4.30八年级超常班一次函数最值、三角形面积和动点

合集下载

初二数学一次函数知识点及经典例题详解

初⼆数学⼀次函数知识点及经典例题详解1初⼆数学第⼀讲实数知识点回顾1、实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限⼩数和⽆限环循⼩数)都是有理数. 有理数和⽆理数统称为实数。

①按属性分类：②按符号分类2、数轴：规定了原点、正⽅向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点⼀⼀对应。

3、绝对值：在数轴上表⽰数a 的点到原点的距离叫数a 的绝对值，记作a ，正数的绝对值是它本⾝；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

4、相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a 的相反数是a -，0的相反数是0。

5、有效数字：⼀个近似数,从左边笫⼀个不是0的数字起,到最末⼀个数字⽌,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字。

6、科学记数法：把⼀个数写成10n a ?的形式(其中110a ≤≤,n 是整数),这种记数法叫做科学记数法.如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5。

7、⼤⼩⽐较：正数⼤于0，负数⼩于0，两个负数，绝对值⼤的反⽽⼩。

8、数的乘⽅：求相同因数的积的运算叫乘⽅，乘⽅运算的结果叫幂。

9．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进⾏实数运算时仍适⽤．在实数范围内，不仅可以进⾏加．减．乘．除．乘⽅运算，⽽且正数和零总可以进⾏开平⽅运算，任何⼀个数都可以开⽴⽅运算． 10．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点⼀⼀对应，即每⼀个实数都可以⽤数轴上的⼀个点表⽰．反过来，数轴上的每⼀个点都可以表⽰⼀个实数．我们可以⽤⼏何作图⽅法，在数轴上表⽰某些⽆理数，如、等。

第⼆讲平⽅根、⽴⽅根知识点回顾⼀、知识要点 1、平⽅根：⑴、定义：如果2x a=，则x叫做a。

2、⽴⽅根：⑴、定义：如果2x a=，则x叫做a（a称为被开⽅数）。

3、开平⽅（开⽴⽅）：求⼀个数的平⽅根（⽴⽅根）的运算叫开平⽅（开⽴⽅）。

（*考点）⼆、规律总结：1、平⽅根是其本⾝的数是；算术平⽅根是其本⾝的数是；⽴⽅根是其本⾝的数是。

人教版八年级数学下册一次函数与面积相关的动点问题

A
O
x
自学检测
变式一（1）：若点P（x, y）是第三象限内的直线上的一个动点；其他条件不变。当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； y
2 2 | x x 6 6|。 6 OA=____,PH=______ 3 3
F
S△ O PA
1 OA PH 2 1 2 6 （ x 6） 2 3 2 x 18 (x<-9)
3.如图，一次函数y=kx+1.5 的图象过点M（2，0），与正比例函数y= —1.5x的图象交于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B。（1）求k的值并计算y=kx+1.5图象与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求交点A的坐标，计算AM的长；（3）在x轴上是否存在点P,使得以三点P、A、M组成的三角形AMP为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
2 (2) :由(1)得y x 6, 过点P作PH ⊥OA 于H； 3 y
连结PA、PO
2 ∵点 P在直线 y x 6上 3 2 点P的坐标可以表示为 ( x, x 6) 3 ∵点P在第二象限
(x,y)p E
F
∵点P在第二象限内,且在直线EF上运动 ∴ - 9 ＜ x＜ 0
2 2 PH x 6 x 6 x A(-6,0) H O 3 3 ∵ A(6,0) OA 6 2|y| | x 6 |。 1 6 OA=____,PH=______ S△ OA PH 3 O PA 2 1 2 S△ 6 （ x 6） O PA 1 2 2 3 6 （ x 6） 2 x 18 2 x 18 2 3

数学八年级上册《一次函数动点与面积专题》

点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．
（2）若点P（ x , y ）是第二象限内的直线上的一个动点，
在点P的运动过程中，试求出△OPA的面积S与x的函数关系
式，并写出自变量x的取值范围；
y
F
E A
ox
(二) 典例分析
例1：如图，直线 y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点
E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为并说明理由。
例3: 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E为CD边的
中点，P为ABCD边上的一动点．动点P从A点出发，沿A-BC-E运动到达点E．若设点P经过的路程为x，△APE的面积为y． (1)求当点P在BC上时，y与x之间的函数关系式； (2)当y=1/3时，求x的值。
(三)
反思小结——通过本节课的学习，你有哪些收获？
27 8
，
y
F
E A
ox
(二) 典例分析
例2：如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1 ，动点P从点
B出发，沿路线 B→ C→ D作匀速运动，运动至点D处停
止．若设点P运动的路程为 x， △ABP的面积为S．
(1)求s与x之间的函数关系式；（2）在直角坐标系中作出该
函数的大致图象。
D
C
P
A
B
(二) 典例分析
式，并写出自变量x的取值范围；
27
（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为并说明理由。
8
，
(二) 典例分析
例1：如图，直线 y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，
点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．（1）写出k的值；

完整版)八年级数学一次函数动点问题

完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示，以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴，点O为坐标原点，在第一象限建立平面直角坐标系。

其中，△OAB边长为6个单位。

点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动，点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。

两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。

①点A的坐标为（3，3），P、Q两点相遇时交点的坐标为（3，3）；②当t=2时，△OPQ的面积为3/2；当t=3时，△OPQ的面积为9/4；③设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4；④当△OPQ的面积最大时，在y轴上无法找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。

2、如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。

设点P、Q移动的时间为t秒。

1) 直线AB的解析式为y=-x+6；2) 当t=5时，△APQ的面积为24/5平方单位；3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4；4) 无论t为何值，△OPQ都不可能为正三角形。

若点Q的运动速度为4个单位/秒，则此时t=2.3、如图所示，在直角三角形△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点。

它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒。

设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。

1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）。

证明：由于△OPM与△OAB相似，因此有PM/OB=AO/AB，即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似，因此有AM/OA=PM/OB，即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM：AO=PM：BO=AP：AB=9：15：20.P点的坐标为（3t/5，18t/5）。

专项练习一次函数中的三角形面积问题 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

一次函数中的三角形面积问题类型一与坐标轴围成的三角形面积1.直线132y x =-+与x ,y 轴分别交于A ,B 两点.(1)点A 、B 的坐标(2)求△AOB 的面积2.直线y=-3x+8向下平移2个单位长度，求平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

3.直线y=kx+b 与y=2x+3平行，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，求该直线表达式。

4.如图，直线y ＝﹣x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标以及△OCD 的面积；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得S △P AB ＝S △OCD ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型二一条边在坐标轴上5.如图,直线1:y=2x-3与x 轴交于点A,与y 轴交于点E,直线2经过点B(4,0)C(0,2),与直线1交于点 D.(1)求直线2的解析式;(2)求△ABD 的面积;(3)求△CDE 的面积6.如图,直线11:l y x =和直线22:2l y x b =-+相交于点(2,2)A ,直线2l 与x 轴交于点B ,动点P 在直线AB 上运动.(1)求点B 的坐标及b 的值；(2)求AOB △的面积；(3)当POB △的面积是AOB △的面积的13时,直接写出这时点P 的坐标.7.如图，Rt △AOB 的两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且OA ，OB 的长满足|OA ﹣8|+（OB ﹣6）2＝0，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，交y 轴于点E ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若△ABC 的面积为15，求点C 的坐标；8.如图，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．（1）求A，B两点的坐标；（2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式；（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．9.如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的表达式；（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标．类型三一条边平行于坐标轴10.如图，正比例函数y=kx与一次函数y=-x+b的图象相交于点A(4,3)，一次函数y=-x+b的图象与y轴交于点D．过点P（0,4）作x轴的平行线，分别交y=k与y=-x+b的图象于点B，C，连接OC.（1）求这两个函数的解析式．（2）求ΔBOC的面积．11．如图，已知直线y=2x+1与x轴交于点A，与直线y=-x+2交于点B，过点A 作AC∥y轴，与直线y=-x+2交于点C.（1）求点B的坐标；（2）求ΔABC的面积．类型四三条边都不在坐标轴上12.如图，一次函数y=2x+m与y=−12x+n的图象都经过点A(-2,0)，且分别与y 轴相交于点B和点C.（1）点B的坐标为，点C的坐标为。

初二数学期末复习一次函数的应用—动点问题附练习及答案

课题一次函数的应用——动点问题教学目标1．学会结合几何图形的性质，在平面直角坐标系中列函数关系式。

2．通过对几何图形的探究活动和对例题的分析，感悟探究动点问题列函数关系式的方法，提高解决问题的能力。

重点、难点理解在平面直角坐标系中，动点问题列函数关系式的方法。

小结：1用函数知识求解动点问题，需要将问题给合几何图形的性质,建立函数模型求解，解要符合题意，要注意数与形结合。

2.以一次函数为背景的问题，要充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决，注意自变量的取值围例题1：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．〔1〕求点D 的坐标；〔2〕求直线2l 的解析表达式；〔3〕求ADC △的面积；〔4〕在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系，点A 〔0，6〕、点B 〔8，0〕，动点P 从点A 开场在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开场在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位.当堂稳固：如图，直线6y kx =+与*轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为〔-8，0〕，点A 的坐标为〔-6，0〕。

〔1〕求k 的值；〔2〕假设点P 〔x ，y 〕是第二象限的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与*的函数关系式，并写出自变量*的取值围；〔3〕探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。

课后检测：1、如果一次函数y=-*+1的图象与*轴、y 轴分别交于点A 点、B 点，点M 在*轴上，并且使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M 有〔〕。

_北师大版八年级上册一次函数与面积问题2

一次函数与三角形面积专题姓名：知识要点：一次函数与三角形面积问题，其本质是一次函数的图象在平面直角坐标系与坐标轴或其他直线所形成的三角形面积问题，一类问题是正向求三角形面积，另一类是逆向的根据三角形面积求点坐标.解决此类问题一定要画图，选择合理的计算方法求三角形面积，或列出计算面积的方程.1.正向求面积：通过求点坐标，然后从坐标到距离（要加绝对值），求其面积；例1：直线y =2x +4与坐标轴围成的三角形面积：如图，先求直线与x 、y 轴交点A 、B 的坐标A （-2,0）、B （0,4），S △ABO =4422121=⨯⨯=⋅⋅OB OA .例2：直线y=2x +4、y=－x +1与x 轴围成的三角形面积：如图，先分别求出两条直线与x 轴的交点A 、C 的坐标A （-2,0）、C （1,0），在联立方程组求两出两条直线的交点D 的坐标D （-1,2），S △ACD =32)2(12121=⨯--⨯=⋅⋅D y AC .2.根据面积逆向求坐标（表达式）：一般地，通过求距离到坐标（要注意双解），然后求其坐标（或表达式）；例3：如图，在直线y=－x +1上，求点P 使得.6=∆ACP S 此时4,632121==⨯⨯=⋅⋅=∆P P P ACP y y y AC S ∴P （-3,4）或（5,-4）3.关于双轨平行线：若ABC ABP S S ∆∆=，由同底等高可以得出：点P 在与AB 平行，且到AB 的距离等于点C 到AB 的距离的两条直线上.然后求其直线表达式，求交点坐标.4.关于铅垂高与水平宽：一般的，由三角形的任意顶点向对边作y 轴平行线，该顶点与另一边的交点之间的线段叫铅垂高，另两点之间的水平距离叫水平宽，此时水平宽铅垂高⨯⨯=∆21S .典型练习：1．直线y ＝－2x +4与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，则△AOB 的面积为；过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP ＝2OA ，△PAB 的面积为．2．直线y ＝－x +4、直线y ＝2和直线x=1围成的三角形面积为．3．直线y ＝－2x +4、直线y ＝—x －1与x 轴围成的三角形面积为．4．一次函数y ＝（m +1）x +23的图象与x 轴的相交于点A ，与y 轴相交于点B ，若△OAB 的面积为43，则m 的值为．5．直线y ＝－2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．过点A 作直线AP 与y 轴交于点P ，若S △ABP ＝2S △ABO ，则P 点坐标为；若S △ABP ＝2S △APO ，则直线AP 的表达式为．D C7．如图，已知直线y ＝2x +10，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．若点P （a ，b ）为线段AB 上的一个动点，作PE ⊥y 轴于点E ，PF ⊥x 轴于点F ，连接EF ，则：①若△PBO 的面积为S ，则S 关于a 的函数关系式为；（并写出自变量取值范围）②EF 的最小值为．8．如图，直线y ＝32 x +2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，则点C 的坐标为；若点P （1，a ）为坐标系中的一个动点，要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，则a的值为．9．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1与y 轴交于点A ，点B （﹣3，3）也在直线l 1上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上．（1）求直线l 1的表达式；（2）若将点C 先向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到点D ，请你判断点D 是否在直线l 1上；（3）已知直线l 2：y ＝x +b 经过点B ，与y 轴交于点E ，那么是否在直线l 2上存在点P ，使得S △AEP =S △AEC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－34x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求直线CD 的表达式；（2）若直线AB 与直线CD 交于点E ，求△ADE 的面积；（3）直线CD 上是否存在点P ，使得S △ABP ＝2S △ABO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

一次函数中的三角形面积问题.docx

北京师范大学出版社八年级上册小专题一次函数中的三角形面积问题数学组周琼2016.11.23一．教学目标：1．通过本节课的学习，了解一次函数中与三角形面积有关的常见的基本图形，掌握在一次函数中求三角形面积的解题策略、基本方法．2．指导学生进一步利用图形直观，学会观察、分析，利用“割补法”有意识地将平面直角坐标系内一般的斜三角形的面积问题转化成“有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形”，或将图形补成一个矩形或梯形并通过有关计算解决问题，进一步体会数形结合思想、建模思想、割补法等数学思想方法．3．通过学生的合作、交流、展示、分享，进一步激发学生学习数学的兴趣和积极性，享受学习的过程，感受成功的快乐，增强学习的自信心与合作学习意识．二．教学重点：教学重点：建模以及“割补法”的灵活运用．教学难点：对较难的图形进行合理的割补，选择最佳解题途径．四．教法与学法学法：自主探究、合作交流、成果分享教法：老师指导下以学生探究学习为主的分享交流、总结提升五．课前准备收集整理周末学生《好题集锦》、多媒体课件、学案．六．教学过程设计教学教师活动学生活动设计意图环节分享（板书课题）学生代表展示学习成展示1. 图片引入新课，四个学生展示周末自主学习成果，提炼出四投影并讲果，培养学生种常见图形．（白板板书，图略）解．能力．2. 引导学生观察图形特征，总结解题思路3. 过手练习如图，直线 y2 x 2 与坐标轴交于 A 、B 两点，直线 y1x 32总与 x 轴和 y 轴分别交于点 C ，点 D ，与直线 y2x2 相交于结点 E （-10,-14） y33提（1）S AOBB升（ 2）S ACEAOC， x变（ 3）过 A 做 AF//y 轴交 EC 于 F ，DF则 SE式AFE探究4. 挑战自我（一题多解，选择最优解题途径板书解题过程）如图，直线 y2 x 2 与坐标轴交于 A 、B 两点，直线 y1x 32与 x 轴和 y 轴分别交于点 C ，点 D ，与直线 y 2x 2 相交于点1014）33独立思考，检查基础过自主完成，关情况，了解交流评价。

一次函数动点中的三角形全等以及面积

A B C O y 2y1x yP例1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1223y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线2 (0)y kx b k =+≠经过点C （1，0）且与线段AB 交于点P ，并把△ABO 分成两部分．（1）求△ABO 的面积；（2）若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等，求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式。

例2、正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。

①直线y=43x-83经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，③若直线1l 经过点F ⎪⎭⎫⎝⎛-0.23且与直线y=3x 平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ∆的面积.例2、如图,矩形OABC 在平面直角坐标系内(O 为坐标原点),点A 在x 轴上,点C在y 轴上,点B 的坐标为(-2,32),点E 是BC 的中点,点H 在OA 上,且AH=21,过点H 且平行于y 轴的HG 与EB 交于点G,现将矩形折叠,使顶点C 落在HG 上 ,并与HG 上的点D 重合,折痕为EF,点F 为折痕与y 轴的交点.(1)求∠CEF 的度数和点D 的坐标;(3分) (2)求折痕EF 所在直线的函数表达式;(2分)(3)若点P 在直线EF 上,当△PFD 为等腰三角形时,试问满足条件的点P 有几个,请求出点P 的坐标,并写出解答过程.(5分)xyF CE B GAHO Dxy FCE B GAH O D2、如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线x交于点C．平y3行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S与t的函数关系式；（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

一次函数动点三角形面积问题

一次函数动点三角形面积问题在解决几何问题时，我们常常需要运用数学知识与技巧。

本文将探讨一次函数动点三角形的面积问题，并通过具体的例子和计算来加深理解。

首先，让我们回顾一下一次函数的定义和性质。

一次函数，也叫线性函数，是一种形如y = kx + b的函数，其中k和b是常量，且k不等于零。

一次函数的图像是一条直线，其斜率为k，截距为b。

考虑一个一次函数y = kx + b，在平面上取三个不共线的点A，B和C，它们分别对应着三个坐标 (x1, y1)，(x2, y2) 和 (x3, y3)。

我们的目标是求解由这三个点所确定的三角形ABC的面积。

要计算三角形的面积，通常使用海伦公式或向量法。

然而，利用一次函数的性质，我们可以找到一种更简单的方法。

设一次函数为y = kx + b，我们可以计算点A、B、C在x轴上的截距。

设点A在x轴上的截距为x1'，点B在x轴上的截距为x2'，点C在x轴上的截距为x3'。

根据一次函数的定义，我们有kx1' + b = 0，kx2' + b = 0和kx3' + b= 0。

由此可得，x1' = -b/k，x2' = -b/k和x3' = -b/k。

由于截距x1'，x2'和x3'是常数，它们所构成的三角形是直角三角形。

利用直角三角形的性质，我们可以很容易地计算其面积。

假设直角三角形的两条直角边分别为x1'和x2'，那么面积可由公式S = (1/2) * x1' * x2'计算得出。

代入x1' = -b/k和x2' = -b/k，我们得到S= (1/2) * (-b/k) * (-b/k) = (b^2)/(2k^2)。

现在我们已经找到一次函数动点三角形的面积公式，接下来通过具体的例子来应用这一公式。

例子一：考虑一次函数y = 2x + 1，取三个点A(1, 3)，B(2, 5)和C(3, 7)。

(完整版)八年级数学一次函数动点问题

（1）点C的坐标为___________，直线的解析式为_ __________．
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。
（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线相交于点N。试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
（3）在坐标平面内存在这样的点M，使得△MAC为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标。
6、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线经过O、C两点．点A的坐标为(8，o)，点B的坐标为(11．4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2 个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C—B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒( )．△MPQ的面积为S．
为（-6，0）。（1）求的值；（2）若点P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由。
5、己知如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为。
（2）当为等腰三角形时，求点的坐标．
（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？
9、如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。（1）求直线的解析式；（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

8年级数学专题10 一次函数中动点坐标与面积之间的问题

【详解】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，
将点和点的坐标代入，得
，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵点（a，2）在该函数的图象上，
∴2a-1=2，
解得；
（3）当y=0时，得到2x-1=0，解得x= ，
∴C点坐标为，
∵P点在直线上，
∴ ，
∴ ，
当时，，
当时， .
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，利用解析式求出点的坐标，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象与几何图形.
5.已知A( ， )，B( ， )，点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线与y轴交于点D，与直线AB交于点E，且E点在第二象限。
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点D(0，1)，过点B作于F，连接BC，求的度数及的面积；
（3）若点G(G不与C重合)是动直线CD上一点，且，试探究与之间满足的等量关系，并加以证明．
3.如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2；
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式；
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积．
专题10一次函数中动点坐标与面积之间的问题
【专题说明】
此类问题两个难点：
一、根据已知直线的解析式表示动点坐标；
二、用动点及已知点的坐标来表示所需线段的长度；
三、根据动点所处不同位置进行分类讨论．
另外，需要注意自变量取值范围．
1.已知四条直线，，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．

八年级数学一次函数动点问题

八年级数学一次函数动点问题1、如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t 〔单位：秒〕，当两点相遇时运动停顿.① 点A 坐标为________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________； ② 当t =2时，S =△OPQ ____________；当t =3时，OPQ S =△____________； ③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式;④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △，假设能找到请求出M 点的坐标，假设不能找到请简单说明理由。

2、如图，在平面直角坐标系，点A 〔0，6〕、点B 〔8，0〕，动点P 从点A 开场在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开场在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式； (2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？xyOAB x yOAB x yOAB3、如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t〔0≤t≤4〕。

〔1〕过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标〔用t表示〕〔2〕求△OPQ面积S〔cm2〕，与运动时间t〔秒〕之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？〔3〕当t为何值时，△OPQ为直角三角形？〔4〕证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。