两条直线的交点、距离公式与对称问题

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课件2：2.3.1　两条直线的交点坐标 ~2.3.2　两点间的距离公式

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(2)轴对称： ①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m，n)，则有mAn－·－a＋ba2×m＋－BAB·b＝＋2－n＋1，C＝0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
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[跟踪训练] 求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′ 的方程．解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
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法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－－13＝－23，则 kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形．
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[母题探究] (变设问)本例条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长．解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点，所以 x＝3＋2 1＝2，y＝－32＋7＝2，即点 M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝－3－22＋1－22＝ 26，所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.
并求|PA|的值．解：设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
|PB|＝ x－22＋0－ 32＝ x2－4x＋7.
由|PA|＝|PB|，得 x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得 x＝－95.
故所求点 P 的坐标为－95，0.|PA|＝
－95＋32＋0－42＝2
则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0. [答案] (1)B (2)D

两直线的位置关系及距离公式

题中，具有一定的综合性.
一、两条直线的位置关系及判定平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情
况．
1．利用斜率判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. (1)l1∥l2⇔k1＝k2且 b1≠b2 ； (2)l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 ；
(3)l1与l2重合⇔k1＝k2且 b1＝b2 .
立．
答案：B
(2)(理)由题意知 y′＝2ax－a，故曲线在(0,1)处的切线斜率为 y′|x＝0＝－a，而直线 2x＋y＋1＝0 的斜率为－2，由条件得－2×(－a)＝2a＝－1，解得 a＝－12.
答案：B
(文)当 m＝0 时两直线不垂直，故 m≠0，可得两直线斜率分别为12，－m2 .由12·－m2 ＝－1 得 m＝1.
限，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：由题意知 k≠0，
由yy＝＝k－x－x＋11 得xy＝＝kkk＋－＋2 111， .
因为交点在第一象限，故kkk＋－＋2 111＞＞00 答案：C
，解得 k＞1.
3．过点(1,0)且与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程是( )
解析：两直线的斜率分别为 4－a 和－23，由两直线垂直的充要条件知(4－a)·－23＝－1，解得 a＝52. 答案：52
5 ．直线 2x ＋ 3y － 6 ＝ 0 关于点 (1 ，－ 1) 对称的直线方程为 ________________．
解析：设(x，y)为所求直线上任一点，它关于点(1，－1)的对称点为(2－x，－2－y)，由题意知2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，化简得2x＋3y＋8＝0.即为所求直线方程．

人教版高数必修二第10讲：点、直线的距离和对称(教师版)

点、直线的距离和对称一、距离问题1. 设平面上两点()()111222,,,P x y P x y ，则12PP=为两点间距离2．点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离d ＝.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝.二、对称问题1. 关于点对称问题（1）点关于点对称点()00,M x y 关于点(),P a b 的对称点是()002,2a x b y --．特别地，点()00,M x y 关于原点的对称点为()00,x y --．（2）线关于点对称已知l 的方程为：0Ax By C ++=()220A B +≠和点()00,P x y ，则l 关于P 点的对称直线方程．设'P ()'',x y 是对称直线'l 上任意一点，它关于()00,P x y 的对称点()''002,2x x y y --在直线l上，代入得()()''00220A x x B y y C -+-+=．此直线即为所求对称直线．2. 关于线对称问题（1）点关于线对称已知点()00,M x y ，直线:l 0Ax By C ++=()0A B ≠，设点M 关于直线l 的对称点为()00,N x y ，则由1MN l k k =-得到一个关于,m n 的方程，又线段MN 的中点在直线l 得到另一个关于,m n 的方程，解方程组00001022n y A B m x x m y n A B C -⎧-⨯=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩ 即可求出点()00,N x y ．特别说明：①点()00,M x y 关于x 轴对称的点的坐标是()00,x y -，关于y 轴对称点的坐标是()00,x y - ②点()00,M x y 关于直线y x =的对称点坐标是()00,y x ，关于y x =-对称点为()00,y x -- （2）线关于线对称已知1111:0,:0l A x B y C l Ax By C ++=++=,求直线1l 关于直线l 对称直线2l如右图所示，在直线上任取不同于l 与1l 交点P 的任一点M ，先求出点M 关于直线l 的对称点N 的坐标，再由,N P 在2l 上，用两点式求出直线2l 的方程．常见的对称结论有：设直线:0l Ax By C ++=．① l 关于x 轴的对称的直线是：()0Ax B y C +-+=； ②l 关于y 轴的对称的直线是：()0A x By C -++=； ③l 关于原点的对称的直线是：()()0A x B y C -+-+=； ④l 关于y x =的对称的直线是：0Ay Bx C ++=；⑤l 关于y x =-的对称的直线是：()()0A y B x C -+-+=；类型一点到直线的距离例1：求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)3x －4y －1＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴．解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直接代入点到直线的距离公式即可．答案：(1)由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－－－1|32＋－2＝165. (2)由直线y ＝6与x 轴平行，得d ＝|6－(－2)|＝8.或将y ＝6变形为0·x ＋y －6＝0，∴d ＝|0×3＋－－6|02＋12＝8. (3)d ＝|3|＝3.练习1：求点P (－1,2)到直线2x ＋y －5＝0的距离；答案：由点到直线距离公式d ＝ 5.练习2：点A (a,6)到直线3x －4y ＝2距离等于4，求a 的值；答案：由点到直线的距离公式|3a －4×6－2|32＋42＝4， ∴a ＝2或463.练习3：求过点A (－1,2)且与原点距离等于22的直线方程．答案：设所求直线l ：y －2＝k (x ＋1)，原点O (0,0)到此直线距离为22，可求得k ＝－1或－7， ∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或7x ＋y ＋5＝0.例2：已知在△ABC 中，A (3,2)、B (－1,5)，C 点在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，求C 点坐标．解析：本题易求|AB |＝5，C 点到AB 的距离即为△ABC 中AB 边上的高．设C (x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋3，从而可建立x 0的方程求解．答案：设点C (x 0，y 0)，∵点C 在直线3x －y ＋3＝0上，∴y 0＝3x 0＋3.∵A (3,2)、B (－1,5)， ∴|AB |＝－2＋－1－2＝5.设C 到AB 的距离为d ，则12d ·|AB |＝10，∴d ＝4.又直线AB 的方程为y －25－2＝x －3－1－3，即3x ＋4y －17＝0，∴d ＝|3x 0＋x 0＋－17|32＋42＝|15x 0－5|5＝|3x 0－1|＝4.∴3x 0－1＝±4，解得x 0＝－1或53.当x 0＝－1时，y 0＝0；当x 0＝53时，y 0＝8.∴C 点坐标为(－1,0)或(53，8)．练习1：求经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程．答案：解法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y －2＝k (x －1)，由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.解法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过AB 中点． ∵k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， ∴所求直线方程为：x ＝1或4x －y －2＝0.练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12PP 的中点P 到原点的距离的最小值是（）A ． D ．答案：B类型二两条平行线之间的距离例3：求两平行线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：3x ＋4y ＝15的距离．解析：由题目可获取以下主要信息： ①直线l 1与l 2的方程已知； ②l 1与l 2平行．解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的差，从而求解．答案：解法一：若在直线l 1上任取一点A (2,1)，则点A 到直线l 2的距离，即是所求的平行线间的距离．如图①所示，∴d ＝|3×2＋4×1－15|32＋42＝1. 解法二：设原点到直线l 1、l 2的距离分别为|OF |、|OE |，则由图②可知，|OE |－|OF |即为所求．∴|OE |－|OF |＝|－15|32＋42－|－10|32＋42＝1，即两平行线间的距离为1. 解法三：直线l 1、l 2的方程可化为3x ＋4y －10＝0,3x ＋4y －15＝0，则两平行线间的距离为 d ＝|－10－－32＋42＝55＝1. 练习1：两平行直线x ＋3y －4＝0与2x ＋6y －9＝0的距离是________．答案：1020练习2：已知平行线2330x y +-=与2390x y +-=，则与它们等距离的直线方程是（） A ．23120x y +-= B ．2360x y +-= C ．230x y += D ．2330x y ++= 答案：B类型三对称问题例4：点P (－1,1)关于直线ax －y ＋b ＝0的对称点是Q (3，－1)，则a 、b 的值依次是( )A ．－2,2B ．2，－2 C.12，－12 D.12，12 解析：设PQ 的中点为M ，则由中点坐标公式得M (1,0)． ∵点M 在直线ax －y ＋b ＝0上，∴a ＋b ＝0. 又PQ 所在直线与直线ax －y ＋b ＝0垂直，∴－1－13－－·a ＝－1，∴a ＝2.故b ＝－2. 答案：B练习1已知直线l ：y ＝3x ＋3，求点P (4,5)关于直线l 的对称点坐标．答案：设点A (x ，y )是点P 关于直线l 的对称点，∵A 、P 的中点在直线l 上， ∴y ＋52＝3×x ＋42＋3，即3x －y ＋13＝0又∵AP 与直线l 垂直， ∴y －5x －4×3＝－1，即x ＋3y －19＝0 ②解①、②组成的方程组可得x ＝－2，y ＝7，即所求点的坐标为(－2,7)．练习2：已知(),P a b 和()1,1Q b a -+是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程为（） A ．0x y += B ．0x y -= C ．10x y ++= D ．10x y -+=答案：D例5：在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．解析：设点B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；点C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．事实上，对于(1)，若P ′是l 上异于P 的点，则||P ′A |－|P ′B ||＝||P ′A |－|P ′B ′||<|AB ′|＝||PA |－|PB ′||＝||PA |－|PB ||；对于(2)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C ′|>|AC ′|＝|PA |＋|PC |. 答案：(1)如图所示，设点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a＝－1.∴a ＋3b －12＝0.又由于线段BB ′的中点坐标为A (a 2，b ＋42)，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝02x ＋y －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5.即直线l 与AB ′的交点坐标为(2,5)． ∴点P (2,5)为所求．(2)如图所示，设点C 关于直线l 的对称点为C ′，求出点C ′的坐标为(35，245)．∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 的交点坐标为(117，267)．故P 点坐标为(117，267)，为所求．练习1：已知()()3,5,2,15A B -,直线:3440l x y -+= （1）在l 上求一点P ，使PA PB +的值最小；（2）在l 上求一点Q ，使QA QB -的值最小．答案：（1）设点A 关于直线l 的对称点()'00,A x y ，则0000543335344022y x x y -⎧=-⎪+⎪⎨-+⎛⎫⎛⎫⎪-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得0033x y =⎧⎨=-⎩ ∴()'3,3A -由两点式可得'A B 的方程为18510x y +-= 又∵点P 应是'A B 和l 的交点∴解方程组18503440x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴所求点P8,33⎛⎫⎪⎝⎭（2）∵2AB k = ∴AB 的方程为211y x =+ 由于直线AB 与l 的交点Q 即为所求∴解方程组3440211x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 得85x y =-⎧⎨=-⎩∴所求点()8,5Q --练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12PP 的中点P 到原点的距离的最小值是（） A．2．．2D．答案：B1．已知点()()1,3,2,6A B -，则AB 的长及中点坐标分别是（）A ．()1,9--B ．19,22⎫-⎪⎭C ．19,22⎫--⎪⎭D ．19,22⎫⎪⎭答案：B2．若点(),6A a 到直线342x y -=的距离等于4，则a 的值是（） A ．2 B ．463 C ．0或2 D ．2或463答案：D3．过点()1,2A -的直线方程是（） A ．10x y +-= B ．750x y ++=C ．10x y +-=或750x y ++=D ．10x y --=或750x y ++= 答案：C4．若点P 到点()()120,1,7,2P P 及x 轴的距离相等，则P 的坐标是（） A ．()3,5 B ．()17,145- C ．()3,5或()17,145- D ．以上全不对答案：C5．两平行线4x ＋3y －1＝0与8x ＋6y ＋3＝0之间的距离是( )A.25B.110C.15D.12 答案：D6.若点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是( )A.10B ．2 2C. 6 D ．2 答案： B7. 已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0 答案：B8. 两平行直线x ＋3y －5＝0与x ＋3y －10＝0的距离是________．答案：1029.已知正方形中心G (－1,0)，一边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．答案：正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610.设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0，由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7.故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.由－＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3.∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知点A (a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A.2B ．2－ 2C.2－1D.2＋1 答案：C2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0 答案：A3．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案：C4．过点A (－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．答案：3x －y ＋10＝0能力提升5．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B6．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)、Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 答案：C7. 已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点P (m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．答案：48. 与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．答案：x ＋y －10＝0或x ＋y ＝09. △ABC 的三个顶点是A (－1,4)、B (－2，－1)、C (2,3)．(1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .答案：(1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－－2－－＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋－2＝22，又|BC |＝－2－2＋－1－2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 10. 已知直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程．答案：解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等，即|t －－t ＋1|2＝|t －－t －1|2，解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)，故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0. 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在，设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k x －x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1.又点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)，即5x －y －6＝0.。

两条直线的交点坐标与距离公式

l1上一点，设其关于l的对称点为（x，y），则
{ x + 0 - y - 2-1=0，
22
y +2 ×1
=-1,
x
{ x=-1，
得
即（1，0），
y=-1.
（-1，-1）为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0.
故应选B.）
.
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考点四直线系方程的应用求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
两直线的交点坐标与距离公式
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一、两直线的交点
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解，
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线相交于一点， ② 当条A直1线B2无-A交2B点1=,0即且A1C2-A2平C1行≠，0③（当或AB11BC22--AB22BC11=≠00且）A时1,C两2A即2C1=0(或重B合1C. 2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点,
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离相等的直线l的方程.
解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.由题意知
| 2k - 3 + k + 2 | =
| -4k - 5 + k + 2 |

例析“直线关于直线对称”问题

例析“直线关于直线对称”问题2019-10-21⾼中数学解析⼏何《直线⽅程》部分涉及点关于点、直线关于点、点关于直线、直线关于直线对称四类问题，现就个⼈在教学中有关直线关于直线对称问题加以分析：（⼀）求已知直线与对称轴平⾏的直线⽅程例求已知直线L1：2x+3y-4=0关于直线2x+3y-6=0的对称直线L的⽅程。

解：由题意知：L1与对称直线2x+3y-6=0平⾏可设其对称直线的⽅程为2x+3y+C=0L1到2x+3y-6=0的距离等于L到对2x+3y-6=0的距离所求直线L的⽅程为：2x+3y-8=0评析：此题为求已知直线与对称轴平⾏的对称问题，解题时，只需利⽤平⾯⼏何知识，即平⾏间的距离相等便能使问题得到解决。

（⼆）求已知直线与对称轴相交的直线⽅程例求已知直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0的对称直线L的⽅程。

解法1：由x-y-1=02x-y=0得x=-1y=-2（-1，-2）为两已知直线交点，且（-1，-2）也在直线L上。

设所求直线L的斜率为k，则：所求直线L的⽅程为y+2=7（x+1）即为：7x-y+5=0解法2：由解法1知交点为（-1，-2），在L1：x-y-1=0上设其⼀点为（1，0），则（1，0）关于2x-y=0对称点B（x0，y0）即：直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0对称直线L的⽅程为7x-y+5=0解法3：设所求直线L上任意⼀点P（x0，y0），P点关于2x-y=0的对称点为P1（x1，y1），则P1在直线x-y-1=0上。

即：7x-y+5=0为所求直线L的⽅程评析：此类问题为求已知直线与对称轴相交的直线⽅程，⽅法有3种，各有优势。

其中第1种解法是由轴对称性质，对称轴与两条直线夹⾓相等，然后使⽤到⾓公式求出直线斜率，再利⽤点斜式求出所求直线⽅程；第⼆种⽅法是在已知直线上任找⼀点（特殊点也可），从⽽求出该点关于定直线的对称点，然后根据两点式求出直线⽅程，充分利⽤垂直平分来求解对称的直线⽅程；第三种⽅法由两条直线关于定直线对称，则这两条直线中任何⼀条直线上任意⼀点关于对称轴的点必在另⼀条直线上，对称轴是这两点的中垂线，由此可写出两点坐标间的关系式，⽤代⼊法求出直线⽅程。

高三数学直线的交点坐标与距离公式

(－2≤k≤0)① • 当 E 与 D 重合时， E 点坐标为 (0,1) ，由①式得k＝－1.
• 当 F 与 B 重合时， F 点坐标为 (2,0) ，由①式
得k＝－2＋
• 当k∈[－2＋大值为f(－2＋
，0]时，f(k)递减，f(k)的最 )＝32－16 ；
• 当k∈[－1，－2＋
－ • 在 [－ 2<f(－2＋ ]上递减；，－2＋
• 2．点到直线距离公式
• 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
为： • 3．两平行线间的距离公式 • 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：
• 1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
•
A． 6 D．不能确定
B.
C．2
•
)时，可证f(k)在[－1，
)上递增，f(－1)＝ .
)＝32－16
【分析点评】
• 本题对直线方程，两点间的距离公式和分段函数问题进行了综合考查，在考查
• 直线方程时是以折叠为背景，实质是考查对称问题．
• (1)点与点关于点对称，图形与图形关于点对称，主要利用中点坐标公式解决． • (2)图形与图形对称问题可转化为点与点对称解决，对于点与点关于直线x＝0，
B2y＋C2＝0的交点：
• 1．可通过解方程组若方程组有唯一解，则l1与l2相 • 交；若方程组无解，则直线 l ∥l ；若方求得，
• 【例 1】直线 l 被两条直线 l1 ： 4x ＋ y ＋ 3 ＝ 0
和 l2 ： 3x － 5y － 5 ＝ 0 截得的线段的中点为
P(－1,2)，求直线l的方程． • 解答：解法一：设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0 ， y0) ，由已知条件，则直线 l 与 l2 的交

直线中的对称问题6种考法

直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -；（2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -；（3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ；（4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -；（6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+；（8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+；四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '，第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。

直线系与对称问题

2.(05年广东高考) 在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2, 宽为1,AB与AD边分别在x轴,y轴的正半轴上, A点与坐标轴的原点重合,将矩形折叠,使A点落在线段DC上,若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在的直线方程
例 5.已知直线 l 过点 P(2,3),且和两条平行直线 l1:3x+4y-7=0 与 l2:3x+4y+8=0 分别交于 A,B 两点,且|AB|= 3 2 ,求 l 的方程.
5、常用的对称关系
点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b),关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y= -x的对称点(-b,-a),，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线 y= -x+m的对称点(m-b,m-a).只要斜率为±1都可以直接代换！
二.对称问题的相关结论:
1. 点关于点对称 : 点 (x,y) 关于点 (a,b) 的对称点为 (2a-x,2b-y)
2.点关于直线对称: (1)点关于特殊直线的对称点: 2 2 (2)点 P(x0,y0)关于 l:Ax+By+C=0(A +B ≠0)的对称点坐标(x1,y1)的求法: Ax0 x1 B y0 y1 C 0
(4)一条光线从点 M(5,3）射出,与 x 轴的正方向成角, 遇 x 轴后反射,若 tan 3 ,则反射光线所在的直线 3x+y-12=0 方程为____________.
例 2.已知直线 l:(a-1)x+y+(a+1)=0 及定点 A(3,4). 问当 a 为何值时, (1)直线 l 过点 A; (2)点 A 到直线 l 的距离最大.

解析几何《距离公式与对称问题》

解析几何【3】距离公式与对称问题1、距离公式（1）两点 111,P x y 、 222,P x y 间的距离d．（2）点（3）（1） ,a b 恰是P 、'P 02b y ．（2）'的坐标．y b 的对称点为 00',2P x b y ．（3）直线关于直线的对称：①若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ．②若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 分别到直线l 的距离相等，由平行直线系数关系和两条平行线间的距离即可求出1l 的对称直线．【温馨点睛】1、在运用两条平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中的x 、y 的系数化为分别相等．2、对称问题是高考的热点和难点，关于点对称用中点坐标公式，关于直线对称用垂直和平分.无论是关于点还是关于直线对称，都可以转化为点与点的对称.解题中注意特殊点法的使用．3、两点关于点对称和直线对称的常见结论：（1）点 ,x y 关于x 轴的对称点为 ,x y ．（2）点 ,x y 关于y 轴的对称点为 ,x y ．（3）点 ,x y 关于原点的对称点为 ,x y ．（4）点 ,x y 关于直线y x 的对称点为 ,y x ．（5）点 ,x y 关于直线y x 的对称点为 ,y x ．【考点一】两条直线的平行或垂直【例1】设m R ，并给出直线221:23410l m m x m m y m ．在下列条件下求m 的值：（1）1l 与x 轴垂直；（2）1l 与y 轴垂直；（2）1l 与2:2350l x y 垂直；（4）1l 与3:2350l x y 平行．【同类变式】已知两直线21:60l x m y ， 2:2320l m x my m ，当m 为何值时，1l 与2l ：（1）相交；（2）平行；（3）重合．【考点二】两条直线的交点【例2】求经过直线1:3210l x y 和2:5210l x y 的交点，且垂直于直线3:3560l x y 的直线l 的方程.【同类变式】直线l 被两条直线1:430l x y 和2:3550l x y 截得的线段的中点为 1,2P ，求直线l 的方程．【考点三】两条直线的夹角【例3】在△ABC 中，边AB、AC 和BC 对应的方程依次为5x-y-9=0、x-5y+5=0和x+3y+4=0.求：(1)/A 的大小(2)∠A 的平分线所在直线的方程已知直线 :2311l a y a x ．（1）求证；无论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）直线l 是否有可能不经过第二象限？若有可能，求出a 的范围；若不可能，说明理由．【同类变式】已知直线方程为 22140m x m y ．（1）该直线是否经过定点？若经过，求出该点坐标；若不经过，说明你的理由；（2）当m 为何值时，点 3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）当m 在什么范围时，该直线与两坐标轴负半轴均相交？【考点四】求与最值有关的直线方程【例4】如图，已知直线l 过点 3,2P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【同类变式】（1）若本例条件不变，求OA OB 的最小值及此时直线l 的方程；（2）若本例条件不变，求PA PB的最大值及此时直线l 的方程．【真题自测】1.①② x ③④.A 0；2.下列命题中，正确的是（）.A 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；.B 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan ；.C 若直线的倾斜角2,43，则其斜率的取值范围是,1, ；.D 当直线的倾斜角2,43时，直线的斜率在这个区间上是严格增函数．3.直线:tan105l x y的倾斜角．4.已知点5.已知点的取值范围是．6.1212x y y ．k ，0k ．求：当BC 取最大值时，边AB 所在直线的斜率的值．。

考点35 高中数学-直线的位置关系-考点总结和习题

考点35直线的位置关系【命题趋势】此知识点常出现在圆锥曲线试题中的某一步，必须熟练掌握，有时高考也会单独出题，值得注意.（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【重要考向】一、两直线平行与垂直的判断及应用二、两直线的相交与定点问题三、距离问题四、对称问题两直线平行与垂直的判断及应用斜截式→111222::l y k x b l y k x b =+=+一般式→11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1l 与2l 相交12k k ≠12210A B A B -≠1l 与2l 垂直121k k =-12120A AB B +=1l 与2l 平行12k k =且12b b ≠1221122100A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或1221122100A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩1l 与2l 重合12k k =且12b b =1221122112210A B A B A C A C B C B C -=-=-=【巧学妙记】1.1．（2021·全国高二课时练习）(多选)下列直线l 1与直线l 2平行的有（）A ．直线l 1经过点A (2，1)，B (-3，5)，直线l 2过点C (3，-3)，D (8，-7)B ．直线l 1经过点A (0，1)，B (-2，-1)，直线l 2过点C (3，4)，D (5，2)C．直线l 1经过点A (1，B (2，)，直线l 2的倾斜角为60°且过原点D ．直线l 1经过点A (0，2)，B (0，1)，直线l 2的斜率为0【答案】AC 【分析】直接利用两直线平行的条件进行判断.【详解】A 选项中，()375144====325385AB CD k k ---------，，且两直线不重合，故l 1//l 2；B 选项中，1142==1==12035AB CD k k -------，，∵AB CD k k ≠，∴两直线不平行；C选项中，233==tan 6021AB CD k k - ，且两直线不重合，故l 1//l 2；D 选项中，l 1斜率不存在，l 2的斜率为0，∴两直线不平行.故选：AC 【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:(1)若两直线斜率都不存在,两直线平行;(2)两直线的斜率都存在,且k 1=k 2,b 1≠b 2,则两直线平行;(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1B 2=A 2B 1,B 1C 2≠B 2C 12.（2021·全国高三专题练习）已知2320a a -+=，则直线1l ：()30ax a y a +--=和直线2l ：()()623540a x a y a -+--+=的位置关系为（）A ．垂直或平行B ．垂直或相交C ．平行或相交D ．垂直或重合【答案】D 【分析】因为2320a a -+=，所以1a =或2a =；当1a =时，121k k ×=-则直线垂直，当2a =时，两直线重合.【详解】因为2320a a -+=，所以1a =或2a =.当1a =时，1l ：210x y +-=，2l ：4230--=x y ，112k =-，22k =所以121k k ×=-，则两直线垂直；当2a =时，1l ：220x y +-=，2l ：220x y +-=，则两直线重合.故选：D3.（2021·四川南充市·高二期末（理））“20a b +=”是“直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若0b ≠时，由230ax y ++=，得322ay x =--，则12a k =-，由20x by ++=，得12y xb b =--，则21k b=-，若两直线垂直，则121k k =-，则112a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得20a b +=，若0b =时，20x by ++=可化为2x =-，0a =时，230ax y ++=可化为32y =-，此时直线2x =-与32y =-垂直，满足20a b +=，所以由20a b +=可得直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直，由直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直，可得20a b +=，所以“20a b +=”是“直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直”的充要条件，故选：C两直线的相交与定点问题对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合．有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.【巧学妙记】4.（2021·全国高二课时练习）若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第三象限，则实数m的取值范围是________．【答案】3 (,2 -∞-【分析】先联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据交点在第三象限求解.【详解】由54210,230,x y mx y m+--=⎧⎨+-=⎩得23,72,7mxmy+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以两直线的交点坐标为232 (,)77m m+-.又此交点在第三象限，所以230,720,7mm+⎧<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得m＜3 2-，所以实数m的取值范围是3 (,)2 -∞-.故答案为：3 (,)2 -∞-5.不论m 为何值，直线()()3121120m x m y -++-=过定点（）A ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,0【答案】C 【分析】整理直线方程()()3121120m x m y -++-=得()()3232120m x y x y +--+=，故直线()()3121120m x m y -++-=过320x y +=与32120x y -+=的交点，联立方程求解即可得答案.【详解】解：整理直线方程()()3121120m x m y -++-=得：()()3232120m x y x y +--+=，故直线()()3121120m x m y -++-=过320x y +=与32120x y -+=的交点，联立方程32032120x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得2,3x y =-=，故直线()()3121120m x m y -++-=过定点()2,3-.故选：C.【点睛】本题考查直线系方程过定点问题，考查基本运算，是基础题.6.（2020·广东高三专题练习）已知直线(31)(1)20k x k y +-++=过定点M ，曲线:ln 3C y x x x =+，则过点M 的曲线C 的切线方程为__________．【答案】410x y --=【分析】首先求直线所过的定点，再根据导数的几何意义求曲线的切线方程.【详解】由(31)(1)20k x k y +-++=可得(3)20x y k x y -+-+=，令3020x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以点M 的坐标为(1,3)，显然点(1,3)M 在曲线:ln 3C y x x x =+上，因为ln 4y'x =+，所以过点M 的曲线C 的切线的斜率ln144k =+=，故所求切线的方程为34(1)-=-y x ，即410x y --=．故答案为:410x y --=．距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．【巧学妙记】7.（2021·全国）已知:(2)(12)430()l m x m y m m R ++-+-=∈过定点A ，则点A 到直线:1m x y +=的距离是（）A ．4B ．C ．2D【答案】B 【分析】先求出直线经过的定点，再求点到直线的距离.【详解】由题得22430,24(23)0x mx y my m x y x y ++-+-=∴+++--=，所以2+40230x y x y +=⎧⎨--=⎩，解之得1,2x y =-=-，所以(1,2)A --,所以点A 到直线:1m x y +==.故选：B 【点睛】方法点睛：定点问题：求直线或曲线经过的定点，常用分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f x y f x y ===，从而求得该定点.8.（2020·南京师范大学附属扬子中学高一开学考试）已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（）A ．55B ．355C ．255D【答案】B 【分析】令直线l 的参数k 的系数等于零，求得定点M 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得||MP 的最小值．【详解】直线:20l kx y k -+-=，即(1)20k x y --+=，令1020x y -=⎧⎨-+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩故直线过定点(1,2)M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，∴min ||MP 为点M 到直线的距离，min ||5MP ∴===，||MP 取得最小值为355，故选：B ．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．9.（2021·河南焦作市·高一期末）已知直线()1:2230l x a y a +-+=，2:460l ax y ++=，a ∈R .（1）若1l 恒过定点M ，求点M 的坐标；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离.【答案】（1）()3,3--；（2）924【分析】（1）将直线方程化简()2230x y a y -++=，解方程组30220y x y +=⎧⎨-=⎩即可；（2）根据直线平行求出参数的值，再根据平行直线的距离公式求解.【详解】（1）直线1l 的方程可化为()2230x y a y -++=.为了不受参数a 的影响，则需使30220y x y +=⎧⎨-=⎩，解得33x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线1l 恒过定点()3,3--；（2）当12l l //时，有()()28012620a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩解得4a =.所以1:22120l x y ++=，2:4460l x y ++=，即2230x y ++=，符合题意；所以直线1l 与2l之间的距离4d ==.【点睛】此题考查求直线的定点，根据两条直线平行求参数的值，求平行直线之间的距离，关键在于熟练掌握相关公式进行化简计算.对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'l P P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．【巧学妙记】10.（2020·奉新县第一中学高二月考（理））设定点(3,1)A ，B 是x 轴上的动点，C 是直线y x =上的动点，则ABC 周长的最小值是（）A B ．C ．D【答案】B 【分析】作(3,1)A 关于y x =的对称点(1,3)A '，关于x 轴的对称点(3,1)A ''-，根据两点间线段最短，则A A '''的长即为所求.【详解】解：作出点(3,1)A 关于y x =的对称点(1,3)A '，关于x 轴的对称点(3,1)A ''-，连接A A '''，交直线y x =于点C ，交x 轴于点B ，如图，，则,AC A C AB A B '''==，ABC ∴周长的最小值为A A '''==.故选：B.【点睛】考查公理“两点间线段最短”的应用，基础题.11.（2021·全国高二课时练习）若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(2,4)-D ．(4,2)-【答案】B【分析】先求出l 1的定点，再利用点关于点的对称求出l 1的定点的对称点，该点即为所求点.【详解】直线1:(4)l y k x =-恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2).【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.12.（2021·全国高二专题练习）直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-=【答案】A 【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=的对称点，代入直线2410x y --=中即可得到对称直线方程.【详解】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则0001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=，即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解.求解点(),M a b 关于直线y kx m =+的对称点(),M x y '的基本方法如下：①M 与M '连线与直线y kx m =+垂直，即1y bk x a -⋅=--；②MM '中点在直线y kx m =+上，即22y b x ak m ++=⋅+；③M 与M '到直线y kx m =+=；上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点M '坐标.一、单选题1．若两直线()1:1320l a x y ---=与()2:120l x a y -++=平行，则a 的值为（）A ．2±B ．2C ．2-D ．02．已知点()0,4A ，()10B ,，动点P 在直线1x =-上，则||PA PB +的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．63．设曲线2xy x =-在点()3,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a 等于（）A ．12B ．2C ．12-D ．2-4．若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线3y x =-的最小距离为（）A ．1B ．22CD ．25．对圆221x y +=上任意一点(),P x y ，若34349x y a x y -+---的值都与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（）A ．5a ≤-B ．55a -≤≤C ．5a ≤-或5a ≥D ．5a ≥6．已知0a >，0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则2112a a b+++的最小值为（）A ．2B ．4C ．45D ．957．已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若A B =∅ ，则实数a =（）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或1二、解答题8．已知直线1:(2)80l m x my ++-=与直线2:40,l mx y m R +-=∈．（1）若12l l //，求m 的值；（2）若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程．三、填空题9．点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是________．10．若直线1l ：220x ay +-=与直线2l ：0x y a -+=平行，则直线1l 与2l 之间的距离为______．11．点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为___________.12．已知a R ∈，b R ∈______．13．已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)四、双空题14．若直线1:20++=l x y a 与直线2:30--=l ax y 平行，则实数a =______，直线1l 与2l 之间的距离为______．一、单选题1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A．1B ．2C ．D ．42．（2021·全国高考真题（文））点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A ．95B ．85C ．65D ．453．（2020·浙江高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（）A．222B ．4105C D 4．（2020·全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B C D ．25．（2018·全国高考真题（文））已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．322D ．6．（2016·北京高考真题（文））圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为()A ．1B ．2C ．D ．7．（2016·北京高考真题（文））已知A （2,5），B （4,1）.若点P （x ,y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为A ．−1B ．3C ．7D ．8二、双空题8．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.9．（2020·北京高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．三、填空题10．（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．11．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.12．（2017·上海高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合{}1234,,,P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧.用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为________四、解答题13．（2018·全国高考真题（文））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．一、单选题1．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））“直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行”是“1a =-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2021·全国高三其他模拟（理））若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2221x y +-=相切，则双曲线的渐近线方程是（）A ．y =B ．33y x =±C ．13y x=±D ．3y x=±3．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））过直线1y x =+上的点P 作圆()()22:211C x y -++=的两条切线1l ，2l ，若直线1l ，2l 关于直线1y x =+对称，则PC =（）．A B ．C ．D ．4．（2021·全国高三其他模拟）已知点()0,1A ，点B 在抛物线2y x =上，则AB 的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．125．（2021·北京高三二模）过原点且倾斜角为45︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（）A ．B ．3C ．D ．86．（2021·四川高三三模（理））圆2240x y y ++=的圆心到经过点()3,3M --的直线l 的l 的方程为（）A ．290x y +-=或230x y -+=B ．290x y ++=或230x y -+=C ．290x y ++=或230x y --=D ．290x y -+=或230x y -+=7．（2021·湖北省团风中学高三其他模拟）已知直线1l ：10x ay +-=，2l ：()2330a x y a ++-=，则“3a =-”是“12//l l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2021·全国高三其他模拟）如图，在矩形ABCD 中，BC =，直线AC 的斜率为3，则直线BC 的斜率为（）A B ．32C ．233D ．9．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()235f x x ax a =-+的图象在点()()1,1A f 处的切线与直线:320l x y -+=垂直，则()f x =（）A ．253x x +-B ．2513x x -+C ．253x x -+D ．2513x x +-二、多选题10．（2021·山东青岛市·高三三模）在平面直角坐标系中，()23,,8,8,7,0,2A t B m m C m O t ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为坐标原点，P 为x 轴上的动点，则下列说法正确的是（）A ．OA的最小值为2B ．若1,4t m ==，则ABC 的面积等于4C ．若1,4t m ==，则||||PA PB +的最小值为5D ．若()sin ,0,t θθπ=∈，且CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(),5m ∞∈-三、填空题11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知直线1l ：()210ax a y +++=，2l ：20x ay ++=，a R ∈，若12//l l ，则a =___________.12．（2021·全国高三其他模拟）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 到直线:l y b =+的，且直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AF BF +=___________.参考答案跟踪训练1．A 【分析】根据两直线平行的充要条件可得(1)(1)(3)10a a -+---⨯=，即可求a 的值.【详解】由题意知：(1)(1)(3)10a a -+---⨯=，整理得240a -=，∴2a =±，故选：A2．C 【分析】求得B 关于直线1x =-的对称点C ，利用两点间的距离公式求得||PA PB +的最小值.【详解】B 关于直线1x =-的对称点C 的坐标为()3,0-，则PB PC =，则||PA PB +的最小值是5AC ==.故选：C3．B 【分析】利用导数求出曲线2xy x =-在点()3,3处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数a 的值.【详解】对函数2x y x =-求导得()()222222x x y x x --'==---，由已知条件可得32x a y ='-==-，所以，2a =.故选：B.4．C 【分析】由已知可知曲线2ln 1y x x =--在点P 处的切线与直线3y x =-平行，利用导数求出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线3y x =-平行时，点P 到直线的3y x =-的距离最小，因为直线3y x =-的斜率等于1，曲线2ln 1y x x =--的导数12y x x'=-，令1y '=，可得1x =或12x =-（舍去），所以在曲线2ln 1y x x =--与直线3y x =-平行的切线经过的切点坐标为()1,0，所以点P 到直线3y x =-的最小距离为d ==.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线上的点到直线距离的最小值的求解，解题的关键在于分析出曲线在点P 处的切线与直线平行，进而利用导数求解.5．A 【分析】将34349x y a x y -+---转化为34545359x y a x y -+---⎛⎫⎪⎝⎭，然后根据几何意义进行解题即可.【详解】3434934395545x y a x y x y a x y -+---+--⎛⎫= ⎪⎝-⎭-等价于圆221x y +=上任意一点(),P x y 到直线340x y a -+=和直线3490x y --=的距离的差的5倍，而距离之差与x ，y 无关，则直线340x y a -+=与圆相切或相离，且与直线3490x y --=位于圆的同侧，所以15a≥，即5a ≥或5a ≤-，由于直线340x y a -+=与直线3490x y --=位于圆221x y +=的同侧，所以5a ≤-故选：A.6．D 【分析】根据12l l ⊥得到240b a +-=，再将2112a a b+++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=，因为0a >，0b >，所以10a +>，20b >，所以21111111211(12)1211212125512a b a a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++=+⨯+++=+++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭149211555⎛≥++=+= ⎝，当且仅当32a =，54b =时，等号成立．故选：D .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．A 【分析】将问题转化为“直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行”，由此求解出a的取值.【详解】因为A B =∅ ，所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=没有交点，所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行，所以()1230a a a ⨯+-⨯=，解得1a =-或3a =，当1a =-时，两直线为：10x y -+=，10x y -+-=，此时两直线重合，不满足，当3a =时，两直线为：330x y +-=，3910x y +-=，此时两直线平行，满足，所以a 的值为3，故选：A.8．（1）1m =-，（2）10x y -+=或2y x =【分析】（1）由题意可知0m ≠，所以可得2814m m m +-=≠-，从而可求出m 的值；（2）将点()1,P m 的坐标代入直线2l 的方程中，求出m 的值，从而可得点P 的坐标，然后设出直线l 方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程【详解】解：（1）因为12l l //，所以0m ≠，且2814m m m +-=≠-，由21m mm +=，得220m m --=，解得1m =-或2m =（舍去）所以1m =-，（2）因为点()1,P m 在直线2l 上，所以40m m +-=，得2m =，所以点P 的坐标为(1,2)，所以设直线l 的方程为2(1)y k x -=-（0k ≠），令0x =，则2y k =-，令0y =，则21x k=-，因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，所以2120k k-+-=，解得1k =或2k =，所以直线l 的方程为10x y -+=或2y x =9．328【分析】先求直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点，设切点为(x 0，y 0)，根据导数的几何意义，求导可得f ′(x 0)＝2x 0＝1，利用距离公式即可得解.【详解】与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14.即P 11(,)24到直线y ＝x －1的距离最短．∴d8.故答案为：328.10．2【分析】先根据直线1l 与2l 平行求出参数a ，再由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】∵直线1l 与2l 平行，∴2211a a-=≠-，解得2a =-，∴直线1l ：10x y --=，直线2l ：20x y --=，∴直线1l 与2l 之间的距离22d==．故答案为：211【分析】直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，根据几何关系可得，点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离为||AB .【详解】解：直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，则点()0,1-到直线()1y k x =+的距离的最大值为点()1,0-到点A 的距离，∴点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为：d ==..12【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.【详解】可看成点(),1a a -到点(),bb e的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),bb e的轨迹是曲线()xf x e=，则所求最小值可转化为曲线()xf x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()x f x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()xf x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)xx e ，()x f x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离d ==.【点睛】关键点睛：涉及多变量的算术根问题，利用算术根的几何意义转化为两个动点的距离是解题的关键.13．5【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：()12f x x x'=+，()0x >，与直线34y x =-平行的切线斜率132k x x==+，解得1x =或12x =，当1x =时，()11f =，即切点为()1,1，此时点P 到直线34y x =-的距离为105d ==；当12x =时，11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即切点为11,ln 224⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点P 到直线34y x =-的距离为(11ln 2114ln 2104405d --=，故答案为：5.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是结合图形分析，将原问题转化为函数()f x 图象上与已知直线平行的切线的切点到直线34y x =-的距离.14．2-【分析】根据直线平行的性质，斜率相等，求得参数a ，利用平行线间的距离公式求得距离.【详解】∵12l l ，∴2a =-，直线1:220l x y +-=，直线2:230l x y ++=，直线1l 与2l=故答案为：-2真题再现1．B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d ==解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.2．A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.3．D【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.5．D 【详解】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：e c a === 1ba∴=所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d==故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．6．C 【详解】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.【考点】直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线（即）的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.7．C 【详解】由题意得，线段AB 的方程：511(4)2924y x y x --=-⇒=-+-，24x ≤≤，∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⨯-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7.故选：C.【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．8【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，12tan PF F ∠==所以255k =,由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21255PF =，于是122PF a PF +==，即a =，所以5c e a ===．故答案为：255；55．9．()3,0【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.10【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.11．4.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x =，y =，即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.12．1P 、3P 、4P 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则记为“▲”的四个点是A （0，3），B （1，0），C （7，1），D （4，4），线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为E ，F ，G ，H ，易知EFGH 为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M （x ，y ），则0MA MB MC MD +++=，由此求得M （3，2），即为平行四边形EFGH 的对角线交于点2P ，则符合条件的直线P L 一定经过点2P ，且过点2P 的直线有无数条；由过点1P 和2P 的直线有且仅有1条，过点3P 和2P 的直线有且仅有1条，过点4P 和2P 的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是1P 、3P 、4P ．故答案为：1P 、3P 、4P ．13．（1）112y x =+或112y x =--；（2）见解析.【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()20A ，，求得直线l 的方程为2x =，代入抛物线方程求得点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-．所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由222x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-．直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BNx y x y ty y ty y y y k k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠.综上，ABM ABN ∠=∠.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.模拟检测1．C 【分析】根据两直线平行得到2a =或1a =-，再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】当直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行,()1210a a ∴⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =，直线2240x y ++=和直线10x y ++=重合，舍去，所以1a =-.根据充分条件、必要条件的定义可得，“直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行”是“1a =-”的充分必要条件故选：C 2．A 【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程，然后由圆心到渐近线的距离等于圆的半径即可求解.【详解】解：圆()2221x y +-=的圆心()0,2，半径为1，双曲线的渐近线方程为1y x a=±．∵双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2221x y +-=1相切，1=，解得213a =，∴双曲线的渐近线方程y =．故选：A ．3．B 【分析】由两条切线关于1y x =+对称可确定PC 与1y x =+垂直，可知所求即为圆心C 到直线1y x =+的距离，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】若直线12,l l 关于直线1y x =+对称，则两直线12,l l 与直线1y x =+的夹角相等，则PC 与1y x =+垂直，∴PC 等于圆心()2,1C -到直线1y x =+的距离，即PC ==．故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据两条切线关于1y x =+对称确定PC 与对称轴垂直，由此将所求距离转化为圆心到直线的距离.4．C 【分析】设点(),B x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数配方求最值即可求解.【详解】设点(),B x y ，则AB ==2=≥，∴当12y =时，min 2AB =.故选：C.5．A 【分析】根据题意，求得直线的方程，根据圆的方程，可得圆心为（0,2），半径2r =，根据点到直线距离公式，可得圆心（0,2）到直线0x y -=的距离d ，代入公式，即可求得答案.【详解】由题意得：直线的斜率tan 451k =︒=，且直线过原点，所以直线的方程为0x y -=，圆的方程化为：22(2)4x y +-=，即圆心为（0,2），半径2r =，所以圆心（0,2）到直线0x y -=的距离==d ，所以直线被圆所截得弦长为==.故选：A 6．B 【分析】当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为()33y k x +=+，再根据距离公式解方程即可，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意.【详解】当直线l 的斜率存在时，设经过点()3,3M --的直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=，所以圆2240x y y ++=的圆心()0,2-到直线l的距离为d ==解得：12k =-或2k =，所以直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =-，此时圆心()0,2-到直线的距离为3，不满足题意；综上，直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=.故选：B 【点睛】本题考查圆的一般方程求圆心，点到直线的距离求参数，考查运算求解能力，是基础题.本。

第二十六讲：两条直线的位置关系及对称问题

第二十六讲：两条直线的位置关系及对称问题考向预览考点盘清课前演练1.如果直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( D )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2 掌握两直线平行与垂直的条件、点到直线的距离公式、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，会求两相交直线的交点坐标和两平行直线间的距离，能把握对称的实质，并能应用对称性解题．()()()()1111112222221212211212211212122112121200.1//______________0(0)2____________________.30.14l y k x b A x B y C l y k x b A x B y C l l b b A C A C B C B C l l l l A B A B l l k k b b =+++==+++=⇔≠-≠-≠⊥⇔⇔-≠⇔==．平面内的两条直线的位置若直线：或；直线：或①且或②且或．③或④与相交与重合且关系12211221122100(0)A B A B A C A C B C B C -=-=-=或且或．()()()000000112212()010.20.3___________.00_________.2_P x y l Ax By C Ax By C Ax By C d l Ax By C l Ax By C l l d ++=++=++≠=++=++==设点，，直线：，则点在直线上：点在直线外：点到直线的距离⑤特别地，若：，：，则与间的距．点与直线的⑥位置关系离()()()000,0000000''01()()2200()()2())3(P x y M a b P M PP P a x b y a b P x y P x y P x y l y kx b P x y PP l PP l '''--=='--=+'⎧⊥⇒⎨∈⎩中心对称：求，关于点，对称的点的基本方法是转化为是线段的中点求，即．特例：当，时，，关于原点的对称点为，．轴对称：求已知点，关于已知直线：的对称点，的基本方法是转化为求方程⑦组的解，即由线段的．中心对称与轴对中点p 称 . ⎧⎨⎩⑧12567010()()()()()()__________________.()()()()()()k b P x y x y P x y P x y P x y y x y x P x y y x b y x b P y b x b P y b x b P x y x a y b P =±=--==-=+=-+-+-+-+==特例：当，或时，分别有以下规律：ⅰ，关于轴、轴对称的点分别为，，，．ⅱ，关于直线，对称的点分别为⑨ⅲ，关于直线，对称的点分别为，，，．ⅳ，关于直线，对称的点分别为()8(2),21,0a x y P x b y k --≠±，，．注意：当时，不具有上述规律．1212211212120120003401|00|022||12222()()k k A B A B k k Ax By C A A B B A B y y C C k x x A B y y x x k b P y x P y x =-==-+++=+--⋅=--+++=⋅+--①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨【要点指南、，】，2.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03.不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且lgsin A，lgsin B，lgsin C 成等差数列，则直线x sin2A＋y sin A＝a与直线x sin2B＋y sin C＝c的位置关系是( C ) A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直4.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是.x＋2y－3＝0.5.已知点(x0，y0)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则(x0－a)2＋(y0－b)2的最小值为a2＋b2.高频考点一两条直线的位置关系【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．【点评】在运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax＋By＋C＝0时，要特别注意A、B为零时的特殊情况．另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．练习1：已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.二有关距离问题【例2】已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【点评】1.点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握．2．点到几种特殊直线的距离：(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|；(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.练习2：在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．三两直线的交点问题【例3】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x －4y＋5＝0垂直的直线l的方程．【点评】求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线的交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．练习3：本例中，若把条件中的“垂直”改为“平行”，求直线l的方程．四对称问题【例4】求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程．【点评】由平面几何知识知，若直线l1、l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与直线l 相交，则交点在直线l 2上；②若B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点C 在直线l 2上．本题方法1就是利用上述两条性质，找出确定直线l 2的两个点(直线l 1与直线l 的交点A 和直线l 1上的特殊点B 关于直线l 的对称点)，由两点式得到直线l 2的方程；方法2则是用运动的观点，直接求轨迹方程．把握两点：线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．练习4：求直线l ：2x －3y ＋1＝0关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【点评】点线对称是直线的方程中很经典的一个问题．它还包括点关于点的对称和线关于线的对称等，而轴对称性质和中点坐标公式是解决这类问题的主要途径．方法提炼12221||2C C d A Bx y -=+判断两直线平行或垂直时，不要忘记两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形．另外，两直线斜率相等，包括平行或重合两种情况，应注意区分．在运用公式求两平行直线间的距离时，一定．两直线平行与垂要把，项直的判定．两平行线间的距相应系数化成离相等的系数．()()()()11112222121112221221220000100.0()/2()3/l A x B y C l A x B y C l l A x B y C A x B y C l l l l l l x y y y k x x λ++=++=+++++=-=-直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程．设：，：若与相交，则方程表示过与交．直线系问点的直线系不包括；若，则上述形式的方程表示与平行的直线系．过定点，的旋转直线系方程为题000()()()k x x k y k x b b ∈==+∈R R 不包括直线，斜率为的平行直线系方程为．()()14().2()1.x x y y ---⎧⎨⎩关于对称问题，有如下规律：中心对称关于某个点对称解题方法：中点坐标公式．特殊地，关于原点对称，是以代换，以代换轴对称关于某直线对称斜率之积等于解题方法：中点在对称轴对称问题上．关于。

第10讲直线的交点坐标与距离公式(九大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

得 1或 6 .
3
7
所以直线方程为 x y 1 0 或 3x 4 y 0 .
故选：C.
例 7．(2023·高二课时练习)过两直线 l1 : x 3y 4 0 和 l2 : 2x y 5 0 的交点和原点的直线方程为
A．19x 9 y 0
B． 9x 19 y 0
C．19x 3y 0
联立方程
kx ky
y x
k 2k
1 ，解得
x
y
k k 1 2k 1 k 1
，即交点坐标
k
k
1
,
2k 1 k 1
，
由题意可得：
k 0 k 1
2k 1 k 1
0
，解得
0
k
1 2
；
综上所述：k
的取值范围为
0,
1 2
.
故选：C.
例 12．(2023·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习)直线 3x (k 2) y k 5 0 与直线
(3)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一
条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线 Ax By C1 0 与直线 Ax By C2 0 的距离为 d C2 C1 ．
中 x ， y 的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【典例例题】
题型一：判断两直线的位置关系
例 1．(2023·高二课时练习)曲线 y x 与 y kx 1的交点的情况是( )
A．最多有两个交点
B．两个交点

两条直线位置关系以及点到直线距离公式

行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。

3）对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。

例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。

的取值范围。

1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。

重合。

两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1）斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。

2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。

3）对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。

2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。

专题05 直线的交点、距离公式与对称、最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题05直线的交点、距离公式与对称、最值问题【知识梳理】1、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可．若有111222A B CA B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．2、两点间的距离公式两点111()P x y ，，222()P x y ，间的距离公式为12PP =．3、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =4、两平行线间的距离直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =．5、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()P x y ，关于点00()Q x y ，的对称点为22()P x y '，，则根据中点坐标公式，有12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可得对称点22()P x y '，的坐标为0101(22)x x y y --，6、点关于直线对称点11()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=对称的点为22()P x y '，，连接PP '，交l 于M 点，则l 垂直平分PP '，所以PP l '⊥，且M 为PP '中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022l PP k k x x y y AB C '⋅=-⎧⎪⎨++++=⎪⎩，解出22()x y ，即可．7、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．8、直线关于直线对称求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()Q x y '，第三步：利用两点式写出3l 方程9、常见的一些特殊的对称点()x y ，关于x 轴的对称点为()x y -，，关于y 轴的对称点为()x y -，．点()x y ，关于直线y x =的对称点为()y x ，，关于直线y x =-的对称点为()y x --，．点()x y ，关于直线x a =的对称点为(2)a x y -，，关于直线y b =的对称点为(2)x b y -，．点()x y ，关于点()a b ，的对称点为(22)a x b y --，．点()x y ，关于直线x y k +=的对称点为()k y k x --，，关于直线x y =k -的对称点为()k y x k +-，．【专题过关】【考点目录】考点1：两直线的交点问题考点2：两点的距离考点3：点到直线的距离考点4：两平行直线的距离考点5：点线对称考点6：线点对称考点7：线线对称考点8：两线段和与差的最值问题【典型例题】考点1：两直线的交点问题1．（2021·江苏连云港·高二期中）若三条直线280,10x ky x y ++=--=和20x y -=交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．3D ．12【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩.把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C2．（2021·四川·遂宁中学高二期中（理））已知直线ax +y+1=0，x +ay+1=0和x +y+a =0能构成三角形，则a 的取值范围是（）A ．a≠2-B ．a≠±1C ．a≠2-且a≠±1D ．a≠2-且a≠1【答案】C【解析】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若0a =，则三条直线围成三角形，若0a ≠，则11a a ≠，111a ≠，解得1a ≠±，1a ≠±时，由100ax y x y a ++=⎧⎨++=⎩，得1(1)x y a =⎧⎨=-+⎩，代入10x ay ++=得1(1)10a a -++=，1a =或2a =-，因此2a ≠-综上：1a ≠±且2a ≠-．故选：C ．3．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y +-=【答案】B【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=，故选：B4．（多选题）（2021·江苏徐州·高二期中）已知a 为实数，若三条直线280,43100ax y x y ++=+-=和2100x y --=不能围成三角形，则a 的值为（）A ．83B ．1C ．1-D ．4-【答案】ACD【解析】当三条直线交于一点时，由431002100x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，所以交点为(4,2)-，所以4480a -+=，得1a =-，当直线280ax y ++=与43100x y +-=平行时，243a =，得83a =，当直线280ax y ++=与2100x y --=平行时，221a =-，得4a =-，所以当1a =-，或83a =，或4a =-时，三条直线不能围成三角形，故选：ACD5．（2021·全国·高二期中）经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．【答案】3340x y -+=【解析】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.6．（2021·上海·南洋中学高二期中）关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.【答案】-35【解析】因为x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，所以直线73x by -=与直线52ax y +=重合，所以7352b a -==，解得1415,32a b ==-，所以35ab =-，故答案为：-357．（2021·云南临沧·高二期中）已知直线l 1：10ax y ++=与l 2：210x by --=相交于点(1,1)M ，则a b +=__．【答案】﹣1【解析】把(1,1)M 分别代入直线l 1和直线l 2的方程，得110,210a b ++=--=，所以2,1a b =-=，所以1a b +=-．故答案为：-1．8．（2021·四川省宜宾市第一中学校高二期中（理））过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：280x y +-=和l 2：3100x y -+=截得的线段恰好被点P 平分，求直线l 的方程.【解析】设l 1与l 的交点为A (a ，8-2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (-a ，2a-6)在l 2上，代入l 2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，∴直线l 的方程为041004y x --=--即x ＋4y-4＝0.9．（2021·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知直线l ：(41)(1)30x y λλ+-++=.(1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 被两平行直线1l ：220x y -+=与2l ：260x y --=所截得的线段AB 的中点恰好在直线260x y ++=上，求λ的值.【解析】(1)由已知：(41)(1)30x y λλ+-++=，即(4)30x y x y λ-+-+=，令4030x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：x =1，y =4，∴直线l 恒过定点(1,4).(2)设直线1l ，2l 分别与直线260x y ++=交于C ，D 两点，由260220x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得C 14255⎛⎫-- ⎝⎭,，由260260x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得D 61855⎛⎫-- ⎪⎝⎭,，∴CD 的中点M 的坐标为(－2,－2)，不妨设A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，则△AMC ≌△BMD ，即MA =MB ，故M (－2,－2)为AB 的中点，将M 代入直线l 的方程得：(41)(2)(1)(2)30λλ+--+-+=，解得12λ=·10．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为_________.【答案】210x y +-=【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=.故答案为：210x y +-=考点2：两点的距离11．（2021·福建三明·高二期中）已知直线1l ：220x y --=与直线2l ：380x y +-=的交点为A ，则点A 与点()23B ，间的距离为（）AB ．CD ．1【答案】D【解析】联立方程220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,2x y ==，所以()2,2A ，所以1AB ==故选：D12．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知()2,3A -，()5,7B -，则AB =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()2,3A -，()5,7B -，所以5AB ==，故选：C.13．（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,6),C(5,2)-，则过A 点的中线长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【解析】设过A 点中线长即为线段AD .D 为BC 中点：3562,22D +-+⎛⎫⎪⎝⎭，即D （4，-2）∴||AD ===故选：B.14．（2021·河北唐山·高二期中）已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，(6,6)AB =，(2,2)BC =-，∴6(2)620AB BC ⋅=⨯-+⨯=，即AB BC ⊥，∴ABC 是直角三角形.故选：B.15．（2021·北京·临川学校高二期中（文））已知点(),1M m -，()5,N m ，且MN =实数m 等于（）A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或3【答案】C【解析】因为||MN =，=2430m m -+=，解得1m =或3m =，故选：C16．（2021·四川巴中·高二期中（文））当实数k 变化时，直线1:20l kx y k -++=到直线2:30l kx y --=的距离的最大值是______.【解析】由(1)20k x y +-+=可得1l 过定点(1,2)A -，由30kx y --=可得2l 过定点(0,3)B -.又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于AB 时，距离最大，最大值即为AB 两点间的距离d =考点3：点到直线的距离17．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））直线2x =与32120x y +-=的交点到直线10x y +-=的距离______．【答案】【解析】由232120x x y =⎧⎨+-=⎩，解得2,3x y ==，即直线2x =与32120x y +-=的交点为()2,3点()2,3到直线10x y +-==.故答案为：18．（2021·辽宁·高二期中）对任意的实数λ，求点()2,2P -到直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）的距离d 的取值范围为______．【答案】0,⎡⎣【解析】由题意，直线()()212320x y λλλ+-+-+=（），即()2640x y x y λ--+--＝，所以26040x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()2,2Q -，当PQ 垂直直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）时，d 取得最大值=，当直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）过点P 时，d 取得最小值0，∴d 的取值范围0,⎡⎣.故答案为：0,⎡⎣．19．（2021·全国·高二期中）已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【解析】（1）因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．（2）BC ==直线BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC=，则ABC 的面积为1242⨯=.20．（2021·全国·高二期中）已知直线l 垂直于直线3490x y +-=，点()2,3A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．【解析】因为直线l 垂直于直线3490x y +-=，可设直线l 为430x y c -+=，因为点()2,3A 到直线l 的距离为1，|1|15c -==，解得6c =或4c =-，故所求直线方程为4360x y -+=或4340x y --=.21．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为_______【答案】13-或79-【解析】因为点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，解得13a =-或79a =-，故答案为：13-或79-22．（2021·山东威海·高二期中）已知(2,6),(0,4)A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为________．【答案】0或5-=525a +=，解得0a =或5a =-故答案为：0或5-23．（2021·湖北黄冈·高二期中）过点()1,1P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等，则该直线的方程是（）A ．450x y +-=B ．450x y +-=C ．20x y +-=或450x y +-=D ．20x y +-=或450x y +-=【答案】C【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，()2,3A ，()4,5B -到它的距离分别为1，3，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k --+=，由()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等=1k =-或4-，即直线方程为20x y +-=或450x y +-=.故选：C.考点4：两平行直线的距离24．（2021·10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．54C ．3D ．4【答案】B10y +-=与直线30my ++=平行，可得0=，解之得2m =10y +-=与直线230y ++=54=故选：B25．（2021·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为_________.【答案】4【解析】因为直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：平行,而直线22210l x y +-=：可化为2102l x y +-=：，故直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为1|2()|24d --==，故答案为：426．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线1:3460l x y -+=与2:340l x y C -+=间的距离为3，则C =_______.【答案】9-或21【解析】由题，可知12//l l ，所以两平行线间距离为3d =，解得9C =-或21，故答案为：9-或21考点5：点线对称27．（2021·吉林油田高级中学高二期中）已知点P 与点()1,2Q -关于直线10x y +-=对称，则点P 的坐标为_______.【答案】()3,0【解析】由题可知该直线是线段PQ 的垂直平分线，设(),P m n ，则1210,2221,1m n n m +-⎧+-=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得3,0.m n =⎧⎨=⎩故答案为：(3，0).28．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知ABC 的顶点(4,1),A AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为250x y --=，则BC 边所在直线方程___________.【答案】2711450x y --=.【解析】由题意，AB 边上的高所在直线的斜率为35-，则AB 的斜率53k =，所以()5:14531703AB l y x x y -=-⇒--=，与直线250x y --=联立解得29x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,9B --.设(),C a b ，则线段AC 的中点坐标为41,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，14AC b k a -=-，所以1241250522119425a b a b b a ++⎧⎧=⋅--=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪-⎩⎩，即129,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以99275121125BCk +==+，所以BC 边所在直线方程为：()2792271145011y x x y +=+⇒--=.故答案为：2711450x y --=.29．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=对称的点的坐标___________.【答案】()3,3-【解析】设对称点为(,)B x y ，则5313435344022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩，所以对称点坐标为(3,3)-，故答案为：(3,3)-．30．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）光线沿直线730x y --=入射到直线220x y -+=后反射，则反射光线所在直线的方程为________．【答案】3y x =+【解析】由730220x y x y --=⎧⎨-+=⎩得14x y =⎧⎨=⎩即直线730x y --=与直线220x y -+=交点为(1,4)N 在直线730x y --=上取点(0,3)H -设点(0,3)H -关于220x y -+=的对称点为'(,)H m n 则03220223210m n n m +-⎧⨯-+=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪-⎩41m n =-⎧⎨=-⎩即'(4,1)H --'41114NH k +==+则反射光线所在直线的方程为143y x x =-+=+故答案为：3y x =+31．（2021·安徽宿州·高二期中）已知点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，则点B 的坐标为（）A ．()3,3B ．()2,2C ．53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,2【答案】B【解析】设点()00,B x y ，因为点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，所以0000131022311x y y x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得002x y ==，所以()2,2B 故选：B32．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1关于直线10x y -+=的对称点为（）A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】B【解析】设对称点为(),m n ，由题意可得1113311022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04m n =⎧⎨=⎩，即对称点为()0,4，故选：B.33．（2021·江苏·40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（）A50y ++=B．40x +=C．50x +=D．0x =【答案】C40y --=，令0x =，解得4y =-，设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ，则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则111022a b =-⎪+-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D，11253BD k ==-，直线BD：)15y x -=-，即50x =。

两直线位置关系--对称

Y
∣︱MA︱-︱MB︱∣最大 =∣AB∣
3x-10y-1=0 y=0
M
· B (7，2) A·
A′ (-3，-1)
O
P(1／3，0)
X
练习已知P在X轴上，A(-3，1) ，B(5，-3)且︱PA︱+︱PB︱最小，则P的坐标是——— 最小值是____ Y 4√5
x+2y+1=0 y=0 A
·
A′
5+x -4= 2 8+y 1= 2 C(-13，-6)
Y
· A
· B
O
解题要点：中点公式的运用 C·
X
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方
程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的对称点A’的坐标。
y-4 - x-(-4) =-1 3· -4+x 4+y 3 + -2=0 2 2 · Y
Y y-4 · 2=-1 A′ (10，-2) 2 y+4 x-2 2· - 2 -7=0 A· 2 (-2，4) A′B：2x+y-18=0 PC：2x-y-7=0
AP：2x-11y+48=0
· B(5，8)
P
(25／4，11／2)
C L
A′
X
(x，y)
O
六最值问题
例6已知P在X轴上，A(-3，1) ，B(7，2)且︱PA︱+︱PB︱最小，则P的坐标是———
P (-1，0)
X
B ·
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看她平时形骸放荡,出起手来可是毫不留情. "哈哈……" 见两人扭捏の作态,餐厅众人哈哈大笑,白重炙听着也不仅莞尔,这

两条直线的交点与距离公式

类题通法
点关于直线对称：若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax ＋By＋C＝0 对称，则线段 P1P2 的中点在对称轴上，而且连接 P1P2 的
A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0 直线垂直于对称轴 l，由方程组yx22－－yx11·－AB＝－1
，可得到
点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其中 B≠0，x1≠x2).
答案：6x－y－6＝0 解析：设点 M(－3,4)关于直线 l：x－y＋3＝0 的对称点为 M′(a，b)，则反射光线所在直线过点 M′，
所以a－－b32－＋－4a3－·1b＝＋2 －4＋1，3＝0，
解得 a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为6y－－00＝2x－－11，即 6x－y－6＝0.
1．若直线 y＝－2x＋3k＋14 与直线 x－4y＝－3k－2 的交点位于
第四象限，则实数 k 的取值范围是( )
A．－6<k<－2 B．－5<k<－3
C．k<－6
D．k>－2
答案：A 解析：解方程组yx＝－－4y＝2x＋－33kk＋－124，，得 x＝k＋6，y＝k＋2，由题意知kk＋＋62><00 ，解得－6<k<－2.
5．已知 P，Q 分别为直线 3x＋4y－12＝0 与 6x＋8y＋5＝0 上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
答案：2190 解析：先把两直线方程化为同系数方程，6x＋8y－24＝0 和 6x＋ 8y＋5＝0，|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，故 d＝|5－62－＋2842|＝ 2190.
解析：因为所求直线与直线 2x＋y－10＝0 垂直，所以设该直线方程为 x－2y＋C1＝0，又直线过点 A(2,1)，

直线的交点坐标与两点间的距离公式及点与直线的对称问题课件+-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册+

3x＋y－1＝0 平行的直线方程为________．
[母题探究]
本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
3
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－4，x NhomakorabeaO
l
类型4
【例4】
对称问题(选讲内容)
已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
[解] 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点
在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
y′＋5
x′＋4
＝3×
＋3，
2
2
即 y′－5
×3＝－1，
x′－4
∴P′点坐标为(－2,7)．
2
3 x 4 y 2 (2 x y 2) 0
LOGO
注：此直线系方程
少一条直线l2
y
表示什么图形 ?图形有何特点 ?
=0时,方程为3x+4y-2=0
=1时,方程为5x+5y=0
=-1时,方程为x+3y-4=0
(-2，2)
x
O
上式整理为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
，得
解1: 解方程组
2
6 x 4 y 1 0
3
直线2 x 2 y 1 0与6 x 4 y 1 0 的交点坐标为( , 2).
2
y0
x0
直线l 的方程为