币值时间加权收益率

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商业银行会计会计分录全解

2015-2016第一学期利息理论复习题 1、已知a n =10和a 3n =24.40，求a 4n 。

∵ a n =[v(1-v n )]/(1-v)=10a 3n =[v(1-v 3n )]/(1-v)=24.4∴ a 3n /an=24.4/10=(1-v 3n )/ (1-v n )=v 2n +v n +1=2.44 ∴ v n =0.8∵ a 4n /a n = v 3n +v 2n +v n +1=0.83+0.82+0.8+1=369/125 ∴ a 4n =368*10/125=29.52陈冰健 31208020532. 已知：7|11|18|,,.a K a L a M === 求i 。

解答如下：77111118186111111(1)(1)(1)v K iv iK v L iv iL v M iv iMiK iL iM L K M i LK -==--==--==---=-+-=、金融1204 马高峰 31208021033. 某寿险保单的死亡福利可以以下列方式支付，下列不同方式的支付有下相同的（等于死亡福利）的现值：（1）在每个月末支付1200的永续年金；（2）在每个月末支付3654.7的持续n 年的年金；（3）在第n 年末一次性支付178663.2。

求该死亡福利金额。

解：1(12)120012PV i =(12)122(12)1(1)123654.73654.712n ni PV a i --+== (12)123178663.2178663.2(1)12n n iPV v -==+(12)123654.711(1)120012n i -⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦(12)121()0.67165567612ni -+=120000.1524120000PV =≈3120802068 刘方泽4、某连续的n 年期年金在t 时的支付率为1﹣kt ，0≤t ≤n 。

该年金的现值为f ﹣g ﹣h ，其中f 是连续支付1的永续年金的现值，g 是连续支付1﹣kn 的n 年延期永续年金的现值，求h 。

货币时间价值、资产收益率的计算和比较、Excel函数、达成理财目标的计算方法、生涯仿真表

货币时间价值、资产收益率的计算和比较、Excel函数、达成理财目标的计算方法、生涯仿真表一、货币时间价值货币时间价值的基本概念：PV 即现值，也即期间所发生的现金流在期初的价值FV 即终值，也即期间所发生的现金流在期末的价值t 表示终值和现值之间的这段时间r 表示市场利率二、资产收益率的计算和比较(一)、现金流量时间图通常，现金流入为正(如 C2)，现金流出为负(如C0 )。

(二)、现值与终值的计算单期情况多期情况1、终值利率因子与现值利率因子(1)单期中的终值单期中终值计算公式为：FV = PV×(1 + r)其中，PV是第0期的现金流，r是利率。

(2)单期中的现值单期中现值的计算公式为：其中， FV是在1时期的现金流，r是利率。

(3)多期中的终值计算多期中的终值公式：FV = PV×(1 + r)tPV是第0期的价值r 是利率t 是投资时间(4)终值利率因子(复利终值系数)一般说来，经过t时期后，今天投入的1元的终值将是FVt =1 *(1 + r)t(1 + r)t 是终值利率因子(FVIF)，也称为复利终值系数现值利率因子(复利现值系数)年利率为r时，要计算t时期价值1元的投资的现值，可以用以下公式：PV = 1/(1 + r )t1/(1 + r )t称为现值利率因子(PVIF)，也称复利现值系数。

例题1：已知时间、利率和终值，求现值假如你现在21岁，每年收益率10%，要想在65岁时成为百万富翁，今天你要一次性拿出多少钱来投资?确定变量：FV = 1,000,000元 r = 10%t = 65 - 21 = 44 年 PV = ?代入终值算式中并求解现值：1,000,000= PV ´ (1+10%)44PV = 1,000,000/(1+10%) 44 = 15,091元当然我们忽略了税收和其他的复杂部分，但是现在你需要的是筹集15,000元!例题2：已知现值、时间和利率，求终值据研究，美国1802-1997年间普通股票的年均收益率是8.4%。

孟生旺《金融数学基础》参考答案

孟生旺《金融数学基础》参考答案（中国人民大学出版社，2015年2月第一版）第1章利息度量1.1360021500.125,2000(1)2848i i i ⨯=⇒=+=1.2 /121/1218/121004314271141.6T v v v T =+⇒= 1.3:(2)2i A X i X =⋅, ()()1615:1/21/2B X i X i +-+ 1615[(1/2)(1/2)]0.09458X i i i X i +-+=⋅⇒=1.427.72e 20.025δδ=⇒=, 当0.5i δ= 时, /2(12)7.0480n n δ+=⇒=1.5 1/42100(146%)114.71-⨯⨯-⨯=1.6 ()()11118//mmm m i i d d m m m -+=+=-=-⇒=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1.7 12:()(1.01)tA a t =, 2/12:()e tB a t =, 212/12(1.01)e 1.43t tt =⇒=1.8 2:()exp()/2A a t an bn =+, 2:()exp()/2B a t gn hn =+, 2()/()n a g h b =--1.9 8512()100(1)exp /4(1)d 2600.129a t d t t d --=-⋅⎡⎤+=⇒=⎢⎥⎣⎦⎰ 1.10 11/(1)t δ=+, 222/(1)t t δ=+, 0.41t = 1.11 2()(1)a t t =+1111300(3)600(6)200(2)(5)=315.82a a a X a X ----⨯+⨯=⨯+⨯⇒1.12 ()10.2025330(3)exp e/100d a t t --==-⎰.1.13 20.5()0.040.031,(0.5)/(0.5)0.068a t t t a a δ'=++== 1.14 ()320(3)100exp/100d 109.42A t t X X=⋅+=+⎰()623(6)(109.42)exp /100 1.8776(109.42)A X t dt X =+⋅=+⎰(6)(3)(109.42)(0.87761)784.61A A X X X -=+=⇒=1.15 t = 4时的累积值为：()30.04501000exp0.02d e 1144.54t t ⋅=⎰令名义利率为x , 则 161000(1/4)1144.540.03388x x +=⇒=1.16 ()20.075i=, (4)(2)(2)21/2/2/2ln (1)41(1)0.1466d i i δ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=++-+= 1.17 ()()510205expd exp/25d 2.71830.414kt t kt t k ⋅=⇒=⎰⎰1.18 0()exp d (2)/2,()(0)/216tt a t t t a n a n n δδ⎡⎤==+=-=⇒=⎢⎥⎣⎦⎰ 1.19 201000exp 1068.94d t t δ⋅=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 1.20 1010267.5, 10(1.0915)30(1.0915), 2.3254nn A B n --==+=第2章等额年金2.1 1363元 2.2 279430元 2.3260052.4 基金在第30年初的现值为658773.91, 如果限期领取20年, 每次可以领取57435, 如果无限期地领下去, 每次可以领取39526 2.5 31941.68元, 21738.97元, 46319.35元 2.6 9年 2.7 29月末2.8 0.1162 2.9 8729.23 2.10 45281.05 2.11 0.2 2.12 302 2.13 4.06%2.14假设最后一次付款的时间为n , 则有：4410000010000(10.05)23.18n a n --=+⇒=假设在23年末的非正规付款额为X , 则有4231910000010000(10.05)(10.05)1762.3a X X --=+++⇒=2.15 601004495.503860000.749329k k a v v k ==⇒=⇒=2.16 20101020153810721072153846600.08688a a v v i =⇒-+=⇒=2.17 设j 为等价利率, 则0.040604j =, 1681000()32430s s =+=&&&&累积值 2.18 以每半年为一个时期, 每个时期的实际利率为/2i , 两年为一个时期的实际利率为()411/2j i =-+, 故 5.891/0.08j i ⇒==2.19 ()20101012126410.7520.09569i s i s i i ⋅⋅+⋅⋅=⇒+=⇒=2.20 {}ln(1)1exp d d 1n nta n r t r==+-+⎰⎰2.21 20()exp d (10.5)tr a t r t δ==+⎡⎤⎣⎦⎰, 5(5)(5)(5)...12.828(1)(2)(5)a a a s a a a =+++=2.22()8888111188100d (1)d tt v a a t v t δδδδ-==-=-=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰⎰()()5/48101810018100v v δδδδ=--⋅⇒=--⎡⎤⎣⎦()[]5/410101181001v a δδδδ----==2.23 1/302.24 1[ln(/)]/i δδ- 2.25 4e 12e 3n n δδ=⇒=, e 112121/6n n s δδδ-=⇒=⇒=第3章变额年金3.1 ()29/229229 /22972.8865.440.1/2j j j s j Is j s j j -⎡⎤=⋅=⋅⇒=⇒=⎢⎥⎢⎥⎣⎦&&&& 3.2 1010900100()a I a += 1088.693.3 2312(1)23......n n n nn i a a v v v nv nv nv id++++++++++==3.4 335792222468...49.89(1)v X v v v v v =++++==-3.5A 的现值为：102010105555()X a a v a ==+B 的现值为：1020101010306090X a v a v a =++ 故 10102055(1)3060900.07177574.74v v vi X +=++⇒=⇒=3.6 1()()n n n n nIa v Da a a -+=⋅&& 3.7 71520()1602146.20Da a +=3.8 11846.663.9每季度复利一次的利率为0.0194, 所有存款在第八年末的终值为40.019480.08()183.01s Is =&&, /0.08183.0114.64X X =⇒= 3.10 3433203.11 166073.12 现值为5197.50, 累积值为9333.98.3.13 111193070()9998.16a Ia +=&&&&, 终值为23312.11. 3.14 现值为111120()2803246.03Da a +=, 在第20年末的终值为10410.46. 3.15 212.343.16 此项投资在第10年末的终值为：106%106%80000(5000)500()X s Ds =-+&&&&80000(5000)(13.97164)500(83.52247)7736.88X X =-+⇒=3.17 ()4106%116%100()200015979.37X v Da a =+=. 3.18 第20年末的终值为：16115%(1)200()19997.38i Ia +=3.19 前5年的现值为77.79, 从第6年开始, 以后各年付款的现值为：()510.092010.09v k k +⎛⎫+ ⎪-⎝⎭, 总现值为335, 故 3.76%k =.3.20 104%104%9010()1735.96s I s +=3.21 第8年的终值为：87%87%605()894.48478s Ds +=第10年末的终值为1024.10. 3.22100(43)exp (0.030.04)d d 89.97t t s s t ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 3.23 在时刻5的现值为：102255(1.22)exp (0.00060.001)d d 382.88tt t s s s t ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 时刻零的现值为：50382.88exp (0.0040.01)d 346.44t t⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦⎰ 3.24 ()10100250009exp 1/(9)d d 190131.58t k tk s s t k k ⎡⎤=++=⇒=⎢⎥⎣⎦⎰⎰第4章收益率4.10.1483 4.2 1221.99 4.3 时间加权收益率0.5426, 币值加权收益率0.5226, 两者之差0.0236.4.4 93000 4.5 −10%4.6 120100506565(10050)136,0.1834100120100501009/12503/12D D i D D --+-⋅⋅=⇒===-+-+⨯-⨯ 4.7 0.1327 4.8 7.5% 4.9 236.25 4.100.06194.11 5年末投资者共得到56245.5元. 设购买价格为P , 要得到4%的收益率, 有5(1.04)56245.546229.7P P =⇒=4.12 20.0820/220/25000100000(5000)()34.710.1i i s i Is s i =+⇒=⇒=&&&& 4.13 再投资利率为8.73%. 投资者B 的利息再投资后的积累值为6111.37.4.14 ()10200.75100.7512126410.7520.09569i i i s i s i i ⋅⋅+⋅⋅=⇒+=⇒=4.15 3项投资在2015年初的余额为320.46万元, 在2015年末的余额为344.56万元, 故2015年中所获利息为24.10万元.第5章贷款偿还方法5.1 X = 704.065.2 设每年的等额分期付款金额为R , 由已知28(1)135R v -=, 147(1)108(1)72R v R v -=⇒-=5.3 301301(1)/32/322.69t t R vR v t -+-+-=⇒=⇒=故在第23年分期付款中利息金额最接近于付款金额的三分之一. 5.4 109832290.35,408.55Rv Rv Rv Rv Rv Rv =++=++0.05,150.03,1158.4i R L ⇒===. 支付的利息总金额为10341.76R L -=5.5 1510.65.6 （1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额应为4438.42（2）第2年末的余额为9231.91 （3）第2年末的贷款净额为10768.095.7 0| 4| 6104.56/20000/8.4911%k i i R L a a i ===⇒= 5.8 第5次偿还中的利息为66.89万元.5.9 22912125,0001 1.02(1.02)(1.02)526i Ra v v v R ⎡⎤=+++⋅⋅⋅⋅+⇒=⎣⎦5.10 各期还款的积累值为 20200.0510*******(1)0.0616s i i =+⇒=5.11 121212155000500.3812 0.09173077.9455000(1)500.38jn njn a i j j s -=⎧⎪⇒==⎨=+-⎪⎩ 5.12 第一笔贷款偿还的本金为490.34, 第二笔贷款偿还的本金为243.93, 两笔贷款的本金之和为 734.27. 5.13 3278.5.14 第3次支付的本金金额为784.7, 第5次支付的利息金额为51.4. 5.15 0.1196. 5.16 64.74.5.17 调整后最后一次的偿还额为1239.1. 5.18 第11年末.5.19 调整后借款人增加的付款为112.5.20 20301019100001900100()5504.7Xa v a v Ia X =++⇒=. 5.21 11190.11.第6章证券定价6.1 价格为957.88元, 账面值为973.27元.6.2价格为974.82元, 账面值为930.26元（理论方法）, 929.82（半理论方法）, 1015（实践方法.6.37.227% . 6.4 6.986% .6.5 10201010101000.11000.091000.0897.74P a v a v a --=⨯+⨯+⨯=元.6.6债券每年末的息票收入为80元, 故有()()()54321082.27(1)801801801099.84(1)80(1)80 6.5%V V i V i i i i i ==+-=+-+-⎡⎤⎣⎦=+-+-⇒=(3)3 8010001099.8412n n i a v n --⋅+=⇒= 1212 0.065801000(1.065)1122.38P a -=⋅+=元.6.7应用债券定价的溢价公式可以建立下述三个等式：20202040(1) 45(2) 50(3) 2X C i a C Y C i a C X C i a C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭由(3)/(1)得：501302403Ci Ci Ci --=⇒=-由(1)(3)+得：2020(902)902XX Ci a a Ci=-⇒=-所以有 20(45)/25Y Ci a X =-==元. 6.8 t = 7/12, 理论方法的账面值为87.35元, 实践方法的账面值为87.35元.6.9110019019/110910/33n n n v v a =⇒=⇒= 0.0311********.03n n P v a =+=.6.10 40n n P a M v =+⋅, 30n n Q a M v =+⋅, 令债券C 的价格为X , 则有8054n n X a M v X P Q =+⋅⇒=-.6.11 ()()()()1010 0.041010 0.0510*******.040.03581.49100011001.05P r a r P r a --⎧=+⎪⇒=⎨-=+⎪⎩ ()1010 0.0351*******.0351371100 1.0351371070.80X a -=⨯+⨯=6.12 ()()()219202320105050 1.03 1.03 1.03837.78P v v v v v ⎡⎤=+++++=⎣⎦L .6.13 偿还值的现值为55200584.68()v a =元, 未来息票收入的现值为5556012()355.99()a v Da +=元, 故债券的价格为940.67元. 也可以应用Makeham公式计算, 即0.06/0.07(1000584.68)584.68940.67P =⨯-+=元.6.14 2020 10104010001071.06401041.58P a v P P a X v X ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎪⎩⎩6.15 债券每年末的息票收入为60元, 修正息票率为60/1050 = 5.7143%, 小于投资者所要求的收益率8%, 所以赎回越晚（即到期时赎回）, 债券的价格越低. 由此可得该债券的价格为1010501050(5.7143%8%)888.94P a =+⨯-⨯=元.6.16 股票在第六年的红利为60.50.2(1.10)⨯⨯, 以后每年增长10%. 应用复递增永续年金的公式, 该股票的价格为6510.50.2(1.10) 1.1110.510.110.1P -=⨯⨯⨯⨯=-元.6.17 投资者每个季度的实际收益率为 2.47%j =, 应用复递增永续年金的公式, 投资者购买该股票的价格为0.3/(2.47%2%)63.83P =-=元. 6.18 1.5/305%10%i =+=. 6.19 30元.6.20 每股利润为109.500.50-=元, 保证金为100.505⨯=元, 保证金所得利息为50.0500.25⨯=元, 每股红利为0.1元, 卖空收益率为(0.50.250.1)/513%+-=.6.21 8.59%第7章利率风险7.115D =马, 基于名义收益率的修正久期为15/(11%)14.85D =+=. 年实际收益率为12.68%i =, 基于实际收益率的修正久期为15/(112.68%)13.31D =+=.7.2 1()/()e 1n nD P P δδδδ'==--7.3 假设债券的面值为100, 则92.648.027.57P D D ===马，， 7.4债券的马考勒久期可以表示为nm j a D m=&&马, 其中()/m j im =. 变形可得：()()()11(1)1(1)(1)n n m m m nm jni v D j a j a m i d--+-=+=+==&&马. 7.5 对年金的现值关于利率i 求导, 应用修正久期的定义公式可得111n nnv D i v +=--.7.6对于期末付永续年金, 现值为()1/P i i =, 2()1/P i i '=-, 所以修正久期为1/D i =, 马考勒久期为=(1)(1)/D D i i i +=+马.7.7对于期初付永续年金, 现值为()(1)/P i i i =+, 2()1/P i i '=-, 所以修正久期为1/[(1]D i i =+）, 马考勒久期为=(1)1/D D i i +=马.7.8 24 /2()510096.53()169.29 1.75()i P i P a v P i D P i ''=+=⇒=-⇒=-= 7.97.49D =效7.10 7.8861D D i ==+马, () 1.18%Pi D P∆=-∆⋅= ⇒ 新的债券价格近似为：75.98 1.01876.88⨯= 7.11 8.92D =效, 13.35C =效.2()0.5()8.85%Pi D i C P∆=-∆⋅+⋅∆⋅=-, 债券的新价格近似为95.59元. 7.12 修正久期为8.12, 凸度为101.24. 7.13 马考勒凸度为105.15.7.14 22231d 1d 216.67d d P P P i i i i i==⇒=- = ()116.67()P i D P i i'⇒=-==2()2555.55()P i C P i i''⇒=== 7.152()0.5() 4.28%Pi D i C P∆=-∆⋅+⋅∆⋅=- 7.16 负债的现值为12418.43L P =, 负债的马考勒久期为5LD =马, 负债的马考勒凸度为25L C =马. 不妨假设两种零息债券的面值均为1000元, 则4年期零息债券的价格为441000/(1)683.01P i =+=元, 10年期零息债券的价格为10101000/(1)385.54P i =+=元. 假设有%x 的债券投资4年期的零息债券, (1%)x -的债券投资10年期的零息债券, 由ALD D =马马, 有：(%)(4)(1%)(10)5%83.33%x x x +-=⇒=投资4年期零息债券的金额为10348.28元, 投资10年期零息债券的金额2070.15元. 7.17 债券A 的价格为982.17元, 马考勒久期为1.934, 马考勒凸度为3.8. 债券B 的价格为1039.93元, 马考勒久期为4.256, 马考勒凸度为19.85. 在债券A 上投资11.02%, 在债券B 上投资88.98%, 则债券组合的马考勒久期等于负债的马考勒久期, 均为4年, 债券组合的马考勒凸度为18.08, 大于负债的马考勒凸度16, 满足免疫的条件. 7.18 各种债券的购买数量分别如下：购买5年期债券的数量 80000 购买4年期债券的数量 300000 购买2年期债券的数量 600000 购买1年期零息债券100000购买各种债券以后净负债的现金流如下（单位：万元）：年度 1 2 3 4 5 负债的现金流1794 6744 144 3144 824 5年期债券的现金流 24 24 24 24 824 净负债的现金流 1770 6720 120 3120 0 4年期债券的现金流 120 120 120 3120 0 净负债的现金流 1650 6600 0 0 0 2年期债券的现金流 600 6600 0 0 0 净负债的现金流 1050 0 0 0 0 1年期债券的现金流 1050 0 0 0 0 净负债的现金流第8章利率的期限结构8.1一年期债券的价格为102.78P =；两年期债券的价格为92.96P =；三年期债券的价格为112.43P =.11111102.788%1s s =⇒=+ 2212323123510592.969.03%1(1)1515115112.4310.20%1(1)(1)s s s s s s s =+⇒=++=++⇒=+++8.2现金流分别按对应的即期利率折现得债券的价格为：231010110105.751.05 1.06 1.08P =++= 8.3 各年远期利率分别为8%、10.1%和12.6%. 8.4假设债券的面值为100元, 计算5年期债券的价格：2345234512345234123410101010110101010101101.07 1.07 1.07 1.07 1.071(1)(1)(1)(1)1111 3.741(1)(1)(1)s s s s s s s s s ++++=+++++++++⇒+++=++++每年支付40元的5年期期初付年金按对应的即期利率折现即得其现值为：23412341111401189.751(1)(1)(1)s s s s ⎡⎤++++=⎢⎥++++⎣⎦8.5由远期利率计算的债券价格为：1010110107.251.07(1.07)(1.05)(1.07)(1.05)(1.1)++=（元）8.6假设债券的面值为100元, 则有：001041004%(1)f f =⇒=+1001200101261061008.16%(1)(1)(1)8810810012.69%(1)(1)(1)(1)(1)(1)f f f f f f f f f f f ⇒=+⇒=+++⇒=++⇒=++++++8.7 应用即期利率和远期利率的关系, 有101022012330123116%(1)(1)(1) 5.50%(1)(1)(1)(1) 6.98%s f s f s f f s s f f f s +=+⇒==+=++⇒=+=+++⇒=8.8用t C 表示债券在t 年末的现金流入, 则有：111120%1.21C Cs s =⇒=+ 1212222220%1.2 1.2 1.2(1)C C C C s s +=+⇒=+ 33121232323320%1.2 1.2 1.2 1.2 1.2(1)C C C C C Cs s ++=++⇒=+ 8.91001120%s f f +=+⇒=3211221.21.2(1.2)(1)20%,120%1.2f f f =+⇒==-=8.10 00110106 3.77%1f f =⇒=+ 1001200101251059512.20%1(1)(1)991091029.37%1(1)(1)(1)(1)(1)f f f f f f f f f f f =+⇒=+++=++⇒=++++++用远期利率计算年息票率为15%, 面值为100元的3年期债券的价格：0010121515115117.651(1)(1)(1)(1)(1)P f f f f f f =++=++++++ 8.11 用远期利率分别计算3年期和4年期零息债券的价格可得：01210082(1)(1)(1)f f f =+++，30123100759.33%(1)(1)(1)(1)f f f f f =⇒=++++8.12 21012012115%,(1)(1)(1)6%s f s s f f s +=+⇒=+=++⇒=假设债券的面值为100元, 则有：3233881081008.2%1.05 1.06(1)s s =++⇒=+8.13 通过收益率计算的债券价格为 2610693.061.1(1.1)P =+= 通过即期利率计算的债券价格为2610694.831.07(1.09)P =+= 债券价格被低估了1.77元, 故可以按94.83元的价格购买一个2年期债券, 同时按即期利率出售一个1年期的面值为6元的零息票债券和一个2年期的面值为106元的零息票债券.8.14 与远期利率一致的债券价格为5510597.421.05(1.05)(1.06)(1.05)(1.06)(1.07)P =++=（元）债券的市场价格为100元, 说明债券被高估了, 因而存在套利机会.套利者可以按100元的价格卖出一个三年期债券, 同时将97.42元按4%的利率投资一年. 在第一年末, 支付已出售债券的5元利息后, 把剩余的资金在第二年按6%的远期利率再投资一年. 在第二年末, 支付已出售债券的5元利息后, 把剩余的资金在第三年按8%的远期利率进行投资. 在第三年末的累积值正好用于支付套利者所售债券在第三年末的偿还值. 完成上述步骤后, 套利者即可在当前时刻获得100 - 97.42 = 2.58元的无风险收益.第9章远期、期货和互换9.1股票多头的回收和盈亏如下表所示： 1年后的股票价格多头的回收多头的盈亏50 50 −16 60 60 −6 70704如果1年后的股票价格为66元时, 则股票多头的回收为66元. 购买股票的初始费用在1年后的累积值为66元, 所以盈亏为0元. 9.2股票空头的回收和盈亏如下表所示, 与多头的回收和盈亏正好相反. 1年后的股票价格空头的回收空头的盈亏50 −50 16 60 −60 6 70−70−4如果1年后股票的价格是66元时, 则空头的回收为−66元. 初始所得在1年后的累积值为66元, 所以盈亏为 0元. 9.3 40.06/40.061(105 1.7e )e 104.54t t F -==-⨯=∑（元）9.4日股利为0.02/3651050.00575⨯=元. 若在年初持有一单位股票, 年末将持有0.02e 1.0202=单位. 若要在年末持有一单位股股票, 年初应持有0.02e 0.9802-=单位,故投资额为0.02105e 102.92-=元. 9.5（1）0.060.570e 72.13F ⨯=⨯=元. （2）0.0670e 720.032δδ-⨯=⇒=.9.6无套利的远期价格为 0.060.5105108.20F e ⨯==（元）（1）远期价格115 > 108.20, 所以投资者可以先签出一份远期合约, 约定在6个月末以115元的价格卖出股票. 同时借入105元购买股票, 承诺在6个月末还款. 到6个月末, 以115元卖出手中的股票, 同时偿还借款108.20元, 最终无风险获利6.80元. （2）远期价格107 < 108.20, 所以投资者可以先签订一份远期合约, 约定在6个月末以107元购买股票. 同时将手中持有的股票卖出, 获得105元, 将这105元投资于5%的零息债券, 6个月末可以获得108.20元. 6个月末利用远期合约买入股票, 最终获得无风险利润1.20元.9.7 22838483.491.05 1.055 1.05 1.055x xx +=+⇒= 9.8（1）232382838482.981.05 1.055 1.06 1.05 1.055 1.06x x xx ++=++⇒= （2）2323838483.501.055 1.06 1.055 1.06x xx +=+⇒= 9.9四个时期的浮动利率分别为0.06、 0.07、 0.08和 0.09. 互换利率为0.0745.9.10 应用债券组合的定价方法：0.13/120.1059/120.1115/120.13/124e 4e 104e 98.24(5.1100)e 102.5198.24102.51 4.27B B f B B -⨯-⨯-⨯-⨯=++==+==-=-=-固浮浮固第10章期权10.1 远期多头的回收分别为−10元、−5元、0元、5元和10元, 空头的回收是其相反数. 看涨期权多头的回收分别为0元、0元、0元、5元和10元. 看跌期权的回收分别为10元、5元、0元、0元和0元.10.2 回收分别为0元、0元和5元. 盈亏分别为−6.01元、−6.01元和−1.01元.10.3 看跌期权的回收分别为5元、0元和0元. 盈亏分别为3.96元、−1.04元和−1.04元. 10.4 组合的回收分别为105元、105元、110元和115元. 组合的盈亏分别为−7.56元、−7.56元、−2.56元和2.44元.10.5 组合的回收分别为−105元、−105元、−110元和−115元. 组合的盈亏分别为12.81元、12.81元、7.81元和2.81元.10.6 多头的盈亏为0.95元, 盈亏平衡点为42.05元. 10.7 多头的盈亏为3.47元, 盈亏平衡点为28.53元. 10.8 看跌期权的期权费是3.13元. 10.9 10.2417d =, 20.09167d =.根据Black−Scholes 公式, 欧式看涨期权价格为：12()e () 3.61rTC S d K d -=Φ-Φ=根据平价公式, 欧式看跌期权价格为e 2.38rT P C K S -=+-=10.10 1.0905u =, 1/0.9170d u ==, 0.5266r t e dp u d∆-==- 欧式看跌期权的价值为2.62, 相应的二叉树如下：美式看跌期权的价值为2.71, 相应的二叉树如下：10.11 1.0524u =, 1/0.9502d u ==, ()0.5118r tedp u dτ-∆-==-欧式看涨期权的价值为19.63, 相应的二叉树如下：10.12 回收和盈亏如下表：股票价格看跌期权回收总回收成本及其利息盈亏 90 5 95 −105.98 −10.98 100100−105.98−5.9810.13回收和盈亏如下表：股票价格看涨期权回收股票空头回收总回收净收入及其利息盈亏90 0 −90 −90 94.03 4.03100 5 −100 −95 94.03 −0.97 10.14回收和盈亏如下表：股票价格看涨期权回收空头回收总回收净收入及其利息盈亏100 0 −100 −100 97.44 −2.56 110 5 −110 −105 97.44 −7.5610.15回收和盈亏如下表：股票价格看涨期权回收看跌期权回收贷出资金回收总回收净成本及其利息盈亏90 0 −5 95 90 −105 −15100 5 0 95 100 −105 −5 10.16回收和盈亏如下表：股票价格看涨期权回收看跌期权回收借入资金的回收总回收净收入及其利息盈亏100 0 5 −105 −100 105 5 110 −5 0 −105 −110 105 −510.17105(9.31 1.69) 1.0597--⨯=10.18通过下表可以看到两种交易的盈亏相同：股票价格买进看涨期权的回收卖出看涨期权的回收总回收净成本及其利息盈亏90 0 0 0 −2.46 −2.5100 5 0 5 −2.46 2.54 10.19通过下表可以看到两种交易的盈亏相同：股票价格买进看涨期权的回收卖出看涨期权的回收总回收净成本及其利息盈亏90 0 0 0 3.41 3.41 100 0 −5 −5 3.41 −1.59第11章随机利率11.1 A 10的完整分布如下：概率 A 10 (A 10)2 0.20 1.63 2.65 0.40 2.10 4.41 0.402.918.48(1) 十年末累积值的期望为2330.05元.(2) 十年末累积值的方差为255027.66, 标准差为505.11.2 期望累积值为2593.74元. 累积值的方差为83865.54, 标准差为289.60. 11.3 期望累积值为1560.9元. 11.4 公式（3）和（4）是正确的.11.5 三个投资额的期望累积值分别为6350.4元, 3528元和2240元. 第3年末该账户的期望累积值为12118.4元.11.6 期望累积值为1.1449, 累积值的方差为0.000916.11.7 (1) ln(1)t i +的期望为0.073189, ln(1)t i +的方差为0.000122.(2) ()()25050ln 50, var ln 50E A A μσ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()[][]5050Pr 100040000Pr ln ln 40Pr 0.3761Pr 0.376A A Z Z >=> ≈> =-<⎡⎤⎣⎦ []Pr 0.3760.65Z <=, ()50Pr 1000AV 400000.35>= 11.8 累积价值的95%置信区间为（0.81, 1.34）. 11.9 (1)t i +的期望和方差分别为222/22E(1)e , var(1)e (e 1)t t i i μσμσσ+++=+=-, 故有E()0.0844, var()0.00235t t i i ==假设年收益率的中位数为k , 则有()ln(1)Pr()0.5Pr ln(1)ln(1)0.5Pr 0.5t t k i k i k Z μσ+-⎛⎫<=⇒+<+=⇒<= ⎪⎝⎭ln(1)08.33%k k μσ+-=⇒=.11.10 利率树：现金流和各节点的价值：可赎回债券的价格为99.19元.11.11 第1年末的即期利率由当前的即期利率发展而来, 在当前利率水平的基础上上调30%的概率为0.75, 下降30%的概率为0.25. 第2年末的即期利率由第1年末的即期利率发展而来, 在第1年末利率水平的基础上上调30%的概率为0.75, 下降30%的概率为0.25. 利率树如下：[]()()()()()()()()()()()()2E 0.750.750.08450.750.250.050.250.750.050.250.250.029596.813%i =+++=。

《金融数学》实验教学大纲

《金融数学》实验教学大纲一、课程基本情况1、课程总学时： 54 ，学分：32、实验学时：9，实验个数： 3 ，实验学分：3、课程类别专业课程实验4、先修课程：利息理论5、适用专业与培养层次：保险专业，本科层次6、教材及参考教材使用教材：，《金融数学》（中国精算师资格考试用书），中国财经出版社，2010.参考教材：张连增，《利息理论》，南开大学出版社，2005.二、课程性质、目的与培养要求（200～500字左右）开设实验课的目的在于将理论与实际相结合，即将保险理论与保险实务紧密地结合在一起，使学生学以致用。

由于许多课程只有通过实验、或通过上机操作才能真正弄清楚，所以说，实验课的开设对培养学生的动手操作能力是必不可少的内容，是保险理论与实务教学的重要组成部分。

本实验课程通过计算机中的Excel或专门的精算软件，解决有关利息的度量、单一支付现值与终值、年金现值与终值的计算、投资决策（NPV、IIR的计算）、摊还表及偿债基金的设计与计算、债券价格的确定及风险的度量等内容，具有综合性的特点。

这些实验课的开设是为了使同学在理论学习的基础上通过计算机实际操作，加深对所学内容的理解，培养学生的分析能力和动手能力，为以后工作和科研提供可以借鉴的实际经验。

三、实验内容安排与学时分配实验一、利息与确定年金部分（综合性实验）1、实验目的：解决有关利息的度量、单一支付现值与终值、年金现值与终值的相关计算。

2、实验要求及学时：实验形式：个人时间分配：3学时3、实验环境及材料：计算机中的Excel软件或专门的精算软件。

4、实验内容：1）几种累积函数的比较计算及其图表制作；2）单利与复利比较计算及其图表制作；3）累积函数与贴现函数比较计算及其图表制作；4）单贴现与单利的贴现比较计算及其图表制作；5）名义利率、名义贴现利率与等价的年实际利率及贴现率相互转换计算及其图表制作；6）未知利率的求解计算（迭代方法、线性规划的方法）；7) 设计及运用基本年金计算器求解不同的年金变量；8）使用EXCEL求解利率（现值）；9）使用EXCEL求解利率（终值）。

保险精算原理与实务

连续变化场合：函数利息力
a(t ) exp{ (s)ds}
0 t
(t )

离散变化场合：
t k 1
i1 ,, it (d1 ,, dt )
t
a(t ) (1 ik ) (1 d k )1
k 1
例1.5
1、如果 1 t ，试确定1在n年末的积累值。 2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。 3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若 5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？
m m
等价公式

一般公式
a(t ) e

0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a1 (n) exp{n }
例1.4

确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值
1、
5%
于是，f i t t (1 i )t 1 t 1 (1 i )t 1 0,

例1.2

某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？
例1.2答案
(1) 2%单利计息 A(5) 5 0 0 0 (1 5 2%) 5 5 0 0 ( 2) 2%复利计息 A(5) 5 0 0 0 (1 2%)5 5 5 2 0 (3) 2%单贴现计息 5000 A(5) 5556 1 5 2% ( 4) 2%复贴现计息 5000 A(5) 5531 5 （ 1 2% ）

保险精算考试复习---利息理论

某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求i1,i2,d1,d2分别等于多少？某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？例1.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。

2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。

3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。

例1.3答案 1 2 1211112222(0)1000,(1)1020,(3)1050(1)(0)20 (3)(2)30202%(0)100020 1.96%(1)102030 2.94%(1)1020302.86%(2)1050A A A I A A I A A I i A I d A I i A I d A ===∴=-==-=⇒============Q 5531%215000)5(%2)4(5556%2515000)5(%2)3(5520%)21(5000)5(%2)2(5500%)251(5000)5(%2)1(55=-==⨯-==+==⨯+=）（复贴现计息单贴现计息复利计息单利计息A A A A3、例1.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值 1、 2、例1.4答案例1.51、如果，试确定1在n 年末的积累值。

2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。

3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？例1.5答案%5=δ2)1(05.0-+=t t δ50.104610001000272.1648100010001100105.0)1(05.005.01010102==⎰==++⨯-t dtt e ee e 、、δtt+=11δ第二节利息问题求解原则例1.6：求本金⏹ 某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第6年末付出X 元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？例1.6答案⏹ 以第8年末为时间参照点，有⏹ 以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）例1.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？（1）（2）例1.8：求时间⏹ 假定分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？千元7435.306.11006.1406.157=⇒⨯=+⨯+x x %124%35700)14000)4(43===⇒=+⨯j i j j （)204.2 %4.2061)1()(61)1(15000)1(6000)1(30002224舍去（由舍去负根-==⇒+-=+±-=+⇒=+++i i i i i i )12(i 7.340017.1ln 122ln 2%)17.01(%26.11005.1ln 122ln 2%)5.01(%68.501.1ln 122ln 2%)11(%1212)12(12)12(12)12(==⇒=+===⇒=+===⇒=+=n i n i n i n n n 时，时，时，例1.10：求积累值⏹ 某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。

cfa几何平均收益率和时间加权收益率

cfa几何平均收益率和时间加权收益率如何计算CFA几何平均收益率和时间加权收益率在金融投资领域，CFA（Chartered Financial Analyst）几何平均收益率和时间加权收益率是两个重要的概念。

它们在评估投资组合的表现和风险时起着至关重要的作用。

本文将深入探讨CFA几何平均收益率和时间加权收益率的计算方法及其在投资决策中的应用。

一、CFA几何平均收益率1. 什么是CFA几何平均收益率？CFA几何平均收益率是一种用于衡量资产或投资组合长期表现的指标。

它考虑了资产或投资组合在一定时期内的复利增长率，是一种对于复利增长的平均值。

在投资分析中，CFA几何平均收益率通常被用来计算长期的投资回报。

2. 如何计算CFA几何平均收益率？CFA几何平均收益率的计算公式为：\[((1+r_1)*(1+r_2)*...*(1+r_n))^{1/n} - 1\]其中，\(r_i\) 代表每个投资期间的收益率，n 代表投资期数。

这个公式的核心是将每期的收益率相乘，然后算术平均，并利用连乘的方式将不同期间的收益率联系起来，从而计算得到长期的平均收益率。

3. CFA几何平均收益率的优势和应用CFA几何平均收益率在衡量长期投资回报时具有独特的优势。

它能更好地体现出投资组合的真实表现，而不会受到投入资金金额的影响。

投资者可以通过CFA几何平均收益率更准确地评估不同资产或投资组合的长期表现，从而更明智地进行投资决策。

二、时间加权收益率1. 什么是时间加权收益率？时间加权收益率是一种用于衡量投资组合表现的指标，它通过加权不同时间点的收益率来计算投资组合的平均收益率。

时间加权收益率的计算方法更加注重投资组合管理过程中时间点的重要性，能更好地反映投资组合管理者的业绩。

2. 如何计算时间加权收益率？时间加权收益率的计算涉及两个主要步骤：将投资组合的每个时间段的市值求加权平均；通过计算每一段时间的收益率再求加权平均。

时间加权收益率的计算方法充分考虑了不同时期的投资金额和收益率，因此能更准确地评估投资组合的表现。

第2单元时间加权收益率与资金加权收益率-课件

投资学第二十章资产组合绩效评价第一节资产组合收益的衡量第二节资产组合风险的衡量第三节资产组合绩效评估方法第四节市场择时第五节资产组合业绩贡献分析•股票红利发放是在持有区间末，计算方法较为简单。

现实中，计算基金的持有区间收益率需要考虑更为复杂的情况：•（1）基金可能包含多个不同的证券，每个证券发放红利或利息的时间都不一样；•（2）基金的投资者在区间内会有申购和赎回，带来更多的资金进出。

•时间加权收益率法（Time-weighed Rate of Return）•以某股票基金为例，在2013年12月31日，其净值为1亿元，到2014年12月31日，净值变为1.2亿元。

如果净值变化来源仅为资产增值和分红收入的再投资，其收益率为：（1.2 -1）/1 = 20%•设想在4月15日，有客户进行申购了2000万元。

那么该基金在年末的1.2亿元净值中，有一部分是这笔申购及其投资回报带来的。

实际投资回报率应低于20%。

进一步假设，在9月1日，基金进行了1000万元的分红，该分红对基金资产有显著的影响。

•要计算该基金在该年度的收益率，可以把资金进出的时间节点分为3个区间，分别计算持有期收益率。

每个区间的期末资产净值为对应时间节点现金流发生前的资产净值，期初资产净值则是对应时间节点现金流发生后的资产净值，具体见下表。

时间区间期初资产净值（百万元）期末资产净值（百万元）区间收益率（%）2013.12.31 ~2014.4.1510095-5 2014.4.15 ~ 2014.9.195 + 20 = 11514021.7 2014.9.1 ~ 2014.12.31140 - 10 = 130120-7.7某基金2014 年度收益率计算表第一节资产组合收益的衡量•时间加权收益率法（Time-weighed Rate of Return）•假设某投资者在2013年12月31日投资1元到此基金，那么在2014年4月15日，这1元受到5%的损失，变为1×（1-5%）=0.95（元）。

金融数学_中国人民大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

金融数学_中国人民大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.一个合约的回收是指合约到期时可以实现的现金价值，不考虑合约签订时发生的初始费用。

答案:正确2.在利率互换合约中，互换利率等于浮动利率的加权平均数。

答案:正确3.假设当前的期货价格为30，年波动率为30%，无风险连续复利为5%。

用两步二叉树计算6个月期的执行价格为31的欧式看涨期权的价格答案:大于24.股票当前的价格为50元，波动率为每年10%。

一个基于该股票的欧式看跌期权，有效期为2个月，执行价格为50元。

连续复利的无风险年利率为5%。

构造一个二步（每步为一个月）的二叉树为该期权定价。

答案:小于0.65.期权价格也称作执行价格答案:错误6.美式看涨期权多头的盈利可以无限大答案:正确7.假设股票的现价为100元，一年期看涨期权的执行价格为105元，期权费为9.4元，年有效利率为5%。

如果一年后的股票价格为115元，则该看涨期权的盈亏为0.13元。

答案:正确8.假设股票的现价为100元，一年期看跌期权的执行价格为105元，期权费为8元，年有效利率为5%。

如果一年后的股票价格为105元，则该看跌期权的盈亏为3元。

答案:错误9.债券的面值为1000元，息票率为6%，期限为5年，到期按面值偿还，到期收益率为8%。

应用理论方法计算该债券在购买9个月后的账面值。

答案:大于93010.一份股票看涨期权的执行价格为40元，期权费为2元，期权的有效期是半年，无风险的连续复利为5%。

假设期权到期时的股票价格为43元，在期权到期时，多头可以达到盈亏平衡点的股票价格为多少？答案:大于40，小于5011.股票现价为60，一份2个月到期的该股票美式看涨期权的交割价格为60，连续复利为5%，股票无红利支付，波动率为30%，应用两阶段二叉树模型计算该期权的价值。

答案:2.8412.期权的回收小于期权的盈亏答案:错误13.美式看涨期权和看跌期权的价格之间存在一种平价关系答案:错误14.标的资产的现价越高，欧式看涨期权与看跌期权的价格之差越大答案:正确15.债券的面值,为1000，期限为20年，到期偿还值为1050元，每年末支付一次利息。

孟生旺《金融数学基础》参考答案.doc

1.13 1.141.15a(t) = 0.04r + 0.03, +1, % % = "(0.5) /。

(0.5) = 0.068 *(3) = 100 • exp (J" /1 OOdr) + X = 109.42 + X 4(6) = (109.42 + X) • exp([7 / ] oo力卜i .8776(109.42 + X) A(6)一A0) = (109.42 + X)(0.87761) = X nX= 784.61 t = 4时的累积位为:1OOOexp ({ 0.02/d/) • e0045 = 1 144.54参考签案（中国人民大学出版社，2015年2月第一版）第1章利息度量1.1600 x 2i = 150 n，= 0.125, 2000(1 + z)3 = 28481.21004/m = 314"" + 271V,8Z,2 n T = 141.61.3A: -(2X) = i-X , B: X(1+ Z72)，6~X(1+ Z/2)15X[(1 + i/2)16-(14-//2)15] = i・X ni = 0.094581.4e27'725 = 2 n 5 = 0.025,当严=S时，(i + 2S)n,1 = 7.04 n 〃 = 801.5100 x (1 - 4 x 6%)-1/4X2 =114.711 6 l + i = [l +广""丁 = [1 - d(m) / m] ' = 1 - J zn = 81.7A:g) = (l.01)”'，8：〃(f) = /"2,(i.oi),2x =e z： 12 =>r = 1.431.8 A : a(t) = exp(凯 + 如广 / 2), B: a(t) = exp(gn + hn2 /2), n = 2(a 一 g) / (h -b) 1.9。

《利息理论》期末复习

基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1 ----期末付永续年金
1 11
----
1 1 1 ----期初付永续年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0 --- 期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0 --- 期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
基本年金公式总结
– 单贴现
a1(t) 1 dt
dn
d 1 (n 1)d
• 指数积累
– 复利 a(t) (1 i)t in i
– 复贴现 a1(t) (1 d )t dn d
利息度量三：利息转换频率不同
• 名义利率 i(m)
1
i(m) m
m
1 i
• 名义贴现率 d (m)
1
d (m) m
• 在其他条件相同的情况下，应优先选择净现值较大的项目进行投资。
收益率的存在性与唯一性
• 收益率唯一性判定定理一 (Descartes符号定理)
– 若整个投资期间，净现金流入只改变过一次符号，那么该项目的收益率唯一存在。
• 收益率唯一性判定定理二
– 整个投资期间未动用投资余额始终为正。
币值加权收益率
收益率法
• 收益率：使得净现金流入的现时值为零时的利
率。
n
V (0) vt Rt 0 t 0
• 用收益率进行投资决策时，当投资项目的收益
率大于或等于投资者要求的收益率时，该项目
是可行的，否则便不可行。
净现值法
• 净现值(net present value)：净现金流入的现值。
n
NPV (i) vt Rt t 0
未知时间问题

孟生旺《金融数学基础》复习大纲

孟生旺《金融数学基础》复习提纲（中国人民大学出版社2015.2版）利息度量本章介绍了利息的各种度量工具，包括单利、复利、实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率、利息力和贴现力等，以及累积函数和贴现函数。

它们之间的关系可以总结如下：1．累积函数是期初的1元本金在时刻t 的累积值。

复利的累积函数为：()()0()(1)1(1)1e //exp(d )mtmtt t t tm m s a t i d i m d m s δδ--=+=+=-=-=⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎰单利的累积函数为：()1a t it =+ 贴现函数是累积函数的倒数。

2．常用的各种利息度量工具之间有如下关系：（1）)1(i i d += （2）)1d d i -= （3）d v -=1 （4）i d id -=（5）()1(1)1m mi m i ⎡⎤=+-⎣⎦ （6）()11(1)m d m d ⎡⎤=--⎣⎦（7）)1ln(i +=δ等额年金本章介绍了等额年金的计算问题，包括年金的现值和终值，期初付年金与期末付年金的关系，现值与终值的关系等，涉及较多公式，现将它们归纳如下。

下表仅给出了期末付年金的公式，对于期初付年金，只需把分母上的利率符号改变为贴现率符号即可。

等额年金计算公式之间的关系式可以概括如下：变额年金下表总结了期末付年金的现值和累积值（终值）公式。

对于期初付年金，只需把分母上的利率符号改变为相应的贴现率符号即可。

s nna s 乘以(1+i )乘以()m i i乘以i()()m nm na s 乘以()m d d 乘以1/(1+)mi变额年金之间的关系可以概括如下：对于增长率为r 的复递增年金，期末付年金和期初付年金的现值为：, 1, 1n ja r i rP n r i r⎧≠⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩+末 , 1, n j a r i P r n r i⎧⎪≠=⎨+⎪=⎩初其中，1i rj r-=+Da n nIa Da 乘以(1+ i )乘以()m i i乘以i()()m nm nIa Da 乘以()m d d 乘以1/(1+)mi收益率1．收益率是使得未来资金流入的现值与资金流出的现值相等时的利率，也是使得净现值等于零时的利率。

金融数学课程大纲

《金融数学》课程大纲教学目的：通过本课程的学习，让学生掌握利率度量的基本工具，可以计算年金的现值和累积值，熟悉收益率的计算和应用，掌握债务偿还的两种主要方法，可以计算债券的价格和账面值，理解远期、期货、互换和期权的基本概念及其基本定价方法，熟悉久期和凸度的概念及其应用。

课程简介：本课程的主要教学内容包括：利率、贴现率、利息力和累积函数等利率度量的基本工具，等额年金和变额年金的现值和累积值的计算，币值加权收益率和时间加权收益率的概念、计算及其应用，债务偿还的两种主要方法（分期偿还法和偿债基金法），债券价格和账面值的计算，远期、期货、互换和期权的基本概念及其基本的定价方法，久期和凸度的概念及其在利率风险管理中的应用。

教学进度和教学内容：第一讲利息度量累积函数和实际利率的概念，单利和复利的累积函数，实际贴现率及其与实际利率的关系。

必读文献：（1）Chris Ruckman,Joe Francis, Financial Mathematics, BPP Professional Education. 2005.Chapter 1. （2）孟生旺，《金融数学》，中国人民大学出版社，2009年版，1-17页。

第二讲利息度量和等额年金名义利率的概念及其与实际利率的关系，利息力的概念及其与实际利率和名义利率的关系，等额年金的含义及其现值的计算。

必读文献：（1）Chris Ruckman,Joe Francis, Financial Mathematics, BPP Professional Education. 2005.Chapter 1. （2）孟生旺，《金融数学》，中国人民大学出版社，2009年版，18-44页。

第三讲等额年金年金终值的计算，年金现值与终值的关系，可变利率年金的现值和终值，每年支付m次的年金的现值和终值的计算，连续年金和均值方程。

必读文献：（1）Chris Ruckman,Joe Francis, Financial Mathematics, BPP Professional Education. 2005.Chapter 1. （2）孟生旺，《金融数学》，中国人民大学出版社，2009年版，45-65页。

第4章货币的时间价值与利率指标

第4章——货币的时间价值与利率指标例1：已探明一个有工业价值的油田，目前立即开发可获利100亿元，若5年后开发，由于价格上涨等因素可获利160亿元，如果不考虑资金的时间价值，可以认为5年后开发更有利。

如果考虑资金的时间价值，现在获得100亿元，可以投资其他机会，平均每年获利15%，则5年后将有资金100×1.155≈200亿元。

因此可以认为目前开发更有利。

后一种思考问题的方法更符合现实的经济生活。

货币的时间价值就是利息，也可以理解为对货币使用的机会成本的一种补偿。

对于经济学家来说，利率就是到期收益率,即使债券工具带来的回报的现值与其现在的价值相等的利率.一、货币时间价值的计算(一) 单利（重点讲）1、单利利息只根据本金计算利息，本金所生的利息不重复计息。

公式：I=PV×i×n(4.1)PV ：本金或现值i ：利率，每年利息与本金之比I ：利息n ：计息期数2、单利终值3= 一般表达式：S=PV （1+i/m ）m*n (4.4)m 表示一年内的计息次数。

将S=PV （1+i ）n 变形得：n i SPV )1(+=(4.5)为了简化计算手续，其中的（1+i ）n 被称为复利终值系数或1元的复利终值，用符号（S/P ，1，i ）表示，例如（S/P,6%,3）表示利率为6%，3年期复利终值的系数；n i )1(1+为，有货币增加1倍？分析：已知PV=1200，i=8%，求n根据S=PV （1+i ）nS=1200×2=2400（增加一倍后）所以，2400=1200（1+8%）n即：2=（1+8%）n所以问题实质是已知复利终值系数的值，求期数。

查“复利终值系数表”，当i=8%时，找到系数最接近2时，n=9例3：某人有1200元，想在19年后使其达到原来的3倍，选择投资机会时最低可以接受的报酬率（利息率）为多少？分析：已知PV=1200，n=19,求i.根据S=PV （1+i ）nS=1200×3=3600（达到原来的3倍）所以，3600=1200（1+i ）19即：3=（1+i ）19查“复利终值系数表”，当n=19,找到与3最接近的数，这时i=6%.例4：某人希望8年后有100万元购买一套新房子，若银行的复利率为10%，问现在需一次存入银行多少现金？分析：已知S=100万，n=8年，i=10%,求PV根据S=PV （1+i ）n100=PV （1+10%）8 PV=8%)101(100查“复利现值系数表”，（P/S,10%,8）=0.467, PV=100×0.467=46.7万元。

币值加权收益率和时间加权收益率

币值加权收益率考虑了不同资产规模对整体收益率的影响，因此能够更准确地衡量投资组合的整体表现。
计算方法
币值加权收益率可以通过以下公式计算：(R_{币值加权} = frac{sum_{i=1}^{n} (P_{i,t1} P_{i,t0})}{sum_{i=1}^{n} P_{i,t0}})
其中 (R_{币值加权}) 表示币值加权收益率，(P_{i,t1}) 和 (P_{i,t0}) 分别表示第 (i) 种资产在时间 (t1) 和 (t0) 的价格，(n) 表示投资组合中资产的数量。
案例
假设一个投资组合中有两种货币资产，其中资产A的价值为100元，年化收益率为5%；资产B的价值为200元，年化收益率为3%。如果投资组合的总价值为300元，则币值加权收益率为（100*5%+200*3%）/300=3.7%。
时间加权收益率的案例分析
时间加权收益率计算
时间加权收益率是指以时间作为权重计算的收益率，通常用于衡量投资组合在不同时间点上的回报率。在计算时，将投资组合中不同时间点的资产价值进行加权，然后计算加
感谢您的观看
币值加权收益率的优缺点
币值加权收益率能够更好地反映投资组合的实际收益情况，因为它考虑了不同币种的价值变
化对投资组合的影响。
币值加权收益率的缺点是，它忽略了不同币种的时间价值差异，可能导致对投资组合整体收益的误判。
币值加权收益率是以投资组合的币种价值为权重计算的收益率，考虑了不同币种的价值对投资组合整体收益率的贡献程度。
币值加权收益率和时间加权收益率
目录
• 币值加权收益率 • 时间加权收益率 • 币值加权收益率和时间加权收益率的
应用场景 • 币值加权收益率和时间加权收益率的

《利息理论》复习提纲

?利息理论?复习提纲第一章利息的根本概念第一节利息度量一.实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开场时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。

利息金额I n=A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，那么i n=I n/A(n-1；)例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，〔1〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=1+i*，t那么称这样产生的利息为单利；实际利率i n a(n)a(na(n1)1)1ii(n1)〔2〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t，那么称这样产生的利息为复利。

实际利率i n i例题：1.1.3三..实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。

等价的利率i、贴现率d和贴现因子〔折现因子〕v之间关系如下：dii,d(1i)i,d1d1i1v1d,div,v,idid1i例题：1.1.6四．名义利率与名义贴现率(m)用i表示每一度量期支付m次利息的名义利率，这里的m可以不是整数也可以小于1。

所谓名义利率，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际利率为im。

(m)(m)m与i等价的实际利率i之间的关系：1i(1i/m)。

(m)(m)m名义贴现率d，1d(1d/m)。

(m )(m )()m ()midid 名义利率与名义贴现率之间的关系： mmmm。

例题：1.1.9五．利息强度定义利息强度〔利息力〕为tA(t)a(t) A(t)a(t)，t s dsa(t)e 。

(m)(p)idm11p一个常用的关系式如下：[1]1iv(1d )[1]emp。

例题：1.1.12(m d(p ))要求：,,,,idi ，之间的计算。

习题：1、2、3、4、15、16、19、24。

第二节利息问题求解一.价值等式例题：1.2.1 二.投资期确实定计算利息的根本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/根底天数。

03-第三章-收益率

10000(1 i)3 12713.33 i 8.331%
例3.11答案
(3) 每年利息: 10000 9%=900 利息积累值 : 900 s 2865.24
3 6%
本利和: 10000 2865.24 12865.24 10000(1 i)3 12865.24 i 8.761%
(2) 收益率法：
令净现值为零，即：20
5a 5|
0
i
7.93%
收益率7.93%不小于投资者A要求旳收益率，不不小于投资者B 要求旳收益率，故可得相同旳结论。
收益率唯一性鉴定定理一
收益率唯一性鉴定定理一
Descartes符号定理：收益率旳最大重数不大于等于现金流旳符号变化次数。
若整个投资期间，净现金流入只变化过一次符号，那么该项目旳收益率唯一存在。
投资基金构成及新增投资情况
单位：元
期初本金
期中账户余期中新增投期末账户余
额
资
额
2023(1 00股)
2500(100股)
0(0股)
2023(1 00股)
2023(1 00股)
2500(100股)
1000(40股)
2800(140股)
2023(1 00股)
2500(100股)
-750(-30股)
我们应该选择哪项投资？
例3.6答案
(1 0.1)5 (1 j)5 (1 0.8)10 j 6.036%
假如项目A五年后旳再投资率>6.036%，选择项目A。
不然选择项目B。
利息旳再投资问题（一）
例3.7: 某人一次性投资10万元进基金A。该基金每年年末按7%旳年实际利率返还利息，假如利息可按5%实际利率再投资，问23年后这10万元旳积累金额等于多少？

《金融数学》(第二版)公式汇总

孟生旺《金融数学孟生旺《金融数学》》（第二版）公式汇总∎复利的累积函数：0()()d ()(1)1(1)1e e t s mt mt m m t t t si d a t i d m m δδ−−=+=+=−=−=∫⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∎单利的累积函数：()1a t it=+∎各种利息度量工具之间的关系：（1）)1(i i d +=v i ⋅=()11n n d n ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦（2）)1(d d i −==()11m m i m +−⎡⎤⎢⎥⎣⎦e 1δ=−（3）dv −=1（4）i d id−=（5）()1(1)1m i m i ⎡⎤=+−⎣⎦（6）()111(1)(1)n n n d n d n v ⎡⎤=−−=−⎣⎦（7）()()11m nm n i d m n −+=−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（8）)1ln(i +=δ∎期末付复递增年金的现值：11n jPV a r =+末∎期初付复递增年金的现值：n j PV a =̇̇初，其中r 表示年金增长率，1i r j r−=+。

∎若i r =，则有：1n PV r=+末，PV n =初。

∎币值加权收益率的近似公式：)1(0t C A Ii t t −+≈∑∎时间加权收益率的一般公式：1/121(1)(1)(1)1T n i j j j +éù=+++-ëû⋯；如果投资期为1年，即T ＝1，则该年的时间加权收益率可以表示为121(1)(1)(1)1n i j j j +=+++-⋯，其中k j 是第k 个时间区间的时间加权收益率。

∎在等额分期偿还方法中，借款人每次偿还的总金额为R ，其中支付的利息为I k ，偿还的本金为P k ，未偿还本金余额为L k 。