2012年高考训练题(08) 数形结合、函数与方程思想答案
2012年高考数学试题解析 分项版之专题08 立体几何 学生版 文.pdf
单元测试(二) 方程与不等式(时100分钟 满分：150分)题号一二三四五六七八总分合分人复分人得分 一、选择题(本大题共10小题每小题4分满分40分)(滚动考查相反数与绝对值的概念)－的相反数是( )－4 2．(滚动考查科学记数法)南海资源丰富其面积约为350万平方千米相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍．其中350万用科学记数法表示为( )B．3.5×107 C．3.5×106 D．35×105 3．(滚动考查分式性质)下列等式成立的是( )＋＝＝＝D.＝－把不等式组的解集表示在数轴上正确的为图中的( ) 5．(兼顾考查因式分解、一元二次方程的解、实数与整式运算)在一节数学复习课上王老师在小黑板上写＝－3；②分解因式：16x－1＝(4x＋1)(4x－1)；③方程x(x＋2)＝3(x＋2)的解是x＝3；④化简：x＋2x＝3x其中正确的个数是( )个 ．个 ．个 ．个已知二元一次方程组则x＋y等于( )(滚动考查列代数式的实际应用)岳西某村贫困家庭的孩子读书享受“两免一补”(即免学杂费、免课本费补助寄宿生活费)加上免收农业税该家庭现在平均每月可减少40的费用支出．若该家庭原来平均每月支出m元则现在每月的支出为( ) B. C．60%m D．40%m 8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) 9．为了丰富同学们的业余生活体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元小强一共用了320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍若设每副羽毛球拍x元每副乒乓球拍y元可列二元一次方程组为( ) B. C. D. 10．(2015·哈尔滨)今年我市计划扩大城区绿地面积现有一块长方形绿地它的短边长为60 若将短边增大到与长边相等(长边不变)使扩大后的绿地的形状是正方形则扩大后的绿地面积比原来增加1 600时．设扩大后的正方形绿地边长为x 下面所列方程正确的是( )(x－60)＝1 600 ．(x＋60)＝1 600(x＋60)＝1 600 ．(x－60)＝1 600二、填空题(本大题共4小题每小题5分满分20分)(2014·怀远模拟)分式方程＝的解为x＝________. 12．(2014·宣城模拟)方程组的解是________．如图数轴上所表示的不等式组的解集是____________________． 14．(2015·咸宁)如果实数x满足方程组则x－y的值为________．三、(本大题共2小题每小题8分满分16分)解方程：5(x－5)＋2x＝－4.解方程：x＋3x＝2.四、(本大题共2小8分满分16分)7．(兼顾考查整式的运算和一元二次方程的解法)已知x－4x＝0求代数式(2x－1)－(2x＋y)(2x－y)－y的值．解不等式组：五、(本大题共2小题每小题10分满分20分)(兼顾考查分式的运算和分式方程的解法)已知y＝－当x为何值时的值为？(兼定义新运算：对于任意实数a都有ab＝a(a－b)＋1等式右边是通常的加法、减法及乘法运算比如：25＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.(1)求(－2)3的值；(2)若3x的值小于13求x的取值范围并在数轴上表示出来．六、(本题满分12分)小明在超市帮妈请你根据图中的信息若小明把50个纸杯整齐叠放在一起你能帮小明求出它的高度吗？ 七、(本题满分12分)年底某市汽车拥有量为100万辆而截止2015年底该市的汽车拥有量已达到144万辆．求2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率．八、(本题满分14分)(兼顾考查二元一次方程组、一元一次不等式及一次函数的应用)(2015·常德)某物流公司承接A、B两种货物的运输业务已知5月份A货物运费单价为50元/吨货物运费单价为30元/吨共收运费9 500元；6月份由于油价上涨运费单价上涨为：A货物70元/吨货物40元/吨．该物流公司6月份承接的A种货物和B种货物数量与5月份相同13 000元．问：(1)该物流公司5月份运输两种货物各多少吨？(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物共330吨且A货物的数量不大于B货物的2倍在运费单价与6月份相同的情况下该物流公司7月份最多将收取多少运输费？ 2. 3. 4.B 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.1 12. 13.－1＜x≤2(其他表示也可) 14.－ 15.去括号得：5x－25＋2x＝－4移项得：7x＝21系数化为1得：x＝3. 16.∵a＝1＝3＝－2＝＝＝＝ 17.原式＝4x－4x＋1－4x＋y－y＝－4x＋1.∵x2－4x＝0解得x＝4＝0. 当x＝4时原式＝－4x＋1＝－4×4＋1＝－15； 当x＝0时原式＝－4x＋1＝－4×0＋1＝1. 18.由①去分母得：3－(x－1)≥0化简得：－x≥－4解得x≤4； 由②去括号得：3－(2x－2)＜3x即3－2x＋2＜3x解得x＞1把两解集表示在数轴上如图所示： ∴不等式组的解集为1＜x≤4. 19.原式＝－ ＝－当y的值为时－＝解得x＝－3经检验x＝－3是这个方程的解且原式有意义当x＝－3时的值为 20.(1)(－2)3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11. (2)∵3x＜13(3－x)＋1＜13－3x＋1＜13－3x＜3x＞－1.在数轴上表示如图所示： 21．设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高单独一个纸杯的高度为y 则 解得 则49x＋y＝49×1＋7＝56. 答：把50个纸杯整齐地叠放在一起时的高度约是56 22.设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x根据题意得 100(1＋x)＝144.解得x＝0.2＝20＝－2.2(不合题意舍去)． 答：2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为20 23.1)设该物流公司5月份运输A、B两种货物各x吨、y吨依题意得 解得 答：该物流公司5月份运输A种货物100吨运输B种货物150吨． (2)设物流公司7月份运输A种货物a吨收取w元运输费则依题意有： a≤2(330－a)则a≤220. ∴a最大为220.w＝70a＋40(330－a)＝30a＋13 200. ∵k＝30>0随a的增大而增大． ∴当a＝220时最大＝30×220＋13 200＝19 800(元)． 答：该物流公司7月份最多将收取运输费19 800元． 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
高考数学数形结合思想解析(与“练习”有关文档共14张)
,求
y+5 x+2
最大值和最小值。
3
-3 -2
O
3X
-3
-5
第6页，共14页。
练习1：已知x，y满足条件
பைடு நூலகம்x2
16
+
y2 25 =1
，
求y-3x的最值。
Y 5
y-3x最大值为： 13
y-3x最小值 为：-13
-4
O 4X
第7页，共14页。
-5
练习2：从点P(m , 3)向圆 (x+2)2 + (y+2) 2 =1
点的线段相交，则l 斜率的取值范围是------------。
Y
Y
M
[5,+∞) ∪(- ∞ ,
2 5]
2
y-3x最大值为： 13
O π2 π X -2 SSS求y围一段围yy[s[ys求练 围y段求练数ysS55((-(--iiiiiiinnnc333cc,,nnnny是象没是y习是没函习形++(((oooxxx--xxx∞∞33最最最sss-限 有 -3-有 数 5结------xx)):：-------的大的大大---内公公f合∪∪直------1111(22)2)已)---最值最值值===θ---有共共思((线)))-----)===知---=值为值为为--∞∞-两点点想sssl---iii双过---nnn。：。：：,,---个，，在---曲点------不则则《---111---111线M---333。。。同正正解(]]-的数数析1 ,交几aa2的的点何)且取取》,的则与值值中最m以范范的大的P围围应的(值取-为为2用右值和,----焦范---最3----点)--、小----为。。Q值F(4，。,0)为端
2012高考数学函数与方程思想练习题及答案
x 2 mx 4 2m 4 x 恒成立，则 x 的取值范围为_________________ 7．关于 x 的不等式 2 32 x 3x a 2 a 3 0 ，当 0 x 1 时恒成立,则实数 a 的取值范围为 ____ 2 8. 设 a 1 ，若有且仅有一个常数 c 使得对于任意的 x a,2a ，都有 y a, a 满足方程 loga x loga y c ，这时 a 的取值的集合为
基础大题自测（九） A A 1．已知在 ABC 中, a 3 ,向量 m (sin ， cos A) ， n ( 3， 2cos ) ， m // n 2 2 b c (1) 求角 A 的大小； (2) 求 的取值范围
2． 甲乙两个人进行射击， 甲射击一次中靶概率是 p1 ， 乙射击一次中靶概率是 p2 ， 已知
5b c 1， （ a 、b 、c R ） ，则有（ ） 5a (A) b 2 4ac (B) b 2 4ac (C) b 2 4ac (D) b 2 4ac 5． 若关于 x 的方程 sin2 x a cos x 2a 0 有实数解， 则实数 a 的取值范围是_____________ 6．已知 f (t ) log2 t ， t [ 2 ,8] ，对于 f (t ) 值域内的所有实数 m ，不等式
函数与方程思想
函数与方程的思想就是用函数、 方程的观点和方法来处理问题， 从而可利用函数的性质、 图象或解方程来获得问题的解的一种思维策略。 函数与方程的思想是中学数学中最重要的数学思想之一， 许多问题一旦转化为函数或方 程来研究，思考的方向就会非常明确，从而有效解决。 1．已知 3x 2 2 y 2 6 x ，则 x 2 y 2 1 的最大值是( (A) )
高三数形结合练习题
高三数形结合练习题一、函数与图形1. 已知函数$f(x) = x^2 4x + 3$，求函数图像的顶点坐标。
2. 画出函数$g(x) = |x 2|$的图像，并求出其与x轴的交点坐标。
3. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$的图像，求出当$x$为何值时，$h(x)$取得最小值。
4. 判断函数$y = 2^x$与$y = \log_2x$的图像是否关于y轴对称。
5. 已知函数$y = ax^2 + bx + c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1, 2)$，求$a$、$b$、$c$的值。
二、方程与图形1. 求解方程$x^2 5x + 6 = 0$，并在坐标系中画出其对应的函数图像。
2. 画出方程$|x| + |y| = 1$表示的图形。
3. 已知方程$y = x^3 3x$，求其图像与x轴的交点坐标。
4. 判断方程$y = x^2$与$y = x^2$的图像是否关于x轴对称。
5. 求解方程组$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5\end{cases}$，并在坐标系中画出其解对应的点。
三、不等式与图形1. 画出不等式$y > x^2 4x + 3$表示的平面区域。
2. 已知不等式$|x| + |y| \leq 1$，求其表示的平面区域的面积。
3. 求解不等式组$\begin{cases} x y \geq 1 \\ 2x + y \leq4 \end{cases}$，并在坐标系中画出其解对应的区域。
4. 判断不等式$x^2 + y^2 \leq 1$表示的图形是否为圆形。
5. 已知不等式$y \geq x$，求其与直线$y = x + 2$围成的三角形面积。
四、数列与图形1. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = n^2$，求出数列的前5项，并在坐标系中画出其对应的点。
2. 画出数列$\{b_n\}$的前5项，其中$b_n = 2^n$。
关于数形结合的高考题
1. 题目：一个正方形的边长为2cm，一条与其边平行的线段将该正方形分成两个小正方形和两个等边三角形。
求线段的长度。
答案：线段的长度为2√2 cm。
2. 题目：一个圆的半径为3cm，在圆的内部画一个正方形，且正方形的四个顶点分别位于圆的四个切点上。
求正方形的面积。
答案：正方形的面积为18 cm²。
3. 题目：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，将它剖开后得到的截面是一个等腰梯形，底边长度为6cm，顶边长度为2cm。
求截面的高度。
答案：截面的高度为3cm。
4. 题目：一个球的体积为36πcm³，将其剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求球的半径。
答案：球的半径为3 cm。
5. 题目：一个正方体的表面积为96 cm²，将其剖开后得到的截面是一个正方形。
求正方体的边长。
答案：正方体的边长为4 cm。
6. 题目：一个圆柱的底面积为16πcm²，高度为10 cm。
将它剖开后得到的截面是一个等腰梯形，底边长度为8cm，顶边长度为2cm。
求圆柱的半径。
答案：圆柱的半径为2 cm。
7. 题目：一个圆锥的底面积为9πcm²，高度为12 cm。
将它剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求圆锥的半径。
答案：圆锥的半径为3 cm。
8. 题目：一个正方体的表面积为150 cm²，将其剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求正方体的边长。
答案：正方体的边长为5 cm。
9. 题目：一个圆柱的底面积为25πcm²，高度为8 cm。
将它剖开后得到的截面是一个正方形。
求圆柱的半径。
答案：圆柱的半径为2 cm。
10. 题目：一个圆锥的底面积为16πcm²，高度为6 cm。
将它剖开后得到的截面是一个正方形。
求圆锥的半径。
答案：圆锥的半径为2 cm。
高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(2)数形结合思想(含答案)
第 2 讲数形联合思想1．数形联合的数学思想：包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大概能够分为两种情况：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精准性和规范严实性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精准地说明曲线的几何性质．2．运用数形联合思想剖析解决问题时，要按照三个原则：(1)等价性原则．在数形联合时，代数性质和几何性质的变换一定是等价的，不然解题将会出现破绽．有时，因为图形的限制性，不可以完好的表现数的一般性，这时图形的性质只好是一种直观而浅易的说明，要注意其带来的负面效应．(2)两方性原则．既要进行几何直观剖析，又要进行相应的代数抽象探究，仅对代数问题进行几何剖析简单犯错．(3)简单性原则．不要为了“数形联合”而数形联合．详细运用时，一要考虑能否可行和能否有益；二要选择好打破口，适合设参、用参、成立关系、做好转变；三要发掘隐含条件，正确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应想法选择动直线与定二次曲线．3．数形联合思想解决的问题常有以下几种：(1)建立函数模型并联合其图象求参数的取值范围．(2)建立函数模型并联合其图象研究方程根的范围．(3)建立函数模型并联合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)建立函数模型并联合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构成立体几何模型研究代数问题．(6)建立分析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)建立方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、地点关系、性质等．4．数形联合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇异功能，这就要求我们在平常学习中增强这方面的训练，以提升解题能力和速度．详细操作时，应注意以下几点：(1)正确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法议论方程 (特别是含参数的方程 )的解的个数是一种卓有成效的方法，值得注意的是第一要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适合调整，以便于作图 )，而后作出两个函数的图象，由图求解．热门一 利用数形联合思想议论方程的根例 1(2014 ·山东 )已知函数 f(x)＝ |x － 2|＋ 1， g( x)＝ kx ，若方程 f(x) ＝ g(x) 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 ()11 ， 1)A ．(0， )B ． (22C ． (1,2)D ． (2，＋ ∞)答案 B分析先作出函数 f(x)＝ |x － 2|＋ 1 的图象，如下图，当直线 g(x)＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)＝ kx 过 A 点时斜率为1，故 f(x)＝ g(x) 有两个不相等的实根时，k 的范围为 (1， 1)．22思想升华 用函数的图象议论方程 (特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 ) 的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟习函数的表达式 (不熟习时，需要作适合变形转化为两个熟习的函数 )，而后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程 解的个数．x 2＋bx ＋ c ， x ≤0，设函数 f(x)＝ 若 f(－ 4)＝ f(0)， f( － 2)＝－ 2，则对于 x 的方程2， x>0，f(x)＝ x 的解的个数为 ( )A ．1B ． 2C ． 3D ． 4答案 C分析由 f(－ 4)＝ f(0)， f(－2) ＝－ 2，x 2＋ 4x ＋ 2， x ≤0，解得 b ＝4， c ＝ 2，∴ f(x)＝2， x>0.作出函数 y ＝ f(x)及 y ＝ x 的函数图象如下图，由图可得交点有 3 个．热门二利用数形联合思想解不等式、求参数范围例 2(1)已知奇函数 f(x)的定义域是 { x|x≠0， x∈R } ，且在 (0，＋∞)上单一递加，若f(1)＝ 0，则知足 x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 ________．1(2) 若不等式 |x－ 2a| ≥x＋ a－ 1 对 x∈R恒成立，则 a 的取值范围是 ________．2答案 (1)( － 1,0)∪ (0,1)(2)－∞，12分析(1) 作出切合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 (－ 1,0)∪ (0,1)．1(2) 作出 y＝ |x－ 2a|和 y＝2x＋ a－1 的简图，依题意知应有2a≤2－ 2a，1故 a≤2.思想升华求参数范围或解不等式问题时常常联系函数的图象，依据不等式中量的特色，选择适合的两个(或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下地点关系转变数目关系来解决问题，常常能够防止烦杂的运算，获取简捷的解答．(1)设 A＝{( x， y)|x2＋ (y－1) 2＝ 1} ， B＝ {( x， y)|x＋ y＋ m≥0}，则使 A? B 成立的实数 m 的取值范围是 __________ ．(2) 若不等式9－ x2≤k(x＋ 2)－2的解集为区间 [a， b] ，且 b－a＝ 2，则 k＝ ________.答案(1)[2－ 1，＋∞) (2)2分析(1) 会合 A 是一个圆 x2＋ (y－ 1)2＝ 1 上的点的会合，会合 B 是一个不等式 x＋y＋ m≥0 表示的平面地区内的点的会合，要使 A? B，则应使圆被平面地区所包括(如图 )，即直线 x＋ y＋ m＝ 0 应与圆相切或相离 (在圆的下方 )，而当直线与圆相切时有|m＋1|＝1，又 m>0，2因此 m＝2－ 1，故 m 的取值范围是 m≥ 2－ 1.(2) 令 y1＝ 9－ x2，y2＝ k(x＋ 2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－ x2≤k(x＋ 2)－2的解集为 [a， b]且 b－ a＝ 2.联合图象知b＝ 3， a＝ 1，即直线与圆的交点坐标为(1,2 2)．又因为点 ( －2，－2)在直线上，22＋2因此 k＝＝ 2.热门三 利用数形联合思想解最值问题例 3 (1)已知 P 是直线 l ： 3x ＋4y ＋ 8＝ 0 上的动点， PA 、 PB 是圆 x 2＋ y 2－ 2x － 2y ＋ 1＝0 的两条切线， A 、 B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为 ________．x － 2y ＋ 1≥0，)(2) 已知点 P(x ， y)的坐标 x ， y 知足则 x 2＋ y 2－ 6x ＋9 的取值范围是 (|x|－y － 1≤0， A ． [2,4] B ． [2,16] C ． [4,10] D ． [4,16]答案 (1)2 2 (2)B分析(1) 从运动的看法看问题，当动点P 沿直线 3x ＋ 4y ＋8＝ 0 向左上方或右下方无量远处运动时，直角三角形PAC 的面积S＝1Rt △PAC21 P 从左上、|PA| |AC|·＝ |PA|愈来愈大，进而 S 四边形 PACB 也愈来愈大；当点2右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB 变小，明显，当点 P 抵达一个最特别的地点，即CP垂直直线 l 时， S 四边形 PACB 应有独一的最小值， 此时 |PC|＝ |3 ×1＋ 4×1＋ 8|＝ 3，32＋ 42进而 |PA|＝ |PC |2－ |AC|2 ＝ 2 2.1 因此(S四边形 PACB )min ＝ 2× ×|PA| ×|AC|＝ 22.2(2) 画出可行域如图，所求的 x 2＋ y 2－ 6x ＋ 9＝ (x － 3)2＋ y 2 是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线 x － y － 1＝ 0(x ≥0)的距离 d 的平方，最大值为 |QA|2＝ 16.2|3－ 0－ 1|2＝ ( 2∵ d ＝ (22)2) ＝2.1 ＋ －∴ 取值范围是 [2,16] ．思想升华 (1) 在几何的一些最值问题中，能够依据图形的性质联合图形上点的条件进行变换，迅速求得最值．(2) 假如 (不 )等式、代数式的构造包含着明显的几何特色，就要考虑用数形联合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013 ·重庆 )设 P 是圆 (x － 3)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 上的动点， Q 是直线 x ＝－ 3 上的动点，则 |PQ|的最小值为 ( )A ．6B ．4C ．3D ．2x － y ＋ 1≤0，(2) 若实数 x 、y 知足 x>0，则 y的最小值是 ____．xy ≤2，答案(1)B (2)2分析(1) 由题意，知圆的圆心坐标为(3，－ 1)，圆的半径长为 2，|PQ |的最小值为圆心到直线x＝－ 3 的距离减去圆的半径长，因此|PQ|min＝3－ (－ 3)－ 2＝ 4.应选 B.(2)可行域如下图．又y的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. x由图知，过点 A 的直线 OA 的斜率最小．联立x－ y＋ 1＝ 0，得 A(1,2)，y＝ 2，因此 k OA＝2－0＝ 2.因此y的最小值为 2. 1－ 0x1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面地区、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的门路，当试题中波及这些问题的数目关系时，我们能够经过图形剖析这些数目关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，纯真从图形上没法看出问题的结论，这就要对图形进行数目上的剖析，经过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形联合解题，有时只需把图象大概形状画出即可，不需要精准图象．4．数形联合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1． (2013 ·重庆 )已知圆 C1： (x－ 2)2＋ (y－3) 2＝1，圆 C2： (x－ 3)2＋ (y－4)2＝9， M， N 分别是圆C1， C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 |PM|＋ |PN|的最小值为 ()A ．52－ 4 B.17－ 1C．6－2 2 D.17答案A分析设 P(x,0) ，设 C1对于 x轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC121′|＋(2,3)|＋ |PC |＝ |PC|PC2 |≥|C1′C2|＝－ 2 ＋－ 3－2＝5 2.而 |PM |＋ |PN|＝ |PC1|＋ |PC2|－ 4≥5 2－ 4.2． (2014 ·江西 )在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线 2x＋ y－ 4＝ 0 相切，则圆 C面积的最小值为 ()4 A. 5π3 B. 4πC． (6－2 5) π5 D. 4π答案A分析∵∠ AOB ＝90°，∴点 O 在圆 C 上．设直线 2x＋ y－ 4＝0 与圆 C 相切于点 D ，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线2x＋ y－ 4＝0 的距离，∴点 C 在以 O 为焦点，以直线2x＋ y－ 4＝ 0 为准线的抛物线上，∴当且仅当O， C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD |＝ |2 ×0＋ 0－ 4|＝ 4 ，55∴圆 C 的最小半径为2，5∴圆 C 面积的最小值为224π.π( )＝55－ x2＋ 2x， x≤0，3． (2013 ·课标全国Ⅰ )已知函数 f(x)＝若 |f(x)| ≥ax，则 a 的取值范围是 ()x＋， x>0.A ． (－∞，0]B．(－∞，1]C． [－2,1] D ． [－ 2,0]答案D分析函数 y＝ |f(x)|的图象如图．①当 a＝0 时， |f(x)|≥ax 明显成立．②当 a>0 时，只需在 x>0 时，ln( x＋1) ≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y＝ ax 的增加速度．明显不存在a>0 使 ln( x＋ 1)≥ax 在 x>0 上恒成立．2③当 a<0 时，只需在x<0 时， x －2x≥ax 成立．综上所述：－2≤a≤0.应选 D.4． (2014 ·天津 )已知函数 f(x)＝ |x2＋ 3x|， x∈R.若方程 f(x)－ a|x－ 1|＝ 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 ________．答案(0,1)∪ (9，＋∞)分析设 y1＝ f(x)＝ |x2＋ 3x|， y2＝ a|x－ 1|，在同向来角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|， y2＝ a|x－ 1|的图象如下图．由图可知 f(x)－a|x－ 1|＝ 0 有 4个互异的实数根等价于y1＝ |x2＋ 3x|与 y2＝ a|x－ 1|的图象有 4 个不一样的交点．当 4 个交点横坐标都小于 1 时，y＝－ x2－3x，有两组不一样解x1， x2，y＝ a － x消 y 得 x2＋ (3－ a) x＋a＝ 0，故＝a2－10a＋9>0，且 x1＋ x2＝ a－ 3<2， x1x2＝a<1 ，联立可得 0<a<1.当 4 个交点横坐标有两个小于1，两个大于 1 时，y＝ x2＋ 3x，有两组不一样解x3， x4.y＝ a x－消去 y 得 x2＋ (3－ a)x＋ a＝ 0，故＝a2－10a＋9>0，且 x3＋ x4＝ a－ 3>2， x3x4＝a>1 ，联立可得 a>9，综上知， 0< a<1 或 a>9.押题精练221．方程 |x－2x|＝ a ＋ 1(a>0)的解的个数是 ()A ．1 B．2 C．3 D．4答案B分析(数形联合法 )∵a>0 ，∴ a2＋ 1>1.而 y＝ |x2－ 2x|的图象如图，∴ y＝ |x2－ 2x|的图象与y＝a2＋1 的图象总有两个交点．22．不等式 |x＋ 3|－ |x－ 1| ≤a－3a对随意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ()A ． (－∞，－ 1]∪ [4，＋∞)B ． (－∞，－ 2]∪ [5，＋∞)C． [1,2]D ． (－∞，1] ∪[2，＋∞)答案A－ 4x<－，分析f(x)＝ |x＋ 3|－ |x－ 1|＝2x＋ 2－ 3≤x，画出函数f(x)的4x≥图象，如图，能够看出函数f(x)的最大值为4，故只需 a2－3a≥4 即可，解得 a≤－ 1 或 a≥4.正确选项为A.3．经过P(0，－ 1)作直线l，若直线l 与连结 A(1，－ 2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l________，________.的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为答案π3π[－1,1] [0， ]∪[， π)44分析如下图，联合图形：为使l 与线段 AB 总有公共点，则 k PA ≤k ≤k PB ，而 k PB >0， k PA <0 ，故 k<0 时，倾斜角 α为钝角， k ＝ 0 时， α＝ 0， k>0 时， α 为锐角．－ 2－－又 k PA ＝＝－ 1，1－ 0－ 1－1k PB ＝＝ 1， ∴－ 1≤k ≤1.0－ 2π又当 0≤k ≤1 时， 0≤α≤ ；4当－ 1≤k<0 时，3ππ 3π4 ≤α<π故.倾斜角 α的取值范围为 α∈ [0， 4]∪[， π)．42x ＋ 3y － 6≤0，4． (2013 ·山东 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组 x ＋ y － 2≥0，所表示的地区上一y ≥0动点，则 |OM|的最小值是 ________．答案 2分析由题意知原点 O 到直线 x ＋ y － 2＝ 0 的距离为 |OM|的最小值．因此 |OM|的最小值为2＝ 2.25． (2013 ·江西 )过点 ( 2，0) 引直线 l 与曲线 y ＝ 21－ x 订交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为 ________．3答案 － 3分析11 1∵S△ AOB＝|OA ||OB|sin ∠ AOB ＝ sin ∠ AOB ≤ .2 22π当 ∠ AOB ＝ 2时， S △ AOB 面积最大．2此时 O 到 AB 的距离 d ＝ 2 .设 AB 方程为 y ＝ k(x － 2)(k<0)，即 kx － y － 2k ＝ 0.由 d ＝| 2k|＝2得 k ＝－3k 2＋ 1 2 3 .6．设函数 f(x)＝ ax 3－ 3ax ， g(x)＝ bx 2－ ln x(a ， b ∈ R )，已知它们在 x ＝ 1 处的切线相互平行．(1) 求 b 的值；(2) f x ， x ≤0， a 的取值范围．若函数 F(x)＝且方程 F( x)＝ a 2有且仅有四个解，务实数gx ，x>0 ，解函数 g(x)＝ bx2－ ln x 的定义域为 (0，＋∞)，(1) f′(x)＝ 3ax2－3a? f′(1)＝ 0，1g′(x)＝ 2bx－x? g′(1)＝ 2b－ 1，1依题意得2b－ 1＝0，因此 b＝2.1(2) x∈(0,1) 时， g′(x)＝ x－x<0，即 g( x)在 (0,1)上单一递减，1x∈ (1，＋∞)时， g′(x)＝ x－x>0，即 g(x)在 (1，＋∞)上单一递加，1因此当 x＝ 1 时， g(x)获得极小值g(1) ＝；当 a＝ 0 时，方程 F(x)＝ a2不行能有四个解；当 a<0，x∈ (－∞，－ 1)时， f′(x)<0 ，即 f(x)在 (－∞，－ 1) 上单一递减，x∈ (－ 1,0)时， f′(x)>0 ，即 f(x)在 (－ 1,0)上单一递加，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极小值f( －1)＝ 2a，又 f(0) ＝0，因此 F(x)的图象如图 (1)所示，从图象能够看出F(x)＝a2不行能有四个解．当a>0，x∈ (－∞，－ 1)时， f′(x)>0 ，即 f(x)在 (－∞，－ 1)上单一递加，x∈ (－ 1,0)时， f′(x)<0 ，即 f(x)在 (－ 1,0)上单一递减，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极大值f( －1)＝ 2a.又 f(0) ＝0，因此 F(x)的图象如图 (2)所示，从图 (2)看出，若方程F(x) ＝ a 2有四个解，则122<a <2a，因此，实数 a 的取值范围是2. 2， 2。
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08 三角函数 三角恒等变换)
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1. (2012安徽文)要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ） ()A 向左平移1个单位 ()B 向右平移1个单位 （C ）向左平移12个单位 ()D 向右平移12个单位 【解析】选Ccos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移122. (2012福建文)函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 ( ) A. x=4π B. x=2π C . x=-4π D. x=-2π3．(2012湖北理)函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念. 难易度：★解析：0)(=x f ，则0=x 或0cos 2=x ，Z k k x ∈+=,22ππ，又[]4,0∈x ，4,3,2,1,0=k所以共有6个解.选C.4. (2012湖南理)函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为 ( ) A ． [ -2 ,2] B.33 C.[-1,1 ] D.[-32 , 32] 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)31sin sin 3)26x x x x π=+=-，[]sin()1,16x π-∈-，()f x ∴值域为33【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.5. (2012江西文) 若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α= ( )A. -34B. 34C. -43D. 43【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算，分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-，带入所求式可得结果.6. (2012江西文)已知2()sin ()4f x x π=+若a =f （lg5），1(lg )5b f =则( ) A.a+b=0 B.a-b=0 C .a+b=1 D.a-b=1【答案】C【解析】本题可采用降幂处理，则21cos(2lg5)1sin(2lg5)2(lg5)sin (lg5)422a f ππ-++==+==211cos(2lg )111sin(2lg5)52(lg )sin (lg )55422b f ππ-+-==+==，则可得a+b=1.7、(2012江西理)若1tan 4tan θθ+=，则sin 2θ= ( ) A.15 B.14 C.13 D.127.D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===，所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化；另外，22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等.8.(2012辽宁文)已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则sin 2α= ( )(A) -1(B) 2-(C) 2(D) 1【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。
2012年高考真题理科数学解析汇编：函数与方程
2012年高考理科试题分类解析汇编：函数与方程一、选择题1 ．（2012年高考（天津理））函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．32 ．（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12xy e =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为 （ ）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+3 ．（2012年高考（重庆理））已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（ ）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件4 ．（2012年高考（四川理））函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是5 ．（2012年高考（上海春））记函数()y f x =的反函数为1().y f x -=如果函数()y f x =的图像过点(1,0),那么函数1()1y f x -=+的图像过点 [答]（ ）A ．(0,0).B ．(0,2).C ．(1,1).D ．(2,0).6 ．（2012年高考（陕西理））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =7 ．（2012年高考（山东理））设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（ ）A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>8 ．（2012年高考（山东理））函数cos 622x xxy -=-的图像大致为9 ．（2012年高考（山东理））定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =.则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（ ）A ． 335B ．338C ．1678D ．201210．（2012年高考（辽宁理））设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]x ∈时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．（2012年高考（江西理））若函数f(x)= 21,1lg ,1x x x x ⎧+≤⎨>⎩,则f(f(10)=（ ）A ．lg101B ．bC ．1D ．012．（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数（ ）A ．y=1sin xB ．y=1nxxC ．y=xe xD ．sin xx13．（2012年高考（湖南理））已知两条直线1l :y =m 和2l : y=821m +(m >0),1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A,B ,2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,ba的最小值为 （ ）A ．B ．C ．D ．14．（2012年高考（湖北理））函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．715．（2012年高考（广东理））(函数)下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是 （ ）A ．()ln 2y x =+B．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+16．（2012年高考（福建理））函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②()f x在[1上具有性质P ; ③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈; ④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号是 （ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数,则下列结论错误的是 （ ）A ．()D x 的值域为{}0,1B ．()D x 是偶函数C ．()D x 不是周期函数 [D ．()D x 不是单调函数18．（2012年高考（安徽理））下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是（ ）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()f x x =+1D ．()f x x =-二、填空题19．（2012年高考（天津理））已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是______________.20．（2012年高考（四川理））记[]x 为不超过实数x 的最大整数,例如,[2]2=,[1.5]1=,[0.3]1-=-.设a 为正整数,数列{}n x 满足1x a =,1[][]()2n nn a x x x n N *++=∈,现有下列命题:①当5a =时,数列{}n x 的前3项依次为5,3,2;②对数列{}n x 都存在正整数k ,当n k ≥时总有n k x x =;③当1n ≥时,1n x ;④对某个正整数k ,若1k k x x +≥,则n x =.其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)21．（2012年高考（上海理））已知2)(x x f y+=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g _______ .22．（2012年高考（上海理））已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是_________ .23．（2012年高考（上海春））函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值是______.24．（2012年高考（上海春））若(2)()()x x m f x x++=为奇函数,则实数m =______.25．（2012年高考（上海春））方程1420xx +-=的解为_______.26．（2012年高考（上海春））函数y =的定义域为_______.27．（2012年高考（江苏））设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上, 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为____. 28．（2012年高考（江苏））函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.29．（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.30．（2012年高考（北京理））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若同时满足条件:①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <;②(,4)x ∃∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是________.三、解答题31．（2012年高考（上海理））已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.32．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.定义向量(,)OM a b =的“相伴函数”为()sin cos ;f x a x b x =+函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”为(,)OM a b =(其中O 为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.S (1)设()3sin()4sin ,2g x x x π=++求证:();g x S ∈(2)已知()cos()2cos ,h x x x α=++且(),h x S ∈求其“相伴向量”的模;(3)已知(,)(0)M a b b≠为圆22:(2)1C x y -+=上一点,向量OM的“相伴函数”()f x在0x x =处取得最大值.当点M 在圆C 上运动时,求0tan2x 的取值范围.33．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?34．（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.35．（2012年高考（湖南理））某企业接到生产3000台某产品的A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A 部件6件,或B 部件3件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k(k 为正整数). (1)设生产A 部件的人数为x,分别写出完成A,B,C 三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.2012一、选择题 1. 【答案】B定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1:因为(0)=1+02=1f --,f 且函数()f x 在(0,1)内连续不断,故()f x 在解法2:设1=2x y ,32=2y x -,知B 正确. 2. 【解析】选A函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒= 由图象关于y x =对称得:PQ 最小值为min 2ln 2)d =-3. 【答案】D【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[1,0]-为减函数,又2为周期,所以()f x 在[3,4]上为减函数.【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性,根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键. 4. [答案]C[解析]采用排除法. 函数(0,1)xy a a a a =->≠恒过(1,0),选项只有C 符合,故选C. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用. 5. B6. 解析:奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确. 7. 【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当0<a 时,要想满足条件,则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --,由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ,同理当0>a 时,则有0,02121>+<+y y x x ,故答案选B.另法:32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得b .不妨设12x x <,则223x b ==.所以21()()(2)F x x x x =-,比较系数得1x -=,故1x =120x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案为B. 解析:令bx ax x+=21,则)0(123≠+=x bx ax ,设23)(bx ax x F +=,bx ax x F 23)(2+='令023)(2=+='bx ax x F ,则abx 32-=,要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需1)32()32()32(23=-+-=-abb a b a a b F ,整理得23274a b =,于是可取3,2=±=b a 来研究,当3,2==b a 时,13223=+x x ,解得21,121=-=x x ,此时2,121=-=y y ,此时0,02121>+<+y y x x ;当3,2=-=b a 时,13223=+-x x ,解得21,121-==x x ,此时2,121-==y y ,此时0,02121<+>+y y x x .答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b ax x+=21.设b ax y xy +=''=',12 不妨设21x x <,结合图形可知,当0>a 时如右图,此时21x x >, 即021>>-x x ,此时021<+x x ,112211y x x y -=->=,即021>+y y ;同理可由图形经过推理可得当0<a 时0,02121<+>+y y x x .答案应选B.8. 【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,令0=y 得06cos =x ,所以ππk x +=26,ππ612kx +=,函数零点有无穷多个,排除C,且y轴右侧第一个零点为)0,12(π,又函数x x y --=22为增函数,当120π<<x 时,022>-=-x x y ,06cos >x ,所以函数0226cos >-=-xx xy ,排除B,选D.9. 【解析】由)()6(x f x f =+,可知函数的周期为6,所以1)3()3(-==-f f ,0)4()2(==-f f ,1)5()1(-==-f f ,0)6()0(==f f ,1)1(=f ,2)2(=f ,所以在一个周期内有1010121)6()2()1(=+-+-+=+++f f f ,所以33833351335)2()1()2012()2()1(=+=⨯++=+++f f f f f ,选B.10. 【答案】B【解析】因为当[0x ∈时,f (x )=x 3.所以当[1,2]-)[0,1]x x ∈∈时，(2,f (x )=f (2-x )=(2-x )3,当1[0,]2x ∈时,g (x )=x cos ()x π;当13[,]22x ∈时,g (x )= -x cos ()x π,注意到函数f (x )、g (x )都是偶函数,且f (0)= g (0), f (1)= g (1),13()()022g g ==,作出函数f (x )、 g (x )的大致图象,函数h (x )除了0、1这两个零点之外,分别在区间1113[,0][][][1]2222-、0,、,1、,上各有一个零点,共有6个零点,故选B【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大. 11. B 【解析】本题考查分段函数的求值.因为101>,所以()10lg101f ==.所以2((10))(1)112f f f ==+=.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间,就使用哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式.12. D 【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域.函数y =的定义域为()(),00,-∞+∞ ,而答案中只有s i n x y x =的定义域为()(),00,-∞+∞ .故选D.【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. 13. 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=821m +(m>0),2log y x =图像如下图,由2log x = m,得122,2m mx x -==,2log x = 821m +,得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++,min ()b a ∴=.【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=821m +(m>0),2log y x =图像,结合图像可解得.14.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.解析:0)(=x f ,则0=x 或0cos 2=x ,Z k k x ∈+=,22ππ,又[]4,0∈x ,4,3,2,1,0=k所以共有6个解.选C.15.解析:A.()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数. 16. 【答案】D【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误【考点定位】此题主要考查函数的概念、图像、性质,考查分析能力、推理能力、数形结合思想,转化化归思想. 17. 【答案】C【解析】A,B.D 均正确,C 错误.【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键.821m =+xm18. 【解析】选C()f x kx =与()f x k x =均满足:(2)2()f x f x =得:,,A B D 满足条件二、填空题19. 【答案】(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点,从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -(1,2)A -,(1,0)C -,(1,2)D ,∴0+2==210BC k ---,2+2==410BD k -,解法二:【解析】函数时,11112+=+=--=x x x x y ,当1<x 时,综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，,做出函数的图象(蓝线),要使函数y 与2-=kx y 有两个不同的交点,则直线2-=kx y 必须在四边形区域ABCD 内(和直线1+=x y 平行的直线除外,如图,则此时当直线经过)2,1(B ,401)2(2=---=k ,综上实数的取值范围是40<<k 且1≠k ,即10<<k 或41<<k .20. [答案]①③④[解析]若5a =,根据1[][]()2n nn a x x x n N *++=∈当n=1时,x 2=[215+]=3, 同理x 3=2]213[=+, 故①对. 对于②③④可以采用特殊值列举法:当a=1时,x 1=1, x 2=1, x 3=1, x n =1, 此时②③④均对. 当a=2时,x 1=2, x 2=1, x 3=1, x n =1, 此时②③④均对 当a=3时,x 1=3, x 2=2, x 3=1, x 4=2x n =1, 此时③④均对综上,真命题有 ①③④ .[点评]此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法.21. [解析]2)(x x f y +=是奇函数,则4]1)1([)1()1(22-=+-=-+-f f ,所以3)1(-=-f ，(1)1g -=-。
2012届高三数学第二轮复习《数形结合思想》专题三
2012届高三数学第二轮复习【数形结合】专题三 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用【例题1】① 已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时， f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是 ；A ．5B ．7C ．9D ．10② 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则f (x )－f (－x )x<0的解集为 ； A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)题型二 数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例题2】已知a 是实数，函数f (x )＝2a |x |＋2x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是__________________．题型三 数形结合思想在几何中的应用【例题3】已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．题型三 数形结合思想在向量中的应用 【例题4】已知,a b 为不共线的向量，设条件:()M b a b ⊥- ；条件:N 对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥- 恒成立．则M 是N 的________条件．1．方程sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝14x 的实数解的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．以上均不对2．设函数,021(),0x x f x x x -≤⎧-=⎨>⎩，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是 ( ) A.(-1,1) B.(-1，+∞) C.(-∞，-2)∪(0，+∞) D.(-∞，-1)∪(1，+∞)3．在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则 ( )A ．f (sin 12)<f (cos 12)B ．f (sin π3)>f (cos π3)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f (sin 32)>f (cos 32) 4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到 直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( )A ．2B ．3 C.115 D.37165．不等式x 2－log a x <0，在x ∈(0，12)时恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．0<a <1 B ．116≤a <1 C ．a >1 D ．0<a ≤1166．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )， 则abc 的取值范围是 ( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 7．不等式组00x y x y x a +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积是4，则y x +2的最小值为 .8．在ABC ∆中，4,3AB AC ==，G 为外心，则AG BC ⋅ 的值为________．9(1)k x ≤+的解集为区间[,]a b ,且1=-a b ,则k = .10．已知实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积；(2)b －2a －1的取值范围；(3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．2012届高三数学第二轮复习【数形结合】解答【例题1】解答：(1)由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg 10＝1，故当x >10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．(2) ∵f (x )为奇函数，∴f (x )－f (－x )＝2f (x )画出y ＝2f (x )的大致图象．则f (x )与x 异号的区间 ∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选D.【例题2】解析 易知a ≠0，f (x )＝0，即2a |x |＋2x －a ＝变形得|x |－12＝－1a x ，分别画出函数y 1＝|x |－12，y 2＝－1ax 当0<－1a <1或－1<－1a<0时，y 1和y 2∴当a <－1或a >1时，函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【例题3】(14，－1) 【例题4】【解析】 方法一：构造直角三角形OAB ，其中a ＝OA →，b ＝OB →，xb ＝OD →，则a －b ＝BA →，由b ⊥(a －b )得∠ABO ＝90°，当点D 与点B 不重合时，由斜边大于直角边得 |a －xb |>|a －b |，当点D 与点B 重合时|a －xb |＝|a －b |，反之也成立，M 是N 的充要条件．方法二：将不等式|a －xb |≥|a －b |两边平方后转化为b 2x 2－2()a ·b x ＋2a ·b －b 2≥0对于任意实数x 恒成立，Δ＝4()a ·b 2－4b 2()2a ·b －b 2＝4()b 2－a ·b 2≤0，即b 2－a ·b ＝0，b (b －a )＝0，所以有b ⊥(a －b )．1．解析：分别作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4和y ＝14x 的图象如图： 由图象知方程的实数解有3个．2．解析 方法二 首先画出函数y ＝f (x )与y ＝1的图象(如图)，解方程f (x )＝1，得x ＝－1，或x ＝1.由图中易得f (x 0)＞1时，所对应x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．解析 由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期，设x ∈[－1,0]，知x ＋4∈[3,4]， f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，画出函数f (x )的图象，如图所示：sin 12<cos 12⇒f (sin 12)>f (cos 12)； sin π3>cos π3⇒f (sin π3)<f (cos π3)； sin 1>cos 1⇒f (sin 1)<f (cos 1)；sin 32>cos 32⇒f (sin 32)<f (cos 32)．故选C. 4．解析 记抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，则F (1,0)，注意到直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，于是抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 2的距离等于|PF |，问题即转化为求抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离与它到焦点F (1,0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即等于|4×1－3×0＋6|5＝2，5．解析 B.6．解析 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．7．解析 当抛物线2y x z =-+与直线0x y +=相切时，z 最小联立20y x z x y ⎧=-+⎨+=⎩，得20x x z --=，min 11404z z ∆=+=⇒=-． 8．11(2)()22AG BC AB AC GO BC AB AC BC ∴⋅=+-⋅=+⋅ 22117()()()222AB AC AC AB AC AB =+⋅-=-=- .9．解 令1y =)1(2+=x k y .其示意图如图8-3:若0k >,要满足21y y ≤,则2=b ,此时1=a .从而k ==若0k <,要满足21y y ≤,则2-=a .则11-=+=a b ,从而k 不存在.10．解 方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b >0，a ＋2b ＋1<0，a ＋b ＋2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0.解得A (－3,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋2＝0，b ＝0.解得B (－2,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0b ＝0.解得C (－1,0)．∴在如图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1) △ABC 的面积为S △ABC ＝12×|BC |×h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)． (2) b －2a －1几何意义是点(a ，b )和点D (1,2)连线的斜率．∵k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1， 由图可知k AD <b －2a －1<k CD ，∴14<b －2a －1<1，即b －2a －1∈(14，1)． (3) ∵(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b )与定点(1,2)之间距离的平方，∴(a －1)2＋(b －2)2∈(8,17)．。
2012高考数学数形结合思想练习题及答案1.doc
3
3
【例5】（1）解：原方程即为
3 x
0
3 x
0
x2
即
3x
m 3 x
( x 2)2
1 m
设曲线y1( x 2)2, x
(0,3)和直线y21
m。
构成的图象如左图所示
由图可知：①当1－m=0时有唯一解，m=1
②当11m4时有唯一解即3m0
m1或3m0。
（2）解析 ：
f ( 4)
f ( 0)
16
4b
2
4
。O 1x
图1
y
-1O1x
（3）分析：
对于二元函数y
3
x在限定条件x2
y2
下求最值问题，常采用
16
25
1
构造直线的截距的方法来求之。
x2
y2
3，
原问题转化为：在椭圆
1上求一点，使过该点的直线斜率为
1625
由图形知，当直线y
3
x b与椭圆
x2
y
2
截距。
相切时，有最大截距与最小
16
1
25
（3）变式： 分析：由于等号右端根号内t同为一次，故作简单换元2t4m，无法转
x
O
不同的交点。
图12
x=4
(x)
x2
8x
6ln x
m,
'(x)
2x
8
6
2x2
8x 6 2(x
1)(x 3)
x
x
( x 0),
x
当x
(0,1)时，
'(x)
0,
(x)是增函数；
当x
(0,3)时，
例谈2012年浙江省数学高考中的数形结合
分析
解法 １ 是将所求向量运算转化 为基本
（ 已知 ） 向量 加 减 乘运 算 来 解 决 ， 即利 用 基 底 思 想 将所求 的Ａ ・ ｅ ２个 向量通 过 向量 加法 转 化 到 Ａ 中 已知 的基底 向量 ， 而得解 ． 从 解法 ２是借助 坐标 系 ， 将各 点用 坐标 表示 ， 利用 向量坐标 通过代 数运 算来 解决 ， 现 了数 形 结合 的思想． 体
例 ４ 设 口＞０ ｂ ０ ，＞ ．
（
）
Ｙ＝ ＋ 口相 切 ， 联立 方程
Ａ 若 ２ ＋ ａ＝ ＋ ｂ则 ０＞ ． “ ２ ２ ３， ｂ Ｂ 若 ２ ＋ ａ＝ ３ ，０ ． 。 ２ ２ ＋ ６贝 口＞ｂ Ｃ 若 ２ ２ ２ 一 ｂ贝 ． 一 ａ＝ ３ ，０ ０＞ｂ
厂 ９ 。 。 ＼
ｆ 。
・
３ ２・
中学教研 （ 数学）
如图 ５联结 Ａ Ｂ ， Ｃ， Ｄ交 于点 ０， 结 Ｐ 联 Ｏ交 ＭＮ
数 的图像 ， 由韦 达定理 得 出对应 的 ２个根 为一 正一
于点 ， 由条 件 可得 ９ 即为所 求二 面角 的平 面 角 ． 所 求 二 面角 对 应 平 面 角 的关键 点 （ Ａ， 将 Ｒ， Ｐ） 和题 中 的 已 知 条 件 集 中 到 平 面 ＡＰ Ｃ 中 ， Ａ Ａ 以 Ｏ，
— ＡＢ
． ：
分析
本题 可 以从 函数解 析式 着手 ， 图像 变换
（ ＋ ） （ ＋ ） 劢 ．劢 ： ＋劢 ． （ ＋ ｄ ＋ Ｂ． ： Ｍ ）Ｍ —
９ —２ ＝ 一 】 ． ５ ６
后 得到 图像对 应 函数应 该是 Ｙ＝ｃｓ ｏ ＋１再 经 过 向 ， 左、 向下 平 移得 到 Ｙ＝１Ｓ ＋１ ， ２（ Ｏ ） 即将 Ｙ＝ｃ 的 ｏ
高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(2)数形结合思想(含答案)
第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．热点一 利用数形结合思想讨论方程的根例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)． 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．(1)设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．(2)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2解析 (1)集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1. (2)令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． 又因为点(－2，－2)在直线上， 所以k ＝22＋21＋2＝ 2.热点三 利用数形结合思想解最值问题例3 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．(2)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 (1)22 (2)B解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值， 此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.(2)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16]．思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013·重庆)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 (2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____．答案 (1)B (2)2解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.(2)可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以y x 的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1．(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解x 1，x 2， 消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1. 当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (x －1)有两组不同解x 3，x 4. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9， 综上知，0<a <1或a >9. 押题精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 A解析 f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x <－3)，2x ＋2 (－3≤x <1)，4 (x ≥1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.3．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角． 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)．4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________． 答案2解析 由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值． 所以|OM |的最小值为22＝ 2. 5．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________． 答案 －33解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，即g (x )在(0,1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减， x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解． 当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增， x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－1,0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。
2012高考数学巧用数形结合妙解5类函数问题
2012高考数学巧用数形结合妙解5类函数问题
数形结合是高中数学的重要思想方法,在解选择题、填空题时有广泛的应用，在解答题中一般也可以用数形结合的方法寻找解题的思路，特别在应用导数解决函数性质时，数形结合可直观地呈现函数的单调性、极值的情况．浏览2011年全国各省份高考数学试题，数形结合的考查仍然是以选择题、填空题为主，
复习基本函数时应以熟练技能、方法为目标，要通过经典试题，强化这一数学思想方法．数形结合思想的核心价值和适应范围：〖HT〗数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把数量关系与空间图形巧妙、和谐地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形识数，以数解形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，
充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值．
通过以下五个方面例说数形结合案例：
数形结合思想把形的直观性与数的抽象性有机地结合在一起，不仅在基本初等函数中有着广泛的应用，而且在以后综合复习中也有着广泛的应用．因此，对数形结合思想方法应该高度地重视．。
2012届高考数学第二轮数形结合思想同步复习题(带答案)
2012届高考数学第二轮数形结合思想同步复习题（带答案）2012年高考数学二轮复习同步练习：专题9 数学思想方法第2讲数形结合思想一、选择题 1．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32 D.3 [答案] D [解析] 设k＝yx，即y＝kx，如图所示， kOB＝tan∠O′OB＝322－＝3， kOA＝－tan∠O′OA＝－31＝－3，且kOA≤k≤kOB，∴kmax＝3. 2．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是( ) A．(－π4，π4) B．(π4，3π4) C．(π，3π2) D．(3π2，2π) [答案] C [解析] y＝|sinx|的图象如图所示，观察可得(π，3π2)符合题意． 3．已知不等式1－x2<x＋1，其解集为( ) A．{x|x>1} B．{x|x>－1} C．{x|0<x≤1) D．{x|－1<x≤1} [答案] C [解析] y＝1－x2表示r＝1的上半圆，y＝x＋1表示斜率、截距均为1的直线．故选C. 4．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( ) A.7 B.10 C.13 D．4 [答案] C [解析] 构造如图所示的平行四边形，设OA→＝a，OB→＝3b，∠AOB＝60°，则a＋3b＝OC→，显然∠OBC＝120°，由余弦定理得：|OC→|2＝|a|2＋|3b|2－2|a||3b|cos120° ＝12＋32－2×1×3×(－12)＝13. 则|a＋3b|＝13. 5．(2011•天津理，8)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b>1，设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( ) A．(－∞，2]∪(－1，32) B．(－∞，－2]∪(－1，－34) C．(－1，14)∪(14，＋∞) D．(－1，－34)∪[14，＋∞) [答案] B [解析] 由已知得f(x)＝x2－－，x－－1或，如图，要使y＝f(x)－c与x轴恰有两个公共点，则－1<c<－34或c≤－2，应选B. [点评] 本小题考查分段函数及函数图象与x轴的交点及平移等基础知识，考查理解和处理新信息的创新能力及数形结合思想的应用，难度较大． 6．设函数f(x)＝2－x －1 x≤0x12 x>0若f(x0)>1，则x0的取值范围为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] D [解析] 作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)，由f(x0)>1得x0<－1或x0>1. 7．点M是椭圆x225＋y216＝1上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N 为MF1的中点，O表示原点，则|ON|＝( ) A.32 B．2 C．4 D．8 [答案] C [解析] 设椭圆另一焦点为F2，如图．则|MF1|＋|MF2|＝2a，而a＝5，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8. 又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|＝12|MF2|＝12×8＝4. 8．(2011•北京丰台模拟)已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(4)的大小关系为( ) A．f(－a2)≤f(4) B．f(－a2)<f(4) C．f(－a2)≥f(4) D．f(－a2)与f(4)的大小关系不确定 [答案] A [解析] ∵f(x)＝12x3－x2－72x，∴f′(x)＝32x2－2x－72. 由f′(x)＝12(3x－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x＝73. 当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<73时，f(x)为减函数；当x>73时，f(x)为增函数，计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a2≤0，由图象可知f(－a2)≤f(4)．二、填空题 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值． [答案] 26 [解析] 由点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，得an＋1－an3＝an＋2－an＋13，即2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，又S15＝S37，a1>0，由二次函数图象性质可知，S26最大． 10．已知|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝7，则向量a与b的夹角为________． [答案] 60°[解析] 由向量减法运算的几何意义知，若OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b(如图)，在三角形OAB中，设向量a与b的夹角为θ，由余弦定理得cosθ＝22＋32－＝12，所以θ＝60°，即向量a与b的夹角为60°. 11．过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k ＝________. [答案] 22 [解析] 由图形可知点A(1，2)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心为M(2,0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥MA，所以kl＝－1kMA＝－1－2＝22. 12．已知实数x，y满足条件x－y＋5≥0x＋y≥0x≤3，复数z＝x＋yi(i为虚数单位)，则|z－1＋2i|的最大值和最小值分别是________． [答案] 226，22 [解析] 由于|z－1＋2i|＝|(x＋yi)－1＋2i|＝－＋＋，所以它表示点P(x，y)与M(1，－2)之间的距离．画出可行域(如图)，求得A(3,8)，可知|MA|＝226是最大值，M到直线x＋y＝0的距离22为最小值．三、解答题 13．若在区间(0,1)内任取两个数，求事件A：两数之和小于65的概率． [解析] 设x，y表示在(0,1)内随机地取得的两个数．则0≤x，y≤1，把(x，y)看作平面xOy内的点的坐标，则所有基本事件可用图中的正方形区域表示，其面积为1，而事件A：“两数之和小于65”，则用图中的阴影部分来表示，其面积为1725.故所求事件的概率为P＝17251＝1725. 14．(文)已知有向线段PQ的起点P与终点Q的坐标分别为P(－1,1)，Q(2,2)．若直线l：x＋my＋m＝0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围． [解析] 直线l的方程x＋my＋m＝0可化为点斜式：y＋1＝－1m(x－0)，易知直线l过定点M(0，－1)，且斜率为－1m. ∵l与PQ的延长线相交，由数形结合，可得当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大．又kPQ＝2－12－－＝13，kMQ＝2－－－0＝32，设l的斜率为k1，由kPQ<kl<KMQ，得13<－1m<32，∴－3<m<－23. (理)如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ(0<θ<π2)． (1)求证：平面VAB⊥平面VCD； (2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围． [解析] (1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(a,0,0)， B(0，a,0)，D(a2，a2，0)， V(0,0，22atanθ) 于是VD→＝(a2，a2，－22atanθ)，CD→＝(a2，a2，0)，AB→＝(－a，a,0)．从而AB→•CD→＝(－a，a,0)•(a2，a2，0) ＝－12a2＋12a2＋0＝0，即AB⊥CD. 同理AB→•VD→＝(－a，a,0)•(a2，a2，－22atanθ) ＝－12a2＋12a2＋0＝0，即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，∴AB⊥平面VCD. 又AB⊂平面VAB. ∴平面VAB⊥平面VCD. (2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB 的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由n•AB→＝0n•VD→＝0，得－ax ＋ay＝0a2x＋a2y－22aztanθ＝0. 可取n＝(1,1，2cotθ)．又BC→＝(0，－a,0)，于是sinφ＝|n•BC→|n|•|BC→||＝aa•2＋2cot2θ＝22sinθ. ∵0<θ<π2，∴0<sinθ<1，∴0<sinφ<22. 又0≤φ≤π2，∴0<φ<π4，即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围为(0，π4)． 15．(2011•抚顺质检)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(x∈R)，已知F(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数且F(1)＝t(t<1)． (1)求b，c，d的值； (2)求F(x)的单调区间与极值； (3)当t＝－26时，方程F(x)＝m有三个不同的实数解，求m的取值范围． [解析] (1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c，从而F(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx＋d－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b －3)x2＋(c－2b)x＋(d－c)是一个奇函数，所以F(－x)＝－x3＋(b －3)x2－(c－2b)x＋(d－c) ＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x－(d－c) ＝－F(x)．由F(0)＝0得d－c＝0，故d＝c，由b－3＝0，得b＝3. 由F(1)＝t可得 1＋(b－3)＋(c－2b)＋(d－c)＝t，即d＝5＋t，所以d＝c＝5＋t. (2)由(1)知F(x)＝x3＋(t－1)x，从而F′(x)＝3x2＋(t－1)．令3x2＋(t－1)＝0，得x＝±331－t，由F′(x)＝3x2＋(t－1)>0，得x>331－t或x<－331－t. 由F′(x)＝3x2＋(t －1)<0，得－331－t<x<331－t. 故－∞，－331－t和331－t，＋∞是函数F(x)的单调递增区间；－331－t，331－t是函数F(x)的单调递减区间．所以F(x)在x＝－331－t时，取得极大值，极大值为－； F(x)在x＝331－t时，取得极小值，极小值为－－当t＝－26时，F(x)＝x3－27x，由F(x)＝m，得x3－27x＝m. 因为F′(x)＝3x2－27＝3(x＋3)(x－3)，令F′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝3. 由(2)得F(x)＝x3－27x在x＝－3时，取得极大值，极大值为54； F(x)在x＝3时，取得极小值，极小值为－54. 作出函数F(x)和y＝m的图象如图所示．从图象中可以看出当－54<m<54时，方程F(x)＝m有三个不同的实数解，故实数m的取值范围是(－54,54)．。
高考真题文科数学汇编2：函数与方程(含答案)
2012高考试题分类汇编：函数与方程(含答案)一、选择题1.【2012高考安徽文3】（2log 9）·（3log 4）= （A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 【答案】D2.【2012高考新课标文11】当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 （A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【答案】B3.【2012高考山东文3】函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-【答案】B4.【2012高考山东文10】函数cos622x xxy -=-的图象大致为【答案】D5.【2012高考山东文12】设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是 (A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+< (C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<【答案】B【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，故答案选B.方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <，则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--，比较系数得3141x -=，故31122x =-.3121202x x +=>，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B. 6.【2012高考重庆文7】已知22log 3log 3a =+，22log 9log 3b =-，3log 2c =则a,b,c 的大小关系是（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 【答案】B7.【2012高考全国文11】已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<【答案】D8.【2012高考全国文2】函数1(1)y x x =+≥-的反函数为（A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y （C ）)0(12≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y 【答案】B9.【2012高考四川文4】函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是（ ）【答案】Ｃ10.【2012高考陕西文2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x= D. ||y x x = 【答案】D.11.【2012高考湖南文9】设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ12.【2012高考湖北文3】函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】D13.【2012高考江西文3】设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f【答案】D14.【2012高考江西文10】如右图，OA=2（单位：m ）,OB=1(单位：m),OA 与OB 的夹角为6π，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交与点C.甲。
高中数学高考总复习----数形结合的思想知识讲解及巩固练习题(含答案解析)
4．函数的图象、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜 率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数 形结合”的知识平台。
图① 综合①②③得
图②
图③
t2 5t 1
h(t
)
29 4
(t 5) 2
( 5 t 3)
2
2
t2 3t 5
(t 3) 2
。
【总结升华】通过二次函数的图象确定解题思路，直观、清晰，体现了数形结合的优越性。应特别注意， 对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先确定 其对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确定在闭区间上的增减情况，然后再确定在何处取最值。 举一反三：
A． {1, 2,3} B． {1,3,5}
Ｃ． {1, 4,5}
【答案】B；
【解析】画出韦恩图，可知 N {1,3,5}。
Ｄ． {2,3, 4}
2
【变式
2】设平面点集
A
(
x,
y)
(
y
x)(
y
1 x
) y) (x 1)2 ( y 1)2 1
，则 A
示的平面图形的面积为（ ）
【变式 1】已知函数 f (x) x2 2ax 1 a 在 0≤x≤1 时有最大值 2，求 a 的值。
【解析】∵ f (x) (x a)2 a2 a 1 ，
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2012年高考训练题（08）数形结合、函数与方程思想2011．12. 181.已知函数f (x )=log a ［x –(2a )x ］对任意x ∈［21,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是 A.(0,41] B.(0,41) C.［41,1) D.(41,21） 1.解析：考查函数y 1=x 和y 2=(2a )x 的图象，显然有0＜2a ＜1.由题意21)2(21a =得a =41，再结合指数函数图象性质可得答案. 答案：A2.函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x )的递减区间是A.［45，+∞)B.(1,45] C.［47,+∞) D.(1,47］ 2.解析：由题意可得f (–x +1)=–f (x +1).令t =–x +1，则x =1–t ，故f (t )=–f (2–t )，即f (x )=–f (2–x ).当x ＞1,2–x ＜1，于是有f (x )=–f (2–x )=–2(x –47)2–87，其递减区间为［47，+∞). 答案：C3.方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是 A.2 B.3 C.4 D.以上均不对 3.解析：在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图.答案：B4.已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A.α＜a ＜b ＜βB.α＜a ＜β＜bC.a ＜α＜b ＜βD.a ＜α＜β＜b4.解析：a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示：答案：A5.关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则a 的取值范围为 .5.解析：设t =3x ，则t ∈［1,3］，原不等式可化为a 2–a –3＞–2t 2+t ,t ∈［1,3］.等价于a 2–a –3大于f (t )=–2t 2+t 在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)6.关于x 的方程lg(ax –1)–lg(x –3)=1有解，则a 的取值范围是 .6.解析：显然有x ＞3，原方程可化为1031=--x ax 故有(10–a )·x =29,必有10–a ＞0得a ＜10又x =a -1029＞3可得a ＞31. 答案：31＜a ＜10 7.如果y =1–sin 2x –m cos x 的最小值为–4，则m 的值为 .7.解析：原式化为4)2(cos 22m m x y --=.当2m ＜–1,y min =1+m =–4⇒m =–5. 当–1≤2m ≤1,y min =42m -=–4⇒m =±4不符.当2m ＞1，y min =1–m =–4⇒m =5. 答案：±58.曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，r 的取值范围 .8.解析：方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线.答案：（43,125］ 9.(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–11+2t )2，(θ、t 为参数)的最小值是 .9.解析：联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,11–2t )点A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解. 答案：223 10.已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B 时，则a 的取值范围是 .10.解析：解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得.答案：a ＞311.已知A （1，1）为椭圆5922y x +=1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点.求｜PF 1｜+｜P A ｜的最大值和最小值.11.解：由15922=+y x 可知a =3,b =5,c =2，左焦点F 1(–2,0),右焦点F 2(2,0).由椭圆定义，｜PF 1｜=2a –｜PF 2｜=6–｜PF 2｜,∴｜PF 1｜+｜P A ｜=6–｜PF 2｜+｜P A ｜=6+｜P A ｜–｜PF 2｜如图：由｜｜P A ｜–｜PF 2｜｜≤｜AF 2｜=2)10()12(22=-+-知 –2≤｜P A ｜–｜PF 2｜≤2.当P 在AF 2延长线上的P 2处时，取右“=”号；当P 在AF 2的反向延长线的P 1处时，取左“=”号.即｜P A ｜–｜PF 2｜的最大、最小值分别为2，–2.于是｜PF 1｜+｜P A ｜的最大值是6+2,最小值是6–2.12.把一个长、宽、高分别为25 cm 、20 cm 、5 cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为12.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：设AE =x ,BE =y ,则有AE =AH =CF =CG =x ，BE =BF =DG =DH =y ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+225210*********y x y y x x ∴2225225210=+=+=y x AB . 13.已知函数f (x )=6x –6x 2，设函数g 1(x )=f (x ), g 2(x )=f ［g 1(x )］, g 3(x )=f ［g 2(x )］,…g n (x )=f ［g n –1(x )］,…（1）求证：如果存在一个实数x 0，满足g 1(x 0)=x 0，那么对一切n ∈N ，g n (x 0)=x 0都成立；（2）若实数x 0满足g n (x 0)=x 0，则称x 0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A =（–∞,0）,对于任意x ∈A ，有g 1(x )=f (x )=a ＜0, g 2(x )=f ［g 1(x )］=f (0)＜0，且n ≥2时，g n (x )＜0.试问是否存在区间B （A ∩B ≠∅），对于区间内任意实数x ，只要n ≥2，都有g n (x )＜0.13.(1)证明：当n =1时，g 1(x 0)=x 0显然成立；设n =k 时，有g k (x 0)=x 0(k ∈N )成立，则g k +1(x 0)=f ［g k (x 0)］=f (x 0)=g 1(x 0)=x 0，即n =k +1时，命题成立.∴对一切n ∈N ,若g 1(x 0)=x 0，则g n (x 0)=x 0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x 0只需满足f (x 0)=x 0，由f (x 0)=x 0，得6x 0–6x 02=x 0,∴x 0=0或x 0=65。
∴稳定不动点为0和65. (3)解：∵f (x )＜0，得6x –6x 2＜0⇒x ＜0或x ＞1.∴g n (x )＜0⇔f ［g n –1(x )］＜0⇔g n –1(x )＜0或g n –1(x )＞1要使一切n ∈N ,n ≥2，都有g n (x )＜0，必须有g 1(x )＜0或g 1(x )＞1.由g 1(x )＜0⇔6x –6x 2＜0⇔x ＜0或x ＞1由g 1(x )＞0⇔6x –6x 2＞1⇔633633+<<-x 故对于区间(633,633+-)和(1,+∞)内的任意实数x ,只要n ≥2,n ∈N ，都有g n (x )＜0. 14．已知函数f (x )=x 2–(m +1)x +m (m ∈R )(1)若tan A ,tan B 是方程f (x )+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角.求证：m ≥5;(2)对任意实数α,恒有f (2+cos α)≤0，证明m ≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f (sin α)的最大值是8，求m .（1）证明：f (x )+4=0即x 2–(m +1)x +m +4=0.依题意：⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角∴2π＜A +B ＜π ∴tan(A +B )＜0，即031tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=+m m B A B A B A∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--031040101522m m m m m m ∴m ≥5(2)证明：∵f (x )=(x –1)(x –m )又–1≤cos α≤1，∴1≤2+cos α≤3，恒有f (2+cos α)≤0即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0即(x –1)(x –m )≤0∴m ≥x 但x max =3，∴m ≥x max =3(3)解：∵f (sin α)=sin 2α–(m +1)sin α+m =4)1()21(sin 22+-++-m m m α 且21+m ≥2,∴当sin α=–1时，f (sin α)有最大值8.即1+(m +1)+m =8，∴m =3 15．已知函数f (x )=log m 33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.解：（1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3.∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数.（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］∵0＜m ＜1, f (x )为减函数. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf mm m m m ∴0＜m ＜432- 故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在.。