统计分析在市场研究中的应用实例
多元统计分析
目录
• 引言 • 多元统计分析的基本方法 • 多元统计分析在数据挖掘中的应用 • 多元统计分析在市场研究中的应用 • 多元统计分析的未来发展 • 结论
01 引言
多元统计分析的定义
多元统计分析是研究多个随机变量之 间关系的统计方法。它通过使用各种 技术和模型来分析多个变量之间的关 系，以揭示数据中的模式和结构。
对应分析
总结词
对应分析是一种多元统计方法，用于研 究变量间的关系和分类。
VS
详细描述
对应分析通过降维技术将多个变量的分类 数据转换为低维空间的点，并利用点间的 距离度量变量间的关系。对应分析能够揭 示变量间的潜在联系和分类结构，广泛应 用于市场研究、社会科学和医学等领域。
多元统计分析
多元统计分析在当今这个数据驱动的时代，多元统计分析成为了理解和处理复杂数据的强大工具。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开隐藏在海量数据背后的秘密之门。
那么，什么是多元统计分析呢？简单来说，多元统计分析是研究多个变量之间相互关系和内在规律的一种统计方法。
当我们面对的不再是单一的变量，而是多个相互关联的变量时，传统的统计方法可能就显得力不从心了，这时候多元统计分析就派上了用场。
想象一下，我们要研究一个人的健康状况。
如果只考虑一个因素，比如体重，可能得出的结论是片面的。
但如果同时考虑体重、血压、血糖、血脂等多个变量，就能更全面、更准确地评估这个人的健康水平。
这就是多元统计分析的魅力所在，它能够综合多个变量的信息，提供更深入、更全面的洞察。
多元统计分析包含了许多具体的方法，比如主成分分析、因子分析、聚类分析、判别分析、典型相关分析等等。
每种方法都有其独特的用途和适用场景。
主成分分析就像是一个“数据压缩器”。
在面对众多相关的变量时，它能够提取出几个主要的成分，这些成分能够解释大部分数据的变异。
这不仅减少了变量的数量，简化了问题，还能帮助我们抓住数据的主要特征。
因子分析则更像是在寻找数据背后的“潜在因素”。
它试图找出那些影响多个变量的共同因素，从而揭示变量之间更深层次的关系。
聚类分析像是一个“分类器”，它可以根据数据的相似性将对象分成不同的组或类别。
这对于市场细分、客户分类等方面非常有用。
判别分析则是相反的过程，它根据已知的类别和相关变量，建立判别函数，来判断新的观测值属于哪个类别。
典型相关分析则用于研究两组变量之间的相关性。
多元统计分析在各个领域都有着广泛的应用。
在医学领域，医生可以通过多元统计分析来评估药物的疗效，综合考虑多个症状和生理指标的变化。
在经济领域，分析师可以利用它来研究市场趋势，综合考虑多种经济指标和市场因素。
在教育领域，教育工作者可以通过分析学生的多个学习成绩和个人特征，来制定更个性化的教育方案。
第七章多元统计分析
多元统计分析
研究多个随机变量——随机向量 多元统计分析是数理统计学中一个重 要的分支，它是研究高维数据之间相 互依赖关系以及内在规律性的一门统 计学科，是一元统计学的推广.
1
随着计算机的发展和普及，多元统 计分析的理论和方法也不断发展和完 善，并已应用到农业、工业、生物、 医学、考古学、教育学、文学以及气 象学等领域中.
2
0
所以，DX非负定，即 DX 0.
9
定义3 : 设X ( X 1 , X 2 , , X p )
和Y (Y1 , Y2 , , Yq ) 是随机向量, 若X i与Y j的协方差Cov ( X i , Y j ) (i 1, 2, , p; j 1, 2, , q )存在, 则称
22
性质7 设X N p (, ), 0，则
Y ( X ) 1 ( X ) 2 ( p) 证明：
X AU , AA , U (U1 ,U 2 ,,U p ) U i N (0,1)，
定义5
A可逆
A
1
1
n
样本离差阵为 A X X X X aij
n n
1
p p
其中aij x i xi x j x j
1
i, j 1, 2, , p
29
样本协方差阵为 1 S A sij p p n 1 样本相关系数阵为
协方差阵已知时选用统计量
n X 0
2
1 0
X
0
H0
~
2
p
36
应用多元统计分析习题解答 第七章讲解学习
应用多元统计分析习题解答第七章第七章 因子分析7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。
答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。
②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。
因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。
因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。
如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。
因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。
而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。
此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。
7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。
目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。
具体来说，①因子分析可以用于分类。
如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。
即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。
对我们进一步研究与探讨指示方向。
在社会调查分析中十分常用。
③因子分析的另一个作用是用于时空分解。
如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。
7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。
答：对于因子模型1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++++ 1,2,,i p =因子载荷阵为11121212221212(,,,)m m m p p pm a a a aa a A A A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Ai X 与j F 的协方差为：1Cov(,)Cov(,)mi j ik k i j k X F a F F ε==+∑=1Cov(,)Cov(,)mik k j i j k a F F F ε=+∑=ij a若对iX作标准化处理，=ija,因此ija一方面表示iX对jF的依赖程度；另一方面也反映了变量i X对公共因子jF的相对重要性。
7多元统计分析
1
2
k pk
k pk
Σ
Σ11 Σ21
Σ12 Σ22
k pk
则 X1 ~ N k (1 , Σ11 ), X 2 ~ N pk (2 , Σ22 ).
正态随机向量的任何边缘分布仍是正态的.
11
三、多元总体的多元样本
设有p元总体 X ( X1, X2 , , X p )T 该总体的一个容量为n的简单随机样本，也就是n个相互独立
② 若 X ~ N p (, Σ)，C是任一r p阶矩阵，b是r 1常数向量，
则 Y CX b ~ Nr (C b,CΣCT ). 正态随机向量的线性变换还是正态的.
③ 若 X ~ N p (, Σ)， 将X , , Σ作 如下 剖 分：
X
X1
X
2
k pk
14
四、多元正态总体的参数估计
1、问题的背景 已知p元总体 X ~ N p (, Σ )
设(X1, X2,…,Xn) 为来自总体的样本，观测数据矩阵为 X ( Xj )n p
要求依据该观测矩阵，估计总体的均值向量 和协方差阵∑ .
2、估计方法 ---- 最大似然估计法 （见P224） 结论 （1）X和 1 A分别是和Σ的最大似然估计；
20
2、马氏距离 设p维总体G的均值为, 协方差阵为Σ(Σ 0).
X和Y是 来 自 总 体G的 两 个 样 本. D( X ,Y ) ( X Y )T Σ 1( X Y ) --- X与Y之间的马氏距离；
且与总体X同分布的p维随机向量 X(1) , X(2) , , X(n) . 每一个 X( ) ( X1, X 2 , , X p )T ( 1,2, , n) 称为一个样品，
第七章多元统计分析资料
17
性质1 设X N p (, ), 0，则 E(X ) , D(X )
性质2:正态随机变量的线性变换仍为正态变量 正态随机向量的线性变换仍为正态向量
即，设随机向量X Np (, ),C是任一r p
阶矩阵，b是r 1常数向量，记Y CX b，则
Y Nr (C b,CC )
18
性质3：设随机向量
X
X1 X2
N
p
1 2
,
11 21
12 22
其中X1是k维随机向量，X 2是p k维随机向量，
1是k 1常数向量，2是( p k)1常数向量，
11为k阶方阵，12为k ( p k)阵，21为( p k) k 阵，22为p k阶方阵,且 | 22 | 0，则
19
(1)E(AX ) AE(X )
(2)E(AXB) AE(X )B
(3)D( AX ) AD( X ) A (4)Cov( AX , BY ) ACov( X ,Y )B
14
一元：X～N(μ,σ2)，密度函数
1
2
exp{
1
2 2
(x
)2}
15
定义5：设U (U1,U2, ,Uq ) 是随机向量，且 Ui (i 1, 2, , q)独立同分布，其中Ui N(0,1)，
4
众所周知，一元正态分布在数理统计的 理论及应用中都占据着重要的地位，主 要因为 (1)很多随机变量服从正态分布；
(2)根据中心极限定理，当样本容量很 大时，许多统计量的极限分布往往都 与正态分布有关.
5
多元统计分析中，多元正态分布也占据 着重要的地位. 原因也是相当多的实际 问题中，高维数据服从或近似服从正态 分布.
第七章 调查数据的多元统计分析
第七章调查数据的多元统计分析在调查数据的分析中，人们经常要研究多个随机变量之间的相互依赖关系以及内在统计规律，有时还要对复杂的研究现象进行分类和简化，进行此类分析就需要借助多元统计分析方法。
本章主要介绍聚类分析、判别分析、主成分分析和因子分析的基本原理及其应用。
第一节聚类分析一、聚类分析方法概述（一）聚类分析的含义聚类分析是一种分类的方法，主要用于辨认具有相似性的事物，并根据彼此不同的特性加以“聚类”使同一类的事物具有高度的相同性，而类与类之间却有着显著的差异。
聚类分析可以对变量进行聚类，即R型聚类；也可以对样本进行聚类，即Q型聚类。
实际中遇到较多的聚类问题是Q型聚类，例如：在对各个企业的产值、利润、设备、技术力量、资金、产品质量、新品种种类等各指标进行调查测定后，可将企业分成几类，如可能是“先进”、“一般”、“后进”等几类。
这属于对样品进行分类。
另外还可以对变量进行分类，比如在评定企业优劣时，一些指标可能测量的是企业的规模，另一些指标测的是企业的效益，还有一些指标可能测量的是企业潜在的力量，等等。
（二）聚类分析在市场调查中的应用（1）市场细分。
例如，可以根据消费者购买某产品的各种目的将消费者分类，这样，每个类别内的消费者在购买目的方面是相似的。
（2）了解购买行为。
聚类分析可以把购买者分类，这样有助于分别研究各类购买行为。
162163 （3）开发新产品。
对产品和品牌进行聚类分析，把他们分为不同类别的竞争对手。
在同一类别的品牌比其他类的品牌更具有竞争性时，还可以通过比较现有的竞争对手，明确新产品的潜在机遇。
（4）选择实验性市场。
通过把城市分类，选择具有可比性的城市检验不同的营销策略的效果。
二、相似性测度为了得到比较合理的分类，首先要采用适当的指标来定量地描述研究对象（样品或变量）之间的联系的紧密程度。
主要有以下三种：（1）距离测度。
（2）相关测度。
（3）关联测度。
其中相关测度和距离测度适用于间距测度等级及以上的数据，关联测度适用于名义测度和顺序测度。
【应用数理统计】7多元统计分析
主成分分析的基本思想
(以两个变量为例)
◼ 多维变量的情形类似，只不过是一个高维椭球，无法 直观地观察
◼ 每个变量都有一个坐标轴，所以有几个变量就有几主 轴。首先把椭球的各个主轴都找出来，再用代表大多 数数据信息的最长的几个轴作为新变量，这样，降维 过程也就完成了
◼ 主成分分析和因子分子正式解决这类问题的有效方 法。它们能够提取信息，使变量简化降维，从而使 问题更加简单直观
因子分析得到的是什么？
因子分析方法在部分领域应用的一些例子 ⚫ 心理学：心理学家瑟斯登对56项测验的得分进行因子分
析，得出了7中主要智利因子：词语理解能力，语言流畅 能力、计数能力、空间能力、记忆力、知觉速度和推理 能力 ⚫ 教育学：某师范大学在对以幼儿园3～6岁幼儿为对象， 通过33个项目的正式问卷，对1000名幼儿的评价结果进 行验证性因子分析，结果表明：教师评价的3～6岁幼儿 好奇心结构包括敏感、对未知事物的关注、好问、喜欢 摆弄、探索持久和好奇体验6个因子
(以两个变量为例)
◼ 椭圆中有一个长轴和一个短轴，称为主轴。在长轴方向，数据 的变化明显较大，而短轴方向变化则较小
◼ 如果沿着长轴方向设定一个新的坐标系，则新产生的两个变量 和原始变量间存在一定的数学换算关系，同时这两个新变量之 间彼此不相关，而且长轴变量携带了大部分的数据变化信息，而
短轴变量只携带了一小 部分变化的信息(变异)
0.5769
x8_s
0.4209
0.2938
0.1495
⚫ 表中的每一列表示一个主成分作为原来变量线性组合的系数，也 就是主成分分析模型中的系数aij
应用多元统计分析习题解答第七章
第七章因子分析7.1试述因子分析与主成分分析的联系与区别。
答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、 简化数据的技术。
②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。
因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇， 将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。
因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。
如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。
因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标 变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向， 归纳重要信息。
而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。
此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因 子模型。
7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。
目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。
具体来说，①因子 分析可以用于分类。
如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对 空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。
即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。
对我们进一步研究与探讨指示方向。
在社会调查分析中十分常用。
③因子分析的另一个作用是用于时空分解。
如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判 断各自的影响和变化规律。
7.3简述因子模型、一 m 卜中载荷矩阵A 的统计意义。
答：对于因子模型X i =a i 1F 1 - mF ?a j F j I" a m F m•；ii =1,2,Hl , pX i 与F j 的协方差为:mCov(X i , F j ) =Cov(' a ik F k °F j )k=im= Cov(' a ik F k ,F j ) Cov(「F j )k d= a ij若对X i 作标准化处理，=a j ,因此a ij 一方面表示X i 对F j 的依赖程度；另一方面也反映了 变量X i 对公共因子F j的相对重要性。
多元统计分析(人大何晓群)绪论PPT课件
考试
期中（20%） 期末（闭卷）（60%） 平时（20%）
上课+作业 注：作业大部分为上机作业，没有上机课，
但课堂上会演示。
18
2024/10/30
、宽等特征来 判别是男或女，根据挖掘出来的动物牙 齿的有关测试指标，判别它属于哪一类 动物、是哪一个时代的。
环境保护
研究多种污染气体的浓度与污染源的排 放和气象因子（风向、风速、温度、湿 度）等之间的相互关系。
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军事科学 研究某飞机洞库可燃性气体变化的规律以 及对气体浓度的预测。
生态学 对1000个类似的鱼类样本，如何根据测量的特 征如体重、身长、鳍数、鳍长、头宽等，将这 些鱼分成几个不同品种？
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地质学 在地质勘探中，如何根据岩石样本的多种特征 来判别地层的地址年代，是有矿还是无矿，是 铜矿还是铁矿等？
社会学 调查青年对婚姻家庭的态度、对文化和职业的 要求、对经济收入的态度、对老人的责任、对 相貌的重视等等作主要因素分析以便进行正确 的引导
3
如何同时对多个随机变量的观测数据进 行有效的分析和研究？
做法1：把多个随机变量分开分析（避免 不了变量之间的相关性，会丢失信息， 也不容易取得好的研究结果）。
做法2：同时进行分析研究（采用多元统 计分析方法，通过对多个随机变量观测 数据的分析，来研究变量之间的相互关 系以及揭示这些变量内在的变化规律。 4
某一产品用两种不同的原料生产，产品 的寿命有无显著差异？某商业行业今年 和去年的经营状况有无显著差异？（多 元正态的假设检验）
8
其他领域的应用
工业 企业经济效益的评价？ 服装企业如何确定适应大多数顾客的服装的主 要指标以及分类的型号？
农业 如何按照城乡居民消费水平，对我国30个省市 自治区进行分类？ 如何根据全国各地区农民生活消费支出情况研 究农民消费结构的趋势？
数理统计课件 多元统计分析
7 知，给定 X 2 = x2 ， X1 的条件分布为 N1(µ1,2 , Σ11,2 ) ，其中
， ， µ1,2 ⎜⎜⎝⎛
σ2 σ1
⎟⎟⎠⎞( x2
−
µ2 )
Σ11,2
=
σ
2 1
(1
−
ρ
2)
同理可得，在给定 X1 = x1 时 X 2 的条件分布为 N (µ2,1,Σ22,1 ) ， 其中
知， X ~ N p (µ, ∑)
性质
7
若
X
=
⎡ ⎢ ⎣
X1 X2
⎤ ⎥ ⎦
,
X
~
N p (µ, ∑), X1, X 2
分别是 m
维和
p − m 维向量，且| ∑ |≠ 0, µ 和 ∑ 也有相应的分块表示
µ
def
=
⎡ µ1 ⎢⎣µ2
⎤ ⎥⎦
,
∑
def
=
⎡ ∑11 ⎢⎣∑21
∑12 ⎤ ∑22 ⎥⎦
性质 3 若 C 为 m × p 矩阵， b 为 m × 1 向量，Y = CX + b ， 且 X 服 从 Np(µ,Σ) 分 布 ， 则 Y 服 从 m 维 正 态 分 布 ， 且
E(Y ) = Cµ + b ，Cov(Y ,Y ) = C ∑C T ，即 Y 服从 N m (Cµ + b,CΣC T ) 分布. 性质 3 说明，多维正态分布在线性变换下仍为多维
y = Q( x − µ) ，则 ( x − µ)T Σ−1( x − µ) = ( x − µ)T QT Q( x − µ) = yT y .这个变
换
的
雅
可
比
行
列
多元统计分析
01
处理大规模数据需要大量的存储空间，这可能对硬件设备的要
求较高。
数据处理速度
02
大规模数据的处理需要更快的计算速度，以便在合理的时间内
完成分析。
算法优化
03
针对大规模数据，需要开发更高效的算法和计算技术，以提高
分析的效率。
高维数据的挑战
数据稀疏性
高维数据往往具有很高的稀疏性，使得分析更加复杂。
计算复杂性
多元数据的中心化与标准化
中心化
将数据的均值为0，通过减 去均值的方法来实现。
标准化
将数据的标准差为1，通过 除以标准差的方法来实现 。
目的
中心化和标准化是为了让 数据具有更好的统计性质 ，方便进行后续的分析和 建模。
CHAPTER 03
多元统计分析的方法与技术
聚类分析
层次聚类
01
通过计算数据点之间的距离或相似性，将数据点组合
环境问题研究与可持续发展
环境问题诊断
利用多元统计分析方法，对环境问题进行诊 断和分析，为环境治理和可持续发展提供科 学依据。
可持续发展评估
通过评估环境、经济和社会发展的可持续性 ，为企业和政府制定可持续发展战略提供支 持。
CHAPTER 06
多元统计分析的挑战与未来 发展
处理大规模数据的挑战
数据存储
行为模式分析
通过对人们的行为模式进行分析，揭示不同人群的特征和差异，为市场调研、社会研究和政策制定提 供依据。
社会问题研究与政策制定
社会问题研究
利用多元统计分析方法，对社会问题进 行深入研究和分析，为政策制定和社会 改进提供科学依据。
VS
政策效果评估
通过对比政策实施前后的数据和效果，对 政策的有效性和影响进行评估，为政策的 调整和完善提供支持。
《多元统计分析讲义》第七章对应分析
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XXX
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§7.2 对应分析的基本理论
7.2.2 对应分析的基本理论 经过以上数据变换，在引入加权距离函数之后，或是 对行剖面集的各点进行式(7.8)的变换，对列剖面的各 点进行类似变换之后，就可以直接计算属性变量各状 态之间的距离，通过距离的大小来反映各状态之间的 接近程度，同类型的状态之间距离应当较短，而不同 类型的状态之间的距离应当较长，据此可以对各种状 态进行分类以简化数据结构。但是，这样做不能对两 个属性变量同时进行分析，因此不计算距离，代之求 协方差矩阵，进行因子分析，提取主因子，用主因子 所定义的坐标轴作为参照系，对两个变量的各状态进 行分析。
*
XXX
*
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§7.4对应分析的上机实现
打开GSS93 subset.sav数据，对变量Degree与变量Race进行对 应分析，依次点选Analyze→Data Reduction→Correspondence Analysis…进入Correspondence Analysis对话框。数据集中所 有的变量名（标签）均已出现左边的窗口中，将Degree变量 选入右侧行变量(Row)的小窗口中，此时该窗口显示的Degree 变量形如：Degree(? ?)，同时，其下方的Define Range按钮被 击活，点击该按钮，进入Define Row Range对话框，在该对 话框中需要确定Degree变量的取值范围，此处我们不研究缺 失值，最小值(minimum value)与最大值(maximum value)处分 别填上0和4，按右侧的update(更新)按钮，可以看到Degree的 取值0—4已出现在Category Constraints框架左侧的窗口中，该 框架的作用是对Degree的各状态加以限定条件的，保持默认 值none不变，即对Degree的取值不加以限定条件。
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些是用于编码蛋白质的序列片段，即由这4个字
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符组成的64种不同的3字符串，其中大多数用于 编码构成蛋白质的20种氨基酸. 又例如，在不用 于编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特别 多些，于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究 DNA序列的结构也取得了一些结果. 此外，利用 统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关 性，等等. 这些发现让人们相信，DNA序列中存
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译这部“天书”是二十一世纪最重要的任务之一. 在这个目标中，研究DNA全序列具有什么结构， 由这4个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什 么规律, 又是解读这部天书的基础，是生物信息 学 (Bioinformatics) 最重要的课题之一. 虽然人 类对这部“天书”知之甚少, 但也发现了DNA序 列 中的一些规律性和结构. 例如，在全序列中有一
后用你认为满意的方法，对另外20个未标明类别
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的人工序列（标号21—40）进行分类，把结果用 序号（按从小到大的顺序）标明它们的类别（无 法分类的不写入）： A类 ； B类 . 问题二：请对 182个自然DNA序列进行分类. 它 们都较长. 用你的分类方法对它们进行分类，并 给出分类结果.
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3.1.3
距离判别的不足
距离判别方法简单实用，容易实现，并且结论的 意义明确. 但是，距离判别具有明显的缺憾，因 为这种判别方法没有考虑： (1) 没有考虑各总体本身出现的可能性； (2) 错判造成的损失在距离判别中也没有考虑. 为了克服这些不足，下面介绍Bayes判别.
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联系题目中所给的背景知识，对该问题我们有了
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清晰的认识：根据所给的20个已知类别的DNA序 列所提供的信息, 对另外20个未标明类别的DNA 序列进行分类，进而对182个自然DNA序列进行 分类！ 如果将每一个DNA序列都看作样本，那么该问题 就进一步提炼成一个纯粹的数学问题： 设有两个总体(类)G1和G2,其分布特征（来自各个
1 1 X X j n1 j 1
1 n1
1 1 1 1 1 T S ( X j X )( X j X ) n1 1 j 1
1
n1
1 X X2 j n2 j 1
2
n2
1 S ( X 2 X 2 )( X 2 X 2 )T j j n2 1 j 1
2
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n2
i (i 1,2,, k )
3.1.2
ห้องสมุดไป่ตู้
多总体的距离判别
G 设有k个m元总体： 1, G2 ,, Gk ，它们的均值
为： i (i 1,2,, k )，协方差为：i (i 1,2,, k ) .
对于新的样品X，需要判断它来自那个总体. 对于多个总体的情况，完全类似于两个总体的处 理过程，步骤如下： 第一步：计算样品X到每个总体的马氏距离；
数学建模简明教程
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第七章 多元统计分析
一、问题引入 二、思路点拨 三、判别分析方法 四、DNA序列分类问题的求解
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一、问题引入与分析
2000年“网易杯”全国大学生数学建模竞赛 的 A题是关于“DNA序列分类”的问题 ： 人类基因组中的DNA全序列是由4个碱基 A, T, C, G按一定顺序排成的长约30亿的序列, 毫无 疑问, 这是一本记录着人类自身生老病死及遗传 进化的全部信息的“天书”. 但是, 除了这四种碱 基 碱基外, 人们对它所包含的内容知之甚少,如何破
DNA序列网址: /mcm00/problems.htm
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二、思路点拨
在着手解决上面所提问题之前，我们不妨有意的 撇开问题的实际背景，直奔主题——这样处理将 有助于我们迅速的抓住问题的经脉！细读全题， 不难发现，该问题的本质就是要求大家根据已有 的信息对未知事物进行分类！认清了这一点，再
在着局部的和全局性的结构，充分发掘序列的结
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构对理解DNA全序列是十分有意义的. 作为研究DNA序列的结构的尝试，试对以 下序列进行分类： 问题一：下面有20个已知类别的人工制造的序列 (见附件1)，其中序列标号1—10 为A类，11-20为 B类. 请从中提取特征，构造分类方法，并用这些 已知类别的序列，衡量你的方法是否足够好. 然
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3.2 贝叶斯判别 所谓贝叶斯(Bayes)判别，就是在考虑各总体的先 验概率和错判损失情况下,给出空间的一个划分：
D {D1, D2 ,, Dk }
使得运用此划分来判别归类时，所带来的平均错 判损失最小.
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贝叶斯(Bayes)判别问题的数学描述为： 设有k个m维的总体 G1, G2 ,, Gk ，其密度函数分 别为 f1( x), f 2 ( x),, f k ( x) ，若已知这个总体各自 出现的概率(先验概率) q1q2 ,, qk ( qi 0 且 qi 1 ) 假设已知将本来属于总体Gi的样品错判为总体Gj 所造成的损失为 L( j | i)(i, j 1,2,, k ), 在这样的情 形下，对于新的样品X，判断它来自那个总体.
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3.1
距离判别
距离判别的基本思想是：样品离哪个总体的距离 最近，就判断属于哪个总体. 我们首先考察欧几里得距离的情形： 在m维空间Rm中，两点与的欧几里得距离(也就 是通常我们所说的距离)定义为
d 2 ( X ,Y ) ( X1 Y1)2 ( X 2 Y2 )2 ( X m Ym )2
如果W ( X ) 0 如果W ( X ) 0
(3)
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1 , 2 , 1 , 2
C 1, 2 , 1, 2 的估计 在实际应用中，总体的均值和协方差阵一般是未 知的，我们所知道的仅仅是一组样本或者观测值, 在这种情况下，就需要利用数理统计的知识，对
1, 2 , 1, 2 进行估计,根据已知样本,其无偏估计:
di2 ( X )(i 1,2,, k )
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第二步：比较的 di2 ( X )(i 1,2,, k ) 大小，将样品 判为距离最小的那个总体. 如果均值 i (i 1,2,, k ) 和协方差 i (i 1,2,, k )
未知，可以类似两个总体的情形运用训练样本来 进行估计.
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样本的类别进行预测. BP神经网络可以用以解决 上面的DNA序列分类问题, 但是, 如何提取特征、 如何提高网络的训练效率、如何提高网络的容错 能力、如何建立网络结构是能否成功解决DNA序 列分类问题的关键所在；聚类分析和判别分析都 是多元统计分析中的经典方法，都可以用来将对 象(或观测值)分成不同的集合或类别，但是，聚
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在欧几里得距离的定义下，考虑下面问题：设有
X ~ N ( 1, 2 ) Y ~ N ( 2 ,6 2 ) 两个正态总体 G1,G2,
现在有一个样品位于A处，从图中不难发现：
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A到G1的中心欧几里得距离比到G2中心的欧几里 得距离近，是否A处的样品属于总体呢？ 不是. 因为从概率的角度来看，总体G2的样本比较分散, 而总体G1的样本则非常集中，因此A处的样品属 于总体G2的概率明显大于属于总体G1的概率， 也就是说，A处的样品属于总体G2的“可能性” 明 显大于属于总体G1的“可能性”！
上面判别式可以进一步简化为 X G1 , 如果W ( X ) 0 (2) X G2 , 如果W ( X ) 0 通常地,ａ称为判别系数向量,W 称为线性判别函数.
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注 判别准则(1)式或者(2)式将m维空间Rm划分 成两部分: D1 { X | W ( X ) 0}, D2 { X | W ( X ) 0} 距离判别的实质就是：给出空间Rm的一个划分 D1,D2 ,如果样品X落入之D1中，则判定 X G1 ； 如果样品X落入之中D1，则判定 X G2.
总体的样本）已知，对给定的新样品，我们需要
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判断其属于哪个总体(类). 对此类数学问题，有很多成熟的方法，如： 1) BP神经网络； 2) 聚类分析； 3) 判别分析； 如何选取方法是建模中需要解决的另一个问题： BP神经网络是人工神经网络的一种，它通过对训
练样本的学习，提取样本的隐含信息，进而对新
类分析更侧重于“探索”对象（或观测值）的自 然
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分组方式，而判别分析则侧重于将未知类别的对 象 (或观测值) “归结” (或者说, 分配) 到已知类 别 中. 显然，判别分析更适合用来解决上面的DNA 序列分类问题.
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三、判别分析方法
判别分析是用于判别样品所属类别的一种多元统 计分析方法. 判别分析问题都可以这样描述：设 有k个m维的总体G1,G2,…,Gk，其分布特征已知 (如已知分布函数分别为或者已知来自各个总体 的样本)，对定的一个新样品，需要判断其属于
X ij ( xij1, xij 2 ,, xijm )T
其中i表示来自哪个总体, j表示来自总体Gi的样本
量, 表示每个样本的维数.
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X G12
A ∑1=∑2=∑时的判别方法 要判断新样品X来自哪个总体,只要分别计算新样 品到两个总体的马氏距离 d 2 ( X , G1 ) 和 d 2 ( X , G2 ) ：