2017届高考数学(理)一轮复习对点训练：5-1-1平面向量的线性运算及几何意义.doc

1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )
A.AD →＝－13AB →＋43
AC → B.AD →＝13AB →－43
AC → C.AD →＝43AB →＋13
AC → D.AD →＝43AB →－13
AC → 答案 A
解析 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43
AC →，故选A. 2．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2
＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
答案 B
解析 解法一：因为A ，B ，C 均在单位圆上，AC 为直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，
|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|，又|PB →|≤|PO →|＋1＝3，所以|P A →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7，故其最大值为7，选B.
解法二：因为A ，B ，C 均在单位圆上，AC 为直径，不妨设A (cos x ，sin x )，B (cos(x ＋α)，
sin(x ＋α))(α≠k π，k ∈Z )，C (－cos x ，－sin x )，P A →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6，sin(x ＋α))，|P A →＋
PB →＋PC →|＝[cos x ＋α －6]2＋sin 2 x ＋α ＝ 37－12cos x ＋α ≤7，故选B.
3．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )
A ．|a ·b |≤|a ||b |
B ．|a －b |≤||a |－|b ||
C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2
D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2
答案 B
解析 对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.
4．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧
y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}
B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}
C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2
D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2
答案 D
解析 在A 中，取a ＝(1,0)，b ＝(0,0)，则min{|a ＋b |，|a －b |}＝1，而min{|a |，|b |}＝0，不符合，即A 错．在B 中，设a ＝b ≠0，则min{|a ＋b |，|a －b |}＝0，而min{|a |，|b |}＝|a |>0，不符合，即B 错．因为|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ，则当a ·b ≥0时，max{|a ＋b |2，|a －b |2}＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ≥|a |2＋|b |2；当a ·b <0时，max{|a ＋b |2，|a －b |2}＝|a |2＋|b |2－2a ·b ≥|a |2＋|b |2，即总有max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2.故选D.
5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.
答案 12
解析 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a
＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12
. 6．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.
答案 9
解析 因为OA →⊥AB →，|OA →|＝3，所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝|OA →|2＋OA →·AB →＝|OA →|2＝3
2＝9.
7.设0<θ<π2
，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 答案 12
解析 由a ∥b ，得sin2θ＝cos 2θ，即2sin θcos θ＝cos 2θ，
因为0<θ<π2，所以cos θ≠0，整理得2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12
.。