晶体的宏观对称性

3
120
o
≠ 90 o
六方晶胞
a = b ≠ c
c 3v
D 3d
α = β = 90 γ = 120
o
20
续表：
对称 性的 高低 晶 系 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 21 22 点 群 对称元素 熊夫里 国际记号 斯记号
c6
6
6
6 ( 3, m )
a=b≠c
中 六 方
c 3h
c6h
23 24 25 26 27 28
立
简单立方(P)
方
体心立方（I） 面心立方（F）
晶胞类型 ：
a=b=c
α = β = γ = 90o
立方为什么没有底心呢？ 因为假如有底心，将破坏立方 的3×C4的对称性，只有1×C4
如图
三方（R）
六方（H）
四方（P）
四方（I）
晶胞类型：
晶胞类型：
晶胞类型：
a=b=c
a =b ≠ c
α = β = γ < 120o ≠ 90o
i
m
32 2, 2 m 3 2 , 3 m, i
2
α = β = γ = 90
a=b≠c
7 8 9
D 2h
中
四 方
4
10
α = β = γ = 90 o 11
12
c4 s4
c4h
D4
222 mm 2 22 2 mmm 4 4 4 m 422
4
4 4 , m, i 4, 4 2
续表：
对称 晶 性的 高低 系 四 方 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14 15 菱面体晶胞 点 熊夫里 斯记号 群 国际记号 对称元素
3+ i = 3
3+ m = 6
4
表2 晶体中的宏观对称元素
注： 1 : L(0o ) I = I；2 : L(180o ) I = M ； 3 : 3 = 3 + i ； 6 = 3 + m ，所以 因为 均未单独列入表中，而 4 ≠ 4 + i ，所以只有 4 是独立存在的， 不能用其它对称元素组合的方式代替，故单独列入。
同时值得注意的是：晶体的宏观对称性和组成该晶体的分子 对称性是两个不同层次的对称性问题，两者不一定相同。 例如 晶态苯的正交结构为D2 h点群，而苯分子的正六边形结构 为D6 h群，两者显然不同。 从表3我们可以看出，在32个晶体学点群中，某些点群均含 有一种相同的对称元素，如T、Th、 Td 、O和Oh五个点群都有 4个3，C2v、D2和D2h三个点群都有2，这样的对称元素叫做特 征对称元素。
ˆ ˆ ˆ sn = cn ⋅ σh
在晶体中反轴 n 对应的操作是先绕(轴)线旋转α度，然后 再通过线上(中心)点进行倒反(或先倒反再旋转)，即能产生等 价图形。这种连续性操作的符号为 “ (α ) I ”, 其中“ ”为 L 倒反, “ ” 为旋转. L(α)
n 由此可知， 与Sn都属于复合对称操作，且都由旋转与另一 相连的操作组合而成。
特征对称元素与7 特征对称元素与7个晶系
由于晶胞或空间点阵的小平行六面体都是不可能直接观察到的 内部微观结构，而特征对称元素却是它们在整个晶体外形上的反 映，是能够直接观察到的，所以特征对称结构可以作为实际划分 晶体的依据。 由表3我们已经知道，根据晶胞类型的不同，即与其相对应 的平行六面体形状的差异，可将32点群分为7类，即7个晶系。 七个晶系按照对称性的高低又可并归为三个晶族，即： 晶 族 包含的晶系 立方晶系 对称性强弱 对称性最高 高级晶族 中级晶族 低级晶族
α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
在这些型式中，其对称性由强到弱的排列顺序为： 立方﹥六方﹥三方﹥四方﹥正交﹥单斜﹥ 立方﹥六方﹥三方﹥四方﹥正交﹥单斜﹥三斜
七个晶系的存在及其相互关系
• 三斜 单斜 正交 六方
• 三方
立方
四方
23
2 m3 432
4 3m 2 4
4 3 ,3 2 4 3 ,3 2 ,3 m , i 4 3 ,3 4 ,6 2
4 3 ,3 4 ,6 m
α = β = γ = 90
30 31 32
m 3 m 4 3 ,3 4 ,6 2 ,9 m , i
尽管自然界中晶体的外形多样，而就其对称性来看，却只属于这 32个点群中一种。对于真实晶体，只要找出其所有对称元素，就可知 道是哪种点群。
o
o
2
o
4
o
∴3 = 3 + i
同理
6 = 3+ m
但是
4 ≠ 4+i
这说明在反轴中，只有4 是独立的。
晶体宏观对称元素的组合
晶体的独立的宏观对称元素只有八种，在某一晶体中 可以只存在一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几 种对称元素按照组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 两条限制：
对于宏观对称元素而言，这些元素组合时必受以下两条的限制： (1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通过质心， 即通过一个公共点。 (2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相容的对 称元素，如5、7、…。
6
α = β = 90o γ = 120
o
6 6 m
6 , m, i
6 ,6 2
c6v
D 3h
D6
6mm
6m 6m 2 622 mmm
6 ,6 m
6 ( 3, m ), 3 2 , 4 m
D6h
6 ,6 2 ,7 m , i
4 3在 a =b=c
高 立 立方的 方 体对角 线方向
29
o
T Th
O Td Oh
分子对称性
对称元素及符号 对称操作及符号
晶体宏观对称性
对称元素及符号 对称操作及符号
对称轴 对称面
cn
σ
旋转 反映 反演 旋轴反映
ˆ cn ˆ σ
iˆ
旋转轴
n 旋转
L(α )
实 操 作
反映面或镜面 m 反映 对称中心 反轴
M
I
虚 操 作
对称中心 i 象转轴
i 倒反
sn
ˆ sn
n 旋转倒反 L(α)I
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：
个晶系的划分和32晶体学点群 表3 7个晶系的划分和 晶体学点群 个晶系的划分和
对称 晶 性的 高低 系 三 斜 单
以上α 为基转角.
α =
2Π n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
2 或m
特征对 晶胞类型 称元素 无
点
群 对称元素
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5 6
o
a≠b≠c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
a≠b≠c
斜 低 正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
α = γ = 90o ≠ β
a≠b≠c
cs c2h
D2
D 2v
c1 ci c2
1 1 2 m
六方、四方、三方晶系 对称性较弱 正交、单斜、三斜晶系 对称性最弱
明确了晶体对称性与规则性的关系，可以根据其宏观外形的 特征对称元素来判定晶体的晶系。
十四种空间点阵
按正当格子的要求，空间正当格子只有十四种型式，如下图：
正
P(简单) C(底心)
交
I(体心) F(面心)
晶胞类型：
a ≠ b ≠ c
α = β = γ = 90 o
a=b≠c
c4v
D2d D4h
4 mm
42m 422 mmm
4 ,4 m 4 ,2 2 ,2 m 4 , 4 2 ,5 m , i
4
α = β = γ = 90 o
a =b= c
中 三 方
16 17 18 19
o
α = β =γ <
c3 c 3i
D3
3
3 3 2 3m
2 3m
3
3, i
3 ,3 2 3 ,3 m 3, 3 2 , 3 m , i
说明：
1 : L(0o ) I = I
2 : L(180o ) I = M
o
i;
m;
3:
E
L(120 ) I ;
o 3
[L (120 ) ] = I ; [L(120 )I ] = L(240 ) I ;
o 5 o
[L(120 )I ] = L(240 ); [L(120 ) I ] = L(120 );
晶体的对称性
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分， 前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的 对称性。本章我们主要学习晶体的宏观对称性。