利用一题多解训练发散思维--一道2010年高考试题的五种解法

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2010高考数学选择题关键技巧

2010高考数学选择题关键技巧考试对于每一个考生来说都是一个关键的时间节点，高考更是如此。

数学作为高考科目之一，选择题一直是考生们头疼的问题。

为了提高数学选择题的答题效率和正确率，以下是2010年高考数学选择题的关键技巧。

一、审题准确数学选择题的关键在于审题准确。

在考试过程中，考生要仔细阅读题目，理解题意，搞清楚需要解决的问题。

有时候，题目会进行反向提问或者给出冗余信息，导致考生陷入困惑。

因此，要时刻保持警惕，将握住主题，避免被题目的花哨表述所迷惑。

二、画图辅助在数学选择题中，通过画图来辅助解题是非常有效的技巧之一。

对于几何题，可以将题目中涉及的图形画出来，通过观察和分析图形的特点来解答问题。

对于函数图像题，可以先将函数的形状在脑海中勾勒出来，有助于理清思路。

通过画图辅助，可以更好地理解问题，提高解题效率。

三、排除法选择题中，排除法是一种常用的解题技巧。

当我们不确定选择哪个选项时，可以通过排除法来缩小答案范围。

排除掉明显错误的选项，然后再进行思考和计算，往往能够找到正确答案。

注意，排除法需要运用逻辑思维和对题目的理解，要保持清晰的头脑和冷静的思考。

四、选项分析在做数学选择题时，选项中往往会蕴含有一定的信息。

合理利用选项中的信息，可以帮助我们更快地找到正确答案。

有时候，选项中会给出一些特殊的数值或关系，利用这些信息可以直接判断出正确答案。

另外，选项中的数值大小、形式等也能为我们提供指引。

因此，在做题时，要注意仔细观察选项，并与题目进行对照比较。

五、时间合理分配高考数学试卷的时间非常紧张，因此，考生需要合理分配时间。

选择题在试卷中所占比例较大，但每道题的难度和解答所需时间并不相同。

建议考生在开始做试卷时，快速阅读所有选择题，判断题目的难易程度，然后根据自己的掌握情况，分配答题时间。

这样能够保证每道题都有足够的时间进行解答，提高整体解题效率。

六、多做题最后，提高数学选择题答题水平的最好办法就是多做题。

高考试题解答赏析

高考试题解答赏析正宁一中李永卿请同学们通过下面几道例题欣赏数学之美妙、感受数学之魅力、体验数学之迷人：一、培养发散思维（一题多解）题目：例1（2010年理8文10）：△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =uu u r（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b +解析1：由角平分线定理知错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

∴2BD=DA ∴错误！未找到引用源。

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. 故选B.解析2：因为D 到CA 、CB 两边的距离相等，且CA=2 CB=1 ∴S △ACD =2 S △BCD , 再将C 视为顶点，可得2BD=DA （以下同上）。

解析3：由正弦定理得CA/sin ∠ADC=AD/ sin ∠ACD,CB/sin ∠BDC=BD/ sin ∠BCD, 又∠ACD=∠BCD∠ADC=1800-∠BDC ∴错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

（以下同上）。

解析4：取CA 的中点E ，则错误！未找到引用源。

是等腰三角形 ∴CD ⊥BE 而错误！未找到引用源。

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只需验证那个选项与错误！未找到引用源。

的数量积为零。

解析5：特例法，如上图，取AC=2 BC=1 ∠ABC=900的直角三角形，易得AD 、DB 长度比（以下同上）。

练习（2011年甘肃理15文16）：已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则求|AF 2|= （答.6）例2（2010年甘肃理4文6）：如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35B DC E A解析1：由等差中项知a 4=4 而a 1+ a 2+…+ a 7=7 所以 a 4=28.解析2：引入首项和公差后可得a 1+3d=4 而a 1+ a 2+…+ a 7=7(a 1+3d)=28.解析3：（特例法）：设该等差数列为各项为4的常数列，答案显而易见。

一题多解一题多变学生思维的训练

一题多解一题多变学生思维的训练作者：朱世波来源：《理科考试研究·高中》2013年第04期元素化合物知识是其他化学知识的载体，在中学化学中占有举足轻重的地位.铝及其化合物又是元素化合物知识的重点，它一直是近几年高考命题的热点，尽管相关老师都十分重视这方面的教学，但学生对这个知识的掌握情况并不是很好，原因在于，老师没能让学生对这个知识的认知从感性上升到理性，从理性上升到记忆.我认为，铝及其化合物的教学，重在抓好利用“一题多解、一题多变”等手段加以分析解答问题，既能加强学生对知识的理解、方法的掌握，又能激发学生的学习积极性，同时还能培养、提高学生思维能力.一题多解我在平时比较侧重，所以我认为高中学习时更应侧重一题多解和一题多变的训练.一题多解，训练思维的深刻性，它主要表现在对化学问题的深入研究.要求学生有扎实的双基、透彻的概念去分析理解题意，灵活、准确地解决具体问题.教师在这方面的工作主要是如何引导学生深入理解和思考，讲清化学原理或化学规律的内涵与外延，找出知识间的相互关系与区别.例1向20 mL某物质的量浓度的AlCl3溶液中滴入2 mol/L NaOH溶液时，得到的Al （OH）3沉淀质量与所加NaOH溶液体积（ml）的关系如图所示，试回答下列问题：（1）图中A点表示的意义是；（2）图中B点表示的意义是；（3）上述两步反应的离子方程式可表示为：；（4）若溶液中有Al（OH）3沉淀0.39 g，则此时用去NaOH溶液的体积为.解析由图像可知A点为沉淀的最大值即A点的意义是溶液中的Al3+全部转化为Al （OH）3沉淀；B点的意义是沉淀恰好溶解.上述两步反应的离子方程式可表示为Al3++3OH-Al（OH）3↓，Al（OH）3+OH-AlO-2+2H2O.对于（4）的求解我们可以有一下解法：解法一根据图像我们可知，产生沉淀最大值为0.78 g，0.39 g正好为最大值的一半，由三角形相似可分别得到V（NaOH）=7.5 mL或17.5 mL.解法二本题我们也可以利用原子守恒来解决，沉淀质量最大是0.78 g，可知n（Al）=0.01 mol，现在沉淀为0.39 g正好为最大值的一半，可知溶液中含有的铝元素为0.005 mol，若是铝元素以Al3+的形式存在的话可知n（NaOH）=0.015 mol，即V（NaOH）=7.5 mL；若铝元素以AlO-2的形式存在于溶液中的话可知n（NaOH）=0.005×3+0.005×4=0.035 mol，即V （NaOH）=17.5 mL.通过一题多解可以充分的调动学生的各种感官积极参与问题的解答与讨论，需要我们教师对每一道有代表意义的习题进行有效的推敲，合理的设置问题情景，使问题变得更鲜活，充分利用各种解题方法对化学知识进行升华.变式既是一种重要的思想方法，更是一种行之有效的教学方式，如果我们在自己的教学中能注重思维变式的训练，通过一题多变，引导学生多方向、多角度思考问题使学生思维处于活跃状态，拓宽学生的思维领域，在高中的学习过程中培养学生的逆向思维能力、发散思维能力和逻辑推理能力一定能起到事半功倍的作用.但值得一提的是，变式要有层次性，按照培养等效思维类比思维归纳演绎等思维能力的原则设计问题，不能跳跃太大，要让学生跳一跳就能够摘得到，要遵循从特殊到一般的原则，要注意知识的横向和纵向联系，使学生真正达到将知识学活、用活.不能见题就“变”，结果“变”出来的一些问题没有意义，给人有一种“东施效颦”的感觉，这反而增加学生的学习负担，影响教学效果.因此要做好“一题多变”，首先我们要做好选“题”工作，这要求教师课外要做足功夫，通过钻研教材中的典型例题、习题，包括历年各地高考试题、模拟试题，研究新的课程标准、考纲等内容，然后精心挑选题目，认真比较、总结、反思，才能在课堂上，站在全局的高度上去把握相关的教学知识，。

巧用“一题多变、多解”提高学生的思维能力

巧用“一题多变、多解”提高学生的思维能力作者：陈丰粧来源：《广东教学·教育综合》2017年第16期【摘要】习惯是指人们在长期的实践过程中逐渐形成的不需要意志努力和监督的自动化行为倾向。

良好的习惯一旦养成，将会成为学生一生受用的宝贵财富。

那么，在教学中如何培养学生一题多变、一题多解的解题习惯呢？我的做法：一是重视例题的典范作用，唤起学生一题多变、一题多解的解题意识；二是培养学生多角度思考问题、解决问题的习惯；三是创设合作学习的学习方式，发展学生的求异思维能力；四是巧设问题情境，鼓励学生大胆想象。

【关键词】培养；良好；解题习惯习惯是指人们在长期的实践过程中逐渐形成的不需要意志努力和监督的自动化行为倾向。

良好的习惯一旦养成，将会成为学生一生受用的宝贵财富。

数学问题的解答途径通常都是多种多样的，而一题多变、一题多解的解题习惯的养成对于提升学生思维的深度、广度、严密性等品质有着十分积极的意义。

那么，在教学中如何培养学生一题多变、一题多解的解题习惯呢？下面谈谈我的做法。

一、重视例题的典范作用，唤起学生一题多变、一题多解的解题意识一道好例题的教学，对学生思维品质和解题能力的提高有着积极的促进作用。

同一道题，老师可以从分析上多提问，从解法上多提问，从检验上多提问，进行多问启思训练，培养学习思维的灵活性，养成一题多变、一题多解的解题意识。

在平时的课堂教学中，我们应重视例题的典范作用。

要抓住问题的关健，从一个简单的问题入手，引领学生不断改变问题情境，或减少条件，或增加条件，或改变问题，得出一系列的新问题，在提出问题、解决问题的过程中不断将教学向前推进，培养学生的思维灵活性。

我在教学课本应用题的例题后，我都会问：（1）这道题还有没有其它的解法？（2）问题可以怎样改？该如何解答？（3）条件可以怎样改？又应该怎样解答呢？这样，可以起到“以一当十”的教学效果。

二、培养学生多角度思考问题、解决问题的习惯赞可夫有句名言：“教会学生思考，对学生来说，是一生中最有价值的本钱。

一道2010年天津卷高考题的发散思维历程

一道2010年天津卷高考题的发散思维历程
刘晓东
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2010(000)011
【摘要】向量作为一种重要的数学工具已经成为高考的必考内容,无论是小题还是解答题都会有所涉及,且常在知识交会点处设计试题.这类试题往往设计新颖,解法灵动,不仅能启迪思维,更能给人以美的享受.
【总页数】2页(P27-28)
【作者】刘晓东
【作者单位】浙江省湖州市吴兴高级中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一道数列不等式高考题的发散思维 [J], 韩天禧
2.一道高考题的解法探究历程 [J], 管贤强;母小勇
3.对一道高考题的多解探究r——以2018年天津卷理第14题为例 [J], 吴继敏
4.探究一道高考题几何背景的心路历程 [J], 黄贤锋
5.一道高考题的探索历程 [J], 黄林盛
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一道高考题的五种解法

一
．
．
式与（２）式消去ｃ０ｓａ得：２ｓｉｎｚａ一源自ｎ一２：０，
ＣＯＳ￣ｔ＝
孚＞０，因此ｃｏｓ２ａ＜０，从而ｃ０ａ＝一孚，选Ａ．
桐别杆特
求得
又由题设ｎ为第二象限角，所以ｓｉｎｎ＞ｏ，即ｓｉｎａ：Ｊ
，
，、
廿 ‘ 一Ｌ “ 丁分析一：利用三角函数基本公式ｓｉｎ。＋ｃ０ｓ＝１，联立方程组来求解得ｓｉｎａ，ｃｏｓａ的值，进而求得ｃｏｓ２俚的值．／ｆ￣－：ｓｉｎａ＋６０８１（１），ｓｉｎａ＋ＣＯａＯｔ＝（２），联立（１）
即２ａ位于第三或第四象限，这样ｃｏｓ２ａ的符号不唯一，因此这种方法不能确定ｃｏｓ２ｏ￣的符号．下面从另一个角度来确定ｃｏｓ２ｏｔ的符号：根据二倍角公式ｃｏｓ２ａ＝ＣＯＳａ—ｓｉｎａ＝（ｃｏｓｏｔ＋ｓｉｎａ）・（ｃ０一ｓｉｎａ），因为Ｑ为第二象限角所以ｃ０＜ｏ，ｓｉｎａ＞ｏ，从而ｃｏｓｏｔ — ｓｉｎａ＜０，另外ｓｉｎａ＋
Ｔ
取决
３＋４１￣
解法四：同解法三实质一样，求得ｃｏｓ２ｃｔ＝孚，下面来判断
，
ｒＳ＂代入 ‘ ２ ’ 式得ｃ啪。

巧用“一题多解”培养学生的数学思维

第37卷第3期2018年5月数学教学研究21巧用“一题多解”培养学生的数学思维陶亚平(甘肃省兰州市第六中学730060)数学教学的目的是为了让学生深刻掌握和理解所学知识，使所学知识系统化，深刻化.多做多练是掌握数学知识点的必要过程，通过大量的练习，可以巩固基本知识和基本方法.在数学教学中，巧妙使用一题多解，不仅能够提升学生的学习主动性，还可以培养学生的数学思维，对学生学习和探索数学知识的兴趣提升有很大的帮助作用.1运用一题多解，总结各种解法，有利于知识与方法的系统化对所学数学知识点多做多练，才能使数学知识灵活运用、融会贯通，并使不同的知识点关联起来，使之系统化，并建立起一个完整的知识结构和框架体系.例1 (2010年高考数学全国卷17题）A AB C中，D为边B C上的一点，B D = 33,sin B=5，cosZ A D C=55^A D.解法1因为sin B=所以cos 犅=13，s i n Z A〇C=55，sinZBA D=sin(Z A D C-B)=sin^ADCco s B~co s^ADCsin B_33一65.根据正弦定理可得AD _BDi n B一s in Z B A D，故A D=BD •sin Bs in Z B A D25解法2因为s in B=5,所以 co s B一13，sin Z A D C一^，s in Z A D B—s in Z A D C—5.首先根据正弦定理可得A B_ADs in Z A D B一sin B，即a b=5|a d.其次根据余弦定理可得p_A B2+BD2-AD2_12c〇s犅一^2A B •BD^一13,将a b=||a d代入A B2+B D2-A D2_12^2A B •BD^一13,得 27027A D2—1029600A D+8848125 =9，求解该一元二次方程，得犃犇一 25.例1的两种解法通过多角度的思考、分析，拓展了学生解题的思路，同时引导和激发学生探索新方法的欲望，从而提高学生的学习兴趣，锻炼学生的发散思维，养成多角度考虑问题的习惯，有助于提高解题效率.2运用一题多解,有利于培养学生良好的数学思维品质一个典型题目，运用多种方法，从多角度、多侧面、多方向给出解答，这是思维流畅性的表现，对于各种解法，方法好坏的取舍也是思维批判性和周密性的反映.下面以一个简单的选择题例子进行说明.例2在两底面对应边的比为1:2的三棱台中，过上底一边作平面平行于这边对应的侧棱，则这个平面截三棱台所成的两个几何体的体积比是（）.(A)1(B)3(〇1 (D)3解法1用参数法，设三棱台上下底面的收稿日期：2017-10-2622数学教学研究第37卷第3期2018年5月面积分别为P，Q，高为A，则犘=(^)2^Q=4P,从而可得^三棱台=3•办犘+犙+v犘犙）=3 .h(^p+4P+2P)=j P h.又因为V三棱台=犘犺，所以y=.棱台'V三.棱柱■(7-1)P hV三棱柱故应选择D.Ph解法2观察到此题给的4个选择均为常数，故可以考虑用特殊化思想.把一般三棱台特殊化，上下底面特殊化，高也特殊化，不妨设上底面边长均为1，下底面边长均为2,三棱台的高为1.于是有三棱台_-(4+槡3+槡4槡3)=7■"三棱柱=4，从而V三棱台-V三棱柱(72-T)v34V三棱柱槡34故应选择D.上面两种方法，一用参数法，设出犘，犙，犺，再消去参数;二用特殊化思想方法，化一般为特殊.两法均可，体现了思维的发散性.3运用一题多解，有利于寻求规律，更好地求解数学问题由于一题多解结构特征具有知识的联系性，易于寻求解题规律，因此有利于求解数学问题.例3 (2011年高考数学辽宁理科卷第17题)已知等差数歹列{^}满足《2=〇，+«8 =—10.(1) 求数列{〜}的通项公式；(2) 求数列的前w项和.第1问解法：解法1由等差数列的通项公式得，2=+犱=0，，6+，8=(，i+5犱)+(，i+7犱)=—10，解得，1=1，犱=—1，因此{=2 —n.解法2根据等差数列的性质可以得到，6+，8=2{=10，，7=5.又因为，7=，2+5犱，且，2=0，得犱=—1.an=a7+(n—7)犱=2—n.解法 3 由{+，={+{=—10 和，2=0可得，12=—10,又，12=，2+10犱，从而可得犱 =—1，因此，=2—n.第2问解法：解法1由（1)可知，=1，犱=—1，从而0 一n(n—1) ,一3n—n*12i?n—n，1+ 2犱一 2 •解法2由（1)可知a1=1，a…=2 —n,从而c_n(a1+a n)_3n—n2在本题关于等差数列公式的运用中，通过一题多解，引导学生寻求等差数列的内在规律，培养学生灵活应用等差数列的性质来解决问题的能力，进而达到培养和训练学生发散思维的目的.4运用一题多解，有利于开发智力，培养数学能力由于一题多解的结构特征具有多样性，故对学生智力的启迪以及解数学题能力的培养有很大的帮助•同时使用一题多解的方法，能够帮助学生打破惯性思维，实现学生思维方式的创新•下面以一道简单的极限题为例进行说明.例4求极限lin#2 *—6狓^4狓—4解法1利用导数的定义/(狓)=lim,狓)—犳(狓）C狓^狓0取犳(狓）一狓狓0=4,则 lim:—16~-(x2Y8.^m狓一4解法2对函数先做初等变形，再求极限.lim-3— 16—4:lim-狓^-4狓+4)狓一4)狓—4=li m(-+4)=8.狓―4解法3注意到极限为0型未定式，可直接利用罗比达法则(对分子、分母分别求导后再求极限)计算.第37卷第3期2018年5月数学教学研究23=lim(2x)=8.极限4的求解方法非常灵活，本题从不同角度给出了不同的解决思路，这种锻炼有利于培养学生的数学思维，进一步认识极限的本质，通过比较探索求极限的最简便方法.新颁布的全日制中学《数学教学大纲》明确指出：数学教学的目的之一是激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.”数学教学中，我们要努力达到这一目标，在教学过程中就应该积极地尝试应用一题多解的教学方法，这种方法不仅能够提升学生的解决数学问题的能力，同时还能够激发学生的学习兴趣，使他们形成良好的学习习惯，学会使用多种方法解决同一问题，并思考不同方法之间的联系和区别.一题多解方法在数学教学中的应用，不仅可以提高学生的学习兴趣，还能够培养学生的数学思维方式，把所学知识充分应用到实际问题中，解决生活中的一些实际问题.毋庸置疑，这种方法的灵活运用，必将对数学课堂的教学效果起到很大的帮助和促进作用.参考文献[1]朱亚珍.浅析高中数学教学中的“多题一解”和“一题多解”[J1科教文汇，2016(11).[2]张利燕.“一题多解”与“多题一解’’在高中数学教学中的价值[J]好家长，2015(4).[3]庄艳.在数学教学中应注重一题多解[J].林区教学，2013(3).[4]李艳.一题多解在数学解题中的运用[J].学园，2011(16)．整因式乘式分~法—法解*定义-提公因式法:项式-*步!完全平方公式公年法十字相乘法一1多于三项的多项式—分组分解法提”套”分”L-四“查”图4(上接第14页）3总结总之，微课是随着多媒体技术迅速发展起来的一种以微视频资源为中心的创新型教育资源5，在课堂教学中得到广泛应用，特别是在初中数学复习课教学中，微课起到了其他教学模式无法代替的作用:微课的制作精细，通过“切碎”知识点，帮助学生理解消化;微课的时长精短，内容重点突出、针对性强，分配时间合理，有利于“点燃”学生思维的火花；微课以思维导图的形式重点“整合”知识点，辅助学生归纳整理.可以说微课以一种科学、高效的教学模式在初中数学复习课中的应用价值数不胜数，特别是多媒体技术高速发展的今天，相信日后微课必将成为初中数学的重点教学模式.参考文献[1] 朱丽娜.应用思维导图于“一次函数”的复习策略研究[J].数学教学研究，2016(4): 4447.[2]陈迎春.微课在九年级数学复习中的有效应用[J].新课程研究（下旬），2016(7): 1516,46.[3]李惜珠,李树元.提高中考数学复习有效性的新途径—微课助学[J].初中数学教与学，2017(19)27-29.[4]刘绍洲.巧用思维导图教学提升初中数学复习课效率[].科教导刊（下旬），2016(8) :118-120. [5] 莫祺，陈锦波.Moodle平台下利用微课进行九年级数学复习的研究[J].中学数学教学参考，2015(12)2-4,8.。

一题多解培养学生的发散性思维

2013-09课堂内外教学不只是继承和吸收前人的知识成果，还必须应用和创新，教师应该把传授知识和培养能力、掌握方法放在同等重要的位置。

通过例题示范和习题的一题多解，可以开拓思路，培养学生的发散性思维能力，还可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三的目的。

一、发散性思维的定义发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维，是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。

发散性思维的特点是：充分发挥人的想象力，突破原有的知识圈，从一点向四面八方辐射开，并通过知识、观念的重新组合，寻找更新更多的设想、答案或方法。

例如，一题多解、一词多组、一字多意或通过不同方法去探究答案的思维活动。

例如，风筝的用途是什么？有人回答：放在空中玩儿、测量风向、当射击靶子。

还有人回答：传递军事情报、作联络暗号等等。

他们根据不同的想法说出他们各自的答案，这样从不同的角度考虑问题将会促使学生拓展思维，把所学的知识灵活地运用，提高解题能力。

二、培养学生一题多解一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。

教师在教学活动中做好学生课堂教学的引导者和组织者，在课堂教学中，引导学生从多方面考虑问题，培养学生的一题多解能力，培养学生的发散思维能力，使其养成一个良好的解题方法和思路。

1.启发联想，诱发一题多解联想是由一事物想到另一个事物的思维过程，它是创造性思维的起点。

课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，达到一题多解，发展学生的思维。

例.某厂有工人126人，男女工人之比是5∶4，男工有多少人？读题后，引导学生根据“男女工人数之比是5∶4”展开联想：①男工人数是女工人数的；②女工人数是男工人数的；③男工人数占全厂工人的；④女工人数占全厂工人的；⑤男工人数比女工人数多；⑥女工人数比男工人数少；⑦男工人数占5份，女工人数占4份。

一题多解培养学生发散思维能力--以排列组合应用题为例

种不同的方法？
问题３从６名运动员中选出４人参加４ｘ１００米接
力赛，现要求甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共
解析借助集合的图示法先将１０人进行分类，如图２所示，然后选择一个标准进行分类求解。
有多少参赛方案方法数？
法数
性，可使人的思维摆脱习惯性思维的束缚，变得纵横交错，灵活多样。加强发散思维能力的培养，是发展
学生创造性思维的重要环节，是培养学生解决问题能
力，提高教学质量的有效途径之一。数学教学中的一题多解是发散思维的具体体现，教学中加强一题多解的训练，既可完善、优化学生的知识结构，促进认知能力发展，又可提高学生的发散思维能力，培养学生解决问题的灵活性和提高学生的
； ② 甲不参加，有Ａ：种；所以共有
第二类，仅会英语的５人中没有人被选，那么会英
语的只能从２个多面手中选，有２种选法，而会日语的
Ａ１
３
Ａ＋／４：＝９６种。
综上，共有１５６＋９６＝２５２种。方法２从位置角度考虑，第一棒与第四棒为特殊
研究。
一
解，而方法３则是用整体分类，局部分步的方法求解。
方法１、２是从位置人手进行突破，而方法３是从颜色

如何巧妙化解数学高考的难点——以2010年江苏省高考数学试卷为例

《学与管理》教
２１年１０１１日１月
如何巧妙化解数学高考的难点
以２１００年江苏省高考数学试卷为例
◎江苏省金坛市研训中心刘春林
高考始终是社会关注的焦点，也是课程改革的焦点！ｌ盖地，特别是各校根据所掌握的信息，命制了本校的５月
高考对教师教学具有重要的导向作用，高考也是学生学ｌ三模” 份“ 试题，做好最后的冲刺工作，想让学生胸有成竹习的“ 指挥棒”笔者在日。常的调研工作中，听到教师抱怨ｌ地走进考场，但事与愿违。
导向具有重要意义。
一
３高考题难度与能力训练．
从广东到江苏等省的“ 考试说明” 中可看出，高考的
：
、
认识高考数学题难点的几个误区
考核目标 ” 提高了对能力的要求。在进入二轮复习后，一
高考作为一种选拔性的考试，必定要有“ 必要的区分Ｉ些教师反复进行数学思维能力的强化训练，学生疲于应度”这样才能具备调节高校录取控制线的功能。，然而，Ｊ在付各种各样的模拟考试，最终反而把基础的主干知识给
一
许多教师认为，商考要学生在短暂的１０２分钟内，ｌ做往不是基础知识的简单再现，而是从学科整体意义的高完十四道填空题和六道解答题是有难度的，理科学生还｝度进行设计，注重知识之间的交叉、透和综合， “ 渗在知识
有４０分的附加题，不进行规范的解题训练是不行的，。因网络交汇点 ” 出题，而提高了试题的难度。进
造像示长体Ｂ —ＢＤ使几体这１第１：量视的度本主查三图所的方ＡＤ，该何的７测电塔亳，题解ＣＡｃ题条恰为方对线Ｃ则条在视、视Ｊ的识两差正及等的用结生环棱好长体角Ａ，这棱正图侧知、角的切不式应。合活境

用一题多解激活学生的发散思维——以一道定积分题的多种解法为例

用一题多解激活学生的发散思维——以一道定积分题的多种
解法为例
李天竹;肖业亮;陈昊;严维军
【期刊名称】《科技风》
【年(卷),期】2024()4
【摘要】发散思维是一种从不同层面分析问题、从多个维度寻求答案的一种开放性思维,是思维结构的核心,具有流畅性、变通性和独特性三个主要特征.在数学教学中培养学生的发散思维,使学生具有较高的思维品质和思维能力是教学改革的一个重要课题.本文利用插项法、递推法、定积分公式、Dirichlet核、欧拉公式和留数定理等知识给出定积分∫π0 sin nx sin x dx(n=0,1,…)的多种解法.通过一题多解,提升学生思维的发散性与系统性,激发学生学习兴趣,培养学生自主学习和创新能力.【总页数】3页(P121-123)
【作者】李天竹;肖业亮;陈昊;严维军
【作者单位】大连东软信息学院基础教学学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-最新文档

“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。

所谓“一题多解”，就是尽可能用多种例外方法去解决同一道题，更严重的是可以培养学生的思考能力和创造能力。

所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。

一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求例外答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。

通过一题多解，引导学生就例外的角度、例外的观点审视分析同一题中的数量关系，用例外解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的熟练运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。

二、利用一题多变培养学生的广漠思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的严重教学手段。

通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。

在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。

即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。

这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广漠性和深刻性，从而培养创新思维的品质。

三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度例外可得到多种例外的思路，广漠寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。

一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种多见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

提高学生发散思维能力的有效途径之一：一题多解

提高学生发散思维能力的有效途径之一：一题多解作者：张晓东来源：《课程教育研究·中》2013年第07期【摘要】中学教学中，教师提倡一题多解，多解归一，但教学效果不是很理想。

其原因主要是学生关注解法结果的多，而忽视解法产生的根源，没有弄清已知与未知间的联系点。

针对这种情况，本文通过剖析一道高考题的几种解法，或从知识内容，或从表达形式，或从数学思想等多角度引导学生展开联想，感悟思维规律，提高发散思维能力。

【关键词】发散思维联系一题多解【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）07-0151-02发散思维又称“辐射思维”、“放射思维”、“多向思维”、“扩散思维”或“求异思维”，是指从一个目标出发，沿着各种不同的途径去思考，探求多种答案的思维，与聚合思维相对。

发散思维是无固定方向和范围，不拘泥于传统方法和途径，由已知探求未知的思维。

它是根据问题情境重新组合原有知识经验，独立进行探索，在此基础上产生出新颖的、前所未有的思维成果，具有流畅性、变通性和独特性。

提高学生的发散思维能力，克服定势思维的局限性，使学生不墨守成规，不拘泥于传统的做法，产生更多的创造性的成果，一题多解是一个有效途径。

例题：（2008全国高考10）若直线■+■=1通过点M（cosα，sinα），则（）A. a2+b2≤1B. a2+b2≥1C. ■+■≤1D.■+■≥1 分析：直线■+■=1通过点M（cosα，sinα），即■+■=1。

原问题转化为在此等式下，探究a2+b2，■+■与1的大小关系。

解法1：因为■+■=1，所以（■+■）2=1所以■+■+■=1所以■+■+■=1所以■+■=1+■+■+■=1+（■-■）2≥1选择答案D。

小结：此解法从代数变形的角度入手，根据已知■+■=1与未知■+■的结构特点，将已知进行变形，直奔目标，再将多余的量进行处理即可。

解法2：因为■+■=1所以■sin（α+β）=1，其中tanβ=■所以1=■sin（α+β）≤■即■+■≥1小结：由■+■=1中左边表达式及未知■+■的结构特点，联想三角函数学习中asinx+bcosx=■sin（α+β）的变形技巧，产生上述解法。

做好高考数学题的12种方法 2010

做好高考数学题的12种方法2010-1-19方法一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

方法二、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

方法三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

方法四、“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

2.先熟后生。

通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。

数学一题多解

作为一名高中数学教师，一直在教学第一线践行课程改革。

如何打造激情活力的高效课堂?我尝试用“一题多解，一题多变”激活数学课堂教学，培养学生发散思维和解决问题能力。

所谓一题多解，我们可以理解为其一是同一个问题可以找寻到多个渠道、多个方法、多个途径来解决。

而其二就是同一个问题，可是答案却是不唯一的，是多元的，不同分析方法和思维方式得出的结论是不同的，却都是合理的。

这属于
步把学生引入胜境，从而使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。

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