量子力学课件 周世勋1-4

德布罗意（1892～1987）de Broglie，Louis Victor：

法国物理学家，提出物质具有波粒二象性，因发现

电子波动性而获1929年诺贝尔物理学奖。

由于Planck和Einstein关于光的微粒性理论取得成功，又由于在建立描述微观粒子运动规律的理论中遭到困难，De Broglie 在光具有波粒二象性的启发下，于1924年提出了微观实物粒子

也具有波粒二象性的假设。

De Broglie 把粒子和波通过下面的关系联系：自由粒子的

能量E 和动量P v 与平面波的频率ν和波长λ之间的关系正像光

子和光波的关系一样，即：

ω

=ν=h h E k n h p v h r v =λ

= —De s Broglie 'formula or relation 二、德布罗意波

1.De Broglie 波的提出

1924年11月27日，英国《哲学杂志》9月号刊载了一位不知名的物理学家路易·维克托·德布罗意的文章。名为《关于量子理论的研究》（博士论文）。此文阐述了有关物质波可能存在的主要观点。

物质波不是通常的波，物质波产生于任何运动的物体，正如电磁波一样，物质波也能在绝对的真空中传播，因此它不是机械波；另一方面，它们却产生于所有的物体—包括不带电的物体的运动，因此它也不是电磁波。它是一种“客观实在”。2.德布罗意波公式（平面波）

自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布罗意关系式知与自由粒子联系的频率为ν和波长λ都是不变的（即平面波）。

我们知道频率为ν，波长为λ，沿x 方向传播的平面波可

以用下面的公式表示，即：

])t x (2cos[a δ−ν−λπ=Ψ其中δ为平面波的初相。

如果波沿单位矢量n v 的方向传播，则又可写为： ])t n r (2cos[a δ−ν−λ⋅π=Ψv v ]

t r k cos[a δ−ω−⋅=v v 其中利用了n 2k v v λπ=，πν=ω2。将此式写成复数形式（当只取实部时就是上式），有：

)Et r p (i )t r k (i Ae ae −⋅δ−ω−⋅==Ψv v h

v v

其中δ−=i ae A 。上式即为De Broglie 波公式。

它的解释下一章讨论。量子力学中描写自由粒子的平面波必须用复数形式而不用实数形式，原因也在下一章说明。 3.德布罗意波的波长公式

设自由粒子的动能为E ，由于粒子的速度远小于光速，则：

μ=2p E 2而n h p v r λ

=于是De Broglie 波波长为：E

2h p h μ==λ

例如：如果电子被V 伏的电势差加速，则

E =eV 电子伏特，其中e 为电子电荷的大小于是将e ,,h μ的数值代入得：

V 25

.12eV 2h

≈μ=λÅ （只用于电子）

式中Planck 常数h 的出现表明De Broglie 波长具有量子性质。 当光波波长λ远小于仪器特征长度x 时，可把光看作是直线传播，即光呈现粒子性；而∝x λ（数量级相同时），光就出现干涉、衍射现象，即光具有波动性。

同样，当物体的特征线度x 远大于它的De Broglie 波长λ

时，即1xp

h x <<=λ时，可忽略粒子的波动性，用C .M .来处理；否则用Q .M .处理问题。

例1：质量为100克的一块石头以每秒100厘米的速度飞行，其De Broglie 波长是：

332334106.610

10010100106.6mv h p h E 2h −−−−×=××××===μ=λm 23106.6−×=Å

由此可见，对于一般的宏观物体,其物质波波长是很小的，很难显示波动性。

例2：若用150伏的电压加速电子，其De Broglie 波长： 115025

.12==λÅ

若10000=V 伏，则122.0=λÅ 。

电子的De Broglie 波长在数量上相当（小于）晶体中的原子间距，比宏观线度要短的多，这说明了为什么电子的波动性长期没有被发现的原因。德布罗意获得1929年Nobel 物理学奖。

三、实验验证

1.戴维孙(Davisson)和革末(Germer)的电子衍射实验（1921—1923年考察电子结构时就发现了下述问题）

1927年美国物理学家戴维孙(Davisson)和革末(Germer)用电子在晶体上做衍射实验证明了德布罗意波假设的正确性。(1)实验装置

(2)实验过程

来自灯丝的电子被可变电压V 加速，电子被镍单晶“反射”后被探测器收集。反射的电子表现出显著的方向性。当电子束能量为eV 54时，观测到在同入射束成o 50角（即散射角o 50=θ）时散射的电子数最多。

(3)实验结果

类似于Χ射线在晶体表面反射时产生的衍射，这说明电子具有波动性。根据衍射理论，衍射极大的散射角θ满足： θ=λsin d n ,2,1n =…

其中λ为入射波长，15.2d =Å 。

因o

50=θ角上出现极大相当于1n =，则电子的De Broglie 波波长的实验值：

)50sin 15.250sin d .erim exp o o ×==λ（Å65.1=Å；另由De Broglie 关系式得电子的De Broglie 波波长的理论值： 66.15425

.12theory ==λÅ与实验一致，从而证明了De Broglie 波的存在。

2.电子的双缝衍射实验

电子的波动性也可以用与光的双缝衍射相当的实验来证实；

历史有许多实验都证实了De Broglie波的存在。如Thomson (汤姆逊)、塔尔塔科夫斯基分别用快速和慢速电子穿过薄金属片同样得到了这种衍射图样。后来人们做了大量的实验，证实不仅是电子，而且质子、中子、原子、分子等微观粒子都具有波性。

上述实验事实都表明了De Broglie波不是虚构的，一切微观粒子都具有波动性，这些波的波长和粒子的动量由De Broglie公式联系起来。

本节小结：