1.2.1函数的概念
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1.2.1 函数的概念 课件(人教A必修1)
栏目 导引
第一章
集合与函数概念
解：要使函数解析式有意义，
x＋1≥0， (1)由 解得 x≥－1 且 x≠2， x－2≠0，
所以函数定义域为{x|x≥－1 且 x≠2}．
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第一章
集合与函数概念
x＋3≠0， (2) －x≥0， x＋4≥0，
且 x≠－3，
x≠－3， 即 x≤0， x≥－4，
1 x≥0 |x| (4)f(x)＝ ，g(x)＝ . x －1x＜0
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第一章
集合与函数概念
【解 】 (1)f(x)的定义 域为 R，g(x)的 定义域为 {x|x≠2}． 由于定义域不同， f(x)与 g(x)不是相等 故 函数． (2)f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为 R，即定义 域相同． 由于 f(x)与 g(x)解析式不相同，则 f(x)与 g(x)不是 相等函数． (3)g(x)＝ x2＝|x|＝f(x)，是相等函数．
栏目 导引
第一章
集合与函数概念
1 【解】 (1)∵f(x)＝ ， 1＋x 1 1 ∴f(2)＝ ＝ ； 1＋2 3 ∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6 1 1 (2)f(g(2))＝f(6)＝ ＝ 1＋6 7
1 (3)f(x)＝ 的定义域为{x|x≠－1}， x＋1 ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞) g(x)＝x2＋2 的定义域为 R，最小值为 2. ∴值域是[2，＋∞)
集合与函数概念
变式训练
1．判断下列对应关系f是否为从集合A到集合 B的一个函数：
(1)A ＝ {1,2,3} ， B ＝ {7,8,9} ， f(1) ＝ f(2) ＝ 7 ，
f(3)＝8； (2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时， f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1； (3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1.
1.2.1 函数的概念
例1：求下列函数的定义域：
1 ２）f ( x) = x + 3 1) x) = f( x+2 1 练习: 练习 3) f(x)= x + 3 + 课本P21 1 课本 x+2
求函数的定义域依据： 若f ( x)是整式，则x ∈ R f ( x) 对于式子 , 应使g ( x) ≠ 0 g ( x) 对于式子 f ( x), 应使f ( x) ≥ 0 对于式子３ f ( x), 应使f ( x) ∈ R
例2. 已知函数f( 3 )=53x +2 x 1. 求 f (3) 2 . 求f(－2) 3.求 f(a) 4 .求f(a+1).
1x
数3
加 油
典型例题：
例2. 已知函数f( ax )=5 a +2 x 1. 求 f (3) 2 . 求f(－2) 3.求 f(a) 4 .求f(a+1). 题 2x a
０ 对于式子[f(x)] , 应使f ( x) ≠ 0
区区区区 设a,b是是是是 是，而而a<b,规规： 是 规 （1）满满满满 满a ≤ x≤ b的是是x的的的的 的的区区，表表表[a,b]； ） 的 的 ； （2）满满满满 满a<x<b的是是x的的的的 的的区区,表表表（a,b）； ） 的 的 表 ） （3）满满满满 满a ≤ x<b或a<x≤ b的是是x的的的的 的的的的的区 区，分分分表 [a,b),(a,b]. ） 或 的 的 a与b分分的的 分分区区的分 分分，右分分. 与 分
3
3
(3) y = x
2
对应法则不同
注：判定两个函数是否相同，只需考察对应关系（表达 判定两个函数是否相同，只需考察对应关系（ 对应关系 定义域是否相同即可 是否相同即可。 式）与定义域是否相同即可。
人教版必修1数学课件1.2.1 函数的概念精选ppt课件
(1)判断一个集合 A 到集合 B 的对应关系是不是函数关系的 方法：①A，B 必须都是非空数集；②A 中任意一个数在 B 中 必须有并且是唯一的实数和它对应．
[注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余． (2)函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函 数中两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不 能是“一对多”.
符号 (－∞,＋∞) _[_a_，__＋__∞__) (_a_，__＋__∞_) (_－__∞_，__a_] (_－__∞_，__a_)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函 数 值 域 中 的 每 一 个 数 都 有 定 义 域 中 的 数 与 之 对 应．(√ ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( × ) (3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( √ ) (4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元 素．( √ ) (5)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( × ) (6)数集{x|x<－3}，其区间表示为(－∞，－3)．( √ )
2．函数 y＝ 1－x＋ x的定义域为( D )
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或 x≤0} D．{x|0≤x≤1}
3．已知 f(x)＝x2＋1，则 f(f(－1))＝( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．已知 f(x)＝2x1＋1，x∈{0，1，2}，则函数 f(x)的值函数符号，f 表示对应关系，f(x)表示 x 对应的函 数值，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积．在不同的函数中 f 的具 体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等(下节讲函 数这三种表示)．函数除了可用符号 f(x)表示外，还可用 g(x)， F(x)等表示．
1.2.1函数的概念
例 1.若f ( x)的定义域是[0, 2], 求f (2 x 1)的定义域
练习1. 已知f(x)的定义域为(-3,5],求函数f(3x-2) 的定义域；
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2 x 1的定义域( 1,5], 求f ( x)的定义域
例4.已知f ( x 1) x 1, 则f ( x) ________ .
练习 2.已知f ( x 1) x 2 x , 则f(x) _____.
1 x 例5.已 知f ( ) , 则f ( x ) ________ . x 1 x
四.求函数值
例1.已知函数f(x)=3x2-5x+2，则f(2)=_____.
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为(a，b) （3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b} {x|a≤x < b}
x 1, x 0 例5.已知函数 f ( x ) 2 x , x 0
则不等式f ( x ) 2的解集为 _______ .
例5. 画出函数y=|x|的图象.
x , x 0 y | x | x , x 0
y
图象如下：
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1
ax c n 方法： 把y 化为 y a 的形式 xb xm
x 1 例2.函 数y 的值域为 ________ . x 1
练习1. 已知f(x)的定义域为(-3,5],求函数f(3x-2) 的定义域；
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2 x 1的定义域( 1,5], 求f ( x)的定义域
例4.已知f ( x 1) x 1, 则f ( x) ________ .
练习 2.已知f ( x 1) x 2 x , 则f(x) _____.
1 x 例5.已 知f ( ) , 则f ( x ) ________ . x 1 x
四.求函数值
例1.已知函数f(x)=3x2-5x+2，则f(2)=_____.
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为(a，b) （3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b} {x|a≤x < b}
x 1, x 0 例5.已知函数 f ( x ) 2 x , x 0
则不等式f ( x ) 2的解集为 _______ .
例5. 画出函数y=|x|的图象.
x , x 0 y | x | x , x 0
y
图象如下：
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1
ax c n 方法： 把y 化为 y a 的形式 xb xm
x 1 例2.函 数y 的值域为 ________ . x 1
1.2.1函数的概念(高中)
自我反思
学习方法
学习效果
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作 业
1.阅读：教材章节1.2.1；
2.书面：配套练习册+课后练习部分；
3.实践：函数对应关系的生活或专业实例．
举例
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1 （4） f ( x) x 1 . 2 x
1 (3)解： 1 - 2 x 0, x , 量的取值集合． 2 x 1 0 x 1 1 ( 4)解： ， 定义域为 {x x }, 2 2 x 0 x 2 定义域为 {x x 1且x 2}, 1 或（- ， ]. 退出 2 back next 或[1 ， 2) ( 2,].
（ 1）解：定义域为 R. 或为（- ， ） .
( 2 ) 解： x 1 0 , x 1, 定义域为 { x x 1}, 或（ - ， - 1） （ - 1， ） .
1 （2） f ( x ) ； x 1
（3） f ( x) 1 2x ；
学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元， 购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？
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小组讨论-函数的概念
分析 思考
分工 合作
完成 任务
汇报 交流
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函数的概念 设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，
使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数
函数定义域
1.若函数f (x)是整式，则其的定义域是实数集R. 2.若函数f (x)是分式，则其的定义域是使分母不等于0的实数集. 3.若函数f (x)是二次根式，则其的定义域是使根号内的式子大于或等于 0的实数集. 4.若函数f (x)是由两部分组成，则其定义域是使得各部分都有意义的自 变量取值的集合.
第一章 1.2.1函数的概念
第一章 集合与函数概念
§1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
探要点、究所然
1.2.1
[情境导学] 初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并 未完全揭示出函数概念的本质．对于 y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动 变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点 来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概 念的再认识，就很有必要．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
阅教材P15-16 思（5分钟） 议（5分钟）
1.2.1
探究点一 ：函数的概念
思考 1 初中学习的函数的概念是如何定义的？
思考 2
阅读教材 15 页～16 页中的三个实例， 并指出三个实例存在哪些变
量？变量之间的对应关系是采用什么形式表达的？三个实例中变量的关 系有什么共同点？ 思考 3 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域及值域
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.2.1
探究点二 ：映射的概念及应用
解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数
与之对应，所以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射．
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知， 平面直角坐标系中的任意一个点， 都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集 合 B 的一个映射．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
探要点、究所然
1.2.1
[情境导学] 初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并 未完全揭示出函数概念的本质．对于 y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动 变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点 来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概 念的再认识，就很有必要．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
阅教材P15-16 思（5分钟） 议（5分钟）
1.2.1
探究点一 ：函数的概念
思考 1 初中学习的函数的概念是如何定义的？
思考 2
阅读教材 15 页～16 页中的三个实例， 并指出三个实例存在哪些变
量？变量之间的对应关系是采用什么形式表达的？三个实例中变量的关 系有什么共同点？ 思考 3 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域及值域
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.2.1
探究点二 ：映射的概念及应用
解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数
与之对应，所以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射．
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知， 平面直角坐标系中的任意一个点， 都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集 合 B 的一个映射．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.2.1函数的概念
例题剖析
例1 求下列函数的定义域 (1)y=x+1 (2)y=
1 x 3
1 x2
(3)y= x 1
(4)y=
x3
(5)y=(x-1)0
同步练习
1 求下列函数的定义域：
( x 1) 2 - 1- x （1）y x 1
x 1 （2）y x x
练习：教材19页，练习1 创新设计13页【活学活用2】、课堂达标2、5
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读 作“无穷大”.满足x≥a,x>a ,x≤b,x<b的实数的集 合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(∞,b).
小结
1.函数的概念
2.函数的三要素
3.会求简单函数的定义域、值域
4.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式
转化为区间.
作业
习题1.2 A组 1
要点解析：
1.函数的定义域就是自变量x的取值范围； 2.对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施
“对应操作”的“程序”或者'方法"；
3.值域：对于定义域A内的函数y=f(x)，其值域就是 指集合{y=f(x),xA}.
例1.判断下列对应能否表示y是x的函数
（1）y=|x|
（4）y2=x
（2）|y|=x
提问：
1.恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两 个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集 合与对应的语言来描述这个关系？
思考
分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系 有什么特点和共同点？ 归纳以上三个实例，可以看出其不同点是： 示例1是用解析式刻画变量之间的对应关系；示例 2是用图像刻画变量之间的对应关系；示例3是用 表格刻画变量之间的对应关系
人教版高中数学必修一1.2.1函数的的概念_ppt课件
题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋ ＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋ －1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ， 所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义， 需满足x3＋ －12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项 系数的讨论而出错
【例 4】 已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根 式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；
(绝对经典)1.2.1函数的概念
x a x b 写成闭区间
a, b
x a x b 写成开区间
a, b
x a x b 写成左闭右开区间a,b
x a x b 写成左开右闭区间 a,b
另外还有 ,,a,,a,,,b,,b
例 1.已知函数 f x x 1 1
函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域，注意，值域是 B 的子集。
指出下列函数的定义域和值域，对应法则
（1） y 2x 1
（2） f x x2 2x 2
（3） g(x) 3 x
（4） h x 1 x 1
区间的概念及其写法介绍
当 a b 得时候
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 2.下列函数中，哪些函数与函数 f x x 相同
2
（1） g x x
（2） h x x2
（3） t t2
t
（4） k s 3 s3
1.2.1函数的概念
定义：一般地，设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中
的任意一个数 x ，在集合 B 中，都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
y f x,xA
其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，
x 2
（1）求 f x 的定义域；
（2）求
f
3 ,
f
2 3
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 1.已知函数 f x x 1 1 x 20
a, b
x a x b 写成开区间
a, b
x a x b 写成左闭右开区间a,b
x a x b 写成左开右闭区间 a,b
另外还有 ,,a,,a,,,b,,b
例 1.已知函数 f x x 1 1
函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域，注意，值域是 B 的子集。
指出下列函数的定义域和值域，对应法则
（1） y 2x 1
（2） f x x2 2x 2
（3） g(x) 3 x
（4） h x 1 x 1
区间的概念及其写法介绍
当 a b 得时候
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 2.下列函数中，哪些函数与函数 f x x 相同
2
（1） g x x
（2） h x x2
（3） t t2
t
（4） k s 3 s3
1.2.1函数的概念
定义：一般地，设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中
的任意一个数 x ，在集合 B 中，都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
y f x,xA
其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，
x 2
（1）求 f x 的定义域；
（2）求
f
3 ,
f
2 3
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 1.已知函数 f x x 1 1 x 20
1.2.1 函数的概念(3)--函数相等、定义域、值域总结
2、 因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么 字母表示自变量，因变量、对应关系都是无关紧要的。
练习
1、下列各组函数表示同一函数的是( D )
A、f ( x) x2 1 与g( x) x 1 x1
B、f ( x) 2x3与g( x) x 2x
C、f ( x) x与g( x) ( x )2 D、f ( x) x2 2x 1与g(t) t 2 2t 1
x, x 0 与g( x, x 0
x
)
|
x|
B. f ( x) 2x 1与g( x) 2x2 x x
C . f ( x) | x2 1 | 与 g(t) (t 2 1)2
D. f ( x) x0与 g( x) 1
常见函数的定义域和值域
函数 函数关系式 定义域
正比例
函数 y＝kx(k≠0)
分析：函数的值域就是所有函数值得集合。值域是由函数的 定义域和对应关系所决定的，因而解题中要明确函数的定义 域和对应关系
（1）求函数 y x 1的值域
解 : x 0 x 1 1 y x 1的值域为[1,).
（2）求函数 y x2 4x 6, x [1,5] 的值域
解：配方，得y (x 2)2 2
x 1,5 ， 2 y 11
函数的值域为[2,11]
（3）求函数 y 2x 的值域 5x 1
解：
y
2x
2 (5 x 1) - 2
5
5
5x 1
5x 1
2 5
-
2 5（5 x
1）
5x 1 0
5（5
2 x
1）
0
函 数 的 值 域 为 y
|
y
2 5
.
练习
1、下列各组函数表示同一函数的是( D )
A、f ( x) x2 1 与g( x) x 1 x1
B、f ( x) 2x3与g( x) x 2x
C、f ( x) x与g( x) ( x )2 D、f ( x) x2 2x 1与g(t) t 2 2t 1
x, x 0 与g( x, x 0
x
)
|
x|
B. f ( x) 2x 1与g( x) 2x2 x x
C . f ( x) | x2 1 | 与 g(t) (t 2 1)2
D. f ( x) x0与 g( x) 1
常见函数的定义域和值域
函数 函数关系式 定义域
正比例
函数 y＝kx(k≠0)
分析：函数的值域就是所有函数值得集合。值域是由函数的 定义域和对应关系所决定的，因而解题中要明确函数的定义 域和对应关系
（1）求函数 y x 1的值域
解 : x 0 x 1 1 y x 1的值域为[1,).
（2）求函数 y x2 4x 6, x [1,5] 的值域
解：配方，得y (x 2)2 2
x 1,5 ， 2 y 11
函数的值域为[2,11]
（3）求函数 y 2x 的值域 5x 1
解：
y
2x
2 (5 x 1) - 2
5
5
5x 1
5x 1
2 5
-
2 5（5 x
1）
5x 1 0
5（5
2 x
1）
0
函 数 的 值 域 为 y
|
y
2 5
.
高一数学必修一课件1.2.1函数的概念
2.y = ax2 + bx + c(a 0)
定义域是R，值域是集合B，当a>0时，B={y︱ y≥ 4ac - b2},当a<0时，B={y︱y≤ 4ac - b}2. 对于R4中a 的任意一个数x，在B中都有4a唯一确定的
y = a素x2是+定b构x义+成c域函(a、数0对的) 和应三它关要对应.
3.y 系= k和(值k 域 0. ) x
定义域是A={ xR︱x≠0 }，值域是R.
对于集合A中的每一个x，在R中都有唯一确定的 值 y = k (k 0) 与它对应.
x
用实心点表示包括在区 与函数相间关内的的概端念点—，—用区空间心点表示
不包括在区间内的点.
定义 {x︱a≤x≤b} {x︱a<x<b}
域就是{x︱x<0}.
(2)使根式 x + 2 有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}， 使分式 1 成立的实数的集合是{x︱x≠10}.所以，这
10 - x
个函数的定义域就是
{x︱x≥-2} {x︱x≠10}={x︱x ≥-2，且x≠10} .
例2 已知函数 f(x) = 3 - x + x + 1 - 1 （1）求f(-1)，f(0)的值； （2）当-1≤a ≤ 3时，求f(a)的值.
x
A. f ( x) ln x B. f (x) 1
x
C. f (x) | x | D. f ( x) e x
1
解析：y = x的定义域为{x|x>0},而 f ( x) ln x
的定义域也为{x|x>0}.
3．（2008 山东）设函数
f
(
x
)
定义域是R，值域是集合B，当a>0时，B={y︱ y≥ 4ac - b2},当a<0时，B={y︱y≤ 4ac - b}2. 对于R4中a 的任意一个数x，在B中都有4a唯一确定的
y = a素x2是+定b构x义+成c域函(a、数0对的) 和应三它关要对应.
3.y 系= k和(值k 域 0. ) x
定义域是A={ xR︱x≠0 }，值域是R.
对于集合A中的每一个x，在R中都有唯一确定的 值 y = k (k 0) 与它对应.
x
用实心点表示包括在区 与函数相间关内的的概端念点—，—用区空间心点表示
不包括在区间内的点.
定义 {x︱a≤x≤b} {x︱a<x<b}
域就是{x︱x<0}.
(2)使根式 x + 2 有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}， 使分式 1 成立的实数的集合是{x︱x≠10}.所以，这
10 - x
个函数的定义域就是
{x︱x≥-2} {x︱x≠10}={x︱x ≥-2，且x≠10} .
例2 已知函数 f(x) = 3 - x + x + 1 - 1 （1）求f(-1)，f(0)的值； （2）当-1≤a ≤ 3时，求f(a)的值.
x
A. f ( x) ln x B. f (x) 1
x
C. f (x) | x | D. f ( x) e x
1
解析：y = x的定义域为{x|x>0},而 f ( x) ln x
的定义域也为{x|x>0}.
3．（2008 山东）设函数
f
(
x
)
1.2.1函数的概念(2)
回顾3.函数 f ( x) 1 | x | 的定义域如何？怎 样表示？ 区间 问、 上述集合还有更简单的表示方法吗？
四、区间概念：
定义 名称 符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a
数轴表示
a b
b
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
b
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间 {x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用不等 式 怎样表示？ x a, x a, x a, x a 思考2：满足不等式 的实数x的集合也可以看成区间，那么这些ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合如何用 区间符号表示？ [a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
课题: 1、2、1函数的概念
第二课时
知识回顾
回顾1.什么叫函数？用什么符号表示函数？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确 回顾2.什么是函数的定义域？值域？ 定的数f(x)和它对应， 自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.
五、复合函数 由简单函数复合而成 的函数叫做复合函数. 若y= f (u), u= g(x), 则y= f [g(x)],
例2. 已知 f －5x+2, g (x)=2x-1 求f(3), g(-1),f[g(1)],f[f(1)]. f [g(3)].
第1章1.2.1函数的概念
必修一：第一章：函数的概念与表示
新课导入
1.2 函数的概念与表示
必修一：第一章：函数的概念与表示
新课导入
在初中，我们就学习过函数，我们不仅知道了什 么叫函数，还学习了一次、二次、反比例、正比例函
数.
——不系统，不全面
为什么我们还 要学函数呢？
在高中，我们将比较系统、全面地学习“函数”
的知识.
必修一：第一章：函数的概念与表示
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】判断下列对应是否是A到B的函数？ （1）A=B=N*，f：x →y=|x-3|；
1 （x 0） （2）A=R，B={0，1}，f ：x→ y 0 （x 0） （3）A=B=R，f：x→y= x
（4）A=Z，B=Q，f：x→
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】2.函数 y 4 3 2 x x 2 的值域为( A.(-∞,2］ B.(-∞ ,4］
C )
C.［2,4］
D.［2, +∞)
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】3.求函数 y x 2 x 1 的值域.
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【温馨提示】
（1）已知函数表达式求定义域，就是根据表达 式有意义，列出不等式（组），然后解之，从而得
之；
（2）最后结果一定要写成集合或区间形式.
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】1.求下列函数的定义域.
1 (1) f ( x ) x | x |
知识导学
【升华提高】 1.一个对应是函数必须满足两个条件：
（1）必须是非空数集间的对应；
新课导入
1.2 函数的概念与表示
必修一：第一章：函数的概念与表示
新课导入
在初中，我们就学习过函数，我们不仅知道了什 么叫函数，还学习了一次、二次、反比例、正比例函
数.
——不系统，不全面
为什么我们还 要学函数呢？
在高中，我们将比较系统、全面地学习“函数”
的知识.
必修一：第一章：函数的概念与表示
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】判断下列对应是否是A到B的函数？ （1）A=B=N*，f：x →y=|x-3|；
1 （x 0） （2）A=R，B={0，1}，f ：x→ y 0 （x 0） （3）A=B=R，f：x→y= x
（4）A=Z，B=Q，f：x→
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】2.函数 y 4 3 2 x x 2 的值域为( A.(-∞,2］ B.(-∞ ,4］
C )
C.［2,4］
D.［2, +∞)
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】3.求函数 y x 2 x 1 的值域.
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【温馨提示】
（1）已知函数表达式求定义域，就是根据表达 式有意义，列出不等式（组），然后解之，从而得
之；
（2）最后结果一定要写成集合或区间形式.
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】1.求下列函数的定义域.
1 (1) f ( x ) x | x |
知识导学
【升华提高】 1.一个对应是函数必须满足两个条件：
（1）必须是非空数集间的对应；
1.2.1 函数的概念
a a a
半开半闭区间 [a，﹢∞) 半开半闭区间 (a, ﹢∞)
半开半闭区间 (﹣∞，b ]
半开半闭区间 (﹣∞，b)
b
b
{x|x＜b}
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
把下列不等式写成区间表示 (-2,4) 1. -2<x<4,记作： ____； 2.x >4,记作:__________； (4,+∞) 3. 5≤x≤7,记作:
[5,7] 4. 2≤x＜5,记作: [2,5) ； ；
(-∞,-10] (1,3] 5. 1＜x≤3,记作: _____； 6. x≤-10,记作:_______；
[3,+∞) (-∞,-6) 7.x≥3,记作:_______； 8.x<-6,记作:_______ ； (6,14] 9. {x|x>6}∩{x|-5<x≤14}记作_______; [-2,8] 10. {x|-2≤x<6}∪{x|3<x≤8}记作______;
那么函数的值域确定吗？
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定； 思考4：两个函数相等的条件是什么？
定义域相同，对应关系完全一致。
例1.下列说法中，不正确的是( B )
A.函数值域中的每一个数都有定义域中的 一个数与之对应
√
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
×
C.定义域和对应关系确定后，函数值域也 就确定
1998 44.5
1999 41.9
2000 39.2
2001 37.9
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变化范 围分别是什么？
A ={1991，1992，„，2001} B ={53.8，52.9，50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}
1.2.1函数的概念
配人教版
数学
必修1
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}.
x－1≥0， (3)要使函数有意义， 则 1－x≥0， x≥1， 即 x≤1，
所以 x＝1，
＋1)的定义域. 【错解】∵1≤x≤2，∴2≤x＋1≤3. ∴y＝f(x＋1)的定义域为[2,3].
配人教版
数学
必修1
【错因】未弄清函数的定义域概念而致错，实际上此类问 题学生易分不清函数y＝f(x＋1)的自变量是x，常常错误地认为 是“x＋1”.两函数中第一个函数的“x”与第二个函数的“x＋
1”地位是等同的.
x－1≥0， 【解析】 由题意可知， 要使函数有意义， 需满足 x－2≠0，
即 x≥1 且 x≠2.
配人教版
数学
必修1
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( A．11 B．12
)
C．13
【答案】C
D．10
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
配人教版
配人教版
数学
必修1
2x＋3≥0， (2)要使函数有意义，需2－x>0， x≠0， 3 解得－2≤x<2 且 x≠0， 1 1 所以函数 y＝ 2x＋3－ ＋x 的定义域为 2－x
3 x－ ≤x 2 <2且x≠0.
配人教版 求函数值
数学
必修1
必修1
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)集合{x|1<x≤10}用区间表示为________. (2)已知函数f(x)＝x－1，则f(1)＝________.
1.2.1函数的概念
2x 3 2. 求函数 f ( x) 的定义域. 2 x 1 3. 求函数 f ( x ) x 1 的定义 2 x 域. 0 ( x 2) 4. 求函数 f ( x) 的定义域. 1 x
1. 求函数 f ( x) 定义域.
x 2 3 x 的
例2、下列函数中哪个与函数y=x相等？
时间 93 94 95 96 97 98 99 00 01
恩格 尔系 50.1 数
49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
恩格尔系数越低，生活质量越高！
函 数
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集 合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
{x | a x b}
{x | a x b}
数轴表示 a b
. .
b 。 b 。
a 。
{x | a x b}
{x | a x b}
半开半闭 [a,b) 区间
.
a
a
半开半闭 (a,b] 区间
。
.
b
实数集R可以用区间表示为 (,) ， “≦”读作“无穷大”，“-≦”读作 “负无穷大”， “+≦”读作“正无穷 大”. 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x 的集合怎样表示呢？
y=f(x)，x ∈A
其中，x叫做自变量. x的取值范围A 叫做函数的定义域.
集合
与x值相对应的y的值叫做函数值.
函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域.
定义域、值域、对应关系：函数的三要素
思 考
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1.2函数及表示
1.2.1函数的概念
一、教学目标
1.正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作业。
2.通过实例领悟构成函数的三个要素；会求一些简单函数的定义域和值域。
3.了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用。
4.通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力。
二、教学重难点
重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数的概念及符号()x f
y=的理解。
三、教学导图
函数的由来：17世纪科学家们致力于研究运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经纬度的测量，炮弹的速度对高度和射程的影响等，诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，在这种环境下产生了函数。
函数最早是德国数学家莱布尼兹使用的。
中国最早引进函数是清代数学家李善兰。
在数学史上先后有：德国数学家莱布尼兹、瑞士数学家约翰.伯努利兄弟、瑞士数学家欧拉、德国数学家狄利克雷等对函数进行研究，直到19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念用更加严谨的集合和对应语言表述，这就是我们本节学习的函数概念。
提问：1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数表达式分别是什么？
2.初中对函数概念是怎样定义的？
3.我们如何从集合的观点认识函数？
问题1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h＝130t-5t2.
思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？能用集合表示吗？
思考2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
问题2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？能用集合表示吗？
思考2:时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数?若是,其自变量是什么? 问题3国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变化范围分别是什么？
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系是否为函数？
提问1：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点和不同点？
共同点：（1）都涉及两个数集；
（2）两个数集间都有一种确定的对应关系f，即对于每一个x，都有唯一确定的y和它对应。
记作f:A →B.
思考2:上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么你能从集合与对应的观点定义函数 一般地,设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y=f(x)，x ∈A.其中，x 叫做自变量，与x 值相对应的y 值叫做函数值. 思考3：在一个函数中，自变量x 和函数值y 的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？
自变量的取值范围A 叫做函数的定义域； 函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域.
思考4：在从集合A 到集合B 的一个函数f ：A →B 中，集合A 是函数的定义域，集合B 是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x ∈R ？
请举例说说函数的定义域、值域是什么，并用定义域描述这个函数。
思考5：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
思考6：如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？
五、课堂练习：
例1.判断下列各组函数是否相等：
（1）()2x x f =与()33x x g =；
（2）()x
x x f =与()1=x g ； （3）()x x x f -=2与()()1-=t t t g ；
（4）()()21-=x x f 与()()2
1-=x x g 。
例2.设M ={x|0≤x ≤2}，N ={y|0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )个
3.2.1.0.D C B A
例2已知函数()1212-+-=x |
x |x f （1）求函数的定义域；
（2）求f(3),f(-5)的值。
补充区间表示
例3．求下列函数的定义域
（1）()x f =
x x x -+||)1(0; (2) ()x f =
8231232--+-x x x ; (3) ()x f =1·1-+x x .
例4．（1）设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数y=f(3x-1)的定义域。
（2）设函数y=f(2x)的定义域为［1，4］，求下列函数y=f(x-1)的定义域。
例5.已知函数()x f 对于任意x,y 都有()()()y f x f xy f +=成立。
（1）求()0f 与()1f 的值；
（2）若()a f =2，()b f =3（a 、b 均为常数），
求()36f 的值。
六、归纳小结：
本节学习主要内容有：（1）理解函数的定义；函数的三要素；会求简单的函数的定义域及函数值。
（2）理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。