全国卷文科数学试题汇编(2)函数

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全国卷文科2010-2017高考真题整理-------函数

全国卷2010----2017文科数学高考真题-------函数（2017新课标3）7．函数2sin 1x y x x =++的部分图像大致为 12．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．11621．（12（1（2（2017A ．(1421．（12（1）讨论的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.（2017新课标1）8．函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．9A ．f C ．y =14．曲线21．（12（1（2（2016新课标3）（7）已知4213332,3,25a b c ===，则(A)b a c << (B)a b c << (C)b c a << (D)c a b <<（16）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________.（21）（本小题满分12分）设函数()ln 1f x x x =-+．（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<；（x（2016（ (12)x 1,y 1），(x 2,(20)(((（2016新课标1）（8）若a >b >0，0<c <1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b（9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C（12（A （21（（2015DA 运动,记BOP ∠12.A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a =．16.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a =．21.（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.（2015（A （12a =()（A ）1-1421.（I （II （201415．偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________．（2014新课标1）5.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A.)()(x g x f 是偶函数B.)(|)(|x g x f 是奇函数C.|)(|)(x g x f 是奇函数D.|)()(|x g x f 是奇函数12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 ()2,+∞（B ）()1,+∞（C ）(),2-∞-（D ）(),1-∞-15.21.0 （1）求（2（2014f (9)=()A.－21.（1（2（2013（A ）a ＞c ＞b （B ）b ＞c ＞a （C ）c ＞b ＞a （D ）c ＞a ＞b11.已知函数f(x)=32x ax bx c +++,下列结论中错误的是（）（A ）∃0x R ∈,f(0x )=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若0x 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,0x ）单调递减（D ）若0x 是f （x ）的极值点，则'f (0x )=012.若存在正数x 使2x （x-a ）＜1成立，则a 的取值范围是（）（A ）（-∞，+∞）（B ）(-2,+∞)(C)(0,+∞)(D)（-1，+∞）（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值。

2020年高考数学真题汇编2 函数与方程理( 解析版)

2020高考真题分类汇编：函数与方程一、选择题1.【2020高考真题重庆理7】已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“()f x 为]4,3[上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件（B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件（D ）充要条件【答案】D【解析】因为)(x f 为偶函数，所以当)(x f 在]1,0[上是增函数，则)(x f 在]0,1[-上则为减函数，又函数)(x f 的周期是4，所以在区间]4,3[也为减函数.若)(x f 在区间]4,3[为减函数，根据函数的周期可知)(x f 在]0,1[-上则为减函数，又函数)(x f 为偶函数，根据对称性可知，)(x f 在]1,0[上是增函数，综上可知，“)(x f 在]1,0[上是增函数”是“)(x f 为区间]4,3[上的减函数”成立的充要条件，选D.2.【2020高考真题北京理8】某棵果树前n 前的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。

m 值为（）A.5B.7C.9D.11 【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C 。

3.【2020高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（）()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1()D ()f x x =-【答案】C【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。

【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件．4.【2020高考真题天津理4】函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】B【解析】因为函数22)(3-+=x x f x的导数为032ln 2)('2≥+=x x f x，所以函数22)(3-+=x x f x 单调递增，又0121)0(<-=-=f ，01212)1(>=-+=f ，所以根据根的存在定理可知在区间)1,0(内函数的零点个数为1个，选B. 5.【2020高考真题全国卷理9】已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x 【答案】D【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.6.【2020高考真题新课标理10】已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（）【答案】B【解析】排除法，因为022ln 1)2(<-=f ，排除A.02ln 12121ln 1)21(<=+=-e f ，排除C,D ，选B.7.【2020高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. 1y x =+B. 2y x =- C. 1y x=D. ||y x x = 【答案】D.【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A 非奇非偶的增函数；B 是奇函数且是减函数；C 是奇函数且在)0,(-∞，),0(+∞上是减函数；D 中函数可化为⎩⎨⎧<-≥=0,0,22x x x x y 易知是奇函数且是增函数.故选D. 8.【2020高考真题重庆理10】设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B I 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π【答案】D【解析】由0)1)((≥--x y x y 可知⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010x y x y 或者⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-010x y x y ，在同一坐标系中做出平面区域如图：，由图象可知B A I 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为2π，选D. 9.【2020高考真题山东理3】设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数xa x f =)(在R 上为减函数，则有10<<a 。

函数--2023高考真题分类汇编完整版

函数--高考真题汇编第二节函数的基本性质1.（2023全国甲卷理科13，文科14）若()21sin 2y x ax x π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则a =.【分析】利用偶函数的性质得到22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【解析】因为()()()221sin 1cos 2y f x x ax x x ax x π⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221cos 1cos 222222a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2211222a ππ⎛⎫⎛⎫π=+--=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故a =2，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos 1cos f x x x x x f x -=-++-=++=，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为2.2.（2023全国乙卷理科4，文科5）已知()e e 1xax x f x =-是偶函数，则a =（）A.2- B.1- C.1D.2【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为()e e 1xax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x xx x axax ax x x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a xx --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选D.3.（2023新高考I 卷11）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）A.()00f = B.()10f = C.()f x 是偶函数D.0x =为()f x 的极小值点【解析】选项A ，令0x y ==，则()00f =，故A 正确；选项B ，令1x y ==，则()()()111f f f =+，所以()10f =，故B 正确；选项C ，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，因为()10f =，所以()10f -=，令1y =-，则()()()()21f x f x x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；选项D ，对式子两边同时除以220x y ≠，得到()()()2222f xy f x f y x y x y=+，故可以设()20,0ln ,0x f x x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，当0x >时，()2ln f x x x =，()()212ln 2ln 1f x x x x x x x'=+⋅=+，令()0f x '>，解得12ex ->，令()0f x '<，解得120e x -<<，故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.又()f x 是偶函数，所以()f x 在12e ,0-⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在12,e -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减.()f x 的图像如图所示，所以0x =为()f x 的极大值点，故D 错误.故选ABC.4.（2023新高考II 卷4）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（）A.1- B.0 C.12D.1【解析】()()2111ln ,,,2122x f x x a x x -⎛⎫⎛⎫=+∈-∞-+∞ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()2121lnln 2121x x f x x a x a x x --+-=-+=-+-+-.因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-，即()()()212121lnln ln 212121x x x x a x a x a x x x -+-+=-+=-+-+，所以有x a x a +=-，得0a =.故选B.5.（2023北京卷4）下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x=- B.()12xf x =C.()1f x x=-D.()13x f x -=【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可.【解析】对于A ，因为ln y x =在()0,+∞上单调递增，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,+∞上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,+∞上单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减，所以()12x f x =在()0,+∞上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x =在()0,+∞上单调递减，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()1f x x=-在()0,+∞上单调递增，故C 正确；对于D，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,+∞上不单调，D 错误.故选C.6.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x a f x a x a x a+<-⎧=-->⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a -，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<-，此时，1211MN y y >->>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.第三节幂函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c>>D ．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.第四节指数与指数函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c>>D ．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.2.（2023全国甲卷文科11）已知函数()()21ex f x --=.记22a f ⎛= ⎝⎭，32b f ⎛= ⎝⎭，62c f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112222⎛---=- ⎝⎭，而22491670-=+=>，所以631122->-由二次函数性质知63())22g g <，241122⎛---= ⎪⎝⎭，而22481682)0+-=+-==-<，即1122-<-，所以())22g g >，综上，(())222g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选A.3.（2023新高考I 卷4）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【解析】令()t x x a =-，要使得()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，需要满足()t x x a =-在区间()0,1单调递减，所以12a≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选D.4.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.第五节对数与对数函数1.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.2.（2023新高考I 卷10）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（）A.12p p ≥ B.2310p p > C.30100p p = D.12100p p ≤【解析】选项A ，12121120000220lg 20lg 20lg lg 20lg 0p p p p pL L p p p p p ⎛⎫-=⨯-⨯=⨯-=⨯≥ ⎪⎝⎭，所以12p p ≥，所以A 正确；选项B ，223320lg10p LL p -=⨯≥，所以231lg 2p p ≥，所以23p p ≥B 错误；选项C ，33020lg40p L p =⨯=，所以30lg 2p p =，所以30100pp =，故C 正确；选项D ，112220lg 905040p L L p -=⨯≤-=，所以12lg 2p p ≤，所以12100pp ≤，故D 正确.故选ACD.第六节函数的图像及应用1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.2.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x af x a x a x a+<-⎧=-->⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a -，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<-，此时，1211MN y y >->>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.A ．()25e e 2x x x --+B ．25sin 1x x +【分析】由图知函数为偶函数，先判断函数的奇偶性排除选项；再判断函数在函数符号排除选项，即得答案.【解析】由图知：函数图象关于第七节函数与方程1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1 B.2 C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.。

专题2-函数与导数-数学(文科)-全国卷地区专用

探究
＝12(x＋1)(1－x－1)＝－x（x2＋1）.
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第5讲函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质
► 考点二函数的基本性质
考
点
考向
题型：选择，填空
分值：5分
探
难度：中等
究
热点：单调性与奇偶性
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第5讲函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质
例 2 (1)[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数 f(x)，g(x)的定
义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论
聚焦
log12x，x≥1，的值域② 为_____．
2x， x<1
主干知识
⇒ 函数的概念与表示
关键词：定义域如①、值域如②、解析式．
[答案] (－∞，2)
[解析] 函数 y＝log12x 在区间(0，＋∞)上为减函数，当 x≥1
时，函数 y＝log12x 的值域为(－∞，0]；函数 y＝2x 在 R 上是增函数，当 x<1 时，函数 y＝2x 的值域为(0，2)．所以原函数的值域为(－∞，2)．
究选 C.
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第5讲函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质
[小结] 函数概念的核心是定义域和对应关系，求由解析式给出的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合．分段函数求值时注意由内到外逐次计算，在计算时要注意自变量的取值在函数的哪个段上．
考点考向探究
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第5讲函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质
[答案] (－1，0) [解析] 因为函数 y＝logax 恒过点 (1，0)，所以函数 y＝loga(x＋2)恒过点 (－1，0)．
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(全国卷II)(含答案)高考文科数学(2)(20200626150236)

f(x1))，
(x2，
22．已知抛物线 C：y＝(x＋1)2与圆 M：(x－1)2＋(y－ 1 )2＝r 2(r＞0)有一个公 2
共点 A，且在 A处两曲线的切线为同一直线 l . (1)求 r； (2)设 m， n是异于 l且与 C及M都相切的两条直线， m， n的交点为 D，
求 D到l的距离．
所以 a2
1 ， S2
1 1
3.
2
22
显然只有 B 项符合．
7． C 由题意可采用分步乘法计数原理，
甲的排法种数为
A
1 4
，
剩余 5 人进行全排列：
A
5 5
，
故总的情况有：
A
1 4
·A
5 5
＝
480
种．故选
C
项．
8． D 连结 AC交BD于点 O，连结 OE， ∵ AB=2， ∴ AC 2 2 .
5
∴ sin2
2sin cos
3 2
4
55
24 .故选 A项．
25
5． C ∵焦距为 4，即 2c＝4， ∴c＝2. 又 ∵准线 x＝－ 4， ∴ a2 4 .
c
∴ a2＝ 8.∴b2＝a2－ c2＝ 8－ 4＝4. ∴ 椭圆的方程为 x2 y2 1 ，故选 C 项．
84
5
6． B 当 n＝1 时， S1＝ 2a2，又因 S1＝a1＝1，
又 2c 2 a2 b2 4 ，
∴ 由余弦定理可得
cos∠ F1PF2＝ | PF1 |2 | PF2 |2 4c2 3 .
2 | PF1 || PF2 |
4
11． D ∵ x＝ln π＞ 1， y＝log52＞ log 5 5 1 ，

专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(解析版)

( π )2
=
4
+ 2π π2
1,
f
(π)
=
π −1+
π2
0 ，可知应为 D 选项中的图象．
2
7．【2019 年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗
星的星等与亮度满足
m2
–
m1
=
5 2
lg
E1 E2
，其中星等为 mk
的星的亮度为
Ek （k=1,2）．已
知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
=
−
1 2
,1
x
2
，其中 k>0.若在区间(0，9]上，关于 x 的方程 f (x) = g(x) 有
8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 ▲ .
【答案】
1 3
,
2 4
【解析】作出函数 f (x) ， g(x) 的图象，如图：
由图可知，函数 f (x) = 1− (x −1)2 的图象与 g(x) = − 1 (1 x 2,3 x 4,5 x 6, 7 x 8) 的图象仅有 2 个交点，即在区间
专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知 a = log2 0.2,b = 20.2, c = 0.20.3 ，则（）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
【答案】B
【解析】 a = log2 0.2 log2 1 = 0, b = 20.2 20 = 1, 0 c = 0.20.3 0.20 = 1, 即 0 c 1, 则 a c b ．故选 B．

高考真题文科数学全国卷IIWord版含解析.doc

继电高中2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学1. 设集合A x | x -1 ， B x | x 2 ，则A B( )A. ( 1, )B. ( ,2)C. ( 1,2)D.答案：C解析：A x | x -1 ，B x | x 2 ，∴ A B （1,2）.2. 设 z i(2 i ) ，则z ( )A. 12iB. 1 2iC.1 2iD. 1 2i答案：D解析：因为 z i (2 i ) 1 2i ，所以z 1 2i .r(2,3) r r r3. 已知向量 a ， b (3,2) ，则 a b （）A. 2B. 2C. 5 2D. 50答案：A解答：r r r r由题意知 a b ( 1,1)，所以 a b2 .4.生物实验室有 5只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标.若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有2 只测量过该指标的概率为（）2A.33B.52C.51D.5答案：B解答：计测量过的 3 只兔子为1、2、3，设测量过的 2 只兔子为 A 、 B 则 3 只兔子的种类有(1,2,3) (1,2, A) (1,2, B) (1,3, A) (1,3, B) (1,A, B) 2,3, A 2,3, B 2, A, B 3, A, B,则恰好6种，所以其概率为3有两只测量过的有5 .5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高 .乙：丙的成绩比我和甲的都高 .丙：我的成绩比乙高 .成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案：A解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.6.设f (x)为奇函数，且当x 0 时， f ( x) e x1，则当 x 0 时， f ( x)（）A. e x 1B. e x 1C. e x 1D. e x 1答案：D解答：当 x 0 时， x 0 ， f ( x) e x 1，又 f (x) 为奇函数，有 f ( x) f ( x) e x 1 .7. 设, 为两个平面，则/ / 的充要条件是 ( )A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C., 平行于同一条直线D., 垂直于同一平面答案：B解析 :根据面面平行的判定定理易得答案.8. x1 , x2 3f ( x) sin x(0)两个相邻的极值点，则= 4 是函数若 4 A．2B. 3 2C.11D. 2答案：A解答：T 3T= ,所以=2 .由题意可知 2 4 4 2 即9. 若抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点是椭圆x2 y2 1 的一个焦点，则p （）3 p pA.2B.3C.4D.8答案：D解析：抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点是(p,0)，椭圆x2y2 1 的焦点是( 2 p ,0) ，2 3 p p∴ p2 p ，∴ p 8 . 210. 曲线 y 2sin x cos x 在点 ( , 1) 处的切线方程为( )A. x y 1 0B. 2x y 2 1 0C. 2x y 2 1 0D. x y 1 0答案：C解析：因为 y 2cos x sin x ，所以曲线 y 2sin x cos x 在点 ( , 1) 处的切线斜率为 2 ，故曲线y 2sin x cos x 在点 ( , 1) 处的切线方程为2x y 2 1 0 .11.已知(0, ) ，2sin 2cos21，则 sin（）2A.155 B.53C.3D.2 55答案： B 解答：(0,2 ) ， 2sin 2cos 214sin cos2cos 2 ，则 2sincostan1 ，所以 cos 1 12 5 ，2tan 25所以 sin1 cos 25 .5C :x 2y212. 设 F 为双曲线 221(a 0,b0)ab的右焦点， 0 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x 2y2a 2 交于P,Q两点，若PQ OF, 则 C 的离心率为 :A.2B. 3C. 2D. 5 答案： A解析：设 F 点坐标为（ c,0) ，则以 OF 为直径的圆的方程为（ xc ) 2c 2y 2 ----- ①，222圆的方程 x2 y 2 a2 ----- ②，则① - ②，化简得到x a 2 ，代入②式，求得y ab ，则c c设 P 点坐标为（a2 ,ab) ，Q点坐标为（a2,ab) ，故PQ2ab，又 PQ OF ,则c c c c c2ab2ab c 2 a 2 2 a b ，故e c a2 b2 2a2 .故选c, 化简得到 b ，a a a cA.二、填空题2x 3y 6 0 13. 若变量x, y满足约束条件x y 3 0z 3x y的最大值是.y 2 0则答案：9解答：根据不等式组约束条件可知目标函数z3x y 在3,0处取得最大值为9.14.我国高铁发展迅速，技术先进 . 经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为 0.97 ，有 20 个车次的正点率为0.98 ，有 10 个车次的正点率为0.99 ，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.答案：0.98解答：平均正点率的估计值0.97 10 0.98 20 0.99 1040 0.98.15.ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b, c.已知 b sin A a cosB 0 ，则B .答案：34解析：根据正弦定理可得sin B sin A sin AcosB 0,即 sin A sin B cos B 0 ，显然 sin A 0 ，所以 sin B cosB 0 ，故B 3. 416. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图 2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1. 则该半正多面体共有个面，其棱长为.(本题第一空 2 分，第二空 3 分 .)答案：262 1解析：由图 2 结合空间想象即可得到该正多面体有26 个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.三、解答题17. 如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上， BE⊥ EC1.（ 1）证明：BE平面 EB1C1（ 2）若AE AE1 , AB 3 ,求四棱锥E BB1C1C 的体积.答案：（1）看解析（2）看解析解答：（ 1）证明：因为B1C1C 面 A1 B1 BA ，BE 面 A1B1BA∴ B1C1⊥ BE 又 C1 E B1C1 C1，∴ BE 平面 EB1C1；（ 2）设AA1 2a 则 BE2 9 a2 ， C1E 2 18+a 2 ， C1 B2 9 4a22 =BE 2 C1E 2 ∴ a，∴ 1 1因为 C1B 3 V E BB1C1CSBB1C1Ch 3 6 3=183 318. 已知a n 是各项均为正数的等比数列，a1 2, a3 2a 2 16 .(1)求 a n的通项公式：(2) 设 b n log 2 a n，求数列 b n 的前 n 项和 .答案：（ 1）a n 22 n 1 ；（ 2）n2解答：(1) 已知 a1 2, a3 2a2 16 ，故 a1 q2 2a1q 16 ，求得 q 4 或 q 2 ，又 q 0 ，故q 4 ，则 a n a1q n 1 2 4n 1 22 n 1 .(2) 把 a n代入 b n，求得 b n 2n 1，故数列b n 的前 n 项和为[1(2n 1)]n n 2.219. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组0.20,0 0,0.20 0.20,0.40 0.40,0.60 0.60,0.80 企业数 2 24 53 14 7 （ 1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） . （精确到 0.01 ）附：748.602 .答案：详见解析解答 :（ 1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721，100100这类企业中产值负增长的企业比例是2.100（ 2）这类企业产值增长率的平均数是0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7 1000.30这类企业产值增长率的方差是0.1022 0.10 0.3020.30 0.3020.50 0.30 20.70 0.30 2100 0.02960.3024 53 14 7 所以这类企业产值增长率的标准差是0.02962 742 8.602 0.172040.17 .100 10020. 已知 F 1 , F 2 是椭圆 C ： x 2 y 21(a 0,b 0) 的两个焦点， P 为 C 上的点， O 为坐标 2 b 2a原点 .（ 1）若 POF 2 为等边三角形，求 C 的离心率；（ 2）如果存在点 P ，使得 PF 1 PF 2 ，且 F 1 PF 2 的面积等于 16 ，求 b 的值和 a 的取值范围 . 答案：详见解析解答 :（ 1）若 POF 2 为等边三角形，则 P 的坐标为c 3x 2 y 2,2 c ，代入方程22 1，可得2a bc 2 3c 2 1，解得 e 2 4 2 3 ，所以 e31 .4a 24b 2uuuuruuuuruuur 2 uuuur 2 4c 2 ，（ 2）由题意可得PF 1PF 2 2a ，因为 PF 1 PF 2 ，所以 PF 1 PF 2uuuruuuur2uuur uuuuruuur uuuur4a24c24b2，所以 PF 1PF 22 PF 1 PF 24c 2，所以 2 PF1PF 2uuur uuuur2SPF 1F 2 1 uuur uuuurb 216b 4 .所以PF 1 PF 2 2b ，所以 2 PF 1 PF 2 ，解得uuuruuuuruuur uuuuruuur uuuuruuur uuuur 2 2，即 a 2 因为 PF 1PF 2 4 PF 1 PF 2 ，即 2a 4 PF 1 PF 2 PF 1 PF 2 ，所以 a232 ，所以 a 4 2 .21. 已知函数 f ( x) (x 1)ln xx 1.证明：（ 1） f (x) 存在唯一的极值点；（ 2） f (x) 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.答案：见解析解答：（ 1） f ( x)ln x 1 (x 0) ，设 g( x) ln x1， g (x) 11 0xx xx 2则 g(x) 在 (0,) 上递增， g(1)1 0 ， g (2) ln2 1 lne1 0 ，2 2所以存在唯一 x 0 (1,2) ，使得 f (x 0 ) g ( x 0 ) 0 ，当 0 xx 0 时， g (x) g ( x 0 ) 0，当 x x 0 时， g( x) g( x 0 ) 0，所以 f ( x) 在 (0, x 0 ) 上递减，在 (x 0 , ) 上递增，所以 f ( x) 存在唯一的极值点 .（ 2）由（ 1）知存在唯一 x 0(1,2) ，使得 f (x 0 ) 0 ，即 ln x 01 ，x 0f (x 0 ) ( x 0 1)ln x 0 x 0 1 ( x 0 1)1x 0 1( x 01) 0 ，x 0x 011 1)( 2)11 13221) e 21 e 23 0 ，f ( 2 )( 2 220 ， f (e )2(ee eee所以函数 f ( x) 在 (0, x 0 ) 上， (x 0 , ) 上分别有一个零点 .设 f ( x 1 )f ( x 2 ) 0， f (1) 2 0 ，则 x 1 1 x 0x 2 ，有 ( x 1 1) ln x 1 x 1 1 0ln x 1x 11，x 1 1(x 2 1) ln x 2 x 2 1 0ln x 2x 2 1 ，x 2 1设 h(x)ln x x 1，当 0x, x 1 时，恒有 h( x) h( 1 ) 0 ，x 1x则 h(x 1 ) h( x 2 ) 0 时，有 x 1x 2 1 .四、选做题（ 2 选 1）22. 在极坐标系中，O 为极点，点M ( 0 , 0 ) ( 0 0) 在曲线 C : =4sin 上，直线 l 过点A(4,0) 且与OM垂直，垂足为P .（ 1）当03时，求0及 l 的极坐标方程；（ 2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程 .答案：（ 1）0 2 3 ， l 的极坐标方程：sin(6) 2 ；（ 2）P点轨迹的极坐标方程为=4cos (4 , ) . 2解析：（ 1）当03 时，0 =4sin 0 4sin 2 3 ，3以 O 为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M ( 3,3) ，A(4,0) ，k OM 3 ，则直线 l 的斜率k 3 ，由点斜式可得直线l ： y 3( x 4) ，化成极坐标方程为3 3sin( ) 2；6（ 2）∵l OM ∴OPA ，则 P 点的轨迹为以OA为直径的圆，此时圆的直角坐标方程2为 ( x 2) 2 y 2 4 ，化成极坐标方程为=4cos ，又 P 在线段OM上，由4sin可4cos得，∴ P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ( , ) .4 4 2 23.[ 选修 4-5：不等式选讲 ]已知 f ( x) | x a | x | x 2 | (x a)（ 1）当a 1 时，求不等式 f (x) 0的解集：（ 2）若x( ,1) 时， f ( x)0 ，求 a 得取值范围.答案（1）看解析（2）看解析继电高中- 11 -解答：2x 2 4x 2( x 2),（ 1）当 a1时，f ( x)x 1 x x2 (x1) 2 x 2(1 x 2),2x 2 4x 2( x 1).2x 24x2 0 2 x 2 02x 24x 2解得不等f (x)所以不等式等价于或x 或x 21 2x 1式的解集为 x x 2 。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a .考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是． 2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（） A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）． A ．1-B ．0C ．12D ．16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．538．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a .10．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．12．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f < D ．(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2==f f ，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．【答案】1【答案分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：14．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是．【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-. 故选：B.2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（） A ．()ln f x x =- B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112⎛-= ⎝⎭，而22491670-=+=>，41102⎛-=> ⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知g g <，4112⎛-= ⎝⎭，而22481682)0-=+-=-=-<，112<-，所以(2g g >，综上，(2g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>. 故选：A.4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选：D5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意，故选：D.6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x =-,则()f x （） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x -==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质，属于基础题．考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ，设()22e 1x xf x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =，故答案为：0.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =. 故答案为：2.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =. 故选：D.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）． A ．1- B ．0C ．12D ．1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =，当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-，故此时()f x 为偶函数. 故选：B.6．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ．【答案】 12-； ln 2．【答案分析】根据奇函数的定义即可求出．【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x ¢>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =，故答案为：110．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数；对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点评】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【答案分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【名师点评】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项，先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行答案分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增， (0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减， ,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【名师点评】结论名师点评：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本答案分析判断能力，属中档题.。

文科数学高考真题分类汇编函数综合及其应用答案

x
x
x
16．①③④【解析】对于①，根据题中定义， f (x) A 函数 y = f (x) ，x D 的值域
为 R ，由函数值域的概念知，函数 y = f (x) ， x D 的值域为 R b R, a D f (a) = b ，所以①正确；对于②，例如函数 f ( x) = (1) |x| 的值域(0,1] 包含于区间[−1,1]，
∴ p = −0.2t2 +1.5t − 2 = −0.2(t − 3.75)2 + 0.8125 ∴当 t = 3.75 分钟时，可食用率最大． 7．D【解析】设年平均增长率为 x ，原生产总值为 a ，则 (1 + p)(1 + q)a = a(1+ x)2 ，解得
x = (1+ p)(1+ q) −1 ，故选 D．
4．B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗
油量V = 48 升．而这段时间内行驶的里程数 S = 35600−35000 = 600千米．所以这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 48 100 = 8 升，故选 B．
600 5．B 【解析】采用特殊值法，若 x = 1, y = 2, z = 3, a = 1,b = 2,c = 3 ，则 ax + by + cz = 14 ，
因此人均通勤时间
g(x)
=
30 n x%+ 40 n
n
(2x
+
1800 x
−90)
n
(1− x%) ,
x% +40 n
n
(1
− x %)
0 ,30
x ≤30
，

历年高考文科数学真题汇编+答案解析(2)：函数与导数

数图像上，只有选项 B 符合. 【答案】B 【考点】必修 1 对数函数
15．（2018 全国 III 卷文 9）函数 y x4 x2 2 的图像大致为
-5-
【解析】设 f (x) y x4 x2 2 ，∵ f (0) 2 0 ，因此排除 A、B；
f (x) 4x3 2x 2x(2x2 1) ，由 f (x) 0 得 x 2 或 0 x 2 ，由此可知函数 f (x)
D． (4, )
【解析】令 t g (x) x 2 2x 8(x 2 或x 4) ，
∵ g(x) 2x 2 ，∴ g(x) 在 (, 2) 单调递减，在 (4, ) 单调递增.
∵ f (t) ln t 在 (0, ) 单调递增，可得函数 f (x) ln(x 2 2x 8) 的单调递增区间是 (4, ) .
【考点】选修 1-1 导数及其应用
14．（2018 全国 III 卷文 7）下列函数中，其图像与函数 y ln x 的图像关于直线 x 1 对称的是
A． y ln(1 x) B． y ln(2 x) C． y ln(1 x)
D． y ln(2 x)
【解析】解法一：从图中可以看出，函数 y In(x) 向右平移 2 个单位得到的图像，就是函数 y ln x 的
D．a=e–1， b 1
【解析】 y aex ln x 1，由题意可得， y |x1 ae 1 2 ， ae 2 b ，解得 a e1,b 1.
【答案】D
【考点】选修 1-1 导数及其应用
-2-
7．（2019 全国 III 卷文 12）设 f x 是定义域为 R 的偶函数，且在 0, 单调递减，则
∵ f (2 x) ln(2 x) ln[2 (2 x)] ln(2 x) ln x f (x) ，∴y=f(x)的图像关于直线 x=1 对

全国高考试题汇编函数-文科-答案(02)

所以此时 f (x) 是非奇非偶函数.
（2）设 x2 x2 [1,2] ，
则
f
(x1)
f
(x2 )
a( x1
x2 )(x1
x2 )
x2 x1 x1 x2
( x1
x2 )[a(x1
x2 )
1 x1x2
]
因为 x1 x2 [1,2] ，所以 x1 x2 0 ， 2 x1 x2 4 ，1 x1x2 4 ，
I ' 1 a2 0 ,则 0 a 1 (1 a2 )2
故 I 关于 a 在 (1 k,1) 上单调递增,在 (1,1 k ) 上单调递减.
I1
1-k
1 1- k 2
1- k 2 2k k 2
I2
1 k 1（1 k）2
I min
1- k 2 2k k 2
所以 2
a( x1
x2 ) 12 ，
1 4
1 x1x2
1，
所以 a(x1 x2 )
1 x1 x2
0，
所以 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 ) ，
故函数 f (x) 在[1,2] 上单调递增.
【考点定位】函数的奇偶性、单调性. 【名师点睛】函数单调性的判断
所以
f
(t)
25t 2 42t 18, 3 t 7
8
8.
5
5t,
7 8
t
1
所以当
3 t 1时, f (t) [0, 3
41 ]，故 f (t) 的最大值超过了 3 千米.
8
8
【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.
【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内

全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数.pdf

=
−x2
+
2x,
ln(x +1),
x 0, ,若| f (x) | ax ,则 a 的取值范围是 x0
（）
A． (−, 0]
B． (−,1]
C．[−2,1]
D．[−2, 0]
【答案】D;
21．（2013 年高考陕西卷（文））设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有（）
距学校的距离
距学校的距离
O
时间
A
距学校的距离
O
时间
B
距学校的距离
O
时间
C
O
时间
D
【答案】C
24．（2013 年高考湖南（文））已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等
于____ A． 4 【答案】B 二、填空题
B．3
C．2
D．1
【答案】 (0,1
29．（2013 年高考浙江卷（文））已知函数 f(x)= x-1 若 f(a)=3,则实数 a= ____________.
【答案】10
30．（2013
年高考福建卷（文））已知函数
f
(x)
=
2x3, x 0 − tan x,0
x
2
,则
f
(
f
( 4
))
= ________
学海无涯 2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 2：函数
一、选择题
1 ．（2013 年高考重庆卷（文））函数 y =
1
的定义域为
log2 (x − 2)
（）

2021年高考数学文科试题分类汇编：函数

02 函数一、选择题1．（安徽6）．函数2()(1)1(0)f x x x =-+≤的反函数为（ C ）A ．1()11(1)fx x x -=--≥ B ． 1()11(1)fx x x -=+-≥C ．1()11(2)f x x x -=--≥D ． 1()11(2)f x x x -=--≥2．（安徽9）．设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ A ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数3．（北京2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ A ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．（北京5）函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ B ） A ．1()11(1)fx x x -=+-> B ．1()11(1)fx x x -=-->C ．1()11(1)f x x x -=+-≥ D ．1()11(1)f x x x -=--≥5．（福建4）函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R)，若f (a )=2, 则f (-a )的值为（ B ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 6．（湖南4）函数)0()(2≤=x x x f 的反函数是 ( B ))0()(.1≥=-x x x f A )0()(.1≥-=-x x x fB)0()(.1≤--=-x x x fC )0()(.21≤-=-x x x fD7．（湖南6）下面不等式成立的是 ( A )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<< 8．（江西3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ B ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1)9．（江西4）若01x y <<<，则（ C ）A ．33y x <B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．11()()44x y < 10．（江西12）已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ C ）A ． [4,4]-B ．(4,4)-C ． (,4)-∞D ．(,4)-∞- 11．（辽宁2）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ C ） A ．2-B ．1-C ．1D ．212．（辽宁4）已知01a <<，log log a a x =1log 52a y =，log log a a z =，则（ C ） A ．x y z >> B ．z y x >> C ．y x z >> D ．z x y >>13．（全国Ⅰ1）函数y = D ）A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤14．（全国Ⅰ2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ）15．（全国Ⅰ8）若函数()y f x =的图象与函数1y =的图象关于直线y x =对称，则()f x =（ A ） A ．22e x -B ．2e xC ．21e x +D ．2+2e x16．（全国Ⅱ4）函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称17．（全国Ⅱ5）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a18．(山东3) 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ A ）A ．B ．C ．D ．19．(山东5) 设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ A ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．1820．(山东12) 已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ A ） A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<-D ．1101a b --<<<21．(天津3 ) 函数1(04)y x x =+≤≤的反函数是（ A ）A ．2(1)(13)y x x =-≤≤ B ．2(1)(04)y x x =-≤≤ C ．21(13)y x x =-≤≤D ．21(04)y x x =-≤≤22．(天津10) 设1a >，若对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值的集合为（ B ）23．(重庆6)函数y =10x 2-1 (0＜x ≤1＝的反函数是 ( D )(A)11lg ()10y x x =-+＞(B)1lg y x =+(x ＞110)(C) 1lg y x =-+(110＜x ≤)1 (D) 1lg y x =+(110＜x ≤)1 24．(湖北6).已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 ( A ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 25．(湖北8). 函数221()1(32)34f x n x x x x x=-++--+的定义域为 ( D ) A.(,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0,1)-⋃y x π2- π2Oy x π2-π2Oy x π2-π2Oyxπ2-π2OA ．B ．C ．D ．1-O yC.[4,0)(0,1]-D.[4,0)(0,1]-⋃ 26．(陕西7) 已知函数3()2x f x +=，1()fx -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()fm f n --+的值为（ D ）A ．10B ．4C ．1D ．2-27．(陕西11) 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于（ A ）A ．2B ．3C ．6D ．9二、填空题1．（安徽13）函数221()log (1)x f x x --=-的定义域为．[3,)+∞2．（北京13）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =_________；2函数()f x 在1x =处的导数(1)f '=_________．2-3．（北京14）．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_________．②4．（湖南15）设[]x 表示不超x 的最大整数，（如[]145,22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=）。

2011—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——三角函数与解三角形

2011—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编三角函数与解三角形一、选择题（2019.8）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=( ) A ．2B ．32C ．1D ．12(2018 )若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（）A ．π4B ．π2 C ．3π4D ．π(2018)在△ABC 中，5cos2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB ( ) A ．42 B ．30 C ．29 D ．25（2017·3）函数()sin(2)3π=+f x x 的最小正周期为（）A.4πB.2πC. πD.2π（2016·3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（）A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=（2016·11）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7（2013·4）在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则△ABC 的面积为（） A ．232+B ．31+C ．232-D ．31-（2013·6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（） A ．16B ．13C ．12D ．23（2012·9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4（2011·7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，则cos2θ =（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·11）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（）A ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线4x π=对称B ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线2x π=对称C ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线4x π=对称D ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称二、填空题（2019.15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. （2017·13）函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为 .（2017·16）△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若2b cos B =a cos C +c cos A ，则B = （2016·15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. （2014·14）函数f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为_________. （2013·16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.（2011·15）在△ABC 中B =120°，AC =7，AB =5，则△ABC 的面积为 . 三、解答题（2019.18）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC b ，c .2011—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编三角函数与解三角形（答案）一、选择题（2019·8）A 【解析】因为，是函数两个相邻的极值点，所以所以，故选A ．（2018）C 【解析】解法一 ()cos sin 2)4πf x x x x =-+，当[0,]x a ∈时，[,]444x a πππ+∈+，所以结合题意可知4a ππ+≤，即34a π≤，故所求a 的最大值是34π，故选C ．解法二 ()sin cos 2)4f x x x x π'=--=-+，由题设得()0f x '≤，即sin()04x π+≥在区间[0,]a 上恒成立，当[0,]x a ∈时，[,]444x a πππ+∈+，所以4a ππ+≤，即34a π≤，故所求a 的最大值是34π，故选C ．（2018）A 【解析】因为213cos 2cos 121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理，得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以42=AB A ．（2017·3）C 解析：由题意22ππ==T ，故选C.（2016·3）A 解析：由()2362T πππ=--=及2T πω=||得2=ω，由最大值2及最小值-2，的A =2，再将(2)3π，代入解析式，2sin(2)23πϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故2sin(2)6y x π=-，故选A.（2016·11）B 解析：因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.（2013·4）B 解析：因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin64b c ππ=，解得22c =所以三角形的面积为117sin 2222212bc A π=⨯⨯. 因为73221231sinsin()sin cos cos sin ()1234343422222πππππππ=+=+=+=，所以1231sin 2)312222bc A =+=，故选B. （2013·6）A 解析：因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A. （2012·9）A 解析：由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈），∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A. （2011·7）B 解析：易知tan θ=2，cos θ=51±.由cos2θ=2，cos 2θ-1=35-，故选B.（2011·11）D 解析：因为())2f x x x π=+=. 所以f (x ) 在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称. 故选D.二、填空题（2019.15）34π【解析】因为b sin A +a cos B =0，所以由正弦定理，可得：sin sin sin cos 0A B A B +=，因为(0,π)A ∈，sin 0A >，所以可得sin cos 0B B +=，可得tan 1B =-，因为(0,π)B ∈，所以3π4B =．（2017·13()(tan 2)其中ϕϕ+=≤f x x . （2017·16）3π解析：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=B B A C C A A C B 1πcos 23⇒=⇒=B B （2016·15）2113解析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a bA B =，所以sin 21sin 13a B b A ==. （2014·14）1解析：∵f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x = sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x = sin x cos φ-sin φcos x = sin(x -φ)≤ 1，∴f (x )的最大值为1.（2013·16）56π解析：函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，所以sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=. （2011·15）4315=S解析：由余弦定理得2222cos120AB AC BC AC BC =+-⋅︒，所以BC =3，有面积公式得4315=S .三、解答题（2019.18）【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒．（2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒，由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S <<△．因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2015·17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得,.sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分,2,BAC DB DC ∠=所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=︒-∠+∠∠=︒，所以sin sin()C BAC B ∠=∠+∠1sin .2B B =∠+∠ 由（Ⅰ）知2sin sin ,B C ∠=∠ 所以tan 3B ∠=即30B ∠=︒.（2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积. （2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD 中，BC =3，CD =2，由余弦定理得：BD 2 = BC 2+CD 2-2BC ·CD cosC = 13 -12cos C ①，在△ABD 中，AB =1，DA =2，A +C =π，由余弦定理得：BD 2 = AB 2+AD 2 -2AB ·AD cos A = 5-4cos A = 5+4cos C ②，由①②得：1cos 2C =，则C =60°，7BD =. （Ⅱ）∵1cos 2C =，1cosA 2=-，∴3sin sin C A ==，则111313sin sin 1232232222S AB DA A BC CD C =⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .（2012·17）解析：（Ⅰ）由3sin cos c a C c A =-及正弦定理得3sin sin cos sin sin A C A C C -=，由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=，又0A π<<，故3A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =3，故bc =4，而 2222cos a b c bc A =+-，故22=8c b +，解得b c ==2.。

专题09 二次函数-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第2期)(原卷版)

专题09 二次函数一．选择题1．（2022·陕西）已知二次函数223y x x =--的自变量123,,x x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．当110x -<<，212x <<，33x 时，1y ，2y ，3y 三者之间的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<2．（2022·山东潍坊）抛物线y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，则c 的值为（）A ．14-B ．14C ．4-D ．4 3．（2022·湖南郴州）关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大4．（2022·山东青岛）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，对称轴为直线1x =-，且经过点(30)-，，则下列结论正确的是（）A ．0b >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．30a c +=5．（2022·黑龙江哈尔滨）抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（）A ．(9,3)-B ．(9,3)--C ．(9,3)D ．(9,3)-6．（2022·浙江湖州）把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( ) A ．y=2x -3 B ．y=2x +3C ．y=2(3)x +D ．y=2(3)x - 7．（2022·湖北武汉）二次函数()2y x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 8．（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数2y x 的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度 ④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（2022·湖南岳阳）已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-10．（2022·四川宜宾）已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，若以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，则a 的取值范围是（）A ．13a ≥B ．13a >C ．103a <<D ．103a <≤ 11．（2022·山东威海）如图，二次函数y ＝ax 2+bx （a ≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )A ．b ＞0B ．a +b ＞0C ．x ＝2是关于x 的方程ax 2+bx ＝0（a ≠0）的一个根D ．点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在二次函数的图像上，当x 1＞x 2＞2时，y 2＜y 1＜012．（2022·广西）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ． 13．（2022·山东潍坊）如图，在▱ABCD 中，∠A =60°，AB =2，AD =1，点E ，F 在▱ABCD 的边上，从点A 同时出发，分别沿A →B →C 和A →D →C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C 时停止，线段EF 扫过区域的面积记为y ，运动时间记为x ，能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．14．（2022·辽宁）如图，在Rt ABC 中，90,24ABC AB BC ∠=︒==，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB 匀速运动，当点P 运动到点B 时，停止运动，过点P 作PQ AB ⊥交AC 于点Q ，将APQ 沿直线PQ 折叠得到A PQ '，设动点P 的运动时间为t 秒，A PQ '与ABC 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．15．（2022·贵州铜仁）如图，若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若OAC OCB ∠=∠．则ac 的值为（）16．（2022·黑龙江牡丹江）若二次函数2y ax =的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点（） A ．（2，4） B ．（－2，－4） C ．（－4，2） D ．（4，－2）17．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A ．()221y x =--B ．()223y x =-+ C ．21y x =+ D ．21y x =-18．（2022·四川遂宁）如图，D 、E 、F 分别是ABC 三边上的点，其中8BC =，BC 边上的高为6，且DE //BC ，则DEF 面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．10D ．1219．（2022·四川自贡）已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；②当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；③若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12．其中正确的是（） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．①③④20．（2022·江苏泰州）已知点()()()1233,,1,,1,y y y --在下列某一函数图像上，且312y y y <<那么这个函数是( )A ．3y x =B ．23y x =C ．3y x = D ．3y x=- 21．（2022·广西贺州）已知二次函数y =2x 2−4x −1在0≤x ≤a 时，y 取得的最大值为15，则a 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．422．（2022·内蒙古包头）已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2267a b a +-+的最小值等于（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．223．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为1x =-，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①2b a =；②32a -<<-；③24<0ac b -；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c m ++=- (0)a ≠有两个不相等的实数根，则m >4；⑤当x <0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个24．（2022·湖北鄂州）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的图像顶点为P （1，m ），经过点A （2，1）；有以下结论：①a <0；②abc ＞0；③4a +2b+c ＝1；④x >1时，y 随x 的增大而减小；⑤对于任意实数t ，总有at 2+bt ≤a +b ，其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个25．（2022·四川雅安）抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（） ①当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；②若点（3，y 1），（4，y 2）在其图象上，则y 2＞y 1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣5）2﹣5；④函数图象与x 轴有两个交点，且两交点的距离为6．A ．②③④B ．①②④C ．①③D ．①②③④二．填空题26．（2022·辽宁营口）如图1，在四边形ABCD 中，,90,45BC AD D A ∠=︒∠=︒∥，动点P ，Q 同时从点A 出发，点P /s 的速度沿AB 向点B 运动（运动到B 点即停止），点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD DC→向终点C 运动，设点Q 的运动时间为(s)x ，APQ 的面积为()2cm y ，若y 与x 之间的函数关系的图像如图2所示，当7(s)2x =时，则y =____________2cm ．27．（2022·江苏无锡）把二次函数y =x 2+4x +m 的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件：________．28．（2022·福建）已知抛物线22y x x n =+-与x 轴交于A ，B 两点，抛物线22y x x n =--与x 轴交于C ，D两点，其中n ＞0，若AD ＝2BC ，则n 的值为______．29．（2022·湖北荆州）规定：两个函数1y ，2y 的图象关于y 轴对称，则称这两个函数互为“Y 函数”．例如：函数122y x =+与222y x =-+的图象关于y 轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数()2213y kx k x k =+-+-（k 为常数）的“Y 函数”图象与x 轴只有一个交点，则其“Y 函数”的解析式为______．30．（2022·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =+-先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．31．（2022·黑龙江大庆）已知函数231y mx mx m =++-的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m 的值为____________．32．（2022·山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的关系如图所示，当1020x ≤≤时，其图象是线段AB ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．33．（2022·广西贵港）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：①0abc <；②240b ac ->；③0a b c ++=；④21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⑤若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．34．（2022·辽宁）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0-和点()2,0，以下结论：①0abc <；②420a b c -+<；③0a b +=；④当12x <时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）35．（2022·四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．37．（2022·黑龙江牡丹江）把二次函数y=2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．38．（2022·内蒙古赤峰）如图，抛物线265y x x =---交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点(),1D m m +是抛物线上的点，则点D 关于直线AC 的对称点的坐标为_________．39．（2022·吉林长春）已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．三．解答题 40．（2022·山东潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．小亮认为，可以从y =kx +b (k >0) ，y =m x(m >0) ，y =−0.1x 2+ax +c 中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．(1)小莹认为不能选(0)m y m x =>．你认同吗？请说明理由；(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量．．．．在哪一年最大？最大是多少？41．（2022·广西贺州）如图，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M 为抛物线第一象限上的点，使得BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．42．（2022·广东）如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，1,0A ，4AB =，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．(1)求该抛物线的解析式；(2)求CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．43．（2022·湖南永州）已知关于x 的函数2y ax bx c =++．(1)若1a =，函数的图象经过点()1,4-和点()2,1，求该函数的表达式和最小值；(2)若1a =，2b =-，1c m =+时，函数的图象与x 轴有交点，求m 的取值范围．(3)阅读下面材料：设0a >，函数图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A ，B 两点均在原点左侧，探究系数a ，b ，c 应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：①因为函数的图象与x 轴有两个不同的交点，所以2Δ40b ac =->；②因为A ，B 两点在原点左侧，所以0x =对应图象上的点在x 轴上方，即0c >；③上述两个条件还不能确保A ，B 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需02b a-<．综上所述，系数a ，b ，c 应满足的条件可归纳为：20Δ40002a b ac c b a >⎧⎪=->⎪⎪>⎨⎪⎪-<⎪⎩请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数223y ax x =-+的图象在直线1x =的右侧与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．44．（2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为.x t =(1)当2,c m n ==时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值； (2)点00(,)(1)x m x ≠在抛物线上，若,m n c <<求t 的取值范围及0x 的取值范围．45．（2022·贵州遵义）新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++（其中0ab ≠）与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”．例如：抛物线2231y x x =++的“关联抛物线”为：2321y x x =++．已知抛物线()21:4430C y ax ax a a =++-≠的“关联抛物线”为2C ．(1)写出2C 的解析式（用含a 的式子表示）及顶点坐标；(2)若0a >，过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线1C ，2C 于点M ，N ．①当6MN a =时，求点P 的坐标；②当42a x a -≤≤-时，2C 的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．46．（2022·湖北十堰）已知抛物线294y ax x c =++与x 轴交于点1,0A 和点B 两点，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作PD x ⊥轴，垂足为D ，连接PC ．①如图1，若点P 在第三象限，且45CPD ∠=︒，求点P 的坐标；②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E '落在y 轴上时，求四边形PECE '的周长．47．（2022·河南）红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m ，水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高，最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+，其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离，y （m ）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P 水平距离3m ，身高1.6m 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．48．（2022·浙江台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度为h （单位：m ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度3m DE =，竖直高度为EF 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2m ，高出喷水口0.5m ，灌溉车到l 的距离OD 为d （单位：m ）．(1)若 1.5h =，0.5m EF =；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC ；②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d 的取值范围；(2)若1m EF =．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h 的最小值．49．（2022·河北）如图，点(),3P a 在抛物线C ：()246y x =--上，且在C 的对称轴右侧．(1)写出C 的对称轴和y 的最大值，并求a 的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P 及C 的一段，分别记为P '，C '．平移该胶片，使C '所在抛物线对应的函数恰为269y x x =-+-．求点P '移动的最短路程．50．（2022·四川雅安）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），且与y 轴交于点C （0，﹣3）．(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D 的坐标；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E ，使∠ACE 为Rt ∠，若存在，试求点E 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在平面直角坐标系中，存在点P ，满足P A ∠PD ，求线段PB 的最小值．51．（2022·江苏泰州）如图，二次函数211y x mx =++的图像与y 轴相交于点A ，与反比例函数2(0)ky x x=>的图像相交于点B (3，1).(1)求这两个函数的表达式；(2)当1y 随x 的增大而增大且12<y y 时，直接写出x 的取值范围；(3)平行于x 轴的直线l 与函数1y 的图像相交于点C 、D （点C 在点D 的左边），与函数2y 的图像相交于点E .若∠ACE 与∠BDE 的面积相等，求点E 的坐标.53．（2022·浙江丽水）如图，已知点()()1122,,,M x y N x y 在二次函数2(2)1(0)y a x a =-->的图像上，且213x x -=．(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二次函数的表达式；②若12y y =，求顶点到MN 的距离；(2)当12x x x ≤≤时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧，求a 的取值范围．54．（2022·山东临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD 所在水平线为x 轴，过起跳点A 与x 轴垂直的直线为y 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC 的坡角为30°，65m OA =．某运动员在A 处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B 处着陆，100m AB =．在空中飞行过程中，运动员到x 轴的距离()m y 与水平方向移动的距离()m x 具备二次函数关系，其解析式为2160y x bx c =-++． (1)求b 、c 的值；(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离()m x 与飞行时间()s t 具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，0=t ，0x =；空中飞行5s 后着陆．①求x 关于t 的函数解析式；②当t 为何值时，运动员离着陆坡．．．．的竖直距离h 最大，最大值是多少？55．（2022·山东威海）探索发现(1)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ，连接AD ．①如图1，直线DC 交直线x ＝1于点E ，连接OE ．求证：AD ∥OE ；②如图2，点P （2，﹣5）为抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）上一点，过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为点G ．直线DP 交直线x ＝1于点H ，连接HG ．求证：AD ∥HG ；(2)通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣3，0），B （1，0），顶点为点D ．点M 为该抛物线上一动点（不与点A ，B ，D 重合），_______．56．（2022·内蒙古赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长4m AD =，宽1m =AB 的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m 的矩形水池EFGH （如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD 的边AD 加长长度DM 为()()m 0x x >，加长后水池1的总面积为()21m y ，则1y 关于x 的函数解析式为：()140y x x =+>；设水池2的边EF 的长为()()m 06x x <<，面积为()22m y ，则2y 关于x 的函数解析式为：()22606y x x x =-+<<，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随EF 长度的增加而减小，则EF 长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________2m ；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的()m x 值是_________； (3)当水池1的面积大于水池2的面积时，()m x 的取值范围是_________； (4)在14x <<范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x 的值；(5)假设水池ABCD 的边AD 的长度为()m b ，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积()23m y 关于()()m 0x x >的函数解析式为：()30y x b x =+>．若水池3与水池2的面积相等时，()m x 有唯一值，求b 的值．57．（2022·黑龙江）如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，点()2,3B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．58．（2022·贵州贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b．(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．59．（2022·山东青岛）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．60．（2022·四川内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．61．（2022·湖北武汉）抛物线223y x x =--交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边），C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图（1），当OP OA =时，在抛物线上存在点D （异于点B ），使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图（2），直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ．求FPOP的值（用含m 的式子表示）．62．（2022·湖南常德）如图，已经抛物线经过点(0,0)O ，(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时，求B 的坐标；(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，当PA PB -的值最大时，求P 的坐标以及PA PB -的最大值63．（2022·湖南娄底）如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)点()(),06P m n m <<在抛物线上，当m 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值．(3)点F 是抛物线上的动点，作FE //AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．64．（2022·广东深圳）二次函数21,2y x =先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．(1)m 的值为；(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出2152y x =-+与212y x =的交点坐标；(3)点()()1122,,,P x y Q x y 在新的函数图象上，且,P Q 两点均在对称轴的同一侧，若12,y y >则1x 2x （填“>”或“<”或“=”）。