二项分布及其应用
理解二项分布及其应用范围
理解二项分布及其应用范围统计学中的二项分布是一种重要的概率分布，它描述了在一系列独立的、有固定概率的伯努利试验中成功次数的分布情况。
在这个分布中，每次试验的结果只有两种可能，成功或失败。
二项分布在实际生活和科学研究中有着广泛的应用范围。
首先，二项分布可以用于描述二分类问题的概率分布。
例如，在市场调研中，我们可能对一组人进行调查，询问他们是否愿意购买某种产品。
假设每个人的购买意愿是独立的，且有固定的概率。
我们可以使用二项分布来计算在给定的样本中，成功（购买）的人数的概率分布。
这对于市场营销决策和产品定价等方面具有重要意义。
其次，二项分布还可以应用于质量控制和可靠性分析。
在制造业中，我们经常需要检查产品是否符合质量标准。
假设每个产品都有一定的概率不符合标准，我们可以使用二项分布来计算在给定的样本中，不合格产品的数量的概率分布。
这有助于我们评估生产过程中的质量控制效果，并采取相应的改进措施。
此外，二项分布还可以用于描述金融市场中的交易结果。
在股票市场中，每次交易的结果只有两种可能，盈利或亏损。
假设每次交易的盈利概率是独立的，且有固定的概率。
我们可以使用二项分布来计算在给定的交易次数中，盈利次数的概率分布。
这对于投资者评估交易策略的有效性和风险管理具有重要意义。
此外，二项分布还可以应用于医学研究中的临床试验。
在进行新药研发或治疗方法评估时，我们需要进行大量的试验和观察，以确定其疗效和副作用。
二项分布可以用来描述试验中患者的治愈率或不良反应的发生率。
这有助于我们评估新药或治疗方法的有效性和安全性，并做出科学的决策。
总之，二项分布是统计学中一种重要的概率分布，广泛应用于各个领域。
它可以用来描述二分类问题的概率分布，应用于市场调研、质量控制、金融交易和医学研究等方面。
理解和应用二项分布可以帮助我们更好地分析和解决实际问题，并做出科学的决策。
在未来的学习和实践中，我们应该深入研究和掌握这一概率分布，以提高统计分析的准确性和可靠性。
第十章 二项分布和Poisson分布及其应用
Poisson分布
• Poisson分布是描述当试验中成功的概率很小 (如0.05)，而试验的次数n很大的小概率事件
出现规律性的一种离散型随机分布。 • 用于描述在单位时间(空间)内稀有事件的发生数。
医学卫生领域中服从Poisson分布指标
恶性肿瘤的死亡率 ; 放射性物质在单位时间内的放射次数； 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 野外单位空间中的某种昆虫数等。
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 012 345
(b)
0.18 0.16 0.14
n =30 π =0.3
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
(d)
•由数理统计学的中心极限定理可知，当n较大、 不接近0也不接 近1时，二项分布B( n , )近似正态分布：
正态近似法
当n较大， p 和 1 p 均不太小，如 np 和 n(1 p) 均
大于5时，利用正态近似的原理，可作样本率p与已 知总体率的比较，检验统计量为：
Z p0 0 (1 0 ) n
例10.6 一项调查结果表明某市一般人群的艾滋病知识 知晓率为65%。现对该市吸毒人群进行调查，在150名 吸毒人员中有130人回答正确。问该市吸毒人群的艾滋 病知识知晓率是否高于一般?
X ~ N(n , n (1 ))
二项分布的应用
• 总体率的区间估计 – 查表法 – 正态近似法
• 单个样本率与总体率比较 – 直接计算概率法
– 正态近似法 • 两样本率的比较
总体率的区间估计
• 查表法：当n≤50时可查表求总体率的95%或 99%可信区间(附表7)。
二项分布及其应用
P(B)＝q2，P(－B )＝1－q2. 根据分布列知：当 X＝0 时，
－ P( A
－ B
－B )＝P(－A )P(－B )P(－B )＝0.75(1－q2)2＝0.03，
所以 1－q2＝0.2，q2＝0.8.
当 X＝2 时，P1＝P(－A B－B ＋－A －B B)＝P(－A )P(B)P(－B )＋
P(－A )P(－B )P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24，
当 X＝3 时， P2＝P(A－B －B )＝P(A)P(－B )P(－B ) ＝0.25(1－q2)2＝0.01， 当 X＝4 时， P3＝P(－A BB)＝P(－A )P(B)P(B)＝0.75q22＝0.48，
当 X＝5 时，P4＝P(A－B B＋AB)＝P(A－B B)＋P(AB)
3．已知 P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则 P(A)等于( C )
3
13
A.16
B.16
3
1
C.4
D.4
解析：由 P(AB)＝P(A)P(B|A)，可得 P(A)＝34.
4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正
面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是 3”为事件 B，则
事件 A，B 中至少有一个发生的概率是( C )
生的条件概率
2.事件的相互独立性
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝_P_(_A_)_P_(_B_)_，则
称事件 A 与事件 B 相互独立．
(2)性质： ①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝____P_(_B_)___，
P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝__P_(_A_)_P_(B__)_． ②如果事件 A 与 B 相互独立，那么__A__与__－B____，__－_A_与___B__， __－A__与__－B____也相互独立．
二项分布及其应用
本例 =0.85，l- =0.15，n =5，
① 至少3人有效的概率
P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)
=0.138178125＋0.391504688＋0.443705313 =0.973388126
精选ppt
12
2.1 二项分布的性质：均数和标准差
• 若X～B(n,)，则
X n
2 X
n
1
X n 1
精选ppt
13
若均数与标准差不用绝对数而用率表示时
p
p
(1)
n
sp
p(1 p) n
精选ppt
14
2.2 二项分布的性质 ：累积概率
• 累计概率(cumulative probability) • 从阳性率为的总体中随机抽取n个个体，则
精选ppt
7
在医学上一些事物，其结局只有两种互相对 立的结果。如:
在毒理试验中，动物的生存与死亡；
在动物诱癌试验中，动物的发癌与不发癌；
在流行病学观察中，接触某危险因素的个体 发病与不发病；
在临床治疗中，病人的治愈与未愈；
理化检验结果的阴性与阳性等等，均表现为 两种互相对立的结果，每个个体的观察结果 只能取其中之一。对这类事物常用二项分布 (binomial distribution)进行描述。
1.000
死亡数 生存数
X
nX
0
3
1
2
2
1
3
0
不同死亡数的概率 0.008 0.096
0.384 0.512 1.000
第13讲+N次重复的伯努利试验——二项分布及其应用
第13讲N次重复的伯努利试验——二项分布及其应用学习目标1.了解条件概率和事件的独立性2.掌握独立重复试验与二项分布入门测单选题练习1.抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（）A．“两次得到的点数和是12”B．“第二次得到6点”C．“第二次的点数不超过3点”D．“第二次的点数是奇数”练习2.甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4．那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（）A．5局3胜制B．7局4胜制C．都一样D．说不清楚练习3.甲乙两人罚球的命中率分别，两人各分别罚球2次，则他们共命中3次的概率为（）A．B．C．D．情景导入二项分布是由伯努利提出的概念，指的是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
知识精讲相互独立事件知识讲解1．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…A n）＝P（A1）•P（A2）…P（A n）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．例题精讲相互独立事件例1.若甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为__．例2.甲、乙两人依次从标有数字0，1，2的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字0的卡片的概率为__．例3.'一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为P、、且每题答对与否相互独立（1）当p=时，求考生填空题得满分的概率（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求的P值．'n次独立重复试验恰好k次发生的概率知识讲解1．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【概念】一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）＝（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．【实例解析】例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是．解：由题设知C31p（1﹣p）2≤C32p2（1﹣p），解≤p≤1，故答案为：[，1]．本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．【考点点评】这个知识点非常的重要，但相对来说也比较简单，所以大家要多花点时间把它吃透．例题精讲n次独立重复试验恰好k次发生的概率例1.随机变量X～B（6，），则P（X=2）等于（）A．B．C．D．例2.如果X～B（20，p），当且P（X=k）取得最大值时，k的值是（）A．8B．9C．10D．11例3.一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为（）A．0.93B．1-（1-0.9）3C．C53×0.93×0.12D．C53×0.13×0.92超几何分布知识讲解1．超几何分布【知识点的知识】一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则称超几何分布列．（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N，M，n上述超几何分布记作X～H（N，M，n）．【典型例题分析】典例1：有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的数学期望值是（）A．n B．C．D．分析：先由超几何分布的意义，确定本题中抽到次品数服从超几何分布，再由超几何分布的性质：若随机变量X～H（n，M，N），则其数学期望为，计算抽到的次品数的数学期望值即可解答：设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布即X～H（n，M，N），∴抽到的次品数的数学期望值EX＝故选C．题型一：抽样次品数的分布规律问题典例1：某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．解：设该批产品中次品有x件，由已知，∴x＝2…（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为…（4分）（2）∵X可能为0，1，2∴…（10分）∴X的分布为：X012P则…（13分）题型二：不放回摸球游戏问题典例2：甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y＝4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望．解：（1）由题意，；∴，当且仅当x＝y＝2时“＝”成立所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大（2）取出的3个球中红球个数ξ＝0，1，2，3，所以【解题方法点拨】超几何分布的求解步骤：（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．例题精讲超几何分布例1.已知超几何分布满足X～H（3，5，8），则P（X=2）=___．例2.在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是___．例3.若X～H（2，3，5），则P（X=1）=___。
二项分布及其应用
本例0=0.01，n=400，x=1，根据题意需求最多有1例染
色体异常的概率，按二项分布的概率函数得
(3) 做出推断结论: P >0.05，按 =0.05检验水准不拒绝H0，尚 不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。
1、样本率与已知总体率的比较：
(2) 正态近似法: 当 n0 和 n(1-0) 均大于5时,
用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信区间得该 法近期有效率的95%可信区间为19%64%。
由于附表7百分率的可信区间中值只列出了x n/2的部分，当x>n/2时，应以n -x查表，再从100
中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
其中,
布的应用
（二）假设 检验1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法: 例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治 愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观 察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
（1）建立假设，确定检验水准。
（2） 计算检验统计量 。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
二项分布及其应用
＝
nAB nA
.
(2)条件概率具有的性质
① 0≤P(B|A)≤1 ；
②如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) .
2.相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B_相__互__ ——独—立—. (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ P(B)， P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ P(A)P(B). (3)若A与B相互独立，则A 与 B， A 与 B ， A 与 B 也都相互独立.
题型一 条件概率
例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和
为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于（ ）
1
1
2
1
A.8
B.4
C.5
D.2
答案 解析
P(A)＝C23＋ C25C22＝25，P(AB)＝CC2225＝110， P(B|A)＝PPAAB＝14.
（3）. 将 一 枚 硬 币 连 续 抛 掷 两 次 ， 记 “ 第 一 次 出 现 正 面 ” 为 事 件
A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)等于( )
A. 1 2
B. 1 4
C.1 6
D.1 8
(4).甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5， 现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为（ ）
变式训练 (2016·开封模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，
这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，
电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡
的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 答案 解析
二项分布及其应用理
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)任选1名下岗人员,设“该人参加过财会培 训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,由题设知, 事件A与B互独立,且P(A)＝0、6,P(B)＝0、75、 法一:任选1名下岗人员,该人没有参加过培训得概率就是 P1＝P( )＝P( )·P( )＝0、4×0、25＝0、1、 所以该人参加过培训得概率就是P2＝1－P1＝1－0、1＝0 、9、
4、二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生得次数为X,在每 次试验中事件A发生得概率为p,那么在n次独立重复试 验中,事件A恰好发生k次得概率为P(X＝k)＝ pk(1－p)n－k (k＝0,1,2,…,n)、 此时称随机变量X服从二项分布,记作 X～B(n,p) ,并 称 p 为成功概率、
[课堂笔记] 记事件A:最后从2号箱中取出得就是红球;
事件B:从1号箱中取出得就是红球、
则P(B)＝
,P( )＝1－P(B)＝ ,
P(A|B)＝
,P(A| )＝
,ห้องสมุดไป่ตู้
从而P(A)＝P(AB)＋P(A )
＝P(A|B)P(B)＋P(A| )P( )
1、相互独立事件就是指两个试验中,两事件发生得概率 互
【解】 (1)依题意知X～B(4, ),即X得分布列为
X0
1
2
3
4
┄┄┄(6分)
P
(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部 分”,i＝1,2、
Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i ＝1,2、依题意知P(A1)＝P(B1)＝0、1,P(A2)＝P(B2)＝0、 3,A＝A1 ∪ B1∪A1B1∪A2B2,┄┄┄┄┄┄(9分)
故所求得概率为 P(A)＝P(A1 )＋P( B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2) ＝P(A1)P( )＋P( )P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2) ＝0、1×0、9＋0、9×0、1＋0、1×0、1＋0、3×0、3 ＝0、28、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)
二项分布及其应用
二项分布及其应用1． 相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(3)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．2． 二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布， 记为X ～B (n ，p )，并称题型一 相互独立事件的概率例1 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．练：甲、乙两运动员，对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，(1)两人都射中的概率；(2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率；(4)两人中至多一人射中的概率．甲、乙、丙做一道题，甲做对的概率12，三人都做对的概率124，三人全做错的概率是14. (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．题型二 独立重复试验与二项分布例2 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．练习. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．粒子A 位于数轴x ＝0处，粒子B 位于数轴x ＝2处，这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为23，向左移动的概率为13. (1)求4秒后，粒子A 在点x ＝2处的概率；(2)求2秒后，粒子A 、B 同时在x ＝2处的概率．基础测试1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为( ) A ．0.45 B ．0.05 C ．0.4 D ．0.62．一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，恰有一次通过的概率是 A.14 B.13 C.12 D.343．已知随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.1316 B.4243 C.13243 D.802434.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在5次测量中至少3次出现正误差的概率 A.516 B.58 C.23 D.125.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．6．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25⎝⎛⎭⎫125 C ．C 25⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 7．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.1168.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．9.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．10.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.3411． 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．12．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．13.甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，(1)乙取胜的概率；(2)比赛打满七局的概率；(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．。
第06章二项分布及其应用
二项分布概念：二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。
该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.，p为事件发生的概率，k是发生的次数，其中k=1,2,3...n，Ek=np，方差:Dk=np(1-p)例6-1某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为0.70，无效率为0.30。
今用该药治疗该疾病患者10人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人有效的概率(《医学统计学》，第三版，孙振球)。
#源代码例6-1：dbinom(6,10,0.7)#二项分布函数dbinom(7,10,0.7)dbinom(8,10,0.7)#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率>#源代码例6-1：>dbinom(6,10,0.7)[1]0.2001209>dbinom(7,10,0.7)[1]0.2668279>dbinom(8,10,0.7)[1]0.2334744>#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率例6-2在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，试据此资料估计该吻合术受孕率的95%可信区间。
#源代码例6-2：binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)>#源代码例6-2：>binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)Exact binomial testdata:6and13number of successes=6, number of trials=13, p-value=1alternative hypothesis:true probability of success is not equal to0.461538595percent confidence interval:0.19223240.7486545sample estimates:probability of success0.4615385例6-3在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计该药物治疗有效率的95%可信区间。
高中数学二项分布及其应用
二项分布及其应用二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有着重要的地位：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生K 次的概率为P(X=k)=C n k p k (1-p)n-k ,k=0,1,2,…,n ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B(n,p)，并称p 为成功概率。
二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列，其识别特点主要有两点：其一是概率的不变性；其二是试验的可重复性，下面加以例谈。
例题1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。
现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦电力，这10台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多少？解析：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由题意知满足二项分布，即ξ～B （10，p ），其中p 是每台机床开动的概率，p=516012= ,从而)10,2,1,0()54()51()(1010 ===-k C k P k k k ξ ， 50千瓦电力可同时供5台机床同时开动，因而10台中同时开动数不超过5台都可以正常工作，这一事件的概率55510644107331082210911010010)54()51()54()51()54()51()54()51()54)(51()54()5(C C C C C C P +++++=≤ξ994.0≈。
由以上知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而一个工作班的8小时内不能正常工作的时间大约为8×60×0.006=2.88（分钟），这说明，10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。
6(第三章)二项分布及其应用.
各种生存死亡排列、组合的概率
小鼠生死组合 排列方式 死亡数 生存数 甲 乙 丙
每种排列 的概率
0
3 √ √ √ 0.2 × 0.2 × 0.2
1
2 × √ √ 0.8 × 0.2 × 0.2
H0: π1=π2 H1: π1≠π2
α(80+85)=0.2182
u
0.2875 0.1529
2.092
0.2182
1
0.2182
1 80
1 85
查u界值表，得 0.01<P<0.05，拒绝H0，接受H1， 可认为男女生感染率不同，男生高于女生
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n=20 pi=0.5
π≠0.5分布偏态
0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
1
2
3
4
n=5 pi=0.3
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P<0.01，拒绝H0，接受H1，可认为老年患者与 一般患者不同，更易有出血症状
②两样本率比较的u检验
u
p1 p2
pc
(1
p
c
)( 1 n1
1 n2
)
pc
X1 X2 n1 n2
例 某山区小学男生80人，其中肺吸虫感染23人，感 染 率 为 28.75%, 女 生 85 人 感 染 13 人 , 感 染 率 为 15.29%,问男女生的肺吸虫感染率有无差别?
二项分布及其应用
3只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算 0.8, n 3
小白鼠存亡组合方 式
生存数 死亡数 （n-X） （X）
（1）
3
0
排列方式 每种排列的概率
每种组合的概率
甲乙丙
P(
X
)
C
X n
X
(1
)
n
X
（2）
（3）
（4）
（要求各观察单位同质）。
二、二项分布的性质
（一）均数和标准差
设从概率为的总体中随机抽取样本量为n的样本，每个样
本的事件发生数为x，则 x ~B(，n)。可以证明：
x n
x n 1
若用相对数表示，即样本率的均数和标准差分别为：
p
p
1
n
率的标准误（standard error of rate）：
x ~ N n , n 1 或
p
appro.
示意图
❖二项分布的累计概率:
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
k1
k2
三、二项分布的应用
（一）估计总体率的可信区间
1、率的抽样误差
p
1
n
p1 p
sp
n
2、总体率的区间估计
二项分布及其应用
内容提纲
二项分布的概念及应用条件 二项分布的性质 二项分布的特点 二项分布的应用
一、二项分布的概念及应用条件
举例：设小白鼠接受一定剂量的某种 毒物染毒后死亡率为80%。若每组各 用3只小白鼠（甲、乙、丙）接受该 种毒物染毒，观察各组小白鼠的存亡 情况。
二项分布及应用
数量 厂别 等级
合格品
次品
合计
甲厂
475 25 500
乙厂
644 56 700
合计
1 119 81
1 200
（1）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是
次品的概率是_________； 27 400
（2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好
1 是次品的概率是_________；20
3
P(B
A)
P( AB) P( A)
10 3
1 2
5
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题
的概率。
解法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
解 {(男,男), (男,女), (女,男), (女,女)}
A={已知一个是女孩}＝{(男,女), (女,男), (女,女)}
B {另一个也是女孩} {(女,女)}
所以所求概率为 1 . 3
4
问题 该家庭中有两个孩子，已知老大是女孩，问另一个 小孩也是女孩的概率为多大？
解 {(男,男), (男,女), (女,男), (女,女)}
2
你能算吗？
五一假期你妈妈带你到她的一个朋友家做客， 闲谈间正巧碰到她的女儿回家，这时主人介 绍说：“这是我的一个女儿，我还有一个孩 子呢。”这个家庭中有两个孩子，已知其中 有一个是女孩，问这时另一个孩子也是女孩 的概率为多大？
3
问题 该家庭中有两个孩子，已知其中有一个是女孩， 问另一个小孩也是女孩的概率为多大？
【高中数学】二项分布及其应用
2 0.0025
四、几何分布 1. 定义： 在独立重复试验中，某事件 A 第一次发生时所作的试验次数 ξ 也是一个取值为正整数的随机变量。“ξ =k”表示在第 k
次独立重复试验时事件 A 第一次发生。如果把第 k 次实验时事件 A 发生记为 Ak，p( Ak)=p，事件 A 不发生记为 Ak ，
P( Ak )=q (q=1-p)，那么：
P( k) Cnk pk qnk （其中 k=0,1, ... ,n，q=1-p ）
于是可得随机变量 ξ 的概率分布如下：
(ab) C a C a b C a b C b 由于 Cnk pk qnk 恰好是二项展开式
n
0 n
n
1 n1 1
n
r nr r
n
nn
n 中的第 k+1 项，
所以，称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ξ～B(n,p)，其中 n,p 为参数，并记：
下概率不变，则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件. 相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. (3)如果 A、B 是相互独立事件，则 A 的补集与 B 的补集、A 与 B 的补集、A 的补集与 B 也都相互独立.
2. 相互独立事件同时发生的概率公式
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有： P( A • B) P( A) • P(B)
第2页
Cnk pk qnk B(k; n, p)
4. 解题步骤 例 3. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%。现从一批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 ξ 的概率 分布。 解：依题意，随机变量 ξ～B(2，5%)
因此，次品数 ξ 的概率分布是： ξ p
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即时训练 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家， 独立地对每位大学生的创业方案进行评审． 假设评审结果为“支持”或 1 “不支持”的概率都是2.若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的 创业资助； 若只获得一个“支持”， 则给予 5 万元的资助； 若未获得“支 持”，则不予资助．求： (1)该公司的资助总额为零的概率； (2)该公司的资助总额超过 15 万元的概率．
0
2113 8 P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C4 (3) (3) ＝81.
1
2212 8 P(ξ＝3)＝P(η＝2)＝C4 ( ) ( ) ＝ . 3 3 27
2
2 1 32 P(ξ＝4)＝P(η＝3)＝C43( )3( )1＝ . 3 3 81 2 4 1 0 16 P(ξ＝5)＝P(η＝4)＝C4 ( ) ( ) ＝ . 3 3 81
响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．
2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至
多有一个发生 ”“ 恰有一个发生 ”“ 都发生 ”“ 都不发生 ”“ 不
都发生 ”等词语的意义．已知两个事件 A、 B，它们的概率分别为
P(A)、P(B)，则z
A、B中至少有一个发生的事件为A∪B；
[ 例 1]
一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能
的，已知这个家庭有一个小孩是女孩，问这时另一个小孩是男孩
的概率是多少？
[课堂记录] 解法一：基本事件的全体 Ω＝{男男，男女，女男，
3 女女}， 记事件 A 为有一个女孩， 则 P(A)＝ ， 记事件 B 为另一个是男孩， 4 1 则 AB 就是事件一个男孩一个女孩，P(AB)＝ ，故在已知这个家庭有一 2
立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结 果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生 的概率都是一样的．
2．二项分布是离散型随机变量的分布列中重要的一种模型，
应用非常广泛，也是高考考查的重点，把握二项分布的关键是理
解好独立重复试验及问题研究的随机变量究竟是什么．
[例 3] 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A＝ a1 a2 a3 a4 a5 ，其中 A 的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现 0 的 1 2 概率为 ，出现 1 的概率为 .记 ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次 3 3 时， (1)求 ξ＝3 的概率； (2)求 ξ 的分布列．
3 1 1 2 3 2 11 解析：P＝ × ＋ × ＋ × ＝ . 4 3 4 3 4 3 12
答案：C
2．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一
年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市
为雨天，乙市也为雨天的概率为( A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.66 )
二项分布及其应用
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．
2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．
3能解决一些简单的实际问题．
1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和B，在已知事件 A发生的条件下，事 件B发生的概率叫做 条件概率 ，用符号 P(B|A) 来表示，其公式为 PAB P(B|A)＝ PA .
65 16 2 4 不发生的概率为 1－ ＝ ＝( ) ， 所以， A 在一次试验中出现的概率为 81 81 3 2 1 1－3＝3.
1 答案： 3
5 ．某机械零件加工由 2 道工序组成，第 1 道工序的废品率为
a ，第 2 道工序的废品率为 b ，假定这 2 道工序出废品是彼此无关
的，那么产品的合格率是________．
击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击
中目标得 0 分．在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击
中，则额外加1次．若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3
次后的总得分数，求ξ的分布列．
[解] (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 X～B(5， 2 22 2 3)．在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率 P(X＝2)＝C5 ×(3) ×(1 2 3 40 －3) ＝243. (2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 A，则 P(A)＝P(A1A2A3 A4 A5 )＋P( A1 A2A3A4 A5 )＋P( A1 A2 A3A4A5) 23 12 1 23 1 12 23 8 ＝( ) ×( ) ＋ ×( ) × ＋( ) ×( ) ＝ . 3 3 3 3 3 3 3 81
η
0
1
2
4 4 5 4 52 p C50· ( )5 C51( )4· C52( )3· ( ) 9 9 9 9 9
3
3 4 2 5 3 C5 ( ) · ( )
4 9
4 4 5 4 C5 ( )· ( )
5
5 5 5 C5 ( )
9
9 9
9
相互独立事件与独立重复试验事件的概率问题一直是高考的
重点，多在解答题中以实际问题为背景，结合离散型随机变量的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1.
答案：ab－a－b＋1
热点之一
条件概率
1．利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 PAB P(B|A)＝ . PA 2．借助古典概型概率公式，先求事件 A 包括的基本事件数 n(A)， 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得 nAB P(B|A)＝ . nA
[课堂记录]
(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为
4 3 2 1 Ai(i＝1,2,3,4)，则 P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ ，P(A4)＝ ，∴该选手 5 5 5 5 进入第四轮才被淘汰的概率 P4＝ P(A1A2A3 A4 ) ＝ P(A1)P(A2)P(A3)P( A4 ) 4 3 2 4 96 ＝5×5×5×5＝625. (2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P3 ＝ P( A1 ＋ A1 A2 ＋ A1A2 A3 ) ＝ P( A1 ) ＋ P(A1)P( A2 ) ＋ 1 4 2 4 3 3 101 P(A1)P(A2)P( A3 )＝5＋5×5＋5×5×5＝125.
A、B都发生的事件为AB；
A、B 都不发生的事件为 A B ； A、B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B； A、B 中至多有一个发生的事件为 A B ∪ A B∪ A B .
[例 2] 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答 问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、 4 3 2 1 二、三、四轮的问题的概率分别为 、 、 、 ，且各轮问题能否正确回 5 5 5 5 答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
，
其中k＝0,1,2,3，„，n，q＝1－p.于是得到随机变量ξ的概率分布列
如下： ξ 0 1 „ k „ n P Cn0p0qn Cn1p1qn－1 „ Cnkpkqn－k „ Cnnpnq0
由于 Cnkpkqn － k 恰好是二项展开式 (q ＋ p)n ＝ Cn0p0qn ＋ Cn1p1qn － 1
＋„＋
Cnkpkqn－k
＋„＋Cnnpnq0中的第k＋ 1项(k＝0,1,2，„，
n)，故称为随机变量ξ为二项分布，记作ξ～B(n，p)．
2 1．甲射击命中目标的概率为 0.75，乙射击命中目标的概率为3，当 两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为( 1 A.2 B．1 11 C.12 5 D.6 )
[课堂记录] (1)已知 a1＝1，要使 ξ＝3，只需后四位中出现 2 个 1 和 2 个 0. 2 1 8 ∴P(ξ＝3)＝C42(3)2(3)2＝27. (2)令 η＝a2＋a3＋a4＋a5， ∴η＝0,1,2,3,4. 2 易知 η～B(4，3)，ξ＝η＋1，
∴ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5. 2014 1 P(ξ＝1)＝P(η＝0)＝C4 ( ) ( ) ＝ . 3 3 81
解析：甲市为雨天记为 A，乙市为雨天记为 B， 则 P(A)＝0.2，P(B)＝0.18， P(AB)＝0.12， PAB 0.12 ∴P(B|A)＝ ＝ 0.2 ＝0.6 PA 答案：A
3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不
大于其恰好发生两次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率p
(3)由题意可知，ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6. 13 1 P(ξ＝0)＝P( A1 A2 A3 )＝( ) ＝ ； 3 27 2 12 1 2 P(ξ＝ 1) ＝ P(A1 A2 A3 ) ＋ P( A1 A2 A3 ) ＋ P( A1 A2 A3) ＝ 3 ×( 3 ) ＋3 × 3 1 12 2 2 × ＋( ) × ＝ ； 3 3 3 9 2 1 2 4 P(ξ＝2)＝P(A1 A2 A3)＝ × × ＝ ； 3 3 3 27 22 1 1 22 8 P(ξ＝3)＝P(A1A2 A3 )＋P( A1 A2A3)＝( ) × ＋ ×( ) ＝ ； 3 3 3 3 27
，
P(AB)＝ P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B)．
(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)， 则A与B相互独立．
3．二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在n次独立重
k k n－k 复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝ Cn p q
解：(1)设 A 表示“资助总额为零”这个事件， 16 1 则 P(A)＝( ) ＝ . 2 64 (2)设 B 表示“资助总额超过 15 万元”这个事件， 16 1 6 1 6 11 则 P(B)＝15×( ) ＋6×( ) ＋( ) ＝ . 2 2 2 32