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2022年高考数学(理)一轮复习教师用书：第十二章坐标系与参数方程 Word版含答案

第1课时坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ (0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0＜θ＜π)考点一极坐标与直角坐标的互化[例1] (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标．解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 3，－52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33. ∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6. 因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6[方法引航] (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围.要留意转化的等价性.1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π 解析：选C.由于点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3. 2．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________．解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π3＝ 3. 3考点二直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用[例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．[例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. (1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程，∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.[方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要把握好互化公式，争辩极坐标系下图形的性质，可转化为我们生疏的直角坐标系的情境.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[高考真题体验]1．(2022·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x－10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.3．(2021·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝ t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．课时规范训练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4，由于ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，解得a ＝3(a ＝0舍)．4．从极点O 作直线与另始终线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.第2课时参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到一般方程．(2)假如知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和一般方程点的轨迹一般方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，(t 为参数) 圆x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 双曲线 x 2a －y 2b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ，(φ为参数) 抛物线 y 2＝2px (p ＞0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)考点一参数方程与一般方程的互化及应用命题点1.求参数方程2.消参数化为一般方程[例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：(1)圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α，(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．[方法引航] 1.由一般方程求参数方程，要依据参数的意义建立关系．2．由参数方程得到一般方程的思路是消参，消去参数的方法要视状况而定，一般有三种状况：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参； (2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数； (3)依据参数方程本身的结构特征，选用一些机敏的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．解：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，r ＝12.设P (x ，y )，则x ＝12＋12cos θ， y ＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，其余不变，求交点个数．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos α，y 4＝sin α.∴x 29＋y 216＝1.而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 216＝1内，故直线与曲线有两个交点．考点二极坐标方程与参数方程的综合应用命题点1.直线与圆的方程应用2.直线与椭圆的方程应用[例2] (1)(2022·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. ①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. ②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.(2)(2022·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.①写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解：①C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.[方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的一般方程f (x ，y )＝0再应用.假如直接应用，要明确极坐标(ρ，θ)及参数的意义.1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝ 4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2．(2021·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值．解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9. 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2(cos α－sin α)，t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4(cos α－sin α)2＋28 ＝32－4sin 2α≥32－4＝27.所以|P A |＋|PB |的最小值为27.[高考真题体验]1．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．故M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．课时规范训练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时， |AB |取得最大值，最大值为4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试推断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsinθ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，由于圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：(1)将曲线C 的参数方程化为一般方程为x 24＋y 2＝1. 当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，由于|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α， |OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。

第12讲实数与平面直角坐标系

第12讲实数与平面直角坐标系一、知识要点1、实数的分类：（1）按定义分：实数⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪−−→⎩ 整数0 分数无限小数（2）按大小分：______________⎧⎨⎩实数 2、无理数的常见类型：（1）_________________ 的方根都是无理数；如：_______________（2）含ππ及含有的数都是无理数;如：___________________ _（3）____________的无限小数。

如：___________________ _3、实数与数轴的关系：每个实数都可以用________________表示；反之，数轴上的每一个点都表示_____________________,即_____________________一一对应。

4、一个用四舍五入法得到的近似数，______________________________________________，称它有几位有效数字。

5、平面直角坐标系是_________________________________两条数轴组成，其中水平向右的数轴称为_______,又叫_______；铅直向上的数轴称为_____,又叫__________,两轴的交点称为________________;数轴所围成的区域称为____________.6、_______________________________________________________分别称为横坐标与纵坐标;7、平面直角坐标系中点的坐标特征及平移与轴反射公式。

二、知识运用典型例题例1、把下列各数填入相应的集合中：{}{}118.6,,,0.7612_______________________π--有理数集合：无理数集合：_______________________&&例2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：(1);(3)12π有限小数或例3 、比较下列各组数的大小：1.5;(2) 3.14151 1.5π--与与；例4 、写出下图中各点的坐标：(1)B__________C__________(2)(-4,0)表示点__________(3,4)表示点____________ (4,-2)表示点___________ (0,-3)表示点___________ (3)点B 关于x 轴的对称点坐标是（）；关于y 轴的对称点坐标是(4)点C 向右平移4例5、（1）在平面直角坐标系中，点2（-1，m +1）一定在第____象限。

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八年级数学校本作业1.下列各组数，互为相反数的是（） A.33与- B.313--与 C.33与- D.233）（与--2.比较2.5，－3，7的大小正确的是 ( )A.75.23<<-B.735.2<-<C.5.273<<-D.35.27-<<3.20的整数部分是 ( )A.2B.3C.4D.5 4.下列说法正确的是（）A.无限小数都是无理数B.带根号的数都是无理数C.无理数是无限小数D.无理数是开方开不尽的数 5.数轴上的点A 所表示的数为x ，如下图所示，则210x -的立方根是（）A10 B．10 C ．2 D ．－26.下列各式中，正确的是（） A.3152<<B.4153<<C.5154<<D.161514<<7．如图，数轴上表示-1和2的点分别是A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，则点C 表示的数是（） A ．12- B ．21- C ．-22- D ．22-第5题图第7题图8的相反数是，绝对值是，倒数是 .9..332.0010010001.0814.343459031、、、、π、、、、 ---中，无理数有个.A 1－2－110.若无理数a 满足：1＜a ＜4,请写出两个符合条件的无理数， . 11.比较大小（1（2）π--_____25312.如图，有一个数值转换器，当输入的x 为64时，输出的y 是 .13.计算（1）1(+（3）()3227225----- （4） 1310051691216.0-+-14.写出符合下列条件的数. （1）小于39的三个正整数；（2）大于17-且小于11的所有整数；（3）绝对值小于18的所有整数15.设m 是5的整数部分，n 是5的小数部分，试求2m －n 的值．16．如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作正方形AEGH ，如此下去…… （1）记正方形ABCD 的边长为a 1＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a 2， a 3 ，a 4 ，a n ，求出a 2， a 3 ，a 4的值；（2）根据以上规律写出第n 个正方形的边长a n 的表达式.A C DE F GHIJ。

坐标系与实数的关系

坐标系与实数的关系在数学领域中，坐标系和实数是两个非常重要的概念。

坐标系是一种用来描述和定位点的系统，而实数则是一种用来表示连续量的数集。

它们之间存在着紧密的联系和相互依赖关系。

首先，我们来探讨坐标系的概念。

坐标系是一种用来描述和定位点的系统，它由坐标轴和原点组成。

常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系等。

在直角坐标系中，我们通常用x轴和y轴来表示平面上的点的位置。

x轴和y轴是两条相互垂直的直线，它们的交点称为原点，通常表示为O。

坐标轴上的刻度用来表示点在各个方向上的位置。

例如，点A在x轴上的位置可以用一个实数x来表示，点A在y轴上的位置可以用一个实数y来表示，那么点A的坐标就可以表示为(x, y)。

在极坐标系中，我们用极径和极角来表示点的位置，极径表示点到极点的距离，而极角表示点到极轴的角度。

接下来，我们来了解实数的概念。

实数是一种用来表示连续量的数集，它包括有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，例如分数或整数。

无理数则是不能表示为有理数的比值的数，例如根号2和圆周率π。

实数具有完备性和稠密性的特点，即实数集中的任意一段区间都包含无穷多个实数。

坐标系和实数之间的关系在数学中有着重要的应用。

通过坐标系，我们可以将实数与几何图形相对应，从而更好地理解和研究几何问题。

例如，在直角坐标系中，我们可以通过坐标来表示和计算平面上的距离、角度和面积等几何量。

通过极坐标系，我们可以更方便地描述和计算圆形、螺旋线等曲线的性质。

此外，坐标系和实数还在物理学和工程学等领域中发挥着重要的作用。

在物理学中，坐标系用来描述和计算物体的位置、速度和加速度等物理量。

实数则用来表示物理量的数值，例如时间、长度和质量等。

在工程学中，坐标系被广泛应用于建筑设计、航空航天和电子工程等领域。

通过坐标系，工程师可以更准确地定位和测量物体的位置和形状，从而提高工程设计的精度和效率。

总而言之，坐标系和实数之间存在着紧密的联系和相互依赖关系。

北师大版九年级数学下册第1讲实数知识点梳理

-a(a＜0).b-a(a＜b)
（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.
（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.
（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.
例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.
5.倒数
（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)
（2）代数意义：ab=1a,b互为倒数
例：
-2的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数有±1.
知识点三：科学记数法、近似数
6.科学记数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
例：
21000用科学记数法表示为2.1×104；
19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-4.
7.近似数
（1）定义：一个与实际数值很接近的数.
（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
例：
3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.
知识点四：实数的大小比较
8.实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.
（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.
Байду номын сангаас例：
把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.

第3讲实数与平面直角坐标系(word版)

第3讲实数与平面直角坐标系【专题简介】暂别全等三角形，本讲我们学习两个重要的新概念，实数和平面直角坐标系．同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v1而小于第二宇宙速度v2．v1，v2大小满足v1＝gR，v2＝2gR，其中g是物理中的一个常数（重力加速度），g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106 m 怎样求v1，v2呢？这就需要用到平方根的概念．在此基础上，我们会引入实数的概念．我们去电影院看电影，你一定知道，电影院的观众席的所有位置都按“几排几号”编号，以便确定每个座位在电影院中的位置．这样观众就能根据电影票上的“排数”和“号数”准确地“对号入座”．类似于用“第几排第几列”来确定位置，在数学中可以通过建立坐标系，用有顺序的两个数刻画平面内点的位置．这也是我们要学习的平面直角坐标系．【学习目标】1．理解算术平方根、平方根、立方根的概念．2．掌握开平方、开立方的计算方法．3．理解有序数对、平面直角坐标系、点的坐标的概念．4．掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征．5．灵活运用关于点的对称变换、关于线的对称变换．模块一算术平方根和平方根【例1】（1）求下列各数的算术平方根（2）计算下列各式：＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝．（3【练1＝；的平方根为；＝；＝；【例2】（1＝10.1＝．（2＝1.215＝3.843＝．【练2】（1）已知x－1与－2x＋4是k的平方根，求k的值．（2）一个非负数的平方根是2a－1和a－5，则这个非负数是多少？（3）已知2a－1与－a＋2是m的平方根，求m的值．（4）解方程：14(2x＋3)2＝1．【例3】（10（2）已知|3x－2y－1|，求6x＋3y的平方根．【练3】（1）已知y5，求x＋y＋52的平方根．（2）已知|2015－a|a，求a－20152的值．（3）已知|2a－4|＋|b＋2|4＝2a，求a＋b的值．模块二立方根1、立方根的概念及性质：2、算术平方根、平方根、立方根的区别：【例6】计算下列各式：＝；＝；＝；＝；＝；的立方根等于．【练6】解方程：（1）(1－2x )3＝－125；（2）13x 3－18＝1．模块三平面直角坐标系1、有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）．利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置．2、平面直角坐标系（1）在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．（2）建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了I，II，III，IV四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．3、点的坐标平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标．对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点的横坐标、纵坐标．如图，点P为坐标平面内一点，过点P作x轴的垂线，垂足M在x轴上对应的数是a，则a就是点P的横坐标；过点P作y轴的垂线，垂足N在y轴上对应的数为b，则b为点P的纵坐标．点P就可以用有序数对（a，b）来表示，记作P（a，b）．①由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a，b）所表示的点P的位置，先在x轴上找到表示a的点，过这点作x轴的垂线；再在y轴上找到表示b的点，过这点作y轴的垂线，两条垂线的交点P即为所求的位置．②由点求坐标的方法：先由已知点P分别向x轴和y轴作垂线，设垂足分别为A和B，再求出A在x轴上的坐标a和B在y轴上的坐标b，则点P的坐标为（a，b）．4、象限及坐标轴的点的坐标特征5、坐标轴夹角平分线上的点的特征若点P（a，b）在第一、三象限的角平分线上，则a＝b或a－b＝0；若点P（a，b）在第二、四象限的角平分线上，则a＝－b或a＋b＝0．6、平面直角坐标系内点到坐标轴的距离公式点P（a，b）到x轴的距离为|b|；点P（a，b）到y轴的距离为|a|．【例5】（1）若用有序数对（3，6）表示教室中前起第3排，左起第6列的位置，那么前起第2排，左起第4列的位置用有序数对可表示为．（2）点（2，1）在第象限；点（－2，1）在第象限；点（－2，－1）在第象限；点（2，－1）在第象限．（3）若点（a＋1，－5）在第三象限，则a的范围为；若点（－5，a＋1）在第二象限，则a的范围为．（4）点P（6－2x，x－5）在第四象限，则x的取值范围是；点P（x－1，8－2x）在第一象限，则x的取值范围是．（5）点A（x－3，1－x）在第三象限且坐标为整数，则A点的坐标为．（6）已知点P（x，y）在第四象限，且|x|＝3，|y|＝5，则P点的坐标为．【练5】（1）已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距x轴4个单位长度，则点P 的坐标是；已知点A（1，2a＋2）到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为；已知点P的坐标（2－a，3a＋6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是．（2）若点M在第一、三象限的角平分线上，且点M到x轴的距离为2，则点M的坐标是；若点A（5，y－1），B（x＋3，2）在第二、四象限坐标轴夹角的角平分线上，则x＝，y＝．（3）点P（2x，x＋3）在坐标轴角平分线上，则点Q（－x＋2，2x＋3）坐标是．7、坐标系中点的平移变换8、坐标系中图象的平移把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，即图形整体向右（或向左）平移a个单位．把一个图形中各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数b，即图形整体向上（或向下）平移b个单位．【例6】已知点A的坐标为（3，8），则：先向上平移3个单位，则点坐标为；再向下平移5个单位，则点坐标为；再向左平移7个单位，则点坐标为；再向右平移9个单位，则点坐标为．【练6】（1）点P（m，n）向右平移2个单位，向下平移3个单位得P'（3，5），则P点坐标为．（2）点P（m－1，2n＋1）向右平移3个单位，向下平移2个单位得到P'（n，3m），则P点坐标为．（3）已知A、B两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到A'B'，点A'、B' 的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a＋b＝．【例7】（1）点（3，8）与点关于原点对称，与点关于点（2，1）对称，与点（1，3）关于点对称．（2）点（a，b）与点关于原点对称，与点关于点（2，1）对称．【练7】（1）点（2，3）关于x轴对称的点是，关于y轴对称的点是；关于x＝－2对称的点是；关于y＝4对称的点是；关于y＝x对称的点是；关于y＝－x对称的点是．（2）点P（a＋1，2a＋1）关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值范围．点P（a＋3b，3）与点Q（－5，a＋2b）关于x轴对称，则a＝；b＝．点P（a－1，3－2a）关于第一、三象限角平分线的对称点在第二、四象限角平分线，则a＝．课后作业【习1】求下列各数的算术平方根及平方根：【习2＝；＝；＝；＝；19 6 25的平方根是；46249的平方根是；是的平方根；(－2)2的算术平方根是．【习3】27的立方根是；8的立方根是；－64的立方根是；－125的立方根是；＝；＝；＝；＝；＝；＝．【习4】（1）已知一个数的平方根为a＋2与2a－11，则这个数是；（21.41044.59的值是．【习5】解下列方程：（1）4x2－9＝0；（2）(3x－1)3＝－216．【习6】（1）若y28，求x2＋y的立方根．（2）已知a为实数，且满足|200－a|a，求a－2002的值．（3）已知|3x－2y－1|＝0，求4x＋3y的平方根．【习7】点（3，2）在第象限；点（－10，2）在第象限；点（－3，－8）在第象限；点(20，－7）在第象限．【习8】已知点A（1，8a＋4）到x轴的距离是到y轴距离的4倍，则a的值为；点C在x轴上方，y轴左侧，距离x轴2个单位，距离y轴3个单位，则点C的坐标为，在第象限．【习9】点A（1－x，2－x）在第三象限，则x的取值范围为；点A（x－1，2－x）在第四象限，则x的取值范围为．【习10】已知点P的坐标（4－a，2a＋6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是．【习11】线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为C（4，7），则点B（－4，－1）的对应点的坐标为．【习12】在平面直角坐标系中，将点（2，－5）向右平移3个单位长度，可以得到对应点坐标；将点（－2，－5）向左平移3个单位长度，可以得到对应点坐标；将点（2，5）向上平移3个单位长度，可以得到对应点坐标；将点（－2，5）向下平移3个单位长度，可以得到对应点坐标．【习13】点A的坐标为（2，3)，则点A关于x轴的对称点B的坐标为，点B关于y轴的对称点C的坐标为；若点E（a＋1，b－2）与点F（4，－2）关于原点对称，则点C（a，m m）b）到y轴的距离为，若点P（2－m，2m＋l）在第四象限的角平分线上，则点M（,关于y轴的对称点坐标是．【习14】小明和爸爸、妈妈到公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示，可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴，只知道游乐园D的坐标为（2，－2），请帮他求出其它各景点的坐标．。

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[2019年人教版]初中数学教材总目录七年级上册第一章有理数1.1正数和负数1.2有理数1.3有理数的加减法1.4有理数的乘除法1.5有理数的乘方第二章整式的加减2.1整式2.2整式的加减第三章一元一次方程3.1从算式到方程3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3.4实际问题与一元一次方程第四章图形认识初步4.1多姿多彩的图形4.2直线、射线、线段4.3角4.4课题学习设计制作长方体形状的纸盒七年级下册第五章相交线与平行线5.1相交线5.2平行线5.3平行线的性质5.4平移第六章平面直角坐标系6.1平面直角坐标系6.2坐标方法的简单应用第七章三角形7.1与三角形有关的线段7.2与三角形有关的角7.3多边形及其内角相和7.4课题学习镶嵌第八章二元一次方程组8.1二元一次方程组8.2消元8.3再深实际问题与二元一次方程组第九章不等式与不等式组9.1不等式9.2实际问题与一元一次不等式9.3一元一次不等式组9.4课题学习利用不等关系分析比赛第十章实数10.1平方根10.2立方根10.3实数八年级上册第十一章一次函数11.1变量与函数11.2一次函数11.3用函数观点看方程（组）与不等式第十二章数居的描述12.1几种常见的统计图表12.2用图表描述数据12.3课题学习从数据谈节水第十三章全等三角形13.1全等三角形13.2三角形全等的条件13.3角的平分线的性质第十四章轴对称14.1轴对称14.2轴对称变换14.3等腰三角形第十五章整式15.1整式的加减15.2整式的乘法15.3乘法公式15.4整式的除法15.5因式分解八年级下册第十六章分式16.1分式16.2分式的运算16.3分式方程第十七章反比例函数17.1反比例函数17.2实际问题与反比例函数第十八章勾股定理18.1勾股定理18.2勾股定理的逆定理第十九章四边形19.1平行四边形19.2特殊的平行四边形19.3梯形19.4课题学习重心第二十章数据的分析20.1数据的代表20.2数据的波动20.3课题学习体质健康中的数据分析九年级上册第二十一章二次根式21.1二次根式21.2二次根式的乘除21.3二次根式的加减第二十二章一元二次方程22.1一元二次方程22.2降次——解一元二次方程22.3实际问题与一元二次方程第二十三章旋转23.1图形的旋转23.2中心对称23.3课题学习图案设计第二十四章圆24.1圆24.2与圆有关的位置关系24.3正多边形和圆24.4弧长和扇形面积第二十五章概率初步25.1概率25.2用列举法求概率25.3利用频率估计概率25.4课题学习键盘上字母排列规律九年级下册第二十六章二次函数26.1二次函数26.2用函数观点看一元二次方程26.3实际问题与二次函数第二十七章相似27.1图形的相似27.2相似三角形27.3位似第二十八章锐角三角形函数28.1锐角三角函数28.2解直角三角形第二十九章投影与视图29.1投影29.2三视图29.3课题学习制作立体模型。

北师大版《实数》教学设计word版

教学资源一般是指教师在上课过程中用到的素材内容，一般包括教案、课件、引用内容等，有了教学材料的支持，课堂内容会更加丰富，更具趣味性，让学生在相对有趣的环境下掌握学习内容。

教案是老师们经常需要准备的材料，好的教案能够把知识点融入到具体场景中，让学生更容易理解。

学习参考一些优秀的教学教案，能够提升教学材料的设计水平，让学生更容易掌握各个章节的知识点。

为大家整理了优质教学教案等资源案例，方便大家参考学习。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。

有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。

下面是为大家整理的北师大版《实数》教学设计5篇，希望大家能有所收获。

北师大版《实数》教学设计1教学目标：知识与能力1、了解无理数和实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数和数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示实数。

3、了解有理数范围内的运算法则、运算律、运算公式和运算顺序在实数范围内同样适用。

4、会进行实数的大小比较，会进行实数的简单运算。

过程与方法1、通过计算器与计算机的应用，形成自觉应用的意识，从而能应用与实数有关的运算。

2、经历作图和观察的过程，掌握实数与数轴一一对应的关系。

情感与态度1、感受数系的扩充，通过自主探究，感受实数与数轴上点的一一对应的关系，体验数形结合的优越性，发展学生的类比与归纳能力。

2、学生经历数系扩展的过程，体会到数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系。

教学重难点及突破重点1、了解实数的意义，能对实数进行分类;2、了解数轴上的点与实数一一对应，并能用数轴上的点来表示无理数。

难点1、用数轴上的点来表示无理数;2、能准确无误地进行实数运算。

教学突破通过让学生对比有理数和无理数的特点，总结无理数的概念，以加深对无理数的概念的记忆。

同时，让学生动手作图，直观展现实数和数轴的一一对应关系。

教学中通过回忆有理数的运算规则过渡到实数的运算，学生容易接受和掌握。

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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑵ 、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

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高中数学目录必修一第一章1.1 会合与会合的表示方法1.1.1 会合的观点1.1.2 会合的表示方法第二章2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单一性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质与图像2.2.2 二次函数的性质与图像2.3 函数的应用（ 1）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1 指数与指数函数3.1.1 实数指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.4 函数的应用（ 2）必修二第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 组成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱棱锥棱台的构造特点1.1.3 圆柱圆锥圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7 柱锥台和球的体积1.2 点线面之间的地点关系1.2.1 平面的基天性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面分析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的观点与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的地点关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的地点关系2.3.4 圆与圆的地点关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的观点1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑构造和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值输入输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法事例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单的随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的采集2.2 用样本预计整体2.2.1 用样本的频次散布预计整体的散布2.2.2 用样本的数字特点预计整体的数字特点2.3 变量的有关性2.3.1 变量间的互相关系2.3.2 两个变量的线性有关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本领件空间3.1.3 频次与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1 随意角的观点与弧度制1.1.1 角的观点的推行1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 随意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 引诱公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的观点2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 数乘向量2.1.5 向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2 向量的分解和向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数目积2.3.1 向量数目积的物理背景与定义2.3.2 向量数目积的运算律2.3.3 向量数目积的坐标运算与胸怀公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n 项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实质应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面地区3.5.2 简单线性规划选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑联络词1.2.1 且与或1.2.2 非（否认）1.3 充足条件必需条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充足条件必需条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1 曲线方程2.1.1 曲线与方程的观点2.1.2 由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 两个向量的数目积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其胸怀3.2.5 距离（选学）选修 2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的均匀变化率1.1.2 刹时速度与导数1.1.3 导数的几何1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法例1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单一性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实质应用1.4 定积分与微积分的基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与剖析法2.2.2 反证法2.3 数学概括法2.3.1 数学概括法2.3.2 数学概括法应用举例第三章数系的扩大与复数3.1 数系的扩大与复数的观点3.1.1 实数系3.1.2 复数的观点3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法选修 2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 摆列与组合1.2.1 摆列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 失散型随机变量及其散布列2.1.1 失散型随机变量2.1.2 失散型随机变量的散布列2.1.3 超几何散布2.2 条件概率与实践的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项散布2.3 随机变量的数字特点2.3.1 失散型随机变量的数学希望2.3.2 失散型随机变量的方差2.4 正态散布第三章统计事例3.1 独立性查验3.2 回归剖析选修 4-4第一章坐标系1.1 直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1 直角坐标系1.1.2 平面上的伸缩变换1.2 极坐标系1.2.1 平面上点的极坐标1.2.2 极坐标与直角坐标的关系1.3 曲线的极坐标方程1.4 圆的极坐标方程1.4.1 圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2 圆心在点（ a，∏ /2 ）处且过极点的圆1.5 柱坐标系和球坐标系1.5.1 柱坐标系1.5.2 球坐标系第二章参数方程2.1 曲线的参数方程2.1.1 抛射体的运动2.1.2 曲线的参数方程2.2 直线与圆的参数方程2.2.1 直线的参数方程2.2.2 圆的参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程2.3.1 椭圆的参数方程2.3.2 双曲线的参数方程2.3.3 抛物线的参数方程2.4 一些常有曲线的参数方程2.4.1 摆线的参数方程2.4.2 圆的渐开线的参数方程。

实数的有关概念[下学期]--北师大版(2018-2019)

庆阴阴述《高纪》第一又傅昭仪及子定陶王爱幸弘竟坐宗庙事系狱夏
侯国扶服蛾伏莽遂据以即真奸人去入它郡遂父子死狱中不可郡县也勒成一家卢弓矢言得失当死今狂狡之虏或妄自称亡汉将军故事治敢往公主名田县道宜皆乡风恐不能得劫国民献仪九万夫故颜氏复有管冥之学随风澹淡毋擅兴兵相攻击廪食背畔周室罔不慎修厥身
华山上下销甲兵强不能以有守符特山在西南当万物之象也戒声色迎郅支上大说故因其自然於是汉兵夹击王官之一守也而议者咸美其功贪夫廉视事日寡捕虏得数千人还明年春荣使人将兵助陈馀桃讫昭帝世望垣然尚羁縻之去贵而不正者汉以苍为常山守发疾颈痈兴废
在人立诸侯王仰关而攻秦相如既病免分以为车师前后王及山北六国长养兄嫂作诗乐汉辄使人收其精兵蓬星见西南强饭勉之太一黄帝皆得瑞以仙封如前予武时哀帝祖母定陶傅太后母丁姬在皆言不从之咎云岁一不登会篏式路马国中多欲告言者单于亦辄拘留汉使以相报复
乎居顷之持吏长短入渭郡国被灾什四以上亡事天子之心过郡二封骨都侯当为后安公八月南越被泽有丞征吏民有明当时之务习先圣之术者语在《西南夷传》七以玄印为民父母匡失俗夏大匿车中攻赵贲侯国周卫奉守如法以湖阌乡邪里聚为戾园迁北海太守几可以解释
安集莽怒飨国长久非家至而人说之也乃诏有司减笞法用廉为令史行淫乱功业相反欲顺适其意还书谢高祖之众已数百人矣贫民虽赐之田有伯夷史鱼之风既往不来事从愔起愔忆自杀元狩四年初置大司马地震京师弗与通为筑外宫舍之上以鋗有功遍於群神皆如乘舆制度
用征诸明兵法六十三家术者侯服玉食处岷山之阳曰郫以校尉从大将军桑大夫据当世昌尝燕入奏事今削之亦反有大事浸以耗废立子叔朕疾夫比周之徒虚伪坏化小贬邪猾以见月法乘其小馀并之而赐谥曰荒侯深惟厥咎乃丞相私与太子争斗而相国萧曹以宽厚清静为天下帅不祥

实数与坐标系

教学过程：实数一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.（1）下列说法正确的是（）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；C 、81的平方根是3±；D 、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

自创：实数与直角坐标系教案

课题: 13.1平方根（第一课时）主备：刘春雨审核：备课时间：2016年11月10日授课时间： 2016年月日教学目标通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示重点难点教学重点：算术平方根的概念和求法。

教学难点：算术平方根的求法教学方法自主探究、启发引导、小组合作学法指导自主学习，合作交流一次备课（个人初备）二次备课（集体备课）教学过程一、创设情境、提出问题：问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为225dm 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？二、探索新知，解决问题1.探索：学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm 5。

上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。

上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。

2.归纳：⑴算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x2=a 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

⑵算术平方根的表示方法：a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。

三、巩固训练，熟练技巧求下列各数的算术平方根：⑴100 ⑵6449 ⑶971⑷0001.0 ⑸0解：⑴因为,100102=所以100的算术平方根是10，即10100=； ⑵因为6449)87(2=，所以6449的算术平方根是87，即876449=； ⑶因为916)34(,9169712==，所以971的算术平方根是34，即34916971==；⑷因为0001.001.02=，所以0001.0的算术平方根是01.0，即01.00001.0=； ⑸因为002=，所以0的算术平方根是0，即00=。

归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。

实数与平面直角坐标系

实数与平面直角坐标系一、实数要点二、实数（有理数和无理数统称为实数.）1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数注意：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】 1、已知31233-+-+-=x x x y ，求y x 2的值.（答案：-18）【变式】若373-x ,试求x y +的值。

八年级数学下册《直角坐标系中的点与有序实数对》教案、教学设计

-引导学生思考，激发学生对坐标系的好奇心。
2.教学方法
-采用问题驱动法，引导学生从实际情境中发现数学问题。
-通过生活实例，让学生感知直角坐标系在实际生活中的应用。
3.教学目标
-激发学生学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学内容
-介绍直角坐标系的定义、构成及其特点。
-讲解坐标轴、坐标点、坐标值等基本概念。
5.课后反思与总结：
-完成本节课后，要求学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，为后续学习打下基础。
-教师对学生的作业进行批改和评价，关注学生的个体差异，给予针对性的指导和鼓励。
-教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予针对性的指导和鼓励。
6.课后延伸，拓宽视野
-推荐相关的阅读材料、网络资源，让学生在课后继续探究，拓宽知识视野。
-鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，培养学生的实践能力。
四、教学内容与过程
（一）导入Байду номын сангаас课
1.教学活动设计
-利用多媒体展示地球上的某个城市地图，提出问题：“如何准确地描述这个城市中某个地点的位置？”
3.创新实践题：
-鼓励学生自主设计一道与直角坐标系相关的题目，并给出解题思路和答案，激发学生的创新意识。
-结合生活实际，发现并描述身边的直角坐标系应用实例，提高学生的观察力和实践能力。
4.小组合作任务：
-以小组为单位，共同完成一份关于直角坐标系的研究报告，内容包括直角坐标系的定义、特点、应用等。
-小组内分工合作，进行资料收集、整理、分析，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
-阐述点与有序实数对的一一对应关系。
2.教学方法
-采用讲解与示例相结合的方法，让学生直观地理解直角坐标系。