从圆锥曲线切线的几何作图看其反射性质

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圆锥曲线的切线及其作图原理

圆锥曲线的切线及其作图原理摘要：介绍了圆锥曲线作切线的简单方法、易操作，在作图中有很高的使用价值，应进行推广. 并按照这个方法完成了《圆锥曲线的切线及其作图原理》几何画板课件.笔者最近借助几何画板研究一个数学问题时,无意中发现了圆的一个优美性质,并将其推广到椭圆和双曲线,这一性质为我们提供了过椭圆(双曲线)上任意一点作椭圆(双曲线)切线的非常简便的尺规方法.定理1:已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,直线l 与x 轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与圆相切。

证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则000001222000022y y x y xk k x r x r x r y +=+==-+-- 直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+∴MN 的中点0000(,())x Q m m x y y --+,∴直线PQ 的斜率为00xk y =- ∴直线0000:()x PQ y y x x y -=--,即为200x x y y r +=,易知直线PQ 与圆相切.定理2:已知,A B 是椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点,直线l 与x 轴垂直,过椭圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与椭圆相切.证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则20000012222000022y y x y b x k k x a x a x a a y +=+==-+--直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+∴MN 的中点200020(,())b x Q m m x y a y --+,∴直线PQ 的斜率为2020b x k a y =-∴直线200020:()b x PQ y y x x a y -=--,即为00221x x y ya b +=,易知直线PQ 与椭圆相切.定理3:已知,A B 是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点,直线l 与x 轴垂直,过双曲线C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与双曲线相切。

圆锥曲线光学性质解析证明

4 b 2 a 2 m 2 4 a 4 b 2 k 2 4 a 2 b 4 0 4a2b2(a2k2b2m 2)0
a2k2b2m20
x0为方程的解 ,由韦达定理
2x0
2a2mk b2 a2k2
a2mk a2mka2k x0b2a2k2m 2 m
y0
k x0
m
k(a2k ) m
m
ห้องสมุดไป่ตู้
a2k 2 m2 b2
在给出证明之前，先说明一下物理上的反射规律
1 入射光线射到曲面上与射到曲面在此点的切线反射光线相同；
2 反射光线的反向延长线，会经过光源关于反射面的对称点；
因此，要证明圆锤曲线焦点F发出的光线，在点E(x0, y0)经过圆锤曲线处反射后的反射光线的性质，我们可以先求出点 E(x0, y0)处的切线方程，然后求出F点关于切线的对称点H,在研究HE直线的性质。
HG HE
x0 2a2bb42xx020 (ya0c4y02b2)
( B 2 A 2 ) q x ( B 2 A 2 ) p x 2 A ( A x B p y C p )
qxpxB 22 A A 2(Ax pByp C ) B②A①得 ABxqB2qy (ABxqA2qy) 2BCB2py ABxp(ABxpA2py) B 2 q y A 2 q y 2 B B C 2 p y 2 Ax B A 2 p y p ( B 2 A 2 ) q y 2 B 2 B C 2 p y 2 A x B A 2 p y B p 2 p y qypyB 22 B A 2(Ax pByp C )
b4x0 2a4y0 2
E(x0, y0) 设直 G与线 Ex轴交 H(h于 ,0)
H (G c h2 b 4x0(x0 c a 2),2 a 2 b 2y0(x0 c a 2)) b 4x0 2 a 4y0 2 b 4x0 2 a 4y0 2

探究数学中圆锥曲线的光学性质

椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点顾名思义，就是光线的聚焦点，这说明圆锥曲线具有丰富的光学性质.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用这个原理设计的.反之，也成立.太阳灶设计就是按照这个原理.如图1.虽然课本上给出了性质，但没有任何证明.讲课时可以借助GeoGebra软件的作图和轻松设置变量为滚动条功能来直观显示，并用几何方法和学生进行简单论证.如图2，对于抛物线y2=2px上任意一点A(y022p,y0)处切线称为镜面，A点不是原点（0，0）时切线镜面直线M″M′有斜率k(k≠0)，过A垂直镜面直线M″M′的直线N″N′称为法线.AF″垂直于准线x=-p2.F″(-p2，y0)，F(p2，0)，则k F″F=y0-0-p2-p2=y0-p，过A的切线方程为y-y0=k(x-y022p)，切线与抛物线联立方程ìíîïïy-y0=k(x-y022p)y2=2px,把x=y22p带入直线y-y0=k(x-y022p)，则y-y0=k(y22p-y022p)的Δ=0，得到k=py0.k M″M′∙k N″N′=-1，k∙k F″F= -1.∴F″F⊥M″M′.由抛物线定义，||AF″= ||AF.∠F″AM″=∠M″AF=∠M′AF′’，∴∠F″AM″和∠M′AF′为对顶角，F″、A、F′三点共线.AF″垂直于准线x=-p2.∴反射光线AF′平行x轴.当过A的直线无斜率时（即点A（0，0）时），结论显然成立.探究数学中圆锥曲线的光学性质河北省三河市第二中学张振富065201摘要：椭圆、双曲线、抛物线都有焦点，焦点使这些圆锥曲线有丰富的光学性质.生活中很多物品设计中利用了这些性质.数学教学中利用建模思想，从实物中抽象出数学问题，利用这些性质解决问题.关键词：光学性质；圆锥曲线；光学性质图1··30椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同.从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样.依次如图3、4.胶片电影放映机的聚光灯内安装的椭球反射镜就是应用了这个原理.如图5.例1椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点是光线的聚集点，当一束光照到镜面时，光线依入射角等于反射角的规律反射．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后通过椭圆的另一个焦点（如图6所示）．已知F 1，F 2是椭圆x 24+y 23=1的焦点，过椭圆上的点P (1,32)做椭圆的切线l ,M ,N 分别是F 1，F 2在该切线上的射影，则||F 1M ⋅||F 2N 的值为().A.2B.3C.4D .5解析：入射光线F 1P ，反射光线PF 2，过P 点椭圆x 24+y 23=1的切线方程为直线MN :1∙x 4+32∙y3=1（镜面），F 1M ⊥MN ，F 2N ⊥MN ，PE ⊥MN 交x 轴与E ，直线PE 方程y -32=2(x -1)（法线），E (14,0)，入射角∠F 1PE =反射角∠EPF 2=θ，sin∠F 1PM =||MF 1||PF 1=cos θ，sin∠F 2PN =||NF 2||PF 2=cos θ；||MF 1=||PF 1cos θ，||NF 2=||PF 2cos θ，椭圆x 24+y 23=1中c =1，点P (1,32)，∴PF 2⊥F 1F 2，||PF 2=32，||PF 1=52，cos ∠F 1PF 2=cos2θ=2(cos θ)2-1=||PF 2||PF 1=3252=35，||MF 1∙||NF 2=||PF 1⋅cos θ||PF 2∙cos θ=||PF 1||PF 2(cosθ)2=32∙52∙45=3,所以选B.引申：任意椭圆x 2a 2+y 2b2=1，一般性规律||MF 1∙||MF 2=b 2，cos∠F 1PF 2=cos2θ=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(||PF 1+||PF 2)2-2||PF 1||PF 2-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(2a )2-2||PF 1||PF 2-(2c )22||PF 1||PF 2=4b 2-2||PF 1||PF 22||PF 1||PF 2=4b 22||PF 1||PF 2-1=2(cos θ)2-1，∴(cos θ)2=b 2||PF 1||PF 2，||MF 1∙||NF 2=||PF 1cos θ⋅||PF 2·cos θ=||PF 1||PF 2(cos θ)2=||PF 1||PF 2∙b 2||PF 1||PF 2=b 2.拓展：求梯形面积S MF 1F 2N 的取值范围1510-5-10-15-510152025303540N ″M ′法线′’A28.02°64.98°28.02°M 镜面N ′’p =3.828.02°xy图2F F F F F F C A B影片门图3图4图5MN2F 1F 2E -2-101231-1-2θ=26.57图6··31.解：S MF 1F 2N =12(||MF 1+||NF 2)∙||MN =12(||PF 1∙cos θ+||PF 2cos θ)∙(||PF 1sin θ+||PF 2sin θ)=12(2a )cos θ⋅(2a )sin θ=a 2sin(2θ)，若b c ，∃P ，使∠F 1PF 2 π2，∴∠F 1PF 2=π2时，S MF 1F 2N最大值=a 2.若b ＞c ，∀P ，∠F 1PF 2<π2，当P 在椭圆短轴端点时∠F 1PF 2最大，此时sin(2θ)=2sin θcos θ=2∙c a ∙b a =2bca 2，故S MF 1F 2N 最大值=a 2∙2bc a 2=2bc .例2双曲线的光学性质为：如图7，从双曲线右焦点F 2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F 1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质，某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图8，其方程为x 2a 2-y 2b2=1，F 1、F 2为其左、右焦点，若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后，满足∠BAD =90°，tan∠ABC =-34，则该双曲线的离心率为（）.A. B.5C.D .10解析：若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射，入射光线F 2A ,反射光线AD ，反向延长AD 过F 1，入射光线F 2B ，反射光线BC ，反向延长BC 过F 1，∠BAD =90°，∠BAF 1=90°.tan∠ABC =-34,tan∠ABF 1=34，cos∠ABF 1=45.令||AF 1=3k ，则||AB =4k ，||BF 1=5k .令||AF 2=x ，||BF 2=4k -x .由双曲线定义||AF 1-||AF 2=3k -x =2a =||BF 1-||BF 2=5k -(4k -x ).∴x =k ，2a =||AF 1-||AF 2=3k -x =2k .Rt△F 2AF 1中，||F 1F 22=||AF 12+||AF 22=(3k22=10k 2，∴|F 1F 2|=10k =2c ，则e =2c 2a =所以选C.应用：抛物线具有如下光学性质，从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点（4,23)，则||FM =().A .2B .3C .4D .5解析：如图9，由抛物线光学性质，从F发出的光线经抛物线上的点M 反射后经过点P (4,23)，入射光线FM ，反射光线MP .∴MP 平行x 轴.则由M (x M ,23)在抛物线上得x M =3.由抛物线定义||FM =x M +p2=3+1=4.所以选C.高中数学教学中，应重视课本，在大量教辅资料面前回归教材.在教学中教师若能用灵活的教学方法，充分发挥课本的功能，就可以事半功倍，提高课堂教学效果.F 1F 2Oy x图742-2-4-6-4-2246FA DCBF 2图8yx4321-1-2-1123456M ″M P M ′FC ′(4,23)图9y x··32。

高中数学——圆锥曲线的光学模型

关于圆锥曲线的光学模型及应用一、圆锥曲线的光学性质1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F 1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F 2处，对F 2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．∙图1.3F 2∙∙F 1图1.2∙∙AF 1F 2D O图1.1B要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。

二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。

一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学性质及其应用

一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学
性质及其应用
圆锥曲线是一种很常见的几何形状，它以圆弧作为两个一次曲线的连接，可以将一个圆的面积划分成两个部分。

圆锥曲线的光学性质是指它的特殊的光学特性，这些特性可以用来提高光学系统的性能。

圆锥曲线的光学性质有以下几点：
一、圆锥曲线能够减少反射：圆锥曲线的特殊几何形状可以有效减少光的反射，减少光线的反射和衍射，从而提高光学系统的性能。

二、圆锥曲线能够改变光线的传播方向：圆锥曲线可以改变光线的传播方向和轴向度，使光线在一个方向上传播，从而提高光学系统的性能。

三、圆锥曲线能够提高视觉效果：圆锥曲线可以改变光线的传播方向，使光线能够有效地照射到视网膜，从而提高视觉效果。

四、圆锥曲线能够提高照明效果：圆锥曲线可以改变光线的轴向度，使光线能够有效地照射到物体，从而提高照明效果。

综上所述，圆锥曲线的光学性质可以提高光学系统的性能，改善视觉效果和照明效果，因此圆锥曲线在光学系统中有着广
泛的应用。

如手机摄像头的镜头，电视机的投射镜头等，都是利用圆锥曲线的特性来提高光学系统的性能。

圆锥曲线的光学性质及其应用是一个很有趣的探究课题，可以让学生对光学有一个更深刻的认识，更加了解其光学性质及其应用，从而提高学生对光学的理解和把握。

本课题可以采用问题导向式教学模式，让学生根据问题提出的线索，进行逻辑思维、分析思维和探究过程，从而有效地掌握和研究圆锥曲线的光学性质及其应用。

圆锥曲线光学性质几何证明法

圆锥曲线光学性质几何证明法利用反证法证明圆锥曲线的光学性质迤山中学数学组贾浩利用反证法证明圆锥曲线的光学性质反证法又称归谬法，是高中数学证明中常用的一种方法。

利用反证法证明问题的思路为：首先在原命题的条件下，假设结论的反面成立，然后推理出明显的结果，从而说明不成立，则原命题得证。

在光的折射定律中，从点P 发出的光经过直线l 折射后，反射光线的反向延长线经过点P 关于直线l 的对称点。

下面结合光的折射定律，利用反证法证明圆锥曲线的光学性质。

一、椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点上。

该命题证明如下：已知椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上的一个点，过点P 作椭圆的切线l ，2F 关于切线l 的对称点为'2F ，证明：1F 、P 、'2F 三点共线。

证明假设'2F 不在1F 、P 所在的直线上，连接1F 、'2F ，交椭圆于M 。

则''1212F F MF MF =+，''1212F F PF PF <+ 由122PF PF a +=，'22PF PF =得'122PF PF a +=，则'122F F a <又由122MF MF a +=，'22MF MF < 得 '122MF MF a +>，则'122F F a <。

这与上式矛盾。

因此，1F 、P 、'2F 三点共线。

二、双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。

该命题证明如下：已知双曲线的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线右支上的一个点，过点P 作双曲线的切线l ，2F 关于切线l 的对称点为'2F ，证明：1F 、P 、'2F 三点共线。

证明假设'2F 不在1F 、P 所在的直线上，连接1F 、'2F ，交椭圆于M 。

探究圆锥曲线的光学性质及其应用

yo7=2P * 探究圆锥曲线的光学性质及其应用学完圆锥曲线方程后，我对圆锥曲线的光学性质产生了兴趣，对其进行了证明及探究, 一下是一些成果。

一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P(x o^o)为圆锥曲线+ + m + + F = 0(A、B、C不同时为零)上一定点，则在该点处的切线方程为：血声+E•竺匹Ucy°y+D•土 + E.Z^Z + F = O2 ° 2 2 (该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程)。

该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率k = f(x°,yo),进而用点斜式写出切线方程y-yo = f(x o^oXx-x0)t则在点p处的法线方程为1y _ = _ ------------(龙-x』。

1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线X =即龙@》°)上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

如图1中5 = 2 °，y M X图I事实上，设何(矶，为)为抛物线X = 2px上一点.则切线MT的方程可由替换法则，得即y o y = p(x + x o)t斜率为％ ,于是得在点M处的法线方程为令得法线与x轴的交点N的坐标为（衍十卩①,所以|FN|=|FM|,从而得ccj = ct3 = C4?即勺二巾.当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。

所以过M的法线平分这条宜线和这一点的焦半径的夹角。

|FT|=|FM|=>Z1 = Z2 = Z3>从而得也=也・也可以利用到角公式来证明0' = %抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后, 反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。

圆锥曲线的切线与光学性质

錐線與直線之關係◎錐線與直線之關係的判別：∆。

若∆> 0 ⇔相交於二點。

若∆= 0 ⇔相切。

若∆< 0 ⇔不相交。

◎切線方程式：˙類型１利用“根的判別式”解之解法：將一次式代入二次式，得到一元二次方程式。

令判別式＝0。

˙類型２給定“斜率”的切線若已知切線的斜率m時，要求其方程式，通常有下列二法：法１：利用“根的判別式”解之：設切線為y＝mx+k，將之代入二次式，令判別式＝0⇒求出k值。

法２：公式法：˙類型３給定“點”的切線當給予點(x0 , y0)時，(x0 , y0)在曲線上：x2⇒x0x, xy⇒20yx xy+, y2⇒y0yx⇒20 xx+, y⇒20 yy+, 常數⇒常數即過ax2 +bxy +cy2 +dx +ey+f＝0上一點(x0 , y0)的切線方程式為ax0x +b⋅20yx xy++cy0y +d⋅20 xx++e⋅20 yy++ f＝0。

(x0 , y0)不在曲線上：設切線是y–y0＝m(x–x0)。

將之代入二次式得到x（或y）的一元二次方程式，令判別式＝0，求出m值。

註：通常如此之m值有二個，若只求得一個，那麼另一是鉛直切線。

◎弦長及包含弦之直線方程式：因為圖形的交點就是聯立方程式的實數解，因此關於弦長的求法是：將一次式代入二次式，得到一元二次方程式。

再利用“根與係數的關係”解之。

解為了了解直線L 與雙曲線Γ是否有交點，我們將直線式y ＝2x ＋k 代入錐線式 4x 2－9y 2＝36 ( 消去y )得4x 2－9 ( 2x ＋k )2＝36，乘開化簡變成x 的一元二次方程式32x 2＋ ( 36k )x ＋9 ( k 2＋4 )＝0， (Ａ) 計算(Ａ)式的判別式D ＝( 36k )2－36．32．( k 2＋4 )＝144 ( k 2－32 )。

(1) 若D ＞0，解出 | k | ＞4 2 時，此時方程式(Ａ)有兩個相異實根，故直線L 與雙曲線Γ相交於兩個點。

圆锥曲线切线的一条性质

圆锥曲线切线的一条性质圆锥曲线就是由平面上一条固定的直线（称为母线）和固定点（称为焦点）所确定的一类曲线。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在圆锥曲线上，每个点都有一个切线。

本文将讨论圆锥曲线切线的一条重要性质。

在平面直角坐标系中，设圆锥曲线的方程为F（x，y）= 0。

假设在点（x0，y0）处存在一条切线L。

定义切线L的斜率为K。

现在我们来探讨一下圆锥曲线切线的性质。

性质1：切线斜率K的取值范围对于一个圆锥曲线，它在每一个点上都必然存在一条切线。

当我们观察切线时，我们会发现它的斜率是有限的。

考虑某一切点（x0，y0），假设这个点在椭圆上，我们用红色的线段表示作为切线的三角形，其中斜率为K，如下图所示。

在上图中，我们可以看到切线L的方程为y = Kx + b。

斜率K 可以表示为K = tanθ。

因此，图中的角度θ可以表示为tanθ = K。

我们可以看出，当θ沿逆时针方向旋转时，斜率K也会变化。

由于计算机对于圆周的表达方式是具有周期性的，所以圆锥曲线切线在θ增加2π时也应该和之前的情况是相似的。

这样，我们就得到了切线斜率K的取值范围。

椭圆：在椭圆上，斜率K的取值范围是-K0 < K < K0，其中K0是椭圆的一个与x轴平行的主轴斜率。

抛物线：在抛物线上，斜率K的取值范围是负无穷到正无穷。

双曲线：在双曲线的左侧或右侧，斜率K的取值范围是-K0 <K < K0，其中K0是双曲线的一个与x轴平行的渐近线斜率。

在双曲线的内部，斜率K的取值范围是-K0 > K 或 K > K0。

性质2：切线和法线的夹角相等在圆锥曲线上的任何一点，切线和法线都垂直相交。

因此，切线和法线有一个重要的性质：它们夹角相等。

我们假设在某一点p（x0，y0）处存在一条切线L，斜率为K。

我们来求一下切线的方程式。

切线可以表示为y - y0 = K（x -x0）。

因为圆锥曲线F（x，y）= 0在点p上有一个切线L，所以它在这个点的导数存在，即有：F’（x0，y0）= 0。

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是代数几何学中的一个重要概念，它们是平面上的曲线，由圆锥和平面的交点所生成。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线在光学性质和应用方面都具有重要意义。

本文将详细介绍圆锥曲线的光学性质以及它们在各个领域的应用。

椭圆是圆锥曲线中的一种，它具有许多有趣的光学性质。

首先，椭圆的焦点性质使得它能够聚焦光线。

具体来说，当一束平行光线射入椭圆内部时，它们将聚焦在椭圆的一个焦点上。

这一特性为望远镜、摄影机和激光器等光学设备提供了重要的设计基础。

此外，椭圆的反射性质也是其重要特点之一，例如，当一束光线垂直入射到椭圆内部时，它将被反射到椭圆的另一个焦点上。

这一性质被应用于望远镜和卫星通信系统中。

双曲线是另一种圆锥曲线，它也具有独特的光学性质。

与椭圆不同，双曲线在光学上具有发散和聚敛的特性。

具体来说，当一束平行光线射入双曲线内部时，它们将发散到双曲线的两个焦点处。

这一性质为望远镜和摄影机的设计提供了新的思路，例如，通过在焦点处放置接收器，可以实现信号的聚焦和收集。

此外，双曲线的反射性质也为激光器和光学测量系统的设计提供了重要的参考。

抛物线是圆锥曲线中的最后一种类型，它的光学性质也非常有趣。

与椭圆和双曲线不同，抛物线具有平行入射光线经反射后汇聚于焦点的特性。

这一性质为抛物面反射望远镜和卫星接收系统的设计提供了重要基础。

此外，抛物线还被广泛应用于抛物反射天线、雷达和卫星通信系统中。

除了以上介绍的三种圆锥曲线之外，椭圆、双曲线和抛物线在光学应用中还有一些共同的特性。

例如，它们都具有镜像对称性，即曲线的一侧的光学性质与另一侧的性质相同。

这一特性为光学系统的对称设计提供了便利。

此外，这些曲线还具有无限远焦点、直线直径和基准线平行等特性，这些特性为光学系统的设计和优化提供了重要的参考。

总的来说，圆锥曲线在光学领域具有重要的应用价值。

它们的光学性质为望远镜、激光器、摄影机、卫星通信系统等光学设备的设计和优化提供了重要的参考。

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是由一个圆锥和一个平面相交而产生的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线在光学中具有重要的应用，因为它们的光学性质可以用于设计光学器件和进行光学测量。

本文将围绕圆锥曲线的光学性质及其应用展开阐述。

1.圆锥曲线的光学性质圆锥曲线在光学中具有许多重要的性质，其中包括反射、折射和像的形成等。

(1)圆锥曲线的反射性质当光线射到圆锥曲线上时，根据光的入射角等于反射角的规律，可以确定光线的反射方向。

圆锥曲线的反射性质在光学器件中有广泛的应用，比如反射镜和光学透镜等。

(2)圆锥曲线的折射性质当光线穿过圆锥曲线的介质边界时，会发生折射现象。

根据斯涅尔定律，可以确定光线的折射角和入射角之间的关系。

圆锥曲线的折射性质在光学器件设计中有着重要的应用，比如透镜、棱镜和光纤等。

(3)圆锥曲线的像的形成根据几何光学原理，当光线经过圆锥曲线反射或折射后，会形成特定位置和大小的像。

这种像的形成原理在光学成像系统中有广泛的应用，比如照相机、望远镜和显微镜等。

2.圆锥曲线的应用圆锥曲线在光学中有着广泛的应用，包括光学器件设计、光学测量和成像系统等。

(1)光学器件设计圆锥曲线的反射和折射性质可以用于设计各种光学器件，比如反射镜、透镜、棱镜、光纤和光栅等。

通过合理设计和加工圆锥曲线表面，可以实现对光线的精确控制和操纵，满足不同应用场景的需求。

(2)光学测量圆锥曲线的像的形成原理可以用于光学测量中。

比如在显微镜中，通过调整镜头的位置和焦距，可以获得清晰的放大像；在激光干涉仪中，利用圆锥曲线的反射和折射性质，可以实现对光程差的测量。

(3)成像系统圆锥曲线在成像系统中有着重要的应用。

通过合理设计和排列圆锥曲线表面，可以实现对光线的收敛和聚焦，从而获得清晰的成像效果。

比如在照相机和望远镜中，利用透镜的折射性质，可以实现对远处景物的清晰成像。

3.圆锥曲线的优化设计圆锥曲线的光学性质可以通过优化设计来满足特定的应用需求。

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线在光学领域中具有重要的应用，其光学性质和应用包括反射、折射、成像等方面。

圆锥曲线是指平面上与一固定点F和一固定直线L的距离之比等于常数e的点P的轨迹。

常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。

下面将详细介绍圆锥曲线的光学性质及其应用。

一、椭圆的光学性质及其应用椭圆是圆心为O，长轴为2a，短轴为2b的圆锥曲线。

在光学领域中，椭圆具有以下光学性质及应用：1.椭圆的反射性质：椭圆表面上的一束平行光线经过反射后会聚于椭圆的一个焦点。

这一性质可应用于光学器件的设计与制造，如椭圆反射镜的设计，可以利用椭圆的反射性质将平行光线聚焦到一个点上，实现光学成像。

2.椭圆的折射性质：光线从一种介质入射到另一种介质时，若两种介质的界面呈椭圆形状，那么入射光线经折射后也会聚焦于椭圆的一个焦点。

这一性质可应用于成像系统的设计与优化，如在光学显微镜中，可通过椭圆形的透镜来实现对光线的聚焦，从而实现高分辨率的成像。

3.椭圆的成像性质：椭圆具有优良的成像性质，可以实现高质量的光学成像。

在实际应用中，椭圆可以用于设计椭圆形透镜、椭圆形反射镜等光学器件，实现高质量的光学成像。

二、双曲线的光学性质及其应用双曲线是圆锥曲线中的一种，其光学性质及应用如下：1.双曲线的反射性质：双曲线表面上的一束平行光线经过反射后会分散开来，与焦点无穷远处相交。

这一性质可应用于成像系统的设计与优化，如在望远镜等光学设备中，可通过双曲线形状的镜片来实现对光线的分散反射，从而实现望远效果。

2.双曲线的折射性质：光线从一种介质入射到另一种介质时，若两种介质的界面呈双曲线形状，那么入射光线经折射后会分散开来，与焦点无穷远处相交。

这一性质可应用于光学器件的设计与制造，如在激光器的设计中，可通过双曲线形状的折射器件来实现对激光的发散，从而实现激光束的调制和控制。

3.双曲线的成像性质：双曲线具有一些特殊的成像性质，可以应用于光学成像系统的设计与优化。

高考数学总复习考点知识专题讲解16 圆锥曲线光学性质

高考数学总复习考点知识专题讲解专题16 圆锥曲线光学性质知识点一：光学性质概念椭圆的光学性质：从一个焦点发出的照射到椭圆上其反射光线会经过另一个焦点。

双曲线有一个光学性质：从一个焦点发出的照射到双曲线上其反射光线的反向延长线会经过另一个焦点。

抛物线有一个光学性质：从焦点发出的照射到抛物线上其反射光线平行于抛物线开口方向。

知识点二：光学性质定理定理1点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，则椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.由于本题证明方法很多，如果是解决小题，我们按照小题小作来解读，根据物理学的反射原理，反射光线等于入射光线，即把椭圆上的点P 处切线看成镜面，那么法线就是12F PF ∠的平分线，所以它们垂直就自然而然了，同理也能推导双曲线.推论1：设椭圆22221x y a b+=（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为椭圆上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为22220000(0)a y x b x y a b x y ---=.根据光学性质可知00(,)P x y 处切线方程为12020=+b yy a xx ，由于P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直，故12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为000022()a y b x y y x x =--，即22220000(0)a y x b x ya b x y ---=.【例1】已知点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.定理2点P 为双曲线上任一点.1F 、2F 为双曲线的两焦点，则双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.推论2 设双曲线22221x y a b-=±（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为双曲线上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程.为222200b x x a y y a b -=±. 【例2】已知点P 为双曲线上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.定理3点P 为抛物线上任一点，F 为拋物线的焦点，过P 作拋物线的准线的垂线，垂足为P '，则拋物线在点P 处的切线与FPP ∠'的平分线重合.证明：设拋物线的方程为22y px =，200(,)2y P y p.利用导数知识易得抛物线在P 点处的切线斜率存在时为0PQ P k y =.又(,0)2pF ，则02202PP py k y p'=-，0PP k '=.由夹角公式可得：0tan ||||1PP PQ PP PQk k PQPP k k y ∠''-=+'=，0220002202tan ||||121PP PQ PP PQ py pk k y y p FPQ py p k k y y p ''---∠==++⋅-2222232000022222220000021||||()2py p py y p p py y y y p y p p y p -----=⋅=⋅--++22022000()1||||p p y p y y y p -+=⋅=+. 即有tan tan QPP FPQ ∠∠'=，所以PQ 为FPP ∠'的平分线.【例3】（2011年高考全国卷II 理15）已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线.则2||AF =________.【例4】（2023•东莞市期末）如图，从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点0(P x ，0)y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线．已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(,0)T t ，则t 的取值范围是．【例5】（2023•老唐说题教师群探讨）如图，椭圆焦点三角形的1290F AF ∠=︒，AB 为12F AF ∠的角平分线且2AB BD =，则椭圆离心率为.【例6】（2023•广东期末）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠．若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论不正确的是()A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44(,)33k ∈-B ．当m n ⊥时，12||||32PF PF ⋅= C ．当n 过点(7,5)Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13 D ．若点T 坐标为(1,0)，直线PT 与C 相切，则2||12PF =【例7】（2023•阳信期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HF PF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2【例8】（2023•天河区期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:C y x =，O 为坐标原点．一束平行于x 轴的光线1l 从点(P m ，1)(1)m >射入，经过C 上的点1(A x ，1)y 反射后，再经C 上另一点2(B x ，2)y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则()A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线 C ．25||16AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =知识点三：光学定理与内心旁心定理一：椭圆焦点三角形内心如图，I 为12PF F △内切圆的圆心，PI 和12F F 相交于点N (区分切点M )，则①INe IP=．②121212IF F PF F IF F S e S S =-△△△证明：法一（利用角平分线定理＋等比定理）：1212121222F N F N F N F N IN c e IP F P F P F P F P a+=====+．法二：（光学定理+中垂线）PI 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线（考虑极限情况，切点看为两个交点的中点），根据中垂线截距定理202ax c x N =，再根据角平分线定理可知e ex a c a x c P F N F IP IN =++==020211,根据等面积法，121212IF F N N P NP NPF F IF F S y c y IN IPy y c y y S S ===---△△△.中垂线截距定理：若B A 、关于直线PQ 对称，可以知道线段AB 被直线PQ 垂直平分，其中(0)P n ，，(0)Q m ，则能得出以下定理（不妨设焦点在x 轴上）： 202y c m b =-（椭圆），202y c m b =（双曲线）；202x c n a =（椭圆），202x c n a=（双曲线）．因为22AB OM b k ak =-⋅（点差法），1AB PQ k k =-⋅，所以22OMPQb a k k =，故220000b a y x y m x =-，即202y c m b =-；同理220000b a y x y x n=-，即202x c n a =．定理二：双曲线焦点三角形旁心旁心定理：I 是12PF F △的旁心，1F I 、2F I 分别是1PF D ∠、2PF D ∠的角平分线．如图,则：ID e IP =，11IF D PF IS e S =△△．证明：法一：(利用外角平分线定理＋等比定理)：111212121222DIF PIF S ID DF F D DF F D ce S PIPF PF PF PF a -======-△△，法二：（光学定理+中垂线）PD 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线，根据中垂线截距定理202ax c x D =，再根据角平分线定理可知，e a ex c a x c PF DF IP ID =--==020222 【例9】（2023•思明区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -和2(,0)F c，1(M x 为C 上一点，且△12MF F 的内心为2(I x ，1)，则椭圆C 的离心率为()A ．35B ．25C ．13D ．12【例10】(2023哈三中高三一模16题）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x与双曲线)00(12222>>=-n m ny m x ，有公共焦点)0(1，c F -，)0(2，c F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，︒=∠6021PF F ,则=+222131e e ；I 为21F PF ∆的内心，G I F 、、1三点共线，且0=⋅IP GP ，x 轴上点A 、B 满足IP AI λ=，GP BG μ=，则22μλ+的最小值为.知识点四：光学定理与大圆小圆问题1. 椭圆的大圆焦点作椭圆切线的垂线，垂足轨迹是以长轴为直径的圆．这个圆我们称之为大圆.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上点P 处的切线为l ，则过焦点12F F 、作直线l 的垂线，垂足H 的轨迹是以长轴为直径的圆，即为222x y a +=．证明: 如图，作2F H l ⊥,1F H l '⊥．当点P 不在长轴的两个端点时，延长1F P 交2F H 于点Q ，根据椭圆的光学性质可知：切线l 平分2F PQ ∠，故2PQF △是等腰三角形，点H是线段2F Q 的中点．因此，在12F F Q 中，1112222FQ F P PQF P PF OH a ++====，故点H 的轨迹是222()x y a x a +=≠±，同理，H`的轨迹也符合此轨迹方程，当点P 在长轴的两个端点时，此时的射影点(,0)a ±亦满足上述方程．【例11】（2023•连城县月考）如图所示，已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为()A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线2.大圆性质拓展如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：上点P 处的切线为l ，且焦点12F F 、在直线l 上的垂足分别为G 、H ，设12F PF θ∠=，椭圆的上顶点为B ，左右顶点分别为1A 、2A ，则：(1) 212FG F H b =； (2)直角梯形12F F GH 的面积的为2sin S a θ=，又12F BF θ≤∠,故212max12,22,02a F BF S bc F BF ⎧π⎛⎫∠≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨π⎛⎫⎪<∠< ⎪⎪⎝⎭⎩；证明(1) 法一：设1F P m =，2F P n =，则2cos 11θPF G F =，2cos 22θPF H F =222222212411cos ()42cos 2224m n c m n c mn FG F H mn mn mn b θθ+-+++-=====．法二延长1MF 交大圆222x y a +=于点I ，根据对称性，有21F H F I =，再利用相交弦定理，则212111112()()FG F H FG F I A F F A a c a c b ===-+=．(2) 利用椭圆的光学性质，如图所示，延长1F P 交2F H 于点N ，过点N 作//GH MN 交G F 1延长线于点M，因此，2121111111()()sin cos 222222S FG F H MN FG MG MN F M MN F N θθ=+=+==，又1122F N F P PF a =+=，则2214sin cos sin 222S a a θθθ==．注意：大题在证明光学性质时比较麻烦，建议参考例题方式书写大题，那样其实也不难.【例12】已知椭圆22143x y +=，圆224x y +=，直线2y x =与椭圆交于点A ，过A 作椭圆的切线交圆于M 、N 两点（M 在N 的左侧），则12MF NF =．【例13】（2023•南充模拟）设点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．3.双曲线的小圆焦点在双曲线切线上的垂足轨迹是以实轴为直径的圆，我们称之为小圆.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上点P 处的切线为l ，则焦点12F F 、在直线l上的射影点H 的轨迹是以实轴为直径的圆，即为222x y a +=．【例14】已知双曲线221916x y -=的两焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一动点，过点1F 作12F PF ∠平分线所在直线的垂线，则垂足M 的轨迹方程为( )．A ．229x y +=B ．2216x y +=C ．229x y -=D ．2216x y -=【例15】（多选）设双曲线22:14x C y -=左右焦点分别为1F ，2F ，设右支上一点P 与2F 所连接的线段为直径的圆为圆1O ，以实轴为直径的圆为圆2O ，则下列结论正确的有() A ．圆1O 与圆2O 始终外切B ．若2F P 与渐近线垂直，则2F P 与圆2O 相切 C ．12F PF ∠的角平分线与圆1O 相切D ．三角形12F PF 的内心和外心最短距离为2【例16】（2023•江苏模拟）已知椭圆22:143y x C +=，点0(P x ，0)y 为椭圆C 在第一象限的点，12F F 为椭圆的左、右焦点，点P 关于原点的对称点为Q ．（1）设点Q 到直线1PF ，2PF 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 取值范围；（2）已知椭圆在0(P x ，0)y 处的切线l 的方程为：00143x x y y+=，射线1QF 交l 于点R ．求证：11F RP RPF ∠=∠．【例17】（2022•湖北21校）平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)M -，(2,0)N 点A 满足||||AM AN -=A 的轨迹C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 与点A 关于原点O 对称，MTN ∠的角平分线为直线l ，过点A 作l 的垂线，垂足为H ，交C 于另一点B ，求：||||AH BH 的最大值．【例18】（2023•闵行区期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F 上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P 处的切线与直线1PF 、2PF 的夹角相等．已知12BC F F ⊥，垂足为1F ，1||3F B m =，12||4F F cm =，以12F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC 所在椭圆C 的方程；（2）点P 为椭圆C 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m ，使得P 到2F 和P 到直线x m =的距离之比为定值，如果存在，求出的m 值，如果不存在，请说明理由；②若12F PF ∠的角平分线PQ 交y 轴于点Q ，设直线PQ 的斜率为k ，直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k ，2k ，请问21k kk k +是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【例19】（2023•上海模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是点1F ，2F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1，点2F 与短轴两个顶点构成等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆上点0(M x ，0)y 的椭圆的切线方程为00221xx yy a b+=．求证：过椭圆C 上任一点0(M x ，0)y 的切线与直线1MF 和2MF 所成角都相等；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点连接1PF ，2PF ，设12F PF ∠的角平分线PQ 交C 的长轴于点(,0)Q q ，求q 的取值范围．同步训练1．（2022•怀化二模）若点P 是椭圆22221(0)4x y b b b+=>上的点，且点I 是焦点三角形△12PF F 的内心，12F PF ∠的角平分线交线段12F F 于点M ，则||PIIM等于()A C ．122.（2023•贵州模拟）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点0(A x ，2)反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为() A．．CD3.（2022•南昌三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△12PF F 的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为() A ．12B3.（2022•焦作一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为C 上一点，且△12MF F 的内心为0(I x ，2)，若△12MF F 的面积为4b ，则1212||||(||MF MF F F +=) A ．32B ．53C．434.（2023•建邺区期中）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若||16AB =，则||(PQ =) A ．2B ．4C ．6D ．85．（2022•衡阳二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点、由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角、请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，点P 为C 在第一象限上的点，点M 在1F P 延长线上，点Q的坐标为，且PQ 为12F PF ∠的平分线，则下列正确的是() A ．12||2||PF PF =B ．12||23PF PF +=C ．点P到x ．2F PM ∠的角平分线所在直线的倾斜角为150︒6.（2023•阳信县期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HFPF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2 7.（2023•佛山期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜．它的形状是旋转椭圆．为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝2F ，与影片门1F 应位于椭圆的两个焦点处．已知椭圆22:143x y C +=，椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，一束光线从2F 发出，射向椭圆位于第一象限上的P 点后反射光线经过点1F ，且124tan 3F PF ∠=，则12F PF ∠的角平分线所在直线方程为．8.（2023•诸暨市期末）圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分1C 和一个“双孔”的椭圆2C 构成（小孔在椭圆的右上方）．如图，椭圆22212:1,,43x y C F F +=为2C 的焦点，B 为下顶点，2F 也为1C 的焦点，若由1F 发出一条光线经过点B 反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点D 反射后平行于x 轴射出，由1F 发出的另一条光线经由椭圆2C 上的点P 反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点E 反射后平行于x轴射出，若两条平行光线间隔，则1cos BF P ∠=．11.已知P是双曲线221168x y -=右支上一点，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，1(0)F P PM λλ=>，22PF PM PN PM PF μ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，20PN F N =．若22PF =，则ON =．12.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )．A ．OB e OA =B ．OA e OB=C ．OA OB =D ．OA 与OB 关系不确定。

圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线的光学性质
光学性质是指物体反射，折射和透射光线的能力，它影响着物体
因光照的表面的变化。

圆锥曲线是满足普洛斯坦双曲方程的对称曲线，其光学性质由于曲线的特殊形状而存在着特殊性。

能量分布性是指物体因光照而发生变化时释放出去的光能量分布性。

圆锥曲线的能量分布性很明显，它有着明显的中心密度差别。

圆
锥曲线的能量分布性是极小化的，即曲线越接近圆，中心点越集中。

折射性是指物体会把光线引进其内部，或将其像在表面上折射出
去的性质。

圆锥曲线的折射性是特殊的，它的折射性会受到外部影响，如凹痕，外加压力等等，从而影响到表面的反射性。

同时，它也可以
将光封闭在曲线外，这样不会受到外界物体的折射影响。

反射性是指光线碰撞到物体表面时能够发生反射的现象，它是一
个物体表面发光的重要依据。

圆锥曲线的反射性是比较好的，它的反
射性完全取决于该曲线的设计，因为它只能反射光线的中心。

圆锥曲线的特殊光学性质被广泛应用于电子行业，它的反射性，
折射性以及能量分布性可以被用于产生电子脉冲和表面反射性。

可以说，圆锥曲线的光学性质是暗黑科技中不可或缺的一部分，使得把光
线运用到技术领域更加容易和可操作。

圆锥曲线的光学性质原理

圆锥曲线的光学性质原理1. 椭圆上任意一点的两条焦半径的夹角被该点的法线平分. 证明：设椭圆的方程为22221x y ab+=，又设()00,P x y 为椭圆上任一点，12F F 、是左右焦点，则1020,PF a ex PF a ex =+=-，而过点P 的法线方程为()222200000a y x b x y b axy -+-=令0y =，得202c x x a=，故法线与x 轴的交点T 的坐标为202,0c x a ⎛⎫⎪⎝⎭，有()()22010222202022c a cx c F T c x a ac a cx c TF c x aa+=+=-=-=又 22110002222,PF F T a ex a cx a cx PF a ex a cx TF a cx +++===---所以1122PF F T PF F T=故过点P 的法线PT 平分点P 的两条焦半径的夹角.此原理说明处于一焦点的光源的光线经椭圆反射汇聚于另一焦点处.2. 双曲线上任意一点的切线平分该点两焦半径的夹角. 证明：设双曲线方程为22221x y ab-=，又设()00,P x y 为双曲线上一点，过点P 的切线交x 轴于T ，12F F 、分别是左右焦点，则1020,PF ex a PF ex a =+=-，而过点P 的切线方程为222200b x x a y y a b -=切线与x 轴的交点T 的坐标为20,0a x ⎛⎫⎪⎝⎭，从而22120,aaF T c TF c x x =+=-由220102220020102200a c cx a F Tx TF cx aac x cx a PF ex a PF ex acx a++==--++==--从而1122PF F T PF F T=即切线PT 平分两焦半径的夹角.此原理说明处于一焦点的光源的光线经双曲线反射，沿反射处与另一焦点连线所在直线方向反射出去.3. 抛物线上任意一点的法线平分过此点的焦半径和过此点的直径（即过该点且与对称轴平行的线）所夹的角. 证明：设抛物线方程为()220y px p =>，F 为焦点，()00,P x y 为抛物线上任意一点，过点P 的切线PR 的方程为()00yy p x x =+，此切线与x 轴的交点T 的坐标为()0,0x -，于是00,22ppFT x PF x =+=+，从而,PF FT FPT FTP =∠=∠，又直径PK 平行x 轴，则KPR FTP FPT ∠=∠=∠，而K P R K P B B P∠+∠=∠+∠，所以KPB BPF ∠=∠，故法线平分KPF ∠.此原理说明处于焦点的光源发出的光线经抛物线反射形成平行光束.下面利用圆锥曲线的光学性质证明圆锥曲线的切线的一个性质设F 是圆锥曲线C 的焦点，若过点P 的直线PA PB 、分别于圆锥曲线C 相切于A B 、两点，则PFA PFB ∠=∠.特别地，当双曲线仅在相切于一支时，PFA PFB ∠=∠；相切于两支时，PFA PFB π∠+∠=.下面证明双曲线的情况：如图，直线PA PB 、分别切焦点为12F F 、的双曲线C 于点A B 、.则（1）当切于双曲线一支时，如图1，1122,PF A PF B PF A PF B ∠=∠∠=∠；（2）当切于双曲线两支时，如图2，1122,PF A PF B PF A PF B ππ∠+∠=∠+∠= 证明：作点1F 关于PA 的对称点C ，2F 关于PB 的对称点D ，连结CP CA DP DB 、、、则1PC PF =，11222,,,,AC AF PF A PCA PD PF BD BF PF B PDB =∠=∠==∠=∠.由双曲线的光学性质知，C 在2AF 上，D 在1BF 上，从而22CF CA AF =-12AF AF =- 2a =，11212DF BD BF BF BF a =-=-=，即有21CF DF =，21PCF PF D ∴∆≅∆， 2121,PCF PF D PF C PDF ∴∠=∠∠=∠.故当切于双曲线一支时，如图1，12112212,PF A PCF PF D PF B PF A PF C PDF PDB PF Bππ∠=∠=∠=∠∠=-∠=-∠=∠=∠即1122,PF A PF B PF A PF B ∠=∠∠=∠.当切于双曲线两支时，如图2，1211,PF A PCF PF D PF B π∠=∠=∠=-∠ 2122PF B PDB PDF PF C PF A π∠=∠=∠=∠=-∠即1122,PF A PF B PF A PF B ππ∠+∠=∠+∠=.。

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是一类由一个动点到一条定直线的距离与一个定点到定直线的距离的比例确定的几何图形。

圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。

这些曲线在光学领域中有着重要的应用，其光学性质也是研究的重点之一。

1.圆锥曲线的光学性质在光学中，圆锥曲线具有各自独特的光学性质，其中圆、椭圆、双曲线和抛物线分别对应着不同的光学概念和应用。

（1）圆的光学性质从光学的角度来看，圆是最简单的圆锥曲线。

圆的特点是其每一点到圆心的距离都相等，因此圆对光的折射和反射没有其他圆锥曲线那么多的特殊性质。

然而，在光学元件设计中，圆形透镜和反射镜的使用非常广泛，因为圆形透镜和反射镜对光线的折射和反射都非常均匀，为光学系统的设计和制造提供了更多的便利。

（2）椭圆的光学性质椭圆是圆锥曲线中的一种，其特点是其两个焦点之间的距离之和与定直线到椭圆上任意一点的距离成比例。

在光学中，椭圆的焦距和长短轴的长度决定了椭圆镜的成像效果。

椭圆镜可以将入射到其一个焦点上的平行光线聚焦到另一个焦点上，因此在望远镜、激光器和摄影镜头等光学设备中得到了广泛应用。

（3）双曲线的光学性质双曲线是圆锥曲线中的一种，其特点是其两个焦点之间的距离之差与定直线到双曲线上任意一点的距离成比例。

在光学中，双曲线镜具有独特的成像特性，可以将入射到其一个焦点上的平行光线反射到另一个焦点上。

因此在卫星通信、望远镜和激光器等光学设备中也得到了广泛应用。

（4）抛物线的光学性质抛物线是圆锥曲线中的一种，其特点是其焦点到定直线的距离与定直线到抛物线上任意一点的距离相等。

在光学中，抛物线也具有独特的成像特性，可以将入射到其焦点上的平行光线聚焦到抛物线上的任意一点上。

因此在卫星天线、射电望远镜和摄影镜头等光学设备中也得到了广泛应用。

2.圆锥曲线在光学中的应用圆锥曲线在光学中有着广泛的应用，包括光学元件的设计、光学成像系统的构建和光学设备的制造等方面。

（1）椭圆镜的应用椭圆镜是一种具有椭圆形曲面的光学元件，其折射和反射特性使其在光学成像系统中得到了广泛的应用。

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是二次曲线的一种，其在数学和物理领域都有广泛的应用和研究。

在光学领域中，圆锥曲线的光学性质和应用也是一个重要的研究方向。

本文将从圆锥曲线的光学性质以及其在光学领域的应用进行详细的介绍。

一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们在光学领域的光学性质各有不同。

1.椭圆的光学性质椭圆是圆锥曲线中的一种，它的光学性质与焦距有关。

在光学设备中，椭圆镜和椭圆筒等光学元件常常使用椭圆的特性来进行光的聚焦和成像。

椭圆曲线还可以用来表示光的干涉和衍射现象，因此在干涉仪和衍射仪等设备中也有广泛的应用。

2.双曲线的光学性质双曲线是另一种圆锥曲线，它和椭圆一样也有着广泛的光学应用。

双曲线常常用来表示光的折射现象，因此在透镜和透明介质中的光学性质研究中也占有重要的地位。

此外，双曲线还可以用来表示光的散焦现象，因此在研究光场的散焦性质时也常常使用双曲线来进行描述和分析。

3.抛物线的光学性质抛物线是圆锥曲线中的第三种类型，它的光学性质也有着独特的特点。

在抛物线反射面和抛物线透镜等光学元件中，抛物线的光学性质得到了广泛的应用。

抛物线反射面可以用来进行光的聚焦和成像，而抛物线透镜则可以用来进行光的折射和散焦。

抛物线还可以用来表示光的轨迹和路径，因此在研究光的传播和传输过程中也有着重要的作用。

综上所述，圆锥曲线在光学领域中的光学性质各有不同，在光学元件的设计和制造中都得到了广泛的应用。

下面将详细介绍圆锥曲线在光学领域中的实际应用。

二、圆锥曲线在光学领域的应用圆锥曲线在光学领域中有着广泛的应用，它们常常用来设计各种光学元件，如镜片、透镜、棱镜、反射器等，以及用来分析和描述光的传播、聚焦、折射和散焦等现象。

1.光学仪器的设计圆锥曲线可以用来设计各种光学仪器，如望远镜、显微镜、照相机、激光器等。

椭圆曲线常常用来设计椭圆镜和椭圆筒，以实现光的聚焦和成像；双曲线则常用来设计透镜和棱镜，以实现光的折射和色散；抛物线则常用来设计反射器和透镜，以实现光的反射和散焦。

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是平面上一类重要的数学曲线，它们在光学领域中具有重要的应用。

本文将分析圆锥曲线的光学性质以及它们在光学领域中的应用。

第一部分：圆锥曲线的定义及其光学性质圆锥曲线是在一个平面上与两个定点焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的轨迹。

这两个焦点和常数2a定义了一个圆锥曲线的形状。

常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

在光学领域中，圆锥曲线具有以下一些重要的光学性质：1.焦距：圆锥曲线的焦距是指从焦点到曲线的任意一点的距离。

焦距是光学中用来描述圆锥曲线形状的一个重要参数。

2.反射性质：圆锥曲线具有良好的反射性质，即光线经过圆锥曲线反射后能够聚焦到焦点上。

这种反射性质在光学仪器中有广泛的应用。

3.折射性质：当光线穿过圆锥曲线时，会根据曲线的形状和光线入射的角度发生折射现象。

这种折射性质在透镜和光学元件中有重要的应用。

4.光学成像：圆锥曲线具有良好的成像性质，可以用来设计出具有特定功能的光学元件，如凸透镜、凹透镜和椭圆反射面。

以上是圆锥曲线的一些光学性质，这些性质对于理解和设计光学系统非常重要。

第二部分：圆锥曲线在光学领域中的应用1.凸透镜：椭圆形凸透镜是一种常用的光学元件，它可以实现对光线的聚焦和成像。

利用椭圆形凸透镜的焦距和反射性质，可以设计出能够产生清晰的像的光学系统。

2.凹透镜：双曲线形凹透镜可以用来调制和分离光线，具有广泛的应用。

双曲线形凹透镜能够对光线进行折射和散射，可用于太阳能集热器和激光设备中。

3.抛物面反射器：抛物面反射器是一种利用抛物线形状的曲面进行光学反射的设备。

抛物面反射器可以产生平行入射光线的焦点，可用于望远镜和抛物面反射天线中。

4.光学成像系统：圆锥曲线在光学成像系统的设计中有重要的应用。

通过合理选择椭圆、抛物线和双曲线形状的曲面，可以设计出具有不同聚焦特性的光学成像系统，满足不同的光学需求。

5.光学测量仪器：圆锥曲线可以用来设计各种光学测量仪器，如激光测距仪、光学显微镜和激光雷达。