电机设计方法
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第2章电磁场有限元分析简介
电磁场的边值问题实际上是求解给定边界条件下的麦克斯韦（Maxwell）方程组及由方程组深化出的其他偏微分方程问题。从求解问题的技术手段上来说，它可以分为解析求解和数值求解两大类。对于简单模型，有时可以得到方程的解析解。若模型复杂度增加，则往往很难获得模型的解析解。随着计算工具，特别是高速大容量电子计算机的发展，电磁场数值分析已深入到工业生产各个领域，解决问题的面越来越广，分析的问题也日趋复杂。电磁场数值分析是一门综合性的学科，涉及电磁场理论、数值分析、计算方法、计算机基础知识及高级语言等多个方面，但在计算上存在着共性。有限元法是一种常用的数值方法，并有相应的电磁软件问世，其中ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D就是非常优秀的电磁分析软件。
表1.1麦克斯韦方程组中的独立方程与相关方程
独立方程
wenku.baidu.com相关方程
1 2 3
(1.1) (1.2) (1.3)
(1.1) (1.2) (1.5)
1 2
(1.4) (1.5)
(1.4) (1.3)
1、方程式（1.1）与式（1.4）的关系
对方程式（1.1）两边取散度，有
根据矢量恒等式，可知式（1.6）左端恒等于零
本章将对电磁场的基本理论、电磁场有限元的求解及ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D作简单的介绍。至于完整的电磁理论描述，读者可以参考许多教科书。如果读者已熟悉电磁理论，完全可以略过本章，直接从第2章开始学习如何使用Maxwell电磁软件。
1.1电磁场基本理论
1.1.1麦克斯韦方程组
在19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了适用于所有宏观电磁现象的数学模型，称之为麦克期韦方程组。它是电磁场理论的基础，也是工程电磁场数值分析的出发点。
1、自然边界条件
自然边界条件是软件系统的默认边界条件，不需要用户指定，是不同媒质交界面场量的切向和法向边界条件。
2．诺伊曼边界条件
电磁场教科书中常常称诺伊曼边界条件为第二类边界条件，它规定了边界处势的法向导数分布。Maxwell所提到的是齐次诺伊曼边界，即法向导数为零。它是Maxwell系统默认边界条件，不需要用户指定。
对方程式（1.2）两边取散度，有
显然，如果仅仅利用方程式（1.2）不能同时导出方程式（1.3）和式（1.5）。这时，要私将方程式（1.3）设为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.5）；要么将方程式（1.5）设定为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.3）。
1）方程式（1.11）与式（1.3）联合推导式（1.5）
二维稳恒电场求解器所满足的拉普拉斯方程
二维交变电场求解器所满足的复数拉普拉斯方程
二维静磁场求解器所满足的非齐次标量波动方程
二维涡流场求解器所满足的波动方程组
二维轴向磁场涡流求解器所满足的齐次波动方程
三维静磁场和涡流求解器所满足的齐次波动方程组
1．1．5电磁场求解的边界条件
电磁场问题求解中，有各种各样的边界条件，结合Maxwell 3D／2D，归结起来可概括为6类。
1.1.4二阶电磁场微分方程
在实际有限元计算中，通常并不针对麦克斯韦方程组中的一阶方程，常常先将方程化为二阶方程，然后针对二阶方程进行有限元数值求解。实际上，比较方便的做法是根据场的基本性质，引入辅助的计算量，如标量电势ϕ、矢量磁位A等。
Maxwell常用的求解方程有
二维、三维静电场求解器所满足的泊松方程
D=
B=
J=
式中，ε为介质的介电常数，F/m；μ为介质的磁导率，H/m；σ为介质的电导率，S/m。
还需要说明的是，对于各向同性介质，ε、μ和σ是标量；对于各向导性介质，它们是张量。
如果希望得到电磁场问题的惟一解，除了上述方程外，还需要配备定解条件；对于瞬变场，需要配备边界条件和初始条件；对于静态场、稳态场、时谐场，只需配备边界条件。
麦克斯韦方程组包括微分和积分两种形式，在此仅给出它们的微分形式，通过它们可以导出能用有限元处理电磁问题的微分方程。
麦克斯韦方程组为
法拉第电磁感应定律
麦克斯韦-安培定律
高斯电通定律
高斯磁通定律
电荷守恒定律
式中，E为电场强度，V/m；D为电通量密度，C/m；H为磁场强度，A/m；B为磁通量密度，T；J为电流密度，A/㎡；P为电荷密度C/m3。
上面5个方程中包含两个旋度方程式（1.1）、式（1.2）和3个散度方程式（1.3）、式（1.4）和式（1.5）。
1.1.2麦克斯韦方程组各方程之间的关系
上面提到的麦克斯韦方程组的5个方程中，只有3个方程是独立的，另外两个相关方程可以从独立方程中导出。其中两个旋度方程肯定是独立方程，另外一个独立方程可以在散度方程式（1.3）和式（1.5）中任选一个，方程式（1.4）只能作为相关方程。读者可以参考表1.1。
5．匹配边界条件
3．狄利克莱边界条件
电磁场教科书中常常称狄利克莱边界条件为第一类边界条件，有限元计算领域，常常称其为约束边界条件，或本质边界条件。它规定了边界处势的分布，势是边界位置的函数，也可以是常数和零。
4．对称边界条件
对称边界条件包括奇对称和偶对称两大类。奇对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相反。偶对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相同。采用对称边界条件可以减小模型的尺寸，有效地节省计算资源。
设在场域内B关于时间和场点二阶混合偏导数连续，则式（1.7）可以化为
即
C是与时间无关的常数。同理， 也是与时间无关的常数，只要在初始时刻t=0取C=0，则在t＞0以后的任意时刻恒有
由此，可以看出方程式（1.1）与式（1.4）是相关的，由方程式（1.1）可以推导出式（1.4）。
2、方程式（1.2）、式（1.3）与式（1.5）之间的关系
将方程式（1.3）代入式（1.11）有
2）方程式（1.11）与式（1.5）联合推导式（1.3）
将方程式（1.5）代入式（1.11）有
即
这里，C为与时间无关的常数，那么只要在初始时刻t=0取C=0，则在t＞0以后的任意时刻恒有
1.1.3本构关系
场量E、D、B、H之间的关系，由媒质的特性决定，对于线性介质，本构关系为
电磁场的边值问题实际上是求解给定边界条件下的麦克斯韦（Maxwell）方程组及由方程组深化出的其他偏微分方程问题。从求解问题的技术手段上来说，它可以分为解析求解和数值求解两大类。对于简单模型，有时可以得到方程的解析解。若模型复杂度增加，则往往很难获得模型的解析解。随着计算工具，特别是高速大容量电子计算机的发展，电磁场数值分析已深入到工业生产各个领域，解决问题的面越来越广，分析的问题也日趋复杂。电磁场数值分析是一门综合性的学科，涉及电磁场理论、数值分析、计算方法、计算机基础知识及高级语言等多个方面，但在计算上存在着共性。有限元法是一种常用的数值方法，并有相应的电磁软件问世，其中ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D就是非常优秀的电磁分析软件。
表1.1麦克斯韦方程组中的独立方程与相关方程
独立方程
wenku.baidu.com相关方程
1 2 3
(1.1) (1.2) (1.3)
(1.1) (1.2) (1.5)
1 2
(1.4) (1.5)
(1.4) (1.3)
1、方程式（1.1）与式（1.4）的关系
对方程式（1.1）两边取散度，有
根据矢量恒等式，可知式（1.6）左端恒等于零
本章将对电磁场的基本理论、电磁场有限元的求解及ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D作简单的介绍。至于完整的电磁理论描述，读者可以参考许多教科书。如果读者已熟悉电磁理论，完全可以略过本章，直接从第2章开始学习如何使用Maxwell电磁软件。
1.1电磁场基本理论
1.1.1麦克斯韦方程组
在19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了适用于所有宏观电磁现象的数学模型，称之为麦克期韦方程组。它是电磁场理论的基础，也是工程电磁场数值分析的出发点。
1、自然边界条件
自然边界条件是软件系统的默认边界条件，不需要用户指定，是不同媒质交界面场量的切向和法向边界条件。
2．诺伊曼边界条件
电磁场教科书中常常称诺伊曼边界条件为第二类边界条件，它规定了边界处势的法向导数分布。Maxwell所提到的是齐次诺伊曼边界，即法向导数为零。它是Maxwell系统默认边界条件，不需要用户指定。
对方程式（1.2）两边取散度，有
显然，如果仅仅利用方程式（1.2）不能同时导出方程式（1.3）和式（1.5）。这时，要私将方程式（1.3）设为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.5）；要么将方程式（1.5）设定为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.3）。
1）方程式（1.11）与式（1.3）联合推导式（1.5）
二维稳恒电场求解器所满足的拉普拉斯方程
二维交变电场求解器所满足的复数拉普拉斯方程
二维静磁场求解器所满足的非齐次标量波动方程
二维涡流场求解器所满足的波动方程组
二维轴向磁场涡流求解器所满足的齐次波动方程
三维静磁场和涡流求解器所满足的齐次波动方程组
1．1．5电磁场求解的边界条件
电磁场问题求解中，有各种各样的边界条件，结合Maxwell 3D／2D，归结起来可概括为6类。
1.1.4二阶电磁场微分方程
在实际有限元计算中，通常并不针对麦克斯韦方程组中的一阶方程，常常先将方程化为二阶方程，然后针对二阶方程进行有限元数值求解。实际上，比较方便的做法是根据场的基本性质，引入辅助的计算量，如标量电势ϕ、矢量磁位A等。
Maxwell常用的求解方程有
二维、三维静电场求解器所满足的泊松方程
D=
B=
J=
式中，ε为介质的介电常数，F/m；μ为介质的磁导率，H/m；σ为介质的电导率，S/m。
还需要说明的是，对于各向同性介质，ε、μ和σ是标量；对于各向导性介质，它们是张量。
如果希望得到电磁场问题的惟一解，除了上述方程外，还需要配备定解条件；对于瞬变场，需要配备边界条件和初始条件；对于静态场、稳态场、时谐场，只需配备边界条件。
麦克斯韦方程组包括微分和积分两种形式，在此仅给出它们的微分形式，通过它们可以导出能用有限元处理电磁问题的微分方程。
麦克斯韦方程组为
法拉第电磁感应定律
麦克斯韦-安培定律
高斯电通定律
高斯磁通定律
电荷守恒定律
式中，E为电场强度，V/m；D为电通量密度，C/m；H为磁场强度，A/m；B为磁通量密度，T；J为电流密度，A/㎡；P为电荷密度C/m3。
上面5个方程中包含两个旋度方程式（1.1）、式（1.2）和3个散度方程式（1.3）、式（1.4）和式（1.5）。
1.1.2麦克斯韦方程组各方程之间的关系
上面提到的麦克斯韦方程组的5个方程中，只有3个方程是独立的，另外两个相关方程可以从独立方程中导出。其中两个旋度方程肯定是独立方程，另外一个独立方程可以在散度方程式（1.3）和式（1.5）中任选一个，方程式（1.4）只能作为相关方程。读者可以参考表1.1。
5．匹配边界条件
3．狄利克莱边界条件
电磁场教科书中常常称狄利克莱边界条件为第一类边界条件，有限元计算领域，常常称其为约束边界条件，或本质边界条件。它规定了边界处势的分布，势是边界位置的函数，也可以是常数和零。
4．对称边界条件
对称边界条件包括奇对称和偶对称两大类。奇对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相反。偶对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相同。采用对称边界条件可以减小模型的尺寸，有效地节省计算资源。
设在场域内B关于时间和场点二阶混合偏导数连续，则式（1.7）可以化为
即
C是与时间无关的常数。同理， 也是与时间无关的常数，只要在初始时刻t=0取C=0，则在t＞0以后的任意时刻恒有
由此，可以看出方程式（1.1）与式（1.4）是相关的，由方程式（1.1）可以推导出式（1.4）。
2、方程式（1.2）、式（1.3）与式（1.5）之间的关系
将方程式（1.3）代入式（1.11）有
2）方程式（1.11）与式（1.5）联合推导式（1.3）
将方程式（1.5）代入式（1.11）有
即
这里，C为与时间无关的常数，那么只要在初始时刻t=0取C=0，则在t＞0以后的任意时刻恒有
1.1.3本构关系
场量E、D、B、H之间的关系，由媒质的特性决定，对于线性介质，本构关系为