高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用章末小结知识整合与阶段检测学案新人教B版选修4-5
高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2
——教学资料参考参考范本——高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2______年______月______日____________________部门[读教材·填要点]1．平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)：设a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋an≥ ，n等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.①推论1：设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n.且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an＝1.②推论2：设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数；则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，a1a2…an≤Cn，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(2)定理2：设a1，a2，…，an为n个正数，则na1a2…an≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(3)定理3：设a1，a2，…，an为正数，则a1＋a2＋…＋an≥≥，n等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.推论：设a1，a2，…，an为n个正数，则(a1＋a2＋…＋an)(＋＋…＋)≥n2.2．最值问题设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思维]1．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.[对应学生用书P34]利用基本不等式求最值[例1] 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．[精解详析] 法一：∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．1．求函数f(x)＝(x＞0)的最大值及此时x的值．解：f(x)＝1－.因为x＞0，所以2x＋≥2，得－≤－2，因此f(x)≤1－2，当且仅当2x＝，即x2＝时，式子中的等号成立．由于x＞0，因而x＝时，等号成立．因此f(x)max＝1－2，此时x＝.利用平均值不等式求最值[例2] 已知x为正实数，求函数y＝x(1－x2)的最大值．[思路点拨] 本题考查三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几何平均不等式的条件，然后再求解．[精解详析] ∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤3＝.当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝时取“＝”号．∴y≤.∴y的最大值为.(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．2．已知x为正实数，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)＝x·x·(2－2x)×12≤3＝×＝.当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．此时，ymax＝.利用平均值不等式解应用题[例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．[思路点拨]本题考查算术—几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几何平均不等式求最大值．[精解详析]设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得H－h＝，H∴r＝(H－h)．∴V圆柱＝πr2h＝(H－h)2h(0＜h＜H)．根据平均不等式可得V圆柱＝···h≤3＝πR2H.当且仅当＝h，即h＝H时，V圆柱最大＝πR2H.(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值．(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．解：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，如图可知2h＋x＝，即h＝(1－x)，所以V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)＝2××××(1－x)≤9×3＝.当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.[对应学生用书P35]一、选择题1．函数y＝3x＋(x>0)的最小值是( )A．6 B．6 6C．9 D．12解析：y＝3x＋＝＋＋≥3＝9，当且仅当＝，即x＝2时取等号．答案：C2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )A．3 B．2 2C．12 D．1235解析：∵2x>0,4y>0,8z>0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥332x·22y·23z＝3＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝时取等号．答案：C3．设x，y为正实数，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )A．40 B．10C．4 D．2解析：因为x ，y 为正实数，∴≤. ∴≤＝10.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg100＝2. 答案：D4．已知x∈R＋，有不等式：x ＋≥2＝2，x ＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可以推广结论为：x ＋≥n＋1(n∈N＋)，则a 的值为( )A ．nnB ．2nC ．n2D ．2n ＋1 解析：x ＋＝···n xn nx x x a ++++n n n x相乘个 ≥(n＋1)+1···n n xn nx x x a n n n x∙∙∙∙相乘个 ＝(n ＋1)，由推广结论知＝1，∴a＝nn. 答案：A 二、填空题5．设x ，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为______．解析：＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2·＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．答案：96．若x ，y∈R＋且xy ＝1，则的最小值是________． 解析：∵x>0，y>0，xy ＝1， ∴＝1＋＋＋xy≥1＋3＝4，当且仅当＝＝xy，即x＝y＝1时取等号．答案：47．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为________．解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.又x∈，∴t∈(0,1)．不等式＋≥16可化为p≥(1－t)，而y＝(1－t)＝17－≤17－2 ＝9，当＝16t，即t＝时取等号，因此原不等式恒成立，只需p≥9.答案： [9，＋∞)8．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x，y，z，三角形的面积为S.则S＝(3x＋4y＋5z)，又∵32＋42＝52，∴这个直角三角形的面积S＝×3×4＝6.∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12.∴3≤3x＋4y＋5z＝12.∴(xyz)max＝.当且仅当x ＝，y ＝1，z ＝时等号成立． 答案：1615三、解答题9．已知a ，b ，x ，y 均为正实数，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，＋＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b.解：∵x＋y ＝(x ＋y)＝a ＋b ＋＋≥a＋b ＋2＝(＋)2， 当且仅当＝时取等号． 又(x ＋y)min ＝(＋)2＝18， 即a ＋b ＋2＝18① 又a ＋b ＝10②由①②可得或⎩⎨⎧a＝8b＝2.10．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解：设船速为V 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有 A ＝k·V3，且有30＝k·103，∴k＝.∴A ＝V3.设每千米的航行费用为R ，需时间为小时， ∴R ＝＝V2＋＝V2＋＋≥3＝36.当且仅当V2＝，即V＝20时取最小值．答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．11.如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比．即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：∵r＝，∴E＝k·(0<θ<)，∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·3＝，当且仅当2sin2θ＝cos2θ即tan2θ＝，tan θ＝时取等号，∴h＝2tan θ＝，即h＝米时，E最大．。
人教B版高中数学选修4-5课件：第二章柯西不等式与排序不等式及其应用
2������
2
24
=
3������
+
1
=
3
+
1 ������
≥
3
+
1 2
=
7,
5
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
又由柯西不等式,得������+1 1
+
1 ������+2
+
⋯
+
1 2������
1
1
1
<
( 12 + 12 + … + 12 )
������ 个
(n + 1)2 + (n + 2)2 + … + (2n)2
≤
n
1 n
-
1 2n
= 22.
4
111
112
故 7 < 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ + 2n-1 − 2n < 2 .
6
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综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,其证明的关键是找
出两组有序数组,通常可以根据函数的单调性去寻找.
·1
������1
+
������22
·1
������2
+
⋯
+
���������2���
·1
������������
=x1+x2+…+xn=P(定值),
高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用章末
第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用知识整合与阶段检测[对应学生用书P36][对应学生用书P36](1)柯西不等式取等号的条件实质上是：a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n.这里某一个b i 为零时，规定相应的a i 为零．(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．[例1] 若n 是不小于2的正整数，求证： 47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. [证明] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋...＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以求证式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22. 由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋...＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋...＋2n ]≥n 2， 于是1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)≥n 2n ＋＋n ＋＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47，又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜ 2＋12＋…＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋2＋1n ＋2＋…＋1n2＜ n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22. [例2] 设a ，b ，c ∈R＋，且满足abc ＝1，试证明：1a3b ＋c ＋1b3a ＋c ＋1c 3a ＋b≥32. [证明] ∵abc ＝1，则所求证的不等式变为b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc ＋a 2b 2ac ＋bc ≥32. 又(ab ＋bc ＋ca )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ac ＋bc ·ac ＋bc ＋bc ab ＋ac ·ab ＋ac ＋ac ba ＋bc ·ba ＋bc 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 2ac ＋bc ＋b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc [(ac ＋bc )＋(ab ＋ac )＋(ba ＋bc )]，∴a 2b 2ac ＋bc ＋b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc ≥12(ac ＋bc ＋ab )≥ 12·33a 2b2c 2＝32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 原不等式得证.利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．[例3] 若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( ) A ．78215B ．15782C ．3D ．253[解析] ∵⎝⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16(3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫53×3x 1＋32×2x 2＋－75×5x 3＋4×x 42＝(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1，∴3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782.[答案] B[例4] 等腰直角三角形AOB 的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置．[解] 分别取OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．则AB 的方程为x ＋y ＝1，记P 点坐标为P (x P ，y P )，则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和S 为S ＝12x 2P ＋12y 2P ＋12(1－x P －y P )2，2S ＝x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2. 由柯西不等式，得[x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2](12＋12＋12) ≥[x P ＋y P ＋(1－x P －y P )]2，即2S ×3＝6S ≥1，所以S ≥16.当且仅当x P 1＝y P 1＝1－x P －y P1时，等号成立，即x P ＝y P ＝13时，面积和S 最小，且最小值为16.从而P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13时，这三个三角形的面积和取最小值16.[例5] 已知实数x 、y 、z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[解] 由柯西不等式：[x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7，所以7a 6＝7，得a ＝36，当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．(2)注意等号成立的条件．[例6] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.[证明] 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，①又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有 0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.②由①、②得原不等式成立.1．求函数的最值在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．[例7] 已知0＜x ＜13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )，∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0，x ＞0. ∴y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )≤13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－3x 22＝112.当且仅当3x ＝1－3x 即x ＝16，y 有最大值112.[例8] 若a >b >0，则代数式a 2＋1ba －b 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 依题意得a －b >0，所以代数式a 2＋1ba －b≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b >0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b的最小值是4，选C.[答案] C[例9] 某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．[对应学生用书P38]一、选择题1．若α为锐角，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α的最小值为( )A ．2＋3 3B ．3＋2 2C ．2D ．3解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝⎛⎭⎪⎫1＋1cos α≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin αcos α2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2α2≥(1＋2)2＝3＋2 2.答案：B2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56 B ．65 C ．2536D ．3625解析：2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.答案：B3．设x 、y 、z ，满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值是( ) A ．3 2 B ．4 C.322 D ．6 解析：构造两组数：x ，2y ，3z 和1，2，3，由柯西不等式得[x 2＋(2y )2＋(3z )2][12＋(2)2＋(3)2]≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤18，∴x ＋2y ＋3z ≤32，当且仅当x ＝y ＝z ＝22时取等号．答案：A4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品3件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则至少要花( )A ．17元B ．19元C ．21元D ．25元解析：由排序原理可知：花钱最少为：1×5＋2×3＋3×2＝17(元)． 答案：A 二、填空题5．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 解析：设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则0<1a n ≤1a n －1≤…≤1a 1，∵反序和≤乱序和≤顺序和，∴最小值为反序和a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n＝n .答案：n6．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.解析：由题意知，等候的总时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41. 答案：417．函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值为________．解析：y ＝2x ＋91－2x ＝222x ＋321－2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222x ＋321－2x [2x ＋(1－2x )] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ×2x ＋31－2x ×1－2x 2＝25，当且仅当x ＝15时取等号．答案：258．已知a ，b ，x ，y ＞0，且 ab ＝4，x ＋y ＝1，则(ax ＋by )·(bx ＋ay )的最小值为________．解析：[(ax )2＋(by )2]·[(bx )2＋(ay )2]≥(ax ·bx ＋by ·ay )2＝(ab ·x ＋ab ·y )2＝ab (x ＋y )2＝ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．答案：4 三、解答题9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 解：由柯西不等式得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时等号成立，此时最小值为16.10．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值． 解：(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·3＋2b ·1＋3c ·132＝(3a ＋2b ＋c )2. ∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323.∴3a ＋2b ＋c ≤1333.当且仅当a3＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13.∴3a ＋2b ＋c 有最大值1333.11．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋3z 对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．解：根据柯西不等式，有(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤1×14＝14， 则－14≤x ＋2y ＋3z ≤14. 又∵|a －1|≥x ＋2y ＋3z 恒成立， ∴|a －1|≥14.则a －1≥14或a －1≤－14， 即a ≥1＋14或a ≤1－14. 所以a 的取值范围为(－∞，1－14]∪[1＋14，＋∞)．[对应学生用书P51](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．已知a ，b 均为正实数，且a ＋2b ＝10，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．10 C ．20D ．30解析：根据柯西不等式有 (a 2＋b 2)(1＋22)≥(a ＋2b )2＝100.∴a 2＋b 2≥20，当且仅当a ＝b2＝2时取等号．答案：C2．已知x >0，y >0，且4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由4x ＋3y ≥212xy ，∴12xy ≤6，∴xy ≤3，故选C. 答案：C3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4D ．－4解析：x ＞1⇒x －1＞0，y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝ log 2⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案：B4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 39的最小值是( )A ．1B ．2C ．116D ．4936解析：设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3，又∵1＞122＞132，∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116当且仅当x 1＝1，x 2＝2，x 2＝3时取等号．答案：C5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1 B ．10 C ．11D ．21解析：∵[(x －1)2＋(y －2)2](32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2， 即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24时取等号．答案：D6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ． 2D ．16解析：因为(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时等号成立，因此若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则a ≤4，故应选B.答案：B7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．65 B ．635 C ．3635D ．6解析：由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x ＋3×y ＋5×z )2×135＝62×135＝3635当且仅当x ＝y 3＝z 5＝635时取等号．答案：C8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－10，10]D ．[－5,5] 解析：|3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·32＋22≤10∴－10≤3x ＋2y ≤10. 答案：C9．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A ． 5 B ． 3 C ．2 3D ．32解析：1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13，∴(a ＋b ＋2c )2≤3， 即所求最大值为 3. 答案：B10．若a >0，b >0，c >0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ．3－1 B ．3＋1 C ．23＋2D ．23－2解析：∵a (a ＋b ＋c )＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，且a ＋b >0，a ＋c >0，∴2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2a ＋b a ＋c＝24－23＝23－2＝2(3－1)(当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立)，∴2a ＋b ＋c 的最小值为23－2，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分) 11．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________． 解析：y ＝2×4－2x ＋2x －3 ≤22＋－2x ＋2x －＝3，当且仅当x ＝53时取等号．答案： 312．(湖南高考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36，故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：1213．已知x 2＋2y 2＝1，则x 2y 4－1的最大值是________． 解析：∵x 2＋2y 2＝1，∴x 2＋y 2＋y 2＝1. 又x 2·y 4－1＝x 2·y 2·y 2－1，∵x 2·y 2·y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＋y 233＝127， ∴x 2y 4－1≤127－1＝－2627.即x 2y 4－1≤－2627当且仅当x 2＝y 2＝13时取等号．∴x 2y 4－1的最大值是－2627.答案：－262714．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是________． 解析：根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤ 12＋22×x －52＋6－x2＝ 5.答案： 5三、解答题(本大题共有4小题，共50分) 15．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋，求证： 1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1abc. 证明：设a ≥b ≥c >0，则a 3≥b 3，∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2b ＋b 2a ＝ab (a ＋b )， 同理：b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )， ∴1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1aba ＋b ＋abc ＋1bc b ＋c ＋abc＋1ca c ＋a ＋abc＝1a ＋b ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ＝1abc.16．(本小题满分12分)已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．解：(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2， ∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫132＝12. ∴－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3.17．(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ， 求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.18．(本小题满分14分)设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，求y＝22－α1＋22－α2＋…＋22－αn－n的最小值．解：为了利用柯西不等式，注意到(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1，所以(2n－1)⎝⎛⎭⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)]·⎝⎛12－α1＋⎭⎪⎫12－α2＋…＋12－αn≥⎝⎛2－α1·12－α1＋2－α2·⎭⎪⎫12－α2＋…＋2－αn·12－αn2＝n2，所以y＋n≥2n22n－1，y≥2n22n－1－n＝n2n－1.当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝1n时等号成立，从而y有最小值n2n－1.。
高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用章末复习课讲义新人教B版选修4_5
第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用[自我校对]①向量 ②代数可证明一些简单不等式．【例1】 已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. [精彩点拨] 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式证明，或把式子左边补上系数1，直接利用柯西不等式求解．[规范解答] 法一：因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)．则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2， |m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)] ＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48. ∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2，∴(13a ＋1)＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.法二：由柯西不等式得(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤(12＋12＋12)[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)]＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.1．设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立的条件．[证明] 由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立.应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例2】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.[精彩点拨] 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a，根据不等式的特点，利用排序不等式证明．[规范解答] 由于不等式关于a ，b ，c 对称， 可设a ≥b ≥c >0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a，及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．2．在△ABC 中，h a ，h b ，h c 为边长a ，b ，c 的高， 求证：a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c . [证明] 不妨设a ＞b ＞c ，则对应的角A ＞B ＞C ，A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A ＞sin B ＞sin C . 由排序原理得a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥a sin B ＋b sin C ＋c sin A .在△ABC 中，a sin B ＝h c ，b sin C ＝h a ，c sin A ＝h b ， ∴a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c .们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．【例3】 已知实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[精彩点拨] 由x 2＋4y 2＋9z 2＝x 2＋(2y )2＋(3z )2，x ＋y ＋z ＝x ＋12·2y ＋13·3z ，联想到柯西不等式求解．[规范解答] 由柯西不等式： [x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7， 所以7a 6＝7，得a ＝36.当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.3．求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． [解] 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值．【例4】 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [精彩点拨] 不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，利用排序不等式求解． [规范解答] 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x21·1x1＋x22·1x2＋…＋x2n·1x n＝x1＋x2＋…＋x n＝P(定值)，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，∴F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1的最小值为P.4．设x1，x2，…，x n取不同的正整数，则m＝x112＋x222＋…＋x nn2的最小值是( ) A．1B．2C．1＋12＋13＋…＋1nD．1＋122＋132＋…＋1n2[解析]设a1，a2，…，a n是x1，x2，…，x n的一个排列，且满足a1<a2<…<a n，故a1≥1，a2≥2，…，a n≥n.又因为1>122>132>…>1n2，所以x11＋x222＋x332＋…＋x nn2≥a1＋a222＋a332＋…＋a nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n2＝1＋12＋13＋…＋1n.[答案] C在利用平均值不等式求函数最值时．一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．【例5】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[精彩点拨] (1)设每件定价为t 元，表示总收入，根据题意列不等式求解．(2)利用销售收入≥原收入＋总投入，列出不等式，由题意x ＞25，此时不等式求解．[规范解答] (1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －25t ×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．5．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [解析] 依题意得a －b ＞0，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b (a －b )的最小值是4，选C.[答案] C思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用，把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．【例6】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.[精彩点拨] 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明． [规范解答] 左端变形ab ＋c＋1＋bc ＋a＋1＋ca ＋b＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，∴只需证此式≥92即可．∵ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b＝12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b≥12(1＋1＋1)2＝92， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＋ca ＋b ≥92－3＝32.6．已知a ，b ，c 为正数，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． [证明] 不妨设0≤a ≤b ≤c ，则a 2≤b 2≤c 2， 由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b .以上两式相加，得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.[答案] D2．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________． [解析] 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.[答案]53．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy .[证明] 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 4．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.。
柯西不等式与排序不等式章末总结课件
利用排序不等式证明不等式 排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排序与其大小顺 序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利 用排序不等式解决往往很简捷．
已知 a，b，c∈R＋，求证a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≥a＋b ＋c. 【证明】 设 a≥b≥c＞0.于是 a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a. 由排序不等式得：
【解】 (1)因为(x＋2y＋· 3)2 ≤[x2＋( 2y)2＋( 3z)2]·[12＋( 2)2＋( 3)2]
＝(x2＋2y2＋3z2)(1＋2＋3)＝18.
当且仅当x1＝
2y＝ 2
3z， 3
即 x＝y＝z 时，等号成立．
所以－3 2≤x＋2y＋3z≤3 2，
根据排序不等式，得 F＝xx221＋xx223＋…＋xx2n－n 1＋xx2n1 ≥x21·x11＋x22·x12＋…＋x2n·x1n＝x1＋x2＋…＋xn ＝P(定值)．当且仅当 x1＝x2＝…＝xn＝Pn时取等号． 即 F＝xx221＋xx223＋…＋xx2n－n 1＋xx2n1的最小值为 P.
a2·1a＋b2·1b＋c2·1c ≤a2·1b＋b2·1c＋c2·1a，① a2·1a＋b2·1b＋c2·1c ≤a2·1c＋b2·1a＋c2·1b.②
①＋②得 2a2·1a＋b2·1b＋c2·1c ≤a2·1b＋b2·1c＋c2·1a＋a2·1c＋b2·1a＋c2·1b， 即 2(a＋b＋c)≤a2＋c b2＋b2＋a c2＋c2＋b a2， 所以a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≥a＋b＋c 成立．
1111 等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad
bcda ⇔a＝b＝c＝d. 又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．
第一部分 第二章 章末小结 知识整合与阶段检测
(2)x轴上的点的坐标为(x,0,0)，x为任意实数； y轴上的点的坐标为(0，y,0)，y为任意实数； z轴上的点的坐标为(0,0，z)，z为任意实数． 2．空间两点间的距离公式 空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离 是|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.
Ax＋By＋C＝0， x－a2＋y－b2＝r2，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据解的情况来判断此直
线和圆的位置关系： 当方程组只有一个实数解时，直线与圆相切； 当方程组有两个不同的实数解时，直线与圆相交； 当方程组没有实数解时，直线与圆相离．
(3)圆与圆的位置关系： 圆与圆的位置关系的判断方法一般使用几何法． 设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则 ①d>r1＋r2⇔两圆相离；
B2y＋C2)＝0.
4．距离公式 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间距离公式是： |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12； (2)点A(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是： |Aa＋Bb＋C| d＝ ； A2＋B2 (3)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 |C1－C2| 间的距离公式是d＝ 2 2. A ＋B
x y 截距式 ＋ ＝1 a b 一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
(2)求直线的方程一般采用待定系数法，其步骤是： 选形式 → 选形式 → 列方程 → 求参数 → 得直线 .
3．两直线的位置关系 (1)设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 ①k1≠k2⇔l1与l2相交； ②k1＝k2且b1≠b2⇔l1与l2平行； ③k1＝k2且b1＝b2⇔两直线重合； ④k1k2＝－1⇔两直线垂直．
柯西不等式与排序不等式章末总结课件
【例 1】 设 x＋y＋z＝1，求 w＝2x2＋3y2＋z2 的最小值． 【 分 析 】 将 已 知 条 件 变 形 为 ： 12 ＝ (x ＋ y ＋ z)2 ＝
1 2·
2x＋
1 3·
3y＋1·z2
就可以应用柯西不等式．
【解】 ∵x＋y＋z＝1，
∴1＝(x＋y＋z)2
三 用柯西不等式解决实际应用问题 解决实际应用问题，主要在于数学模型的建立和目标函数的求 解，只要找好这两点问题便迎刃而解．
【例 5】 在半径为 R 的圆中，求周长最大的内接长方形． 【分析】 首先表示出内接长方形的周长，得出目标函数，再 利用柯西不等式求解．
【解】 如图，设内接长方形 ABCD 的长为 x，则宽为 4R2－x2.
a＋b＋c
求证：>0， 则 lga≥lgb≥lgc， 由排序不等式，得 alga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc， alga＋blgb＋clgc≥algb＋blgc＋clga. alga＋blgb＋clgc≥algc＋blga＋clgb.
于是长方形 ABCD 的周长为 L＝2x＋ 4R2－x2 ＝21×x＋1× 4R2－x2 ≤2x2＋ 4R2－x2212·(12＋12)12 ＝2 2·2R＝4 2R. 当且仅当1x＝ 4R12－x2，即 x＝ 2R 时，取等号，此时宽为 2R. 所以，周长最大的内接长方形为正方形，其周长为 4 2R.
47<n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<
2 2.
由柯西不等式，有 n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21nn＋1＋n＋2＋…＋2n>n2， 于是n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
n2 >n＋1＋n＋2＋…＋2n ＝3n2＋n 1＝3＋2 1n≥3＋2 12＝47.
2020高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2
2.1。
1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2。
1。
2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明学习目标：1。
认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。
2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．教材整理1 柯西不等式1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（a错误!＋a错误!）（b错误!＋b错误!）≥（a1b1＋a2b2)2。
2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则｜α|｜β|≥｜α·β｜。
3．柯西不等式的三角不等式:|α｜＋｜β|≥｜α＋β|。
4．柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1,b2，…，b n为实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)错误!(b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)错误!≥|a1b1＋a2b2＋…＋a n b n|，其中等号成立⇔错误!＝错误!＝…＝错误!（当某b j＝0时，认为a j＝0，j＝1，2，…，n)．教材整理2 参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法．已知不等式（x＋y）错误!≥9对任意的正实数x,y恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．2 B．4C．6 D．8[解析］由柯西不等式可求出(x＋y)错误!≥错误!错误!＝（1＋错误!)2，当x＝1，y＝错误!时，(x＋y）错误!的最小值是(错误!＋1）2，故只需(1＋错误!）2≥9，即a≥4即可．［答案］B利用柯西不等式证明不等式a b x y a b ax1bx2（bx1＋ax2)≥x1x2。
［精彩点拨］如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．[自主解答] ∵a,b，x，y大于0，∴（ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝（ax1＋bx2)(ax2＋bx1）≥（a错误!＋b错误!）2＝（a＋b)2x1x2.又因为a＋b＝1，所以（a＋b)2x1x2＝x1x2，其中等号当且仅当x1＝x2时成立．所以(ax1＋bx2)（bx1＋ax2）≥x1x2.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设x1，x2,…,x n为正数，求证:（x1＋x2＋…＋x n)错误!≥n2。
高考数学柯西不等式知识点总结
高考数学柯西不等式知识点总结柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式，它们在高等数学中的应用很普遍。
下面店铺给大家带来高考数学柯西不等式知识点，希望对你有帮助。
高考数学柯西不等式知识点(一)所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
(2)用向量来证.m=(a1，a2......an) n=(b1，b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章复习导学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二
第二章柯西不等式与排序不等式及其应用本章复习课1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值.2.理解并掌握两个或三个正数的算术平均、几何平均数不等式并会应用它们求一些特定函数的最值.3.了解排序不等式及平均值不等式.知识结构知识梳理1.二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维)：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a21＋a22)·(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.(2)(二维变式)：a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.(3)定理2(向量形式)：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当α及β为非零向量时，上式中等号成立⇔向量α与β共线(或平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.(4)定理3(三角不等式)：设a1，a2，b1，b2为实数，则a21＋a22＋b21＋b22≥（a1＋b1）2＋（a2＋b2）2，等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使μa1＝λb1，μa2＝λb2.(5)三角变式：设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋（b1－c1）2＋（b2－c2）2≥（a1－c1）2＋（a2－c2）2，等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)且μ(a2－b2)＝λ(b2－c2). (6)三角向量式：设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|.2.三维形式的柯西不等式：(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.3.柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12(b 21＋b 22＋…＋b 2n )12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |，其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n.4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.5.排序不等式：设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有：a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和. 6.平均值不等式(1)定理1：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .(2)推论1：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，且a 1a 2…a n ＝1，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥n ，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n ＝1.(3)推论2：设C 为常数，且a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，当a 1＋a 2＋…＋a n ＝nC 时，则a 1a 2…a n ≤C n ，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .(4)定理2：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则n a 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .典例剖析知识点1 利用柯西不等式证明不等式【例1】 设a ，b ，c ，d 为正数，且不全相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋d ＋2d ＋a >16a ＋b ＋c ＋d. 证明 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋d ，d ＋a ，与1a ＋b，1b ＋c，1c ＋d，1d ＋a，则由柯西不等式得： (a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋d ＋d ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋d ＋1d ＋a≥(1＋1＋1＋1)2.即2(a ＋b ＋c ＋d )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋d ＋1d ＋a ≥16，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋d ＋2d ＋a ≥16a ＋b ＋c ＋d， 等号成立⇔a ＋b1a ＋b ＝b ＋c1b ＋c ＝c ＋d1c ＋d ＝d ＋a1d ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋d ＝d ＋a ⇔a ＝b ＝c ＝d . 因题设a ，b ，c ，d 不全相等， 故2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋d ＋2d ＋a >16a ＋b ＋c ＋d. 知识点2 利用柯西不等式求最值【例2】 已知x ＋y ＋z ＝1，求3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3的最大值. 解 由柯西不等式，得(3x ＋1·1＋3y ＋2·1＋3z ＋3·1) ≤3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3·12＋12＋12＝3（x ＋y ＋z ）＋6·3＝27＝3 3. 等号成立⇔3x ＋11＝3y ＋21＝3z ＋31， 即3x ＋1＝3y ＋2＝3z ＋3 设3x ＋1＝k ，则x ＝k －13，y ＝k －23，z ＝k －33.代入x ＋y ＋z ＝1，得k ＝3. ∴x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号.知识点3 利用排序不等式证明不等式 【例3】 设a ，b ，c 为正数，求证：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b. 证明 由对称性， 不妨设a ≥b ≥c >0， 于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 故a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2c ＋a ＋b 2a ＋b a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2c ＋a ＋a 2a ＋b以上两式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b. 知识点4 平均值不等式的实际应用【例4】 在半径为R 的球的所有外切圆锥中求全面积最小的一个.解 设x 为圆锥底面半径，S 为它的全面积，则S ＝πx 2＋πx ·AC ＝πx 2＋πx (x ＋CD )由Rt△CAE ∽Rt△COD 得CD R ＝CE x ＝AC 2－AE 2x＝（CD ＋x ）2－x2x.解得CD ＝2R 2x x 2－R 2.于是S ＝πx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2R 2x x 2－R 2＝2πx 4x 2－R 2. 因为S 和S 2π同时取得最小值，所以考虑S2π的最小值问题.S2π＝x 4x 2－R 2＝x 4－R 4＋R 4x 2－R 2 ＝x 2＋R 2＋R 4x 2－R2＝(x 2－R 2)＋R 4x 2－R2＋2R 2≥2R 4＋2R 2＝4R 2.于是S ≥8πR 2， 等号成立⇔x 2－R 2＝R 4x 2－R 2⇔x ＝2R .所以圆锥的最小全面积为8πR 2.基础达标1.已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029 C.1，12，13D.1，14，19解析 当且仅当x 2＝y 3＝z4时，x 2＋y 2＋z 2取到最小值，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029. 答案 B2.设x 1，x 2，…，x n ，取不同的正整数，则m ＝x 112＋x 222＋…＋x nn 2的最小值是( )A.1B.2C.1＋12＋13＋…＋1nD.1＋122＋132＋…＋1n2解析 ∵x 1，x 2，…，x n 是n 个不同的正整数，所以1，2，3，…，n 就是最小的一组，m ＝x 112＋x 222＋…＋x n n 2≥1＋12＋13＋…＋1n(前边是乱序和，后面是反序和). 答案 C3.一批救灾物资随26辆汽车从A 市以v km/h 匀速直达灾区，已知两地公路长400 km ，为安全起见，两车间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批物资全部到灾区，至少需要______h.( )A.5B.10C.15D.20解析 依题意，所用时间为25×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202＋400v＝25400v ＋400v≥10，当且仅当v ＝80时取等号. 答案 B4.已知x ＋2y ＋3z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________. 解析 (x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝1. ∴x 2＋y 2＋z 2≥114.当且仅当x 1＝y 2＝z 3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时，x 2＋y 2＋z 2取最小值114.答案1145.设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是________. 解析 3(a ＋b ＋c )＝(1＋1＋1)(a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2. 所以a ＋b ＋c ≤3（a ＋b ＋c ）＝ 3.答案 36.已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 证明：a 3＋b 3＋c 3≥a 2＋b 2＋c 23.证明 利用柯西不等式()a 2＋b 2＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32a 12＋b 32b 12＋c 32c 122≤[(a 32)2＋(b 32)2＋(c 32)2][a ＋b ＋c ]＝(a 3＋b 3＋c 3)(a ＋b ＋c )2(∵a ＋b ＋c ＝1) 又因为a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 在此不等式两边同乘以2， 再加上a 2＋b 2＋c 2得：(a ＋b ＋c )2≤3(a 2＋b 2＋c 2)∵(a 2＋b 2＋c 2)2≤(a 3＋b 3＋c 3)·3(a 2＋b 2＋c 2) 故a 3＋b 3＋c 3≥a 2＋b 2＋c 23.综合提高7.已知3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A.[0，5] B.[－5，0] C.[－5，5]D.[－5，5]解析 |3x ＋2y |≤（3x ）2＋（2y ）2·（3）2＋（2）2≤ 5. 所以－5≤3x ＋2y ≤ 5. 答案 C8.已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A.5B.6C.8D.9解析 x ＋y 2＋z3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x×x ＋2y×y2×3z×z 32＝9. 答案 D9.函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________. 解析 y ＝2×4－2x ＋1×2x －3 ≤[（2）2＋12]（4－2x ＋2x －3）＝ 3. 答案310.设x 1，x 2，…，x n 取不同的正整数，则m ＝x 112＋x 222＋…＋x nn 2的最小值是________.解析 设a 1，a 2，…，a n 是x 1，x 2，…，x n 的一个排列，且满足a 1<a 2<…<a n ，故a 1≥1，a 2≥2，…，a n ≥n .又因为1>122>132>…>1n 2，所以x 11＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2 ≥a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn2 ≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ×1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n .答案 1＋12＋13＋ (1)11.求椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的内接矩形的最大面积，并求此时矩形的边长.解 方法一：设第一象限顶点坐标(x ，y ). ∵S 与S 2同时取得最大值.又y 2＝b 2a2(a 2－x 2)，∴S 2＝16x 2y 2＝16x 2·b 2a2(a 2－x 2)＝16b 2a 2x 2(a 2－x 2)≤16b 2a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋（a 2－x 2）22＝4a 2b 2. ∴S max ＝2ab .此时有x 2＝a 2－x 2，即x ＝22a 时，内接矩形面积最大， 此时，矩形的边长分别为2a ，2b .方法二：S ＝4xy ＝4ab ·x a ·yb ≤4ab x 2a 2＋y 2b 22＝2ab .等号当且仅当x a ＝yb，即x a ＝b a 2－x 2a ·b， 即x ＝22a ，y ＝22b 时成立. ∴当矩形的边长分别为2a ，2b 时， 内接矩形面积最大为S ＝2ab .12.某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案.要求：用料最省；简便易行. 解 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m ，b m ，c m. 由题意，可得abc ＝500.长方体水箱的表面积为S ＝2bc ＋2ac ＋ab .由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥332bc ·2ac ·ab ＝334×5002＝300. 当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ，即a ＝b ＝10，c ＝5时，S ＝2bc ＋2ca ＋ab ＝300为最小，这表明将无盖长方体水箱的尺寸设计为10×10×5时，其用料最省.如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成无盖长方体水箱的平面展开图.逆向思维：先将无盖长方体水箱展开成平面图如图(1)所示，进一步剪拼成如图(2)所示的长30 m ，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形.因此，应选择规格为30×10的制作材料，制作方案如图(3).。
人教B版高中数学选修4-5课件：第二章柯西不等式与排序不等式及其应用
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知识建构 专题一 专题二 专题三 专题四
综合应用
真题放送
专题三 最值问题 有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定.其中含有 多变量限制条件的最值问题往往难以处理,在这类问题中,利用柯 西不等式或排序不等式求解较容易.但在求最值时,无论是应用柯 西不等式,还是排序不等式,还是平均值不等式,都应该注意等号成 立的条件.
本章整合
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向量形式 柯西不等式 代数形式 三角不等式 柯西不等式与排序不等式 乱序和 排序不等式 反序和 顺序和 平均值不等式 最大值与最小值问题
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知识建构 专题一 专题二 专题三 专题四
综合应用
真题放送
专题一 柯西不等式的应用 利用柯西不等式证明其他不等式或求最值,关键是构造两组数, 并向着柯西不等式的形式进行转化. 应用若n是不小于2的正整数,试证: 4 1 1 1 1 1 2 < 1 − + − +⋯+ − < . 7 2 3 4 2������-1 2������ 2 提示:注意中间的一列数的代数和,其奇数项为正,偶数项为负,可 进行恒等变形予以化简.
求证: ������1 1 ·������2 2 · …· ������������������ ≥ ������11 ·������22 · …· ������������������ ≥ ������1 ������ ·������2 ������ -1· …· ������������1 .
证明:∵0<a1≤a2≤…≤an, ∴lna1≤lna2≤…≤lnan. 又∵0≤b1≤b2≤…≤bn, ∴由排序不等式可知b1lna1+b2lna2+…+bnlnan ≥c1lna1+c2lna2+…+cnlnan ≥bnlna1+bn-1lna2+…+b1lnan.
高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式学业分层测评 新人教B版选修4
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第2章柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式学业分层测评新人教B版选修4—5(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2,则ax＋by的最大值为( )A。
1 B.2C. 2D.4【解析】∵(ax＋by）2≤(a2＋b2）(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤错误!.【答案】C2。
若实数a，b,c均大于0，且a＋b＋c＝3，则错误!的最小值为（）A.3B.1C。
错误! D.错误!【解析】∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1·a＋1·b＋1·c)2≤（12＋12＋12）（a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥3。
当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，∴a2＋b2＋c2的最小值为3。
【答案】D3.已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是（)【导学号：38000033】A.56B。
错误!C.错误!D.错误!【解析】2x2＋3y2＝（2x2＋3y2)错误!·错误!≥错误!错误!错误!＝错误!（x＋y）2＝错误!,当且仅当2x·错误!＝错误!y·错误!，即x＝错误!，y＝错误!时等号成立，∴2x2＋3y2的最小值为错误!。
2018_2019学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式导学案新人教B版
2.2 排序不等式1.了解排序不等式的“探究—猜想—证明—应用”的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.自学导引设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为两个实数组的反序积之和(简称反序和).称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).不等式a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n称为排序原理，又称为排序不等式.等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n，排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和.基础自测1.已知a，b，c∈R*，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是( )A.a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋c2aB.a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2aC.a3＋b3＋c3<a2b＋b2＋c＋c2aD.a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c2a解析不妨设a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2，故顺序和为a3＋b3＋c3，则a2b＋b2c＋c2a为乱序和，由排序不等式定理知a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，故选B.答案 B2.已知a，b，c∈R*，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零解析不妨设a≥b≥c，∴a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc，∴a2－bc≥b2－ac≥c2－ab，由排序不等式定理，a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案 B3.设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正数，那么P ＝a 1＋a 2＋…＋a n 与Q ＝a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1的大小关系是________.解析 假设a 1≥a 2≥a 3≥…≥a n ，则1a n ≥1a n －1≥…≥1a ≥1a 1，并且a 21≥a 22≥a 23≥…≥a 2n ，P ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 21a 1＋a 22a 2＋a 23a 3＋…＋a 2na n，是反顺和，Q 是乱顺和，由排序不等式定理P ≤Q . 答案 P ≤Q知识点1 利用排序原理证明不等式【例1】 已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明 根据所需证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab .由排序原理：顺序和≥乱序和，得：bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b . 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ，因为a ，b ，c 为正数，所以abc >0，a ＋b ＋c >0，于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .1.已知a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ).证明 令S ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，则S ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1， S ≥a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n b 2，……S ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1将上面n 个式子相加，并按列求和可得nS ≥a 1(b 1＋b 2＋…＋b n )＋a 2(b 1＋b 2＋…＋b n )＋…＋a n (b 1＋b 2＋…＋b n )＝(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ) ∴S ≥1n(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )即(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ).【例2】 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数， 求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2.证明 ∵12<22<32<…<n 2， ∴112>122>…>1n2. 设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列， 即c 1<c 2<c 3<…<c n ，根据排序原理中，反序和≤乱序和， 得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2，而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1，2，…，n ，∴c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≥1＋222＋332＋…＋n n2＝1＋12＋ (1)，∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a nn2.2.设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列， 求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n . 证明 不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ， 则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排序，故由排序原理：反序和≤乱序和得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n.即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n .知识点2 利用排序原理求最值 【例3】 设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值.解 不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b上述两式相加得： 2⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.3.设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1. 试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值.证明 令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bc a （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc∴S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝c a （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝b a （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ）两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32.课堂小结排序不等式有着广泛的实际应用，在应用时，一定在认真分析题设条件的基础上观察要证结论的结构特征，从而分析出要用排序原理中反序和≤乱序和，或是乱序和≤顺序和，或者反序和≤顺序和.不少命题的证明可能多次用到排序原理.切比晓夫不等式也可当作定理直接应用.随堂演练1.利用排序原理证明：若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.证明 不妨设a 1≥a 2≥a 3≥…≥a n >0， 则有1a 1≤1a 2≤…≤1a n由切比晓夫不等式，得：a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a nn≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a nn，即n n ≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a nn，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.2.已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c .求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.证明 ∵a ≥b ≥c >0， ∴a 3≥b 3≥c 3，∴a 3b 3≥a 3c 3≥b 3c 3， ∴1a 3b3≤1a 3c3≤1b 3c3，又a 5≥b 5≥c 5，由排序原理得：a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 5a 3b 3＋b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3(顺序和≥乱序和)， 即a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a3， 又∵a 2≥b 2≥c 2，1a 3≤1b 3≤1c3由乱序和≥反序和得：a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a 3≥a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝1a ＋1b ＋1c.∴a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.基础达标1.已知a ，b ，c ∈R ＋则a 3＋b 3＋c 3与a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的大小关系是( ) A.a 3＋b 3＋c 3＞a 2b ＋b 2c ＋c 2a B.a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a C.a 3＋b 3＋c 3＜a 2b ＋b 2c ＋c 2a D.a 3＋b 3＋c 3≤a 2b ＋b 2c ＋c 2a解析 根据排序原理，取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2，不妨设a ≥b ≥c ，所以a 2≥b 2≥c 2.所以a 2·a ＋b 2·b ＋c 2·c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 答案 B2.设a 1，a 2，…，a n 都是正数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，则a 1b －11＋a 2＋b －12＋…＋a n b －1n 的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2D.无法确定解析 设a 1≥a 2≥…≥a n ＞0.可知a －1n ≥a －1n －1≥…≥a －11，由排序原理，得a 1b －11＋a 2b －12＋…＋a nb －1n ≥a 1a －11＋a 2a －12＋…＋a n a －1n ＝n .答案 B3.已知a ，b ，c ∈R ＋，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( ) A.大于零 B.大于等于零 C.小于零D.小于等于零解析 设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3，根据排序原理，得a 3·a ＋b 3·b ＋c 3·c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a . 又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2， 所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab 0 所以a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab . 即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0. 答案 B4.已知a ，b ，c 都是正数，则ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b≥________.解析 设a ≥b ≥c ＞0，所以1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序原理，知a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a b ＋a ， ① ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，②①＋②，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.答案 325.证明切比晓夫不等式中的(2).即，若a 1≤a 2≤…≤a n ，而b 1≥b 2≥…≥b n 或a 1≥a 2≥…≥a n 而b 1≤b 2≤…≤b n ，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n · ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n时等号成立.证明 不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≥b 2≥…≥b n . 则由排序原理得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1 a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n －1b 1＋a n b 2…a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.将上述n 个式子相加，得：n (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )上式两边除以n 2，得： a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b nn≤⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时成立. 6.设a 1，a 2，…，a n 为实数，证明：a 1＋a 2＋…＋a nn ≤a 21＋a 22＋…＋a 2nn.证明 不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，由切比晓夫不等式得：a 1·a 1＋a 2·a 2＋…＋a n ·a nn≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ，即a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a nn ≤a 21＋a 22＋…＋a 2nn.综合提高7.设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .证明 不妨设a 1>a 2>…>a n >0， 则有a 21>a 22>…>a 2n 也有1a 1<1a 2<…<1a n，由排序原理：乱序和≥反序和，得：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋…＋a 2na n＝a 1＋a 2＋…＋a n . 8.设A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.证明 方法一：不妨设A >B >C ，则有a >b >c 由排序原理：顺序和≥乱序和 ∴aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cAaA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cB aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC上述三式相加得3(aA ＋bB ＋cC )≥(A ＋B ＋C )(a ＋b ＋c )＝π(a ＋b ＋c ) ∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.方法二：不妨设A >B >C ，则有a >b >c ， 由切比晓夫不等式aA ＋bB ＋cC 3≥A ＋B ＋C 3·a ＋b ＋c3，即aA ＋bB ＋cC ≥π3(a ＋b ＋c )，∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.9.设a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc . 证明 不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2， 由排序原理：顺序和≥反序和，得：a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，b 3＋c 3≥b 2c ＋c 2b c 3＋a 3≥a 2c ＋c 2a三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2). 又a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥6abc ，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc . 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.10.设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.证明 不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c . 据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c上述三式相加得：3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c ) 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3lg(abc )，故a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.11.设x i ，y i (i ＝1，2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n 是y 1，y 2，…，y n 的一个排列.求证：∑ni ＝1 (x i －y i )2≤∑ni ＝1(x i －z i )2. 证明 要证∑ni ＝1 (x i －y i )2≤∑ni ＝1(x i －z i )2只需证∑ni ＝1y 2i －2∑n i ＝1x i y i ≤∑ni ＝1z 2i －2∑ni ＝1x i z i . 因为∑ni ＝1y 2i ＝∑ni ＝1z 2i ， ∴只需证∑ni ＝1x i z i ≤∑ni ＝1x i y i . 而上式左边为乱序和，右边为顺序和. 由排序不等式得此不等式成立.故不等式∑ni ＝1 (x i －y i )2≤∑ni ＝1(x i －z i )2成立. 12.已知a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).证明 不妨设a >b >c >0. 则a 2>b 2>c 2，a ＋b >a ＋c >b ＋c ， ∴a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋c )＋c 2(b ＋c ) >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )， 即a 3＋c 3＋a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )， 7又∵a 2>b 2>c 2，a >b >c ，∴a 2b ＋b 2a <a 3＋b 3，b 2c ＋c 2b <b 3＋c 3. 即a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b <a 3＋2b 3＋c 3，所以有2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).。
高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式讲义新人教B版选修4_5
2.2 排序不等式学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序和；称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序和；称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序和．教材整理2 定理(排序原理，又称为排序不等式)设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n ，可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋y 3x ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N[解析] 由排序不等式，知M ≥N . [答案] B(1)1bc ≥1ca ≥1ab；(2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2. [精彩点拨] 由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组． [自主解答] (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b，又c >0，∴1c>0，从而1bc ≥1ca.同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c，∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab，从而1bc ≥1ca ≥1ab.(2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1ab>0且a ≥b ≥c >0，∴1b 2c2≥1c 2a2≥1a 2b2，a 2≥b 2≥c 2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2， 故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<a 1≤a 2≤…≤a n ，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .[证明] ∵0<a 1≤a 2≤…≤a n ， ∴a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n，由排序不等式知，乱序和不小于反序和，得a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n . 因此a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【例2】 设a ，b ，c 为正数，求证：2c ＋2a ＋2b ≤bc ＋ca ＋ab.[精彩点拨] (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．[自主解答] 不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3，0<1bc ≤1ca ≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ，a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab. 将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体情境分类讨论．2．本例的条件不变，试证明：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b≥a ＋b ＋c .[证明] 不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a ，则a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b(乱序和)≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c(反序和)，同理，b 2·1c ＋c 2·1a ＋a 2·1b(乱序和)≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c(反序和)．两式相加再除以2，可得a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.【例3】 设a ，b ，c 为任意正数，求b ＋c ＋c ＋a ＋a ＋b的最小值． [精彩点拨] 由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0，注意到bb ＋c ＋cb ＋c＝1，设法构造数组，利用排序不等式求解．[自主解答] 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上两式相加，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即ab ＋c ＋bc ＋a＋ca ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值．[解] 不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x.由排序不等式，乱序和≥反序和．x 2y ＋y 2z ＋z 2x ≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ＝x ＋y ＋z . 又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥1，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值为1.1．排序不等式的本质含义是什么？[提示] 排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大；反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列．2．排序原理的思想是什么？[提示] 在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．【例4】 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[精彩点拨] 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台所用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．[自主解答] 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列， 由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)， 所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t 1＋2t 2＋t 3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？[解] 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(分钟)．即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少．1．设a 1，a 2，a 3为正数，且a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12[解析] 由题意，不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0，∴a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3，当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立． [答案] A2．设a ，b ，c 为正数，P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD ．P ≤Q[解析] 不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2>0. 由排序不等式得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a . ∴P ≥Q . [答案] B3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定[解析] 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A ＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C＋2sin C cos A )＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝a ＋b ＋c2＝P .[答案] C4．若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．[解析] 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28. [答案] 32 285．已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3.[证明] ∵a ≥b ≥c ≥0，∴a 5≥b 5≥c 5， 1c ≥1b ≥1a＞0，∴1bc ≥1ac ≥1ba，∴1b 3c3≥1a 3c3≥1b 3a3，由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3， ∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3.。
高三数学柯西不等式与排序不等式及其应用知识点分析人教新课标A版
柯西不等式与排序不等式及其应用目标认知学习目标：1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之间的关系．2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用．重点难点：利用柯西不等式求最值.知识要点梳理知识点一：柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。
（2）代数形式：①若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；②若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；③若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。
2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。
3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。
知识点二：排序不等式（又称排序原理）设为两组实数，是的任一排列，则≤≤当且仅当时，反序和等于顺序和。
注意：（1）设为两组实数，是的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称为这两个实数组的反序积之和简称反序和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；（2）反序和≤乱序和≤顺序和．（3）学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．规律方法指导（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
(word完整版)高中数学-柯西不等式与排序不等式(2021年整理)
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3。
1 3。
2 柯西不等式1。
二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=…。
=2()0ad bc -≥定理:若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+。
变式：222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ (当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠) 变式：222212121()n n a aa a a a n++≥++⋅⋅⋅+。
定理：设,αβ是两个向量,则||||||αβαβ≤。
等号成立?(β是零向量，或者,αβ共线)练习：已知a 、b 、c 、d为实数，求证。
18学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.3平均值不等式(选学)2.4最大值与最小值问
解析：
1 1 2 2 x ＋ 2 2＋4y y x
1 ＝ 1 ＋ 4 ＋ 4x y ＋ 2 2 ≥1 ＋ 4 ＋ xy
2 2
1 1 2 2 2· 4x y ·2 2＝9，当且仅当 4x y ＝ 2 2时等号成立，即|xy| xy xy
2 2
2 ＝ 时等号成立． 2
利用基本不等式求最值
[例 1]
1 9 已知 x＞0，y＞0，且x＋ y＝1，
求 x＋y 的最小值．
[思路点拨 ]
本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵
活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形， 然后再利用基本不 等式求得和的最小值．
[精解详析] 1 9 法一：∵x＞0，y＞0，x＋y ＝1，
1 9 y 9x ∴x＋y＝(x＋ y)(x＋y)＝x＋ y ＋10 ≥6＋10＝16. y 9x 1 9 当且仅当x＝ y ，又x＋ y＝1， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号． 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
[小问题· 大思维]
a＋b 1．利用基本不等式 ≥ ab求最值的条件是什么？ 2
提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正； (2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．
2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有 最小值．当且仅当三个正数相等时取得.
[ 思路点拨 ]
本题考查三个正数的算术 —几何平均不等式
在求最值中的应用． 解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几 何平均不等式的条件，然后再求解．
[精解详析] ∵y＝x(1－x2)， 1 ∴y ＝x (1－x ) ＝2x (1－x )(1－x )·. 2
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第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用知识整合与阶段检测[对应学生用书P36][对应学生用书P36]利用柯西不等式证明不等式(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：a1b1＝a2b2＝…＝anbn .这里某一个b i 为零时，规定相应的a i 为零．(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．[例1] 若n 是不小于2的正整数，求证： 47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. [证明] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋...＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以求证式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22. 由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]≥n 2， 于是1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≥n2n ＋1＋n ＋2＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47，又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜ 12＋12＋…＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋12＋1n ＋22＋…＋12n 2＜n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22.[例2] 设a ，b ，c ∈R ＋，且满足abc ＝1，试证明：1a3b ＋c＋1b3a ＋c＋1c3a ＋b ≥32.[证明] ∵abc ＝1，则所求证的不等式变为 b2c2ab ＋ac ＋a2c2ba ＋bc ＋a2b2ac ＋bc ≥32. 又(ab ＋bc ＋ca )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ac ＋bc ·ac ＋bc ＋bc ab ＋ac ·ab ＋ac ＋ac ba ＋bc ·ba ＋bc 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b2ac ＋bc ＋b2c2ab ＋ac ＋a2c2ba ＋bc [(ac ＋bc )＋(ab ＋ac )＋(ba ＋bc )]，∴a2b2ac ＋bc ＋b2c2ab ＋ac ＋a2c2ba ＋bc ≥12(ac ＋bc ＋ab )≥ 12·33a2b2c2＝32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 原不等式得证.利用柯西不等式求最值利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．[例3] 若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 2＋5x 23＋x 24的最小值是( ) A ．78215B ．15782C ．3D ．253[解析] ∵⎝⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16(3x 21＋2x 2＋5x 23＋x 24) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫53×3x1＋32×2x2＋－75×5x3＋4×x42＝(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1，∴3x 21＋2x 2＋5x 23＋x 24≥15782. [答案] B[例4] 等腰直角三角形AOB 的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置．[解] 分别取OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．则AB 的方程为x ＋y ＝1，2Py 12＋2P x 12＝S 为S 为公共顶点的三个三角形的面积和P ，则以)P y ，P x (P 点坐标为P 记，2)P y －P x －(112＋ .2)P y －P x －(1＋2P y ＋2P x ＝S 2 由柯西不等式，得)21＋21＋2](12)P y －P x －(1＋2P y ＋2P x [，2)]P y －P x －(1＋P y ＋P x ≥[ .16≥S 所以，≥1S 6＝×3S 2即 ，等号成立，时1－xP －yP1＝yP 1＝xP 1当且仅当 .16最小，且最小值为S 时，面积和13＝P y ＝P x 即 .16时，这三个三角形的面积和取最小值⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13点坐标为P 从而 ，求7的最大值是z ＋y ＋x ，且>0)a (a ＝2z 9＋2y 4＋2x 满足z 、y 、x 已知实数 5]例[a 的值．[解] 由柯西不等式：≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132]2)z (3＋2)y (2＋2x [ ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z .2，>0)a (a ＝2z 9＋2y 4＋2x 因为 .7a 6≤z ＋y ＋x ≤7a 6，即－2)z ＋y ＋x ≥(a 4936所以 ，36＝a 得，7＝7a6所以，7的最大值是z ＋y ＋x 因为 ，取最大值z ＋y ＋x ，时47＝z ，97＝y ，367＝x 当 所以a ＝36.排序不等式的应用(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．(2)注意等号成立的条件．[例6] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.[证明] 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，①又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有 0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.②由①、②得原不等式成立.利用平均值不等式求最值1．求函数的最值在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．[例7] 已知0＜x ＜13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )，∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0，x ＞0. ∴y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )≤13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112. 当且仅当3x ＝1－3x 即x ＝16，y 有最大值112.[例8] 若a >b >0，则代数式a 2＋1b a －b的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 依题意得a －b >0，所以代数式a 2＋1b a －b ≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 2＋4a2≥2a2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b>0，a2＝4a2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b的最小值是4，选C.[答案] C[例9] 某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．[对应学生用书P38]一、选择题1．若α为锐角，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α的最小值为( )A ．2＋3 3B ．3＋2 2C ．2D ．3解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin αcos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2α2≥(1＋2)2＝3＋2 2.答案：B2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56B ．65C ．2536D ．3625解析：2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.答案：B3．设x 、y 、z ，满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值是( ) A ．3 2 B ．4 C.322 D ．6 解析：构造两组数：x ，2y ，3z 和1，2，3，由柯西不等式得[x 2＋(2y )2＋(3z )2][12＋(2)2＋(3)2]≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤18，∴x ＋2y ＋3z ≤32，当且仅当x ＝y ＝z ＝22时取等号． 答案：A4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品3件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则至少要花( )A ．17元B ．19元C ．21元D ．25元解析：由排序原理可知：花钱最少为：1×5＋2×3＋3×2＝17(元)． 答案：A 二、填空题5．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 解析：设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则0<1an ≤1an －1≤…≤1a1，∵反序和≤乱序和≤顺序和，∴最小值为反序和a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ＝n .答案：n6．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.解析：由题意知，等候的总时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41. 答案：417．函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值为________．解析：y ＝2x ＋91－2x ＝222x ＋321－2x＝⎝⎛⎭⎪⎫222x ＋321－2x [2x ＋(1－2x )]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ×2x ＋31－2x ×1－2x 2＝25，当且仅当x ＝15时取等号．答案：258．已知a ，b ，x ，y ＞0，且 ab ＝4，x ＋y ＝1，则(ax ＋by )·(bx ＋ay )的最小值为________．解析：[(ax)2＋(by)2]·[(bx)2＋(ay)2]≥(ax ·bx ＋by ·ay)2＝(ab ·x ＋ab ·y )2＝ab (x ＋y )2＝ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．答案：4 三、解答题9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 解：由柯西不等式得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时等号成立，此时最小值为16.10．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值． 解：(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·3＋2b ·1＋3c ·132＝(3a ＋2b ＋c)2. ∴(3a ＋2b ＋c)2≤1323.∴3a ＋2b ＋c ≤1333.当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13.∴3a ＋2b ＋c 有最大值1333.11．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋3z 对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．解：根据柯西不等式，有(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤1×14＝14， 则－14≤x ＋2y ＋3z ≤14. 又∵|a －1|≥x ＋2y ＋3z 恒成立， ∴|a －1|≥14.则a －1≥14或a －1≤－14， 即a ≥1＋14或a ≤1－14. 所以a 的取值范围为(－∞，1－14]∪[1＋14，＋∞)．[对应学生用书P51](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分))(的最小值为2b ＋2a ，则10＝b 2＋a 均为正实数，且b ，a ．已知1 A ．5B ．10C ．20D ．30 解析：根据柯西不等式有100.＝2)b 2＋a )≥(22＋)(12b ＋2a ( 时取等号．2＝b 2＝a ，当且仅当≥202b ＋2a ∴ 答案：C2．已知x >0，y >0，且4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 C.，故选≤3xy ∴，≤612xy ∴，12xy ≥2y 3＋x 4解析：由 答案：C) (的最小值为1)＞x (⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋52log ＝y ．函数3 A ．－3B ．3C ．4D ．－4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋52log ＝y ，0＞1－x ⇒1＞x 解析： 3.＝82log ＝6)＋(22≥log ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋62log 答案：B)(的最小值是x39＋x24＋x11＝m 取不同的正整数，则3x ，2x ，1x ．设4 A ．1B ．2116．C4936．D 的一个排列且满足3x ，2x ，1x 是3a ，2a ，1a 解析：设 ，132＞122＞1∵，又≥33a ，≥22a ，≥11a ∴.3a ＜2a ＜1a 时取等号．3＝2x ，2＝2x ，1＝1x 当且仅当116＝13＋12＋≥1x39＋x24＋1x ∴ 答案：C)(的最大值为y 4＋x 3则4.＝22)－y (＋21)－x (．已知5 A ．1B ．10C ．11D ．21 ，22)]－y 4(＋1)－x )≥[3(24＋2](322)－y (＋21)－x [(∵解析： ≤100.211)－y 4＋x (3即 ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 时取等号．y －24＝x －13当且仅当 答案：D的最大值为a 恒成立，则实数y ，x 对任意正实数a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y )y ＋x (．已知不等式6( )A ．2B ．42．C16．D时等号成立，1＝y ＝x ，当且仅当4＝21)＋≥(1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y )y ＋x (解析：因为 B.，故应选≤4a 恒成立，则y ，x 对任意正实数a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y )y ＋x (因此若不等式 答案：B)(的最小值是2z ＋2y ＋2x ，则6＝z 5＋y 3＋x ．已知7 65．A635．B3635．C6．D 112＋32＋52)·2z ＋2y ＋2x )·(25＋23＋2(1＝2z ＋2y ＋2x 解析：由柯西不等式，得时取等号．635＝z 5＝y 3＝x 当且仅当3635＝135×26＝135×2)z 5×＋y 3×＋x ≥(1× 答案：C)(的取值范围是y 2＋x 3，则≤22y 2＋2x 3．已知8 ]5，[0．A0]，5－[．B ] 10，10－[．C5,5]－[．D 10≤32＋22·3x2＋2y2|≤y 2＋x |3解析： .10≤y 2＋x ≤310－∴ 答案：C) (的最大值是c 2＋b ＋a 则，1＝c 4＋b ＋a ，为正数c ，b ，a 设．9 5．A3．B32．C32．D 2)c (2＋2)b (＋2)a (＝c 4＋b ＋a ＝1：解析 )21＋21＋2]·(12)c (2＋2)b (＋2)a [(13＝ ，13·2)c 2＋b ＋a ≥( ，≤32)c 2＋b ＋a (∴ .3即所求最大值为 答案：B的最小值为c ＋b ＋a 2则，32－4＝bc ＋)c ＋b ＋a (a 且，>0c ，>0b ，>0a 若．10( )1 －3．A 1＋3．B 2＋32．C2－32．D ，32－4＝)c ＋a )(b ＋a (＝bc ＋)c ＋b ＋a (a ∵：解析 且a ＋b >0，a ＋c >0，a ＋ba ＋c)≥2c ＋a (＋)b ＋a (＝c ＋b ＋a 2∴ 时等号成c ＝b 即，c ＋a ＝b ＋a 当且仅当1)(－32(＝3－122＝4－232＝立)，D.故选，2－32的最小值为c ＋b ＋a 2∴ 答案：D二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分) ．________的最大值是2x －3＋2－x 2＝y ．函数11 2x －3＋4－2x ×2＝y ：解析 ，3＝[22＋1]4－2x ＋2x －3≤ 时取等号．53＝x 当且仅当 3：答案 的最小值为2c 9＋2b 4＋2a 则，6＝c 3＋b 2＋a ，R ∈c ，b ，a 已知)湖南高考(．12________．＝2·1)c 3＋·1b 2＋·1a )≥(21＋21＋2)·(12c 9＋2b 4＋2a (得，由柯西不等式：解析12.的最小值为2c 9＋2b 4＋2a 从而，≥122c 9＋2b 4＋2a 故，36 答案：12．________的最大值是1－4y 2x 则，1＝2y 2＋2x 已知．13 1.＝2y ＋2y ＋2x ∴，1＝2y 2＋2x ∵：解析 ，1－2y ·2y ·2x ＝1－4y ·2x 又 ，127＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2＋y2＋y23≤2y ·2y ·2x ∵ .2627＝－1－1271≤－4y 2x ∴时取等号．13＝2y ＝2x 当且仅当2627－1≤－4y 2x 即 .2627－的最大值是1－4y 2x ∴ 2627：－答案 ．________的最大值是6－x 2＋x －5＝y 函数．14 12＋22≤6－x 2×＋x －51×＝y 知，根据柯西不等式：解析.5＝x －52＋6－x 2×5：答案 三、解答题(本大题共有4小题，共50分) ，求证：＋R ∈c ，b ，a 设)分12本小题满分(．15 1a3＋b3＋abc .1abc ≤1c3＋a3＋abc ＋1b3＋c3＋abc ＋，3b ≥3a ，则>0c ≥b ≥a 证明：设 ，)b ＋a (ab ＝a 2b ＋b 2a ≥b ·2b ＋a ·2a ＝3b ＋3a ∴ ，)a ＋c (ac ≥3a ＋3c ，)c ＋b (bc ≥3c ＋3b 同理： ＋1bcb ＋c ＋abc ＋1aba ＋b ＋abc ≤1c3＋a3＋abc ＋1b3＋c3＋abc ＋1a3＋b3＋abc ∴1cac ＋a ＋abc.1abc＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ·1a ＋b ＋c ＝的最小值．z ＋y 2＋x 3，求1817＝2z 3＋2y 2＋2x 已知)分12本小题满分(．16 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫132)2z 3＋2y 2＋2x (解： ，2)z ＋y 2＋x (3＝2⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·13≥ 2)z ＋y 2＋x (3∴ 12.＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132)2z 3＋2y 2＋2x ≤( .3≤2z ＋y 2＋x ≤332－∴.32－最小值为，取最小值z ＋y 2＋x 3时317＝－z ，3317＝－y ，9317＝－x 当且仅当 17．(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，≥3.2r ＋2q ＋2p 求证： 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，，9＝2)r ＋q ＋p (＝2×1)r ＋×1q ＋×1p )≥(21＋21＋2)(12r ＋2q ＋2p (所以 ≥3.2r ＋2q ＋2p 即 ，求1＝n α＋…＋2α＋1α满足n α，…，2α，1α设非负实数)分14本小题满分(．18的最小值．n －22－αn＋…＋22－α2＋22－α1＝y 解：为了利用柯西不等式，注意到 )n α－(2＋…＋)2α－(2＋)1α－(2 ，1－n 2＝)n α＋…＋2α＋1α(－n 2＝ ⎝⎛⎭⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn 1)－n (2所以 ⎝⎛12－α1＋)]·n α－(2＋…＋)2α－(2＋)1α－[(2＝⎭⎪⎫12－α2＋…＋12－αn ⎝⎛2－α1·12－α1＋2－α2·≥⎭⎪⎫12－α2＋…＋2－αn ·12－αn ，2n ＝2.n 2n －1＝n －2n22n －1≥y ，2n22n －1≥n ＋y 所以 .n2n －1有最小值y 时等号成立，从而1n ＝n α＝…＝2α＝1α当且仅当。