2007年数三

合集下载

2007考研数学三真题及答案解析

y
y(2 ln y)
求在(1,1)的值：y''
x 1
( y'
)2
x 1
1(2 ln1)
1 8
0
所以y y(x)在点(1,1)处是凸的
（18）（本题满分 11 分）
设二元函数
x2.
f
(x,
y)
1, x2 y2
x y 1. 1 x y 2.
计算二重积分 f (x, y)d .其中 D (x, y) x y 2
(D) 1 2 2 , 2 23 ,3 21
2 1 1
1 0 0
（8）设矩阵 A 1 2 1 ， B 0 1 0 则 A 与 B （B）
1 1 2
0 0 0
（A）合同，且相似
(B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似
(D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (C)
所以 B 的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得1 为 B 的属于－2 的特征值，而 A 为实对称矩阵，
于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设 B 的属于 1 的特征向量为 ( x1, x2 , x3 )T ，所以有方程如下：
x1 x2 x3 0 于是求得 B 的属于 1 的特征向量为 2 (1, 0,1)T , 3 (1,1, 0)T 因而，矩阵 B 属于 2 的特征向量是是 k1 (1, 1,1)T ，其中 k1 是不为零的任意常数. 矩阵 B 属于 1 的特征向量是是 k2 (1,1, 0)T k3 (1, 0,1)T ，其中 k2 , k3 是不为零的任意常数.

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2005年)当a取值为( )时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点。

A．2。

B．4。

C．6。

D．8。

正确答案：B解析：由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)，知可能极值点为x=1，x=2，当x＜1和x＞2时，函数单调增加，1＜x＜2时，函数单调减小，且f(1)=5一a，f(2)=4一a。

可见当a=4时，f(1)=1＞0，且=一∞，由单调性和零点存在性定理可知，函数在(-∞，1)上有唯一的零点，而此时f(2)=0，在(1，2)和(2，+∞)上无零点，因此a=4时，f(x)恰好有两个零点。

故应选B。

知识模块：微积分2．(2001年)设函数f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点。

B．x=a是f(x)的极大值点。

C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点。

D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点。

正确答案：B解析：又函数f(x)的导数在x=a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限且等于函数在该点的值，所以f’(a)=0，于是即f’(a)=0，f”(a)=一1＜0，根据判定极值的第二充分条件知x=a是f(x)的极大值点，因此，正确选项为B。

知识模块：微积分3．(2004年)设f(x)=|x(1-x)|，则( )A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。

B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。

C．x=0是f(x)的极值点，且(O，O)是曲线y=f(x)的拐点。

D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。

正确答案：C解析：令φ(x)=x(x一1)，则φ(x)=是以直线x=为对称轴，顶点坐标为开口向上的一条抛物线，与x轴相交的两点坐标为(0，0)，(1，0)，f(x)=|φ(x)|的图形如图。

2007年考研数学三真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当）.（2）设函数在处连续，下列命题错误的是： ( ).若存在，则若存在，则.若存在，则存在若存在，则存在（3）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（） .（4）设函数连续，则二次积分等于（）（5）设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）10 20 30 40（6）曲线渐近线的条数为（） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ） (B) （C ） (D)（8）设矩阵，则A 与B （）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( ) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则________. （14）微分方程满足的特解为__________.（15）设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得（20）（本题满分10分）2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()(0)_________n y =(,)f u v (,),y x z f x y =z zy x y∂∂-=∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y ==01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 12()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x =2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度. （24）（本题满分11分）设总体的概率密度为 . 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.21()34f x x x =--1x -1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α(,)X Y 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θ2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（7）当B ）.（8）设函数在处连续，下列命题错误的是： (D).若存在，则若存在，则.若存在，则存在若存在，则存在（9）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C ） .（10）设函数连续，则二次积分等于（B ）（11）设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）10 20 30 40 （12）曲线渐近线的条数为（D ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A ） (B) (C) (D)（8）设矩阵，则A 与B （B ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 (A) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则. （14）微分方程满足的特解为. （15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：（18）（本题满分11分）设二元函数2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=(,)f u v (,),y x z f x y =''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y==221ln x y x=+01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 1234()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x =''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()101(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y y y y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的计算二重积分其中【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设是D 在第一象限中的部分，即利用被积函数无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得设，其中于是由于，故为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是，，因而，故令作换元，则，于是且，代入即得综合以上计算结果可知2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤1D {}1(,)0,0D Dx y x y =≥≥(,)f x y 1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰11112D D D =+{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-1111122200111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰12D (,)r θcos ,sin x r y r θθ==(,)r θ1x y +=1,2cos sin r x y θθ=+=+2cos sin r θθ=+12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr d rππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰tan2t θ=2arctan t θ=:0:012t πθ→⇔→2222212,cos ,sin 111dt t td t t tθθθ-===+++12112220000112210010122(1)cos sin 122(1)22 221)D dt dtd t u t t t du du du u u πθθθ===-=++--=-==--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11(,)41)1)123Df x y d σ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得【详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c 就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即. （20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=(),()f x g x (,)a b (,)c a b ∈()()f c g c =()()f g ηηη=使得()max (),()max ()f c f x g d g x ==()()0,()()0f c g c g d f d ->-<(,)c d ()()f g ηηη=使得(,),(,)a b ηη''1212,,()()f f ξξξξ使得＝12(,)ξξ''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得21()34f x x x =--1x -102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证，于是于是是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为，所以有方程如下：于是求得B 的属于1的特征向量为因而，矩阵B 属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数. 矩阵B 属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数. （Ⅱ）由有令矩阵，1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭1,2a a ==1a =(1,0,1)T ξ=-,1,2,x k k ξ==2a =111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1230,1,1x x x ===-(0,1,1)T k -12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α111(1,2,3...)n n A n αλα==5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-1α53()()4()1B A A λλλ=-+1α123(,,)T x x x 1230x x x -+=23(1,0,1),(1,1,0)T T ββ=-=2μ=-1(1,1,1)T k -1k 1μ=23(1,1,0)(1,0,1)T T k k +-23,k k 1122332,,,B B B ααβαββ=-==123123(,,)(2,,)B αααβββ=-则，所以那么（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度. 【详解】：（Ⅰ），其中D 为中的那部分区域；求此二重积分可得（Ⅱ）当时，；当时，；当时，当时，于是（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为. 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由. 【详解】：（Ⅰ）记，则，解出，因此参数的矩估计量为； 1(2,1,1)P BP diag -=-11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦(,)X Y 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z {}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰01,01x y <<<<2x y >{}11202(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰724={}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤0z ≤()0Z F z =2z ≥()1Z F z =01z <<3201()(2)3zz xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰12z <<1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θEX μ=1022(1)x x EX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+122θμ=-θ122X θ=-（Ⅱ）只须验证是否为即可，而，而，，，于是因此不是为的无偏估计量.2(4)E X 2θ22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n==+=+1142EX θ=+221(12)6EX θθ=++22251()481212DX EX EX θθ=-=-+222533131(4)1233n n n E X n n nθθθ+-+=++≠24X 2θ。

2007年考研数学试题详解及评分参考

f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数学（一）
一、选择题（ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥

2007年浙江数学(理科)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“1x >”是“2x x >”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分不必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f = ）A ．126ωϕπ==， B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，（3）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（）Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-=（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6（5）已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ，0.84 （6）若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（）Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面（7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（）Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b（8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（9）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab = ，则双曲线的离心率是（）Ｃ．2Ｄ．3（10）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（）A ．(][)11--+ ∞，，∞B ．(][)10--+ ∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）已知复数11i z =-，121i z z =+ ，则复数2z = ．（12）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是．（13）不等式211x x --<的解集是．（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．（15）随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若3E ξ=，则D ξ的值是． A ． B ．C ．D ．（16）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠ ≥，则二面角AB αβ--的大小是．（17）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（18）（本题14分）已知ABC △1，且sin sin A B C +．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2A C B C B D A E ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．（20）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214xy +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；（II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．（21）（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -= ≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…， E DCMA（第19题）B（第20题）求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．（22）（本题15分）设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）A （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B （7）C （8）D （9）B （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．（11）1 （12）725- （13）{}02x x << （14）266（15）59（16）90（17）403m ≤≤三、解答题（18）解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C = ，得13BC AC = ，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--== ，所以60C =．（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．方法一：（I ）证明：因为AC BC =，M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．又EA ⊥平面ABC ，所以CM EM ⊥．（II ）解：过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 交延长交ED 于点F ，连结MF ，MD ．FCM ∠是直线CM 和平面CDE 所成的角．因为MH ⊥平面CDE ，所以MH ED ⊥，又因为CM ⊥平面EDM ，所以CM ED ⊥，则ED ⊥平面CMF ，因此ED MF ⊥．设EA a =，2BD BC AC a ===，在直角梯形ABDE 中，AB =，M 是AB 的中点，所以3DE a =，EM =，MD =，得EMD △是直角三角形，其中90EMD =∠，所以EM MDMF DE== ．在Rt CMF △中，tan 1MFFCM MC==∠，所以45FCM =∠，故CM 与平面CDE 所成的角是45．方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C xyz -，设E A a =，则(2)A a 00，，，(020)B a ，，，(20)E a a ，，．(022)D a a ，，，(0)M a a ，，．（I ）证明：因为()EM a a a =-- ，，，(0)CM a a =，，，所以0EM CM =，故EM CM ⊥．（II ）解：设向量001y z ()，，n =与平面CDE 垂直，则CE ⊥ n ，CD ⊥n ，即0CE =n ，0CD =n ． EDC MAE H因为(20)CE a a = ，，，(022)CD a a = ，，，所以02y =，02x =-，即(122)=-，，n ，cos CM CM CM ==，n n n，直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM夹角的余角，所以45θ=，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45．（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．（Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214x b +=，解得12x =±，所以1212S b x x =-2b =2211b b +-=≤．当且仅当b =S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2241k b ∆=-+，11||||AB x x =-2214k ==+ ． ②设O 到AB 的距离为d ，则21||Sd AB ==，又因为d =，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=，解得212k =，232b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是22y x =+或22y x =-或22y x =-+，或22y x =--．21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．（I ）解：方程2(32)320k k x k x k -++= 的两个根为13x k =，22k x =，当1k =时，1232x x ==，，所以12a =；当2k =时，16x =，24x =，所以34a =；当3k =时，19x =，28x =，所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =，所以712a =．（II ）解：2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n ++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++，所以112116T a a ==， 2123411524T a a a a =+=．当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥ 2311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ ≥ 1116626n =+> ，同时，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 515249224n =-< ．综上，当n ∈N *时，15624n T ≤≤． 22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．（I ）解：316433x y x =-+．由240y x '=-=，得2x =±．因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0，当(22)x ∈-，时，0y '<，当(2)x ∈+∞，时，0y '>，故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，，单调递减区间是(22)-，．（II ）证明：（i ）方法一：令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则 223()h x x t '=-，当0t >时，由()0h x '=，得13x t =，当13()x x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13()0h t =．故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立．方法二：对任意固定的0x >，令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->，则 11332()()3h t t x t -'=-，由()0h t '=，得3t x =．当30t x <<时，()0h t '>．当3t x >时，()0h t '<，所以当3t x =时，()h t 取得最大值331()3h x x =．因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立．（ii ）方法一：8(2)(2)3t f g ==．由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立．即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立．下面证明0x 的唯一性：当02x ≠，00x >，8t =时，300()3x f x =，0016()43x g x x =-，由（i ）得，30016433x x >-，再取30t x =，得30300()3x x g x =，所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=，即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立．故有且仅有一个正实数02x =，使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．方法二：对任意00x >，0016()43x g x x =-，因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：300161433x x -≥，即200(2)(4)0x x -+≤，①又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =，所以有且仅有一个正实数02x =，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．。

考研数学三(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2004年]函数在区间( )内有界．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。

即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续2．[2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：解一由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选．解二因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选．解三由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选．知识模块：函数、极限、连续3．[2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).A．存在且等于零B．存在但不一定为零C．一定不存在D．不一定存在正确答案：D解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令φ(x)=1-1／x2，f(x)=1，g(x)=1+1／x2，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令φ(x)=x－1／x2，f(x)=x，g(x)=x+1／x2，显然它们均满足题设条件，但知识模块：函数、极限、连续4．[2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选．注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且知识模块：函数、极限、连续5．[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．A．a=1，b=－1／6B．a=1，b=1／6C．a=－1，b=－1／6D．a=－1，b=1／6正确答案：A解析：解一因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选．解二反复利用洛必达法则求之．即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选．注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续6．[2010年]若则a等于( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：解一即a=2．仅(C)入选．解二由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选．知识模块：函数、极限、连续7．[2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．A．a=0B．b=1C．c=0D．正确答案：D解析：由题设得故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．知识模块：函数、极限、连续填空题8．[2012年]设函数则正确答案：解析：当x=e时，y=lnx－1，故知识模块：函数、极限、连续9．[2012年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续10．[2009年]正确答案：3e/2解析：知识模块：函数、极限、连续11．[2015年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续12．[2002年]设常数则正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续13．[2005年]正确答案：2解析：解一当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到[*] 解二令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续14．[2007年]正确答案：0解析：解一因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又根据命题1．1．3．6即得所求极限为0．解二当x→∞时，2x是比xk(k 为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0．注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当0x +→ ）A .1- .ln(1B + 1C .1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）.方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C 若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。

由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=，所以（A ）正确；由选项（A ）知，(0)0f =，所以00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，根据导数定义，()(0)'(0)limx f x f f x →-=-存在，所以（C ）也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦，即有(0)0f =.所以（B ）正确，故此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确，例如取()f x x =，有0()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在而()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---，()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数()0f '不存在. （D ）不正确，选（D ）.（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而20(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（）.A 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰【答案】( B)【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换【难易度】★★【详解】解析：画出该二次积分所对应的积分区域D ，:2sin 1x D x y ππ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩交换为先x 后y ，则积分区域可化为：arcsin 01y x y ππ-≤≤⎧⎨≤≤⎩所以11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰，所以选择(B).（5）设某商品的需求函数为1602Q p =-，其中Q ，p 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40【答案】(D)【考点】导数的经济意义【难易度】★★【解析】解析：|需求弹性|'()2 1.()160280Q P PP P Q P P P-====-- 若180PP =-，80P P =-，无意义；若180P P=-，解得：40.P =所以选(D) （6）曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是( )A .12αα-2331,,αααα--B .12αα+2331,,αααα++C .1223312,2,2αααααα---D .1223312,2,2αααααα+++【答案】(A)【考点】向量组线性相关的判别法【难易度】★★★【详解】解析：方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立，则称123,,ααα线性相关.因 1223310αααααα-+-+-=，故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. 方法2：排除法因 [][][]1223311231232101,,,,110,,,011C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中2101110011C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 2101110011C =11101111(1)20111111111011+-⨯-+-=-=⨯-⨯-行行（）（）20=≠.故2C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 2C 右乘[]123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==故122331,,αααααα+++线性无关，排除（B ）.因 [][][]12233112312331022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα-⎡⎤⎢⎥---=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中3102210021C -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，3102210021C -=--111021410141112421021+--⨯-=-=⨯--⨯---行2+2行（）（）（）≠=-70.故3C 是可逆矩阵，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==故1223312,2,2αααααα---线性无关，排除（C ）.因[][][]12233112312341022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中4102210021C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 4102210021C =11102141(2)20141112421021+-⨯-+-=-=⨯-⨯-行行（）（）90.=≠故4C 是可逆矩阵，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==故1223312,2,2αααααα+++线性无关，排除（D ）. 综上知应选（A ）.（8）设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 与B （） A . 合同，且相似 B . 合同，但不相似C . 不合同，但相似D . 既不合同，也不相似【答案】（B ）【考点】相似矩阵的概念，矩阵合同的判定【难易度】★★ 【详解】解析：211121112E A λλλλ--=--112312112λλλλλ--、列分别加到列 111121112λλλλ--提出1111103112λλλ⨯---行（）+2行11111033λλλ⨯---行（）+3行113103λλλ+-=--（）()230λλ=-=则的A 特征值为3，3，0;B 是对角阵，对角元素即是其特征值，则B 的特征值为1，1，0.,A B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，A B 与不相似.由,A B 的特征值可知，,A B 的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A 与B合同，应选（B ）.(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01),p p <<则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )A .23(1)p p -B . 26(1)p p -C .223(1)p p -D .226(1)p p -【答案】()C【考点】事件独立性的性质，独立重复试验【难易度】★★【详解】解析：把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功. 第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p . 根据独立性原理，若事件1,,n A A L 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =I I L I L 所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -⋅=-所以应选（C ）(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y f x y 为( )A .()X f xB .()Y f yC .()()X Y f x f yD .()()X Y f x f y 【答案】()A【考点】二维正态分布的性质、二维连续型随机变量的条件密度【难易度】★★★【详解】解析：二维正态随机变量(,)X Y 中，X 与Y 的独立等价于X 与Y 不相关.而对任意两随机变量X 与Y ，如果它们相互独立，则有(,)()()X Y f x y f x f y =.由于二维正态随机变量(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此(|)().X X Y f x y f x = 所以应选(A).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )____________2x x x x x x x →+∞+++=+ 【答案】0【考点】洛必达法则，无穷小量的性质【难易度】★★【解析】解析：由洛必达法则，3231lim 2x x x x x →+∞+++()2223262lim lim 2ln 232ln 26x x x x x x x x x→+∞→+∞∞+∞+ ∞+∞+ ()36lim 0,2ln 26x x →+∞∞ =∞+ 而1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤，所以(sin cos )x x +是有界变量，根据无穷小量乘以有界量仍是无穷小量，所以3231lim (sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+ （12）设函数123y x =+，则()(0)___________n y = 【答案】1(1)2!3n n n n +- 【考点】高阶导数【难易度】★★ 【详解】解析：()112323y x x -==++，()()()111111'(1)232(1)1!223y x x x ----'=-⋅+⋅=-⋅⋅⋅+，()()321222''(1)(2)223(1)2!223,,y x x ---=-⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+L由数学归纳法可知()1()(1)2!23,n n nnyn x --=-+把0x =代入得：()1(1)2!(0)3n n n n n y +-= （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y=则z zxy x y∂∂-=∂∂_________ 【答案】''122()y x f f x y-+ 【考点】多元复合函数一阶偏导数的求法【难易度】★★【详解】121221''''x y y z y x f f f f x x x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪⎪∂⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅+⋅=⋅-+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭，12'x y y z x f f y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭'=⋅+⋅=∂∂∂1221''x f f x y ⎛⎫⋅+⋅- ⎪⎝⎭把z x ∂∂，zy∂∂代入z z x y x y ∂∂-∂∂，则： 12122211''''z z y x x y x f f y f f x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫-=⋅⋅-+⋅-⋅+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 1212''''y x y x f f f f x y x y ⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭''122()y x f f x y =-+（14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为y=_____________【考点】变量可分离的微分方程【难易度】★★ 【解析】令,y ux =有(),d ux dy du du ux x u x dx dx dx dx'==+=+ 原方程化为31,2du u xu u dx +=- 即 32,du dxu x=- 此式为变量可分离的微分方程，两边积分，32du dx u x =-⎰⎰121ln x C u⇒-=-+得 21ln x C u =+把y u x=代入上式得：22ln x y x C =+再把(1,1)代入上式得：1,C =所以得特解y =（其中因为11x y ==，所以y ≠.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿【答案】1【考点】矩阵的秩【难易度】★★ 【详解】解析：2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知()3 1.r A = (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于12的概率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】3.4【考点】几何型概率【难易度】★★【详解】解析：不妨假定随机地抽出两个数分别为X Y 和，它们应是相互独立的.如果把,X Y （）看成平面上一个点的坐标，则由于01,01,X Y <<<<所以,X Y （）为平面上正方形： 01,01X Y <<<<中的一个点. X Y 和两个数之差的绝对值小于12对应于正方形中12X Y -<的区域.所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，可以被看成上图中单位正方形里的点.12X Y -<的区域就是正方形中阴影的面积D .根据几何概率的定义： 211132.214D P X Y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-<=== ⎪⎝⎭的面积单位正方形面积三、解答题：17－24小题，共86分。

2007年初中毕业学业考试数学训练题(三)

2007年初中毕业学业考试数学训练题（三）考生注意：1.考试采用闭卷形式；全卷试题共五大题25小题，卷面满分120分，考试时间120分钟；2.本试卷分为两卷，解答第Ⅰ卷（1—2页）时，请将解答结果填写在第Ⅱ卷（3—8页）上指定的位置，否则答案无效；交卷时只交第Ⅱ卷；3.做本卷试题可使用科学计算器.以下公式供参考：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的顶点坐标是)442(2abac a b --，.第Ⅰ卷（选择题、填空题共45分）一、精心选一选.（本大题满分30分，共10小题，每小题3分）下列各小题都给出了四个选项，其中只有一个符合题目要求，请把符合题目要求的选项前的字母代号填写在第Ⅱ卷上指定的位置.1.-13的倒数是（）A .13B .3C .-3D .-132.下列空间图形中，俯视图仅为一个圆的是（）A B C D3.小军有蓝色和白色两件球衣，小锐有红色和白色两件球衣.某天上体育课进行球类运动，教师要求学生都穿球衣，则小军、小锐恰好穿上同样顏色球衣的概率是（） A .12 B .13 C .14 D .344.如图，△ADE 可由△ABC 旋转得到，则正确的旋转方式为（）A .以点A 为旋转中心，顺时针旋转90°B .以点O 为旋转中心，顺时针旋转90°C .以点A 为旋转中心，逆时针旋转90°D .以点O 为旋转中心，顺时针旋转135°5.若a ＞0，x ＞0，则下列各式中运算正确的是（）A ．（a 5）2=a 7B .2x -2=12x2 C .3a 2·2a 3=6a 6 D .a 8÷a 2=a 66.如图，在山坡截面图RtΔABC 中，tan A =12，若AC ＝10米，则坡高BC 的值为（）A .5米B .53米C .10米D . 1033米AE第4题图第8题图ABC7.某超市四月份销售肉类产品共27800斤，平均单价为7.5元/斤，则该超市四月份肉类销售总额用科学记数法表示（保留二个有效数字）为（）元A .2.08×105B .0.21×106C .2.09×105D .2.1×1058.在数据：92，90，94，94中，中位数为（）A .92B .93C .90或94D .94 9.如图，AB 为⊙O 的直径，A 、B 、C 、D 、E 分别是圆上的点，且AC=CD =BD ，则∠AED 的度数是（） A .60° B .45° C .30° D .22.5° 10.如果正比例函数kx y =的图象位于一、三象限，那么反比例函数y =xk -（其中x ＞0）的大致二、细心填一填.（本大题满分15分，共5小题，每小题3分）请将下列各题的答案填写在第Ⅱ卷上指定的位置.11.在①“投针实验”、②“估计20人中生日相同的概率”、③“估计池溏里有多少条鱼”时，可以借助机算器产生随机数来进行模拟实验的是（填序号） .12.如图，已知直线AD ∥BC ，直角△ABC 的直角顶点A 在AD 上，若∠DAC =40°，那么∠ABC 的度数是_______.13.如图所示，数轴上点A 对应实数1，点B 对应实数 2 ，以A为圆心，AB 为半径的圆交数轴于另一点C ，则点C 对应的实数是______. 14.如图，半圆⊙O 1与半圆⊙O 2外切于边长为6cm 则⊙O 1半径为_______，则⊙O 2半径为_______. 15.德国数学家莱布尼兹发现了单位分数三角形（子为1，分母为正整数的分数）可知第六行的第二个数为 .⌒⌒ ⌒ ADCB第12题图第13题图第9题图·DBEO AC2007年初中毕业学业考试数学训练题（三）第Ⅱ卷（解答题共75分）一、精心选一选答案栏.（本大题满分30分）二、细心填一填答案栏.（本大题满分15分）三、用心解一解.（本大题满分24分，共4小题，每题6分） 16.化简：1)12111(2-÷+-+-+a a a a a a .17.如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，现要在矩形中截取正方形ABEF .（1）请用尺规作图找出点E 、F ，使E 、F 分别在BC 、AD 上（保留作图痕迹，不写证明与作法）；（2）连接CF ，延长FD 至G ，使DG =AF ，连接CG 、BF ，证明△CBF ≌△FGC .18.科学家准备研究一种形如下图所示的“外星飞船”，飞船上下为相同的圆锥体，已知飞船最宽处AB 为8米，垂直高度CD 为6米.现要将外壳镀上特殊金属材料，请你计算飞船外壳需要镀上特殊金属材料的面积.（结果用含π的式子表示）D C A 第17题图第18题图 DB19.小芳的妈妈买回一小竹篓樱桃，小芳用自备的弹簧称验称时，发现弹簧称上的刻度有些模糊不清，称重时大约可见指针指在3.5～4千克之间，已知小竹篓重0.5 kg，樱桃售价每千克4.80元，那么小芳的妈妈买樱桃所花的钱是多少？四、耐心做一做.（本大题满分21分，共3小题，每小题7分）20.在改修一条街道的施工中，甲工程队完成了部分任务后，发现不能单独如期完成任务.因工期紧迫，又增调乙工程队合作完成此工程，结果刚好如期完成.(工程进度如下图).若甲、乙两个工程队人员及人均日工资如下表，则如期完成此项工程共需付工人工资多少元?第20题图21.实验中学在改革学习方式的研究中，对七年级500名学生进行了“在语、数、外三科中，你最喜欢什么学科”的问卷调查（要求“最喜欢”必须选一科并只能选一科）.；（3）根据图表中的信息，请你为七年级数学教师提出一条教学建议.22.如图1，ABCD 是一张梯形纸片，DC ∥AB , ∠DAB ＝90°，若将△ADC 沿AC 折叠，点D 恰好落在BC 的中点E 处.（1）找出图中的全等三角形（不添加其他字母）；（2）由（1）知，∠EAB ＝_____度，图中的等边三角形有_____________；（3）现要求将这张梯形纸片先剪下两个全等的直角三角形，然后拼成一个正六边形（三块纸片全部用上，互不重叠且不留空隙）.用虚线在图2中画出割补线(画图工具不限)，并用阴影表示所拼成的正六边形.图1DECBCBAED图2第22题图五、决心试一试. （本大题满分30分，共3小题，每小题10分）23.投资十亿多元的国家游泳中心水上项目场馆“水立方”是北京奥运会新建的场馆之一，预计于2007年10月竣工，同时对外开放.开放期间的收益由国际国内比赛训练场馆费、门票收入等直接经济收入和因开放带来的广告、歺饮等间接经济收入组成.估计在开放的首个季度内（10～12月），比赛训练场馆费收入约为20万元，相当于门票收入的40％，而每1万元直接经济收益可带动2.8万元其它间接经济收入.(1) “水立方”在竣工后的首季度一共可获经济收入多少万元？(2) 到明年6月底因筹备奥运会将封馆.在07年10月至08年6月的三个季度内，“水立方”各项收入都将在每个季度以相同的速度增长，估计开放的第二个季度“水立方”将获得的场馆费是所有新建奥运场馆在首季场馆费收入的75％，是首季度除“水立方”外其他新建场馆在首季获得场馆费收入的1.25倍.按此估计，到明年6月底前，开放“水立方”场馆一共可创收多少万元?（结果保留到万元）24.如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =16cm ，动点O 由点A 沿AD 向点D 以1cm /s 的速度匀速运动，运动时间t 小于8s .以点O 为圆心，OA 为半径的圆交AD 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交BC 于点G ，过点D 在矩形内作⊙O 的切线交GE 于H ，切点为F ，连接GF .（1）点O 在运动过程中，点G 、F 、O 能否在同一直线上？若能，求出此时运动时间t 的值；若不能，请说明理由；（2）当点O 运动时间为6s 时，求GF 的长.D G C BA OE F第24题图 H25.如图1，点A的坐标为（1，1），过A作AB垂直y轴于点B，已知△CDE与△AOB是位似三角形，P是位似中心，点E坐标为（1，2）, 点D坐标为（1，0）．（1）利用位似图形每组对应点所在的直线都经过位似中心的性质，求点P和点C的坐标；（2）若位似中心P不变，位似△C1D1E1与△AOB的位似比E1D1:BO=k，经过点P、E1、C1三点的抛物线为cbxaxy++=2，当k＞1时，求c的取值范围？2007年初中毕业学业考试数学训练题（三）参考答案一、精心选一选.1．C ；2．B ；3．C ；4．A ；5．D ；6．A ；7．D ；8．B ；9．A ；10．B . 二、细心填一填.11．估计20人中生日相同的概率；12．50°；13 ．2- 2 ；14．3cm ，2cm ；15．130. 三、用心解一解.16.原式＝a a a a a 1)1(1112-⋅⎥⎦⎤-+⎢⎣⎡-+＝1-a a ； 17.（1）略；（2）证明：矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠GFC ＝∠BCF ，又∵DG ＝AF ，∴FG =AD =BC , 又∵CF ＝FC ， ∴△CBF ≌△FGC .18.飞船母线为l ，则l 2＝42+32，∴l ＝5米，圆锥侧面展开图面积为：S ＝20π，飞船外壳表面积为40π. 19.设小芳的妈妈应付钱为x 元，依题意有：（3.5-0.5）×4.8≤x ≤(4-0.5)×4.8∴14.4元≤x ≤16.8元（注14.4元＜x ＜ 16.8元亦可） .四、耐心做一做.20.方法一：如图可知甲工程队10天单独完成了工程的一半，甲、乙两个工程队合作3天完成了工程的14，依题意可知剩下的工程还需甲、乙两工程队合作3天完成，所以甲完成整个工程中共用时16天，乙共用时6天.∴总工资额为：25×10×80+25×6×80+20×6×80＝44000（元）. 方法二：设一次函数y =kx +b ，代入点（10，0.5）、（13，0.75）可得： y =112x -13，将y =1代入，得x =16，即完成整个工程需工期16天； ∴总工资额为：25×10×80+25×6×80+20×6×80＝44000（元）.21.（1）100，150，250；(2) 略，(3) 有道理即可（如：认真开展语文活动课、数学小竞赛等等）.22.（1）△ADC ≌△AEC ≌△AEB ；(2) ∠EAB ＝30°, △ADE 、△ACB ；(3)如图，找出AB 、BE 的中点F 、G 进行切割，移动△FEG 、△FBG ，即可得正六边形. 五、决心试一试.23.（1）第一季度的场馆费和门票收入为：20+2040%=70（万元）其它商业收入为：70×2.8＝196（万元）首季度共获经济收入：70+196＝266（万元）（2）设第一季度其他新建场馆费收入为x 万元，第二季度“水立方”获得场馆费y 万元，依题意可得：，解得：y =37.5(万元），增长率为：37.5-2020 =87.5%，明年六月底前一共可总创收：266+266×（1+87.5％）+266×（1+87.5％）2≈1700 万元.y =1.25xyx +20=75% {24.（1）若G 、F 、O 三点在同一条直线上，则∠GFD +∠DFO =180°，又∵DF 为⊙O 的切线，∴∠DFO ＝90°，GE 为⊙O 的切线，∴∠GEO =90°，又∵EO =OF =r ,∠GOE =∠EOG ， ∴△GEO ≌△DFO ，即DF =GE =6cm ，又∵DF 2=DO 2-OF 2 ， ∴36=（16-t ）2-t 2,∴t=558,即，当∴t=558s 时，G 、F 、O 三点在同一条直线上；（2）连接E 、F ，若t=6s ，则DO =16－6=10cm ，在Rt △DOF 中，DF =8cm ，又∵GE 为切线，∴GE ⊥AE ，在Rt △DEH 中，DF =8cm ，DE =4cm ，∴HE =3cm ，又∵AB =GE =6cm , ∴GH =HE =6cm ，又∵HF 、HE 为切线， ∴HF =HE ，∴GH =HF =HE =3cm , ∴△GEF 为直角三角形，∠GFE =90°，方法一：连接FA ，∠GEF ＋∠FEA =90°，∴∠EGF =∠FEA ， AE 为⊙O 直径，∴∠EFA =90°，∴△GEF ∽△EAF ，∴EF ：FA =1：2 ，由AE =12cm ，知EF 2+FA 2=AE 2，即EF =1255，∴GF =655.方法二：AE 为⊙O 直径，∴∠EFA =90°，∴G 、F 、A 在同一直线上，∴GF :EF =GE :AE =1:2，在Rt △GEF 中，可求GF =655.25.（1）连接BE 交y 轴于点P ，则P 即为位似中心，直线BE ：y =x +1，∴P （-1，0），又BO ED =12 ，∴AB EC =12，∴ CE =2，ED =2，∴C 点坐标为（3，2）；（2）已知E 1D 1：BO =k , ∴E 1D 1=k , E 1C 1=k ，∴E 1[(k -1)，k ]，C 1[(2k -1)，k ] ， ∴所以抛物线的对称轴为直线：x =32k -1 ，又知P （-1，0）是抛物线与x 的一交点，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为Q （3k -1），∴设抛物线解析式为y =a (x +1)(x -3k +1)，将E 1的坐标[(k -1)，k ] 解析式，得a=- 12k，∴c =-12k k +1)= 32 - 12k ，又k ＞1，∴1＜c ＜32；第二种情况，当位似图形位于位似中心的反方向时，点E 2坐标为E 2[-(k +1)，-k ] ，点 C 1[-(2k +1)，-k ]，同理可得抛物线解析式为y =a (x +1)(x +3k +1)，)13)(1(21+++=k x x ky∴ c =-12k (-3k +1)= 32 +12k ，∴32 ＜c ＜2，∴k 的取值范围是1＜c ＜2，且c ≠32.D GCBA OE F第24题图H。

【7A版】2007年考研数学三真题及完整解析

20GG 年研究生入学考试数学三试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1e x -（B ）ln1x-（C ）11x +-（D ）1cos x -[] （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f =（B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[]（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F =（D ）5(3)(2)4F F =--[]（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A)10.(B)20(C)30.(D)40.[] （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.[]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A)122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D)1223312,2,2αααααα+++.[]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A)合同且相似（B ）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -.（B ）26(1)p p -. （C ）223(1)p p -.（D ）226(1)p p -[]（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为 (A)()X f x .(B)()Y f y .(C)()()X Y f x f y .(D)()()X Y f x f y .[] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）3231lim (sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+__________.（12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂__________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y ==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.（18）(本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){,||||D x y x y =+（19）(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=. （20）(本题满分10分)将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.（21）(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a的值及所有公共解. （22）(本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（II ）求矩阵B . （23）(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他. （I ）求{}2P X Y >； (II)求Z X Y =+的概率密度.20GG答案1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x+→时，1x--，112x，()211122x x-=，故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，000lim lim lim1x xx+++→→→==，或ln(1)ln(1()x x o x o o x =+-=++.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】【例1.55】. 2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x=，则()()l i m0xf x f xx→--=，但()f x在0x=不可导，故选（D）. 事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f=.在（C）中，()limxf xx→存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim0x xf x f f xf fx x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰.所以33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型.画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】. 5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）. 商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-，故选（D ）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xx x x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1lim lim ln 1e 0x x x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线.故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.本题要注意e x 当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性.一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关.但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-，所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率.关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】 10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）. 【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim 0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++，所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.【评注】无穷小的相关性质：（1）有限个无穷小的代数和为无穷小；（2）有限个无穷小的乘积为无穷小；（3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y ∂''=-∂，所以122z zy x xy f f x y x y ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】,【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令yu x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.两边积分得2111ln ln 222x C u -=--，即222111e e y u x x x C C =⇒=，将11x y==代入左式得e C =，故满足条件的方程的特解为22e e x y x =，即y =，1e x ->. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】,【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15……….【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩. 【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题为基础题型. 矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算.图如下：【评注然后利用它们的独立性求得3讲【例11】，《数学】，【例2.47】.17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得. 【详解】方程ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=，即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y '''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222000110d d d d xx x x x y x y x y --⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰(1112=++. 所以(D1(,)d 13f x y σ=+⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时,可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰210r π=⎰⎰=.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…….【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=，于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=.（2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<，于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c =于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=.【评注】对命题为()()0n f ξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法.【详解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑， 10011111(1)(1),1311222212n n nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑，所以1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑，收敛区间为13x -<<.【评注】请记住常见函数的幂级数展开.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a .【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组 123123************21x x x x x ax x x a x xx x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵 22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭. 显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数；当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-. 【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T 2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数.由前可知B 的属于－2的特征向量为T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零. （II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则 011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式.请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.24】23…….【分析】（I ）可化为二重积分计算；(II)利用卷积公式可得.【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24x x y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II)利用卷积公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰ 20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【评注】(II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24）(本题满分11分)设总体X 的概率密度为 1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他 12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. （I ）求参数θ的矩估计量θ；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判断()?224E Xθ=. 【详解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰，所以()2225121248DX EX EX θθ=-=-+，所以()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故24X 不是2θ的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第5讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例6.3，例6.6，例6.9】，。

2007年考研数学三真题及完整解析

2007年研究生入學考試數學三試題一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出の四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前の字母填在題後の括弧內.（1）當0x +→時，與x 等價の無窮小量是（A ）1ex - （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）設函數()f x 在0x =處連續，下列命題錯誤の是：（A ）若0()limx f x x →存在，則(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，則(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，則(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，則(0)0f '=.[ ]（3）如圖，連續函數()y f x =在區間[][]3,2,2,3--上の圖形分別是直徑為1の上、下半圓周，在區間[][]2,0,0,2-の圖形分別是直徑為2の下、上半圓周，設0()()d xF x f t t =⎰，則下列結論正確の是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）設函數(,)f x y 連續，則二次積分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等於（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）設某商品の需求函數為1602Q P =-，其中,Q P 分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性の絕對值等於1，則商品の價格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲線()1ln 1e x y x=++の漸近線の條數為（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （7）設向量組123,,ααα線性無關，則下列向量組線性相關の是線性相關，則 (A) 122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（8）設矩陣211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，則A 與B(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目標獨立重複射擊，每次射擊命中目標の概率為(01)p p <<，則此人第4次射擊恰好第2次擊中目標の概率為（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ]（10）設隨機變數(),X Y 服從二維正態分佈，且X 與Y 不相關，(),()X Y f x f y 分別表示,X Y の概率密度，則在Y y =の條件下，X の條件概率密度|(|)X Y f x y 為 (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） 3231lim (sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________.（12）設函數123y x =+，則()(0)n y =________. （13）設(,)f u v 是二元可微函數，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，則z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭滿足11x y==の特解為y =________.（15）設矩陣0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，則3A の秩為 . （16）在區間()0,1中隨機地取兩個數，則這兩個數之差の絕對值小於12の概率為 . 三、解答題：17～24小題，共86分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17） (本題滿分10分)設函數()y y x =由方程ln 0y y x y -+=確定，試判斷曲線()y y x =在點(1,1)附近の凹凸性. （18） (本題滿分11分)設二元函數222,||||11(,),1||||2x x y f x y x y x y ⎧+≤⎪=⎨<+≤⎪+⎩，計算二重積分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（19） (本題滿分11分)設函數(),()f x g x 在[],a b 上連續，在(,)a b 內具有二階導數且存在相等の最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，證明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本題滿分10分)將函數21()34f x x x =--展開成1x -の冪級數，並指出其收斂區間.（21） (本題滿分11分)設線性方程組123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩與方程12321x x x a ++=-有公共解，求a の值及所有公共解.（22） (本題滿分11分)設三階對稱矩陣A の特徵向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A の屬於1λの一個特徵向量，記534B A A E =-+，其中E 為3階單位矩陣.（I ）驗證1α是矩陣B の特徵向量，並求B の全部特徵值與特徵向量；（II ）求矩陣B . （23） (本題滿分11分)設二維隨機變數(,)X Y の概率密度為2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >； (II) 求Z X Y =+の概率密度.2007答案1….【分析】本題為等價無窮小の判定，利用定義或等價無窮小代換即可. 【詳解】當0x +→時，1exx --，1112x x +-，()2111cos 22x xx -=，故用排除法可得正確選項為（B ）.事實上，0001111lnln(1)ln(1)1112lim lim lim 112x x x x x x x x x x x xx+++→→→++⋅+--+--==，或1lnln(1)ln(1)()()()1xx x x o x x o x x o x x x+=+--=+++=+-.所以應選（B ）【評注】本題為關於無窮小量比較の基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算. .2…….【分析】本題考查可導の極限定義及連續與可導の關係. 由於題設條件含有抽象函數，本題最簡便の方法是用賦值法求解，即取符合題設條件の特殊函數()f x 去進行判斷，然後選擇正確選項.【詳解】取()||f x x =，則0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可導，故選（D ）.事實上，在(A),(B)兩項中，因為分母の極限為0，所以分子の極限也必須為0，則可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，則00()(0)()(0)0,(0)limlim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)項正確，故選(D)【評注】對於題設條件含抽象函數或備選項為抽象函數形式結果以及數值型結果の選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.3…….【分析】本題實質上是求分段函數の定積分. 【詳解】利用定積分の幾何意義，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==， 202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰.所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故選（C ）. 【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分の幾何意義比較簡便.4…….【分析】本題更換二次積分の積分次序，先根據二次積分確定積分區域，然後寫出新の二次積分. 【詳解】由題設可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，則01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故應選（B ）.【評注】本題為基礎題型. 畫圖更易看出.5…….【分析】本題考查需求彈性の概念. 【詳解】選（D ）.商品需求彈性の絕對值等於d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-，故選（D ）.【評注】需掌握微積分在經濟中の應用中の邊際，彈性等概念.6…….【分析】利用曲線の漸近線の求解公式求出水準漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然後判斷. 【詳解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲線の水準漸近線；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲線の垂直漸近線； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xxx x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1l i m l i m l n 1e 0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲線の斜漸近線.故選（D ）.【評注】本題為基本題型，應熟練掌握曲線の水準漸近線，垂直漸近線和斜漸近線の求法.注意當曲線存在水準漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意e x當,x x →+∞→-∞時の極限不同.7……..【分析】本題考查由線性無關の向量組123,,ααα構造の另一向量組123,,βββの線性相關性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，則123,,βββ線性相關；若0A ≠，則123,,βββ線性無關. 但考慮到本題備選項の特徵，可通過簡單の線性運算得到正確選項.【詳解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知應選（A ）.或者因為()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-，所以122331,,αααααα---線性相關，故選（A ）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中の向量並分別組成一個矩陣，然後利用矩陣の秩或行列式是否為零可立即得到正確選項.8……【分析】本題考查矩陣の合同關係與相似關係及其之間の聯繫，只要求得A の特徵值，並考慮到實對稱矩陣A 必可經正交變換使之相似於對角陣，便可得到答案.【詳解】由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A の特徵值為3,3,0；而B の特徵值為1,1,0.所以A 與B 不相似，但是A 與B の秩均為2，且正慣性指數都為2，所以A 與B 合同，故選（B ）. 【評注】若矩陣A 與B 相似，則A 與B 具有相同の行列式，相同の秩和相同の特徵值. 所以通過計算A 與B の特徵值可立即排除（A ）（C ）.9……..【分析】本題計算貝努裏概型，即二項分佈の概率. 關鍵要搞清所求事件中の成功次數. 【詳解】p ＝｛前三次僅有一次擊中目標，第4次擊中目標｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故選（C ）.【評注】本題屬基本題型.10…….【分析】本題求隨機變數の條件概率密度，利用X 與Y の獨立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【詳解】因為(),X Y 服從二維正態分佈，且X 與Y 不相關，所以X 與Y 獨立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，應選（A ）.【評注】若(),X Y 服從二維正態分佈，則X 與Y 不相關與X 與Y 獨立是等價の.11….【分析】本題求類未定式，可利用“抓大頭法”和無窮小乘以有界量仍為無窮小の結論.【詳解】因為323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++，所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.【評注】無窮小の相關性質：（1）有限個無窮小の代數和為無窮小；（2）有限個無窮小の乘積為無窮小；（3）無窮小與有界變數の乘積為無窮小.12,……..【分析】本題求函數の高階導數，利用遞推法或函數の麥克老林展開式.【詳解】()212,2323y y x x '==-++，則()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【評注】本題為基礎題型.13…….【分析】本題為二元複合函數求偏導，直接利用公式即可. 【詳解】利用求導公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂，所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【評注】二元複合函數求偏導時，最好設出中間變數，注意計算の正確性.14…..【分析】本題為齊次方程の求解，可令y u x=. 【詳解】令yu x=，則原方程變為 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.兩邊積分得 2111ln ln 222x C u -=--，即222111e e y u x x x C C=⇒=，將11x y ==代入左式得 e C =，故滿足條件の方程の特解為 22e e x y x =，即ln 1x y x =+，1e x ->.【評注】本題為基礎題型.15……….【分析】先將3A 求出，然後利用定義判斷其秩.【詳解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【評注】本題為基礎題型.16……….【分析】根據題意可得兩個隨機變數服從區間()0,1上の均勻分佈，利用幾何概型計算較為簡便.【詳解】利用幾何概型計算. 圖如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【評注】本題也可先寫出兩個隨機變數の概率密度，然後利用它們の獨立性求得所求概率.17……..【分析】由凹凸性判別方法和隱函數の求導可得.【詳解】方程 ln 0y y x y -+=兩邊對x 求導得A1/2 11 /2Oyxln 10y y y yy y'''+-+=，即(2ln )1y y '+=，則1(1)2y '=. 上式兩邊再對x 求導得()2(2ln )0y y y y'''++=則1(1)8y ''=-，所以曲線()y y x =在點(1,1)附近是凸の.【評注】本題為基礎題型.18…….【分析】由於積分區域關於,x y 軸均對稱，所以利用二重積分の對稱性結論簡化所求積分. 【詳解】因為被積函數關於,x y 均為偶函數，且積分區域關於,x y 軸均對稱，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 為D 在第一象限內の部分.而1222D 1,0,012,0,01(,)d d d x y x y x y x y f x y x x yσσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222222220011011d d d d d d xx x x x x y x y x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()12ln 1212=++. 所以()D1(,)d 42ln 123f x y σ=++⎰⎰.【評注】被積函數包含22y x +時, 可考慮用極座標，解答如下：2212120,00,01(,)d d x y x y x y x y f x y x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=+⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰2ln(12)=+..19…….【分析】由所證結論()()f g ξξ''''=可聯想到構造輔助函數()()()F x f x g x =-，然後根據題設條件利用羅爾定理證明.【詳解】令()()()F x f x g x =-，則()F x 在[],a b 上連續，在(,)a b 內具有二階導數且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 內同一點c 取得最大值，則()()()0f c g c F c =⇒=，於是由羅爾定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用羅爾定理，可得存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 內不同點12,c c 取得最大值，則12()()f c g c M ==，於是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<，於是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 於是由羅爾定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用羅爾定理，可得，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【評注】對命題為()()0n fξ=の證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗證ξ為(1)()n fx -の最值或極值點，利用極值存在の必要條件或費爾馬定理可得證；方法二：驗證(1)()n fx -在包含x ξ=於其內の區間上滿足羅爾定理條件..20….【分析】本題考查函數の冪級數展開，利用間接法. 【詳解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而 10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑，10011111(1)(1),1311222212nn nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑ ，所以 1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n nn n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑，收斂區間為 13x -<<.【評注】請記住常見函數の冪級數展開.21…..【分析】將方程組和方程合併，然後利用非齊次線性方程有解の判定條件求得a .【詳解】將方程組和方程合併，後可得線性方程組12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其係數矩陣22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭. 顯然，當1,2a a ≠≠時無公共解.當1a =時，可求得公共解為 ()T 1,0,1k ξ=-,k 為任意常數；當2a =時，可求得公共解為 ()T 0,1,1ξ=-. 【評注】本題為基礎題型，考查非齊次線性方程組解の判定和結構.22……【分析】本題考查實對稱矩陣特徵值和特徵向量の概念和性質.【詳解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，則1α是矩陣B の屬於－2の特徵向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=. 所以B の全部特徵值為2，1，1設B の屬於1の特徵向量為T 2123(,,)x x x α=，顯然B 為對稱矩陣，所以根據不同特徵值所對應の特徵向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程組可得B の屬於1の特徵向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 為不全為零の任意常數.由前可知B の屬於－2の特徵向量為 T 3(1,1,1)k -，其中3k 不為零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，則011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【評注】本題主要考查求抽象矩陣の特徵值和特徵向量，此類問題一般用定義求解，要想方設法將題設條件轉化為Ax x λ=の形式. 請記住以下結論：（1）設λ是方陣A の特徵值，則21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分別有特徵值21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且對應の特徵向量是相同の.（2）對實對稱矩陣來講，不同特徵值所對應の特徵向量一定是正交の23…….【分析】（I ）可化為二重積分計算；(II) 利用卷積公式可得.【詳解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷積公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【評注】 (II)也可先求出分佈函數，然後求導得概率密度..（24） (本題滿分11分)設總體X の概率密度為1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12(,,X X …,)n X 為來自總體X の簡單隨機樣本，X 是樣本均值.（I ）求參數θの矩估計量θ；（II ）判斷24X 是否為2θの無偏估計量，並說明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判斷()?224E Xθ=. 【詳解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰，所以 ()2225121248DX EX EX θθ=-=-+，所以 ()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故24X 不是2θの無偏估計量.【評注】要熟練掌握總體未知參數點估計の矩估計法，最大似然估計法和區間估計法.。

2007年考研数学三真题及解析

2007年考研数学（三）真题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当0x +→等价的无穷小量是（）A.1-.ln(1B+1C-.1D -（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：()A .若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B 若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在.D 若0()()limx f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（）.A .(3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（）.A 10arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）.A 10.B 20.C 30.D 40（6）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（）.A 0.B 1.C 2.D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是()（A ）12αα-2131,,αααα--(B)21αα-2331,,αααα++（C ）1223312,2,2αααααα---(D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （）（A ）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(10)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X,Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为()（A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,y x z f x y=则z zy x y∂∂-=∂∂________.（14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=；（Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=（20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当0x +→等价的无穷小量是（B ）A.1-.ln(1B+1C-.1D -（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：(D)A .若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B 若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在.D 若0()()limx f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10.B 20.C 30.D 40（6）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ）.A 0.B 1.C 2.D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是(A)（A ）12αα-2131,,αααα--(B)21αα-2331,,αααα++(C)1223312,2,2αααααα---(D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （B ）（A ）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(C)2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(10)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X,Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为(A)（A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim (sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,y xz f x y =则''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂.（14）微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y ==的特解为221ln x y x=+.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.【详解】：''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()11(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y yy y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的部分，即{}1(,)0,0D D x y x y =≥≥ 利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰设11112D D D =+，其中{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故11111222000111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=+=+的方程是，2cos sin r θθ=+，因而12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭，故1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr r ππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰⎰⎰令tan2t θ=作换元，则2arctan t θ=，于是:0:012t πθ→⇔→且2222212,cos ,sin 111dt t td t t t θθθ-===+++，代入即得121122200001122100122(1)cos sin 122(1)22 22 =1)D dt dt d t u t t t du du duu u πθθθ===-=++--=-==--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合以上计算结果可知11(,)41)1)123Df x y d σ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=；（Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=【详解】：证明：(1)设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得.（20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01((1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即距阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)T ξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==当2a =时，方程组(3)的系数距阵为111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk -（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)nnA n αλα==，于是5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)TTββ=-=因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)Tk -，其中1k 是不为零的任意常数.矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)TTk k +-，其中23,k k 是不为零的任意常数.（Ⅱ）由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以那么11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .【详解】：（Ⅰ）{}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域；求此二重积分可得{}112002(2)xP X Y dx x y dy>=--⎰⎰1205()8x x dx=-⎰724=（Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时，()1Z F z =；当01z <<时，32001()(2)3zz x Z F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰于是222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【详解】：（Ⅰ）记EX μ=，则1022(1)xxEX dx dxθθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+，解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为 122X θ=-；（Ⅱ）只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而2221(4)4()4(())4(())E X E X D X E X DX EX n ==+=+，而1142EX θ=+，221(12)6EX θθ=++，22251()481212DX EX EX θθ=-=-+，于是22533131(4)1233n n n E X n n n θθ+-+=++≠因此24X 不是为2θ的无偏估计量.。

2007考研数学三真题及答案

2007考研数学三真题及答案一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当0x +→ ）A .1-.ln(1B + 1C .1D -（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： ( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（）.A 10arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ （C ）1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. （12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y=则z zy x y∂∂-=∂∂________. （14）微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y ==的特解为__________. （15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3A 的秩为_______. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=；（Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= （20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z . （24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量$θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.参考答案一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当0x +→B ）A.1-.ln(1B +1C.1D -（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： (D)A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （6）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ (C)1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （B ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为 (A) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y=则''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂. （14）微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y==的特解为221ln x y x=+. （15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()11(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y yy y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的部分，即 {}1(,)0,0D D x y x y =≥≥I利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰设11112D D D =+，其中{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故11111222000111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=+=+的方程是， 2cos sin r θθ=+，因而12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭，故1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr d rππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰⎰⎰令tan2t θ=作换元，则2arctan t θ=，于是:0:012t πθ→⇔→且2222212,cos ,sin 111dt t td t t tθθθ-===+++，代入即得121122200001122100122(1)cos sin122(1)22221)Ddt dtd t ut t tdu duduu uπθθθ===-=++--=-==--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合以上计算结果可知11(,)41)1)123Df x y dσ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数()f x，()g x在[],a b上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a＝()g a，()f b＝()g b，证明：（Ⅰ）存在(,),a bη∈使得()()f gηη=；（Ⅱ）存在(,),a bξ∈使得''()''().f gξξ=【详解】：证明：(1)设(),()f xg x在(,)a b内某点(,)c a b∈同时取得最大值，则()()f cg c=，此时的c就是所求点()()f gηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max(),()max()f c f xg d g x==故有()()0,()()0f cg c g d f d->-<，由介值定理，在(,)c d内肯定存在()()f gηηη=使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a bηη内分别存在一点''1212,,()()f fξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f gξξξ∈=存在，使得.（20）（本题满分10分）将函数21()34f xx x=--展开成1x-的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即距阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==L当2a =时，方程组(3)的系数距阵为111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk - （22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n nA n αλα==，于是 5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T T ββ=-=因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)Tk -，其中1k 是不为零的任意常数.矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)T Tk k +-，其中23,k k 是不为零的任意常数.（Ⅱ）由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以那么 11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .【详解】：（Ⅰ）{}2(2)D P X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域；求此二重积分可得{}112002(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰ 1205()8x x dx =-⎰ 724= （Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时，()1Z F z =；当01z <<时，32001()(2)3z z xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰ 当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰ 于是222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. （Ⅰ）求参数θ的矩估计量$θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【详解】：（Ⅰ）记EX μ=，则1022(1)xxEX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰ 1142θ=+，解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为$122X θ=-；（Ⅱ）只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而 22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n ==+=+，而 1142EX θ=+，221(12)6EX θθ=++，22251()481212DX EX EX θθ=-=-+，于是222533131(4)1233n n n E X n n n θθθ+-+=++≠因此24X 不是为2θ的无偏估计量.。

硕士研究生入学统一考试2007数一、数二、数三、数四试题完整版试题详解及评析

再由 y
x =1
= 1 ⇒ ln c = 1, c = e 。则得特解为： y =
⎛ 1 ⎞ ∂z ⎛ x ⎞ ∂z ⎛− y⎞ ⎛1⎞ ⎟ = fu′⎜ 2 ⎟ + f v′⎜ = f u′⎜ ⎟ + f v′⎜ ， ⎜ ⎟ ⎜ − y2 ⎟ ⎟ ∂x ⎝ x ⎠ ⎝x⎠ ⎝ y ⎠ ∂y ⎝ ⎠
x y x y x ∂z ∂z −y = − f u′ + f v′ − f u′ + f v′ x y x y ∂x ∂y
∫
π
π
2
dx ∫
1
sin x
f ( x, y )dy 等于（
π
）。
（A）（C）
∫
1
0 1
dy ∫
π
π + arcsin y π + arcsin y
f ( x, y ) dx
（B）（D）
∫
1 0
1
0
dy ∫
π − arcsin y
f ( x, y ) dx
∫ dy ∫π
0
f ( x, y )dx
（C）30
（D）40
dQ P − 2P = = 1 ，则 P = 40 。 dP Q 160 − 2 P
本题考点：导函与微分应用。相同例题参见水木艾迪 2007 模拟试题数四 18 题。 (6)曲线 y = （A）0
1 + ln(1 + e x ) ，渐近线的条数为 x
（B）1 （C）2 （D）3
【解】答案 D。垂直渐近线 x = 0 ，水平渐近线 y = 0( x → −∞ ) ，斜渐近线 y = x ( x → +∞ ) 。特别提示：渐近线的实质是极限问题，应从单侧极限入手考察单侧渐近线的存在性。参见水木艾迪考研数学 36 计例 5-10，基础班讲义例 4-24，强化班第 2 讲例 43。（7）设向量组 a1 , a 2 , a 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是．．．．（A） a1 − a 2 , a 2 − a 3 , a 3 − a1 （C） a1 − 2a 2 , a 2 − 2a 3 , a 3 − 2a1 （B） a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 − a1 （D） a1 + 2a 2 , a 2 + 2a 3 , a 3 + 2a 3

考研高数历年真题

考研高数历年真题考研高数是每年考研数学科目中的重点，掌握历年真题对于备考非常重要。

本文将为大家整理一些考研高数的历年真题，并附上详细的解析，帮助大家提升高数的应试能力。

1. 2007年考研高数真题题目1：设函数 f(x) 在 (-∞, +∞) 上可导，且满足f(1)=5, f'(x)>0, 求函数 f(x) 在区间(1, +∞) 上的取值范围。

解析：由题意可知，函数 f(x) 在 (-∞, +∞) 上可导，且 f'(x)>0。

因此f(x) 在整个实数轴上单调递增。

同时，已知 f(1)=5，所以 f(x) 在区间 (1, +∞) 上的取值范围是[5, +∞)。

2. 2012年考研高数真题题目2：设函数 f(x) 为连续函数，且满足 f(x+1) - f(x) = e^x + 1，求f(0) 的值。

解析：根据题意，可以得到 f(x+1) - f(x) = e^x + 1。

考虑对等式两边从 0 积分得到 f(x+1) - f(x) = ∫(e^x+1)dx，即f(x) = ∫(e^x+1)dx。

对此定积分进行计算，可以得到 f(x) = e^x + x + C，其中 C 为常数。

由于函数 f(x) 为连续函数，所以 f(x+1) = f(x)。

代入 f(x) = e^x + x + C 可得 e^x + x + 1 + C = e^x + x + C。

经过整理可得 C = 1。

因此，f(0) = e^0 + 0 + 1 + 1 = 3。

3. 2015年考研高数真题题目3：设 A 和 B 为两个 n 阶实矩阵，并满足 A^2 = A，B^2 = B，则 A + B 的秩最大是多少？解析：根据题意可得 A^2 = A，B^2 = B。

根据矩阵的性质，矩阵 A 和 B 都是投影矩阵。

因为 A 和 B 为实矩阵，所以它们的秩均不大于 n。

因此，A + B 的秩最大不大于 2n。

另一方面，A 和 B 的和为 (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A + AB + BA + B。

2007年数学三真题答案解析

也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指
数，知 A 与 B 合同，应选(B). 方法 2: 因为迹(A)=2+2+2=6，迹(B)=1+1=2 6，所以 A 与 B 不相似(不满足相似的必要条件)。
又 E A ( 3)2 ， E B ( 1)2 ，A 与 B 是同阶实对称矩阵，其秩
方法 2：举例法，举例说明(D)不正确。例如取 f (x) x ，有
lim f (x) f (x) lim x x 0 存在
x0
x0
x0
x
而 lim f x f 0 lim x 0 1 ， lim f x f 0 lim x 0 1 ，左
x0
x0
x0 x 0
x0
x0
x0 x 0
若
P
P 80
1，
P
P
80
，无意义；若
P 80
P
1，解得：
P
40.
所以选(D)
(6)【答案】D
【详解】因为
lim
x0
y
lim
x0
1 x
ln(1
e x)
lim
x0
1 x
lim ln(1
x0
ex)
，
所以 x 0 是一条铅直渐近线；
因为 lim x
y
lim
x
1 x
ln(1
e
x
)
lim
x-
1 x
0
0
2
2
2
的负值，所以
3 f (t)dt r2
2
2
2
1 2
2
8
所以
F (3) 2 f (t)dt 3 f (t)dt 3 3 3 F (2)

2007年高考数学试题及答案(共37份)

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题湖南卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 不等式2x x >的解集是（）A (0)-∞，B (01)，C (1)+∞，D (0)(1)-∞+∞ ，，2 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A EF OF OE =+B EF OF OE =-C EF OF OE =-+D EF OF OE =--3 设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p是q 的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件4 在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（） A 4122-B 2122-C 10122-D 11122-5 在(1)n x +（n ∈N *）的二次展开式中，若只有3x 的系数最大，则n =（）A 8B 9C 10D 116 如图1，在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，E F ，分别是1A B ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（） A E F 与1B B 垂直B E F 与B D 垂直C E F 与CD 异面D E F 与11A C 异面7 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（） A 48米 B 49米 C 50米 D 51米CA 18 函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（） A 1B 2C 3D 49 设12F F ，分别是椭圆22221x y ab+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（）A2B12C2D210 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j =，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有m in m inj j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（） A 10B 11C 12D 13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在横线上11 圆心为(11)，且与直线4x y -=12 在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =，π3C =，则A =13 若0a >，2349a =，则14loga =14 设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅ ，频率0 水位（米）图2（1）b 的取值范围是；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b15 棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是；设E F ，分别是该正方体的棱1A A ，1DD 的中点，则直线E F 被球O 截得的线段长为三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分12分）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间17 （本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率18 （本小题满分12分）如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，C A C B =，45BAP ∠=，直线C A 和平面α所成的角为30（I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B A C P --的大小19 （本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，（I ）证明C A ，C B为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程20 （本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N *）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n = ，，，（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N *）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项21 （本小题满分13分）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）湖南卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 D2 B3 A4 B5 C6 D7 C8 C9 D 10 B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在横线上11 22(1)(1)2x y -+-=12π613 314 （1）[2)+∞，（2）9215 3π三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=（I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）17 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=18 解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结O B因为αβ⊥，PQ αβ= ，所以C O α⊥，又因为C A C B =，所以O A O B =而45BAO ∠= ，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，所以PQ ⊥平面O BC 因为B C ⊂平面O BC ，故PQ BC ⊥（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ= ，B O α⊂，所以BO β⊥过点O 作O H A C ⊥于点H ，连结B H ，由三垂线定理知，B H A C ⊥故B H O ∠是二面角B A C P --的平面角由（I ）知，C O α⊥，所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2A C =，则AO =sin 302O H AO ==在R t O AB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO ==，于是在R t B O H △中，tan 22BO BH O O H∠===故二面角B A C P --的大小为arctan 2解法二：由（I ）知，O C O A ⊥，O C O B ⊥，O A O B ⊥，故可以O 为原点，分别以直线O B O A O C ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）因为C O a ⊥，所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角，则30CAO ∠=不妨设2A C =，则AO =1C O =在R t O AB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO ==则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(00)A ，(001)C ，，所以A B =-，(0A C =-，设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z -=+=⎪⎩，取1x =，得1(11n =易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量设二面角B A C P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，所以1212cos ||||n nn n θ===故二面角B A C P --的大小为arccos19 解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，（I ）当A B 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2-，，此时(1(11C A C B =-=-，当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241kx x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-综上所述，C A C B为常数1-（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)C M x y =-，，11(1)CA x y =- ，， 22(1)CB x y =- ，，(10)C O =-，，由CM CA CB CO =++ 得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是A B 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，当A B 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-将1212()2y y y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程所以点M 的轨迹方程是224x y -=解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当A B 不与x 轴垂直时，由（I ）有2122x x +=…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭ ………………………③由①②③得222x +=…………………………………………………④2y =……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有222224(2)1x yy x y+⨯==+- 整理得224x y -=当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程故点M 的轨迹方程是224x y -=20 解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+= …………………………①于是213(1)n n S S n ++=+ …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+ ……………………………………………③于是2169n n a a n +++=+ ……………………………………………………④由④－③得：26n n a a +-= …………………………………………………⑤即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *由题设知，1187n n b -=⨯ 当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N *的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a -⨯+-项即可）21 解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=2104x x <-≤ 于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立故24a b -的最大值是16（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x < 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x < 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++=，所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--。

2007年高考山东数学卷

2007年高考山东卷--理综（生物）1.用高倍显微镜观察洋葱根尖细胞的有丝分裂。

下列叙述正确的是A.处于分裂间期和中期的细胞数目大致相等B.视野中不同细胞的染色体数目可能不相等C.观察处于分裂中期的细胞，可清晰的看到赤道板和染色体D.细胞是独力分裂的，因此可选一个细胞持续观察它的整个分裂过程2.4名受试者分别口服100g葡萄糖后，在180min内血糖含量的变化曲线如图所示。

据图分析正确的是A.a代表高胰岛素血症患者血糖含量的变化B.4条曲线在前30min内血糖升高与肠道吸收有关C.b在120min后下降的主要是因为葡萄糖转化为糖原和非糖物质D.c、d代表正常人血糖含量变化3.下列有关生态系统功能的描述，错误．．的是A.物质循环的关键环节是分解者的分解作用B.物质流是循环的，能量流是单向的，信息流往往是双向的C.一个生态系统的营养级越多，消耗的能量就越多，人类可利用的能量就越少D.信息传递有利于沟通生物群落与非生物环境之间、生物与生物之间的关系，具有调节生态系统稳定性的作用4.用某种药物饲养动物一段时间后测得实验组比对照组动物血浆中血红蛋白含量明显增高。

该药物的作用可能是A.增强血红蛋白的合成能力B.提高血浆蛋白的含量C.增加红细胞的合成数量D.对红细胞有破坏作用5.下列选项不能．．演替为森（树）林的是A.西北干旱地区的典型草原B.大兴安岭火灾后的林区C.沂蒙山区的裸露岩地D.黄河三角洲的弃耕土地6.3月24日是世界结核病防治日。

下列关于结核病的描述正确的是A.高倍显微镜下可观察到该菌的遗传物质分部于细胞核内B.该菌是好氧细菌，其生命活动所需能量主要由线粒体提供C.该菌感染机体后能快速繁殖，表明其可抵抗溶酶体的消化降解D.该菌的蛋白质在核糖体合成、内质网加工后由高尔基体分选运输到相应部位7.DNA分子经过诱变，某位点上一个正常碱基（设为P）变成了尿嘧啶。

该DNA连续复制两次，得到4个子代DNA分子相应位点上的碱基对分别为U—A、A—T、G—C、C—G，推测“P”可能是A.胸腺嘧啶B.腺嘌呤C.胸腺嘧啶或腺嘌呤D.胞嘧啶8.以测定的CO2吸收量与释放量为指标，研究温度对某绿色植物光合作用与呼吸作用的影响，结果如图所示。

07年高考数学试卷及答案(湖北卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的1．如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A ．3B ．5C ．6D ．102．将⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a=⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为A ．243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x yB ．243cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π-=x yC ．2123cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π-=x yD ．2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y3．设P 和Q 是两个集合，定义集合P-Q={}Q x P x x ∉∈且,|，如果P={x|log 2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q 等于A ．{x|0<x<1}B ．{x|0<x ≤1}C ．{x|1≤x<2}D ．{x|2≤x<3}4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m ＇和n ＇，给出下列四个命题：①m ＇⊥n ＇⇒m ⊥n ②m ⊥n ⇒ m ＇⊥n ＇③m ＇与n ＇相交⇒m 与n 相交或重合 ④m ＇与n ＇平行⇒m 与n 平行或重合其中不．正确的命题个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且q ≥2,则=-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+∞→111111lim q pn n n A ．0 B ．1C ．qp D ．11--q p6．若数列{a n }满足∈=+，n p p a a nn 为正常数(221N*）,则称{a n }为“等方比数列”甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列.则A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线C 1：12222=-by a x （a>0,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛物线C 2的准线为l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，则||||||||21121MF MF MF F F -等于 A ．-1 B ．1 C ．21-D ．218．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a=（m,n ）与向量b=（1,-1）的夹角为θ，则⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ的概率是A ．125B ．21C ．127D ．6510．已知直线1=+bya x （a,b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A ．60条B ．66条C ．72条D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。