060-七年级数学提优第6章 平面图形的认识(一) 6.3 余角、补角、对顶角 第1课时 余角、补角

6.3 余角、补角、对顶角
第1课时余角、补角
练速度
第1关
1．（2018·陇南）若一个角为65°，则它的补角的度数为（）
A．25°B．35°C．115°D．125°
2．（2018秋·嘉兴期末）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中∠1与∠2互余的是（）A．B．
C．D．
3．有下列四种说法：
①锐角的补角一定是钝角；
②一个角的补角一定大于这个角；
③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；
④锐角和钝角互补．
其中正确的是（）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
4．（1）若互为余角的两个角的度数之比为2︰3，则这两个角的度数分别为________和________；
（2）54°36'42''的余角是________，补角是________；
（3）（2018秋·大连中山区期末）已知∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小20°，则∠β等于________．
5．（2018秋·常德鼎城区期末）已知∠1＝40°，∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，则∠3＝________．
6．（2018秋·徐州期末）如图，一副三角尺有公共的顶点O，若∠BOD＝40°，则∠AOC＝________．
7．如图，AB是一条直线，∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC︰∠AOE＝3︰1．
（1）求∠COD的度数；
（2）图中有哪几对角互为余角？
（3）图中有哪几对角互为补角？
练准确率
第2关
8．如图，点A ，O ，B 在同一条直线上，∠COE 和∠BOE 互余，射线DF 和OD 分别平分∠COE 和∠BOE ，则∠AOF ＋∠BOD 与∠DOF 的关系是（ ）
A ．∠ADF ＋∠BOD ＝∠DOF
B ．∠ADF ＋∠BOD ＝2∠DOF
C ．∠ADF ＋∠BO
D ＝3∠DOF D ．∠AOF ＋∠BOD ＝4∠DOF
9．（2018秋·合肥瑶海区期末）如果∠α和∠β互余，
则下列表示∠β的补角的式子：①180°-∠β；②90°＋∠α；③2∠＋∠β；④2∠β＋∠α．其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．①②③④
C ．①②④
D ．①②
10．（1）（2018秋·天津河北区期末）若一个角的补角的余角是28°，则这个角的度数为________．
（2）（2018秋·宜宾期末）如果一个角的余角与它的补角的度数之比为2︰5，那么这个角等于________．
11．如图，若∠AOB 与∠BOC 互补，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内部，并且12
BOE COE ∠=∠，∠DOE ＝72°，则∠COE 的度数是________．
12．如图，已知∠AOB 与∠AOC 互补，OD 是∠AOB 的平分线，∠COD ＝15°，求∠AOC 的度数．
13．（2018秋·厦门期末）如图，A ，O ，B 三点在同一直线上，∠BOD 与∠BOC 互补．
（1）若∠AOC ＝30°，求∠BOD 的度数；
（2）已知OM 平分∠AOC ，若射线ON 在∠COD 的内部，且满足∠AOC 与∠MON 互余，试探究∠MON 与∠DON 之间有怎样的数量关系，请写出结论并说明理由．
练思维宽度
第3关
14．如图①，点B ，O ，C 在同一条直线上，∠AOB ＝α（0°＜α＜60°）．
（1）若∠BOD ＝90°，∠AOD ＝70°，∠AOE ＝70°，如图②，求∠EOB 与∠AOB 的比值；
（2）若∠BOD ＝∠AOE ＝90°，OF 平分∠AOD ，OG 平分∠AOC ，如图③，请比较∠AOF 与∠GOC 的大小，并求出∠FOG 的度数；
（3）若∠AOM 与∠AOB 互余，∠BON 也与∠AOB 互余，写出∠MON 的度数（用含α的式子表示）．
6.3 余角、补角、对顶角
第1课时 余角、补角
1．C 2．C 3．B
4．（1）36° 54°
（2）35°23'18'' 125°23'18''
（3）80°
5．130°
6．140°
7．（1）因为∠AOD ＝∠BOD ＝∠EOC ＝90°，所以∠BOC ＋∠AOE ＝90°．
因为∠BOC ︰∠AOE ＝3︰1，所以39067.531
BOC ∠=⨯︒=︒⨯． 所以∠COD ＝90°-67.5°＝22.5°．
（2）互余的角有：∠COB 与∠COD ，∠COB 与∠AOE ，∠DOE 与∠COD ，∠DOE 与∠AOE ．
（3）互补的角有：∠COB 与∠COA ，∠AOE 与∠EOB ，∠AOD 与∠BOD ，∠AOD 与∠EOC ，∠BOD 与∠EOC ，∠EOD 与∠AOC ，∠DOC 与∠EOB ．
8．C 9．A
10．（1）118°
（2）30°
11．72°
解析：设∠BOE ＝x ，∠COE ＝2x ，则()118032
BOD x ∠=︒-，
又∠BOE ＋∠BOD ＝∠DOE ，即()11803722
x x +︒-=︒，解得x ＝36°，故∠COE ＝2x ＝72°． 12．设∠AOC ＝x ，因为∠AOB 与∠AOC 互补，所以()11802AOB x ∠=
︒-． 因为OD 平分∠AOB ，所以()11802AOD x ∠=
︒-． 因为∠AOD-∠AOC ＝∠COD ，所以()1180152
x x ︒--=︒， 解得x ＝50°，所以∠AOC ＝50°．
13．（1）因为A ，O ，B 三点在同一直线上，
所以∠AOC ＋∠BOC ＝180°．
因为∠AOC ＝30°，
所以∠BOC ＝150°．
因为∠BOD 与∠BOC 互补，
所以∠BOD ＋∠BOC ＝180°，
所以∠BOD ＝180°-150°＝30°．
（2）∠MON 与∠DON 之间的数量关系为2∠DON-∠MON ＝90°．
理由如下：
如图，设∠AOM ＝α，
因为∠AOC 与∠MON 互余，
所以∠AOC ＋∠MON ＝90°．
因为OM 平分∠AOC ，
所以∠AOC ＝2∠AOM ＝2α．
所以∠MON ＝90°-2α．
因为∠BOD 与∠BOC 互补，
所以∠BOD ＋∠BOC ＝180°．
又∠AOC ＋∠BOC ＝180°，
所以∠BOD ＝∠AOC ＝2α，
所以∠DON ＝180°-∠AOM-∠MON-∠BOD
＝180°-α-（90°-2α）-2a ＝90°-α．
所以2∠DON ＝2（90°-α）＝180°-2α＝90°＋90°-2α．
所以2∠DON-∠MON ＝90°．
14．（1）因为∠BOD ＝90°，∠AOD ＝70°，所以∠AOB ＝90°-70°＝20°．
因为∠AOE ＝70°，所以∠EOB ＝70°-20°＝50°，所以
52
EOB AOB ∠=∠， 即∠EOB 与∠AOB 的比值为52． （2）因为∠BOD ＝∠AOE ＝90°，所以∠AOD ＝90°-α．因为OF 平分∠AOD ，所以
()1902
AOF α∠=︒-． 因为∠AOC ＝180°-α，OG 平分∠AOC ． 所以()11802
AOC GOC α∠=∠=︒-，所以∠ADF ＜∠GOC ， 且()()11180901804522FOC AOC AOF GOC ααα∠=∠-∠-∠=︒--
︒--︒-=︒． （3）因为∠AOM 与∠AOB 互余，∠BON 也与∠AOB 互余，所以∠AOM ＝90°-α，∠BON ＝90°-α，
如图①，∠MON ＝90°-（90°-α）＝α；
如图②，∠MON ＝90°＋（90°-α）＝180°-α；
如图③，∠MON ＝（90°-α-α）＋（90°-α）＝180°-3α；
如图④，∠MON ＝（90°-α）-（90°-α-α）＝α．
故∠MON 的度数为α或180°-α或180°-3α．。