不等式性质 课例分析作业
2.1 等式与不等式的性质(精练)(解析版)
2.1 等式与不等式的性质（精练）【题组一 不等式（组）表示实际问题】1．（2021·全国高一课时练习）用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h (单位:m )从地面算起不能超过4m ; (2)a 与b 的和是非负实数;(3)如图,在一个面积小于2350m 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L (单位m )大于宽W (单位:m )的4倍.【答案】(1)04h <≤;(2)0a b +;(3)40(10)(10)350.L W L W >>⎧⎨++<⎩，【解析】（1）04h <≤； （2）0a b +≥；（3）由题,则矩形地基的长为()10L +m ,宽为()10W +m ,则40(10)(10)350L W L W >>⎧⎨++<⎩2．（2020·全国高一课时练习）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．【答案】a 2＋b 2≥2ab. 【解析】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为,a b ，则大正方形的面积为2()a b +，四个矩形的面积和为4ab ，显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和， 所以2()4,a b ab +≥所以a 2＋b 2≥2ab.3（2021·全国高一课时练习）一公司投资A 生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元,该公司通过引进先进技术,在生产线A 投资减少了x 万元,且每万元的利润提高了0.5x %;若将少用的x 万元全部投入B 生产线,每万元创造的利润为131.51000a x ⎛⎫-⎪⎝⎭万元,其中0a >. (1)若技术改进后A 生产线的利润不低于原来A 生产线的利润,用不等关系表示; (2)若生产线B 的利润始终不高于技术改进后生产线A 的利润,用不等关系表示. 【答案】(1)23000x x -≤(2)131.5 1.5(500)(10.5%)1000a x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】(1)由题意得1.5(500)(10.5%) 1.5500x x -+≥⨯,整理得23000x x -≤. (2)由题意知,生产线B 的利润为131.51000a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭万元, 由（1）技术改进后生产线A 的利润为1.5(500)(10.5%)x x -+万元, 则131.5 1.5(500)(10.5%)1000a x x x x ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭. 4．（2021·全国高一课时练习）某工厂生产甲，乙两种图画纸，计划每种图画纸的生产量不少于8t ，已知生产甲种图画纸1t 要用芦苇7t 、黄麻3t 、枫树5t ；生产乙种图画纸1t 要用芦苇3t 、黄麻4t 、枫树8 t .现在仓库内有芦苇300t 、黄麻150t .枫树200t ，试列出满足题意的不等式组.【答案】7330034150582008,8x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 【解析】设甲、乙两种图画纸的生产量分别为t x ，t y ，根据题意，应有如下的不等关系： ①生产甲、乙两种图画纸所用的芦苇总量不超过300t ，用不等式表示为73300x y +≤； ①生产甲、乙两种图画纸所用的黄麻总量不超过150t ，用不等式表示为34150x y +≤； ①生产甲、乙两种图画纸所用的枫树总量不超过200t ，用不等式表示为58200x y +≤； ①甲、乙两种图画纸的生产量都不少于8t ，用不等式表示为8x ≥，8y ≥.所以满足.题意的不等式组为73300,34150,58200,8,8.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 故填：73300,34150,58200,8,8.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩. 【题组二 比较大小】1．（2021·云南楚雄彝族自治州·高一期末）已知233,1P a a Q a =++=+，则（ ） A ．P Q < B ．P QC ．P Q >D ．P Q【答案】C 【解析】22233(1)22(1)10P Q a a a a a a -=++-+=++=++>,P Q ∴>.故选：C2．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一开学考试）若231m x x ，221nx x ，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n ≥C ．m n <D ．m n ≤【答案】A 【解析】①231m x x ，221nx x ①2222312122110mnx x x x x xx因此：m n >故选：A3．（2021·湖北武汉市·高一期中）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元.设1枝郁金香的价格为A 元，1枝丁香的价格为B 元，则A ，B 的大小关系为（ ） A ．A B > B ．A B =C ．A B <D ．不确定【答案】A 【解析】由题意：45226324A B A B +<⎧⎨+>⎩，解得10B A -<-<，则A B >故选：A4．（2021·全国高一课时练习）已知,a b ∈R ，则2252a b ++_______42ab a +．（用“>”或“<”填空） 【答案】>【解析】因为225242a b ab a ++--22(2)(1)1a b a =-+-+,又2(2)0a b -≥，2(1)0a -≥，所以2252420a b ab a ++-->，所以225242a b ab a ++>+， 故答案为：>.5．（2021·广东清远市·高一期末）已知241M a a =++，122N a =-，则M ________N .（填“>”或“<”）【答案】>【解析】22312(1)022M N a a a -=++=++>，①M N >．故答案为：>． 6．（2021·全国高一课时练习）比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小. 【答案】()()()()3746x x x x ++<++. 【解析】 ()()x 3x 7++-()()x 4x 6++ =()22x 10x 21x 10x 24.++-++ =-3<0所以()()()()x 3x 7x 4x 6++<++7．（2021·全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）256x x ++与2259x x ++； （2）2(3)x -与(2)(4)x x --； （3）当1x >时，2x 与21x x -+；（4）221x y ++与2(1)x y +-.【答案】（1）2256259x x x x ++<++.（2）2(3)(2)(4)x x x ->--.（3）221x x x >-+.（4）2212(1)x y x y ++>+-.【解析】（1）因为()()2225625930x x x x x ++-++=--<，所以2256259x x x x ++<++.（2）因为()()222(3)(2)(4)696810x x x x x x x ----=-+--+=>，所以2(3)(2)(4)x x x ->--.（3）因为()22110x x x x --+=->，所以当1x >时，221x x x >-+.（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++--+=-+-+>，所以2212(1)x y x y ++>+-.8．（2021·广东）已知0a >，0b >的大小；b a+ab =时取等号）【解析】方法一：由题意()a b --==2=，因为0a >，0b >0>，2≥0>，2≥，当且仅当ab =时等号成立，≤+a b =时取等号）.a b+===2==211+，当且仅当a b =时等号成立，b a+a b =时取等号）. 【题组三 不等式性质的运用】1．（2021·怀仁市第一中学校云东校区高一月考（理））下列结论正确的是（ ） A ．若a b c b >>，，则a c > B ．若a b >，则22a b >C ．若a b c b >>，，则ac bd >D ．若a b c d >>，，则a c b d +>+【答案】D【解析】A. 若2,1,3a b c ===，满足a b c b >>，，而a c <，故错误； B. 若1,2a b ==-，满足a b >，而22a b <，故错误；C.若1,22,1a b c d =-=-==，，满足a b c d >>，，而ac bd =，故错误；D.若a b c d >>，，由不等式的基本性质得a c b d +>+，故正确. 故选：D2．（2021·重庆市清华中学校高一期末）下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若33a b >，则a 2>b 2C ．若a b <，则11a b> D ．若0a b >>，0c d >>，则ac bd > 【答案】D【解析】对于A ：因为2c ≥0，所以当2c =0时，22ac bc =，故A 错误；对于B ：若33a b >，可得a b >，当0,1a b ==-时，满足a b >，但22a b <，故B 错误； 对于C ：当1,1a b =-=时，111,1,a b =-=，所以11a b<，故C 错误； 对于D ：若0a b >>，0c d >>，则ac bd >，故D 正确. 故选：D3．（2021·北京高一期末）已知实数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．11b a> B ．22a b > C ．0b a -> D ．b a a b <【答案】A【解析】对于A ：由图象可得0b a <<，所以11b a>，故A 正确； 对于B ：因为0b a <<，所以22a b <，所以B 错误； 对于C ：因为b a <，所以0b a -<，故C 错误；对于D ：当2,1b a =-=-时，满足0b a <<，此时2,1b a ==， 所以2,2a b b a =-=-，即b a a b =，故D 错误， 故选：A4．（2021·浙江高一期末）（多选）下列命题不正确的（ ） A ．110||||a b a b<<⇒> B ．a ba b c c>⇒> C ．33110a b a bab ⎫>⇒<⎬>⎭D ．22110a b a bab ⎫>⇒<⎬>⎭【答案】ABD 【解析】A ：1100ab a b <<∴>且110a b->->，因此110ab ab ab a b -⋅>-⋅>⋅， 即00b a b a b a ->->⇒->->⇒>，故本命题不正确； B ：因为4822>--，显然48>不成立，所以本命题不正确； C ：由332233()()0b a b a b a b b a a ⇒-=-++>>，而0ab >， 所以有a b >，而11110b a a b ab a b--=<⇒<，故本命题正确； D ：若2,1a b =-=-，显然220a b ab ⎧>⎨>⎩成立，但是1121<--不成立，故本命题不正确，故选：ABD5．（2021·全国高一课时练习）（多选）已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->-D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 【答案】BC【解析】若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错误； 若0ab >，0bc ad ->，则0bc ad ab ->，化简得0c da b->，故B 正确； 若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 正确； 若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错误； 故选：BC ．6．（2021·浙江高一期末）（多选）若0a b <<，则下列不等式不可能成立的是（ ） A ．11a b a>- B ．a b >C ．11<a bD ．22a b >【答案】AC【解析】因为0a b <<，对A ，可得0a b a >->，所以11a b a<-，故A 错；对B ，a b >成立，故B 正确；对C ，11a b>，故C 错误；对D ，a b >，所以22a b >成立，故D 正确. 故选：AC7．（2021·浙江高一期末）（多选）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ab ac > B ．()0c b a -> C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <【答案】ABC【解析】因为实数a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <， 所以0,0a c ><，由,0b c a >>，得ab ac >，故A 正确； 由,0b a c <<，得()0c b a ->，故B 正确； 由,0a c ac ><，得()0ac a c -<，故C 正确；由2,0a c b >≥，得22cb ab ≤，当0b =时，等号成立，故D 错误； 故选：ABC8．（2021·全国高一课时练习）用不等号“>”或“<”填空: (1)如果a b >,c d <,那么a c -______b d -;(2)如果0a b >>,0c d <<,那么ac ____bd ; (3)如果0a b >>,那么21a____21b ; (4)如果0a b c >>>,那么c a ____c b. 【答案】> < < < 【解析】:(1)c d <,c d ∴->-.a b >,a c b d ∴->-.(2)0c d <<,0c d ∴->->.0a b >>,ac bc bd ∴->->-,ac bd ∴<.(3)0a b >>,0ab ∴>,10ab>,110a b ab ab ∴⋅>⋅>,110b a ∴>>,2211b a ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2211a b <.(4)0a b >>,所以0ab >,10ab>.于是1a b ab ab 1⋅>⋅,即11b a >,即11a b <.0c >,c ca b∴<. 故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)< 【题组四 不等式的证明】1．（2021·上海高一期末）已知,a b 是任意实数，求证：4433a b a b ab ++≥，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析；当且仅当a b =时，等号成立． 【解析】因为()()()()44334343a ba b ab aa b b ab +-+=-+-()3333()()()a a b b b a a b a b =-+-=--()22222213()()24a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故()()44330a ba b ab +-+≥，即4433ab a b ab ++≥．当且仅当a b =时，等号成立．2.（2021年广东）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd .【答案】见解析【解析】方法一 ①bc －ad ≥0，①bc ≥ad ，①bc ＋bd ≥ad ＋bd ，即b (c ＋d )≥d (a ＋b )． 又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd.方法二a ＋b b －c ＋d d ＝a ＋b d －c ＋d b bd ＝ad －bcbd，①bc －ad ≥0，①ad －bc ≤0，又bd >0，①ad －bc bd ≤0，即a ＋b b ≤c ＋dd .【题组五 求代数式的取值范围】1．（2021·浙江高一期末）已知13a b <<<，则a b +的取值范围是_________，ab的取值范围是________．【答案】()2,6 1,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】13a b <<<，即1a b <<，3a b <<，13a a b b ∴+<+<+， 又12a +>，36b +<，26a b ∴<+<； 又1113b a <<，13a a b ∴<<，又133a >，113ab∴<<. 综上所述：a b +的取值范围为()2,6；a b 的取值范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：()2,6；1,13⎛⎫⎪⎝⎭.2．（2021·浙江高一期末）已知14x y -<+<，23x y <-<，则x 的范围是_________，32x y +的范围是________． 【答案】17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 323,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】14x y -<+<，23x y <-<，两个不等式相加可得127x <<，解得1722x <<， 设()()()()32+=++-=++-x y m x y n x y m n x m n y ，所以，32m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得52m =，12n =，因为()551022x y -<+<，()13122x y <-<， 由不等式的基本性质可得3233222x y -<+<. 故答案为：17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；323,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.3（2021·全国高一课时练习）已知1≤a +b ≤4，-1≤a -b ≤2，求4a -2b 的取值范围【答案】[]2,10-【解析】令4a -2b =x (a +b )+y (a -b )，所以4a -2b =(x +y )a +(x -y )b .所以4-2x y x y +=⎧⎨=-⎩，，解得13.x y =⎧⎨=⎩， 因为1≤a +b ≤4，-1≤a -b ≤2，所以-33()6a b ≤-≤所以-2≤4a -2b ≤10.4．（2021·全国高一课时练习）已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的取值范围______.【答案】(2,5)【解析】因为23a <<，所以426a <<，因为21b -<<-，所以4(2)26(1)a b +-<+<+-，即225a b <+<，所以2a b +的取值范围为(2,5)，故答案为：(2,5)5．（2021·湖北高一期中）若实数x ，y 满足12x -<<，21y -≤≤，则y x -的取值范围是________.【答案】()4,2-【解析】因为12x -<<，所以21x -<-<，又因为21y -≤≤，所以()2211y x -+-<-<+，即42y x -<-<．故答案为：()4,2-．6．（2021·江苏镇江市）已知14,263x y x y -≤+≤≤-≤，则34z x y =-的取值范围是________________.【答案】[0,11]；【解析】()()3426z x y x y x y =-=++-，因为14,263x y x y -≤+≤≤-≤，所以()228x y -≤+≤，所以()()02611x y x y ≤++-≤，故答案为: [0,11]7．（2021·广东佛山市·顺德一中高一期中）已知实数x ，y 满足023x y ≤+≤，21x y -≤-≤，则45x y +的最大值是________.【答案】13【解析】令()()452x y m x y n x y +=++-，解得：3m =，2n =-，又023x y ≤+≤，21x y -≤-≤，24513x y ∴-≤+≤，即45x y +的最大值是13.故答案为：13.8．（2021·安徽合肥市）实数,a b 满足32a b -≤+≤，14a b -≤-≤．（1）求实数,a b 的取值范围；（2）求32a b -的取值范围．【答案】（1）23a -≤≤，7322b -≤≤；（2）43211a b -≤-≤． 【解析】（1）由32a b -≤+≤，14a b -≤-≤，两式相加得，426a -≤≤，则23a -≤≤，由14a b -≤-≤，得41a b -≤-+≤，又32a b -≤+≤，两式相加得，723b -≤≤，即7322b -≤≤； （2）设()()()()32a b m a b n a b m n a m n b -=++-=++-，则32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ①()()153222a b a b a b -=++-， ①32,14a b a b -≤+≤-≤-≤，①()()31551,102222a b a b -≤+≤-≤-≤，则43211a b -≤-≤． 9．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高一期中）已知－2＜a ≤3,1≤b ＜2，试求下列代数式的取值范围. （1）a ＋b ；（2）2a －3b .【答案】（1）－1＜a ＋b ＜5；（2）－10＜2a －3b ≤3.【解析】（1）由－2＜a ≤3,1≤b ＜2，得－1＜a ＋b ＜5.（2）由－2＜a ≤3得－4＜2a ≤6，①由1≤b ＜2得－6＜－3b ≤－3，①由①＋①得，－10＜2a －3b ≤3.10．（2021·江苏省）（1）若1260a ，1536b ，求2a b -，a b的取值范围； （2）已知x ，y 满足1122x y -<-<，01x y <+<，求3x y -的取值范围．【答案】（1）()12,105-， 1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭；（1）()1,2-.【解析】（1）因为1260a ，所以242120a ， 因为1536b ，所以1113615,3615b b ， 所以122105a b -<-<，143a b<<； 所以2a b -的取值范围是()12,105-；a b 的取值范围是1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）设()()()()3x y m x y n x y m n x n m y -=-++=++-， 则31m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩， 所以()()32x y x y x y -=-++，又因为1122x y -<-<，01x y <+<， 所以132x y -<-<，所以3x y -的取值范围是()1,2-。
《9.1.2不等式的性质》作业设计方案-初中数学人教版12七年级下册
《不等式的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时的作业设计，旨在使学生巩固并掌握不等式的基本性质，包括不等式的基本运算法则、不等式的加减乘除性质、不等式的乘方与开方性质等。
同时，培养学生运用不等式性质解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学应用能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 复习巩固：回顾并复习之前学过的等式的基本性质，为学习不等式性质打下基础。
2. 掌握概念：通过练习题，让学生掌握不等式的基本概念和符号表示方法。
3. 练习运算法则：通过大量练习题，让学生熟练掌握不等式的基本运算法则，包括不等式的加减、乘除、乘方和开方等。
4. 实际问题应用：设计一些实际问题，让学生运用所学的不等式性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
三、作业要求1. 完成速度：要求学生按时完成作业，培养良好的时间管理习惯。
2. 准确性：要求学生答案准确，注重细节，避免因粗心导致的错误。
3. 创新性：鼓励学生在解决问题时尝试不同的方法，培养创新思维和解决问题的能力。
4. 独立思考：要求学生独立完成作业，培养自主学习的能力。
四、作业评价1. 评价标准：以准确性、速度、创新性和独立思考能力为评价标准。
2. 评价方式：采用教师评价、同学互评和自我评价相结合的方式，全面了解学生的学习情况。
3. 反馈方式：及时反馈学生的作业情况，指出错误并给出改进建议，鼓励学生继续努力。
五、作业反馈1. 个性化指导：针对学生的作业情况，给予个性化的指导和建议，帮助学生更好地掌握知识。
2. 课堂讨论：在下一课时的课堂上，针对学生作业中的共性问题进行讨论，加深学生对知识的理解。
3. 鼓励表扬：对表现优秀的学生给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。
4. 家长沟通：与家长沟通学生的作业情况，让家长了解孩子的学习进度和问题，共同帮助孩子提高学习成绩。
通过以上是本课时作业设计方案的主要内容。
通过这样的作业设计，旨在让学生在掌握不等式性质的基础上，能够灵活运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力和自主学习能力。
2020_2021学年高中数学第三章不等式3.1.2不等式的性质课时作业含解析新人教A版必修5
高中数学新人教A 版必修5第三章不等式：课时作业19 不等式的性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若x <a <0，则一定成立的不等式是( B ) A ．x 2<ax <0 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<0D ．x 2>a 2>ax解析：取x ＝－2，a ＝－1，则x 2＝4，a 2＝1，ax ＝2， ∴x 2>ax ，可排除A ，显然C 不正确．又a 2＝1，∴ax >a 2. ∴排除D ，故选B ．2．若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是( B ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C ．若a <b <0，则1a <1bD ．若a <b <0，则b a >ab解析：∵a >b ，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故A 错．∵a <b <0，∴a 2>ab ，b 2<ab ，1a >1b ，a b >1，b a <1，即b a <ab ，∴B 正确，C ，D 错误．3．如果a >b ，则下列各式正确的是( D ) A ．a ·lg x >b ·lg x B ．ax 2>bx 2 C ．a 2>b 2D ．a ·2x >b ·2x解析：A 中lg x 符号不确定；B 中x 有可能等于0；C 中a ，b 正、负不确定；D 项中由于2x >0，a >b 不等式两边同时乘2x ，得a ·2x >b ·2x .4．如果log a 3>log b 3，且a ＋b ＝1，那么( A ) A ．0<a <b <1 B ．0<b <a <1 C ．1<a <bD ．1<b <a解析：∵a ＋b ＝1，a ，b >0，∴0<a <1,0<b <1. ∵log a 3>log b 3，∴lg3lg a >lg3lg b.∴lg a <lg b <0.∴0<a <b <1.5．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( C ) A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c |解析：当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但1a >1b ，a 2<b 2，排除A 、B ；因为1c 2＋1>0，a >b⇒a c 2＋1>bc 2＋1，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选C ． 6．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b <a b ＋c <bc ＋a ，则有( A )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a解析：由c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a 可得c a ＋b ＋1<a b ＋c ＋1<bc ＋a ＋1，即a ＋b ＋c a ＋b <a ＋b ＋c b ＋c <a ＋b ＋c c ＋a .因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b >b ＋c >c ＋A ．由a ＋b >b ＋c ，可得a >C ．由b ＋c >c ＋a ，可得b >A ．于是有c <a <B ．二、填空题7．已知若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac >0.(填“>”“<”或“＝”) 解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )， ∴b 2＝a 2＋c 2＋2aC ．∴b 2－4ac ＝a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2. ∵a >c ，∴(a －c )2>0， ∴b 2－4ac >0.8．已知2b <a <－b ，则a b 的取值范围为－1<ab <2.解析：∵2b <a <－b ，∴2b <－B ．∴b <0. ∴－b b <a b <2b b ，即－1<ab<2. 9．若－2<c <－1，－1<a <b <1，则(c －a )(a －b )的取值范围为(0,6)． 解析：∵－2<c <－1，－1<a <b <1， ∴－3<c －a <0，－2<a －b <0， ∴0<(c －a )(a －b )<6. 三、解答题10．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >aD ．若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．解：命题一：若ab >0，且c a >db ，则bc >aD ．证明：因为c a >db ，且ab >0，所以c a ·ab >d b ·ab ，即bc >aD ．命题二：若ab >0，且bc >ad ，则c a >d b .证明：因为ab >0， 所以1ab >0，又bc >ad ，所以bc ·1ab >ad ·1ab ，即c a >db.11．已知a >b >c >0，求证：b a －b >b a －c >ca －c .证明：∵b >c ，∴－b <－C ．∴a －b <a －C ． ∵a >b >c ，∴0<a －b <a －C ． ∴1a －b >1a －c>0. 又b >0，∴b a －b >ba －c.∵b >c >0，1a －c >0，∴b a －c >ca －c .∴b a －b >b a －c >ca －c. ——能力提升类——12．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值( B )A ．一定是正数B ．一定为负数C ．可能为0D ．正负不定解析：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝0，且a 2＋b 2＋c 2>0(由abc >0知abc 均不为0)．∴ab ＋bc ＋ac <0.∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac abc<0.13．若x >y >1,0<a <1，则下列各式中正确的一项是( D ) A ．a －x <a －y B ．(sin a )x >(sin a )y C ．log 1a x <log 1ayD ．1＋a x ＋y >a x ＋a y解析：根据指数函数y ＝a x (0<a <1)在x <0时的单调性判断A 不正确；根据指数函数y ＝(sin a )x 在0<sin a <1的单调性判断B 不正确；根据对数函数y ＝log a x (a >1)在x >1时的单调性判断C 不正确．14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋C ．将a ，b ，c ，d 按从小到大的顺序排列起来是a <c <d <b ．解析：由a －d ＝c －b ，a ＋d <b ＋c ，两式相加，得a <c ． ∵b －d ＝c －a >0，∴b >d ． 又d >c ，∴a <c <d <b ．15．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小． 解：f (a )－f (b )＝ma a －1－mb b －1＝m (a a －1－bb －1)＝m (b －a )(a －1)(b －1).∵a >b >1，∴a －1>0，b －1>0，b －a <0. ①当m >0时， f (a )<f (b )； ②当m <0时， f (a )>f (b )； ③当m ＝0时， f (a )＝f (b )．。
7.1《不等式及其基本性质》典型例题精析
7.1 不等式及其基本性质1．能正确理解不等式的概念，会用不等式表示生活中的不等关系．2．理解掌握不等式的性质，能灵活运用不等式性质进行不等式变形．1．不等式的概念(1)定义：用不等号(＞、≥、＜、≤或≠)表示不等关系的式子，叫做不等式．像v≤40，t≥6 000，3x＞5，q＜p＋2，x≠3等这样的式子都是不等式．①符号“≤”表示小于或等于，也可以表示不大于；②符号“≥”表示大于或等于，也可以表示不小于．在用“≥”表示的不等式中，只要“＞”或“＝”两个关系中有一个成立，该不等式就成立，例如，不等式3≥2成立，不等式2≥2也成立；用“≤”表示的不等式道理也一样．【例1】在下列数学表达式中，不等式的个数是( )．①－2 013＜0；②4x ＋3y ＞0；③x ＝3；④x 2＋xy ＋y 2；⑤x ≠5；⑥x ＋2＞y ＋3.A ．5B ．4C ．3D ．2解析：运用不等式的定义进行判断，③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B ．答案：B本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠.2．不等式的基本性质(1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．字母表示：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，a －c ＞b －c ；同样有，如果a ＜b ，那么a ＋c ＜b ＋c ，a －c ＜b －c .(2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．字母表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ，a c ＞b c；同样有，如果a ＜b ，c ＞0，那么ac ＜bc ，a c ＜b c . (3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．字母表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc ，a c ＜bc；同样有，如果a ＜b ，c ＜0，那么ac ＞bc ，a c ＞b c . (1)不等式的变形中，只有当两边都乘以(或除以)一个负数时，不等号的方向改变．(2)不等式的两边不能都乘以零，乘以零后不等式变为等式．(4)如果a ＞b ，那么b ＜a .例如，由12＜x ，可得x ＞12. 不等式的这个基本性质类似于等式的基本性质中的“若a ＝b ，则b ＝a ”．(5)如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c .不等式的这个基本性质类似于等式中的“若a ＝b ，且b ＝c ，则a ＝c ”．【例2－1】如果m ＜n ，用“＞”或“＜”填空，并说明你的理由．(1)5m ________5n ；(2)m 2________n 2； (3)－2m ______－2n ；(4)－m 2______－n2. 解析：(1)＜；由m ＜n 两边都乘以5得到；(2)＜；由m ＜n 两边都乘以12(或除以2)得到； (3)＞；由m ＜n 两边都乘以－2得到；(4)＞；由m ＜n 两边都乘以－12(或除以－2)得到． 答案：(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞【例2－2】若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是( )．A ．a －1＜b －1B ．a 3＞b 3C ．－a ＜－bD ．ac ＜bc解析：在不等式的三条基本性质中要特别注意“不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变”，因为已知a ＜b ，由不等式基本性质1得a －1＜b －1，故选A ．由不等式基本性质2知B 选项错误，应为a 3＜b 3，由不等式基本性质3知C 选项中不等号方向要改变．由于c 可取任意实数，故D 项中不等式不一定成立．答案：A 解决这类问题时，先看已知不等式与变化后的不等式两边变化情况，从而确定应用哪一条性质．3．根据数量关系列出不等式根据题意用不等号表示数量间的不等关系，就是列不等式．(1)用不等式表示数量关系是研究不等式的基础，在用不等式表示数量关系时，一定要抓住关键词，然后把关键词用正确的不等号表示出来．(2)寻找题目中的不等量关系式第一步：寻找具有比较性质的关键词．如：“大于”“小于”“不大于”“不小于”“最多”“至少”“超过”“低于”等．第二步：寻找比较的两个量．即“谁大于谁”“谁小于谁”即可．(3)根据不等量关系式列出不等式找到不等量关系式之后，只需把不等量关系式中的量用式子表示出来即可．列不等式时除找出关键词确定不等关系外，还需明确以下常用的不等关系．(1)a 是正数表示为a ＞0；a 是负数表示为a ＜0.(2)a 是非负数表示为a ≥0；a 是非正数表示为a ≤0.(3)a ，b 同号表示为ab ＞0或者a b＞0；a ，b 异号表示为ab ＜0或者a b＜0. 【例3】用适当的符号表示下列关系：(1)x 的13与x 的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300 m ；(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；(4)明天下雨的可能性不小于70%.分析：(1)先表示出x 的13与x 的2倍，再求13x 与2x 的和，最后列出不等式13x ＋2x ≤0，注意非正数表示的是负数或零，即小于或等于0的数．(2)(3)(4)需先设未知数，然后用代数式表示问题中的各量，并根据题目中的不等关系列出不等式：一枚炮弹的杀伤半径不小于300 m ，即炮弹的杀伤半径≥300 m； 总价钱不高于268元，即总价钱≤268元；明天下雨的可能性不小于70%，即明天下雨的可能性≥70%.解：(1)13x ＋2x ≤0. (2)设炮弹的杀伤半径为r m ，则有r ≥300.(3)设每件上衣为a 元，每条长裤是b 元，则有3a ＋4b ≤268.(4)用P 表示明天下雨的可能性，则有P ≥70%.4．用不等式的基本性质将不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式将不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，是不等式基本性质的一个重要应用．将不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，要依据不等式的三条基本性质，进行合理的变形，这是解不等式的基础．在变形中，要用到去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，每一步都要依据不等式的基本性质．利用不等式的基本性质变形的步骤：(1)观察不等式的变化前后的规律；(2)适当选择不等式的基本性质1,2或3；利用不等式的基本性质3时，注意不等号方向的改变情况；(3)根据选择的基本性质变形．【例4】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：(1)x －2＜3；(2)6x ＞5x －1；(3)－4x ＞4；(4)14x ≤9. 分析：适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形，注意不等号方向的“不变”与“改变”．解：(1)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x －2＋2＜3＋2，即x ＜5.(2)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都减去5x ，不等号的方向不变，所以6x －5x ＞5x －1－5x ，即x ＞－1.(3)由不等式的基本性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜－1.(4)根据不等式的基本性质2，在不等式14x ≤9的两边都乘以4，得x≤36.解决这类问题，要观察题中不等式与所要得到的不等式在形式上的差别，从而采用适当的方法进行变形．5．根据实际问题列不等式根据实际问题列不等式的步骤可总结为：(1)认真审题，找出题目中的数量关系和关键字词；(2)列出相应的代数式，根据关键字词确定不等关系；(3)用不等号连接，列出不等式．解决这类问题的关键在于把题目中所给的数量关系中的“大于”，“小于”，“不大于”，“不小于”，“是负数”，“是正数”，“是非负数”，“至少”等文字语言正确地用数学符号表示出来，把不等关系转化为不等式．【例5－1】小刚准备用自己节省的零花钱购买一台MP4来学习英语，他已存有50元，并计划从本月起每月节省30元，直到他至少有280元．设x个月后小刚至少有280元，则可得到不等式为( )．A．30x＋50＞280 B．30x－50≥280C．30x－50≤280 D．30x＋50≥280解析：此题的不等关系：已存的钱与每月节省的钱数之和至少为280元．至少即大于等于，根据题意，得50＋30x≥280.故选D．答案：D【例5－2】冬天到了，小华准备用自己平时节省的30元钱为乡下的爷爷奶奶和自己买手套与袜子．已知一副手套5元钱，一双袜子4元钱，他先买了3双袜子．如果设他还能买x副手套，那么根据题意，可得到不等式________．解析：此题的不等关系：3双袜子的总价＋x副手套的总价不大于30元，根据题意可以列出不等式．答案：3×4＋5x≤306．与不等式及其性质有关的拓展创新题不等式在新型题目中的应用常见于新定义型题、探究题以及图表信息题，主要是以不等式及其性质为知识背景．拓展题主要是不等式基本性质的逆向应用，逆向运用公式或性质，可以从另一个角度考查我们对定义、性质、公式的理解，发散我们的思维．另外，逆向运用公式或性质，有时可以有效地简化计算，收到意想不到的效果．逆向应用不等式的基本性质时，关键是要看变形中，不等号的方向是否改变，从而判断变形中是否根据了不等式的基本性质 3.进一步可判断未知系数的正负性．逆用不等式的基本性质解题，多数考查的应该是不等式的基本性质3.【例6－1】现规定一种新的运算：a△b＝a·b－a＋b＋1，如3△4＝3×4－3＋4＋1.请比较下列两式的大小：(－3)△4________4△(－3)(填“＜”“＞”或“＝”)．解析：先根据规定的运算方法，将两式化简，然后进行大小比较．(－3)△4＝(－3)×4－(－3)＋4＋1＝－4；4△(－3)＝4×(－3)－4＋(－3)＋1＝－18.因－4＞－18，故(－3)△4＞4△(－3)．答案：＞【例6－2】已知关于x的不等式2＜(1－a)x的解集为x＜21－a，则a的取值范围是( )．A．a＞0 B．a＞1C．a＜0 D．a＜1解析：对照两个不等式可以发现，已知不等式左、右两边经过变形后位置发生了改变(即2在原不等式的左边，经过变形后在右边，含x的项在已知不等式的右边，经过变形后在左边)，因此应先将2＜(1－a)x变形为(1－a)x＞2，再根据不等式的性质确定a的取值范围．根据不等式的性质3，得1－a＜0，即a＞1.故选B．答案：B。
人教版数学七年级下册9.1.2《不等式的性质》优秀教学案例与反思
一、案例背景
本节课为人教版数学七年级下册9.1.2《不等式的性质》，是在学生已经掌握了不等式的基本概念和一元一次不等式的解法的基础上进行授课的。通过学习本节课，我希望让学生掌握不等式的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
在教学过程中，我以生活实例引入不等式的性质，让学生感受数学与生活的紧密联系。在讲解不等式的性质时，我采用了对比教学法，让学生通过对比来发现不等式的性质，培养学生的观察能力和思维能力。在练习环节，我设计了丰富多样的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
在教学过程中，我注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的自主学习能力。同时，我关注学生的个体差异，针对不同程度的学生给予适当的指导，使他们在课堂上都能有所收获。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握不等式的性质，包括不等式的两边同时加减同一个数或式子，不等式的两边同时乘除同一个正数，以及不等式的两边同时乘除同一个负数时不等号的变化规律。
3.利用多媒体技术展示情景，如动画、图片等，使抽象的不等式性质更加直观形象，有助于学生理解和记忆。
（二）讲授新知
1.引导学生回顾不等式的基本概念和一元一次不等式的解法，为学习不等式的性质做好铺垫。
2.讲解不等式的性质，包括不等式的两边同时加减同一个数或式子，不等式的两边同时乘除同一个正数，以及不等式的两边同时乘除同一个负数时不等号的变化规律。在讲解过程中，注意结合实例进行分析，让学生更好地理解和掌握。
3.引导学生理解不等式性质背后的数学原理，提高学生的数学思维能力。例如，通过讲解不等式的性质，让学生理解为什么不等式的两边同时乘除同一个正数，不等号不变；而乘除同一个负数，不等号会改变。
人教版数学七年级下册优秀教学案例：9.1《不等式的性质》
2.培养学生合作学习的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和自信心。
2.培养学生的克服困难和挑战自我的勇气。
在教学过程中，设置具有一定难度的练习题，让学生在解决问题的过程中，体验到克服困难和挑战自我的成就感。同时，引导学生正确面对困难和挫折，培养学生的坚韧品质。
3.培养学生的合作精神和团队意识。
3.练习巩固：设计具有挑战性的练习题，让学生在解决问题的过程中巩固所学知识，提高学生的应用能力。
（三）小组合作
1.小组讨论：组织学生进行小组讨论和交流，使学生在互动中取长补短，提高合作意识。
2.小组汇报：鼓励学生代表小组进行汇报，培养学生的表达能力和团队协作精神。
3.小组评价：让学生互相评价，促进学生之间的相互学习和进步。
2.情境图片展示：运用多媒体动画展示不等式的性质，使抽象的概念变得直观形象，帮助学生更好地理解。
3.故事引导：通过生动有趣的故事，引导学生进入学习情境，激发学生的求知欲。
（二）问题导向
1.自主探究：引导学生从生活实例中发现不等式的规律，培养学生独立思考和归纳总结的能力。
2.问题引导：在讲解不等式的性质时，提出具有启发性的问题，引导学生深入思考，提高学生的数学思维能力。
2.创设情境：通过多媒体动画展示不等式的应用场景，让学生感知不等式的存在，引发学生的思考。
（二）讲授新知
1.不等式的定义：引导学生了解不等式的概念，明确不等式的基本构成要素。
2.不等式的性质：通过讲解和示例，让学生掌握不等式的基本性质，如传递性、同向可加性等。
不等式示范课案例分析
不等式示范课案例分析在数学教学中，不等式是一个重要的知识点。
为了帮助学生更好地理解和掌握不等式的相关内容，一堂精心设计的示范课显得尤为重要。
本文将对一节不等式示范课进行详细的案例分析，旨在探讨其教学方法、教学过程以及教学效果，以期为广大数学教师提供有益的参考和借鉴。
一、教学背景与目标这堂不等式示范课的授课对象是高一年级的学生。
在之前的学习中，学生已经掌握了等式的基本性质和简单的方程求解，但对于不等式的概念和性质还较为陌生。
本节课的教学目标主要有以下几点：1、让学生理解不等式的概念，能够区分不等式与等式的不同。
2、掌握不等式的基本性质，如传递性、加法和乘法法则等。
3、学会运用不等式的性质求解简单的不等式，并能够解决一些实际问题。
二、教学方法与策略1、引入环节教师通过展示一些生活中常见的不等式实例，如身高比较、成绩排名、物品价格范围等，引起学生的兴趣，让他们直观地感受到不等式在生活中的广泛应用，从而引出本节课的主题。
这种从实际生活入手的引入方式，不仅能够激发学生的学习热情，还能让他们认识到数学与生活的紧密联系，有助于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2、讲解环节教师在讲解不等式的概念时，采用了对比的方法，将不等式与等式进行对比分析，让学生清晰地理解两者的区别和联系。
在讲解不等式的性质时，教师通过具体的例子进行推导和证明，让学生自己观察、思考和总结规律，培养了学生的逻辑思维能力和自主探究能力。
3、练习环节教师安排了适量的课堂练习，让学生在实践中巩固所学的知识。
练习的题目由易到难，逐步提高学生的解题能力。
在学生练习的过程中，教师进行巡视指导，及时发现学生存在的问题，并给予针对性的帮助和指导。
4、互动环节教师鼓励学生积极提问和发言，组织学生进行小组讨论和交流，让学生在互动中分享自己的想法和见解，促进学生之间的合作学习和思维碰撞。
三、教学过程1、课程导入教师：“同学们，在我们的日常生活中，经常会遇到比较大小的情况。
不等式性质的例题解析
例1 比较33+x 与x 3的大小，其中R x ∈． 解：x x 3)3(2-+332+-=x x ，3)23(])23(3[222+-+-=x x ，43)23(2+-=x ，043>≥， ∴ x x 332>+．说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①b a b a >⇔>-0； ②b a b a =⇔=-0；③b a b a <⇔<-0．典型例题二例2 比较16+x 与24x x +的大小，其中R x ∈ 解：)()1(246x x x +-+1246+--=x x x ，)1()1(224---=x x x ， )1)(1(42--=x x ， )1)(1)(1(222+--=x x x ， )1()1(222+-=x x ，∴ 当1±=x 时，2461x x x +=+； 当1±≠x 时，.1246x x x +>+说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．例3 R x ∈，比较)12)(1(2+++x x x 与)21(+x （12++x x ）的大小． 分析：直接作差需要将)12)(1(2+++x x x 与)21(+x （12++x x ）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．解：∵)12)(1(2+++x x x =)1(+x （122+-+xx x ） )1(2)1)(1(2+-+++=x xx x x ，)1)(211()1)(21(22++-+=+++x x x x x x)1(21)1)(1(22++-+++=x x x x x ，∴ )1)(21()12)(1(22+++-+++x x x x x x021)1(21)1(212>=+-++=x x x x ． 则有R x ∈时，)12)(1(2+++x x x >)21(+x （12++x x ）恒成立．说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．典型例题四例4 设R x ∈，比较x+11与x -1的大小． 解：作差x x x x +=--+1)1(112， 1）当0=x 时，即012=+xx ， ∴x x-=+111； 2）当01<+x ，即1-<x 时，012<+xx ， ∴x x-<+111； 3）当01>+x 但0≠x ，即01<<-x 或0>x 时，012>+xx ，∴x x->+111． 说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．典型例题五例5 比较1618与1816的大小分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。
《2.1.2 不等式的性质》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块上册
《不等式的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 理解和掌握不等式的性质；2. 能够在解题过程中运用不等式的性质；3. 提高分析问题和解决问题的能力。
二、作业内容：1. 基础练习：a. 请列举不等式的基本性质，并说明理由。
b. 举出至少三个满足不等式性质的实际例子。
2. 提高练习：a. 请根据不等式的基本性质，对下列不等式进行变形：x > 2(1) x + 3 > 5 (2) 2x > 4 (3) x + 5 < 0 (4) x + 1 < 3 x - 2 > 0b. 请根据不等式的基本性质，证明不等式：(x - a)(x - b) > 0，其中a和b为常数，且a < b。
c. 请根据不等式的性质，分析并解决以下问题：* 对于不等式2x > x + 3，当x为何值时成立？当x取何值时，不等式成立条件最短？* 如果一个篮球的价格是50元，一个足球的价格是30元，现在需要比较篮球和足球的价格大小，请问应该如何构建不等式？三、作业要求：1. 认真阅读教材或相关资料，理解不等式的性质；2. 仔细完成每一项作业，确保正确性；3. 如果有任何疑问，及时向老师或同学请教。
四、作业评价：1. 作业完成后，请交由老师或同学批改；2. 批改将关注学生的完成情况，对于正确理解和运用不等式性质的学生给予肯定；3. 对于作业中存在的问题，将提出反馈和建议，帮助学生更好地理解和掌握不等式的性质。
五、作业反馈：1. 学生将收到老师的反馈，包括作业的优点、存在的问题以及改进的建议；2. 学生可根据反馈进行自我反思，找出自己在学习和理解上的不足之处，并制定相应的改进计划和措施；3. 老师也可根据学生的反馈，调整教学策略，以更好地满足学生的学习需求。
通过本次作业，学生将能够更好地理解和掌握不等式的性质，为后续的数学学习打下坚实的基础。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标：1. 巩固学生对不等式性质的理解和掌握；2. 提高学生运用不等式性质解决实际问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维和独立思考能力。
不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)
不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b 2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，a ＋b ＋c 33abc 等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…a n 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()()≥(i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝n ∑i ＝1a 2i n ∑i ＝1b 2i n ∑i ＝1a 1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案] B4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最大值为( )a b c A ．1 B ． 2C. D ．23[解析] (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )a b c a b c ＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．13∴(＋＋)2≤3.a b c ＋＋的最大值为.故应选C.a b c 3[答案] C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案] －2≤a ≤4考点一 含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为Error!，则a ＝________.[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－<x <，与已知条件不符；1a 5a当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，<x <－，又不等式的解集为Error!，故a ＝－3.5a 1a[答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，12则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋a ＋2≤3，解得≤a ≤.12－1174－1＋174即实数a 的取值范围是.[－1－174，－1＋174](2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y＝Error!要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案] (1) (2)(－∞，－3)[－1－174，－1＋174]解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三 不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则＋>＋；a b c d (2)＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d [解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明] (1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(＋)2>(＋)2.a b c d ＋>＋.a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得＋>＋.a b c d ＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a b c d a b c d a ＋b ＋>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a即＋＋≥a ＋b ＋c .a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－12，此时－<x ≤－.当－<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，23231212此时－<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <，此1223时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x <0，即原不等式的解集为.23(－23，0)[答案] (－23，0)4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] －6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则＋＋的最小值为__________．2a 2b 2c[解析] ∵(a ＋b ＋c )(2a ＋2b ＋2c )＝[()2＋()2＋()2]a b c [(2a )2＋(2b )2＋(2c )2]≥2＝18，(a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c )∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴的最小值为.m 2＋n 25[答案] 511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取4a值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋即可．由于||x ＋1|4a－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋即4a可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，4a将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，4a实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a .(1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴<x ≤3.83综上，不等式的解集为Error!.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >，即a 的取值范围为.12(12，＋∞)14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得，f (x )＝Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2.(2a －13，0)23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝Error!作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求a 2＋b 2＋c 2的最小值．1419[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a 2＋19b 2＋c 2)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)即a 2＋b 2＋c 2≥.141987当且仅当＝＝，12a 213b 3c 1即a ＝，b ＝，c ＝时等号成立．8718727故a 2＋b 2＋c 2的最小值为.141987。
不等式性质 课例分析作业
“不等式的性质”教学设计一、教学内容分析本节课是不等式的第一节课，由于学生是第一次接触不等式，故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上，着重探究不等式的性质，了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念.不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据.它是数（式）及其运算的系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，以系统地建立求解或证明不等式的理论依据，因此本课时是本章乃至高中数学的重要基础性内容之一.教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，以取得更好的教学效果.二、学生分析不等式的性质学生首次接触，没有明确的思路，同时，运算应用不等式的性质4时，要改变不等式的符号，这给教学带来不利影响，增加教学难度，因此在教学中要引导学生在“会学”方面下功夫.从学生现有的学习能力看，通过小学对等式的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.从学生的知识上看，学生已经学过等式的定义、性质，并掌握了等式的运算规律等，接下来的任务是通过类比、猜测、验证的方法来探索不等式的性质，掌握不等式的性质，并初步体会不等式与等式的异同.三、教学目标知识目标：1、掌握不等式的性质；2、会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.能力目标：通过类比不等式的性质，探索不等式的性质，体会不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法.情感目标：1、人士通过观察、实验、类比可以获得数学结论，体验教学活动充满着探索性和创造性.2、在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果，并重新审视自己的想法，能从交流中获益.四、教学重难点重点：理解并掌握不等式的性质难点：不等式性质5的探索及运用.五、教学方法教师是教学的主体、学生是学习的主体，本节课采用“实验——类比——交流”的教学方法，让学生在充分讨论、交流中掌握不等式的性质.六、教学活动课时一·创设情境，引入课题教师出示天平，并请同学们认真、仔细观察老师操作天平平衡与不平衡的两种过程，指出在实际生活中，同类量之间具有一种不相等的关系，并且是大量存在的、普通的，从而引出本节课学习的课题.·师生互动，课堂探究1、给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，观察天平的变化？2、不平衡的天平两边同时拿掉相同的砝码，观察天平的变化？3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？学生观察、思考完成后，教师出示认真填一填（用“＞”或“＜”填空）(1) 4＞2,2＞1, 2___1；2___4；4___1（2）3＞1， 3+2 ___1+2； 3—3 ___ 1—33+a___1+a； 3-m___1-m(3)-1<2, -1+5___2+5； -1-b___2-b(4)3>2, 3×4___2×4； 3×(-4) ___2×(-4)(5)-2<5, (-2)×6___5×6；(-2)×(-6) ___5×(-6)(6)-4>-6, -4÷2___ (-6)÷2；(-4)÷(-2) ___ (-6)÷(-2)师生共同归纳与上面类似的结论，并用字母表示.不等式性质1：如果a>b,那么b<a;如果b<a，那么a>b.即⇔>aa<bb不等式性质2：如果a>b，b>c,那么a>c.即⇔c>,a>>acbb不等式性质3：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等式的方向不变.即如果a＞b，那么a±c＞b±c.不等式性质4：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即如果a＞b，c > 0 ,那么 ac>bc.不等式性质5：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即如果a＞b，c < 0 ,那么 ac<bc.然后指出：（1）不等式的性质4、性质5有什么异同？（2）在不等式的两边都乘以m（m≠0），结论将会怎样？·应用迁移，巩固提高例1：利用不等式的性质，解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.（1）x-7 > 26 (2)3x < 2x+1(3)x>50 (4)-4x > 3（解题要求学生要联想到解一元一次方程的思想方法，强调推理的根据，注意不等式性质5和不等式性质4的区别.）例2 不等式（m-2）x > 1 的解集为： x <0 ,则（）A、m<2B、m>2C、m>3D、m<3课堂练习：将下列不等式化成x > a或 x < a 的形式(1) x-5 > -1(2) -2x > 4(3) 7x < 6x －6·总结反思，拓展升华1、本节课学习了哪些内容？2、应用不等式的性质5时要注意什么？课后作业：P74 1、 2、 3（1）、3（2）课时二·课堂回顾解下列不等式并在数轴上表示解集：（1）x-7>26 （2） -4x>3（3）3x+1>x-3 (4)10-4(x-3)≥2(x-1)·师生互动，课堂探究教师再次出示天平，并请同学们认真、仔细观察老师操作天平平衡与不平衡的两种过程.1、给不平衡的天平两边同时加入已知大小关系的不相同质量的砝码，观察天平的变化？2、给不平衡的天平两边同时加入与原物质量相等的砝码，观察天平的变化？根据观察到的天平变化情况认真填一填(1) 5＞3，4＞2 ； 5+2____3+1(2) 6＞5，-2＞-4 ； 6-2____5-4(3) 5＞3，4＞3； 5+5+5+5____3+3+3, 5⨯4____3⨯3师生共同归纳与上面类似的结论，并用字母表示.不等式性质6:如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.不等式性质7:如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.由不等式性质7填一填:(1)5＞3 ，5＞3； 5⨯5____3⨯3 ，25____23(2)81＞64，125＞64；81____64，481____464，3125____364归纳与上面类似的结论并用字母表示不等式性质8:如果a ＞b ＞0，那么n n b a >,(n ∈N,n ≥2).不等式性质9:如果a ＞b ＞0，那么n a >n b ,(n ∈N,n ≥2).·应用迁移，巩固提高例1、 两立方体的棱长分别为7cm 、5cm ，试分别比较这两立方体底面积和体积的大小.对两体积分别为10003cm 、7293cm 的立方体，比较它们棱长的大小.例2、 已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，求证c bd a>.课本P74：3（3）P75：B 组 1·总结反思，拓展升华1、本节课学习了哪些内容？2、性质8与性质6之间有怎样的关系？课后作业：P75 A 组：3、4 B 组：1、3P103 4七、教学反思本教学设计主要学习不等式的九个基本性质，通过实验演示寻入课题，形成不等式的基本性质，学生经历了不等式性质的探索过程，在学习中可以与等式的性质相互比较后，弄清异同点，还可以探究各不等式性质之间的联系.在课堂讲授的过程中，要特别注意：不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等式方向，这是与等式性质不同的地方；在乘方和开方计算时，比较对象的正负也是应该注意的地方.。
不等式性质案例
（2）学生对等式性质得出过程的回顾．
通过回顾等式的性质，帮助学生回顾等式性质的得出过程，为本节课类比等式的性质，探究不等式的性质做好铺垫；并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识的习惯．
活动2
观察课件：
问题1
用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：
情感
态度
1．认识到通过观察、实验、类比可以获得数学结论，体验数学活动充满着探索性和创造性．
2．在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果，并重新审视自己的想法，能从交流中获益．
重
点
不等式的性质．
难
点
不等式性质3的探索及运用．
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，提高语言表达能力．
分别观察课件：性质1、性质2、性质3．
问题2
用自己的语言概括不等式有哪些性质？
学生分组讨论，得出不等式的性质：
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
由浅入深的练习，进一步帮助学生理解不等式的性质，为下面利用不等式性质解不等式做准备．
活动4
问题
利用不等式的性质解下面的不等式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；Байду номын сангаас
（4） ．
学生分组讨论下列不等式的解法，并注意寻找规律．
教师深入小组，给予适当的帮助和指导，并引导学生注意观察不等式的结构特点，总结规律，并且统一规范写法．,
(新人教版)七年级数学下册：《不等式的性质》表格式教案及习题(含答案)
9.1.2 不等式的性质（2）1、会依据“不等式性质1 " 解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；2、学会运用类比思想来解不等式，培育学生察看、剖析和归纳的能力；教课目的3、在踊跃参加数学活动的过程中，培育学生勇敢猜想、勇于讲话与合作沟通的意识和脚踏实地的态度以及独立思虑的习惯．教课难点 依据“不等式性质 1”正确地解一元一次不等式。
知识要点依据“不等式性质 1”正确地解一元一次不等式。
教课过程（师生活动）设计理念小希就读的学校上午第一节课上课时间是8 点开始． 小希家距学设里一个学生很熟 校有 2 千米，而他的步行速度为每小时 10 千米．那么，小希上午几悉的问题情境， 能增点从家里出发才能保证不迟到？强亲和力．经历由具1、 若设小希上午 x 点从家里出发才能不迟到，则x 应知足如何的关体的实例成立不等系式？式模型的过程， 既可 提出问题让学生感觉不等式 2、 你会解这个不等式吗？请谈谈解的过程． 3、 你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？在实质生活中的应 用，又特别自然地引入新课．1、 分组商讨：对上述三个问题，你是如何考虑的？先独立思虑而后组内沟通，作出记录，最后各组派代表发主。
2、 在学生充足议论的基础上，师生共同归纳得出：培育学生主动参加、 （ 1） x 应知足的关系是：x1合作沟通的意识， 提≤ 851，得： x主同学生的察看、 分 （ 2） 依据“不等式性质1” , 在不等式的两边减去析、归纳和抽象能力重申“≤” 与“<” ＋ 1 － 1≤ 8－ 1 ，即 x ≤ 745在乎义上和数轴表（ 3） 55 5 5示上的差别。
这个不等式的解集在数轴上表示以下：研究新知我们在表示 74的点上画实心圆点， 意思是取值范围包含这个数。
53、 例题解以下不等式，并在数轴上表示解集： （ 1）3x < 2x ＋ 1（2） 3－ 5x ≥ 4 － 6x 师生共同商讨后得出：上述求解过程相当于由3x<2x+1，得 3x-2x < 1 ；由 3－ 5x ≥ 4－ 6x ，得－ 5x+6x ≥ 4-3. 这近似于解方程中的“移项” ．可见，解不等式也能够“移项” ，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．最后由教师完好地板书解题过程．稳固新知1、解以下不等式，并在数轴上表示解集：类比解方程的方法，让学生初步感觉不等式与方程的关系。
《2.1.2不等式的性质》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块上册
《不等式的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业的目标是让学生通过实际操作和练习，巩固《不等式的性质》第一课时的知识点，包括不等式的基本性质、不等式的解法等，提高学生的数学思维能力和解题能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
二、作业内容1. 基础练习：学生需完成一组关于不等式性质的基础练习题，包括不等式的基本性质判断、简单不等式的解法等。
这些题目旨在检验学生对不等式性质的理解和掌握程度。
2. 探究性作业：学生需自行设计一个与不等式性质相关的问题，并尝试用所学知识进行解答。
此作业旨在培养学生的探究能力和创新思维，加深对不等式性质的理解。
3. 小组合作：学生需以小组形式，共同探讨并解决一个较为复杂的不等式问题。
通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4. 思考题：布置一道具有挑战性的思考题，鼓励学生进行深入思考和探索，拓展思维。
三、作业要求1. 基础练习：学生需独立完成，不得抄袭他人答案。
要求答案准确、步骤清晰。
2. 探究性作业：学生需独立思考，设计出具有实际意义的问题，并详细记录解题过程。
鼓励创新，不拘泥于课本知识。
3. 小组合作：小组内成员需分工明确，共同完成作业。
作业上交时需附上小组讨论记录和每个人的贡献。
4. 思考题：学生可与同学、老师进行交流讨论，但需独立完成答案的书写。
鼓励学生在答案中展示自己的见解和思考过程。
四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况，对每位学生的作业进行评分。
评分将综合考虑学生的答案准确性、解题步骤的清晰度、探究性作业的创新性等方面。
2. 教师将对小组合作的作业进行整体评价，包括小组内成员的分工合作、讨论记录的完整性等方面。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行详细的点评，指出学生在作业中的优点和不足，并提出改进建议。
2. 教师将把学生的作业情况进行汇总，针对共性问题进行课堂讲解和指导。
3. 鼓励学生之间进行作业交流和讨论，相互学习、共同进步。
《不等式的基本性质》典型例题及解析
《不等式的基本性质》典型例题及解析典型例题一例题01 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．解答（1）根据不等式的性质，不等式的两边都加5，不等号的方向不变，所以，∴．（2）根据不等式的性质，两边都减去，不等号的方向不变，所以，∴．（3）根据不等式的性质，两边都乘以4，不等号的方向不变，所以，∴．（4）根据不等式的性质，两边都除以－5，不等号的方向改变，所以，∴．例题02 若，用“＜”或“＞”来填空：（1）；（2）．分析由于，不等式两边都减去5，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以－5，不等号的方向改变．解答（1）＜，（2）＞．例题03 用“”或“”号填空若且则：（1） _____；（2） _____；（3） _____；（4） _____；（5） _____；（6） _____；（7） _____；（8） _____．解答（1）因为，根据不等式的性质1，有；（2）因为，根据不等式的性质1，有；（3）因为，根据不等式的性质2，有；（4）因为，根据不等式的性质3，有，再由不等式性质1，有；（5）因为，由不等式的性质1，；（6）因为，由不等式的性质1，；（7）因为且，由不等式性质2知；（8）因为且，由不等式性质3，有说明解这类题应先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了什么样的变形得来的，弄清楚了，再对照不等式的性质，决定是否要改变不等号的方向．例题04 判断下列各题的结论是否正确，并说明理由．（1）如果，，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，且，那么．解答（1）不正确．因为当或时，不成立；（2）正确．因为成立，必有且，根据不等式基本性质2，得；（3）正确．根据不等式基本性质1，由，两边都加上，得；（4）不正确．因为，那么有可能大于0，也有可能小于0，当时，根据不等式基本性质3，两边同除以得．说明①注意成立则隐含着这个条件且；②要注意（4）小题中的条件“”的讨论，因为代表有理数，所以可能取正，也可能取负数．例题05 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）；（2）；（3）；（4）解答（l）根据不等式基本性质1，不等式两边都加上5，不等号的方向不改变，所以，即（2）根据不等式基本性质1，不等式的两边都减去，不等式不改变方向，所以，即（3）根据不等式基本性质2，不等式两边同除以（或乘以），不等号不改变方，所以，即（4）根据不等式基本性质3，不等式两边同乘以－2（或除以－）；不等号改变方向，所以，即说明在运用不等式基本性质3时，一定不要忘记改变不等号的方向．典型例题二1．有理数a，b在数轴上的位置如图，在下列各题中表示错误的是( )A．a−b>0 B．ab> 0 C．c−a<c−b D．>答案：D说明：不难看出a>b>0，所以A、B中表示的显然正确；由a>b可得−a<−b，两边同时加上c，则有c−a<c−b成立；只有D中的表示错误，因为a>b>0，所以将a>b两边同时除以ab，不等号方向不改变，即此时有>成立，所以答案为D．2．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )①b+c>0 ②a+b>a+c ③bc>ac ④ab>acA．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：C说明：由图中所给a、b、c三个数在数轴上点的位置，可以得到：①b>0，c<0且|b|<|c|，从而b+c<0；②b>c，不等式两边都加上a，得a+b>a+c；③a>b，不等式两边同乘以c(c<0)，得ac<bc，即bc>ac；④b>c，不等式两边同乘以a(a>0)，得ab>ac；所以②③④正确，答案为C．判断正误：①如果−a>−b，则a>b ( )错；−a>−b两边同乘以−1，不等号方向改变，得a<b②如果 2a>−2b，则a>−b ( )对； 2a>−2b两边同除以2，不等号方向不变，得a>−b③如果ab>ac，则b>c ( )错；当a≤0时，由ab>ac无法得出b>c④若x>，则x>1 ( )错；取x = −，则x>成立，但此时x>1不成立⑤若a−5>b−5，则a>b ( )对；a−5>b−5两边同加5即a>b⑥若a>b，则a2>b2 ( )错；取a = −1，b = −2，此时a>b成立，但a2<b2⑦若>，则a<b ( )错；取a = 1，b = −1，此时>成立，但a>b⑧若a>b，c>d，则ac>bd ( )错；取a = 1，b = 0，c = −1，d = −2，此时a>b，c>d都成立，但ac<bd。
高中数学第二册(上)不等式的性质 例题解析(1)
不等式的性质例题解析（1）教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引入：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系.生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为ma mb ++，只要证m a m b ++>ab即可。
怎么证呢?引人课题。
二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R ．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例：例1比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小.分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小. 把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项.解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）例2已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.解：由题意可知：（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2∵x≠0 ∴x2＞0∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1.例2引伸：在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么意味着x 可以全取实数，在解决问题时，应分x ＝0和x ≠0两种情况进行讨论，即： 当x ＝0时，（x 2＋1）2＝x 4＋x 2＋1 当x ≠0时，（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写.得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要.例3已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与ab的大小。
(新人教版)数学七年级下册：《不等式的性质》表格式教案及习题(含答案)
9.1.2 不等式的性质1、使学生娴熟掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值；2、对照一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，让学生感知不等式和方程的不一样教课目的作用与内在联系，领会此中浸透的类比思想；3、让学生在分组活动和班级沟通的过程中，累积数学活动的经验并感觉成功的欢乐，从而加强学习数学的自信心。
教课难点娴熟并正确地解一元一次不等式。
知识要点娴熟并正确地解一元一次不等式。
教课过程（师生活动）设计理念某地庆典活动需燃放某种礼花弹．为保证人身安全，要求燃以学生身旁的案例为放者在点燃导火索后于燃放前转移到10 米之外的地方．已知导火背景，突出不等式与现索的焚烧速度为0.02 m/s, 人走开的速度是 4 m/s ，导火索的长实的联系，这个问题为提出问题x(m) 应知足如何的关系式？契机引入新课，能够激你会运用已学知识解这个不等式吗？请你谈谈解这个不等式发学生的学习兴趣。
的过程．1、在学生充足发布建议的基础上，师生共同概括出这个不等式的不一样层次的学生经过解法．教师规范地板书解的过程．试试会有不一样的收2、例题．获．一些学生能独解以下不等式，并在数轴上表示解集：立解决；还有一些学生（1）2x≤ 50(2)-4x < 3虽不可以解答，但在老师3的指引下也能遇到启(3) 7－ 3x ≤10（4） 2x-3 < 3x ＋ 1发，这比纯真的教师讲研究新知分组活动．先独立思虑，而后请 4 名学生上来板演，其他同解更能调换学习的积学组内互相沟通，作出记录，最后各组选派代表讲话，评论板演极性．此外，由学生自状况．教师作总结讲评并示范解题格式．己来纠错，可培育他们3、教师发问：从以上的求解过程中，你比较出它与解方程有什么的批异同？判性思想和语言表达让学生睁开充足议论，领会不等式和方程的内在联系与不一样之能力．处。
比较不等式与解方程的异同中浸透着类比思想．1、解以下不等式，并在数轴上表示解集：（ 1）1x6（2）－ 8x < 10稳固新知772、用不等式表示以下语句并写出解集：（ 1）x 的 3 倍大于或等于 1；（2） y 的1的差不大于－ 2. 4丈量一棵树的树围（树干的周长）能够计算它的树龄一般规定以树干离地面 1.5 m 的地方作为丈量部位．某树种植时的树围为 5cm,此后树围每年增添约 3 cm.这棵树起码生一长多少年，其解决问题树围才能超出 2.4 m?让学生在解决问题的过程中深刻感悟数学根源于实践，又服务于实践，以培育他们的数学应意图识。
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“不等式的性质”教学设计
一、教学内容分析
本节课是不等式的第一节课，由于学生是第一次接触不等式，故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上，着重探究不等式的性质，了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念.不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据.它是数（式）及其运算的系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，以系统地建立求解或证明不等式的理论依据，因此本课时是本章乃至高中数学的重要基础性内容之一.教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，以取得更好的教学效果.
二、学生分析
不等式的性质学生首次接触，没有明确的思路，同时，运算应用不等式的性质4时，要改变不等式的符号，这给教学带来不利影响，增加教学难度，因此在教学中要引导学生在“会学”方面下功夫.从学生现有的学习能力看，通过小学对等式的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.从学生的知识上看，学生已经学过等式的定义、性质，并掌握了等式的运算规律等，接下来的任务是通过类比、猜测、验证的方法来探索不等式的性质，掌握不等式的性质，并初步体会不等式与等式的异同.
三、教学目标
知识目标：1、掌握不等式的性质；
2、会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.
能力目标：通过类比不等式的性质，探索不等式的性质，体会不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法.
情感目标：1、人士通过观察、实验、类比可以获得数学结论，体验教学活动充满着探索性和创造性.
2、在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己
的观点，学会分享别人的想法和结果，并重新审视自己的想法，能从
交流中获益.
四、教学重难点
重点：理解并掌握不等式的性质
难点：不等式性质5的探索及运用.
五、教学方法
教师是教学的主体、学生是学习的主体，本节课采用“实验——类比——交流”的教学方法，让学生在充分讨论、交流中掌握不等式的性质.
六、教学活动
课时一
·创设情境，引入课题
教师出示天平，并请同学们认真、仔细观察老师操作天平平衡与不平衡的两种过程，指出在实际生活中，同类量之间具有一种不相等的关系，并且是大量存在的、普通的，从而引出本节课学习的课题.
·师生互动，课堂探究
1、给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，观察天平的变化？
2、不平衡的天平两边同时拿掉相同的砝码，观察天平的变化？
3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？
缩小相同的倍数呢？
学生观察、思考完成后，教师出示认真填一填（用“＞”或“＜”填空）
(1) 4＞2,2＞1, 2___1；2___4；4___1
（2）3＞1， 3+2 ___1+2； 3—3 ___ 1—3
3+a___1+a； 3-m___1-m
(3)-1<2, -1+5___2+5； -1-b___2-b
(4)3>2, 3×4___2×4； 3×(-4) ___2×(-4)
(5)-2<5, (-2)×6___5×6；(-2)×(-6) ___5×(-6)
(6)-4>-6, -4÷2___ (-6)÷2；(-4)÷(-2) ___ (-6)÷(-2)
师生共同归纳与上面类似的结论，并用字母表示.
不等式性质1：如果a>b,那么b<a;如果b<a，那么a>b.即
⇔
>
a
a<
b
b
不等式性质2：如果a>b，b>c,那么a>c.即
⇔
c
>,
a>
>
a
c
b
b
不等式性质3：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等式的方向
不变.即如果a＞b，那么a±c＞b±c.
不等式性质4：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即如果a＞b，c > 0 ,那么 ac>bc.
不等式性质5：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即如果a＞b，c < 0 ,那么 ac<bc.
然后指出：
（1）不等式的性质4、性质5有什么异同？
（2）在不等式的两边都乘以m（m≠0），结论将会怎样？
·应用迁移，巩固提高
例1：利用不等式的性质，解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1）x-7 > 26 (2)3x < 2x+1
(3)x>50 (4)-4x > 3
（解题要求学生要联想到解一元一次方程的思想方法，强调推理的根据，注意不等式性质5和不等式性质4的区别.）
例2 不等式（m-2）x > 1 的解集为： x <0 ,则（）
A、m<2
B、m>2
C、m>3
D、m<3
课堂练习：
将下列不等式化成x > a或 x < a 的形式
(1) x-5 > -1
(2) -2x > 4
(3) 7x < 6x －6
·总结反思，拓展升华
1、本节课学习了哪些内容？
2、应用不等式的性质5时要注意什么？
课后作业：P74 1、 2、 3（1）、3（2）
课时二
·课堂回顾
解下列不等式并在数轴上表示解集：
（1）x-7>26 （2） -4x>3
（3）3x+1>x-3 (4)10-4(x-3)≥2(x-1)
·师生互动，课堂探究
教师再次出示天平，并请同学们认真、仔细观察老师操作天平平衡与不平衡的两种过程.
1、给不平衡的天平两边同时加入已知大小关系的不相同质量的砝码，观察
天平的变化？
2、给不平衡的天平两边同时加入与原物质量相等的砝码，观察天平的变
化？
根据观察到的天平变化情况认真填一填
(1) 5＞3，4＞2 ； 5+2____3+1
(2) 6＞5，-2＞-4 ； 6-2____5-4
(3) 5＞3，4＞3； 5+5+5+5____3+3+3, 5⨯4____3⨯3
师生共同归纳与上面类似的结论，并用字母表示.
不等式性质6:如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.
不等式性质7:如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
由不等式性质7填一填:
(1)5＞3 ，5＞3； 5⨯5____3⨯3 ，25____23
(2)81＞64，125＞64；81____64，481____464，3125____364
归纳与上面类似的结论并用字母表示
不等式性质8:如果a ＞b ＞0，那么n n b a >,(n ∈N,n ≥2).
不等式性质9:如果a ＞b ＞0，那么n a >n b ,(n ∈N,n ≥2).
·应用迁移，巩固提高
例1、 两立方体的棱长分别为7cm 、5cm ，试分别比较这两立方体底面积和体
积的大小.对两体积分别为10003cm 、7293cm 的立方体，比较它们棱长的大小.
例2、 已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，求证c b
d a
>.
课本P74：3（3）
P75：B 组 1
·总结反思，拓展升华
1、本节课学习了哪些内容？
2、性质8与性质6之间有怎样的关系？
课后作业：P75 A 组：3、4 B 组：1、3
P103 4
七、教学反思
本教学设计主要学习不等式的九个基本性质，通过实验演示寻入课题，形成不等式的基本性质，学生经历了不等式性质的探索过程，在学习中可以与等式的性质相互比较后，弄清异同点，还可以探究各不等式性质之间的联系.在课堂讲授的过程中，要特别注意：不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等式方向，这是与等式性质不同的地方；在乘方和开方计算时，比较对象的正负也是应该注意的地方.。