2018-2019学年高二数学选修1-2学业分层测评试题38

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高二数学北师大版选修1-2学业分层测评1 Word版含答案

学业分层测评(一)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．为了考查两个变量和之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了次试验和次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为和.已知两个人在试验中发现对变量的观测数据的平均数都为，对变量的观测数据的平均数都为，那么下列说法中正确的是( )．直线和都过点(，)．直线和相交，但交点不一定是(，)．直线和必平行．直线和必重合【解析】线性回归方程＝＋恒过点(，)，故直线和都过点(，)．【答案】．已知人的年龄与人体脂肪含量的百分数的回归方程为＝－，如果某人岁，那么这个人的脂肪含量( )．一定是．在附近的可能性比较大．无任何参考数据．以上解释都无道理【解析】将＝代入回归方程得＝×－≈.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在附近的可能性较大，故选．【答案】．关于回归分析，下列说法错误的是( )．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法．线性相关系数可以是正的或负的．回归模型中一定存在随机误差．散点图反映变量间的确定关系【解析】用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，故错误．【答案】．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：) ．＝－．＝．＝．＝(－)【解析】代入检验，当取相应的值时，所得值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．【答案】．在一组样本数据(，)，(，)，…，(，)(≥，，，…，不全相等)的散点图中，若所有样本点(，)(＝，…，)都在直线＝＋上，则这组样本数据的样本相关系数为( )．－．．．【解析】所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为，故选．【答案】二、填空题．回归分析是处理变量之间关系的一种数量统计方法．【解析】回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．【答案】相关．已知某个样本点中的变量，线性相关，相关系数＜，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第象限．【解析】∵＜时＜，∴大多数点落在第二、四象限．【答案】二、四．某中学期中考试后，对成绩进行分析，从某班中选出名学生的总成绩和外语成绩如下表：【解析】∵＝＝，。

2018-2019学年高二下学期数学(人教版选修1-2)第二章章末综合检测含答案

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·天津和平区高二期中)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与所证结论矛盾；④与定义、定理、公理、法则矛盾；⑤与事实矛盾．A ．①③④⑤B ．①②④⑤C ．①②③⑤D ．①②③④解析：选B.矛盾是可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、法则、事实矛盾等，故选B.2．(2014·天津耀华中学高二期中)“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝(13)x 是增函数(结论)”．上面推理的错误在于()A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：选A.因为函数y ＝a x 的增减性受a 影响，当a >1时，函数y ＝a x 为增函数，而0<a <1时，函数y ＝a x 为减函数，故大前提错．3．(2014·成都高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一排：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)…，则第66个“整数对”是()A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(11,1)解析：选D.由条件可知，“整数对”中，两数字和为2的1个“整数对”，和为3的两个，和为4的3个，和为5的4个，由n (n ＋1)2＝66，得n ＝11，又n ＝10时，10×(10＋1)2＝55，又66－55＝11，所以第66个整数对应为(11,1)．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面________”．()A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C.正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.5．(2014·台州高二检测)用反证法证明“方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)至多有两个解”的假设中，正确的是()A ．至多有一个解B ．有且只有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解解析：选C.“至多n 个”的反设应为“至少n ＋1个”，故选C.6．(2014·广大附中高二期中)某演绎推理的“三段”分解如下．①(250－1)不能被2整除②一切奇数都不能被2整除③(250－1)是奇数按照演绎推理的三段论模式排序正确的是()A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①解析：选D.根据三段论的模式，大前提→小前提→结论．故选D.7．(2014·襄阳高二检测)已知x >0，由不等式x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，可以推出结论：x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝()A ．n B ．3n C ．n 2D ．n n 解析：选D.由两个不等式的结构特点知，x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n n 个＋a x n≥(n ＋1)n ＋1x n ·x n ·…·x n ·a x n ＝(n ＋1)n ＋1a n n＝n ＋1.所以a ＝n n .8．(2014·遵义高二检测)对于直角坐标系内任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，定义运算P 1⊗P 2＝(x 1，y 1)⊗(x 2，y 2)＝(x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2＋x 2y 1)，若M 是与原点相异的点，且M ⊗(1,1)＝N ，则∠MON ＝()A.34πB.π4C.π2D.π3解析：选B.设M (x 0，y 0)且x 0≠0，y 0≠0，由M ⊗(1,1)＝N ，得N (x 0－y 0，x 0＋y 0)，所以cos ∠MON ＝OM →·ON →|OM →||ON →|＝x 20＋y 20x 20＋y 20·(x 0－y 0)2＋(x 0＋y 0)2＝22，所以∠MON ＝π4.9．(2014·济宁高二期中)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断对一切正整数n ，(n ＋1)2>2n解析：选A.A 正确．B 是利用定义推出f (x )＝x cos x 是奇函数．C 是类比推理，D 是归纳推理，但不正确．10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值()A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能解析：选A.因为f (x )＝x 3＋x 为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a ＋b >0时，a >－b ，有f (a )>f (－b )＝－f (b )．a ＋c >0时，c >－a ，有f (c )>f (－a )＝－f (a )，b ＋c >0时，b >－c ，有f (b )>f (－c )＝－f (c )，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>－f (a )－f (b )－f (c )，从而f (a )＋f (b )＋f (c )>0.故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1.在用反证法证明时，假设应为________．答案：x ，y 均不大于1(或x ≤1且y ≤1)12．(2013·高考陕西卷)观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n 个等式可为________．解析：分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式的左边为12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2.。

高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试

章末综合测评(一)统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③B．③④C．④⑤D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．【答案】 D3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是()A ．0.75B ．0.60C ．0.48D ．0.20【解析】记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A ，记“开关了15 000次后还能继续使用 ”为事件B ，根据题意，易得P (A )＝0.80，P (B )＝0.60，则P (AB )＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.600.80＝0.75. 【答案】 A4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y ＝73.93＋7.19x ，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )A ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以上C ．她儿子10岁时的身高在145.83 cm 左右D ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C ．【答案】 C5．已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75【解析】 ∵x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 A6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝( )A ．13B ．518C．16D．14【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.【答案】 A7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X 和Y有关系”的百分比为()AC．2.5% D．97.5%【解析】查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X和Y有关系”．【答案】 D8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．12B．35C．23D．34【解析】由题意知，乙队获得冠军的概率为12×12＝14，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P＝1－14＝34.【答案】 D9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()A．p＋q－2pq B．p＋q－pqC．p＋q D．pq【解析】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1－q)，乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q(1－p)，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.【答案】 A10．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为()A．12B．6091C．518D．91216【解析】P(A)＝6×5×46×6×6＝120216，P(AB)＝3×4×56×6×6＝60216，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝60216×216120＝12.【答案】 A11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是()①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C点；③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．图1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，∴③正确；④正确，故选D．【答案】 D12．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” .A．0B．1C．2D．3【解析】由列联表中数据可求得随机变量χ2＝992×(700×32－60×200)2 760×232×900×92≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知x，y的取值如下表：1.02x＋a，则a ＝________.【解析】由题意得x＝4，y＝5，又(x，y)在直线y＝1.02x＋a上，所以a ＝5－4×1.02＝0.92.【答案】 0.9214．已知P (B |A )＝12，P (A )＝35，则P (AB )＝________. 【解析】由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB ) ＝P (B |A )·P (A )＝12×35＝310. 【答案】 31015．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (χ2≥3.841) χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.【解析】 χ2≈4.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05. 【答案】 0.0516．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：5℃时，热茶销售量为________杯.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x【解析】根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70. 【答案】 70三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？【解】设从甲袋中任取1个球，事件A ：“取得白球”，由此事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B ：“取得白球”，由此事件B ：“取得红球”，则P (A )＝23，P (A )＝13，P (B )＝12，P (B )＝12.因为A 与B 相互独立，A 与B 相互独立，所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×12＋13×12＝12.18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：【解】 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，把相关数据代入公式，得χ2＝85×(5×28－40×12)217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：图2将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n (ad －bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，【解】 (1)“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2χ2＝n(ad－bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2 人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝7 10.20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23.P(B)＝1－P(B)＝1 3.(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵ P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127.21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？ (3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？【解】 (1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，r＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2∑i＝110y2i－10y2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．(3)b＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52≈46.9，a＝y－b x≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.因此，当播放天数为11天时，估计累计人次为547.22．(本小题满分12分)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：“非高收入族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，当χ2<2.718时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.718时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)赞成楼市限购令的概率．【解】 (1)χ2＝50×(25×7－15×3)40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a ，b ，c ，d ，e ，其中a ，b 为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种，其中ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be 为所求事件数，因此所求概率P ＝710.。

2018-2019年人教版高中《数学选修1-2》试题(题后含答案)106

2018-2019年人教版高中《数学选修1-2》试题
（题后含答案）
单选题（共5道）
1、下面说法正确的有()
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

A1个
B2个
C3个
D4个
2、用三段论推理：“指数函数y=ax是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）
A大前提错误
B小前提错误
C推理形式错误
D是正确的
3、在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于（）
A第一象限
B第二象限
C第三象限
D第四象限
4、证明不等式的最适合的方法是（）
A综合法
B分析法
C间接证法
D合情推理法
5、以下说法不正确的是（）
A顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，每一个算法都离不开顺序结构B循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件，反复执行某一处理步骤，故循环结构中一定包含选择结构
C循环结构中不一定包含选择结构
D用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解
简答题（共5道）
6、用三段论证明：．
7、已知复数．
(1)求z的共轭复数；
(2)若，求实数的值．
8、用分析法证明：
9、已知z=1+i，a，b为实数．
（1）若ω=z2+3-4，求|ω|；
（2）若=1-i，求a，b的值．
10、设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π），求复数z2+z的模和辐角．。

高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题16 最新

章末综合测评(三) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( )A.18 B ．－18 C ．8D ．－8【解析】抛物线y ＝ax 2的标准方程为x 2＝1a y ，所以－14a ＝2，即a ＝－18. 【答案】 B2.如图1，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝100，点A (－6,0)，M 为圆O 上任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，则点P 的轨迹是( )图1A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．两条直线【解析】 ∵P 为AM 垂直平分线上的点． ∴|PM |＝|P A |. 又∵|OP |＋|PM |＝10， ∴|P A |＋|PO |＝10.故P 点的轨迹是以A ，O 为焦点，长轴长为10的椭圆．【答案】 C3．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的焦距为( )A.33 B ．263 C.463D ．233【解析】如图，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知，2a ＝4，a ＝2.因为∠CBA ＝π4，BC ＝2，所以C (－1，1)．因为点C 在椭圆上，所以14＋1b 2＝1，所以b 2＝43.由公式a 2＝b 2＋c 2得c ＝263，所以焦距为463.【答案】 C4．双曲线x 2－4y 2＝4的焦点坐标为( ) A ．(±3，0) B ．(0，±3) C ．(0，±5)D ．(±5，0)【解析】依题意a ＝2，b ＝1，∴c ＝5，又x 24－y 2＝1焦点在x 轴上， ∴焦点坐标为(±5，0)．【答案】 D5．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D ． 2【解析】结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率．不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D. 【答案】 D6．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y【解析】双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .【答案】 D7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B ．x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D ．x 22－y 25＝1【解析】右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上且c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B.【答案】 B8．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．9 B ．4 C ．3D ．2【解析】由题意得：m 2＝25－42＝9，因为m >0，所以m ＝3，故选C. 【答案】 C9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解．由题作出图像如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)，F (c ，0)．易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .∵k AB ＝b 2a c －a ＝b 2a (c －a )，∴k CD ＝a (a －c )b 2.∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a (a －c )，∴k BD ＝－a (a －c )b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝－a (a －c )b 2x ＋ac (a －c )b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝a (a －c )b 2x －ac (a －c )b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2(a －c ).∴点D 到BC的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2(a －c ).∴b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<b a <1或－1<b a <0.【答案】 A10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率等于( )A.2－22 B ．22－12 C.3－1D ．2－1【解析】当x ＝c 时，由c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .又交点在y ＝2x 上，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .所以2c ＝b 2a ＝a 2－c 2a ＝a －c 2a .所以2c a ＝1－c 2a 2，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1＋ 2. 【答案】 D11．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )【导学号：32550189】A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】根据已知条件求出椭圆的方程，|AB |＝2|y A |，只需求出|y A |即可．抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1. ∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图像可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 【答案】 B12．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y【解析】如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，则有302＝2p ×40,2p ＝452，所以所求的抛物线方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，同理若设x 2＝－2py ，则抛物线过点(30，－40)，求得抛物线方程为x 2＝－452y .故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 满足的方程为________．【解析】 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2. 即(－2－x )(3－x )＋(－y )(－y )＝x 2，即y 2＝x ＋6. 【答案】 y 2＝x ＋614．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于________．【解析】设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由⎩⎨⎧y ＝－(x －1)，y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0，|y 1－y 2|＝42＋42＝42，S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.【答案】 2 215．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴双曲线x 2m －y 2n ＝1的焦点在x 轴上．m ＞0，n ＞0，a ＝m ，b ＝n ，∴c ＝m ＋n ＝1，∴e ＝m ＋nm ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34，∴mn ＝316. 【答案】 31616．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．【导学号：32550100】【解析】利用三角形垂心的性质建立关于a ，b ，c 的等式求离心率．双曲线的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线方程联立得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，抛物线焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由三角形垂心的性质，得BF ⊥OA ，即k BF ·k OA ＝－1，又k BF ＝p 2－2pb 2a 22pb a ＝a 4b －b a ，k OA ＝b a ，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4b －b a ba ＝－1，即b 2a 2＝54，故C 1的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋54＝32.【答案】 32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，求椭圆C 的方程．【解】设椭圆的半焦距为c ，依题意知 ⎩⎨⎧c a ＝63，a ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝3，c ＝ 2.∴b 2＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)若双曲线的一条准线为x ＝4，其相应的焦点为(10,0)，离心率为2，求此双曲线的方程．【解】设P (x ，y )是所求双曲线上的任一点，由双曲线的第二定义，得(x －10)2＋y 2|x －4|＝2，化简整理，得(x －2)216－y 248＝1.19．(本小题满分12分)直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：(1)相切；(2)相交；(3)相离．【解】将直线l 和抛物线C 的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1 ①，y 2＝4x ②，将①代入②，并整理，得k 2x 2＋2(k －2)x ＋1＝0. 当k ＝0时，x ＝14，y ＝1，得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.当k ≠0时，方程为一元二次方程，所以Δ＝16(1－k )． (1)当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切； (2)当Δ＞0，即k ＜1且k ≠0时，l 与C 相交； (3)当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 相离．综上(1)k ＝1时相切；(2)k <1且k ＝0时相交；(3)k >1时相离．20．(本小题满分12分)求以(1，－1)为中点的抛物线y 2＝8x 的弦所在直线的方程．【解】设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，. ① ②由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－1，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2， ③y 1＋y 2＝－2， ④k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1. ⑤由②－①，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝8(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1.将④⑤代入上式可得k AB ＝－4. ∴弦所在直线方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0.21．(本小题满分12分)点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解】 (1)由已知可得点A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)．设点P 的坐标为(x ，y )，∵P A ⊥PF ，∴k AP ·k PF ＝－1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6(舍去)． ∴x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532. (2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标为(m,0)，则点M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2. 故点M 的坐标为(2,0)．椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 的平方为： d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15.由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值，最小值为15.22．(本小题满分12分)如图2，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t >0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．图2(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△P AB 的面积．【解】 (1)由题意知直线P A 的斜率存在，故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －t )，y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线P A 与抛物线相切，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧ y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2. (2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线P A 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线P A 的距离是d ＝t 21＋t 2. 设△P AB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t 32.。

高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题41 最新

章末综合测评(三)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】 B3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】 B4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都小于0B．假设a，b，c都大于0C．假设a，b，c中都不大于0D．假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】 C5．下面给出了四个类比推理．①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；②若数列{a n}是等差数列，b n＝1n(a1＋a2＋a3＋…＋a n)，则数列{b n}也是等差数列；类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n＝nc1c2c3…c n，则数列{d n}也是等比数列；③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.上述四个推理中，结论正确的是()A．①②B．②③C．①④D．②④【解析】①在复数集C中，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．【答案】 D6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4【解析】平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b －c)，故④错误．故选B.【答案】 B7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】 D8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.【答案】 B9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝()图1A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 011×2 015【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 015×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 018B ．1 018C ．1 018D ．1 018【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 018，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 018.故选C.【答案】 C12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， …照此规律，第n 个等式可为__________．【解析】依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×(1＋1)2,13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×(2＋1)2＝9,13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×(3＋1)2＝36，…，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)2.【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)215．当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2. 【答案】 n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lga ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ， ∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝3 4.19．(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)证明：因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.20．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⃘平面DEF ，DE 平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .21．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明； (2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110. 故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2. 那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a k k －a k ＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1) ＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1 ＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n 3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n＋1⇔0<23n (显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x >0). 【导学号：67720022】(1)求f (x )的单调区间； (2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <23.【解】 (1)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0；当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2. 当n ∈N *时，因为f (n π)·f ((n ＋1)π)＝[(－1)n n π＋1]×[(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]<0，且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π<x n ＋1<(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2<23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n<1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋122＋…＋1(n －1)2 <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋11×2＋…＋1(n －2)(n －1)＝ 1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1n －1<6π2<23. 综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n<23.。

2018-2019学年高二数学选修1-2学业分层测评试题35

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若空间任意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，且a∥b；所以，必要；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故选B.【答案】 B2．下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．【答案】 C3．如图2-1-3所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有()图2-1-3A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【解析】夹角为90°的共有BA →与BD →，BA →与BC →，DB →与DC →，BA →与DC →，DA →与DC →.【答案】 C4.在如图2-1-4所示的正三棱柱中，与〈AB →，AC →〉相等的是( )图2-1-4A ．〈AB →，BC →〉 B ．〈BC →，CA →〉 C ．〈C 1B 1→，AC →〉D ．〈BC →，B 1A 1→〉【解析】 ∵B 1A 1→＝BA →，∴〈BA →，BC →〉＝〈AB →，AC →〉＝〈BC →，B 1A 1→〉＝60°，故选D.【答案】 D5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( ) A.BD →B ．BC 1→ C.BD 1→D ．A 1B →【解析】 ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD →为平面ACC 1A 1的法向量．【答案】 A 二、填空题6．正四面体S -ABC 中，E ，F 分别为SB ，AB 中点，则〈EF →，AC →〉＝________.【解析】如图所示，∵E ，F 为中点， ∴EF ∥SA ，而△SAC 为正三角形， ∴∠SAC ＝π3， ∴〈EF →，AC →〉＝2π3. 【答案】 2π37．下列命题正确的序号是________． ①若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4； ②若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ＝b ； ③若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④异面直线的方向向量不共线．【导学号：32550022】【解析】 ①〈a ，c 〉＝π4或3π4，①错；②a ∥b ，②错； ③当b ＝0时，推不出a ∥c ，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】 ④图2-1-58．如图2-1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【解析】要求异面直线EF 与GH 所成的角就是求〈FE →，GH →〉，因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉，在正方体中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉＝60°.【答案】 60° 三、解答题9.如图2-1-6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，图2-1-6(1)写出所有的单位向量； (2)写出与AB →相等的所有向量； (3)写出与AD →相反的所有向量； (4)写出模为5的所有向量．【解】在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，所以AD 1＝12＋22＝ 5.(1)单位向量有：AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →. (2)与AB →相等的向量有：DC →，D 1C 1→，A 1B 1→. (3)与AD →相反的向量有：DA →，CB →，C 1B 1→，D 1A 1→.(4)模为5的向量有：AD 1→，A 1D →，BC 1→，B 1C →，D 1A →，DA 1→，C 1B →，CB 1→.图2-1-710．如图2-1-7所示，已知正四面体A -BCD . (1)过点A ，作出方向向量为BC →的空间直线； (2)过点A ，作出平面BCD 的一个法向量．【解】如图所示，过点A 作直线AE ∥BC ，由直线的方向向量的定义可知，直线AE 即为过点A 且方向向量为BC →的空间直线．(2)如图所示，取平面BCD 的中心O ，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面BCD ，∴向量AO →可作为平面BCD 的一个法向量．[能力提升]1．空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量|b |＝3，则下列结论正确的是( )A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3【解析】 ∵a ，b 互为相反向量， ∴a ＝－b ，又∵|b |＝3， ∴|a |＝3. 【答案】 D2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 AB →与C 1D 1→，AD 1→与C 1B →平行且方向相反，互为相反向量．【答案】 B图2-1-83．如图2-1-8所示，四棱锥D 1-ABCD 中，AD ＝DD 1＝CD ，底面ABCD 是正方形，DD 1⊥面ABCD ，E 是AD 1的中点，求〈AC →，DE →〉．【解】取CD 1的中点F ，连接EF ，DF ，则EF →＝12AC →，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉，由AD ＝DD 1＝CD ，且D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥CD ， ∴DE ＝DF ＝EF ＝22DD 1， ∴△EFD 为正三角形， ∠FED ＝π3，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉＝2π3.4．如图2-1-9，四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：【导学号：32550023】图2-1-9(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．【解】 (1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有AB →，BA →，CD →，DC →这4个．(2)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD .又∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA .又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC . ∴平面VAC 的法向量有BD →，DB →这2个．。

高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题8 最新

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆x2169＋y225＝1的焦点坐标为()A．(5,0)，(－5,0)B．(12,0)，(－12,0)C．(0,12)，(0，－12) D．(13,0)，(－13,0)【解析】∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144，∴c＝12，又∵焦点在x轴上，∴焦点为(12,0)，(－12,0)．【答案】 B2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【解析】mn＞0，若m＝n则mx2＋ny2＝1不是椭圆．若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”【答案】 B3．过点(3，－2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程是()A.x215＋y210＝1 B．x2225＋y2100＝1C.x210＋y215＝1 D．x2100＋y2225＝1【解析】椭圆x29＋y24＝1的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求的椭圆方程为x2a2＋y2a2－5＝1，将(3，－2)代入方程得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为x215＋y210＝1.【答案】 A4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B ．y 24＋x 23＝1(y ≠±2) C.x 24＋y 23＝1(x ≠0)D ．y 24＋x 23＝1(y ≠0)【解析】 ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．【答案】 B5．若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )【导学号：32550186】A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2【解析】由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎨⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0.即⎩⎨⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6，⇔a ＞3或－6＜a ＜－2. 故选D. 【答案】 D 二、填空题6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．【导学号：32550187】【解析】当m ＞4时，m －4＝1，∴m ＝5. 当0＜m ＜4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 【答案】 3或57．若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．【解析】若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆．则⎩⎨⎧6－k ＞0k －2＞06－k ≠k －2，∴2＜k ＜6且k ≠4.【答案】 (2,4)∪(4,6)8．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C＝54，则△ABC的顶点C 的轨迹方程为________．【解析】由正弦定理，得 |BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8， ∴|BC |＋|AC |＝10.由椭圆定义可知，点C 的轨迹是以点A 、B 为焦点的椭圆．又∵a ＝12×10＝5，c ＝12×8＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.又∵点A 、B 、C 不共线， ∴点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．【答案】 x 225＋y 29＝1(y ≠0) 三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．【解】设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程．【解】如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝322，∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋322＝22，且|P A |＋|PB |＞|AB |， ∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1. ∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.[能力提升]1．已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k ＝－1，则“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则有k －3＞5－k ＞0，即4＜k ＜5，故“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件．【答案】 A2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8【解析】设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204.又∵F (－1,0)，∴OP →·FP→＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.又x 0∈[－2,2]，∴(OP →·FP →)∈[2,6]，∴(OP →·FP →)max ＝6.【答案】 C3．已知椭圆x 25＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，当∠F 1PF 2为直角时，点P 的横坐标x 0＝________.【解析】由题意知F 1(2,0)，F 2(－2,0)，F 1P →＝(x 0－2，y 0) F 2P →＝(x 0＋2，y 0)，∵∠F 1PF 2＝90°， ∴F 1P →·F 2P →＝(x 0－2)(x 0＋2)＋y 20＝0，又∵y 20＝1－x 205，∴x 20－4＋1－x 205＝0，∴x 0＝±152. 【答案】 ±1524．设M (x ，y )是椭圆x 216＋y 29＝1上的任意一点，求x ＋y 的最值．【解】设x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，θ∈[)0，2π，则x ＋y ＝4cos θ＋3sin θ＝5sin (θ＋φ)，其中tan φ＝43.∵sin (θ＋φ)∈[]－1，1，∴x ＋y ∈[－5,5]． ∴(x ＋y )min ＝－5，(x ＋y )max ＝5.。

高二数学选修1-2测试练习卷(附答案)

2019年3月8日高二数学周五晚修卷班级：学号：姓名：评分：一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知复数，，是虚数单位，则复数的值是B. C.2. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量，的回归模型时，分别选择了种不同模型，计算可得它们的相关指数分别如表：建立的回归模型拟合效果最差的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁3. 在演绎推理“因为平行四边形的对角线互相平分，而正方形是平行四边形，所以正方形的对角线互相平分．”中“正方形是平行四边形”是“三段论”的A. 大前提B. 小前提C. 结论D. 其它4. 下面使用类比推理恰当的是A. “若，则”类推出“若，则”B. “若”类推出“”C. “”类推出“”D. “”类推出“”5. 若，，，，则，，的大小关系为A. B.C. D.6. 复数（是虚数单位）的共轭复数是A. B.7. 设，其中，是实数，则A. B. C. D.8. 用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要作的假设是A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根9. 如图，第个图形是由正边形“扩展”而来，则在第个图形中共有个顶点A. B.C. D.10. 证明不等式的最适合的方法是A. 综合法B. 分析法C. 间接证法D. 合情推理法11. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则C. D.12. 若复数满足，则的实部为C.二、填空题（共4小题；共20分）13. 用反证法证明命题“，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是：“方程”．14. 如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于，解释变量和预报变量之间的相关系数等于．15. 已知，且是纯虚数，则．16. 每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净士”的义务植树活动．活动将个家庭分成A，B 两组，A 组负责种植棵银杏树苗，B 组负责种植棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，假定 A，B 两组同时开始种植，若使植树活动持续的时间最短，则 A 组的家庭数为，此时活动持续的时间为．2019年3月8日高二数学周五晚修卷答案1. D2. C3. B4. C5. B【解析】，.6. B7. D 【解析】因为，所以解得所以．8. A 【解析】方程“至少有一个实根”等价于“方程有一个实根或有两个实根”，所以该命题的否定是“方程没有实根”．9. B 【解析】由已知中的图形我们可以得到：当时，顶点共有（个），时，顶点共有（个），时，顶点共有（个），时，顶点共有（个），由此我们可以推断：第个图形共有顶点个．10. B 11. B【解析】因为为纯虚数，所以且，解得．12. A 【解析】由，得，则的实部为．13. 没有实根 14. ，【解析】设样本点为，，回归直线为；若散点图中所有的样本点都在一条直线上，则此直线方程就是回归直线方程．所以有；残差平方和；解释变量和预报变量之间的相关系数满足，所以．15. 16.【解析】设 A 组有个家庭，则 B 组有个家庭．当两组同时完成植树任务时用时最短，由此列方程为，即．解得，经检验，原方程的解，且符合题意.此时两组同时完成植树任务，持续的时间为．。

2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2阶段质量检测：(二)推理与证明-含解析

阶段质量检测（二）推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3,9) B．(4,8)C．(3,10) D．(4,9)解析：选D因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了( ) A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知D 成立． 8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2nn ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于114．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b 2>a ＋b 2⇒lg a ＋b2>lg a ＋b2. 答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证 6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n，解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1，这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾，所以a n ＋1＝a n 不成立．故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．21．(本小题满分12分)已知：sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝32，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边．将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32也正确22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：(1)用分析法证明：已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2；(2)用反证法证明：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项．证明：(1)a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤ 2.只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．(2)假设1，2，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项(m，n，k∈N*)，则数列的公差d＝2－1n－m＝3－1k－m，即2－1＝2(n－m)k－m，因为m，n，k∈N*，所以(n－m)∈Z，(k－m)∈Z，所以2(n－m)k－m为有理数，所以2－1是有理数，这与2－1是无理数相矛盾．故假设不成立，所以1，2，3不可能是一个等差数列的三项．。

2018-2019学年高中数学模块综合检测(含解析)北师大版选修1-2

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第四象限解析：选Dz 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－ 12在第四象限．2．以下是解决数学问题的思维过程的流程图(如图)：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法解析：选A 综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．故选A.3．复数a ＋i1－i为纯虚数，则它的共轭复数是( )A ．2iB ．－2iC ．iD ．－i解析：选D ∵复数a ＋i1－i＝a ＋i1＋i 1－i 1＋i ＝a －1＋1＋a i 2为纯虚数，∴a －12＝0，1＋a2≠0，解得a ＝1. ∴a ＋i1－i＝i ，则它的共轭复数是－i.4．下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体． ②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围． ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值． A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选B 回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B.5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：选B 等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号，故选B.6．已知x 1>0，x 1≠1，且x n ＋1＝x n x 2n ＋33x 2n ＋1(n ∈N *)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n >x n ＋1C ．存在正整数n (n ≥2)，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n (n ≥2)，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：选D 命题的结论是等价于“数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.7．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212. 8．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i解析：选D 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，所以⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.所以z ＝34＋i.9．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为( )x 3 4 5 6 y2.5m44.5A ．3.5 C ．2.5D ．2解析：选B ∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋m ＋4＋4.54＝m ＋114，又(x ，y )在线性回归方程上， ∴m ＋114＝0.7×4.5＋0.35，∴m ＝3.10．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 10 40 50 不爱好 20 30 50 总计3070100附表：P (χ2≥k 0)0.10 0.05 0.025 k 02.7063.8415.024χ2＝2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.经计算，统计量χ2≈4.762，参照附表，得到的正确结论是( ) A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选A 根据题意得χ2≈4.762>3.841，故应该有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，因此选A.11．已知面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四边的距离分别记为h 1，h 2，h 3，h 4，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的每个面的面积分别记为S 1，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( )A.4VkB.3VkC.2VkD.V k解析：选B 根据三棱锥的体积公式V ＝13Sh ，得13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ，即S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4＝3V ，所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k.12．函数f (x )在[－1,1]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)解析：选A 因为α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2，0<β<π2，π2<α＋β<π.所以π2>β>π2－α>0.所以0<cos β<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α<1，1>sin β>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α>0.又因为f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (sin β)<f (cos α)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z ＝________. 解析：∵(1＋i)z ＝|3－i|＝2， ∴z ＝21＋i ＝21－i2＝1－i ，∴z ＝1＋i. 答案：1＋i14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为________．解析：第一次循环：S ＝2－1,1＜3，i ＝2；第二次循环：S ＝3－1,2＜3，i ＝3；第三次循环：S ＝4－1＝1,3≥3，输出S ＝1.答案：116．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a 2 018，则a 2 018＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋12＋n ＋22＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝12×2 019×2 022＝2 019×1 011.答案：2 019×1 011三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z ＝1－i2＋31＋i2－i.(1)若复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z 1； (2)若实数a ，b 满足z 2＋az ＋b ＝1－i ，求z 2＝a ＋b i 的共轭复数．解：由已知得复数z ＝1－i2＋31＋i 2－i ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝3＋i2＋i2－i2＋i＝5＋5i 5＝1＋i.(1)因为复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z 1＝－1＋i.(2)因为z 2＋az ＋b ＝1－i ，所以(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，因为a ，b ∈R ，所以a ＋b ＝1，且2＋a ＝－1，解得a ＝－3，b ＝4，所以复数z 2＝－3＋4i ，所以z 2的共轭复数为－3－4i.18．(本小题满分12分)为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如表：积极支持教育改革不太赞成教育改革总计工作积极5573128工作一般 98 52 150 总计153125278对于该教委的研究项目，根据上述数据，能否有99%的把握认为对待教育改革的态度与工作积极性有关？解：根据题意可得χ2＝278×55×52－73×982128×150×153×125≈13.959>6.635，所以有99%的把握认为对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b ＋2＋1b a ＋2≤23，只需证明ba ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证3b 2＋12ab ＋3a 2≤4a 2＋10ab ＋4b 2. 即证(a －b )2≥0，这显然成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23. (2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，∴2a ≤b ＋2,2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4，这与a ＋b >4矛盾，∴af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.20．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f x1－f x，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)证明：根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f x ＋a1－f x ＋a ＝1＋1＋fx 1－f x 1－1＋fx 1－f x＝－1f x ，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ] ＝－1fx ＋2a＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．21．(本小题满分12分)通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1， 32－22＝2×2＋1， 42－32＝2×3＋1， …(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各等式两边分别相加得：(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.(1)类比上述求法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值． (2)根据上述结论，求12＋32＋52＋…＋992的值．解：(1)∵23－13＝3×12＋3×1＋1， 33－23＝3×22＋3×2＋1， 43－33＝3×32＋3×3＋1， …，(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1，将以上各式两边分别相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ， ∴12＋22＋…＋n 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋13－1－n －3·1＋n n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．(2)12＋32＋52＋…＋992＝12＋22＋32＋…＋1002－(22＋42＋62＋…＋1002)＝12＋22＋32＋…＋1002－4(12＋22＋32＋…＋502)＝16×100×101×201－4×16×50×51×101＝166 650.22．(本小题满分12分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ＝y －b t .解：(1)列表计算如下：这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1nt i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝1210＝1.2，a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．。

2018-2019学年高二数学选修2-1学业分层测评3.1.5 空间向量的数量积

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.【解析】 ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 【答案】 22．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于________. 【导学号：09390077】【解析】设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ， AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·c ＋2b·c ＋2c·a ＝25，因此|AC 1→|＝5. 【答案】 53．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【解析】 AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝332×2＝12，∴〈AB →，AC →〉＝60°. 【答案】 60°4．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________. 【解析】 a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，∴|2a －3b |＝4|a |2－12a ·b ＋9|b |2＝4×4－12×3＋81＝61. 【答案】615．如图3-1-32,120°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在两个半平面内，且都垂直于AB .若AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．图3-1-32【解析】 ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴AC →·AB →＝0， BD →·AB →＝0.又∵二面角为120°， ∴〈CA →，BD →〉＝60°，∴CD 2→＝|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →)＝164，∴|CD →|＝241. 【答案】 2416．如图3-1-33，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD ，则异面直线BF 与ED 所成角的大小是________．图3-1-33【解析】分别以AB ，AD ，AF 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12.则BF →＝(－1,0,1)，ED →＝(0,1，－1)，∴cos 〈BF →，ED →〉＝BF →·ED →|BF →|·|ED →|＝0＋0－12·2＝－12，∴〈BF →，ED →〉＝120°.所以异面直线BF 与ED 所成角的大小为180°－120°＝60°. 【答案】 60°7．如图3-1-34所示，已知直线AB ⊥平面α，BC ⊂α，BC ⊥CD ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则A ，D 两点间的距离为________．图3-1-34【解析】 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →， ∠DCF ＝30°，DF ⊥平面α， ∴∠CDF ＝60°， ∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2 ＝4＋4＋4＋2×2×2×cos 120° ＝8， ∴|AD →|＝2 2. 【答案】 2 28．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________.【解析】设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－413，－1213二、解答题9.如图3-1-35，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，CD ′与DC ′相交于点O ，连接AO ，求证：图3-1-35(1)AO ⊥CD ′；(2)AC ′⊥平面B ′CD ′.【证明】 (1)因为AO →＝AD →＋DO →＝AD →＋12(DD ′→＋DC →)，因为CD ′→＝DD ′→－DC →，所以AO →·CD ′→＝12(DD ′→＋DC →＋2AD →)·(DD ′→－DC →)＝12(DD ′→·DD ′→－DD ′→·DC →＋DC →·DD ′→－DC →·DC →＋2AD →·DD ′→－2AD →·DC →)＝12(|DD ′→|2－|DC →|2)＝0，所以AO →⊥CD ′→，故AO ⊥CD ′.(2)因为AC ′→·B ′C →＝(AB →＋BC →＋CC ′→)·(B ′B →＋BC →)＝AB →·B ′B →＋AB →·BC →＋BC →·B ′B →＋BC →·BC →＋CC ′→·B ′B →＋CC ′→·BC →，可知AB →·B ′B →＝0，AB →·BC →＝0， BC →·B ′B →＝0，BC →·BC →＝|BC →|2，CC ′→·B ′B →＝－|CC ′→|2，CC ′→·BC →＝0，所以AC ′→·B ′C →＝|BC →|2－|CC ′→|2＝0，所以AC ′→⊥B ′C →，所以AC ′⊥B ′C . 同理可证，AC ′⊥B ′D ′.又B ′C ，B ′D ′⊂平面B ′CD ′，B ′C ∩B ′D ′＝B ′，所以AC ′⊥平面B ′CD ′.10.如图3-1-36，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F ，G 分别为AB ，SC ，SD 的中点．若AB ＝a ，SD ＝b ，图3-1-36(1)求|EF →|；(2)求cos 〈AG →，BC →〉．【解】如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，S (0,0，b )，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，b 2，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，b 2，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2，BC →＝(－a,0,0)．(1)|EF →|＝(－a )2＋02＋b 24＝4a 2＋b 22. (2)cos 〈AG →，BC →〉＝AG →·BC →|AG →|·|BC →|＝a 2a 2＋b 24·a＝2a 4a 2＋b2.[能力提升]1．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________.【导学号：09390078】【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355. 【答案】3552．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，则以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为________．【解析】由题意可得，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3，2)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.【答案】7 33．如图3-1-37所示，已知P A⊥平面ABC，∠ABC＝120°，P A＝AB＝BC＝6，则PC等于________．图3-1-37→＝P A→＋AB→＋BC→，【解析】法一：因为PC所以PC→2＝P A→2＋AB→2＋BC→2＋2AB→·BC→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以|PC→|＝12，即PC＝12.法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,6)，C(0,63，0)，∴PC＝(63)2＋62＝12.【答案】124．如图3-1-38所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．图3-1-38(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．→＝p，AC→＝q，AD→＝r.【解】(1)证明：设AB由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. ∴MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q·p ＋r·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)由(1)可知，MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝MN →2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －p·q －r·p )]＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22，∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长为22a .。

高二数学北师大版选修1-2学业分层测评4 Word版含答案

学业分层测评(四)
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题
．执行如图--的程度框图，如果输入的＝，则输出的＝( )
图--
．
．
．
．【解析】由程序框图知，输出＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝.
【答案】
．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分
成以下几个步骤：.打开电子信箱；.输入发送地址；.输入主题；.输入信件内容；.点击“写邮件”；.点击“发送邮件”．则正确的是( )
．→→→→→
．→→→→→
．→→→→→
．→→→→→【解析】依题意知发送电子邮件的步骤应是：→→→→→.
【答案】
．如图--，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连
，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点向结点传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最
大信息量是( )
图--
．
．
．
．
【解析】由→有条路线，条路线单位时间内传递的最大信息量为＋＋＝.
【答案】
．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用分钟，收拾床褥用分钟，听广播用分钟，吃早饭用分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为(
)
．分钟
．分钟
．分钟
．分钟
【解析】把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同
时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用＋＋＝(分钟)．
【答案】．执行下面的程序框图--，若输入的，，分别为，则输出的＝( )
图--
．
．
．
．。

高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题32 最新

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q 成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．【答案】 C2．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】分别判断由“x>1”能否推出“x3>1”和由“x3>1”能否推出“x>1”．由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解析】根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断．若l 1，l 2异面，则l 1，l 2一定不相交；若l 1，l 2不相交，则l 1，l 2是平行直线或异面直线，故p ⇒q ，qp ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】 A4．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】当a ＝1时，N ＝{1}，显然满足N ⊆M ，所以充分性成立；因为N ⊆M ，所以a 2＝1或a 2＝2，即a ＝±1或a ＝±2，故必要性不成立，所以选A.【答案】 A5．已知a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a ＜0，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝2，b ＝1时，ab ＞b 2，但1b ＜1a ＜0不成立；当1b ＜1a ＜0时，ab 2＜0，则1b ×ab 2＞1a ×ab 2，即ab ＞b 2成立，所以选B.【答案】 B 二、填空题6．若p ：x 2－1＞0，q ：(x ＋1)(x －2)＞0，则綈p 是綈q 的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个)．【解析】綈p ：x 2－1≤0，∴－1≤x ≤1，綈q ：(x ＋1)(x －2)≤0，－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1⇒－1≤x ≤2而－1≤x ≤1－1≤x ≤2，∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．【答案】充分不必要7．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________．【解析】对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．【答案】 ⎩⎨⎧ a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎨⎧a ＝b ＝0c ＞08．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________． ①p 是q 的充分条件； ②p 是q 的必要条件； ③q 是p 的充分条件； ④q 是p 的必要条件．【解析】由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．【答案】 ①④ 三、解答题9．命题p ：x ＞0，y ＜0，命题q ：x ＞y ，1x ＞1y ，则p 是q 的什么条件？【导学号：32550018】【解】 p ：x ＞0，y ＜0，则q ：x ＞y ，1x ＞1y 成立；反之，由x ＞y ，1x ＞1y ⇒y －xxy ＞0，因y －x ＜0，得xy ＜0，即x ，y 异号，又x ＞y ，得x ＞0，y ＜0.所以“x ＞0，y ＜0”是“x ＞y ，1x ＞1y ”的充要条件．10．已知a ，b ，c 均为实数，求证ac ＜0是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件．【证明】 ①充分性．若ac ＜0，则Δ＝b 2－4ac ＞0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，设其两根为x 1，x 2，因为ac ＜0，所以x 1·x 2＝ca ＜0，即x1，x2的符号相反，所以方程有一个正根和一个负根．②必要性．若方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，设其两根为x1，x2，不妨设x1＜0，x2＞0，则x1·x2＝ca＜0，所以ac＜0.由①②知ac＜0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．[能力提升]1．“若a，b∈R＋，a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b∈R＋，若a2＋b2＜1，则a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＜1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2＜(1＋ab)2，所以a＋b＜1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab＞a＋b 成立，但a2＋b2＜1不成立，所以“a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的充分不必要条件．【答案】 C2．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2，且f(x)＝(a x＋b)2为偶函数，∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.【答案】 C3．已知命题p：实数x满足－2≤1－x－13≤2；命题q：实数x满足x2－2x＋(1－m2)≤0(m＞0)．若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．【导学号：32550018】【解析】令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2≤1－x －13≤2＝{x |－2≤x ≤10}， B ＝{x |x 2－2x ＋(1－m 2)≤0，m ＞0} ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．∵“若綈p ，则綈q ”的逆否命题为“若q ，则p ”，而綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，即A ⊆B ，故⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，10≤1＋m ，解得m ≥9.【答案】 [9，＋∞)4．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.【解】 (1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，由二次函数性质有：⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎨⎧a >0a 2－4a <0， ∴0<a <4.(2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2＋ax ＋1，其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0，∴ax 2－ax ＋1>0(x ∈R )恒成立．由(1)(2)命题得证．。

2018-2019学年(新课标)北师大版高中数学选修1-2全册学业分层测评3及解析

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得χ2≈4.523，则认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为( )A ．95%B ．90%C ．5%D ．10%【解析】 χ2≈4.523＞3.841.这表明认为“X 与Y 有关系”是错误的可能性约为0.05，即认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为5%.【答案】 C2．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是( )A ．男、女患色盲的频率分别为0.038,0.006B ．男、女患色盲的概率分别为19240，3260C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关【解析】男人中患色盲的比例为38480，要比女人中患色盲的比例6520大，其差值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪38480－6520≈0.0676，差值较大．【答案】 C3．为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的中学生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的中学生中有6名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )A．0 B．95% C．99% D．都不正确【解析】计算出χ2与两个临界值比较，χ2＝1 000×(39×494－6×461)245×955×500×500≈25.340 3＞6.635.所以有99%的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C．【答案】 C4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( ) A．99.9% B．99.5%C．99% D．97.5%【解析】可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表：糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史16 93 109阴性家族史17 240 257总计33 333 366 根据列联表中的数据，得到χ2＝366×(16×240－17×93)2109×257×33×333≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．【答案】 D5．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：y 1y2总计x1a b a＋bx2c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d以下各组数据中，对于同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为( )A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4 【解析】比较⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d . 选项A 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪59－35＝245；选项B 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪58－46＝124；选项C 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－49＝245；选项D 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－59＝745.故选D ．【答案】 D 二、填空题6．调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：性别与喜欢文科还是理科列联表：喜欢文科喜欢理科总计男生 8 28 36 女生 20 16 36 总计284472中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”) 【解析】通过计算χ2＝72×(16×8－28×20)236×36×44×28≈8.42＞7.879.故我们有99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．【答案】有7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：【导学号：67720006】专业性别非统计专业统计专业男13 10女7 20为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.【解析】∵χ2＞3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.【答案】5%8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若统计量χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________.(填序号)【解析】统计量χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③三、解答题9．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否有关系？【解】由题意列出2×2列联表：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏10 2 12 不喜欢玩电脑游戏 3 7 10 总计13 9 22 (2)由公式得：χ2＝22×(10×7－3×2)212×10×13×9≈6.418，∵6.418＞3.841，∴有95%的把握认为玩电脑游戏与认为作业多少有关系．10．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？【解】根据题意，列出2×2列联表如下：晕机不晕机总计男乘客24 31 55女乘客8 26 34总计32 57 89由公式可得χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689＞2.706，故我们有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．[能力提升]1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是( )A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】根据独立性检验的思想方法，正确选项为C．【答案】 C2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：认为作业量大认为作业量不大总计男生18 9 27女生8 15 23总计26 24 50 若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过( )A．0.01 B．0.025C．0.10 D．0.05【解析】χ2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059＞5.024，因为P(χ2＞5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.【答案】 B3．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某中学随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.超重不超重总计偏高 4 1 5不偏高 3 12 15总计7 13 20【解析】根据公式χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)得，χ2＝20×(4×12－1×3)25×15×7×13≈5.934，因为χ2>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．【答案】0.0254．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.甲乙0 9 0 1 5 6 87 7 3 2 8 0 1 2 5 6 6 8 98 4 2 2 1 0 7 1 3 59 8 7 7 6 6 5 7 8 98 8 7 7 5图12 4(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班乙班总计优秀不优秀总计下面临界表仅供参考： P(χ2≥k)0.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828⎝⎛⎭⎪⎫参考公式：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )【解】 (1)记成绩为87分的同学为A ，B ，其他不低于80分的同学为C ，D ，E ，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10个．“至少有一个87分的同学被抽到”所组成的基本事件有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，共7个，所以P ＝710.(2)甲班乙班总计优秀 6 14 20 不优秀 14 6 20 总计202040χ2＝40×(6×6－14×14)220×20×20×20＝6.4＞5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．。

2018-2019学年高二下学期数学(人教版选修1-2)第一章章末综合检测含答案

(时间：100 分钟，满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列有关线性回归的说法不正确的是( ) A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图 C．线性回归直线得到具有代表意义的回归直线方程 D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程解析：选 D.任何一组观测值并不能都得到具有代表意义的回归直线方程． 2．身高与体重有关系可以用________来解决．( ) A．残差 B．回归 C．等高条形图 D．独立性检验解析：选 B.因为身高与体重是两个具有相关关系的变量，所以要用回归分析来解决． 3．(2014·孝感模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，收集数据如下：
气温(℃) 18 13 10 4 －1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数 y 与气温 x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是( ) A ． y ＝x ＋6 B．y＝x＋42 C．y＝－2x＋60 D．y＝－3x＋78 解析：选 C.由表格可知，气温与杯数呈负相关关系． ^ 把 x＝4 代入 y＝－2x＋60，得 y＝52，e＝52－51＝1. ^ 把 x＝4 代入 y＝－3x＋78，得 y＝66，e＝66－51＝15.故应选 C. 7．医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型 H1N1 流感的预防作用，把 1 000 名注射了疫苗的人与另外 1 000 名未注射疫苗的人的半年感冒记录作比较，提出假设 H0：“这种疫苗不能起到预防甲型 H1N1 流感的作用”，并计算出 P(K2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是( ) A．这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的有效率为 1% B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有 99%的可能性得甲型 H1N1 C．在犯错误的概率不超过 0.99 的前提下认为这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用 D．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用解析：选 D.由 P(K2≥6.635)≈0.01 可知在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用，故选 D. 8.如图，5 个(x，y)数据，去掉 D(3,10)后，下列说法错误的是( ) A．相关系数 r 变大 B．残差平方和变大 C．相关指数 R2 变大 D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强解析：选 B.由题中散点图知，去掉 D 后，x 与 y 的相关性变强，且为正相关，所以 r 变大， R2 变大，残差平方和变小． ^ ^ 9．(2014·平顶山高二检测)已知一组样本点(xi，yi)，其中 i＝1,2,3，…，30，根据最小二乘法求得的回归方程是y＝bx ^ ＋a，则下列说法正确的是( ) ^ ^ ^ A．若所有样本点都在y＝bx＋a上，则变量间的相关系数为 1 ^ ^ ^ B．至少有一个样本点落在回归直线y＝bx＋a上 ^ ^ C．对所有的解释变量 xi(i＝1,2,3，…，30)，bxi＋a的值与 yi 有误差 ^ ^ ^ ^ D．若y＝bx＋a斜率b>0，则变量 x 与 y 正相关 ^ ^ ^ 解析：选 D.A 中，当所有样本点都在y＝bx＋a上时，r＝±1，故错误；B 中，可能样本点都不在回归方程上，故错 ^ ^ 误；C 中，所有预报变量中，bxi＋a与 yi 也可能没有误差，故错误；只有 D 正确． 10．两个分类变量 X 和 Y 可能的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数满足 a＝10，b＝21，c＋d＝35，若认为 X 与 Y 有关系的犯错误的概率不超过 0.1，则 c 的值可能等于( ) A． 4 B ．5 C ．6 D． 7 解析：选 B.若认为 X 和 Y 有关系的犯错误的概率不超过 0.1，则 K2 的观测值 k 所在的范围为 2.706≤k<3.841，根据 nad－bc2 计算公式 K2＝，其中 n＝a＋b＋c＋d，及 a＝10，b＝21，c＋d＝35 可估算出 c 的值． a＋bc＋da＋cb＋d 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 11．从某地区 15 000 位老人中随机抽取 500 人，其生活能否自理的情况如下表所示：男女能 178 278 不能 23 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人． 23 解析：由表中数据可知，男性不能自理的频率为， 500 21 女性不能自理的频率为， 500 23 21 －故 15 000× 500 500 ＝60(人)．

高二数学北师大版选修1-2学业分层测评9 Word版含答案

学业分层测评(九)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．已知，为非零实数，则使不等式＋≤－成立的一个充分不必要条件是( )．·<．·>．>，>．>，<【解析】∵＋≤－，∴≤－.∵＋>，∴<，则，异号，故选.【答案】．平面内有四边形和点，＋＝＋，则四边形为( )．梯形．菱形．平行四边形．矩形【解析】∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，∴四边形为平行四边形．【答案】．若实数，满足<<，且＋＝，则下列四个数中最大的是( )．＋．．【解析】∵＋＝，＋>，∴<.而＋>＝.又∵<<，且＋＝，∴<，∴＋最大，故选.【答案】．，为△的内角，>是 > 的()．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】若>，则>，又)＝)，∴> ；若> ，则由正弦定理得>，∴>.【答案】．若，是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()．若β，α⊥β，则⊥α．若α∩γ＝，β∩γ＝，∥，则α∥β．若⊥β，∥α，则α⊥β．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于，与α不一定垂直，所以不正确；对于，α与β可以为相交平面；对于，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于，β与γ不一定垂直．【答案】二、填空题．设，是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若，，三点共线，则＝.【解析】若，，三点共线，则＝λ，即＋＝λ(＋)＝λ＋λ，∴(\\(λ＝，λ＝，))∴(\\(λ＝，＝.))【答案】．设＝，＝－，＝－，则，，的大小关系为．【解析】∵－＝－(－)＝－>，∴>.又∵＝＝>，∴>，∴>>.【答案】>>．已知三个不等式：①>；②>；③>.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成个正确的命题．。