大学物理-第04章 角动量守恒与刚体的定轴转动2
合集下载
03_04_刚体定轴转动的角动量定理
细棒碰撞前后对 O 点的角动量守恒：
棒碰撞后的瞬时绕 O 点的转动角速度：
例题 如图 XCH001_148 所示，一根放在光滑平面上质量为 m ，长度为 l 的匀质棒，可以绕通过 O 点的垂直轴转动。初始时静止。现有一颗质量为 m ，速率为 V 的子弹垂直射入棒另一端，并且留在 棒中。问：
-6-
CREATED BY XCH
卫星在远地点的速度大小： vB
rA R v A 6.32km / s rB R
2) 刚体定轴转动的角动量守恒定律 如果刚体受到的外力矩为零 刚体对定轴的角动量守恒： J Constant 5 刚体力学习题分析 —— 角动量守恒定律 1) 确定研究的对象：刚体和质点 2) 分析研究对象受力和对转轴的力矩是否为零？确定角动量守恒，选取转轴正方向 3) 应用角动量守恒列出方程 4) 求出相关的物理量 例题 如图 XCH001_144 所示，质量为 m 的小球在穿过铅直管绳子的作用下，在光滑平面上运动。 初始小球以速度大小 v0 和半径 r0 作圆周运动，向下拉绳使小球的运动轨迹为半径为 r1 圆。求: 1) 此时小球的速度大小； 2) 由 r0 缩短到 r1 的过程中，力 F 做的功。 研究对象为小球 1) 小球受到的力为 F、重力和平面支承力，三个力对过 O 点垂直 于平面的 Z 的力矩为零，根据角动量守恒定律
dL dL dp —— r F M r dt dt dt Mdt dL —— 角动量定理
2) 刚体定轴转动的角动量定理
L J —— Mdt d ( J ) —— 刚体定轴转动角动量定理的微分形式
在时间 t1 t 2 ，刚体转动角速度 1 2
L r mv —— 如图 XCH001_034 所示
大学物理 刚体的定轴转动-2
第3章 刚体的定轴转动
Rotating of a Rigid Body About a Fixed Axis
第1节 刚体的平动和转动 第2节 刚体定轴转动定律 第3节 刚体转动的功和能 第4节 刚体的角动量定理
和角动量守恒定律 第5节 进动
思考. 1、一轻绳跨过一质量为 m、半径为 R
的定滑轮（视为圆盘），绳两端各悬两物， m1 < m2 ， 所受的摩擦阻力矩为 Mr ，绳与滑 轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳 的张力。
质对点质角点动：量J =Lrm=r，2rr ×r仅mvr⊥rrvr部⊥ v分r L = mr2ω J
例1. 一轻绳跨过一质量为M 、半径为 R的定滑轮
（摩视擦为阻圆力盘矩）为，M绳r ，两绳端与各滑悬轮两间物无，相m对1 <滑m动T2 ，1。=所试T受求2的：??
物体的加速度和绳的张力。 arτ = βr × rr 解: 一、隔离法 研究对象 m1 m2 M
m1
.m R
m2
定轴O
m·
R 2、已知：绳轮无相对滑动，绳不可
伸长,下落时间t=3,R=0.2m,m=1kg,
绳 v0=0
h=1.5m, v0 =0.求：轮对轴的J
m
t h 3、刚体系统内力矩做功吗？
一、刚体的平动
质心运动定理 Fr合外 = Marc pr = Mvrc
rrc =
∑ mirri ∑ mi
Ek + Ep = C
Ek + Ep = C
∑ J = ∆miri2 (分立) Mz = 0 L = Jω
m r
J = 2 mR2 + mr2 5
发动机带动套
m 管上下移动时， ω变化
Rotating of a Rigid Body About a Fixed Axis
第1节 刚体的平动和转动 第2节 刚体定轴转动定律 第3节 刚体转动的功和能 第4节 刚体的角动量定理
和角动量守恒定律 第5节 进动
思考. 1、一轻绳跨过一质量为 m、半径为 R
的定滑轮（视为圆盘），绳两端各悬两物， m1 < m2 ， 所受的摩擦阻力矩为 Mr ，绳与滑 轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳 的张力。
质对点质角点动：量J =Lrm=r，2rr ×r仅mvr⊥rrvr部⊥ v分r L = mr2ω J
例1. 一轻绳跨过一质量为M 、半径为 R的定滑轮
（摩视擦为阻圆力盘矩）为，M绳r ，两绳端与各滑悬轮两间物无，相m对1 <滑m动T2 ，1。=所试T受求2的：??
物体的加速度和绳的张力。 arτ = βr × rr 解: 一、隔离法 研究对象 m1 m2 M
m1
.m R
m2
定轴O
m·
R 2、已知：绳轮无相对滑动，绳不可
伸长,下落时间t=3,R=0.2m,m=1kg,
绳 v0=0
h=1.5m, v0 =0.求：轮对轴的J
m
t h 3、刚体系统内力矩做功吗？
一、刚体的平动
质心运动定理 Fr合外 = Marc pr = Mvrc
rrc =
∑ mirri ∑ mi
Ek + Ep = C
Ek + Ep = C
∑ J = ∆miri2 (分立) Mz = 0 L = Jω
m r
J = 2 mR2 + mr2 5
发动机带动套
m 管上下移动时， ω变化
刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
解: 昆虫落到杆上为完全非弹性碰撞，对于昆虫和杆 构成的系统，昆虫重力忽略，系统角动量守恒
l 1 2 l 2 mv 0 [ ml m( ) ] 4 12 4 12 v 0 7 l
O
l 4
v0
定轴转动刚体的角动量定理 d( J z ) Mz dt
昆虫的爬行，会改变系 统的转动惯量和外力矩
定轴转动刚体的角动量定理 M z
恒定
d( J z ) dt
M z mgr cos
1 2 J z ( ml mr 2 ) 12
dJ z Mz dt
dr mgr cos 2mr dt
dr g cos v dt 2
7lg 12 cos( v0t ) 24v0 7l
d 进动的角速度: p dt dLo Lo dt Mo Mo Lo J
Mo
Lo dLo
为什么炮筒内壁上刻有螺旋线(又称来复线)?
f
c
r
mg p
v
L
O
l 4
昆虫的爬行，会改变系 统的转动惯量和外力矩
四、 进动 (Precession) (又叫旋进)* 高速自旋物体的转轴在空间转动的现象称为进动。
p
O
r
Mo
O Lo
mg
dLo d dLo 角动量定理 M o dLo M o dt o o' L (俯视图) o dt dLo方向与 M o 方向相同, dt 时间内轴 OO' 转过 d 角
讨论: 2 y L 时，水平方向动量守恒的验证 3 均质棒 子弹 作用前 作用后 mv0
大学物理《刚体的定轴转动》PPT课件
0
i
ri
O
f ji
rij
j
rj
由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为 零，因此内力矩之总和为零
i 1
n
n d ri Fi外 ( ri mi vi ) dt i 1
作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系 角动量对时间的变化率，这就是质点系对固定点 的角动量定理。
2
讨 论：
⑴转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度; ⑵转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置 及刚体的质量分布有关：质量分布离轴越远，转动惯量 越大。 同一刚体,转轴不同,质量对转轴的分布不同,因而转 动惯量不同。即转动惯量具有相对性。 ⑶转动惯量具有迭加性; 如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为J1,J2,J3, 则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3
三
刚体的转动定律
d M iz J dt J
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上 的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
刚体转动定律在定轴转动中的地位相当于牛顿第二 定律在质点力学中的地位，且由此可以看出，定轴转动中的转 动惯量相当于质点力学中的质量，都是惯性大小的量度。
小贴士：
质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆 周运动，则这时
d 2 M [( m r iz dt i i ) ]
令转动惯量
J mi ri
2
——刚体转动时惯性大小的量度
dLz d M iz dt J dt
d M iz J dt J
式中Lz＝Jω，即为质点系对z轴的角动量的表示 式。也适用于刚体系统。
vo
i
ri
O
f ji
rij
j
rj
由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为 零，因此内力矩之总和为零
i 1
n
n d ri Fi外 ( ri mi vi ) dt i 1
作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系 角动量对时间的变化率，这就是质点系对固定点 的角动量定理。
2
讨 论：
⑴转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度; ⑵转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置 及刚体的质量分布有关：质量分布离轴越远，转动惯量 越大。 同一刚体,转轴不同,质量对转轴的分布不同,因而转 动惯量不同。即转动惯量具有相对性。 ⑶转动惯量具有迭加性; 如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为J1,J2,J3, 则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3
三
刚体的转动定律
d M iz J dt J
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上 的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
刚体转动定律在定轴转动中的地位相当于牛顿第二 定律在质点力学中的地位，且由此可以看出，定轴转动中的转 动惯量相当于质点力学中的质量，都是惯性大小的量度。
小贴士：
质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆 周运动，则这时
d 2 M [( m r iz dt i i ) ]
令转动惯量
J mi ri
2
——刚体转动时惯性大小的量度
dLz d M iz dt J dt
d M iz J dt J
式中Lz＝Jω，即为质点系对z轴的角动量的表示 式。也适用于刚体系统。
vo
4刚体转动及角动量守恒
刚 体 公式对比 角位移
的 定 轴 转 动
位移 速度
加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动
角速度
角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
刚体转动定律引言
质点
或
刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力
惯性质量
合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
（转动惯量 ） 回转体
回转体质量呈轴对称分布； 轴摩擦及空气阻力很小。
受合外力矩为零 角动量守恒 恒矢量
其中转动惯量 基 座 万 向 支 架 使其以角速度 为常量
若将回转体转轴指向任一方向 高速旋转
则转轴将保持该方向不变 而不会受基座改向的影响
乘积
角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
∑
∑
所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动
∑
对质量连续分布的刚体
刚体的角动量定理
回忆质点的角动量定理 （微分形式）
（积分形式）
（微分形式）
合外力矩
角动量的时间变化率
（积分形式）
冲量矩
角动量的增量
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳 （忽略质量） 同向 ∑ 而 解得
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=mR2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
I=
m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心
I=
mR 2
2
2 m R2 I= 3
大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料
mg FT2 ma2
FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1
r
J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W
0
Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2
R
mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半 径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1
mAmB g
mA mB mC
2
T2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
第四章 刚体的定轴转动
9
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的定轴转动
7
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 茹可夫斯基凳
m
m
ω
第四章 刚体的定轴转动
r2
r1
8
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 直升机螺旋桨的设置
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
3
刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
in 合外力矩 M 对定轴转的刚体 i 0 ，
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt
ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL 刚体定轴转动 M dt dt 的角动量定理
第四章 刚体的定轴转动
5
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：
9
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的定轴转动
7
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 茹可夫斯基凳
m
m
ω
第四章 刚体的定轴转动
r2
r1
8
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 直升机螺旋桨的设置
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
3
刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
in 合外力矩 M 对定轴转的刚体 i 0 ，
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt
ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL 刚体定轴转动 M dt dt 的角动量定理
第四章 刚体的定轴转动
5
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：
4.大学物理电子教案角动量守恒与刚体的定轴转动
第四章 角动量守恒与刚体的定轴转动(Law of conservation of angular and fixed-axis rotation of rigid body)§4-1 角动量与角动量守恒定律(angular momentum and law of conservation of angular)一、角动量(angular momentum) 1、引言(foreword)大量天体观测显示c r m v =θs i n夹角速度质量位矢v r v m r ,--------θ2、定义(definition))(v m r p r L ⨯=⨯=大小：θsin rmv L =方向：)(v m r ⨯ 右手螺旋法则决定二、质点的角动量定理及其守恒(theorem of angular momentum of particle and its conservation)1、微分式(form of differential)（1） 形式MF r dt p d r dtv m d r v m dtr d dtL d =⨯=⨯+=⨯+==0)()(（2） 物理意义角动量对时间的导数＝质点受到的力矩2、积分形式(form of integral)（1） 形式积分上式，得LL L d dtM -==⎰⎰（2） 物理意义质点获得的冲量矩=⎰dl m 角动量的变化0L L -3、特例(cpecial case)（1） 形式当0=M 时，有 0L L -=0，即0L L =（2） 物理意义当质点不受外力矩或合外力矩为零（如有心力作用）时，质点的角动量前后不改变。
三、质点系的角动量定理1、 微分形式(form of differential)（1） 形式角动量 i L L ∑=求导：)(外内i i i i i F F r F r dtL d +⨯∑=⨯∑=外内i i MM+∑=(）对于j i .一对内力矩j j i i i F r F r M⨯+⨯=外由于i j F F -=，所以i j i ij F r r M ⨯-=)(==i F故外MdtL d =（2） 物理意义质点系 角动量的导数=它所受到的合外力矩3、积分形式(form of integral)（1） 形式LL L d dtM -==⎰⎰( 2 ) 物理意义质点系角动量的增量=它所获得的冲量矩四、质点系的角动量守恒1、条件(condition)0=外M2、结果(result)2112,0L L or L L L ==-=∆ 3、产生(produce)（1） 大量观察（综合）结果（2） 将条件代入质点系动量定理也可作特殊例导出。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件
转动惯量的特性
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
角动量守恒与刚体定轴转动
太 阳 系 中 的 行 星
变变 变
大小未必会变。靠什么判断？
质点角动量定理
导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？
思路： 分析
与什么有关？
由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
等于
位置 矢量
叉乘
所受的 合外力
而微分形是式力矩的矢量表达：
即 力矩
大小
方向 垂直于
所决定
的平面，由右螺旋法 则定指向。
其法向n 分量均通过转轴，
不产生转动力矩。
其切向t 投影式为
r Fi sin j i + fi sinq i
= a it =
ib
r 等式两边乘以 i
并对所有质元及其所受力矩求和
r r r ∑ Fi i sin j i + ∑ fi i sinq i = ∑
ib
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
M = ∑ ri b
主要概念
使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
合外力矩
M1
外力在转动平面上对转
轴的力矩使刚体发生转动
F2
j2
Ft 2
Ft 1
r2 O r1
P2 d2 d1
P1
F1 力矩 M1 = r1 × F1 j1 大小 M1 = r1 F1 sin j1
= F1 d1 =Ft 1 r1
方向 MM2 = r2 × F2
本章题头
内容提要
Contents chapter 4
角动量与角动量守恒
angular momentum and law of conservation of angular momentum
大学物理-刚体的定轴转动-习题和答案
第4章 刚体的定轴转动 习题及答案1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否随时间变化？答：当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。
刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v l ω=，所以一定有切向加速度t a l β=，其大小不变。
又因该点速度的方向变化，所以一定有法向加速度2n a l ω=，由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。
2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？答：刚体是一个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z 转动时，动量矩定理的形式为zz dL M dt=，z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩，z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。
()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑，代表刚体对定轴的转动惯量，所以()z z dL d d M I I I dt dt dtωωβ====。
既 z M I β=。
所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式，及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。
3．两个半径相同的轮子，质量相同，但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比较均匀，试问：（1）如果它们的角动量相同，哪个轮子转得快？（2）如果它们的角速度相同，哪个轮子的角动量大？答：(1)由于L I ω=，而转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大，故角速度小，转得慢，质量分布比较均匀的轮子转得快；（2）如果它们的角速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。
4．一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动，问平台如何运动？如小汽车突然刹车，此过程角动量是否守恒？动量是否守恒？能量是否守恒？答：玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动时，平台将沿相反方向转动；小汽车突然刹车过程满足角动量守恒，而能量和动量均不守恒。
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
考虑到
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解： 系统对转轴 角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
I
i i
i
const.
但角动量可在内部传递。
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论
守 恒条件:
0 ，则
L I 常量
M 0
若 I 不变， 不变；若 I 变， 也变，但 L I 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中
M M L 常量
解：在走动过程中,人－盘系统 L=const. 设任意时刻，人对盘: ；盘对地: 则有 mR2 ( ) 1 MR 2 0 2
2m 2m M
2m dt dt 2m M
0
2m d 2m M
2
0
d
y FN
FT
O 图(a)
W
x
FNx ma c x
FT mg FNy ma c y
根据转动定理
2 7 FT R mg R mR 2 z 3 9
起动时
ac x 0
ac y
2 zR 3
a z R
67 FT mg 90
FNx 0
FNy
29 mg 90
2、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？ 3、若将杆换成软绳系一质量为 M 的重物，在 水平方向上动量是否守恒？
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解： 系统对转轴 角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
I
i i
i
const.
但角动量可在内部传递。
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论
守 恒条件:
0 ，则
L I 常量
M 0
若 I 不变， 不变；若 I 变， 也变，但 L I 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中
M M L 常量
解：在走动过程中,人－盘系统 L=const. 设任意时刻，人对盘: ；盘对地: 则有 mR2 ( ) 1 MR 2 0 2
2m 2m M
2m dt dt 2m M
0
2m d 2m M
2
0
d
y FN
FT
O 图(a)
W
x
FNx ma c x
FT mg FNy ma c y
根据转动定理
2 7 FT R mg R mR 2 z 3 9
起动时
ac x 0
ac y
2 zR 3
a z R
67 FT mg 90
FNx 0
FNy
29 mg 90
2、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？ 3、若将杆换成软绳系一质量为 M 的重物，在 水平方向上动量是否守恒？
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
7
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量
刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动
量之和．
Li miri2
L Li (miri2) ( miri2 ) J
i
i
i
刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的 转动惯量与角速度的乘积．方向沿该转动 轴，并与这时转动的角速度方向相同．
dt
dt
作用在质点上的力矩等于质 点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量 定理。
第3章 刚体力学基础
uv
dL
rv
v F
vv
mvv
dt v
v dL
M
dt
tr r r
t0 Mdt L L0
tr
Mdt 叫冲量矩 t0
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
3
3.质点角动量守恒定律
若 M 0 ，则
r L
rr
mvv 常数
质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点 对该固定点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律。
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
4
例3.7 在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块， 木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
10
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
艺术美、人体美、物理美相互结合
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体力学第2讲——定轴转动中的功能关系刚体的角动量定理和角动量守恒定律
圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度w0匀速转 动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转
动相反方向作圆周运动(如图) 求：1) 圆盘对地的角速度．
2）欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周对圆盘的速 度的大小及方向？
R
R/2 v
解：取人和盘为系统，
M 外 0 系统的角动量守恒.
R /2
Ro
v
(1)开始系统的角动量为
m
12 R
2
0
1 2
M
R 20
后来：
m
1 4
R 2 mE
1 2
M
R 2 ME
mE ME mM 21 M R 20 / 40
R /2
Ro
v
MR 40
2
ME
2v R
M
R 2 ME
/2
为
亦即l>6s；当‘’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l<6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由 机械能守恒定律求得：
mgh 1 1 ml 2 2
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
解 这个问题可分为三个
阶段进行分析。第一阶段 是棒自由摆落的过程。这
O
时除重力外，其余内力与
外力都不作功，所以机械
能守恒。我们把棒在竖直
C
位置时质心所在处取为势
能零点，用表示棒这时
的角速度，则
mg l 1 J 2＝1 1 ml 2 2
22
23
（1）
动相反方向作圆周运动(如图) 求：1) 圆盘对地的角速度．
2）欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周对圆盘的速 度的大小及方向？
R
R/2 v
解：取人和盘为系统，
M 外 0 系统的角动量守恒.
R /2
Ro
v
(1)开始系统的角动量为
m
12 R
2
0
1 2
M
R 20
后来：
m
1 4
R 2 mE
1 2
M
R 2 ME
mE ME mM 21 M R 20 / 40
R /2
Ro
v
MR 40
2
ME
2v R
M
R 2 ME
/2
为
亦即l>6s；当‘’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l<6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由 机械能守恒定律求得：
mgh 1 1 ml 2 2
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
解 这个问题可分为三个
阶段进行分析。第一阶段 是棒自由摆落的过程。这
O
时除重力外，其余内力与
外力都不作功，所以机械
能守恒。我们把棒在竖直
C
位置时质心所在处取为势
能零点，用表示棒这时
的角速度，则
mg l 1 J 2＝1 1 ml 2 2
22
23
（1）
题解--刚体的定轴转动和角动量守恒
2、定律+运动学 作业：二：9、三：1
刚体所受的对某 定轴的合外力矩
转动定律应用
刚体获得的 角加速度
步骤：
对该轴的 转动惯量
1受力分析、求合力矩
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。
在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为负。
2由定律列方程 合外力矩 与合角加速度
方向一致。
2
2
9、 阻力矩
M k2
由刚体的定轴转动定律得 M k 2 J
得
k2 / J
0 / 3时 k02 /(9J )
d k2 / J
dt
d k
2
J
dt
两端积分
d t k
dt
2
0
0
J
得 1 1 kt
v2 2 | a1 | h
a1 r
A mg T1 ma1
B T mg ma2 a1 r a2 2r
v 0.9077m / s v 9.077rad / s
r
a1
解之得 2g 10.3m / s
19r
负号表示运动方向与所设方向相反
T1' T1
11、B 13、C 14、C 15、A 16、B
12、C
角动量守恒
J 0
J0 3
'
mvl ( ml 2 ) ml 2
3
J0 J ' mR2 '
mvL m 1 vL 1 ML2
23
17、B
18、B 2 k; r 3i 4 j 5k;v r
刚体所受的对某 定轴的合外力矩
转动定律应用
刚体获得的 角加速度
步骤：
对该轴的 转动惯量
1受力分析、求合力矩
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。
在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为负。
2由定律列方程 合外力矩 与合角加速度
方向一致。
2
2
9、 阻力矩
M k2
由刚体的定轴转动定律得 M k 2 J
得
k2 / J
0 / 3时 k02 /(9J )
d k2 / J
dt
d k
2
J
dt
两端积分
d t k
dt
2
0
0
J
得 1 1 kt
v2 2 | a1 | h
a1 r
A mg T1 ma1
B T mg ma2 a1 r a2 2r
v 0.9077m / s v 9.077rad / s
r
a1
解之得 2g 10.3m / s
19r
负号表示运动方向与所设方向相反
T1' T1
11、B 13、C 14、C 15、A 16、B
12、C
角动量守恒
J 0
J0 3
'
mvl ( ml 2 ) ml 2
3
J0 J ' mR2 '
mvL m 1 vL 1 ML2
23
17、B
18、B 2 k; r 3i 4 j 5k;v r
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∑
转轴
∑
0.75
质量连续分布的刚体 直棒算例
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 质心 例如： 代入可得 端
时
新轴
质心轴
匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元
可看成是许多半径不同的共轴 匀质实心球对心轴的 球体算例 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为
定轴转动参量
1. 角位臵
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
单位：
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=mR2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
I=
m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心
I=
mR 2
2
2 m R2 I= 3
转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为复。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
q
q
根据
1 2 1 2
q
q
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
本章题头
内容提要
角动量与角动量守恒
Contents
chapter 4
angular momentum and law of conservation of angular momentum
刚体的定轴转动
rotation of rigid-body with a fixed axis
刚体作定轴转动时的功能关系
=
r
r
转动惯量的计算
将刚体转动定律 M
=I b
与质点运动定律 F
= m a 对比
转动惯量
I
是刚体转动惯性的量度
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
I
∑
质量连续分布的刚体用积分求 I
I I
的单位为
为体积元
处的密度
分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球（视为质点） 的轻细硬杆的质量可以忽略， 则
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为 ( T2 – T1 ) R – Mr= Ib 再联立求解。
细绳缠绕轮缘 （A） （B）
转动定律例题三
（A）
R
R
m
m
（B）
恒力
F
m1
滑轮角加速度 b 细绳线加速度 a
R = 0.1m m = 5kg m 1 = 3kg m 2 = 1kg
物体从静止开始运动时，滑轮的 转动定律例题四 转动方程
Fi sin j i + f i sin q i = a it = ri b
受外力 Fi 受内力 fi ai Fi + f i = 其法向n 分量均通过转轴， 不产生转动力矩。 其切向 t 投影式为
r
ri
b
b
M
=
∑
ri
转动惯量
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元 M
Fi
t
qi
n
fi
刚体所获得的角加速度i sin的大小与刚体受到的 ∑ Fi ri sin j i + ∑ f i r qi = ∑ ri b 合外力矩 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 的大小成正比， 得 与刚体的转动惯量 成反比。 M= ∑ ri b
O
ji
ri
等式两边乘以 i 即 并对所有质元及其所受力矩求和
sin j i + f i sin q Fi刚体的转动定律i = a it = ri b
受外力 Fii 受内力 fi b ∑ ai Fi + f i = 与刚体性质及质量分布有 其法向n 分量均通过转轴， 关的物理量，用 I 表示 不产生转动力矩。 称为 转动惯量 其切向 t 投影式为
对
质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
b
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
得 故
a = Rb I = 2 mR2
常量
1
b
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2)
由
m2
a
G2 G1
M = M1 + M 2
M = F1 d 1
r Ft F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋2 r2 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬 时角加速度为 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
线量与角量的关系
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
质点直线运动或刚体平动
刚体的 公式对比 定 轴 转 动 角位移
位移 速度
加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动
与
时刻对应，何时 何时
则何时 恒定 则何时
， 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例题二 2 – T1 ) R = Ib 转动 ( T
R
T2
m T1
a
m2 m1
轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑 （以后各例同）
I=mR2 2 b 平动 m2 g – T2 = m2a T1 – m1 g = m1a T1 T2 a = Rb 线-角 T1 T2 联立解得 a a m2 m1 g g a= 1 G1 m1+ m2+ 2 m G2 T1 = m1 ( g + a ) m1 g T2 = m2 ( g – a ) m2 g
定轴转动
平面运动
4-2
定点运动 一般运动
刚体任意 刚体质心 刚体上 rotation of rigid-body with a fixed axis 刚体每点 限制在一平 两点的连线 复杂 绕同一轴线 面内，转轴 各质点都 保持方向不 以某一定 的运动 变。各点的 作圆周运动，可平动，但 点为球心 与平动 且转轴空间 始终垂直于 的各个球 的混合。 位臵及方向 该平面且通 相同，可当 不变。 面上运动。 过质心 作质点处理。
j2
F1 t
O
r2
P2
r1
P1
F1
j1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1 方向
d2 d1
M2
合外力矩 大小
大小
= F1 d 1 = Ft 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin j 2 F = F2 d 2 = Ft 2 r2
角速度
角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
刚体转动定律引言
质点
或
刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力
惯性质量
合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
合外力矩
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
F2
Ft 2
转动方程求导例题
rad rad s -1
rad s -2 rad
rad s -1 rad s -2
匀变角速定轴转动
rad
150p 100p 50p p 53p 52p 51p 50p
rad s
1
rad s
2
p
t
s
t
s
t
s
积分求转动方程
恒量
且t=0 时
得
得
任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程
或
匀变角速定轴转动的运动方程
relation of work with energy in rotation of rigid-body
刚体的角动量守恒
law of conservation of angular momentum of rigid-body
第二节
刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）
平 动
的薄圆盘的转动惯量为
其中
常用结果 匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面
匀质细直棒
转轴通过端点与棒垂直
R
m
m
L
1 mR2 I= 2
1 mL2 I= 3
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴