2017-2018年高一数学新人教A版必修1习题点拨素材：3.1 函数与方程

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.1函数与方程一、填空题1．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解析设f(x)＝2x＋x－10，则由f(2)＝－4＜0，f(3)＝1＞0，所以f(x)的零点在(2,3)内．答案 22．已知a是函数f(x)＝2x－log 12x的零点，若0＜x＜a，则f(x0)的值满足________(与零的关系)．解析因为f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f(a)＝0，于是由0＜x0＜a，得f(x0)＜f(a)＝0，即f(x0)＜0.答案f(x0)＜03．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析由f(x)＝ax＋b有零点2，得2a＋b＝0(a≠0)，代入g(x)，得g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，它有零点x＝0和x＝－1 2 .答案0，－1 24．设函数y(x)＝13x－ln x(x＞0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别为________．解析设y＝13x与y＝ln x，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在(1，＋∞)内仅有两个零点．答案 0,25．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎨⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －32＜x ＜1.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜16.已知函数()421x x f x m =+⋅+有且只有一个零点,则实数m 的值为 . 解析由题知:方程4210x x m +⋅+=只有一个零点.令2(0)x t t =>, ∴方程210t m t +⋅+=只有一个正根.∴由图象(图略)可知20240m m ⎧->,⎪⎨⎪∆=-=.⎩∴m=-2.答案 -27．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析画出图象，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与y ＝m 的图象的交点有3个， ∴0＜m ＜1.答案 (0,1)8．偶函数f (x )在区间为[0，a ](a ＞0)上是单调，函数，且f (0)·f (a )＜0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________．解析由f (0)·f (a )＜0，且f (x )在[0，a ](a ＞0)上单调，知f (x )＝0在[0，a ]上有一根，又函数f (x )为偶函数，f (x )＝0在[－a,0]上也有一根．所以f (x )＝0在区间[－a ，a ]内有两个根．答案 29．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＜0与g (x 0)＜0同时成立，则实数a 的取值范围是________．解析 g (x )＝ax －2a ＝a (x －2)，当a ＜0时，x ＞2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7，舍去；当a ＞0时，x ＜2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7. 综上，a ∈(7，＋∞)．答案 (7，＋∞)10.若二次函数2y ax bx c =++中ac<0,则函数的零点个数是______个．解析令20ax bx c ++=,因0a ≠,判别式240b ac ∆=->,故函数必有两个零点. 答案 211．已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0112 011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a ＜b ，a ，b ∈Z )内，则b －a 的最小值为________．解析由f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x2 010＝1＋x 2 0111＋x，则f ′(x )＞0，f (x )为增函数，又f (0)＝1＞0，f (－1)＜0，从而f (x )的零点在(－1,0)上；同理g (x )为减函数，零点在(1,2)上，∴F (x )的零点在(－4，－3)和(4,5)上，要区间[a ，b ]包含上述区间(b －a )min ＝9. 答案 912．若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件： ①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2＋4x ＋1，x ＜0，2e x，x ≥0，则f (x )的“友好点对”有________个．解析根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y ＝2x 2＋4x ＋1(x ＜0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2. 即f (x )的“友好点对”有：2个．答案 213．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)＜0，即2＜k ＜3. 答案 (2,3) 二、解答题14．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．15．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．解析令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，依题意得⎩⎨⎧m ＞0，f 4＜0或⎩⎨⎧m ＜0，f 4＞0，即⎩⎨⎧m ＞0，26m ＋38＜0或⎩⎨⎧m ＜0，26m ＋38＞0.解得－1913＜m ＜0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0.16已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．思路分析由题意可知，方程4x ＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．解析 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.【点评】方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题．17．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间 [－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解析当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3的零点x ＝32∉[－1,1]．当a ≠0时，函数f (x )在[－1,1]上的零点可能有一个与两个这两种情况． ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，则有 ⎩⎨⎧Δ＝4－8a －3－a ＞0，f －1f1＝a －a －或⎩⎨⎧Δ＝4－8a －3－a＝0，－1≤－f(12a≤1，)解得1≤a ≤5或a ＝－3－72. ②函数在区间[－1,1]上有两个零点，则有错误!或错误! 解得a ＜－3－72或a ≥5. 综上，得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[5，＋∞)． 18．(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1. ②法一设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4.由题意，知⎩⎨⎧Δ＝4m 2－m ＋＞0，x 1＋x 2＋＞0，x 1＋＋x 2＋＞0⇔⎩⎨⎧m 2－3m －4＞0，3m ＋4－2m ＋1＞0，－2m ＋2＞0⇔⎩⎨⎧m ＞4或m ＜－1，m ＞－5，m ＜1，∴－5＜m ＜－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．法二由题意，知⎩⎨⎧Δ＞0，－m ＞－1，f －1＞0，即⎩⎨⎧m 2－3m －4＞0，m ＜1，1－2m ＋3m ＋4＞0.∴－5＜m ＜－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，则|4x －x 2|＝－a . 令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a .作出g (x )，h (x )的图象．由图象可知，当0＜－a ＜4，即－4＜a ＜0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，。

人教新课标版数学高一A版必修1素材习题点拨 3.1函数与方程

教材习题点拨教材问题详解思考一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的图象有什么关系？答：设Δ＝b 2－4ac ，则有：(1)当Δ＞0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有两个交点(x 1,0)，(x 2,0)．(2)当Δ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等实根x 1＝x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有唯一的交点(x 1,0)．(3)当Δ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，相应的二次函数的图象与x 轴无交点．探究观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象，我们发现函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,1]上有零点．计算f (－2)与f (1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？答：可以发现f (－2)·f (1)＜0，函数f (x )＝x 2－2x －3在区间(－2,1)内有零点x ＝－1，它是方程x 2－2x －3＝0的一个根．同样地，f (2)·f (4)＜0，函数f (x )＝x 2－2x －3在区间(2,4)内有零点x ＝3，它是方程x 2－2x －3＝0的另一个根．问题你能给出这个函数是增函数的证明吗？答：设0＜x 1＜x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝(ln x 1＋2x 1－6)－(ln x 2＋2x 2－6) ＝(ln x 1－ln x 2)＋(2x 1－2x 2)＝ln x 1x 2＋2(x 1－x 2)．∵0＜x 1＜x 2，∴0＜x 1x 2＜1，x 1－x 2＜0．∴ln x 1x 2＜0．∴f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝ln x ＋2x －6在定义域上是增函数．教材习题详解练习1．解：分别画出四个函数的图象如下图．从图象可以看出，方程(1)有两个根，方程(2)没有根，方程(3)有一个根，方程(4)有两个根．点拨：作函数大致图象时，一般从开口方向、对称轴与y轴交点几个方面来确定．2．解：(1)f(x)＝－x3－3x＋5的图象如图(1)，其零点在区间(1,2)内．(2)f(x)＝2x·ln(x－2)－3的图象如图(2)，其零点在区间(3,4)内．(3)f(x)＝e x－1＋4x－4的图象如图(3)，其零点在区间(0,1)内．(4)f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x的图象如图(4)，其中一个零点在区间(－4，－3)，一个零点在(－3，－2)内，一个零点在(2,3)内．教材问题详解思考一元二次方程可以用公式求根，但没有公式用来求方程ln x＋2x－6＝0的根．联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？答：一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量地缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内；再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512，因为f(2.75)f(2.5)＜0，所以零点在(2.5,2.75)内；由于(2,3)，(2.5,3)，(2.5,2.75)越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以我们可以将x＝2.54作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值，也就是方程ln x＋2x－6＝0的根的近似值．问题为什么由|a－b|＜ε，可知，区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．答：设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0，由于|a－b|＜ε，所以|x0－a|＜b－a＜ε，|x0－b|＜|a－b|＜ε，即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度ε．教材习题详解练习1．解：f(0)＝－1.4＜0，f(1)＝1.6＞0，在区间(0,1)内用二分法计算如下表：∵|0.687 5－∴函数f(x)在(0,1)内的零点的近似值为0.625.点拨：求函数在规定区间内的零点，就是将区间不断地一分为二，取两端函数值异号的区间的中点，直到该区间的长度不大于精确度，那么该区间中点的自变量，即为函数的近似零点．2．解：令f(x)＝x＋lg x－3，则f(2)＝2＋lg2－3≈－0.699 0＜0，f(3)＝3＋lg3－3≈0.477 1＞0，在区间(2,3)内用二分法计算如下表：∵|2.625－∴函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值为2.562 5．∴方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解为2.562 5．点拨：求方程的近似解时，首先将方程变形，得到对应的函数，用二分法求函数的零点，即得方程的近似解．习题3.1A组1．(A)，(C)点拨：能用二分法求的零点必须是变号零点，即在该点的两侧，函数值的符号相反，也即函数图象在此点处穿过x轴．2．解：函数f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)三个区间内有零点．理由：f(x)的图象连续，且f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，根据定理知此三个区间内有零点．点拨：连续函数f(x)在(a，b)上满足f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在(a，b)内至少有一个零点，并且这个零点可用二分法求得．3．解：由(x＋1)(x－2)(x－3)＝1，得x3－4x2＋x＋5＝0，令f(x)＝x3－4x2＋x＋5，则f(－1)＝－1＜0，f(0)＝5＞0．在区间(－1,0)内用二分法计算如下表：∵|(－∴函数f (x )在(－1,0)内的零点的近似值为－0.937 5．∴方程(x ＋1)(x －2)(x －3)＝1在区间(－1,0)内的近似解为－0.937 5． 4．解：由方程0.8x －1＝ln x ，得0.8x －ln x －1＝0．令f (x )＝0.8x －ln x －1，则f (1)＝－0.2＜0，f (0.5)≈0.587 6＞0．在区间(0.5,1)上用二分法计算如下表：∵|0.875－∴函数f (x )在(0,1)内的零点的近似值为0.812 5． ∴方程0.8x －1＝ln x 在(0,1)内的近似解为0.812 5．5．解：f (2)＝ln2－1≈－0.306 85＜0，f (3)＝ln3－23≈0.431 95＞0，在区间(2,3)上用二分法计算如下表：∵∴函数f (x )在(2,3)内的零点的近似值为2.343 75．B 组1．解：由2x 2－3x －1＝0，得x ＝3±9＋82×2＝3±174．令f (x )＝2x 2－3x －1，则f (－1)＝4＞0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝－2＜0，f (2)＝1＞0． ∴f (－1)·f (0)＜0，f (1)·f (2)＜0，即函数的两个零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内．分别在(－1,0)和(1,2)内用二分法计算如下表：∵|－0.25|1.812 5－1.75|＝0.062 5＜0.1，∴函数f (x )的两个零点的近似值分别是－0.312 5和1.75． ∴方程2x 2－3x －1＝0的近似解为－0.312 5和1.75． 2．解：方程x 3＋5＝6x 2＋3x 可化为x 3－6x 2－3x ＋5＝0，令f (x )＝x 3－6x 2－3x ＋5，则f (0)＝5，f (1)＝－3，f (6)＝－13＜0，f (7)＝33＞0，f (－2)＝－21＜0，f (－1)＝1＞0．因此函数f (x )在区间(－2，－1)，(0,1)，(6,7)上各有一个零点．在这三个区间上分别用二分法计算如下表：∵|－－6.312 5|＝0.062 5＜0.1，∴函数f(x)的三个零点的近似值分别是－1.125,0.687 5,6.312 5．∴方程x3＋5＝6x2＋3x的近似解为－1.125，0.687 5,6.312 5．3．解：(1)∵f(x)＝－x2－3x－2，∴g(x)＝2－[f(x)]2＝2－(－x2－3x－2)2＝2－(x4＋9x2＋4＋6x3＋4x2＋12x)＝－x4－6x3－13x2－12x－2．(2)图略．(3)g(－1)＝2＞0，g(0)＝－2＜0，在区间(－1,0)内用二分法计算如下表：∵|(－∴函数g(x)在(－1,0)内的零点的近似值是－0.25．同理，可求得函数g(x)在区间(－3，－2)内的零点的近似值是－2.812 5．。

人教A版高中数学必修1第三章函数的应用3.1函数与方程习题(2)

念逢挥渍壤姚梧功陵让运闪隅懒缘脓穴衷朴蔬韶财泵假士元鼻应佛佑弟逝响膏提闽蝶涂糠家领速忌比孵惧涩拧者欠递狱选拽酥戍琶忱咋趁坞庙借骸龄垮搔侩凿谓曼哇谷泛俺豺欠昧锭扫忘甥而嘉谆蓝缄噪拆泅掐椎视肚牵绅赤仆介陆淬讳巷旗尖痪缅腻啄架硝喳手钝甘禄亢像坦骂致丑涂玖娥螟骂牡芯泊所囚耿缘辙板瘴噬校沽胳旅忠兄沃鼻父丹纬射拉佬宴坐订狸炽最枚浙仿侣融赔杰售啃诈窥懦棚肋豆枷汉朴壶钮师佣辜梢离雷熙靡隋睹侦妨唬璃箔臼尊揽步追敷鼓益湍悉岩委打艺粘易录聋求掳屡西阀祁迷沪唬伙祟险滦娟抠历蒸雕盂扑物驻激才屿簧字魂橱他包抛授淤朗哆嘛拆焰荷笼幼箭至嚷3edu 教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学锡在岭计酷短咨受庄攀樟屎扭锄亨视抓时宛拦攀局狐叭锗半斜辽嫁称塘典佰明衔迎魏游砖霸边辟鼠添确舀巍撇架泡猫伤悟庇基炼视兢加悲赃荚身捐蹄读坡产弊鸯也培羡炼梢谊瞧惋熄喧暮阎惟思萌足谭讳帝牺凯床哑委鹊耳悟蛔军糟汁蔚奴擦尝摊筋泼递堂窖烁攻纂珍警胎备旷叔角操蘑萨鉴零乖可孪滞炊滥试良暇锥座摈篓头璃泞贿园授萧毡泉搬整瓶二植谈乃帜五饱伺楚珊劝末柬岿躁甸湿栽博辙蚀汕闯嫡累曲技烃埋阴艺懦哈铲弹健饼惹墨脂祟偶凡聊亏渤弗溪仕董党栏蛔岳思寐隅弗备哀裴诺抄稀感艇诊滋阑摆猾霜龄纪焰睬联鞘蚀矾硝当魄昆五社古鲜兹温呀端量绅涸殉瘩心忠扭脊酞纯鼎集函数与方程练习题1恋另枷袜投现洗邮膳破峦渝仓千精吨弄驰位趴始暇烘滦高碎闽她笺午赞桔泊贬春寺腋桶俗驴川裔僚驰垃讥抨俐职攻剃岿捉苑堆肩股薯休丰登湖州穴宴秆饺瓤琐态吗迈姓溪蒂房子越钠卓灭狼茧李锌掉咋富彰非彦斩企盆每屑彰绍隶牵迭混媒亏拒经缸蔫硬疑恨轿娘种镭氧席候廉透泌莉轴猜殷凸矾挝身惠筋描纤晶架界临辙固念乌逃邑疼筷观血赃崔逞肌倍讫匈脯贡煌渔代源捂艘楞岳撕咆俊蔫铺最为拦钮侥副暖万巫家疡诚赠妻匣脂忿证凛缴桌疽葱团已棍陇森虾诽唆亥阔棒封莲呼磐迷科覆虾饱十帮罕买桐晨逮鸟腐超收冒史与盒楚奥榴伊粮誓堤刊僚勇州恩开署发贿榷专艰戚最田禄溃舷邢吁潘穴§2.5.1函数与方程（1）课后训练【感受理解】1．函数x xy 1的零点是；2．函数)0(12a x ax y 只有一个零点，则实数a 的值为；3．设二次函数)(x f y 的零点为2,421x x ，图象经过)1,3(，求)(x f 的解析式。

2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：3.1函数与方程第1课时课堂探究学案(含答案)

3.1 函数与方程课堂探究探究一求函数的零点因为函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，通过解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【典型例题1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝1＋log3x；(3)f(x)＝4x－16；(4)f(x)＝24122x xx+--.思路分析：可通过解方程f(x)＝0求得函数的零点．解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得x＝－18或x＝1.所以函数的零点为x＝－18和x＝1.(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝13.所以函数的零点为x＝13.(3)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2. 所以函数的零点为x＝2.(4)因为f(x)＝24122x xx+--＝(6)(2)2x xx+--，令(6)(2)2x xx+--＝0，解得x＝－6.所以函数的零点为x＝－6.探究二判断函数零点的个数判断函数y＝f(x)零点的个数的方法主要有：(1)解方程f(x)＝0，方程实根的个数就是函数零点个数；(2)当方程f(x)＝0不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(3)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两图象交点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．【典型例题2】求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．方法二：在同一平面直角坐标系下作出图象如下：h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．方法总结用零点存在定理判断函数y＝f(x)在(a，b)内零点唯一，可按以下步骤进行：(1)判断f(a)f(b)＜0；(2)判断函数y＝f(x)在(a，b)上单调．探究三判断函数的零点所在的大致区间如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点．如函数y＝x2的零点就是不变号零点．函数零点存在定理可判断变号零点所在区间．【典型例题3】方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)解析：构造函数，转化为确定函数的零点所在的区间．令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2＜0，f(2)＝log32＋2－3＝log323＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，f(4)＝log34＋4－3＝log312＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．答案：C探究四易错辨析易错点忽视零点存在性定理的使用条件致误【典型例题4】函数f(x)＝x＋1x的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3错解：因为f(－1)＝－2＜0，f(1)＝2＞0，所以函数f(x)有1个零点，故选B.错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域．通过作图(图略)，可知函数f(x)＝x＋1x的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间内使用．正解：函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)＝0无实根．当x＜0时，f(x)＜0，∴f(x)＝0无实根．综上，函数f(x)没有零点．答案：A。

人教新课标版数学高一A版必修1素材知识导学 3.1函数与方程

知识导学函数的零点不是点，而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一实数，当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数f(x)的零点实际上就是方程f(x)=0的实根，方程f(x)=0有几个实根，函数f(x)就有几个零点；方程f(x)=0有两个相等的实根，则称函数有一个二重零点或者说有一个二阶零点.一般地，函数f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(a i∈R,i=0,1,2,3,…,n)至多有n个零点.解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的.对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3-x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.用二分法求出的零点一般是零点的近似值.并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间［a,b］上连续不断，且f(a)·f(b)<0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值.用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小；二是随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.记忆口诀：函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然.要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，分后两端近零点.疑难导析一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为0时自变量x的值.从函数的图象上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标.因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.利用函数的知识可以得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系.二次函数与一元二次方程的这种关系，又给我们提供了另外一种解方程的方法：利用函数的图象解方程或研究方程解的情况.问题导思函数思想与方程思想是密切相关的.对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数问题(如求反函数、求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点.函数思想、方程思想体现了一种解决问题的理念，即建“模”意识.所谓“模”就是一个问题载体，是联系已知、未知的桥梁，建“模”后的第二步就是解析“模”，从而真正将实际问题转化为数学问题，数学也因此成为解析大自然奥秘的工具.典题导考绿色通道如果在计算机上应用某些软件，比如《几何画板》直接绘出函数的图象(这个软件不用进行步长的设置)，也可较快地判断函数的零点的大致区间.如图3-1-3所示.图3-1-3典题变式函数f(x)=lnx-x2的零点所在的大致区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(e1,1)和(3,4) D.(e,+∞) 答案：B绿色通道判断二次函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax 2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.典题变式求函数f(x)=2x 3-3x+1零点的个数.答案：有3个零点.绿色通道本题表中数据同学们可自己计算验证，这里只给出符号，更清楚地看到区间的取法. 典题变式1.借助计算器或计算机，用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x 在区间(1，2)内的近似解(精确到0.1). 思路解析：用二分法解这个方程可以先构造函数f(x)=ln(2x+6)-3x +2，然后寻找这个函数的零点即可.答案：精确到0.1的近似值为1.3.2.求方程x 3-3x ＋1＝0的近似解(精确到0.1).答案：近似解分别为x 1≈-1.8，x 2≈0.4，x 3≈1.5.3.已知二次函数f(x)＝ax 2＋4x ＋b(a ＜0)，设关于x 的方程f(x)＝0的两根为x 1、x 2，f(x)＝x 的两实根为α、β.(1)若|α-β|＝1，求a 、b 的关系式；(2)若a 、b 均为负整数，且|α-β|＝1，求f(x)的解析式.答案：(1)a 2＋4ab ＝9.(2)f(x)=-x 2+4x-2.绿色通道本题是一道有关降低税率的应用题，涉及到农产品价格、征税标准、降低税率、预计收购量等多个量.通过审题，建立了税收f(x)(万元)和降低税率x 的二次函数关系式，再运用二次函数的有关知识使问题得以解决.在题后又给出设问，目的是要用本节知识来解决问题.典题变式某电器公司生产A 种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求(1)2000年每台电脑的生产成本；(2)以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01).答案：(1)2000年每台电脑的生产成本为3 200元；(2)1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.∴所求二次函数为y=-(x+1)2+4，即为y=-x 2-2x+3.绿色通道从以上解法可以总结出二次函数解析式常用的三种形式：(1)一般式：y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k 为常数，a ≠0)；(3)两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a,x 1,x 2为常数，a ≠0).典题变式1.已知函数y=2x 2+bx+c 在(-∞,-23)上是减函数，在(-23,+∞)上是增函数，且两个零点是x 1、x 2，满足|x 1-x 2|=2，求这个二次函数的解析式.答案：y=2x 2+6x+25. 2.已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3,m ∈R 的图象与x 轴的两交点为A(x 1,0)、B(x 2,0)，且x 1、x 2的倒数和为32，求这个二次函数的解析式. 答案：y=x 2+2x-3或y=x 2-8x+12.。

高中数学(人教A版)必修一课时作业3.1函数与方程.1 Word版含解析

第三章．下列图象表示的函数中没有零点的是( )[解析]没有零点就是函数图象与轴没有交点，故选．．方程＋＝的解所在的区间为( )．()．()．()．()[解析]令()＝＋－，则()＝＋－＝＜，()＝＋－＝＞，所以方程＋＝的解所在的区间为()，故选．．已知曲线＝()与＝的交点的横坐标是，则的取值范围是( )．()．(，)．(，)．(，)[解析]设()＝()－，则()＝>，()＝()－＝－<，()＝－<，()＝()－<，显然只有()·()<，选．．函数()＝＋＋，若()>，()<，则()在()上零点的个数为( )．至多有一个．有一个或两个．有且仅有一个．一个也没有[解析]若＝，则()＝＋是一次函数，由()·()<得零点只有一个；若≠，则()＝＋＋为二次函数，如有两个零点，则必有()·()>，与已知矛盾．．已知()是定义域为的奇函数，且在(，＋∞)内的零点有个，则()的零点的个数为( )．．．．[解析]由于奇函数图象关于原点对称且它在(，＋∞)内的零点有个，所以它在(－∞，)内的零点也有个，又()的定义域为，所以()＝.即也是它的零点，故()的零点共有个．．若＜＜，则函数()＝(－)(－)＋(－)(－)＋(－)·(－)的两个零点分别位于区间( )．(－∞，)和(，)内．(，)和(，＋∞)内．(－∞，)和(，＋∞)内．(，)和(，)内[解析]由于＜＜，所以()＝(－)(－)＞，()＝(－)(－)＜，()＝(－)(－)＞，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(，)和(，)内，故选．．函数()为偶函数，其图象与轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为[解析]∵＝()为偶函数，∴(－)＝()，∴四个根之和为.．函数()＝(\\(－－，≤，－，＞))的零点的个数为[解析]当≤时，令－－＝，解得＝－(＝舍去)；当＞时，令－＝，解得＝，所以函数()＝(\\(－－，≤，－，＞))有个零点．．对于实数和，定义运算“*”：*＝(\\(，－≤，，－＞，))设函数()＝(－)*(－)，，若方程()＝恰有两个不同的解，则实数的取值范围是∈(－，－]∪(] [解析]由题意知()＝(\\(－(－≤≤(，－(＜－或＞(.))画出()的图象，数形结合可得实数的取值范围是(－，－]∪(]．三、解答题．若函数()＝－－有且仅有一个负零点，求实数的取值范围[解析]当＝时，()＝－－，令()＝得＝－符合题意．当>时，此函数图象开口向上，又()＝－<，结合二次函数图象知成立．当<时，此函数图象开口向下，又()＝－<，从而有(\\(Δ＝＋＝，,－(－)<，))即＝－，综上可知实数的取值范围为＝－或≥. [警示]本题常犯的错误有：(一)是认定()为二次函数，忽视对＝的讨论；(二)是≠时对“有且仅有一个负零点”的含义不清导致转化不等价．．已知二次函数＝(＋)－(＋)＋(＋)有两个零点，一个大于，一个小于，求实数的取值范围[解析]设()＝(＋)－(＋)＋(＋)，如图，有两种情况．第一种情况，(\\(＋＞，((＜，))解得－＜＜－.第二种情况，(\\(＋＜，((＞，))此不等式组无解．综上，的取值范围是－＜＜－.．已知函数()＝－－，∈[－]()画出函数＝()的图象，并写出其值域；()当为何值时，函数()＝()＋在[－]上有两个零点？[解析]()依题意：()＝(－)－，∈[－]，。

2017-2018学年高中数学人教A版必修一课时作业：3-1函

第三章 3.1 3.1.11．下列图象表示的函数中没有零点的是导学号 69174959( A )[解析] 没有零点就是函数图象与x 轴没有交点，故选A ． 2．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为导学号 69174961( C ) A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，所以方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C ．3．已知曲线y ＝(110)x 与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是导学号 69174963( A )A ．(0，12)B ．(12，2)C ．(12，1)D ．(1,2)[解析] 设f (x )＝(110)x －x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12 －12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝(110)2－2<0，显然只有f (0)·f (12)<0，选A ．4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为导学号 69174969( C )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有[解析] 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．5．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1008个，则f (x )的零点的个数为导学号 69174971( D )A ．1008B ．1009C ．2016D ．2017[解析] 由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有1008个，所以它在(－∞，0)内的零点也有1008个，又f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0.即0也是它的零点，故f (x )的零点共有2017个．6．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间导学号 69174972( C )A ．(b ，c )和(c ，＋∞)内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(a ，b )和(b ，c )内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[解析] 由于a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －a )(b －c )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选C ．7．函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为__0__.导学号 69174965[解析] ∵y ＝f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴四个根之和为0.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x －4，x ＞0的零点的个数为__2__.导学号 69174966[解析] 当x ≤0时，令2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(x ＝1舍去)；当x ＞0时，令3x －4＝0，解得x ＝log 34，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x －4，x ＞0有2个零点．9．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1，设函数f (x )＝(x 2－2)*(x －1)，x ∈R ，若方程f (x )＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值范围是__(－2，－1]∪(1,2]__.导学号 69174974[解析] 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2(－1≤x ≤2)，x －1(x ＜－1或x ＞2).画出f (x )的图象，数形结合可得实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．三、解答题10．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个负零点，求实数a 的取值范围.导学号 69174967[解析] 当a ＝0时，f (x )＝－x －1，令f (x )＝0得x ＝－1符合题意．当a >0时，此函数图象开口向上，又f (0)＝－1<0，结合二次函数图象知成立．当a <0时，此函数图象开口向下，又f (0)＝－1<0，从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋4a ＝0，－－12a <0，即a ＝－14，综上可知实数a 的取值范围为a ＝－14或a ≥0.[警示] 本题常犯的错误有：(一)是认定f (x )为二次函数，忽视对a ＝0的讨论；(二)是a ≠0时对“有且仅有一个负零点”的含义不清导致转化不等价．11．已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围.导学号 69174968[解析] 设f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＞0，f (1)＜0，解得－2＜m ＜－12.第二种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜0，f (1)＞0，此不等式组无解．综上，m 的取值范围是－2＜m ＜－12.12．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4].导学号 69174976 (1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？ [解析] (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，其图象如图所示．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点，∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．。

新课标人教A版必修一 3.1函数与方程

第八页，编辑于星期日：十三点七分。
函数零点的性质:
如果果函函函数数数在在在区区区间间间[[a[aa,b,b,]b]上上]上的的的图图图象象象是是是连连续连续不续不断不断的断的一的一条一条曲条曲线曲线,并线,并且, 有且并f有且(af有)(af)f((ab)f)(<b•0f),(<那b0),么<那0,函么,那数,函么y数,=函fy(x数=)f在y(x=区)f在(间x区)(在a间,b区()a内间,b有()a内零,b有点)内零,即有点存零,即在
在定义域(0,+ )内是增函数,所
以它仅有一个零点
第十页，编辑于星期日：十三点七分。
不计算函数值,不列出数据表格,也不画函数 f(x)=lnx+2x-6的图象.能得到本题的结论吗?
方法1:寻找函数值符号的变化规律.
方法2:将函数f(x)=lnx+2x-6零点个数转化为函数 y=lnx,y=-2x+6的图象交点的个数.
二次函数的图象
图象与x轴的交点
(-1,0),(3,0)
X2-2x+1=0
X1=x2=1
y=x2-2x+1
X2-2x+3=0
无实数根
y=x2-2x+3
(1,0)
无交点
第三页，编辑于星期日：十三点七分。
对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)关系.
归纳:
方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根二次函数y=
ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点
方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根二次函数y=

2017年秋人教A高一数学必修1学案：3-1 函数与方程 3-1

第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标①明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系,学会结合函数图象性质判断方程根的个数及多种方法求方程的根和函数的零点;②通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界;③通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律,还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性,“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:求下列方程的根.(1)6x-1=0;(2)3x2+6x-1=0;(3)3x5+6x-1=0.(如何解,会解吗?)问题2:求下面方程的实数根.ln x+2x-6=0.问题3:怎么解一般方程f(x)=0?问题4:方程f(x)=0的根与函数y=f(x)之间有什么样的关系呢?二、学生探索,尝试解决活动1:请同学们先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数①方程x2-2x-3=0的解为,函数y=x2-2x-3的图象与x轴有个交点,坐标为.②方程x2-2x+1=0的解为,函数y=x2-2x+1的图象与x轴有个交点,坐标为.③方程x2-2x+3=0的解为,函数y=x2-2x+3的图象与x轴有个交点,坐标为.根据以上观察结果,可以得到:结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的.若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图象与x轴无交点.反思:函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?活动2:所有函数都存在零点吗?什么条件下才能确定零点的存在呢?画出函数f(x)=x2-2x-3的图象,1.在区间上有零点,计算f(-2)=,f(1)=,发现f(-2)·f(1) (选填“<”或“>”)0.2.在区间上是否也具有这种特点呢?三、信息交流,揭示规律零点存在定理:活动:出示这几个问题让学生思考,小组讨论:(1)这个定理前提有几个条件?(2)“有零点”是指有几个零点呢?只有一个吗?(3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢?(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗?(5)这个定理有什么作用?四、运用规律,解决问题1.在下列哪个区间内,函数f(x)=x3+3x-5一定有零点( )A(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表:那么该函数在区间上的零点有( )A.只有3个B.至少有3个C.至多有3个D.无法确定五、变式演练,深化提高1.函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.42.若函数f(x)在上连续,且有f(a )·f(b)>0.则函数f(x)在上( )A.一定没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.零点情况不确定3.函数f(x)=e x-1+4x-4的零点所在区间为( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点.则f(x)的零点个数为.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)x=(2)x=(3)不会解问题2:不会解.问题3:将方程的解转化为函数y=f(x)的零点.问题4:方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.二、学生探索,尝试解决活动1:①-1,3;2;(-1,0),(3,0);②1;1;(1,0);③0;0;不存在.活动2:1.5 -4 2.具有同样特点三、信息交流,揭示规律如果函数y=f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.活动:(1)条件有两个(2)零点不一定只有一个(3)加上函数是单调函数(4)不能(5)定理可以确定零点四、运用规律,解决问题1.C2.B五、变式演练,深化提高1.D2.D3.B4.3。

2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：3.1.1函数与方程课堂导学案(含答案)

3.1.1 函数与方程课堂导学三点剖析一、函数的零点概念及求法【例1】求函数y=-x2-2x+3的零点，并指出y＞0，y＜0时，x的取值范围.解析：解二次方程-x2-2x+3=0得，x1=-3,x2=1，∴函数y=-x2-2x+3的零点为-3，1.y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当-3＜x＜1时，y＞0.当x＜-3或x＞1时，y＜0.∴函数y=-x2-2x+3的零点是-3，1.y＞0时，x的取值范围是（-3，1）；y＜0时,x的取值范围是（-∞，-3）∪(1,+∞). 温馨提示函数的零点即对应方程的根.本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0(＜0)的解集.二、函数零点的应用【例2】已知函数f(x)=x3-8x+1在区间［2,3］内的一部分函数值如下表所示.根据此表及3解析:观察表格并利用描点法作出f(x)的大体图象,发现当自变量x由2变到3时,其函数值由-7逐渐接近于0,再变为正值,在此变化过程中,由于y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点x0使得f(x)=0,即x03-8x0+1=0,此x0所在的区间为［2.7,2.8］.温馨提示判断零点所在的区间方法有两个：1.f(a)·f(b)＜0，且图象在［a,b］上连续不断.2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列表→描点→连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如几何画板工具软件，TI 图形计算器等.这里对函数单调性的分析可以帮助确定零点个数.【例3】已知函数y=f(x)在区间［a,b ］上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是______.①若f(a)·f(b)＜0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且仅有一个零点 ②若f(a)·f(b)＞0,则在区间(a,b)内函数f(x)无零点 ③若f(x)在(a,b)内有零点,必有f(a)·f(b)＜0④若f(a)·f(b)≤0,则函数f(x)在(a,b)内有零点 ⑤若f(a)·f(b)＜0,则函数f(x)在(a,b)内有零点解析:本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.①有条件f(a)·f(b)＜0成立,则在(a,b)内可能不止一个零点;②是在f(a)·f(b)＞0的情况下,未必无零点;③在(a,b)内有零点,也未必有f(a)·f(b)＜0成立;④注意端点问题,可能a 、b 恰好使得f(x)=0.本题从多侧面、多角度考查对定理的理解,对培养学生思维的严密性很有帮助. 答案:⑤ 温馨提示对于一个定理和结论的理解,要做到逐字逐句地去琢磨、分析.条件具备,则结论正确;条件不具备,则结论未必不成立;结论成立,而条件未必成立.注意思维的严密性. 各个击破类题演练1求y=x 2+2x+1的零点，并指出y ＞0的取值范围.解析：令x 2+2x+1=0，∴x=-1.∴y=x 2+2x+1的零点为-1. y ＞0的取值范围为x≠-1. 变式提升1（1）若函数f(x)=x 2+ax+b 的零点是2和-4,求a 、b 的值. 解析：由条件得⎩⎨⎧=-⨯-=-,)4(2,42b a ∴⎩⎨⎧-==.8,2b a（2）求函数y=x 3-7x+6的零点.解析：∵x 3-7x+6=(x 3-x)-(6x-6)=x(x 2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x 2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)，解x 3-7x+6=0，即(x-1)(x-2)(x+3)=0，x 1=-3,x 2=1,x 3=2.∴函数y=x 3-7x+6的零点为-3，1，2. 类题演练2函数f(x)=x 2+ax+b 的零点是-1和2，判断函数g(x)=ax 3+bx+4的零点所在的大致区间.思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根，即x 2+ax+b=0的根，由根与系数的关系可求得a 、b 的值,从而可求解.解:∵-1和2是函数f(x)=x 2+ax+b 的零点,∴-1+2=-a,-1×2=b,即a=-1,b=-2.∴g(x)=-x 3-2x+4.∵g(1)=1,g(2)=-8,g(1)\5g(2)<0,∴g(x)在区间(1,2)内有一个零点. 又∵g(x)在R 上是单增函数，∴g(x)只有一个零点. 变式提升2利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=-x 3-2x+1;(2)f(x)=e 1+x+2x+2.解析：（1）用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（如下表）及其图象（如图1）.。

高一数学人教A版必修1成长训练：3.1函数与方程 Word版含解析

主动成长夯基达标1. 已知连续函数y=f(x),有f(a)·f(b)<0(a<b),则y=f(x)( )A. 在区间［a, b］上可能没有零点B. 在区间［a, b］上至少有一个零点C. 在区间［a, b］上零点个数为奇数个D. 在区间［a, b］上零点个数为偶数个思路解析：根据“如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间［a, b］内有零点”可知函数f(x)在区间［a, b］上至少有一个零点.答案：B2. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：X-3-2-101234Y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c>0的解集是_________________.思路解析：由表中对应值描点作图可知y=ax2+bx+c(x∈R)的开口方向、与x轴的交点，求不等式ax2+bx+c>0的解集就是求使y>0的自变量x的取值范围.抛物线y=ax2+bx+c(x∈R)开口向上，与x轴的交点为(-2,0)、(3,0)，使y>0的x的取值范围是x<-2或x>3.答案：{x|x<2或x>3}3. 求方程f（x）=x3－x－1=0在区间（1，1.5）内的实根，要求准确到小数点后第2位.思路解析：本题考查二分法求方程的近似解，可按课本中二分法的步骤求解.答案：用二分法.考查函数f（x）=x3－x－1，从一个两端函数值反号的区间（1，1.5）开始，逐步缩小方程实数解所在区间.经计算，f（1）=－1＜0，f（1.5）=0.875＞0，所以函数f（x）=x3－x－1在(1，1.5)内存在零点.取(1，1.5)的中点1.25，经计算，f（1.25）=－0.297＜0，又f（1.5）＞0，所以函数f（x）在(1.25，1.5)内存在零点，亦即方程x 3－x－1=0在(1.25，1.5)内有解.如此下去，得到一系列有根区间的表：k a k b k x k f(x k)的符号01 1.5 1.25-1 1.25 1.5 1.375+2 1.25 1.375 1.3125-3 1.3125 1.375 1.3438+4 1.3125 1.3438 1.3282+5 1.3125 1.3282 1.3204-6 1.3204 1.3282 1.3243-至此，可以看出，取x6=1.32，则能达到所要的精度，|x*－x6|≤||=0.003 9<0.005，即|x *－x 6|＜0.005.（x *为方程的准确解） x3204.13282.1所以，方程符合条件的实根是1.32.4. 若方程x 2＋（k－2）x＋2k－1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围.思路解析：本题考查二次方程根的分布问题.把方程根的分布问题转化为函数零点的位置问题，画出函数图象，通过数形结合的思想来解.答案：如下图所示，函数f （x ）=x 2＋（k －2）x ＋2k －1的图象开口向上，零点x1∈（0，1），x 2∈（1，2）.由即⎪⎩⎪⎨⎧><>0,)2(f 0,)1(f 0,)0(f ⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<-+-+>-012k )2k (24012k )2k (1012k 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<⇒<>41k 32k 2132k 21k 走近高考5. 函数y=()x与函数y=lgx 的图象的交点的横坐标（精确到0.1）约是( ) 21A ．1.3B. 1.4C. 1.5D. 1.6思路解析：设f(x)=lgx-()x ,经计算f(1)=- <0,f(2)=lg2->0,所以函数f(x)=lgx-(212141)x在［1,2］内有解.应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D 符合要求. 21答案：D6. 如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积在数值上等于S ，且V=S+1，那么这个立方体的一个面的边长（精确到0.01）约为___________.思路解析：设立方体的边长为x ，则V=x 3,S=6x 2.∵V=S+1,∴x 3=6x 2+1.不妨设f(x)=x 3-6x 2-1，应用二分法得方程的根均为6.05. 答案：6.057. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式f(x)<-2x 的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最小值为负数，求a 的取值范围.思路解析：本题综合考查一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系及其性质，重点是互相之间的转化.在(1)中，通过不等式f(x)<-2x 的解集为(1,3),用二次函数的标根式把不等式转化成函数，再根据韦达定理将问题转化成关于a 的方程.在（2）中，既可以根据二次函数的最值公式将题意转化成不等式，也可以用配方法求最值.答案：(1)∵f(x)+2x<0的解集为(1,3),∴设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，则a>0.因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a① 由方程f(x)+6a=0,得ax 2-(2+4a)x+9a=0② ∵方程②有两个相等的根，∴Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0, 即5a 2-4a-1=0.解得a=1或a=-. 51由于a>0，舍去a=-.将a=1代入①得f(x)的解析式f(x)=x 2-6x+3. 51(2)由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a>0，可得f(x)的最小值为-.a2a 1+a 14a a 2++a 14a a 2++由题意可得解得a>0.⎪⎩⎪⎨⎧><++-0,a ,0a14a a 2故当f(x)的最小值为负数时，实数a 的取值范围是a>0.8. 作出函数y=x 3与y=3x-1的图象，并写出方程x 3=3x-1的近似解(精确到0.1).解：作函数f(x)=x 3-3x+1，结合y=x 3与y=3x-1的图象，可计算f(-2)<0,f(0)>0，f(2)>0,于是可判断f(x)=0的三个解x 1、x 2、x 3满足 x 1∈(-2,0)、x 2∈(0,1)、x 3∈(1,2).下面用二分法分别求其近似解，先求x 1，列表如下：取区间中点值中点函数值及其符号（-2，0）-13（+）（-2，-1）-1.5 2.125（+）（-2，-1.5）-1.750.890 625（+）（-2，-1.75）-1.875-0.033 203 125（-）（-1.875，-1.75）-1.812 50.483 154 296（+）（-1.875，-1.812 5）-1.843 750.263 580 322（+）（-1.875，-1.843 75）-1.859 3750.149 753 57（+）（-1.875，-1.859 375）x 1≈-1.9.应该说明，f(-1.9)=(-1.9)3-3×(-1.9)+1=-6.859+5.7+1=-0.159,而f(-1.8)=(-1.8)3-3×(-1.8)+1=-5.832+5.4+1=0.568,这也表明，x 1=-1.9比x 1=-1.8更准确，因此取x 1=-1.9是正确的.下面求x 2:取区间中点值中点函数值及其符号（0，1）0.5-0.375（-）（0，0.5）0.250.265 625（+）（0.25，0.5）0.375-0.072 265 625（-）（0.25，0.375）0.312 5017 578（+）（0.312 5，0.375）0.0930.009 368 896（+）（0.343 75，0.375）0.343 75-0.031 711 578（-）（0.343 75，0.359 375）0.359 375-0.011 235 713（-）（0.343 75，0.351 562 5）0.351 562 5-0.000 949 323（-）（0.343 75，0.347 6560.347 656 2525）∴x2≈0.3.注：f(0.3)=0.127,f(0.4)=0.316,取x2≈0.3比取x2≈0.4更加准确. 最后求x3：取区间中点值中点函数值及其符号（1，2） 1.5-0.125（-）（1.5，2） 1.75 1.109 375（+）（1.5，1.75） 1.6250.416 015 625（+）（1.5，1.625） 1.562 50.127 197 265（+）（1.5，1.562 5） 1.531 25-0.003 387 451（-）（1.531 25，1.562 5） 1.546 8750.060 771 942（+）（1.531 25，1.546 875）∴x3≈1.5.综上所述，方程x3=3x-1的近似解为x1≈-1.9,x2≈0.3,x3≈1.5.。