三角函数及恒等变换高考题大全
三角恒等变换 高考数学真题分类大全 专题07解析
专题7三角恒等变换第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·浙江高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B【解析】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以10042''1)273A B ⨯⨯==≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．3．（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．2【答案】B【解析】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：3sin coscos sin 663ππθθ+=，即sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.5.已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15B C ．33D ．255【答案】B【解析】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．6.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=（）A ．15B ．5C ．5D ．1【答案】B【解析】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即55a =，所以25a b a a -=-=，故选B.二、填空题8．（2020·全国高考真题（文））若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12(1399x x =-=-⨯-=-=.故答案为：19.9．（2020·江苏高考真题）已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】22221sin ())(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1310．（2020·北京高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.11.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10.【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ +⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当1tan 3α=-时，上式=2211212233=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上，sin 2.410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭12.函数3π()sin(23cos 2f x x x =+-的最小值为___________．【答案】4-.【解析】23()sin(23cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤ ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．三、解答题13．（2020·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C =22，求C .【答案】（1；（2）15︒.【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.14.设常数R a ∈，函数()2sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解．【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-.【解析】（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+，∴2sin20a x =，∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2ππsin 2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，，∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，，∵[]ππx ∈-，，∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-15.已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【答案】（1）725-；（2）211-【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()5cos 5αβ+=-，所以()25sin 5αβ+==，因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．16.已知函数()2sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）π3.【解析】（Ⅰ）()1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4C π=；（Ⅱ）213sin 13A =；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由22,5,13a b c ===2222cos 222225a b c C ab +-===⨯⨯，又因为(0,)C π∈，所以4C π=；（Ⅱ）在ABC 中，由4C π=，2,13a c ==222sin 2sin 13a CA c===21313；（Ⅲ）由a c <知角A 为锐角，由13sin 13A =，可得2cos 1sin A A =-=31313，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=，所以12252sin(2)sin 2cos cos2sin 444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=17226.第二部分模拟训练1．已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3sin sin 5B αα+=+，则()sin 300α+︒=（）A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D【解析】解：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+，又180A B C ++=︒，∴60B =︒，由()3sin 60sin 5αα︒+=+得，313cos sin 225αα-=，∴()3cos 305α︒+=，则()()()3sin 300sin 27030cos 305ααα+︒=︒+︒+=-︒+=-，故选：D ．2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（）A ．1316,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1417,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1417,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】()2sin(),0cos 62f x x x x x ππωωω=-≤≤-=，6626x ππωππω∴-≤-≤-，1322635162623ωπππωωπππω⎧⎧-≥≥⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-<<⎪⎪⎩⎩，则ω的取值范围是1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.3．将函数()sin 22f x x x =+的图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()g x ，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．512π【答案】A【解析】函数sin 222sin(2)3y x x x π==+，将函数sin 22y x x =+的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到函数2sin(22)3y x πϕ=++，因为函数是偶函数，∴2()()32212k k k Z k Z ππππϕπϕ+=+∈∴=+∈．当0k =时，12πϕ=．故选：A 4．设ABC 的内角A ，B ，C 满足2A C B +=，则函数()2sin()cos sin2f x x B x x =+-图象的对称轴方程是（）A ．ππ,32k x k =+∈Z B ．ππ,122k x k =+∈Z C ．5ππ,122k x k =+∈Z D ．ππ,62k x k =+∈Z 【答案】C 【解析】因为()A C B π-+=，2A+C =B ，所以3B π=，()2sin cos sin 23f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(sin )cos sin 2x x x x=+-1sin 2cos 2222x x =-++sin 232x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.由232x kx ππ-=+，k ∈Z ，得5122k x ππ=+，k ∈Z .故选：C.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=.（1）求角A ；（2）若a =，5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】（1）A 3π=；（2）【解析】（1）在三角形ABC 中，()2cos acos b c A C -= ，由正弦定理得：()2sin cos sin cos B sinC A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=，三角形中sin 0B ≠，解得cos A 12=，()0,A π∈，∴A 3π=.（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，a =5b c +=，()2213353b c cb bc ∴=+-=-，化为4bc =，所以三角形ABC 的面积S 12=sin bc A 12=⨯432⨯=6．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且直线x A =为函数()222sin f x x x =+图象的一条对称轴.（1）求A ；（2）若4a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）【解析】（1）()222sin 2cos 212sin 216πx x x x x f x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴直线x A =为函数()f x 图像的一条对称轴，∴262ππA kπ-=+(k ∈Z )，即132πA kπ=+(k ∈Z )，又02A π<<，∴当0k =时，3A π=.（2）∵3A π=，4a =，∴由余弦定理得，2222162cos23πb c bc b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当b=c=4时等号成立∴1113sin sin 1622322ABC πbc A bc S ==≤⨯⨯=△故ABC 面积的最大值为7．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45b c B ==∠= .（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2）25.【解析】在ABC 中，因为b =，c =，45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得25222a a =+-⨯所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C=，得sin 45sin C= .所以sin 5C =在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠= ，所以C ∠为锐角故25cos 5C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以35sin ADC ∠===，()sin sin 180sin ()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠3254525555525=⨯-⨯=8．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++.（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥.【解析】解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++3cos213133sin 212sin 22222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴()f x 的为最小正周期22T ππ==，值域为15(),22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）记()f x t =，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立，∵0t >∴222t t t k t-=-≥.∵2()g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增max 55417()22510g t g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭∴k 的取值范围是1710k ≥9．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()6f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值；（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【答案】（Ⅰ）9-；（Ⅱ）[]1,2-.【解析】解：（Ⅰ）2()2cos 12x f x x =-+cos 2sin6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()6f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 6παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即31sin cos 22ααα-=，所以cos αα-=，所以3tan 9α=-；（Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象，所以()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1()2g x -≤≤故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.10．已知函数()2cos 2cos 1222x x x f x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间.【答案】（1）最小正周期2π；（2）单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）()2cos 2cos 1cos 2sin 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2π；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()2sin 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左移动6π个单位得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z .函数()g x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。
2024年高考数学复习大题全题型专练：专题06 三角函数性质与恒等变换(解析版)
专题6三角函数与解三角形1．设函数 π3πsin cos sin 3πcos π22f x x x x x.(1)求函数 f x 单调递减区间；(2)求函数 π6g x f x f x在区间π0,2 上的最值.【答案】(1) ππ,πZ 4k k k(2) g x 最小值为32【解析】【分析】(1)根据诱导公式和二倍角公式化简得：()cos 2f x x ，再根据余弦函数的单调性求解即可；(2)化简得π())3g x x ,再根据ππ2π2,333x ，求解即可.(1) 22cos sin sin cos sin cos cos 2f x x x x x x x x ，当 22ππ,2πx k k Z k ，即x ππ,πZ 4k k k时是单调递减区间；(2) π3πcos 2cos 22cos 22323g x x x x x x，因为π02,x ，所以ππ2π2,333x ，min π3032g x g，max 5ππ122g x g，故 g x 最小值为322．已知函数()sin(2)cos(2)63f x x x (1)求7(24f 的值；(2)求函数(12f x 在[0,2上的增区间和值域．【答案】(2)单调递增区间为0,12 ，值域为2 【解析】【分析】（1）利用和差角公式化简函数解析式，再代入由诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；（2）首先求出12f x的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：因为()sin(2)cos(2)63f x x x ，所以()sin 2cos cos 2sin cos 2cos sin 2sin6633f x x x x x 11sin 2cos 2cos 2sin 22222x x x x 12sin 2cos 222x x2sin 26x，即 2sin 26f x x，所以7732sin 22sin 2sin 2424644f(2)解：由（1）可得2sin 22sin 2121263f x x x，因为0,2x ，所以42,333x ，所以sin 2,132x ，则212f x ，令2332x ，解得012x，即函数在0,2 上的单调递增区间为0,12 ；3．已知函数 πsin 4f x x ， πcos 4g x x 从下面两个条件：条件① 22h x f x g x 、条件② 2h f g x x x 中选择一个作为已知．(1)求ππ,63x时函数 h x 的值域；(2)若函数 h x 图像向右平移m 个单位长度后与函数πsin 26y x的图像重合，求正数m 的最小值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）若选择①：根据余弦二倍角公式、诱导公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可；若选择②：根据正弦二倍角公式、诱导公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可；（2）若选择①：根据正弦型函数图像的变换性质进行求解即可；若选择②：根据余弦型函数图像的变换性质进行求解即可；(1)若选择条件①作为已知： 2222πππsin cos cos 2sin 2442h x f x g x x x x x，ππ,63x 时，π2π233x ，3sin 22x，故函数 h x 的值域为；若选择条件②作为已知：πππ()2()()2sin cos sin 2cos 2442h x f x g x x x x x ππ,63x 时，π2π233x ，1cos 2,12x，故函数()h x 的值域为1,12；(2)若选择条件①作为已知：函数()h x 图像向右平移m 个单位长度后，得到函数sin 2()y x m ，即sin(22)y x m 的图像，∵sin(22)y x m 的图像与函数πsin 26y x的图像重合．∴π22π6m k ，Z k ，即ππ12m k ，Z k ，当m 为正数时，min 11π12m．若选择条件②作为已知：函数()h x 图像向右平移m 个单位长度后，得到函数cos 2()y x m ，即πsin 222y x m的图像．πsin 222y x m的图像与函数πsin 26y x 的图像重合．∴ππ22π26m k ，Z k ，即π6πm k ，Z k ，当m 为正数时，min π6m．4．已知函数()sin cos 6f x x x ．(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)若50,6x，方程()0f x m 有两个实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)最小正周期 ，对称中心为1,,2124k k Z (2)311,0,424m 【解析】【分析】（1）先将 f x 通过和差、二倍角公式、辅助角公式化简，再套用周期和对称中心的公式即可.（2）结合正弦函数的图像即可求得答案.(1)()sin cos 6f x x x=1sin sin 2x x x121cos 24x x112cos 244x x =11sin 2264x所以，最小正周期2T，由26x k，得212k x 所以，对称中心为1,,2124k k Z ．(2)因为50,6x，所以112,666 x ，由正弦曲线可得311,0,424m ．5．设函数 sin cos (R)f x x x x .（1）求函数22y f x 的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x在0,2 上的最大值.【答案】（1） ；（2）12.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 242y x，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x，则2223332sin 1cos 21sin 22442y f x x x x x，所以该函数的最小正周期22T ;（2）由题意， sin 2sin sin 444y f x f x x x x x2222sin sin cos cos 22x x x x x x1cos 22sin 22sin 22222242x x x x x，由0,2x 可得32,444x ，所以当242x 即38x 时，函数取最大值1 6．已知函数 1cos 2f x x g x f x，，其中 0,2π (1)若12且直线π2x 是 g x 的一条对称轴，求 g x 的递减区间和周期；(2)若21π3 ，，求函数 h x f x g x 在π0,2上的最小值；【答案】(1)3ππ4π,4π,22k k k Z；4π(2)14【解析】【分析】（1）根据题设中的对称轴可得π2π,2k k Z ，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.(1)可知11()cos 22g x x ，因为直线π2x 是 g x 图象的一条对称轴，故1π1π,222k k Z ，解得π2π,2k k Z ，而 0,2π ，故3π2 ，则13()cos π24g x x ，则周期2π4πT ，再令13π[2π,π2π],24x k k k Z ，则3ππ4π,4π,22x k k k Z，故()g x 的递减区间为3ππ4π,4π,22k k k Z.(2)可知π()cos 3g x x ππ()cos()cos cos cos 3 3h x x x x x211cos cos sin cos sin cos 2222x x x x x x11cos 22224x x 1π1sin 2264x 因为π0,2x ，故ππ5π2,666x ，则在ππ262x 即π3x 取 h x 最小值，其最小值为111244.7．自2019年起，上海市推进“三星级绿色生态城区”示范区项目．今年，一座人民公园将要建设一块绿地．设计方案如图所示，有一块边长为500米的正方形土地ABCD CE ，是一段圆弧（以D 为圆心，与BC 相切于C ），其中BE DE ，为两条人行步道，AE 为一条鲜花带．已知每米人行步道的修建费用为每米288元．(1)当50ADE 时，求人行步道BE DE ，的长度之和；(2)如何设计圆弧CE 的长度，才能使人行步道BE DE ，的总造价最低，并求出总造价．（长度精确到0.1米，造价精确到0.01元）【答案】(1)713.5米(2)当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道,BE DE 的总造价最低，为203646.75元【解析】【分析】（1）根据已知条件及圆的定义，再利用锐角三角函数及勾股定理即可求解；（2）根据已知条件及（1）的思路，求出BE 的关系式，再利用辅助角公式及三角函数的性质，求出BE 的最小值，进而得出BE DE 的最小值，结合题意即可求解.(1)作,EF AB EG AD ，垂足分别为,F G ，如图所示由题意可知，500DE DA 米，在Rt EGD 中，cos 500cos50DG DE EDA ，所以500500cos50EF AG AD DG ，在Rt EGD 中，sin 500sin 50EG DE EDA ，同时，500500sin 50BF AB AF AB EG ，在Rt EGD 中，由勾股定理得，222BE EF BF ，即解得 22500500cos50500500sin 50BE213.50 米∴213.50500713.50713.5BE DE 米(2)设AB BC CD AD DE R （500R 米）则与第（1）问相同，设ADE ，由于DE 为定值，只需考虑BE 的变化情况则(1cos ),(1sin )EF R BF R 由勾股定理，222BE EF BF 解得22(1cos )(1sin )32sin 2cos BE Rππ322sin ,0,42，πππ3π0,2444∵，所以当ππ42 即π4时，BE 取得最小值．则min ()322(3221)5002707.1BE DE R R 米则总造价2885002203646.75 元此时圆弧π500125π392.74CE 米故当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道,BE DE 的总造价最低，为203646.75元．8．函数()sin(π),R f x A x x （其中π0,02A）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及 的值；(2)若π4PMN PNM，求A 的值．【答案】(1)2；π6；(2)12A .【解析】【分析】（1）利用()f x 的解析式求出周期，再由给定的最高点P 求出 作答.（2）由（1）求出点M ，N 的坐标，结合图形求出PMN 和PNM 的正切，再利用和角公式计算作答.(1)函数()sin(π)f x A x 的最小正周期2π2πT ，因1(,)3P A 是函数()f x 图象的最高点，则1ππ2π,Z 32k k ，而02，有0k ，π6 ，所以函数()f x 的最小正周期为2，π6.(2)由（1）知，π()sin(π)6f x A x ，由ππ06x 得16x ，即点1(,0)6M ，由ππ2π6x 得116x =，即点11(,0)6N ，于是得tan 211()36A PMN A ，2tan 111363A PNM A ，而π4PMN PNM ，则22tan tan 3tan()121tan tan 123A A PMN PNM PMN PNM PMN PNM A A ，又0A，解得12A，所以12A .9．已知函数21()cos sin 2f x x x x ，其中0 ，若实数12,x x 满足 122f x f x 时，12x x 的最小值为2．(1)求 的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，若()1,f A a ABC 周长的取值范围．【答案】(1)1 ，对称中心,0,122k kZ ；(2)2【解析】【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式化简得()sin 26f x x，再结合已知求得周期即可求出 ，由正弦函数的对称性即可求得对称中心；（2）先求出23A，再由正弦定理求得2sin ,2sin b B c C ，再借助三角恒等变换及三角函数的值域即可求得周长的取值范围．(1)211cos 21()cos sin sin 22222x f x x x x x12cos 2sin 2226x x x，显然()f x 的最大值为1，最小值为1 ，则 122f x f x 时，12x x 的最小值等于2T ，则22T ，则22 ，1 ；令2,6x k kZ ，解得,122k x kZ ，则()f x 的对称中心为,0,122k kZ ；(2)()sin(2)16f A A，22,62A k kZ ，又 0,A ，则23A ，由正弦定理得2sin sin sin 32a b c A B C ，则2sin ,2sin b B c C ，则周长为2sin 2sin 2sin 2sin 3a b c B C B Bsin 2sin(3B B B ，又03B ，则2333B ，2sin()23B，故周长的取值范围为2.10．已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC，且212A f，求ABC 周长的最大值．【答案】(1)π()2sin 26f x x(2)3【解析】【分析】（1）由图得2A ，32ππ3π43124T ，根据2πT ，所以2 ，将点π,012代入()2sin(2)f x x ，结合π02 的条件，求得π6 ，从而求得()f x 的解析式为π()2sin 26f x x；（2）由π212A f 3sin 2A ，因为A 为锐角，求得π3A ，ππ,62B ，根据正弦定理，得到1sin )a b c B C ，利用三角形内角之间的关系，以及三角恒等变换，进一步将其化简为12sin(6a b c B，结合B 的范围，以及正弦型函数的相关性质求得结果.(1)由图得2A ，32ππ3π43124T ，又2πT，所以2 ，将点π,012代入()2sin(2)f x x ，得πsin 06 ，即π,6k k Z ，考虑到π02 ，故π6，即()f x 的解析式为π()2sin 26f x x(2)由π212A f sin A π0,2A ，故π3A ，因为ABC 为锐角三角形，且π3A ，故ππ,62B 由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C 所以2π1sin )1sin sin3a b c B C B B1π12sin cos 12sin 26B B B又ππ2π,633B ，故π2sin 6B，故ABC 周长的最大值为3.11．已知函数 sin 0,02f x M x 的部分图象如图所示.(1)求函数 f x 的解析式；(2)在A 为锐角的ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若622A f22b c ABC 的面积为3，求a 的值.【答案】(1) 2sin 26f x x(2)10a 2421261232a 【解析】【分析】（1）由图象可得出函数 f x 的最小正周期，可求得 的值，代入点5,012、 0,1的坐标，可分别求出 、M 的值，可得出函数 f x 的解析式；（2）由6222A f结合角A 的取值范围可求得角A 的值，利用三角形的面积公式可求得bc 的值，利用余弦定理可求得a 的值.(1)解：由图象可知，函数 f x 的最小正周期为11521212T，22T .因为点5,012 在函数 f x 的图象上，所以5sin 2012M，即5sin 06.又02 ∵，则554663 ，从而56 ，即6π.又点 0,1在函数 f x 的图象上，所以由sin16M，得2M .此时 2sin 26f x x，则 f x 在56x 附近单调递增，合乎题意，所以函数 f x 的解析式为 2sin 26f x x.(2)解：由622sin 26A f A62sin =64A，因为5sinsin sin cos cos sin 124646464，562coscos cos cos sin sin 124646464，0,2A∵，则2663A ，所以，1256A 或712 ，可得4A 或512 ，当4A 时，因为1sin 32ABC S bc A △，可得bc又因为2b c 22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A ，解得a 512A时，因为162sin 328ABC S bc A bc △，可得bc因为2b c 22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A ，解得a 所以a a12．已知函数21()cos cos (0)2f x x x x (1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a ，12bc ，()1f A ．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长．【答案】(1) πsin 26f x x；(2)13AD.【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得π()sin 26f x x，根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得1 ，即可得解析式.（2）由已知有π3A ，根据ABC ABD ACD S S S 及三角形面积公式可得AD b c，再应用余弦定理求b c ，进而可得AD 的长．(1)因为 211cos cos 2cos 2222f x x x x x xπsin 26x ，设函数()f x 的周期为T ，由题意222444πT，即2224ππ，解得1 ，所以 πsin 26f x x.(2)由 1f A 得：sin 216A，即22,Z 62A k k ，解得,Z 3A k k ，因为[0,]A ，所以π3A ，因为A 的平分线AD 交BC 于D ，所以ABC ABD ACD S S S ，即111sin sin sin 232626bc c AD b AD ，可得3bcAD b c，由余弦定理得：， 22222cos 3a b c bc A b c bc ，而12bc ，得 252b c ，因此AD13．设函数 sin cos cos ,f x x x x x x R .(1)求 y f x 的单调递增区间；(2)将 y f x 的图象往右平移6 ，得到新函数 ,g x ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3222A C g，且a c ，求C .【答案】(1) 5,1212k k k Z(2)12【解析】【分析】（1）先化简 3sin 232f x x，再令222,,232k x k k Z 即可求出答案；（2）根据三角函数的平移变换求出 g x ，再由2A C g可求得2A C ，再由正弦定理和二倍角公式化简a c 可得cos sin 0C C ，即可求出C .(1)211sin2sin21cos2sin 2223f x x x x x x5222,,,2321212k x k k Z k x k k Z，所以单调递增区间为 5,1212k k k Z.(2)sin 2sin26322g x x x，2sin ,sin 1,.2222A C g A C A C A C又,sin sin ,sin sin 222a c A C B C C C∵，22cos sin cos sin,C C C C Ccos sin0C C，或3cos sin24C C C4C,.4312C C14．已知函数2cos,1,,1,m x x n x x f x m n，(1)求()f x的解析式，并求其单调递增区间；(2)若()1f x 在区间(0,)上的根按从小到大的顺序依次记为123,,,,na a a a求数列 n a的通项公式及其前n项和n S．【答案】(1)π112sin2π,636f x x k k kZ；，；(2)2211146121146nn n nSn n n，为奇数，为偶数【解析】【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换和辅助角公式计算求出()f x的解析式，结合整体代换法即可求出函数的增区间；(2)令()1f x 求出x的值，进而得出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式和前n项求和法计算即可.(1)由题意得，()f x m n，则2()cos12sinf x x x x2cos22sin(2)6x x x，222262k x k，解得11(36k x k kZ)，即函数()f x的单调增区间为11(,)36k k k，Z，(2)由()1f x ，得2sin(216x，有2266x k或52266x k kZ，解得x k或13x k ，k Z，得方程()1f x 的根从小到大排列依次为11111,11223333333n n ，，，，，，，所以12345671111,112=2333333a a a a a a a ，，，，则数列{}n a 的通项公式为21123n nn a n n 为偶数，为奇数，故数列{}n a 的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，奇数项是以13为首项，1为公差的等差数列.当n 为偶数时，1213124()()n n n n S a a a a a a a a a 21(12(12)2232n n n nS 2(2)(2)1186846n n n n n n n；当n 为奇数时，1213241()()n n n n S a a a a a a a a a 1111(12)(12)2322n n n n S211(11111222264612n n n n n，综上，2211146121146n n n n S n n n ，为奇数，为偶数.15．已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x 的图象上所有的点向右平移12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x 的图象．当130,6x时，方程()0g x a 恰有三个不相等的实数根 123123,,x x x x x x ，求实数a 的取值范围和1232x x x 的值．【答案】(1)()2sin 233f x x(2)4 ，，1231023x x x 【解析】【分析】(1)根据图示，即可确定A 和B 的值，再由周期确定 ，最后将点,512带入 f x ；即可求出答案.(2)先根据题意写出 y g x ，再根据x 的取值范围求出6x的取值范围.即可根据sin y x 的对称性求出12x x 与23x x 的值.即可求出答案.(1)解：由图示得：515+12,322A B ，又71212122T ，所以T ，所以22T，所以()2sin(2)3f x x ，又因为()f x 过点,512 ，所以52sin 2312，即푠� �=1，所以2,62k k Z ，解得2,3k k Z ，又||2 ，所以3，所以()2sin 233f x x；(2)解：由已知得()2sin 36g x x，当130,6x 时，7,663x ，令7,663t x ，则2sin 32sin 36x t，令()2sin 3h t t ，则2sin 3466h ，2sin 3522h ，332sin 3122h，772sin 333h，所以4a ，，因为()0h t a 有三个不同的实数根 123123,,t t t t t t ，则12312,22t t t t，所以12324t t t ，即12324666x x x，所以1231023x x x．16．已知函数()sin()0,0,02f x A x A满足：①()f x 的最大值为2；②06f；()f x 的最小正周期为 ．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间0,2上的单调递增区间与最小值．【答案】(1)2n 2)3(si f x x(2)0,12，【解析】【分析】（1）根据题干中的三个条件，可分别求出、、A 的值，即可求得()f x 的解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，整体代入求解函数()f x 在区间0,2上的单调性及最值即可.(1)由条件③，得2||又0 ，所以2 ．由条件①，得||2A ，又0A ，所以2A ．由条件②，得2sin 063f，又02 ，所以3．所以2n 2)3(si f x x．经验证，2n 2)3(si f x x符合题意．(2)函数sin y x 的单调递增区间为222,2()k k k Z．由222()232k x k k Z ，得5()1212k x k k Z．又因为0,2x，所以()f x 在区间0,2 上的单调递增区间为0,12，单调递减区间为,122.因为0,2x，所以42,333x ，所以当4233x，即2x时，()f x 取得最小值，min ()2f x f ．故()f x 在区间0,2上的单调递增区间为0,12，最小值为17．已知函数sin cos f x x x x x .(1)求函数 f x 在 0, 上的单调增区间；(2)若 006,0,52f x x，求0cos2x 的值.【答案】(1)511,1212(2)410【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式化简函数为 22sin 23f x x，再利用正弦函数的性质求解；（2）根据 065f x，得到023sin 235x ，进而得到02cos 23x ，然后由0022cos2cos 233x x 求解.(1)解：sin cos f x x x x x ，222sin cos x x x x ，sin2 x x ，22sin 23x ，令2222,Z 232k x k k ，解得7,Z 1212k x k k ，所以 f x 的单调增区间为7,,1212k k k Z.令1k 得区间为511,1212，所以 f x 在 0, 上的单调增区间为511,1212；(2)因为 065f x，所以023sin 235x，又00,2x，且02sin 203x，所以0222,33x，则024cos 235x所以000022222π2πcos2cos 2=cos(2)cos +sin(2+)sin 333333x x x x4133433525210.18．已知函数()2sin ,(0)3f x x．(1)若()f x 的图像与直线2y 相邻两个交点的距离为 ，求 的值及()f x 的单调递增区间；(2)当2 时，求函数5()()12g x f x f x在0,4x上的最大值．【答案】(1)2 ；单调递增区间为5,,Z1212k k k(2)2【解析】【分析】（1）根据题意求出周期，再求出 ，分析求单调性即可；（2）根据题意得()2sin 43g x x可.(1)因为()f x 的图像与直线2y 相邻两个交点的距离为 ，所以()f x 的最小正周期为 ，所以22，所以()2sin 23f x x，52222321212k x k k x k，所以函数的单调递增区间为：5,,Z 1212k k k；(2)当2 时，()2sin 23f x x，所以52sin 22cos2122f x x x，所以1()4sin 2cos24sin 2cos232g x x x x x x22sin 2cos22sin 42sin 43x x x x x x因为0,4x ，所以24,333x ，所以sin 43x，所以2sin 423x，所以()g x 的最大值为2 ．19．已知函数22()sin cos 3f x x x．(1)求函数 y f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数()()02g x f x关于点,12 中心对称，求()y g x 在,63上的值域．【答案】(1)最小正周期为 ，5,,1212k k kZ(2)1124【解析】【分析】（1）先利用倍角公式化简得()123f x x，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解；（2）先写出()g x ，由关于点,12中心对称解出3，再结合正弦函数的值域即可求解.(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x3331sin 2cos21sin 24423x x x．∴22,()||2T y f x的最小正周期为 ，令5222,,2321212k x k k k x kZ ，∴()y f x 的单调递增区间为5,,1212k k kZ (2)33()1sin 2()1sin 222323g x x x．∵()y g x 关于点,12中心对称，∴222,,2332k k kZ ，∵02 ，∴3．∴33()1sin(2)1sin 222g x x x．当2,,2,6333x x∴1sin 2,()14x g x．20．已知函数 ()sin y f x A x B （其中A ， ， ，B 均为常数，且0A ，0 ， ）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ，,02x，求()g x 的值域．【答案】(1)5()2sin 216f x x；(2)[2 .【解析】【分析】（1）根据函数图像可得2A 、2 、1B ，再由五点法求 ，进而写出解析式；（2）应用诱导公式、辅助角公式可得())24g x x，根据正弦型函数的性质求值域.(1)由题图3(1)22A且22()36T，则2 ，3(1)12B ，sin(2)13，则726k 且Z k ，又 ，故56 ，综上，5()2sin 216f x x.(2)由题设，()2(sin 2cos 2)224g x x x x ，而,02x，所以32(,)444x ，则sin(2)[1,4x ，故()[2g x。
高中试卷-专题5.5 三角恒等变换(含答案)
专题5.5 三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.)4sin(2cos sin πααα±=±（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝(sin α2±cos α2)2,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50°°-°°等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-°【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900°°-°°=-°°-°°=-+=-=o o o 故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，且()1tan 3αb +=，则tan b 的值为（ ）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αb +=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αb αb αb ααb α-+-=+-===-éùëû+++´.故选：D3．已知,αb 均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，则()sin αb -=（ ）A ．35B ．45CD ．23【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααb b +=+=，则2153sin 44b =，又,αb均为锐角，所以sin b =cos b =所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αb αb αb -=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αb +=，()3sin 5αb -=，则tan tan αb 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αb αb αb αb αb αb ì+=+=ïïíï-=-=ïî，解得2sin cos 51cos sin 5αb αb ì=ïïíï=-ïî，所以tan sin cos 2tan cos sin ααbb αb==-.故选：B5．已知sin sin 13πq q æö++=ç÷èø，则tan 6πq æö+=ç÷èø（ ）ABC ．D ．【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B 卷）【答案】D【解析】sin sin(13πq q ++=，则1sin sin 12q q q +=，即312q =，1cos 2q q +=sin 6πq æö+ç÷èøcos 6πq æö+==ç÷èø所以tan 6πq æö+==ç÷èø故选：D6．下面公式正确的是（ ）A ．3sin cos 2πq q æö+=ç÷èøB ．2cos212cos q q =-C ．3cos sin 2πq q æö+=-ç÷èøD ．cos(sin 2πq q-=【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πq q æö+=-ç÷èø，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1q q =-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πq q æö+=ç÷èø，故C 错误；对D ，cos()sin 2πq q -=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αb +=，1tan(44πb -=，则tan()4πα+的值为（ ）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为2tan()5αb +=，1tan()44πb -=，所以()tan()tan 44ππααb b éùæö+=+--ç÷êúèøëû()()tan tan 41tan tan 4παb b παb b æö+--ç÷èø=æö++-ç÷èø213542122154-==+´.故选：B 8．设1cos102a =o o，22tan131tan 13b =+oo，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b c a<<【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =°=°+°=°=°o ，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b °°°===°°=°°+°+°，sin 25c ===o ，因为函数sin y x =在0,2πæöç÷èø上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<o o o ，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()6πα+=2cos(2)3πα-=（ ）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A ）【答案】B【解析】：因为sin()6πα+=，所以2cos 2cos 263παππαéùæöæö-=-ç÷ç÷êúèøë+øèû6cos 2πα÷+æö=-çèø212n 6si παéùæö=--ç÷êúøë+èû21123éùæêú=--=-ççêúèëû故选：B10．若11tan ,tan()72b αb =+=，则tan =α（ ）A ．115B ．112C ．16D ．13【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72b αb =+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αb b ααb b αb b -+-+-===éùëû+++´.故选：D.11．已知3cos 16πααæö--=ç÷èø，则sin 26παæö+=ç÷è（ ）A ．13-B ．13C ．D【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】B【解析】：因为3cos 16πααæö--=ç÷èø，即3cos cos sin sin 166ππαααæö-+=ç÷èø，即13sin 12αααö-+=÷÷ø3sin 12αα-=1cos 123παααöæö=+=÷ç÷÷èøø，所以cos 3παæö+=ç÷èø所以sin 2cos 2662πππααæöæö+=-++ç÷ç÷èøèø2cos 22cos 133ππααéùæöæö=-+=-+-ç÷ç÷êúèøèøëû21213éùêú=--=êúëû.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αb b æöÎ=-ç÷èø是第三象限角，则()cos αb -=（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2αæöÎç÷èø，可得3cos 5α===-由5cos ,13b b =-是第三象限角，可得12sin 13b ===-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αb αb αb æöæöæö-=+=-´-+´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø故选：A13．若sin 2α=()sin b α-=,4απéùÎπêúëû，3,2b ππéùÎêúëû，则αb +的值是（ ）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπéùéùÎ\ÎêúêúëûëûQ ，又∵sin 22,,,242πππααπαéùéù=\ÎÎêúêúëûëû，∴cos2α==又∵35,,,224πππb πb αéùéùÎ\-Îêúêúëûëû，∴()cos b α-==于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αb αb ααb ααb α+=+-=---éùëûææ==ççççèè5,24αb πéù+Îπêúëû，则74αb π+=.故选：B.14．)sin20tan50=oo （ ）A ．12B ．2C D ．1【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D 【解析】原式()()()2sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos 9050++===-oooooooo o 2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===o o o o o.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααb αb =+=<<<<，则角b 的值为（ ）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A 【解析】∵0,022ππαb <<<<，0αb π\<+<，由1cos 7α=，()sin αb +=sin α=，11cos()14αb +=±，若11cos()14αb +=，则sin sin[()]b αb α=+-sin()cos cos()sin αb ααb α=+-+1110714=-<，与sin 0b >矛盾，故舍去，若11cos()14αb +=-，则cos cos[()]b αb α=+-cos()cos sin()sin αb ααb α=+++111147=-´+12=，又(0,)2πb ÎQ ，3πb \=.故选：A.161712πα<<，且7cos 268παæö+=-ç÷ø，则αö=÷ø（ ）A ．B ．CD ．14-【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππααæöæö+=-+=-ç÷ç÷èøèø，得215sin 1216παæö+=ç÷èø．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 12παææö+Î-çç÷çèøè，所以sin 12παæö+=ç÷èø所以5cos cos sin 1221212ππππαααæöæöæöæö-=-+=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø故选：A17．已知sin cos αα-=π£，则sin 2æçè ）A C ．D 【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 4παααæö--=ç÷èø即sin 4παæö-=ç÷èø因为0απ££，所以3444πππα-£-£，所以044ππα<-£，即42ππα<£，所以22παπ<£，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππαααæö-=-ç÷èø314525æö=´--=ç÷èø；故选：D18．若10,0,cos ,cos 224342ππππb αb αæöæö<<-<<+=-=ç÷ç÷èøèøcos 2b αæö+=ç÷èø（ ）A B ．C D ．【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442b ππb ππb ππb ααααéùæöæöæöæöæöæöæö+=+--=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøèøëû，因为0,022ππαb <<-<<所以3,444πππαæö+Îç÷èø，,4242πb ππæö-Îç÷èø，因为1cos 43παæö+=ç÷èø，cos 42πb æö-=ç÷èø所以sin 4παæö+=ç÷èø，sin 42πb æö-=ç÷èø则1cos 23b αæö+==ç÷èøC19．已知πcos sin 6ααæö-+ç÷èø，则2πcos 3αæö+ç÷èø的值是（ ）A ．45-B ．45C ．D 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】由πcos sin 6ααæö-+=ç÷èøππ3πcos cossin sin sin sin 6623ααααααæö++=+=-=ç÷èø所以，π4cos 35αæö-=ç÷èø，所以，2πππ4cos cos πcos 3335αααæöæöæöæö+=--=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.故选：A.20．已知,2παπæöÎç÷ø，且25，则cos()α-=（ ）A B C D 【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为,2παπæöÎç÷èø，所以35,444πππαæö+Îç÷èø．又2sin 45παæö+=ç÷èø，所以cos 4παæö+==ç÷èøcos()cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααααéùæöæöæö-==+-=+++=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππæö--ç÷èø上单调递增【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 22)2sin(223f x x x x x x π==+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；()2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,)26x ππÎ--时，22(,0)33x ππ+Î-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22 ）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+°-°C ．cos 75°°D ．cos15°°【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°=-°-°°C ：cos 75sin1530°°=°°=°=，符合；D ：cos152sin(3015)2sin15°°=°-°=°¹.故选：ABC23．已知函数2()cos sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2πæöç÷èø上单调递增D ．若()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，则3m π³【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x x f x x x π-æö=-=-=+-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππæöç÷èø上不单调，故C 不正确；当2x m π-££时，++366x m πππ-££，因为()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，即11sin 622x πæö+-£ç÷èø，所以sin 16x πæö+£ç÷èø，所以+62m ππ³，解得3m π³，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x Î，时，()f x 的（ ）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06éùêúëû，【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πωæö=+ç÷èø，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x πæö=+ç÷èø，当π[02x Î，时，72,666x πππéù+Îêúëû，所以1sin 2126x πæö-£+£ç÷èø，所以12sin 226x πæö-£+£ç÷èø，所以 ()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x πæö=+=ç÷èø，72,666x πππéù+Îêúëû，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ£+£，得06x π££，所以()f x 的增区间为π06éùêëû，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（ ）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】ACD【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x æö=-==ç÷ç÷èøπ2cos 23x æö=+ç÷èø，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x éùæö=++=+=ç÷êúëûèø成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +£+£+Î，得：π5πππ,36k x k k +££+ÎZ ，即()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x éùæöæöæö=+=++=+=ç÷ç÷ç÷êèøèøèøëû，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36×-×o o o o (2)sin7cos37cos(7)sin(37)×+-×-o o o o (3)ππcos sin 1212×(4)22ππsincos 88-【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900×-×=+==o o o o o o o .(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37×+-×-=×-×o o o o o o o o1sin(737)sin(30)2=-=-=-o o o .(3)ππ1π1cossin sin 1212264×==.(4)22πππsin cos cos 884-=-=27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πb b <<=()sin αb +的值.【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A 组）【答案】(1)34-(2)【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α==±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sintan cos ααα==(2)π0,cos 2b b <<，故sinb =；()34sin =sin cos cos sin 55αb αb αb ++=28．已知角α为锐角，2πb απ<-<，且满足1tan23=α，()sin b α-(1)证明：04πα<<；(2)求b .【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题【答案】(1)证明见解析(2)3.4πb =【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα´===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2πæöç÷èø上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1αααααì==ïíï+=î，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πb απ<-<)=所以()cos b α-==()()()sin sinsin cos cos sin b αbααb ααbαéù=+-=-+-ëû3455æ=´+=çè又5224πππαb πα<+<<+<，所以3.4πb =29．已知α，b 为锐角，πsin 3αæö-=ç÷èø()11cos 14αb +=-．(1)求cos α的值；(2)求角b ．【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2αæöÎç÷èø，所以ππ336παæö-Îç÷ø-，，又πsin 3αæö-=ç÷èø所以π13cos 314αæö-===ç÷èø所以ππcos =cos +33ααéùæö-ç÷êúèøëûππππ1cos cos sin sin =33337ααæöæö=---ç÷ç÷èøèø(2)因为α，b 为锐角，所以0αb <+<π，则()sin 0αb +>，因为()11cos 14αb +=-，所以()sin αb +==又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin b αb ααb ααb α=+-=+-+éùû111714=+=因为b 为锐角，所以π3b =．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αb ，都是锐角，()3cos 5αb +=，求sin b 的值.【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a ααααααæö-=-+=-=ç÷èø，1sin 2a =.(2)因为αb ，都是锐角,所以0αb <+<π，()4sin 5αb +==，1sin cos 2a a =Þ=，()()()43sin cos c s 1si o 55n sin sin 2αb ααb ααb b α=+=+-=+-=´éùëû31．已知tan ,tan αb 是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αb +(2)()()sin cos αb αb +-；(3)()cos 22αb +.【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αb αb +=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αb αb αb -++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αb αb αb αb αb αb αb αb -+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αb αb αb αb αb αb αb -+-+-++====++++++。
高考数学专题复习四-4.2三角恒等变换-高考真题练习(附答案)
4.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79 B.-29C.29D.79答案A ∵(sinα-cosα)2=169,∴sin2α=-79.解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行转换.2.(2017山东文,4,5分)已知cosx=34,则cos2x=()A.-14 B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cosx=34,所以cos2x=2cos 2-1=18.3.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45 B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得因而cos2θ=1-2sin 2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.4.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()C.-12D.12答案D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.5.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tan π5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvos π5+cosLin π5sinvos π5-cosLin π5=tanrtan π5tanttan π5,∵tanα=2tanπ5,∴=3tanπ5tanπ5=3.故选C.6.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rp·tan=12-131+12×13=17,故选A.7.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.8.(2016课标Ⅱ,9,5分)若-α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D解法一:因为-α=35,所以-2α=cos2-α=2cos-α-1=-725.故选D.解法二-α(cosα+sinα)=35⇒1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D. 9.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=()A.12答案D解析解法一:cos2π5π12=π=cos2π12−sin2π12=cosπ6=解法二:cos2π12−cos25π12cos2−cos2=cosπ4π6π4π4π6sinπ4×10.(2021全国甲理,9,5分)若α∈tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A 解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan 2α=cos 2−sin ,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin ,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos (2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cos αtan αA .疑难突破将tan 2α转化为sin2cos2是本题的突破口.11.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sino1+sin2psinrcos=()A.-65B.−25C.25D.65答案Csino1+sin2psinrcos=sinosin 2rcos 2r2sinbcospsinrcos=sinosinrcosp 2sinrcos=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θ·cosθ=sin 2rsinbcos sin 2rcos 2=tan 2rtan tan 2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C .12.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin (α+β)+cos (α+β)=22cos β,则()A.tan (α-β)=1B.tan (α+β)=1C.tan (α-β)=-1D.tan (α+β)=-1答案C 因为sin (α+β)+cos (α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,22cos β=(2cosα-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin (α-β)+cos (α-β)=0,又知cos (α-β)≠0,所以tan (α-β)=-1,故选C .13.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=,cos 2β=.答案45解析设a =sin α,b =sin β=cos α,则3−=10,21,解得a b∴sin α=a cos 2β=1-2sin 2β=1-2b 2=45.14.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sinx=-23,则cos2x=.答案19解析∵sinx=-23,∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=19.15.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan t=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan t=tanttan5π41+tanMan5π4=tant11+tan=15,解得tanα=32.16.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈则cos t=.答案解析因为α∈且tanα=sin cos=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以则cos t=cosαcosπ4+sinαsinπ4=易错警示在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=sin cos,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.17.(2017江苏,5,5分)若tan t=16,则tanα=.答案75解析本题考查两角和的正切公式.因为tan=16,所以tanα=tan=16+11−16×1=75.18.(2016浙江,理10,文10,5分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2+1,∴A=2,b=1.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键. 19.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=35,则tan t=.答案-43解析解法一:∵sin×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-由①②得,∴tanθ=-17,∴tan=tant11+tan=-43.解法二:∵-θ=π2,∴sin=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos=45,∴sin-θ=45,-θ=43,∴tan=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.20.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=21.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rptan=17-(-2)1+17×(−2)=3.22.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°=23.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案1解析f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.24.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.答案1解析f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ)≤1,所以f(x)max=1.25.(2015广东文,16,12分)已知tanα=2.(1)求tan;(2)求sin2sin2α+sinvostcos2t1的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan=tanrtanπ41−tan·tanπ4=2+11−2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2sin2α+sinvostcos2t1=2sinvossin2α+sinvost(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinvostan2α+tant2=2×222+2−2=1.sin2α+sinvost2cos2α=2tan26.(2014江苏,15,14分)已知,π(1)求α的值;(2)求-2α.解析(1)因为2,π所以cosα=-1−sin2α=-故α=sinπ4cosα+cosπ4sinα×(2)由(1)知-=-45,cos2α=1-2sin2=35,所以-2α=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=×35+12×评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。
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20.
=
2 cos2 100
1
A.
2
2
B.
2
（D） 2
C. 2
3
D.
2
.
.
二.最值
1.（09 福建）函数 f (x) sin x cos x 最小值是=
。
2.①（08 全国二）．函数 f (x) sin x cos x 的最大值为
。
②（08 上海）函数 f(x)＝ 3sin x +sin(2+x)的最大值是
年福建）已知函数
f
(x)
2sin x(
0)
在区间
3
, 4
上的最小值是 2 ，则
的最小值等于
6.（08
辽宁）设
x
0， 2
，则函数
y
2sin2 x 1 sin 2x
的最小值为
．
7.函数 f(x)＝ 3sin x +sin(2+x)的最大值是 8．将函数 y sin x 3 cos x 的图像向右平移了 n 个单位，所得图像关于 y 轴对称，则
.
三角函数题型分类总结
一．求值
1、 sin 330 =
tan 690° =
sin 585o =
2、（1）(07 全国Ⅰ) 是第四象限角， cos 12 ，则 sin
13
（2）（09 北京文）若 sin 4 , tan 0 ，则 cos
.
5
（3）（09 全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中， cot A 12 ，则 cos A
(2)（06 陕西） cos 43o cos 77o sin 43o cos167o =
（3） sin163 sin 223 sin 253 sin 313
三角函数图象及恒等变换高考题
三角函数的图象和性质及三角恒等变换一、选择题1.函数1)4(cos 22--=πx y 是 （ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 2.如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫ ⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A .6π B.4π C.3π D. 2π 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x =C.)42sin(1π++=x yD.22sin y x = 4.函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为（ ）A ．2πB ．32π C ．π D ．2π 5已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =( ) A.23- B. 23 C.－ 12 D. 12 6将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于 （ ） A ．6π B ．56π C. 76π D.116π 7.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度二、填空题8 函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .9已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。
10函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .三、解答题11.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 12.设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间． 答案1 答案 A2 答案 C3 答案: B4 答案：A5 答案 B6 答案 D7 答案 A8 答案 39 答案 010 答案 111解（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==， ∴函数()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）由2623x x ππππ-≤≤⇒-≤≤，∴sin 21x ≤≤，∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12解：（Ⅰ） 依题意得2223ππω=，故ω的最小正周期为32.（Ⅱ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦ 由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤ 解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤\ 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈。
三角函数、三角恒等变换、解三角形(含答案)
三角函数、三角恒等变换、解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知1sin 2α=，则cos()2πα-=（ ）A. 2-B. 12-C. 12D. 2 2．200︒是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．已知()1cos 03ϕϕπ=-<<，则sin 2ϕ=（ ）A.9B.9-C.9D.9-4．函数 )321sin(π+=x y 的图像可由函数x y 21sin =的图像（ ） A ．向左平移32π个单位得到 B ．向右平移3π个单位得到C ．向左平移6π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到5．函数5sin(2)2y x π=+图像的一条对称轴方程是（ ） A ．2π-=x B ． 4π-=x C ． 8π=x D ．45π=x6．函数())24x f x π=-,x R ∈的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且βα>，且βαsin sin >；②若函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3cos 2πax y 的最小正周期是π4，则21=a ； ③函数1sin sin sin 2--=x xx y 是奇函数；④函数1|sin |2y x =-的周期是π； ⑤函数||sin sin x x y +=的值域是]2,0[. 其中正确命题的个数为（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0 8．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图示，则将()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为（ ）A ．x y 2sin = B.x y 2cos = C.)322sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 9．函数()sin 2f x x =的最小正周期是 ．10．300tan 480sin +的值为________.11．在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =，则ABC ∆的面积S 的最大值为 ．12．比较大小：sin1 cos1(用“>”,“<”或“=”连接).13．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点(1,,则cos ____.α=14．已知3cos()(,)41024x x πππ-=∈. （Ⅰ）求sin x 的值； （Ⅱ）求sin(2)3x π+的值.15．已知x x x x x f 424cos 3)cos (sin sin 3)(-++=.（1）求()f x 的最小值及取最小值时x 的集合； （2）求()f x 在[0,]2x π∈时的值域；（3）在给出的直角坐标系中，请画出()f x 在区间[,]22ππ-上的图像（要求列表，描点）．16．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.17．（1）化简：︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）已知α为第二象限角，化简ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-.18．函数（其中）的图象如图所示，把函数)(x f 的图像向右平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.（1）若直线m y =与函数)(x g 图像在]2,0[π∈x 时有两个公共点，其横坐标分别为21,x x ，求)(21x x g +的值；（2）已知ABC ∆内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且0)(,3==C g c .若向量(1,sin )m A = 与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．19．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值与最小值.参考答案1．C 【解析】 试题分析：由1cos()sin 22παα-==，故选C. 考点：诱导公式. 2．C 【解析】试题分析：因为第一象限角α的范围为36036090,k k k z α⋅<<⋅+∈ ; 第二象限角α的范围为36090360180,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第三象限角α的范围为360180360270,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第四象限角α的范围为360270360360,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ；200∴︒是第三象限角，故选C.考点：象限角的概念. 3．D 【解析】试题分析：0ϕπ<< ，sin 0ϕ∴>，故sin ϕ===，因此sin 2ϕ=12sin cos 2339ϕϕ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选D. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.二倍角公式4．A 【解析】试题分析：因为1sin()23y x π=+可化为12sin ()23y x π=+.所以将x y 21sin =向左平移32π.可得到12sin ()23y x π=+.故选 A.本小题关键是考查1ω≠的三角函数的平移，将0x ωϕ+=时的x 的值，与0x =是对比.即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位.考点：1.三角函数的平移.2.类比的思想. 5．A 【解析】试题分析：5sin(2)sin(22)sin(2)cos 2222y x x x x ππππ=+=++=+= ，由c o s y x =的对称轴()x k k Z π=∈可知，所求函数图像的对称轴满足2()x k k Z π=∈即()2k x k Z π=∈，当1k =-时，2x π=-，故选A. 考点：1.三角函数图像与性质中的余弦函数的对称性；2.诱导公式. 6．C 【解析】 试题分析：这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如sin(),cos()y A x k y A x k ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2||T πω=，而t a n ()y A x k ωϕ=++的最小正周期为||T πω=，故函数()tan()24x f x π=-的最小正周期为212T ππ==，故选C.考点：三角函数的图像与性质. 7．D 【解析】试题分析：对于①来说，取390,60αβ=︒=︒，均为第一象限，而1sin 60390sin 3022=︒=︒=，故s i n s i n αβ<；对于②，由三角函数的最小正周期公式214||2T a a ππ==⇒=±；对于③，该函数的定义域为{}|s i n 10|2,2x x x x k k Zππ⎧⎫-≠=≠+∈⎨⎬⎩⎭，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；对于④，记1()|sin |2f x x =-，若T π=，则有()()22f f ππ-=，而1()|1| 1.522f π-=--=，1()|1|0.522f π=-=，显然不相等；对于⑤，0sin sin ||2sin y x x x ⎧=+=⎨⎩(0)(0)x x <≥，而当()2sin (0)f x x x =≥时，22sin 2x -≤≤，故函数sin sin ||y x x =+的值域为[2,2]-；综上可知①②③④⑤均错误，故选D.考点：1.命题真假的判断；2.三角函数的单调性与最小正周期；3.函数的奇偶性；4.函数的值域. 8．D 【解析】试题分析：通过观察图像可得1A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以222T ππωπ===，又因为函数()f x 过点(,1)6π，所以s i n ()12()332k k Z πππϕϕπ+=⇒+=+∈，而||2πϕ<，所以当0k =时，6πϕ=满足要求，所以函数()sin(2)6f x x π=+，将函数向右平移6π个单位，可得()s i n [2()]s i n (2)666f x x x πππ=-+=-，故选D.考点：1.正弦函数图像的性质.2.正弦函数图像的平移.3.待定系数确定函数的解析式. 9．π 【解析】试题分析：直接利用求周期公式2T πω=求得.考点：周期公式.10． 【解析】 试题分析：sin 480tan 300sin(120360)tan(36060)sin120tan 60sin 60tan 60+=︒+︒+︒-︒=︒-︒=︒-︒，故sin 480tan 300+==考点：1.诱导公式；2.三角恒等变换.11．【解析】试题分析：∵2222cos a b c bc A =+-，∴2212b c bc =+-，∵222b c bc +≥，∴122b c b c +≥，∴12bc ≤，∴1sin 2S bc A ∆==≤ 考点：1.余弦定理；2.基本不等式；3.三角形面积.12．＞. 【解析】试题分析：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0. 考点：三角函数线．13．-12. 【解析】试题分析：由题意可得 x=-1，r 2=x 2+y 2=4,r=2,故cos =x r =-12. 考点：任意角的三角函数的定义．14．（1）45；（2）2450+-.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.15．（1）当1-，},12|{Z k k x x ∈-=ππ；（2）[1,3]；（3）详见解析. 【解析】试题分析：先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数()2sin(2)13f x x π=-+.（1）将23x π-看成整体，然后由正弦函数sin y x =的最值可确定函数()f x 的最小值，并明确此时x 的值的集合；（2）先求出23x π-的范围为2[,]33ππ-，从而sin(2)13x π≤-≤，然后可求出]2,0[π∈x 时，函数()f x 的值域；（3）根据正弦函数的五点作图法进行列表、描点、连线完成作图.试题解析：化简424()(sin cos )f x x x x x =++222222cos )(sin cos )sin 2sin cos cos x x x x x x x =-++++22cos )2sin cos 1x x x x =-++sin 221x x =+2sin(2)13x π=-+ 4分（1）当sin(2)13x π-=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时22,32x k k Z πππ-=-+∈即,12x k k Zππ=-∈，故此时x 的集合为},12|{Z k k x x ∈-=ππ 6分（2）当]2,0[π∈x 时，所以]32,3[32πππ-∈-x ，所以sin(2)13x π≤-≤，从而12sin(2)133x π+≤-+≤即]3,13[)(+-∈x f 9分（3）由()2sin(2)1f x x π=-+知故()f x 在区间[,]22ππ-上的图象如图所示：13分.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图像与性质.16．（1）45；（2）.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换. 17．（1）1-；（2）0. 【解析】试题分析：本题主要考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.（1）将分子中的1变形为22sin 20cos 20︒+︒，从而分子进一步化简为cos20sin 20︒-︒，分母s i n 16n 20︒︒利用诱导公式与同角三角函数的基本关系式转化为s i n 20c o s 2︒-︒，最后不难得到答案；（2）1sin |cos |αα-=，1cos |sin |αα-=，然后根据三角函数在第二象限的符号去绝对值进行运算即可.试题解析：（1）原式=cos 20sin 201sin 20cos 20sin 20cos 20︒-︒==-︒-︒︒-︒6分（2）解：原式cos sin 1sin 1cos cos |sin |cos |sin |αααααα--=⨯+⨯ 1cos 1cos cos sin 0cos sin αααααα--=⨯+⨯=- 6分. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.三角恒等变换；3.诱导公式.18．（1）123()2g x x +=-；（2）a b ⎧=⎨=⎩【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的图像和性质，向量共线的充要条件以及解三角形中正弦定理余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力和计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想.第一问，先由函数图像确定函数解析式，再通过函数图像的平移变换得到()g x 的解析式，由于y m =与()g x 在[0,]2π上有2个公共点，根据函数图像的对称性得到2个交点的横坐标的中点为3π，所以122()()3g x x g π+=得出函数值；第二问，先用()0g c =在ABC ∆中解出角C 的值，再利用两向量共线的充要条件得到sin 2sin B A =，从而利用正弦定理得出2b a =，最后利用余弦定理列出方程解出边,a b 的长.试题解析：（1）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω， 又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f 2分 由图像变换，得1)62sin(1)4()(--=--=ππx x f x g 4分由函数图像的对称性，有23)32()(21-==+πg x x g 6分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=， 即sin(2)16C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<， ∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． 7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b A B=， 得2,b a = ① 9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， ② 11分解方程组①②，得a b ⎧=⎨=⎩ 12分 考点：1.函数图像的平移变换；2.函数图像的对称性；3.正弦定理和余弦定理；4.函数的周期性；5.两向量共线的充要条件.19．（1）T =π；（2）最大值2；最小值-1.【解析】试题分析：（1）本小题首先需要对函数的解析式进行化简()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f ，然后根据周期公式可求得函数的周期T =π；（2）本小题首先根据.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以，然后结合正弦曲线的图像分别求得函数的最大值和最小值.试题解析：（1）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（2）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2； 当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1． 考点：三角函数的图像与性质.。
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目(附解析)
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目（附解析） 一、三角函数的定义若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)．1.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cosθ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43.[答案] －45 －43 注：利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13 B ．±13 C ．－3D ．±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)． 则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.4．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：∵θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三二、同角三角函数的基本关系及诱导公式①牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．②诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．5.已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.注：三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．6．若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝()A．1B．7 C．－7 D．－1解析：选B由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35.又α是第三象限角，所以cos α＝－4 5，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝7.7．已知sin θ＋cos θ＝43，且0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，则2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，所以sin θ－cos θ＜0，故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.8．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m 2，则m 的值为________．解析：由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m 2＝1＋m 2，即m 2＝13.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m <0，所以m ＝－33.答案：－339．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12. 又0＜α＜π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0＜β＜π，故cos β＝±32.三、简单的三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.10.已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.注：条件求值的解题策略(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3等于( )A ．－45 B ．－35 C.35D.45解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－435，所以32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，所以－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，即－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π3＝－435，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，故选D.13．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29D.79解析：选A 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，函数f (x )＝a ·b .(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，∴f (x )＝a ·b ＝sin x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝sin x －3cos x .∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3.(2)由(1)知f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．。
2023年高考数学总复习第7讲：三角函数及其恒等变换(附答案解析)
2023年高考数学总复习第7讲：三角函数及其恒等变换一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•江西期中）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（）A．4B．3C．2D．1
2．（5分）（2022春•钦州期末）930°＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（5分）（2022春•温州期末）已知，且，则cosα﹣sinα＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（5分）（2022
春•温州期末）已知，则sinθ﹣cosθ
＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（5分）（2022春•开福区校级月考）若角α的终边过点P（8m，﹣3），且，则m 的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（5分）（2007秋•海曙区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，若内角A满足f（cos A）＜0，则A的取值范围是（）A ．B ．
C
．D
．
7．（5分）（2022春•房山区期中）若sinθ＜0且tanθ＜0，则角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（5分）（2019秋•清远期末）sin195°sin465°＝（）
A ．
B ．
C ．D
．﹣
9．（5分）（2021秋•佛山期末）已知sin （+α）
＝，α∈（﹣，0），则tanα等于（）
A
．﹣B ．C
．﹣D ．
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三角函数恒等变换含答案与高考题
三角函数恒等变形的基本策略。
2（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sin （2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+2cos2x=(sin 2θ=tanx·cotx=tan45°等。
2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
22（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asinθ+bcosθ=2b2a sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确b定，角的值由tan=确定。
a1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．sin x2x＋cos2x=1，解：因为2tan x，又sincos xsin x2cos x 联立得，sin cos12x2x252 5sin x sin x55解这个方程组得,.5 5cos x cos x552．求t an(tan(120690))c os(210sin(150)sin(480)cos(330))的值．解：原式tan(120180)cos(18030)sin(360120) tan(720o30)sin(150)cos(36030)tan60( tan30(c os30)(sin150sin120)cos30)3 3.sin x cos x3．若2,sin x cos x，求sinxcosx的值．sin x cos x解：法一：因为2,sin x cos x所以sinx－cosx=2(sin x＋cosx)，2x＋cos2x=1，联立方程组，解得得到sinx=－3cosx，又sinsin x 31010sin，x31010，cos x1010cos x1010所以sin xcos x3 10sin x cos x法二：因为2,sin x cos x所以sinx－cosx=2(sin x＋cosx)，2=4(sin x＋cosx)2，所以(sinx－cosx )所以1－2sinx cosx=4＋8sinxcosx，3所以有sin xcos x104．求证：tan2x·s in2x=tan2x－sin2x．2x－sin2x=tan2x－(tan2x·c os2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·s in2x，问题得证．证明：法一：右边＝tan2x·s in2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．法二：左边=tanxπ5．求函数y 2 s in( ) 在区间[0，2 ]上的值域．2 6由正弦函数的图象，x x 7πππ解：因为0≤x≤2π，所以,0 ,π2 6 2 6 6x 1π得到sin( ) [ ,1] ,2 6 2所以y∈[ －1，2]．6．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2；(2) y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx )．解：(1) y=sin 2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx )＋3，1 13 1 132 t t 2 t 2令t=cosx，则,t [ 1,1] , y (t ) 3 ( ) ( )2 4 2 413利用二次函数的图象得到].y [1,4π2－1－(sin x＋cosx)，令t =sin x＋cosx 2 ，)(2)y＝2sin x c osx－(sinx＋cosx)=(sin x＋cosx) sin( x ，则452 tt [ 2, 2] 则，y t 1, 利用二次函数的图象得到,1 2].y [47．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2, 2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为(2, 2) ，得到 A 2 ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是14T个周期，这样求得 44 ，T=16，所以π8πππ π又由 2 2 ) ，得到可以取).2sin( . y 2 sin( x8 8 44 4 48．已知函数f(x)=cos x－2sinxcosx－sin x．π(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x [0, ], 求f (x)的最大值、最小值．2数y1sin x3 cos x的值域．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4 x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2 xπ2 x x x x x x x2(cos sin ) sin 2 cos 2 sin 2 2 sin( 2 ) 2 sin( 24π)4所以最小正周期为π．πππ3ππ(Ⅱ)若x [0, ] ，则(2x ) [ , ] ，所以当x=0 时，f(x)取最大值为2 sin( ) 1;当2 4 4 4 43πx 时，8f(x)取最小值为 2.1．已知tan 2，求（1）c oscossinsin；（2） 2 sin . c os 2 cos2sin 的值.sin1cos sin 1 tan 1 2cos解：（1） 3 2 2sincos sin 1 tan 1 21cos；(2) 2sin sin cos22 c os2sin sin cos 22 2sin cos2cos2sin sin2cos cos2sin12cos 22 2 2 42 1 32.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
高一数学 知识点 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 50道 含答案及解析
高一数学三角函数及恒等公式经典题常考题50道一、单选题1.函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠ ）的图象是下图中的（）A. B.C. D.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象【解析】【解答】解：当0 时，y=cosxtanx≥0，排除B，D．当时，y=﹣cosxtanx＜0，排除A．故选：C．【分析】根据x的范围判断函数的值域，使用排除法得出答案．==========================================================================2.若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A. B. C.或 D.或【答案】A【考点】两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= += ，故选：A．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值．==========================================================================3.设为锐角，若cos = ，则sin 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二倍角的正弦【解析】【解答】∵为锐角，cos = ，∴∈，∴= = ．则sin =2 . 故答案为：B【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
==========================================================================°sin105°的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ，故答案为：A．【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。
训练【四】三角函数及其恒等变换
【高考冲刺】三角函数及其恒等变换参考答案与试题解析一、选择题（共20小题）1．已知为第二象限角，则tan（α+）=（）A．B．C．3D．﹣3考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．2361035专题：计算题．分析：由α为第二象限角，根据cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵α为第二象限角，cosα=﹣，∴sinα==，∴tanα==﹣2，则tan（α+）===﹣．故选A点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．2．已知sin（）=，则cos（π﹣2θ）等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．2361035专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式化简已知的等式，求出cosθ的值，将所求式子利用诱导公式变形后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，把cosθ的值代入计算，即可求出值．解答：解：∵sin（+θ）=cosθ=，∴cos（π﹣2θ）=﹣cos2θ=1﹣2cos2θ=1﹣2×（）2=．故选D点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．3．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P6|=（）A．πB．2πC．3πD．4π考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．2361035专题：计算题．分析：将y=2sin（x+）cos（x﹣）的解析式利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简得y=sin2x+1，令y=，解得x=kπ+±（k∈N），代入易得|P2P6|的值．解答：解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=cos（2x﹣）+1=sin2x+1，若y=2sin（x+）cos（x﹣）=，∴2x=2kπ+±（k∈N），即x=kπ+±（k∈N），则|P2P6|=2π．故选B点评：此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，直线与曲线的相交的性质，求两个函数图象的交点间的距离，关键是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．4．已知α、β为锐角，2tanα+3sinβ=7，tanα﹣6sinβ=1，则sinα的值是（）A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系．2361035分析：根据题中所给方程组可求出tanα的值，再根据三角函数定义和角的范围可直接得答案．解答：解：∵2tanα+3sinβ=7，tanα﹣6sinβ=1，∴tanα=3∵tanα=，sin2α+cos2α=1∴∵α为锐角∴故选C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属基础题．这里注意角的取值范围影响三角函数的符号．5．sin71°cos26°﹣sin19°sin26°的值为（）D．A．B．1C．﹣考点：两角和与差的正弦函数．2361035专题：计算题．分析：把sin71°化为cos19°，利用两角差的余弦公式，把要求的式子化为cos（19°+26°），从而求得式子的值．解答：解：sin71°cos26°﹣sin19°sin26°=cos19°cos26°﹣sin19°sin26°=cos（19°+26°）=cos45°=． 故选：D ．点评： 本题主要考查诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，把要求的式子化为cos （19°+26°），是解题的关键．6．已知﹣π＜α＜0，且，则=（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．2361035 专题： 计算题．分析： 利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值将已知等式化简，求出tanα的值，由α的范围，得出sinα小于0，cosα大于0，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，将所求式子分子第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，分子提取2sinα，分母利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，约分后把sinα的值代入即可求出值．解答： 解：∵tan （α+）==，∴tanα=﹣＜0，∵﹣π＜α＜0，∴cosα==，∴sinα=﹣，则==2sinα=﹣．故选C点评： 此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正切、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．7．函数是（ ） A ． 周期为π的奇函数 B ． 周期为π的偶函数 C ． 周期为2π的奇函数 D ． 周期为2π的偶函数考点： 诱导公式一；三角函数的周期性及其求法．2361035 专题： 计算题．分析： 利用诱导公式化简函数解析式后，找出ω的值，代入周期公式求出函数的最小正周期，再根据余弦函数为偶函数，即可得到正确的选项． 解答： 解：y=sin （﹣2x ）=cos2x ，∵ω=2，∴T==π，又余弦函数为偶函数，则原函数是周期为π的偶函数．故选B点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及函数的奇偶性，其中利用诱导公式将函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键．8．平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，则t的值为（）A．±6或±1 B．6或1 C．6D．1考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．2361035专题：综合题．分析：根据任意角的三角函数定义分别求出tanα和tan（α+45°），然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于t的方程，求出t的值，然后利用α和α+45°是始边为x轴的非负半轴的角，得到满足题意t的值即可．解答：解：由题意得tanα=，tan（α+45°）==而tan（α+45°）===，化简得：t2+5t﹣6=0即（t﹣1）（t+6）=0，解得t=1，t=﹣6因为点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，所以t=﹣6舍去则t的值为1故选D点评：此题考查学生掌握任意角的三角函数的定义，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道中档题．9．若，则sinx•cosx的值为（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用；二倍角的正弦．2361035专题：计算题．分析：利用诱导公式化简方程，方程两边平方，即可求出sinx•cosx的值．解答：解：因为，所以﹣cosx+sinx=，则，所以sinx•cosx=；故选A．点评：本题考查三角方程的解法，正确利用诱导公式是解题的前提，利用平方求出结果是关键，考查计算能力．10．已知A为三角形的一个内角，且sinAcosA=﹣，则cosA﹣sinA的值为（）A．﹣B．±C．±D．﹣考点：同角三角函数间的基本关系．2361035专题：计算题．分析：由A为三角形的内角且sinAcosA=﹣可知sinA＞0，cosA＜0即cosA﹣sinA＜0，而（cosA﹣sinA）2=1﹣2siAcosA，代入可求解答：解：由A为三角形的内角且sinAcosA=﹣可知sinA＞0，cosA＜0∴cosA﹣sinA＜0而（cosA﹣sinA）2=1﹣2siAcosA=∴故选：D点评：本题主要考查了三角函数中同角平方关系的应用，解题的关键是根据已知判断出sinA，cosA 的符号，在结合由A为三角形的（cosA﹣sinA）2=1﹣2siAcosA进行求解，本题容易漏掉对sinA﹣cosA的符号的判断错选成C11．（1+tan25°）（1+tan20°）的值是（）A．﹣2 B．2C．1D．﹣1考点：同角三角函数基本关系的运用．2361035专题：计算题．分析：观察可知25°+20°=45°，先根据两角和的正切函数公式得到对等式两边取正切得到一个关系式，然后利用多项式的乘法法则化简原式，整体代入可得值．解答：解：因为1=tan45°=tan（25°+20°）=，所以tan25°+tan20°=1﹣tan25°tan20°，则（1+tan25°）（1+tan20°）=1+tan250+tan200+tan250tan200=1+1﹣tan250tan200+tan250tan200=2故选B点评：此题为一道基础题，要求学生灵活运用两角和的正切函数公式．本题的关键点是45°=25°+20°角度的变换．12．如果，则=（）A．B．C．4019 D．﹣4019考点：三角函数中的恒等变换应用．2361035专题：计算题．分析：将分式转化为整式，利用和、差角的正弦公式展开进行合并整理是解决本题的关键，注意正弦、余弦、正切之间的转化问题，注意切化弦的方法和整体思想的运用．解答：解：由题意可得2010sinαcosβ﹣2010cosαsinβ=2009sinαcosβ+2009cosαsinβ，∴sinαcosβ=4019cosαsinβ，得tanα=4019tanβ，∴．故选C．点评：本题考查三角恒等变换的基本知识，考查了两角和与差的正弦公式，主要寻找角之间的关系和函数名称之间的关系，考查同角三角函数的基本关系式，注意整体思想的运用．考查转化与化归思想的应用．13．函数对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为（）A．B．1C．2D．4考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法．2361035专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先将函数写出分段函数，再确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．解答：解：由题意可得，f（x）=，f（x1）为函数的最小值，f（x2）为函数的最大值．|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值由于x=时，函数取得最大值2，x=时，sinπx=cosπx=﹣，函数取得最小值∴|x2﹣x1|的最小值为﹣=，故选A．点评：本题考查绝对值函数，考查三角函数的性质，确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题．14．=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．2361035专题：计算题．分析：由于sin（α+）+cosα=sin（α+）=，可求得sin（α+）=，利用诱导公式即可求得sin（α+）．解答：解：∵sin（α+）+cosα=sinα+cosα+cosα=sinα+cosα=sin（α+）=，∴sin（α+）=．∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣．故选C．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查诱导公式在化简求值中的应用，属于中档题．15．若对所有实数x，均有sinkx•sinkx+coskx•coskx=cosk2x，则k=（）A．6B．5C．4D．3考点：三角函数恒等式的证明；函数恒成立问题．2361035专题：计算题．分析：记f（x）=sinkx•sinkx+coskx•coskx﹣cosk2x，则由条件f（x）恒为0，取，得k为奇数，设k=2n﹣1，上式成为，因此n为偶数，令n=2m，则k=4m﹣1．解答：解：记f（x）=sinkx•sinkx+coskx•coskx﹣cosk2x，则由条件f（x）恒为0，取，得，则k为奇数．设k=2n﹣1，上式成为，因此n为偶数，令n=2m，则k=4m﹣1，故选择支中只有k=3满足题意，故选D．点评：本题考查函数的恒成立问题，体现了特殊值的思想，得到k为奇数，设k=2n﹣1，在得到n为偶数，这是解题的难点．16．已知，则sinα•cosα=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正切函数．2361035专题：计算题．分析：解法一：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，得到关于tanα的方程，求出方程的解得出tanα的值，然后把所求的式子分母“1”根据同角三角函数间的基本关系变形为sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值；解法二：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，得到关于tanα的方程，求出方程的解得出tanα的值，然后把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，再利用万能公式变形，将tanα的值代入即可求出值．解答：解：法一：由tan（+α）==﹣3，整理得：1+tanα=﹣3+3tanα，解得：tanα=2，则sinα•cosα====；法二：由tan（+α）==﹣3，整理得：1+tanα=﹣3+3t anα，解得：tanα=2，则sinα•cosα=sin2α=×==．故选A点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，万能公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．17．若，则tanβ=（）A．10 B．5C．D．﹣8考点：角的变换、收缩变换．2361035专题：计算题．分析：利用两角和的正切公式求出tan（β﹣）=tan[（β﹣α）+（α﹣）]的值，再由tan（β﹣）=求出tanβ 的值．解答：解：∵，∴tan（β﹣）=tan[（β﹣α）+（α﹣）]===，故=，∴tanβ=﹣8．故选：D．点评：本题主要考查两角和差的正切公式的应用，角的变换是解题的关键，属于中档题．18．设，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b考点：二倍角的余弦；余弦函数的单调性．2361035专题：计算题．分析：把a利用特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化简为一个余弦值，b利用二倍角的余弦函数公式也化为一个余弦值，c利用特殊角的三角函数值化为一个余弦值，根据余弦函数在（0，90°]为减函数，且根据角度的大小即可得到三个余弦值的大小，从而得到a，b及c的大小关系．解答：解：化简得：a=（sin17°+cos17°）=cos45°cos17°+sin45°sin17°=cos（45°﹣17°）=cos28°，b=2cos213°﹣1=cos26°，c==cos30°，∵余弦函数y=cosx在（0，90°]为减函数，且26°＜28°＜30°，∴cos26°＞cos28°＞cos30°则c＜a＜b．故选D点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的单调性，利用三角函数的恒等变形把a，b及c分别变为一个角的余弦值是解本题的关键．19．已知sin+cos=，且cosα＜0，那么tanα等于（）A．B．﹣C．D．﹣考点：二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．2361035专题：三角函数的求值．分析：将已知等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，求出sinα的值，再由cosα的值小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．解答：解：将已知等式左右两边平方得：（sin+cos）2=，即1+sinα=，可得sinα=﹣，∵cosα＜0，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==．故选C点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．20．本式的值是（）A．1B．﹣1 C．D．考点：运用诱导公式化简求值．2361035专题：计算题．分析：利用诱导公式及三角函数的奇偶性化简可得值．解答：解：原式=sin（4π﹣）﹣cos（4π+）+tan（4π+）=﹣sin﹣cos+tan=﹣+×+×=1故选A点评：此题为一道基础题，要求学生会灵活运用诱导公式化简求值，掌握三角函数的奇偶性．化简时学生应注意细心做题，注意符号的选取．二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）21．已知扇形的周长为10，求此扇形的半径r与面积S之间的函数关系式及其定义域．考点：扇形面积公式．2361035专题：计算题．分析：求出扇形的弧长，利用扇形面积公式表示二者关系，求出定义域即可．解答：解：扇形的周长为10，扇形的半径r，扇形弧长为10﹣2r所以s==5r﹣r2，r∈（0，5）定义域（0，5）．点评：本题考查扇形面积公式，考查计算能力，是基础题．。
(8)历届高考中的“三角函数 三角恒等变换”试题精选(自我检测)
历届高考中的“三角函数、三角恒等变换”试题精选（自我测试）1.（2007全国Ⅰ文）α是第四象限角，cos α＝13，则sin α=（ ）(A)135 (B)- 135 (C) 125 (D)- 1252.（2005北京文、理）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ） （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ 3．（2002春招北京文、理）若角α满足条件sin2α<0，cos α–sin α<0，则α在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4（2006福建理、文）已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ）A.71 B.7 C.－ 71D.－7 5、(2008海南、宁夏理)0203sin 702cos 10--=（ ） A. 12 B. C. 2 D.6．（2005重庆文）=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ（ ） A ．23- B ．21- C ．21 D ．237.(2004春招安徽文、理)若f (sinx )＝2－cos 2x ，则f (cosx )＝（ ）A .2－sin 2xB .2＋sin 2xC .2－cos 2xD .2＋cos 2x 8．（2002北京文、理）在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos ︒︒︒︒B A ，则|AB|的值是（ ） A ．21 B ．22 C．23 D．19．（2006辽宁文）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）10.(2007海南、宁夏文、理)若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（ ）二.填空题:（每小题5分，计20分） 11．（2004湖北文）tan2010°的值为 .12.（2008北京文）若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 . 13．（2005重庆文、理）已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .14.（2007浙江理）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ________ ．三、解答题：（15、16两题分别12分，其余各题分别14分，计80分） 15.（2005北京文） 已知tan 2α=2，求：（I ）tan()4πα+的值； （II ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．16．（2004全国Ⅳ卷文、理）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.17．（2005福建文）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（Ⅰ）求x x cos sin -的值； （Ⅱ）求的值.18．（2002全国新课程理，天津理）已知22,534cos αππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值19．(2008四川文、理) 求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
高考数学 三角函数及三角恒等变换 专题
高考数学 三角函数及三角恒等变换 专题第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式第一部分 六年高考荟萃年高考题一、选择题1.（浙江理）（9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4 答案 A解析：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合可知答案选A ，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题 2.（浙江理）（4）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案 B解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故xsin 2x ＜xsinx ，结合xsin 2x 与xsinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题 3.（全国卷2文）（3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A ）3-B ）19-（C ）19（D ）3 【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-4.（福建文）2．计算12sin 22.5-o的结果等于( )A ．12B ．22C ．33D ．32【答案】B【解析】原式=2cos 45=2o,故选B ． 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 5.（全国卷1文） (1)cos300︒=(A)3-(B)-12 (C)12(D) 3 【答案】 C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=6.（全国卷1理）(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.21k k -B. -21k k -C. 21k -D. -21k-二、填空题1.（全国卷2理）（13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． 【答案】12-【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.【解析】由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22tan 4tan 21tan 3a αα==--，解得1tan tan 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-.2.（全国卷2文）（13）已知α是第二象限的角,tan α=1/2，则cos α=__________【解析】255-：本题考查了同角三角函数的基础知识 ∵1tan 2α=-，∴25cos 5α=-3.（全国卷1文）(14)已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= . 答案 247-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为α为第二象限的角,又3sin 5α=, 所以4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-,所22tan 24tan(2)1tan 7ααα==-- 4.（全国卷1理）(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .三、解答题1.（上海文）19.（本题满分12分） 已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.解析：原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0． 2.（全国卷2理）（17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】由cos ∠ADC=＞0，知B ＜.由已知得cosB=，sin ∠ADC=.从而 sin ∠BAD=sin （∠ADC-B ）=sin ∠ADCcosB-cos ∠ADCsinB==.由正弦定理得 ，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.3.（全国卷2文）（17）（本小题满分10分）ABC V 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD 。
三角函数及三角恒等变换测试题及答案
三角函数及恒等变换考试试卷一、选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1、（5分）（2018•陕西）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A、没有根B、有且仅有一个根C、有且仅有两个根D、有无穷多个根2、（5分）（2018•天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A、f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B、f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C、f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D、f（x）在区间[4π，6π]上是减函数3、（5分）（2018•山东）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A、B、C、2 D、34、（5分）（2018•辽宁）已知函数，y=f（x）的部分图象如图，则=（）A、B、C、D、5、（5分）（2018•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A、ω=1，φ=B、ω=1，φ=﹣C、ω=2，φ=D、ω=2，φ=﹣6、（5分）（2018•重庆）下列关系式中正确的是（）A、sin11°＜cos10°＜sin168°B、sin168°＜sin11°＜cos10°C、sin11°＜sin168°＜cos10°D、sin168°＜cos10°＜sin11°7、（5分）（2018•山东）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A、y=2cos2xB、y=2sin2xC、D、y=cos2x8、（5分）（2018•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A、B、C、D、39、（5分）（2018•江西）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A、﹣B、﹣C、D、10、（5分）（2018•广东）函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A、最小正周期为π的奇函数B、最小正周期为π的偶函数C、最小正周期为的奇函数D、最小正周期为的偶函数11、（5分）（2018•天津）设，，，则（）A、a＜b＜cB、a＜c＜bC、b＜c＜aD、b＜a＜c12、（5分）已知函数f（x）=sin（2x﹣），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）A、B、C、D、二、填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13、（4分）（2018•辽宁）已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=_________．14、（4分）（2018•四川）已知函数（ω＞0）在单调增加，在单调减少，则ω=_________．15、（4分）（2007•四川）下面有5个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点；④把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ＞0其中，真命题的编号是_________（写出所有真命题的编号）16、（4分）若=_________．三、解答题（共7小题，满分74分）17、（10分）（2018•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．18、（10分）（2018•北京）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19、（10分）（2018•陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20、（10分）（2018•浙江）已知函数，x∈R，A＞0，．y=f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），，求A的值．21、（10分）（2018•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？22、（10分）（2018•广东）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．23、（14分）已知函数，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）画出函数的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．答案与评分标准一、选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1、（5分）（2018•陕西）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A、没有根B、有且仅有一个根C、有且仅有两个根D、有无穷多个根考点：余弦函数的图象。
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
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22）B（，）C（0，）D（- ，）三角恒等变换高考题汇编1、（07 ft东理）函数y=sin （2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（6 3）A ，1B ，C 2，1D 2，cos 22、（07 海南）=-sin( )42 ，则 cos+sin的值为（）A - 7B -1C1D 72 2 2 23、（07 福建文）sin150cos750+cos150sin1050=（）A 0 B1C 3D 12 21 34、（07浙江理）已知sin+cos=且≤≤，则cos2的值是（）5 2 415、（07浙江文）已知sin+cos=则sin2的值是（）5x6、（07 全国Ⅰ理）函数 f（x）=cos2x-2cos2 的一个单调增区间是（）2A（，23 3 6 2 3 6 617、（07广东理）已知函数f（x）=sin2x-（x∈R），则f（x）是（）2A 最小正周期为的奇函数B 最小正周期为的奇函数2C 最小正周期为2的偶函数D 最小正周期为的偶函数8、（07 北京文）函数f（x）=sin2x-cos2x 的最小正周期是（）A B2C 2D 49、（06 全国）函数f（x）=sin2xcos2x 的最小正周期是（）A B2C 2D 410、（06 全国）若 f（sinx）=3-cos2x，则 f（cosx）=（）A 3-cos2xB 3-sin2xC 3+cos2xD 3+sin2x11、（06 重庆文）已知, ∈（0，），cos（-）= 3 ，sin（- ）=-1，则2cos（+）的值等于（）2 2 2 223 3 A - 3B - 1C1 D3 2 22 23 3 1212、（06 重庆理）已知, ∈（ ，），sin （+ ）=-，sin （ - ）= ，4则cos （+ ）=（）454 13113、（06 浙江理）函数y= sin2x+sin 2x ，x∈R 的值域是（ ） 21 3 3 12 1 2 1 2 1 2 A [- ， ]B [- ， ]C [-+ ，+ ] D [-- ，-2 222 1 ]222 22 22214、（06 浙江文）函数 y=2sinxcosx-1，x∈R 的值域是（ ）15、（08 四川）若0 ≤≤ 2,sin > 3cos，则的取值范围是：()⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎛ 4⎫ ⎛ 3⎫ （Ａ） , ⎪（Ｂ） ,⎪（Ｃ） , ⎪（Ｄ） , ⎪⎝ 3 2 ⎭ ⎝ 3 ⎭2 ⎝3 3 ⎭ ⎝ 3 2 ⎭16、（06 湖北）若∆ A BC 的内角A 满足 s in2A= ，则sinA+cosA=（ ） 3A15 B- 15C5 D - 533 3 317、（06 湖南）若 f （x ）= asin （x+ ）+bsin （x- ）（ab≠0）是偶函数，则有序实数44对（a ，b ）可以是（）（注：只要满足 a+b=0 的一组数即可）18、（05 全国1 + cos 2x + 8sin2 x）当 0<x< 时，函数 f （x ）的最小值为（ ）2sin 2xA 2B 2C 4D 4 3sin 3x 13 ）设x 是第四象限角，若=则tan2x=（ ）sin x520、（05 北京）已知 tan =2，则 tan =（），tan （+ ）=（）2421、（07 全国Ⅰ文）函数y= 2cos 2x 的一个单调增区间是（ ）3A （- ， ）B （0， ）C （ ，） D （ ，）4 4 244222、（07 上海理）函数 y=sin （x+ ）sin （x+ ）的最小正周期 T 是（）3223、（07 江苏）函数f （x ）= sinx- cosx ， x∈[-，0] 的单调增区间是（）19、（05 全国3 225 5A [-，- ]B [- ，- ]C [- ，0]D[- ，0]6663 6 24、（10 浙江理数）（11）函数 f (x ) = sin(2x - )- 2 2 sin 2 x 的最小正周期是4.cos25、(07 江西理）若 tan （ -）=3 则 等于（ ）4sinA -2B -1 C1 D2 22 426、（07 江西文）若 tan =3，tan =，则tan （-）等于（）31 1 A -3B -C 3D31 3328、（07 江苏）若 cos （+）=，cos （-）= ，则tantan=（）5π429、（08 ft 东卷 5）已知 cos （α- ）+sinα= 6 553,则sin(α - 7π 6)的值是（A ）-2 3 （B ） 2 3(C)- 4 (D) 4 5 5 5 530、（08 湖南）函数 f (x ) = sin x + 3⎡ ⎤ sin x cos x 在区间 ⎢ , ⎥ 上的最大值是()⎣ 4 2 ⎦A.1B. 1+2C.32 D.1+ 331、（08 浙江）若cos a + 2sin a = - 5, 则 tan a =11（A ）（B ）2（C ） -22 3 - sin 700132、（08 海南）2 - cos 2100 =（） A.2B. 2（D ） - 2C. 2D.233、（08 上海）函数 f (x )＝ 3sin x +sin(2+x )的最大值是34、（08 广东）已知函数 f (x ) = (sin x - cos x ) s in x ， x ∈ R ，则 f (x ) 的最小正周期是．35、（08 ft 东卷 15）已知 a ，b ，c 为△ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ＝（3,-1 ），n ＝（cos A ,sin A ）.若 m ⊥n ，且 a cos B +b cos A =c sin C ，则角 B ＝36、（07 重庆文）下列各式中，值为3 的是（ ）233） （) cos( - A 2sin150cos150 B cos 2150-sin 2150 C 2sin 2150-1 D sin 2150+cos 215037、（2010 陕西文数）3.函数f (x )=2sin x cos x 是 [C](A) 最小正周期为 2π 的奇函数（B ）最小正周期为 2π 的偶函数(C)最小正周期为 π 的奇函数 （D ）最小正周期为 π 的偶函数38、（10 全国 2 文）已知sin=2，则cos(x - 2) =3 （A ） - 5 （B ） - 1 （C 1 D ） 5 39 9339、（10 福建文数）计算1- 2 s in 22.5 的结果等于()1 2 A ．B ．C ．3D ． 223240、（10 福建理数） 计算si n43 cos13 - si n13 cos 43 的值等于（）1 3 A ．B ．C.2D.3232241、（10 全国 2 理数）（13）已知a 是第二象限的角， tan(+ 2a ) = - 4，则 tan a =3．42、（10 浙江文数）（12）函数 f (x ) = sin 2 (2x - )的最小正周期是。
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三角函数题型分类总结一．求值1、sin330︒= tan690° = o 585sin =2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）（09北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+=3、(1) (07陕西)已知sin ,5α=则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2πα∈，若3sin 5α=)4πα+= . （3）（06福建）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+= 4（07重庆）下列各式中，值为23的是( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。
（3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。
6.(1) 若sin θ＋cos θ＝15，则sin 2θ= （2）已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为(3) 若2tan =α ,则ααααcos sin cos sin -+=7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α=8．（07浙江）已知cos()2πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝ 9.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+=10.（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<< 11．已知53)2cos(=-πα，则αα22cos sin -的值为 （ ）A ．257B ．2516-C ．259D ．257-12．已知sin θ=－1312，θ∈（－2π，0），则cos （θ－4π）的值为 （ ）A ．－2627 B ．2627C ．－26217D ．26217 13．已知f （cosx ）=cos3x ，则f （sin30°）的值是 （ ）A ．1B ．23C ．0D ．－1 14．已知sin x －sin y = －32，cos x －cos y = 32，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )的值是 ( ) A ．5142 B ． －5142 C ．±5142 D ．28145±15．已知tan160o＝a ，则sin2000o的值是 ( )A.a 1＋a 2B.－a 1＋a 2C.11＋a 2D.－11＋a 216.()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x 17.若02,sin 3απαα≤≤>，则α的取值范围是：( ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭18.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα- ( ) （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 5419.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （ ） （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-20.0203sin 702cos 10--= A. 12C. 2 二.最值1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是= 。
2.①（08全国二）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 。
②（08上海）函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是③（09江西）若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为3.（08海南）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。
4.（09上海）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是 . 5．（06年福建）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于6.（08辽宁）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．7.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是8．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ．6π7 B ．3π C ．6π D ．2π 9.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1B CD ．210．函数y=sin （2πx+θ）cos （2πx+θ）在x=2时有最大值，则θ的一个值是（ ） A ．4π B ．2π C ．32π D ．43π11.函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1B.12+ C.3212.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
三.单调性1.（04天津）函数]),0[()26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）.A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππ D. ],65[ππ 2.函数sin y x=的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，3.函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 4．（07天津卷） 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数5.函数22cos y x=的一个单调增区间是( ) A ．(,)44ππ-B ．(0,)2πC ．3(,)44ππD ．(,)2ππ6．若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4π)=f (x -4π)，则f (x)的解析式可以是（ ）A ．f (x)=cosxB ．f (x)=cos(2x 2π+) C ．f (x)=sin(4x 2π+) D ．f (x) =cos6x四.周期性1．（07江苏卷）下列函数中，周期为2π的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2.（08江苏）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=3.（04全国）函数|2sin |x y =的最小正周期是（ ）.4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 .（2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.（1）函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是(2)（09江西文）函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为 (3). （08广东）函数()(sin cos )sin f x x x x =-的最小正周期是 ． (4)（04年北京卷.理9）函数x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小正周期是 . 6.(09年广东文)函数1)4(cos 22--=πx y 是 ( )A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数7.（浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 .8．函数21()cos (0)3f x x w w =->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则w 等于（ ）(A)2 (B)1 (C)12 ( D)14五.对称性1.（08安徽）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．12x π=2．下列函数中，图象关于直线3π=x 对称的是（ ） A )32sin(π-=x y B )62sin(π-=x y C )62sin(π+=x y D )62sin(π+=x y 3．（07福建）函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｄ．关于直线π3x =对称 4.（09全国）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 （ ） (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 5．已知函数y=2sinwx 的图象与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为32π，则w 的值为（ ）A ．3 B ．23 C ．32D ．31六.图象平移与变换1.（08福建）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为2.（08天津）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是3.(09山东)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是4.(09湖南)将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于5．要得到函数)42sin(π-=x y 的图象，需将函数x y 2sin =的图象向 平移 个单位6 （2）（全国一8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 向 平移 个单位 （3）为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移个单位长度7.（2009天津卷文）已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是A2π B 83π C 4π D 8π8.将函数 y = 3 cos x －sin x 的图象向左平移 m （m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （ ）A. π6B. π3 C. 2π3 D. 5π611．将函数y=f （x ）sinx 的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则f （x）是（ ）A ．cosx B ．2cosx C ．Sinx D ．2sinx七.图象1．（07宁夏、海南卷）函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是 （ ）2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ） 2（D ）43.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω= （ ）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/3 4．（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）（A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （B ）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.（2009江苏卷）函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .6.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。