2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高二下学期期末考试数学试题(文)

黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2019-2020学年
高二下学期期末考试（文）
共150分，考试时间120分钟。

一、选择题(共12小题,共60分)
1.集合A＝{x∈Z|－2<x<3}的元素个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
2.集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B等于()
A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)}
C．{(2,4)} D．∅
3.若集合A＝{x|x＝m＋，m∈Z}，B＝{x|x＝－，n∈Z}，C＝{x|x＝＋，p∈Z}，则A，B，C之间的关系是()
A．A＝B＝C B．A B＝C C．A B C D．B C A
4.函数y＝的定义域为()
A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1) D．[1，＋∞)
5.已知函数f(n)＝则f(5)的值是()
A．4 B．48 C．240 D．1 440
6.设f(x)＝则f(f(0))等于()
A．1 B．0 C．2 D．－1
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是()
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
8.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()
A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
9.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为()
A．B．2 C．0 D．1
10.复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足()
A．x＝－B．x＝－2或x＝－
C．x≠－2 D．x≠1且x≠－2
11.已知a，b∈R，则“ln a>ln b”是“a<b”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12.命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是()
A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0
D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0
二、填空题(共4小题,共20分)
13.若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.
14.已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
15.直线x－2y＋3＝0与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且P(－1,1)恰好为AB中点，则椭圆的离心率为________．
16.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
三、解答题(共6小题,共72分)
17.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长|CD|.
18.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
19.从一批草莓中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
(1)根据频数分布表计算草莓的重量在[90,95)的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取5个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)从(2)中抽出的5个草莓中任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
20.已知双曲线E：－＝1.
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
21.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4，0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
22.已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
——★参考答案★——1.D 2.D 3.B 4.B 5.C
6.C
7.C
8.D
9.D 10.D
11.A 12.D
13.0或1 14.{(0,1)，(－1,2)}
15.16.0或1
17.解(1)由题意，b＝1，＝，a2＝b2＋c2，
联立解得a＝，c＝1，
可得椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
18.解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
∴
解得－<k<且k≠±1.
∴当双曲线C与直线l有两个不同的交点时，
k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l与y轴交于点D(0，－1)．
由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
∴
当A，B在双曲线上的一支上且|x1|>|x2|时，
S△OAB＝S△OAD－S△OBD
＝(|x1|－|x2|)
＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD
＝(|x1|＋|x2|)
＝|x1－x2|.
∴S△OAB＝|x1－x2|＝，
∴(x1－x2)2＝(2)2，
即2＋＝8，
解得k＝0或k＝±.
又∵－<k<且k≠±1，
∴当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.
19.(1)重量在[90,95)的频率＝20
＝0.4；
50
(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取5个，则重量在[80,85)
×5＝2；
的个数为：10
10+15
(3)设在[80,85)中抽取的2个草莓为x，y，在[95,100)中抽取的三个草莓分别为a，b，c，从抽出的5个草莓中，任取2个共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(x，y)10种情况，
其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)6种；
设“抽出的5个草莓中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率P (A )＝610＝35.
20.解 (1)当m ＝4时，
双曲线方程化为－＝1，
所以a ＝2，b ＝，c ＝3， 所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，
渐近线方程为y ＝±x .
(2)因为e 2＝＝
＝1＋，e ∈，
所以<1＋<2，
解得5<m <10，
所以实数m 的取值范围是(5,10)．
21.(1)解 由已知，x ＝4不合题意．设直线l 的方程为
y ＝k (x －4)，
由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，
因为点F 到直线l 的距离为
， 所以＝， 解得k ＝±，所以直线l 的斜率为±.
(2)证明 设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
因为AB 不垂直于x 轴，
则直线MN 的斜率为，直线AB 的斜率为
， 直线AB 的方程为y －y 0＝
(x －x 0)， 联立方程消去x ，得
y 2－y 0y ＋y ＋x 0(x 0－4)＝0，
所以y 1＋y 2＝，
因为N 为AB 的中点，
所以＝y0，即＝y0，
所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.
22.(1)解设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，
所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.
(2)证明因为y＝2px1，y＝2px2，
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
所以y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．。