11.1.1直线的点方向式方程(导学稿)
11.1(2)直线的方程(点法向式方程)
11.1（2）直线的方程（点法向式方程）一、教学内容分析本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于y x 、的一次方程0=++c by ax （b a 、不全为零）的形式. 本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.二、教学目标设计在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.三、教学重点与难点直线的点法向式方程以及一般式方程；理解直线点法向式方程以及一般式方程的推导.四、教学过程一、复习上一堂课的教学内容二、讲授新课 点法向式方程1、概念引入从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 也是惟一确定的．2、概念形成直线的点法向式方程在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.直线的点法向式方程的推导设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线垂直于非零向量n ，故PQ n ⊥.根据PQ n ⊥的充要条件知0=⋅n PQ ，即：00()()0a x xb y y -+-=①；反之，若11(,)x y 为方程⑤的任意一解，即1010()()0a x x b y y -+-=，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线.我们把方程00()()0a x x b y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量.3、概念深化 从上面的推导看，法向量n 是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -.4、例题解析例1 已知点()()4321，，，B A -，求AB 的垂直平分线l 的点法向式方程. 解 由中点公式，可以得到AB 的中点坐标为()3,1，()2,4=→--AB 是直线l 的法向量，所以，AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.()()03214=-+-y x[说明]关键在于找点和法向量！例2已知点)2,1(),6,1(--B A 和点)3,6(C 是三角形的三个顶点，求（1）BC 边所在直线方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线方程.解（1）因为BC 边所在直线的一个方向向量BC ＝（7，5），且该直线经过点)2,1(--B ，所以BC 边所在直线的点方向式方程为5271+=+y x （2）因为BC 边上的高AD 所在的直线的一个法向量为BC ＝（7，5），且该直线经过点)6,1(A ，所以高AD 所在直线的点法向式方程为0)6(5)1(7=-+-y x例3已知在∆ABC 中，∠BAC 为直角，点B 、C 的坐标分别是 (4,2)、(2,8)，且d =(3,2)与AC 边平行。
沪教版高中数学高二下册 - 11.1直线方程(1)-点方向式方程 教案
11.1直线方程（1）-点方向式方程一、教学目标：1、理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系；2、理解直线的方向向量的概念；3、能根据已知条件求出直线的点方向式方程；4、通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推导过程且有明确的几何意义。
二、教学重点：1、理解直线的方向向量的概念；2、能根据已知条件求出直线的点方向式方程。
教学难点：理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系。
三、教学过程：1、引入新课：确定直线的条件◼ 两点确定一条直线◼ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
◼ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
问：已知直线l 过定点 ，且与向量 平行，这样的直线是否唯一？ 引例：在直角坐标系中，点 ， 非零向量 ，直线l 经过点P 且与 平行，求直线l 的方程。
解：设Q （x,y ）是直线上任意一点，则 直线l 上的所有的点的坐标（x,y ）都满足方程（1）反之，如果 是方程（1）的任意一个解，即那么把坐标为 的点 作为终点，把P 作为起点，可知向量 ，即点 在直线l 上。
以方程的所有解（x,y ）作为坐标的点都在直线l 上方程（1）叫做直线l 的方程,直线l 是方程（1）的图形， 叫做直线l 的一个方向向量。
(注：方向向量有无数个)2、提出概念：1、当u 、v 都不为零时，（1）化为我们把（2）叫做直线l 的点方向式方程。
2、当 时，（1）化为 表示经过点P ，且平行于y 轴的直线。
3、当 时，（1）化为 表示经过点P ，且平行于x 轴的直线。
00(,)PQ x x y y =−−||,||l d PQ d 即00()()(1)x x v y y u ∴−=−P 1010()()x x v y y u ∴−=−00()()(1)x x v y y u −=−00()()(2)x x y y u v −−=00(,)P x y (,)d u v =00(,)P x y d 11(,)x y 11(,)x y 1||PQ d 1Q 1Q(,)d u v =0,0u v =≠0,0u v ≠=00x x −=00y y −=3、例题分析例1：已知A （4，6）、B （-3，-1）、C （4、-5）三点，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程。
11.1直线的方程
ax by c 0 (a、b不全为0) 直线的一般式 方程
若a 0，b 0
一个法向量 (a,b)
一个方向向量 (b, a)
直线 例题：
y
1、原点在l上的射影为点(1,2)，求直线l的方程.
解：直线l经过点(1, 2),法向量OP (1, 2)
•P(1, 2)
l的点法向式方程：(x 1) 2( y 2) 0
解：(2)l经过点 (0, 1) ,且法向量为 (3, 4) l的点法向式方程：3x 4(y 1) 0 l的一般方程：3x 4y 4 0
直线
5(3)求过点P（
3，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程.
y
解：(1)当直线l的方向向量m (1,1)
l的点方向式方程：x 3 y 4 11
“不惟一” 直线l的法向量 直线l的 点法向 式方程
注：一切直线 均能用点法向式方程表示.
点方向式 方向向量d=(u,v)
说明： x x0 u
y
v
y0
v(x
x0 )
u(
y
y0 )
vx uy uy0 vx0
0
点法向式 法向量n=(a,b) a(x x0) b( y y0) 0 ax by ax0 by0 0
5)
l的点方向式方程：x
3
y
4
l的一般方程：x y 1 0
5 5
l1的法向量PQ (5, 5) l的点法向式方程：5(x 3) 5( y 4) 0
l1的一般方程：x y 7 0
4、求经过P(3, 4)且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程.
解：当直线l的方向向量m (1,1) l的点方向式方程：x 3 y 4
11.1(1)直线方程(点方向式方程)
11．1 （1）直线方程（点方向式方程）一、教学内容分析本节的重点是直线的方程的概念、直线的点方向式方程．用向量方法推导直线方程是二期课改的亮点之一，体现了从几何角度出发，除两点确定一条直线外，确定直线需要两个独立的条件：点和方向.利用给定的条件，通过向量平行的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程.本节的难点是理解直线方程的定义.通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义.通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.二、教学目标设计理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心.三、教学重点及难点直线的方程的概念、直线的点方向式方程；理解直线方程以及点方向式方程的推导.四、教学过程设计（一）新课引入初中我们学习过的直线是一次函数的图像。
求直线方程的方法是利用一次函数y=kx+b 来解决:“已知一次函数经过点(-4,0)与(0,3),求此一次函数的解析式（即为直线方程）”我们现在开始所学习的内容是解析几何，其的主要思想：用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数运算.（二）讲授新课1、直线方程的概念定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程(,)0f x y =，满足（1）直线l 上的点的坐标(,)x y 都满足方程(,)0f x y =；（2）以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在直线l 上.那么我们把方程(,)0f x y =叫做直线l 的方程.从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l 上的点的集合与方程(,)0f x y =的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系.在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.2、平面内直线确定的条件分析a.平面上过两点A 、B 的直线有且仅有一条(两点确定一条直线)b.平面上过一点且给定直线的方向,这条直线唯一(一点、一方向确定一条直线)直线的方向可以设定“直线的平行方向”也可设定“直线的垂直方向”例题1.直线l 的方程:3x -4y +3=0,确定l 的方向，写出该直线的一个方向向量3.直线的方向向量与直线l 平行的非零向量叫直线l 的方向向量。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-直线的点方向式方程 学案
直线的点方向式方程学习目标1. 理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式、点法向式方程的推导及相应形式；2. 培养学生分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力；3. 培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。
课前导学【材料阅读】1、观看微视频_________________，网址：__________________2、阅读课本第5页（11.1直线的方程）开始到例1之前；第7页开始到例3之前；【自我感知】 1、设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，则//a b ⇔r r _____________；a b ⊥⇔r r ____________。
2、在平面直角坐标系中，过一个定点P ，作一条直线，这样的直线是否唯一？能否在此基础上如何才能确定一条直线，并且是唯一存在的（添加条件） （1）过定点P ，并且平行于某条直线（与一个已知非零向量(,)d u v =u r 平行）；（2）过定点P ，再过一点Q （过两点）；（3）过定点P ，并且垂直于某条直线（与一个已知非零向量(,)n a b =r 垂直）。
课堂交流【承旧启新】我们知道，如果在平面上作一条直线l ，使它通过某个已知点P ，且与已知的非零向量d u r 平行，那么这样的直线l 是唯一确定的。
在直角坐标平面上，已知非零向量(,)d u v =u r ，设点P 的坐标为00(,)x y ，经过点P 且与向量d u r 平行的直线为l ，因为直线l 平行于向量d u r ，所以对直线l 上任意点Q ，都有//PQ d u u u r u r 。
设点(,)Q x y 为直线l 上任意一点，易得向量00(,)PQ x x y y --→=--，由//PQ d u u u r u r 的充要条件得到：→→--d PQ //⇔00()()v x x u y y -=- ① 思考：直线l 上所有点的坐标(,)x y 是否都满足方程①？反之，如果11(,)x y 是方程①的任何一组解，即1010()()v x x u y y -=-，那么把00(,)P x y 作为起点，把坐标为11(,)x y 的点1Q 作为终点的向量1PQ u u u u r 与d u r 平行，即点1Q 在直线l 上。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线的点方向式方程 教案
点方向式方程 P(xO,yO), 方向向量 d = (u, v) (uv≠0)
x − xO = y − yO
u
v
(uv≠0)
d = (u,v) ( 0 )
点法向式方程 P(xO,yO), 法向量 n = (a, b)
a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 n = (a,b) ( 0 )
合 PQ1 ⊥ n ，即 Q1 在直线 l 上. 根据直线方程的定义知，方程①是直线 l 的方程，直线 l 是方程①的直线.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
定义：与直线 l 垂直的非零向量 n 叫做直线 l 的法向量. 方程 a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 叫做直线 l 的点法向式方程，
②能否根据已知法向量找出直线的一个方向向量？
一般的，若 n = (a,b) ，则 d = (b,−a) ③请写出以上直线的点方向式方程 小结：（1）求点方向式与点法向式方程必须满足两个条件：已知点与方向
（2）方向（法）向量不唯一，则直线的方程不唯一 （3）适用范围
已知条件
直线 l 的方 程
方向(法)向 量
四、概念运用和深化 例 2：已知点 A（1,6）、B（－1，－2）和点 C（6,3）是三角形的三个顶点，求： （1） BC 边所在直线的方程 （2） BC 边上的高 AD 所在直线的方程 （3） BC 边的垂直平分线的点法向式方程 小结：灵活使用方程的不同形式
练习：已知在△ABC 中，∠BAC＝90°，点 B、C 的坐标为(4.2), (2,8)，d = (3,2)
3/3
向量 n = (a,b) 是直线 l 的一个法向量 三、概念辨析
沪教版——11.1(1)直线的点方向式方程
例3 已知点A(4,6),B(-3,-1)和C(4,-5)，
A(4,6)
1、求经过点A且与BC平行
的直线 l 的点方向式方程？
M
2、求经过B、C两点的直线 l 的
N
点方向式方程？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B(-3,-1)
3、求 ABC 中,平行于BC边的中位线 MN所在直线的点方向式方程？
小结 1、直线方程的定义
2、直线的点方向式方程
已知点P(x0, y0 ), 方向向量 d (u, v)
当u 0, v 0, x x0 y y0
u
v
当u 0, v 0, x x0
当u 0, v 0, y y0
1 当u, v 0 时 方程* x x0 y y0
u
v
上述方程称为直线 l 的点方向式方程
例 1 观察下列直线方程，
①
x 3 3
y5 4
② 4x 4 7y 6
1、判断以上是否是点方向式方程？
2、请指出各直线经过的一个点和它 的一个方向向量？
例2 求过点P且与向量d平行的直线l的点方向式方程.
C(4,-5)
2 当u 0, v 0 时 方程* x x0 当v 0, u 0 时 方程* y y0
y
d 0,v
d 0,1
O
l
P0 x0, y0
x
y l
P0 x0, y0
O d u,0 x
d 1,0
例4 求过点P且与向量d平行的直线l的点方向式方程.
(1) P(4,5), d (0, 3); (2) P(4,5), d (3,0).
直线点向式方程
直线点向式方程直线的点向式方程是数学中非常重要的一个概念，它能够帮助我们准确描述直线在平面上的位置和方向。
在本文中，我们将详细讨论点向式方程，并给出一些实际问题的解题思路，希望能对读者有指导意义。
首先，我们来介绍一下什么是直线的点向式方程。
对于平面上的一条直线来说，我们可以通过选择其中一点为起点，并选择一个方向向量来定义它。
在点向式方程中，我们用向量的形式表示直线上的任意一点。
设直线上的一点为A，方向向量为v，则直线上的任意一点P 可以表示为P=A+tv，其中t为一个实数。
这就是直线的点向式方程。
了解了直线的点向式方程的定义后，我们可以来看一些实际问题的解题思路。
首先，我们考虑一个例子：已知直线上的两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求直线上与AB中点距离为2的点的坐标。
首先，我们可以计算出AB的中点坐标，即M((1+3)/2, (2+4)/2) = (2, 3)。
接下来，我们需要找到直线上距离M为2的点。
根据点向式方程，我们可以设这个点为P=M+2v，其中v为直线的方向向量。
由于我们已知直线上的两个点A和B，我们可以用B-A得到方向向量v=(3-1, 4-2)=(2, 2)。
将这些值代入即可求出P的坐标。
通过上面的例子，我们可以看到点向式方程在解决实际问题中非常有用。
它能够帮助我们准确描述直线上的点的位置和方向，并且可以快速计算出需要的坐标。
除了解决具体问题之外，点向式方程还有其他一些有意思的性质。
例如，设直线的点向式方程为P=A+tv，若两个不同的t值所对应的点P1和P2分别位于直线上，那么AP1和AP2的方向向量相等。
这个性质可以帮助我们推导出直线上的其他点。
综上所述，直线的点向式方程是数学中重要的一个概念，它能够帮助我们准确描述直线上的点的位置和方向。
在解决实际问题时，我们可以通过点向式方程计算出需要的坐标。
同时，点向式方程还具有一些有意思的性质，可以帮助我们更深入地理解直线的特性。
希望本文能够对读者有所指导和启发。
高一数学教案：直线点法向式方程直线的一般式方程教案
高一数学教案：直线点法向式方程直线的一般式方程教案11．1 〔２〕直线方程上海市控江中学朱敏慧一、教学内容分析本节的重点是直线的点法向式方程以及一样式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件〔对应坐标的关系式〕推导出直线的点法向式方程.引导同学发觉直线的点方向式方程、点法向式方程都能够整理成关于yx、的一次方程0=++cbyax〔ba、不全为零〕的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的差不多思想！从而培养学生用坐标法对平面直线〔和以后的圆锥曲线〕的研究能力.二、教学目标设计在明白得直线方程的意义，把握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一样式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.三、教学重点及难点直线的点法向式方程以及一样式方程；四、教学流程设计1、概念引入从上一堂课的教学中，我们明白，在平面上过一点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的．同样在平面上过一点P ，且与某一方向垂直的直线l 也是惟一确定的． 2、概念形成直线的点法向式方程在平面上过一点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.直线的点法向式方程的推导设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线垂直于非零向量n ，故PQ n ⊥.依照PQ n ⊥的充要条件知0=⋅，即：00()()0a x xb y y -+-=①；反之，假设11(,)x y 为方程⑤的任意一解，即1010()()0a x x b y y -+-=，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上.综上，依照直线方程的定义知，方程⑤是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线. 我们把方程00()()0a x xb y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量.3、概念深化从上面的推导看，法向量是不唯独的，与直线垂直的非零向量都能够作为法向量. 假设直线的一个方向向量是),(v u ，那么它的一个法向量是),(u v -. 4、例题解析例1 点()()4321，，，B A -，求AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.解 由中点公式，能够得到AB 的中点坐标为()3,1，()2,4=→--AB 是直线l 的法向量， 因此，AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.()()03214=-+-y x [讲明]关键在于找点和法向量！例2点)2,1(),6,1(--B A 和点)3,6(C 是三角形的三个顶点，求 〔1〕BC 边所在直线方程；〔2〕BC 边上的高AD 所在直线方程.解〔1〕因为BC 边所在直线的一个方向向量BC ＝〔7，5〕，且该直线通过点)2,1(--B ，因此BC 边所在直线的点方向式方程为5271+=+y x 〔2〕因为BC 边上的高AD 所在的直线的一个法向量为＝〔7，5〕，且该直线通过点)6,1(A ，因此高AD 所在直线的点法向式方程为0)6(5)1(7=-+-y x５、巩固练习练习11.1〔2〕 〔二〕一样式方程 1、概念引入由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们能够发觉，平面直角坐标系中的每一条直线都能够用一个关于y x ,的二元一次方程表示；那么每一个关于yx ,的二元一次方程0=++c by ax 〔a ，b 不同时为0〕是否都表示一条直线呢？2、概念形成直线的一样式方程的定义直线的点方向式方程和直线的点法向式方程通过整理，成为,x y 的二元一次方程0ax by c ++=.反之，任意二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为差不多上直线方程么？回答是确信的.第一，当0b ≠时，方程可化为()0cax b y b ++=，依照直线点法向式方程可知，这是过点(0,)c b -，以(,)a b 为一个法向量的直线；当0b =时，方程为0ax c +=，由于0a ≠，方程化为c x a =-，表示过点(,0)ca -且垂直于x 轴的直线.因此二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为是直线的方程，叫做直线的一样式方程. ３、例题解析例1 ABC ∆中，)2,1(-A 、)4,3(B ，求AB 边的中垂线的一样式方程.解 直线过AB 中点(1,3)D ，(4,2)n AB ==，那么其点法向式方程为4(1)2(3)0x y -+-=，整理为一样式方程250x y +-=.[讲明]点法向式方程化为一样式方程. 例2〔1〕求过点(2,5)A -且平行于直线1:4390l x y --=的直线方程；〔2〕求过点(3,4)B -且垂直于直线2:3760l x y +-=的直线方程.解 〔1〕解一：(4,3),(3,4)n d =-=，又直线过点(2,5)A -，故直线的方程为4(2)3(5)x y +=-化简得43230x y -+=.解二：(4,3),n =-又直线过点(2,5)A -，故直线的点法向式方程为4(2)3(5)0x y +--=化简得43230x y -+=. 解三：设与1:4390l x y --=平行的直线方程为430x y c -+=，又直线过点(2,5)A -故4(2)350c --⋅+=，23c =，因此直线的方程是43230x y -+=.〔2〕解一：1l的法向量1(3,7)n =为所求直线的方向向量，又直线过点(3,4)B -，故直线的方程为7(3)3(4)x y -=+化简得73330x y --=. 解二：设与2:3760l x y +-=垂直的直线方程为730x y c -+=，又直线过点(3,4)B -故733(4)0c ⋅-⋅-+=，33c =-，因此直线的方程是73330x y --=.[讲明]一样地，与直线0ax by c ++=平行的直线可设为0()ax by c c c ''++=≠其中；而与直线0ax by c ++=垂直的直线可设为0bx ay c ''-+=.例3能否把直线方程0532=++y x 化为点方向式方程？点法向式方程？假设能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯独？并观看x 、y 的系数与方向向量和法向量有什么联系？解： 2131+=-+y x 、2131-+=+y x 、23132+=-+y x 、4164-=-+y x …… 2(1)3(1)0x y +++=、4〔x+4〕+6(y-1)=0……能够化成点方向式的形式，同时有许多个！所有的方向向量之间存在：一个非零实数λ，使得()2,321-==→→λλd d ； 易得点法向式方程也是不唯独的，同时有许多个！所有的法向量之间存在：一个非零实数λ，使得()3,221λλ==→→n n 变式：直线0=++c by ax 的方向向量能够表示为()a b -,λ 直线0=++c by ax 的法向量能够表示为()b a ,λ[讲明]注意直线的一样式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.三、巩固练习 练习11.1〔3〕 补充练习1、〔1〕假设直线过两点(,0),(0,)A a B b ，那么,a b 分不叫做该直线在,x y 轴上的截距.当0ab ≠时，求直线AB 的方程；〔2〕假设过点(4,3)P -的直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程. 2、 直线l 过点(2,3)P -且与,x y 轴分不交于,A B 两点.〔1〕假设P 为AB 中点，求直线l 的方程；〔2〕假设P 分AB 所成的比为2-，求l 的方程. 3、直线l 的方程为：(2)(12)430()a x a y a a R ++-+-=∈常数〔1〕求证:不论a 取何值，直线l 恒过定点；〔2〕记〔1〕中的定点为P ，假设l OP ⊥〔O 为原点〕，求实数a 的值.4、ABCD 中，三个顶点坐标依次为(2,3)-A 、(2,4)-B 、(6,1)--C ，求〔1〕直线AD 与直线CD 的方程；〔2〕D 点坐标.5、．过点)4,5(--P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l 的方程. 6、两直线1110++=a x b y 和2210++=a x b y 都通过(2,3)P ,求证：通过两点111(,)Q a b ，222(,)Q a b 的直线方程是2310++=x y .四、课堂小结１.直线的点法向式方程和一样方程的推导；２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一样方程这三种形式方程之间的互相之间的联系. ３、确定直线方程的几个要素 五、课后作业习题11.1 A 组5,6,7；B 组3，4 习题11.1 A 组8 补充作业：直线320x y -+=的单位法向量是___________.直线l 的一样式方程为2370x y -+=，那么其点方向式方程能够是__________；点法向式方程能够是_____________.过(4,3)P -且垂直y 轴的直线方程是_______________.假设直线(2)30m x my -++=的法向量恰为直线30x my --=的方向向量，求实数m 的值. 点(2,1)P -及直线:3250l x y +-=，求：〔1〕过点P 且与l 平行的直线方程；〔2〕过点P 且与l 垂直的直线方程.正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(4,0)-，它的中心M 的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线,AC BD 所在的直线方程.,,A B C 的坐标分不为(1,3),(,0),(0,)b c ，其中,b c 均为正整数，咨询过这三点的直线l 是否存在？假设存在，求出l 的方程；假设不存在，讲明理由. 设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈证明：直线l 过定点；假设l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程.六、教学设计讲明在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件〔对应坐标的关系式〕，引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由专门到一样的思维过程，培养学生的探究能力.。
11.1(1)直线方程(点方向式方程)(共17张)
直线BC的点方向式方程是:
x-4 7
=
y-6 -4
第13页，共17页。
例5.已知A(4,6),B(-3,-1),C(4,-5)三点(sān . diǎn)
求(1) AB直线方程;
(2) BC与CA的直线方程;
(3)平行于BC边中位线所在直线方程 .
(1)解:过点A(4,6),且平行AB=(-7,-7)的
l
如图１中，非零向量 P1P2, P2P1,v1,v2都是直线 的l 方向向量
第5页，共17页。
练习:1.写出下列直线方程的一个方 向向量的坐标.
(1)5x+4y-1=0 (2)-2x+7y+11=0
(3) 6x+8y-3=0 (4)-3x-4y+7=0
(5)y-1=0
(6)-2x+11=0
反思:给定直线方程如何(rúhé)确定直线 的方向向量?
直线l上任
u0且v 0时
x-x0 u
=
y-y0 v
一点Q的 坐标(x,y)
条件2.与直线l平行的向量坐标d=(x0,y0)
u=0时
x-x0=0
v=0时
y-y0=0
第10页，共17页。
已知直线l上的两点，怎样求直线方程
条件:直线l经过(jīngguò)两点P、Q的坐标(x1,y1) 、(x2,y2)
直线的点方向式方程是:
A(4,6)
x-4 -7
=
y-6 -7
B(-3,-1)
也可为
x+3 -7
=
y+1 -7
C(4,-5)
第14页，共17页。
例6：能否把直线方程 2x 3y 5 化0为
沪教版 高二数学 11.1 直线的点方向式方程 教案
高二数学第一学期学案学案11.1（1） 直线的点方向式方程学习目标：理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强数形结合等数学思想； 重点与难点：理解直线方程以及点方向式方程的推导. 讲授新课直线方程定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程(,)0f x y =，满足（1）_________________________；（2）_____________________那么我们把方程(,)0f x y =叫做直线l 的方程. 点方向式方程1、概念引入在几何上，要确定一条直线需要两个条件，如________________.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.2、概念形成⏹ 直线的点方向式方程的定义． ⏹ 直线的点方向式方程的推导 建立平面直角坐标系，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)d u v =表示.当00u v ≠≠且时，方程①可化为__________________________________②. 当0u =时0v ≠，方程①可化为________________③表示______________的直线； 当0v =时0u ≠，方程①可化为_______________④，表示过__________的直线.我们把方程_____________叫做直线l 的点方向式方程，非零向量d 叫做直线l 的______________.3、概念深化从上面的推导看，方向向量d 是不唯一的，与直线平行的非零向量都可以作为方向向量. 由点方向式易得，过不同的两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线的方程是______________.4、例题解析例1 观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量.①4533+=-y x ; ② ()()6744-=--y x ; ③1=x ; ④2-=y .例 2 已知点()()1364--，，，B A 和()54-，C ，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程？变式1 求经过点B 、C 两点的直线l 的点方向式方程.变式2 在ABC ∆中，求平行于BC 边的中位线MN 所在直线的点方向式方程.例3 若已知直线l:3x+2y-10=0求l 的一个方向向量练习：过P(2,-1)求与l 平行的直线的点方向式方程.过P(2,-1)求与l 垂直的直线的点方向式方程.例4直线l 过（1,2）与M(2,3),N(4,-5)的距离相等，直线l 的点方向式方程。
直线的点向式方程
直线的点向式方程直线的点向式方程是描述直线的一种常见形式，它使用一个已知点和一个方向向量来表示直线。
它的形式为P + tV，其中P是已知点，V是方向向量，t是一个参数。
通过调整t的值，我们可以得到直线上的任意一点。
直线的点向式方程有着重要的指导意义和应用价值。
在几何学中，它使我们能够便捷地描述和分析直线的性质，帮助我们更好地理解和解决相关问题。
在实际应用中，点向式方程可以用于计算直线与其他几何对象的交点，或者确定一个点是否在直线上等。
为了更好地理解点向式方程的概念和应用，我们可以以一个例子来说明。
假设我们有一条直线L，已知该直线上的一个点A(2, 3)和一个方向向量V(4, 1)。
那么直线L的点向式方程可以表示为P + tV，即A + tV。
我们可以通过不同的t值计算出直线上的其他点。
当t = 0时，A + tV = (2, 3) + 0(4, 1) = (2, 3)，这是已知的直线上的点A。
当t = 1时，A + tV = (2, 3) + 1(4, 1) = (6, 4)，这是直线上的另一个点B。
当t = -1时，A + tV = (2, 3) + (-1)(4, 1) = (-2, 2)，这也是直线上的一个点。
通过调整参数t，我们可以得到直线上的其他无数个点，这些点构成了整条直线。
通过观察上面的例子，我们可以发现点向式方程对直线的表示非常灵活。
它通过一个已知点和一个方向向量确定了整条直线的位置和方向。
此外，点向式方程还使我们能够方便地计算直线上的其他点，并对直线的性质进行研究。
除了描述直线的位置和方向外，点向式方程还可以用于求解直线与其他几何对象的交点。
例如，如果我们有一条直线L1的点向式方程为P + tV1，另一条直线L2的点向式方程为Q + sV2，我们可以通过解方程P + tV1 = Q + sV2来求得L1和L2的交点。
点向式方程的应用还不限于几何学领域，在计算机图形学和物理学等领域也有广泛的应用。
11.1直线的方程
第十一章 坐标平面上的直线第一节 直线的方程【知识梳理】1、直线的点方向式方程，直线的方向向量设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)d u v =表示. 我们把方程00x x y y u v--=叫做直线l 的点方向式方程，非零向量d 叫做直线l 的方向向量.由点方向式易得，过不同的两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线的方程是0))(())((112112=-----y y x x x x y y . 2、直线的点法向式方程，直线的法向量在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.我们把方程00()()0a x x b y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量. 注：方向向量和法向量n 都是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -. 3、直线的一般是方程0=++C By Ax (其中A 、B 、C 是常数，A 、B 不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式任何一条直线的方程都是关于y x ,的二元一次方程，任何关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线 一般地，与直线0ax by c ++=平行的直线可设为0()ax by c c c ''++=≠其中；而与直线0ax by c ++=垂直的直线可设为0bx ay c ''-+=. 直线方程的几种形式【典型例题分析】例1、观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量. ①4533+=-y x ; ② ()()6744-=--y x ; ③1=x ; ④2-=y .变式练习：根据下列条件写出直线的点方向式方程 （1） 直线l 过点P(2,-1),且与向量()2,4d →=平行 （2） 直线l 过点A(4,0),B(3,-1)例2、 已知点()()1364--，，，B A 和()54-，C ，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程。
11.1直线的方程(二)点法向式方程
1. 做在书上 布置作业 书P9 1,2 练习册P1-2 5-10 2.（交）做在作业本上 练习册P2 11,12 补充
AB 1.已知a (1, 2),点A的坐标（－2，1）， 与 a 平行，且 AB 2 5 ，求向量 OB 的坐标。 2.等边△ABC的边长为2，求 ABBC BC CAAB CA 156 3.已知数列an 的通项公式为 an n ，求数列an 的 n 最小值，并指出 n 的取值。
例1.已知点A（-1，2），B（3，4）， 求AB的垂直平分线的点法向式方程
例2.已知点A（1，6），B（-1，2）BC边所在的直线方程 （2）BC边上的高AD所在的直线方程。
例3.已知△ABC中， BAC 90 ，点B、C的 坐标分别为（4，2），（2，8）， 向量 d ＝（3，2）,且 d 与AC平行， 求△ABC的两条直角边所在直线的方程
4. 已知数列an 是等差数列，公差 d 0 ，且 a1 , a2 为关于 2 x 的方程 x a3 x a4 0 的两根，求 an
1.(0,5),(4, 3) 2. 6 3.25, n 12or13 4. an 2n
直线的点法向式方程
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件， 如两个点、一个点和一个平行方向，再如一 个点和一个垂直方向。
问题2. 已知一个向量 n (a, b) ，
一条直线 l 经过 P( x0 , y0 )点，且 l 写出直线
说明：
n
，
l
的方程。
1.法向量 n 是不唯一的，与直线垂直的非零向 量都可以作为法向量 2.若直线的一个方向向量是 (u , v ) ，则它的一个 法向量是 (v,u )
直线的点方向式方程
直线的点方向式方程11.1直线的方程教学目标：理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程。
教学难点：理解直线方程以及点方向式方程的推导。
知识链接：1.已知点A（x1,y1）、点B(x2,y2)，则AB=2.已知a?(x1,y1)、b?(x2,y2)，则“a//b”的充要条件是3.直线l的方程是：y?2x?1，回答下列问题： (1)点A（1，5）在直线l上吗？（2）点B（m，3）在直线l上，则m= 学习探究：探究1：已知直线l过点P(?1,1)且与向量d?(2,1)平行，思考并回答下列问题：（1）这样的直线是唯一的吗？（2）若Q(x,y)是直线上的任意一点，求x与y的关系式.探究2：已知直线l过点P(x0,y0)且与非零向量d?(u,v)平行，若Q(x,y)是直线上的任意一点，求x与y的关系式.例题：已知点A?4，6?，B??3，?1?和C?4，?5?，求经过点A且与BC平行的直线l的点方向式方程？（解题关键在于找点和方向向量！）变式1：求经过点B、C两点的直线l的点方向式方程？变式2：求 ?ABC中，平行于BC边的中位线MN所在直线的点方向方程？?练习1：已知直线l经过A（-3,4）、B（2，-1）两点,且与向量d?(1,m)平行，求m练习2：已知d1、d2分别是直线l1与l2的方向向量，则“l1//l2”是“d1?d2”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件?练习3：写出下列直线方程的一个方向量d：（1）x?1y?3? （3）y?3 （4）x?2?0 2?2作业（2021.12.22）1.依据下列条件，求出直线l的点方向式方程：?（1）过点P（2，-3），与向量d?(?3,2)平行.?11（2）过点P（-3，0），方向向量d?(,)；322.求过点A（3，0），B（-2，1）两点的直线的点方向式方程.3.已知点A?4，6?，B??3，?1?和C?4，?5?，求中线AD的点方向式方程.4.平行四边形ABCD的顶点C(?5,7),AB与AD所在直线的方向向量分别为d1?(?2,3)和d2?(0,3)，求BC和CD所在直线的点方向式方程.5.求过点（1，1），方向向量为（2，-1）的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积.6.在直线l：ax?by?c?0上任意取相异两点A,B，则AB就是直线l的一个方向向量（1）在直线3x?2y?1?0的一个方向向量是（2）在直线3x?2y?0的一个方向向量是（3）在直线x?1?0的一个方向向量是（4）在直线y?0的一个方向向量是7.求经过点A（1，-3），且与直线2x?y?1?0平行的直线方程.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-点方向式 教案
直线的方程——点方向式教学目标：理解直线的方向向量d 的概念，知道(,0)d R λλλ∈≠也是直线的方向向量；能根据直线上的一个点和它的一个方向向量，或两个不同的点求出直线的点方向式方程； 理解直线方程的解的集合与直线上点的集合之间的关系；通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量来推导过程，并明确向量的几何意义。
重点难点：重点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。
难点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。
教学过程：引入：初中平面几何里，我们定性地研究了直线的平行、垂直或直线相交所成角是否相等。
现在，我们将进一步用定量的方法来研究直线。
一次函数y kx b =+可以写成0kx y b −+=，我们将看到直线与一般的二元一次方程的对应关系。
由于方程的解是可以计算的，所以，我们能用定量的方法来研究直线了。
新课：一、直线的方程的推导已知平面上一条直线l ，过已知点P ，且与已知的非零向量d （0d ≠）平行。
易知，这样的直线l 是唯一确定的。
问题：直线l 上的点的坐标之间有什么关系。
★直线与非零向量平行（垂直）是指直线与非零向量所在的直线平行或重合（垂直）。
直线l 平行于向量d ，所以，对直线上的任意点Q ，都有//PQ d 。
在直角坐标系中，设00(,)P x y ， (,)d u v =，()Q x y ，， 可得：00()PQ x x y y =−−，//PQ d ∴ ⇔00()()v x x u y y −=−……①（000x x y y uv−−⇔=）反之，如果111()Q x y ，是方程①的任意一组解，即1010()()v x x u y y −=−，那么以00()P x y ，为起点，111()Q x y ，为终点的向量1PQ 与向量d 平行，即点1Q 在直线l 上。
★于是：直线l 上的点的集合 A=方程①的解的集合 B “在的都是”“是的都在”定义：我们把方程①叫做直线l 的方程，直线叫作方程①的直线。
直线的两点式方程 学案 导学案 说课稿 课件
问题5.已知直线 与 轴的交点为A ，与 轴的交点为B ，其中 ，此时直线 的方程该怎样表示？ 具有怎样的几何意义？
经典例题
例1.已知三角形的三个顶点 ， ， ．求 边上中线所在直线的方程.
例2.已知两点 ，求：
（1）直线 的斜率和直线 的方程；
5.一条光线从 (3,2)出发，经 轴反射，通过点 (－1，6)，求入射光线和反射光线的方程.
6．如图，已知三角形的顶点为 ， ， ，求：
（1）AB边上的中线CM所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
形成练习
1．过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
2．直线l过两点(m,3)和(3,2)，且在x轴上的截距是1 ，则m＝________.
3．直线Ax＋By＋C＝0在x，y轴上的截距分别是2和1，则A：B：C＝________.
4．直线 在两坐标轴上的截距之和为2，则实数 的值是________.
（2）已知 ，求直线 的倾斜角 的范围．
例3.已知直线 过点（1，2）且在x，y轴上的截距相等
（1）求直线 的一般方程；
※（2）若直线 在x，y轴上的截距不为0，点 在直线 上，求 的最小值．
例4.已知直线
（1）若直线 的斜率等于2，求实数 的值；
（2）若直线 分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．
直线的两点式方程
思维目标
1.理解直线方程的“两点式”和“截距式”；
2.初步应用直线方程的“两点式”和“截距式”求直线的方程.
建构数学
问题1.用点斜式表示经过两点 的直线 的方程是什么？
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§11.1.1直线的点方向式方程
【课型设置：自研+互动10分钟+展示30分钟】
班级姓名编号 NO：日期: 2012-02-07
一、学习目标：1、体会直线方程的建立过程，理解直线的方程、方程的图形、方向向量的含义，掌握直线的点方向式方程；
2、能根据题意写出直线的点方向式方程。
二、定向导学·互动展示·当堂反馈
§11.1.1直线的点方向式方程（练习部分）
（时段：自习课 ， 时间：30分钟 ）
1.求过点P 且与d 平行的直线l 的点方向式方程。
（1）P )0,0(，d
=)1,1(
（2）P )3,2(-，d
=)4,3(-
2.求经过A 、B 两点的直线l 的点方向式方程。
（1）A )5,3(，B )0,1(
（2）A )2,2(，B )5,5(
3.已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)1,4(),7,0(),1,2(--C B A 。
（1）求此三角形的AB 边所在直线的方程； （2）求此三角形的BC 边中线所在直线的方程。
4.已知梯形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A )3,2(、B )1,2(-、C )5,4(，求此梯形中位线所在直线的方程。
5.已知)1,1(-A 、)3,3(B 两点，点),5(a C 在直线AB 上，求实数a 的值。
6.已知ABC ∆的两个顶点的坐标分别为)0,3(),2,2(B A ，此三角形的重心坐标为)1,3(，求此三角形的AC 边所在直线的方程。