向量的长公式和中点公式时

高二数学空间向量运算的坐标表示

3.1.5空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时，的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则

平面向量公式

平面向量公式1.向量三要素：起点，方向，长度2.向量的长度=向量的模3.零向量：⎩⎨⎧方向任意长度为.20.14.相等向量：⎩⎨⎧长度相等方向相同.2.15.向量的表示：AB ()始点指向终点6.向量的线性加减运算法则：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=+终点指向始点始点指向终点，CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积：()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=⋅ 5.a b b a ⋅=⋅ 6.()()b a b a ⋅⋅=⋅λλ 7.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 注；()()c b a c b a ≠⋅8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得:a b λ=9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x a⇒yx22+=()2已知；A ()y x 11+，B ()y x 22+⇒()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=--=--y y x x y y x x AB 12122,.1221212()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,=()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=•±±=±⇒和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=⇔01221=⋅-⋅y x y x (横纵交错乘积之差为0）()5已知；已知；()y x a 11,=⊥()y x b 22,=02121=⋅+⋅⇔y y x x （对应坐标乘积之和为0）10.数量积ba ⋅等于ab 在a 的方向上的投影θcos ⋅的乘积：θcos =⋅b a()的夹角与为b a θ变形⇒b a =θcos11.线段的定比分点：设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p p 21,上的任意两点；即有：p p p p 21λ=⎪⎩⎪⎨⎧⇒<⇒>外在点内在点p p p p p p 212100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。

向量及向量的基本运算

有且只有一个实
6)平面向量的基本定理
如果 e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那
么对这一平面内的任一向量，a 有且只有一对实
数
1 ,
2使：a
1e1
2e2
其中不共线的向量
e1, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
例1、判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若 a b ,则a b
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(((567)))两若若a相a /等/ bb向，，量bb若//共cc，，起则则点,aa则//终cc点也；相同
(8) 四边形ABCD是平行四边形,则AB CD, BC DA
(9a)已=（知1A，（2）3，平7移）后，得B（到5的，向2）量，A将BA的B按坐向标量为
（(103），a－ 3b）的充要条件是|
a
||
b
|
且a
//
b
；
例2: 已知G是△ABC的重心，求证：
GA GB GC 0
练习、如图平行四边形ABCD的对角线OD，
AB相交于点C，线段BC上有一点M满足 BC=3BM，线段CD上有一点N满足CD＝3CN，设 OA a,OB b,试用a,b表示OM,ON, MN
向量及向量的基本运算
1）向量的有关概念
①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用
a,
b,
c
来表示，或用有向线段的起点与终点的大
写字母表示，如：AB 。向量的大小即向量的模（
长度），记作| AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为 0 ，其方向是任
意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别>

向量的长度和中点公式

向量的中点公式的应用
总结词
向量中点公式在几何、物理和工程等领域有广泛应用。
详细描述
向量中点公式在几何、物理和工程等领域有广泛的应用。在几何学中，向量中点公式可以用于计算线段的中点坐标，进而用于计算其他几何量，如线段的长度、角度等。在物理学中，向量中点公式可以用于计算质点的速度和加速度等物理量。在工程学中，向量中点公式可以用于计算结构的中点位置，进而用于分析结构的稳定性和受力情况。
向量的中点公式在解析几何中的应用
1 2
两点间距离公式
向量的中点公式可以用来计算两点间的距离，即中点公式可以用来求取两点间的距离。
三角形面积公式
利用向量的中点公式可以推导出三角形的面积公式，即通过三个顶点的坐标来计算三角形的面积。
3
多边形面积公式
利用向量的中点公式可以推导出多边形的面积公式，即通过多边形的顶点坐标来计算多边形的面积。
向量的模与向量的夹角
两个非零向量的夹角θ的正弦值等于这两个向量的数量积除以这两个向量模的乘积，即sinθ = (a · b) / (|a| × |b|)。
向量长度在几何中的应用
距离公式
在二维平面或三维空间中，两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离公式为d = |AB| = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
02
向量的中点公式
02
向量的中点公式
向量的中点公式定义
总结词
向量中点公式是用于计算向量中点的坐标的公式。
详细描述
给定向量$overrightarrow{AB}$的两个端点A和B的坐标，中点M的坐标可以通过向量中点公式计算得出，即$M(x,y) = (frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$是点A的坐标，$(x_2, y_2)$是点B的坐标。

中线长公式向量证明

中线长公式向量证明中线是一个几何概念，指的是一个三角形内连接一个角的顶点和对边中点的线段。

在证明中线长的公式时，我们可以使用向量的方法来进行推导。

假设三角形ABC的顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)。

我们需要证明中线的长度与向量的关系。

首先，我们可以根据向量的定义，得到三角形的两边向量AB和AC：AB=(x2-x1,y2-y1)AC=(x3-x1,y3-y1)因为中线连接了顶点A和对边BC的中点，所以中线的向量可以表示为：M=(x-x1,y-y1)其中，M表示中线向量的坐标，(x,y)表示对边BC的中点的坐标。

我们可以使用向量线性组合求解中线向量的坐标。

由于中线连接了对边的中点，所以中线向量与AB和AC的和等于0：M+AB+AC=(0,0)代入AB和AC的向量表达式，得到：(x-x1,y-y1)+(x2-x1,y2-y1)+(x3-x1,y3-y1)=(0,0)合并同类项，可以得到：(x-x1+x2-x1+x3-x1,y-y1+y2-y1+y3-y1)=(0,0)进一步合并同类项，得到：(3x-3x1+x2+x3,3y-3y1+y2+y3)=(0,0)由于等式左边的表达式与等式右边的表达式都是零向量，所以它们的每个分量都等于零。

我们可以分别将x和y的系数设置为零，并解得：3x-3x1+x2+x3=0(1)3y-3y1+y2+y3=0(2)接下来，我们可以使用向量的模的定义来求解中线的长度。

中线向量M的模可以表示为：M， = sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2]而根据中线的定义，我们已经知道中线M连接了顶点A和对边BC的中点，所以可以设(x,y)为对边BC的中点的坐标，即：(x,y)=((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)代入上述表达式，可以得到：M， = sqrt[((x2 + x3) / 2 - x1)^2 + ((y2 + y3) / 2 - y1)^2]再进一步展开和化简，得到：M， = sqrt[(x2^2 + 2x2x3 + x3^2 - 2x2x1 - 2x3x1 + x1^2)/4 + (y2^2 + 2y2y3 + y3^2 - 2y2y1 - 2y3y1 + y1^2)/4]继续化简，得到：M， = sqrt[(x2^2 + x3^2 + x1^2 - 2x2x1 - 2x3x1 + 2x2x3)/4 + (y2^2 + y3^2 + y1^2 - 2y2y1 - 2y3y1 + 2y2y3)/4]继续合并同类项，得到：M， = sqrt[(x2^2 + x3^2 + x1^2 - 2(x2x1 + x3x1 - x2x3))/4 + (y2^2 + y3^2 + y1^2 - 2(y2y1 + y3y1 - y2y3))/4]再进一步进行化简，可以得到：M， = sqrt[(x1^2 + x2^2 + x3^2 + 2x2x3 - 2x2x1 - 2x3x1)/4 + (y1^2 + y2^2 + y3^2 + 2y2y3 - 2y2y1 - 2y3y1)/4]再次合并同类项，得到：M， = sqrt[(x1^2 + x2^2 + x3^2 + 2(x2x3 - x2x1 - x3x1))/4 + (y1^2 + y2^2 + y3^2 + 2(y2y3 - y2y1 - y3y1))/4]接下来，我们需要计算(x2x3-x2x1-x3x1)和(y2y3-y2y1-y3y1)。

向量及向量的基本运算

(A)a=b (B)a∥b (C)a⊥b (D)|a|=|b|
4.下列算式中不正确的是( (A) AB+BC+CA=0 (C) 0· AB=0
B )
(B) AB-AC=BC (D)λ(μa)=(λμ)a
5. 已知正方形 ABCD 边长为 1 ， AB=a,BC=b,AC=c, 则 a+b+c 的模等于( C ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2
2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 a b+ AB ，则 = BC AC = AB a, BC b 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边 0a 0 a 形法则”。说明：（ 1a ）；（2）向量加法满足交换律与结合律；
【课堂小结】 1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理
5)两个向量共线定理 a 向量 b与非零向量共线实数，使得 b = a 。

有且只有一个
例1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 a b , 则a b (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点 ,则终点也相同 a c (6)若a ，，则； b b c (7)若a // b ，b // c ，则 a // c (8) 四边形ABCD是平行四边形,则 AB CD, BC DA (9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB按向量 a =（1，2）平移后得到的向量 AB 的坐标为（3，－3 ） (10） a b 的充要条件是| a || b | 且 a // b ；

几何线段的中点与向量运算

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向量表示：向量中点等于两个端点向量的平均值
实例：利用向量运算求出三角形 ABC的重心坐标
中点定理的向量证明方法
定义：中点定理是指在一个线段上，中点处的向量等于两个端点处向量的平均值。
证明方法：通过向量加法和减法，以及向量模长的性质，可以证明中点定理的向量形式。
三角形中线定理：中线长度等于基底的一半
梯形中位线定理：中位线长度等于上下底之和的一半
中点四边形：任意四边形的中点四边形是平行四边形
中点定理及其证明
定义：线段的中点是线段上的一点，它平分该线段的两个端点之间的距离。
定理：对于任意线段AB，存在一点M，使得AM=MB。
证明：取AB的中点M，连接AM和BM，由于AM+MB=AB，且AB为定长，所以AM和MB的和为定值。应用：中点定理在几何学中有着广泛的应用，例如在三角形中，任意一边的中点与该边所对的顶点的连线平分该边所对的另一边。
03 向量运算基础
向量的定义与表示
Байду номын сангаас
向量是具有大小和方向的量，表示为有箭头的线段
向量的模表示其大小，计算公式为：|a| = √(x^2 + y^2)
向量的表示方法有多种，如坐标表示法、有序实数对表示法等
单位向量是指模为1的向量，表示为：i=(1,0)， j=(0,1)
向量的加法与数乘
即 |(a,b,c)|=(|a×b|·|c| )sinθ，其中θ是c与
a×b之间的夹角。
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向量的向量积与向量的混合积在几何中的应用：向量的向量积可以用于描述旋转和方向，而向量的混合积可以用于描述体积

向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由A 到B 的向量. A 为向量的起点，B 为向量的终点）.向量AB（或a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的注意0与0的区别③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1 下列各量中不是向量的是（ DA.浮力B.风速C.位移D.密度例2 下列说法中错误．．的是（ A ）A.零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0C. D.例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A. B . C. D.2）向量坐标的有关概念① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i 和j .② 将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a =，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐标为(,)x y ，它在x 轴和y 轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+③ 向量的正交分解在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y .一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP ，容易推得122121()()PP x x i y y j =-+-，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --. 3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，R λ∈则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4）向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm .22a x y =+.注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4 已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP ==，求点P 的坐标.解：点P 的坐标为612(,)55- 或 612(,)55--. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--=，求a 、b 的坐标. 解：(1,2),(2,1)a b =-=-- 例6 设向量,,,,a b c R λμ∈，化简：（1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+--；（2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++. 解：都为0.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知a 与b 为非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =，所以，向量平行的充要条件可以表示为：1221//().a b a b x y x y λλ⇔=⇔=其中为非零实数例7 已知向量(2,3)a =-，点(2,1)A -，若向量AB 与a 平行，且213AB =，求向量OB 的坐标.解：OB 的坐标为(6,7)- 或 (2,5)-.3. 定比分点公式1）定比分点公式和中点公式① 12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ，使P P 1=2PP λ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：(内分) λ>0 (外分) λ<-1 (外分) -1<λ<0② 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是直线l 上任一点，且P P 1=2PP λ(,1)R λλ∈≠.P 是直线12P P 上的一点，令(,)P x y ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这个公式叫做线段12P P 的定比分点公式，特别地1λ=时，P 为线段12P P 的中点，此时121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，叫做线段12P P 的中点公式.注：① 12PP PP λ=⋅可得12PP PP λ=±⋅；② 当1λ=-时，定比分点的坐标公式121x x x λλ+=+和121y y y λλ+=+显然都无意义，也就是说，当1λ=-时，定比分点不存在2）三角形重心坐标公式设ABC ∆的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，G 为ABC ∆的重心，则12312333G G x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例8 在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =，求出P 的坐标.解：当P 在12P P 上时，(0,3)P ；当P 在12P P 延长线上，(8,15)P -.例9 已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得155(,)22P --.*方法提炼*几个重要结论1. 若,a b 为不共线向量，则a b +，a b -为以,a b 为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. 22222()a b a b a b ++-=+；3. G 为ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=123123(,)33x x x y y y G ++++⇔ 112233[(,),(,)(,)]A x y B x y C x y【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（ CA.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中,正确的结论为（ D (1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠bA. (1)(3)B. (2)(4)C. (3)(4)D. (1)(3)(4) 4. 已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）A. 点C 分AB 的比是-31B.点C 分BA 的比是-3C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是25. 已知两点1(1,6)P --、2(3,0)P ，点7(,)3P y -分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、y的值为（ C ）A －41，８ B.41 C －41，－８ D ４，816. △ABC 的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ A ）A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件. 答案：必要非充分8. 已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 . 答案：不共线9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=答案：2或2710. △ABC 的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C 点坐标为答案：(8,-4)11. 已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且18AMC ABC S S ∆∆=，则M 分AB 所成的比为答案：71【巩固提高】12. 已知点(1,4)A =--、(5,2)B ，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P 点的坐标以及,A B 分21P P 所成的比λ．解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-213. 过1(1,3)P 、2(7,2)P 的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值解：12514. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）15. 设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=,则（ B ） (A). 0PA PB += (B). 0PC PA += (C). 0PB PC += (D). +0PA PB PC +=16. 若平面向量,a b 满足1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则(1,1)(3,1)a =--或.17．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.AC →＝2AQ →＝2(PQ →－PA →)＝(－6,4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，BC →＝3PC →＝(－6,21)．18.已知O 为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OA m OB n OC =-==-若A,B,C 三点共线，且2m n =，求实数,m n 的值19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P 是直线AB 上一点，且1||||3AP AB =，求点P 的坐标.20. 已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且8||25m n +=，求cos()28θπ+的值。

1两点间的距离公式及中点公式

1两点间的距离公式及中点公式两点间的距离公式：在数学中，我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。

假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离可以用以下公式表示：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]其中，d代表两点之间的距离，还有(x2-x1)²和(y2-y1)²代表横纵坐标的差值的平方。

通过计算这两个平方差值的和再开根号，我们就可以得到两点之间的距离。

中点公式：中点是连接线段两个端点的线段上距离两个端点等距离的一个点。

我们可以使用以下公式来计算线段的中点：中点的横坐标（x）=(x1+x2)/2中点的纵坐标（y）=(y1+y2)/2其中，(x1,y1)和(x2,y2)分别代表线段的两个端点的坐标。

通过将两个端点的横坐标和纵坐标的均值计算出来，我们可以得到线段的中点的坐标。

下面，我们将详细介绍这两个公式及其推导过程。

1.两点间的距离公式的推导过程：假设有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来推导出两点间的距离公式。

首先，将AB看作一个直角三角形的斜边，点A的坐标可以表示为(x1,y1)，点B的坐标可以表示为(x2,y2)。

我们可以计算得到这个直角三角形的两个直角边的长度。

根据直角三角形的定义，直角边的长度可以通过相应坐标的差值来计算。

直角边的横坐标差值=x2-x1直角边的纵坐标差值=y2-y1接下来，我们可以计算这两个直角边的平方差值的和。

横坐标差值的平方=(x2-x1)²纵坐标差值的平方=(y2-y1)²将这两个平方差值相加，并计算和的平方根，我们可以得到两点间的距离。

d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]通过这个公式，我们可以计算出两点之间的距离。

2.中点公式的推导过程：中点可以看作是连接线段两个端点的线段上距离两个端点等距离的一个点。

假设线段的一个端点坐标为A(x1,y1)，另一个端点坐标为B(x2,y2)。

证明中点公式是二阶的

证明中点公式是二阶的中点公式是初中数学中的一个基本公式，它可以用于求解平面直角三角形中的各种问题。

中点公式的表述是：在平面直角三角形 ABC 中，D 是 AB 的中点，则有 BD+DC=BC。

中点公式的证明通常使用勾股定理和平方差公式，但这些证明方法都只能证明中点公式是一阶的，即只能证明 BD+DC=BC，但无法证明它是二阶的。

为了证明中点公式是二阶的，我们需要使用向量的知识。

在向量空间中，我们可以使用向量的加减法、数量积和向量积等运算来推导中点公式。

首先，我们可以将向量 AB 和 BC 分别表示为向量 OA 和 OB 的差向量，即 AB=OB-OA，BC=OC-OB。

由于 D 是 AB 的中点，所以向量AD 和 DB 的长度相等，即 AD=BD。

同理，向量 CD 和 DB 的长度也相等，即 CD=BD。

然后，我们可以将向量 AD、DB 和 DC 表示为向量 OA、AB 和 BC 的线性组合，即 AD=(1/2)OA+(1/2)AB，DB=(1/2)AB-(1/2)OA，DC=OC-OB。

将这些向量代入中点公式中，得到：BD+DC=BD+(OC-OB)=BD+OA+OB-2OA·OB=BD+AB+BC-2OA·OB=AB-2OA·OB+BC=AB+BC-2OA·OB=AC-2OA·OB=AC-2(OA·OB·cos∠AOC)=AC-2(AB·BC·cos∠AOC)其中，OA·OB·cos∠AOC 表示向量 OA 和 OB 的数量积，即它们之间的夹角余弦值。

由于∠AOC=90°，所以 cos∠AOC=0，因此OA·OB·cos∠AOC=0。

将这个结果代入上式中，得到：BD+DC=AC=(OA+OC)=OA+OC+2OA·OC=AB+BC+2OA·OC将 BD+DC=BC 代入上式中，得到：BC=AB+BC+2OA·OC-OA-OC-2OA·OC=AB-2OA·OC+BC-OC=AB-2OA·OC+AC-AB=AC-2OA·OC因此，中点公式可以表示为：BD+DC=AC-2(OA·OB·cos∠AOC)这个公式可以看作是中点公式的二阶形式，它不仅包含了BD+DC=BC 这个一阶形式，还包含了 OA·OB·cos∠AOC 这个二阶项。

数学向量的知识点

数学向量的知识点数学向量的知识点在日复一日的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点就是学习的重点。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是店铺帮大家整理的数学向量知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

数学向量的知识点11.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ数学向量的知识点21.平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a||b|cos 叫做a 和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab=|a||b|cos ，规定0a=0.2.向量数量积的运算律(1)ab=ba(2)(a)b=(ab)=a(b)(3)(a+b)c=ac+bc[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立.(1)ab=ac，则b=c吗?(2)(ab)c=a(bc)吗?提示：(1)不一定，a=0时不成立，另外a0时，ab=ac.由数量积概念可知b与c不能确定;(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等.数学向量的知识点31、平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB；向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

2021年数学向量知识点10篇

2021年数学向量知识点10篇数学向量知识点1数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

当0时，a与a同方向;当0时，a与a反方向;当=0时，a=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数，都有a=0。

注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。

实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍;当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(a)b=(ab)=(ab)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a.数对于向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律：①如果实数0且a=b，那么a=b。

②如果a0且a=a，那么=。

数学向量知识点21、平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B 为终点的有向线段记作或AB；向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。

相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

2、平面向量运算加法与减法的代数运算：（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）则ab=（x1+x2，y1+y2）。

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律：+=+（交换律）；+（+c）=（+）+c （结合律）；实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

向量的长公式和中点公式时

二、新授课
1、向量的长度公式
a 一般地，已知向量的坐标是 (a1, a2 )
长度公式为：
a
a12 a22
a ，则根据勾股定理知向量的
如果已知平面上两点 (x1, y1), (x2 , y2 ) ，则
(x2 x2, y2 y1)
从而
(x2 x1)2 ( y2 y1)2
这是平面上两点间的距离公式。
由中点的向量表达式
OM 1 (OA OB).
2
容易得到线段AB的中点M的坐标是
( x1 x2 , 2
y1 y2 ). 2
即
x x1 x2 , y y1 y2 .
2
2
这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式.
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例题讲解：
例3：
已知点A(1,3),点B(5,11), 求线段AB的中点坐标.
例4：求点A(2,7)关于点M (5பைடு நூலகம்2)的对称点A的坐标.
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跟踪练习：
课本67页：5,6
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三、课堂小结：
1）平面向量的长度公式； 2）平面上任意两点间的距离公式； 3）中点公式.
四、布置作业： P67 3、4、5
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结束，谢谢！
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谢谢您的观看！
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例题讲解
例1：
已知a
(4,3),b
(6,8),求
a
,
b
,
a
b
,
a
b
.
例2：
已知两点 3,9,(2,4), 求,之间的距离.
第3页/共10页
跟踪练习：
课本67页：1，2，3

高中数学第六章平面向量初步两点间的距离中点坐标公式及向量平行课件新人教B版必修第二册

m＝9.
4．已知点A(2，－4)，B(2，3)，则|AB|＝(
A．1
B．7
C． 17
D． 15
)
答案：B
解析：因为点A(2，－4)，B(2，3)，所以AB＝(0，7)，所以|AB|＝ 02 + 72 ＝7.
课堂探究·素养提升
题型1 直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式
例1 (1)求线段AB的中点坐标：
Ԧ
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数
“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、
程序化的特征．
x1 y 1
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形
x2
y2
式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
为(5，6)．
所以y＝－9.
方法归纳
判断向量(或三点)共线的三个步骤
跟踪训练3 设向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(10，k)，求当
k为何值时，A，B，C三点共线．
方法一
方法二
由已知求AB，AC，利用AB＝λAC，求k.
AB与AC共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.
题型4 向量共线的应用[经典例题]
①求|AB|的值；
②若点C满足AB＋3BC＝0，求点C坐标．
【解析】 ①因为AB＝(－5，12)，
所以|AB|＝ −5 2 + 122 ＝13；
②设点C的坐标为(x，y)，
则BC＝(x＋3，y－11)．
由AB＋3BC＝(3x＋4，3y－21)＝0，
4
3x + 4 = 0，
x=− ，

向量的长度公式和中点公式

aM
x
OP a2 b2 OP
（Ax1，y1）
探究新知
若a=（a，b），则 a a2 b2
若给定某向量的横、纵坐标，则向量的长度即横、纵坐标的平方和开算术平方根
试一试：
1、若b=（-6，8），则 b 10 2、若AB=（3，4），则 AB 5
探究新知
y
探究问题:
如何求出向量AB的坐标呢
由线段的中点公式知
2 x0
7 5,
y0
2.
2
2
解得x0 8, y0 11.
对称点的问题转化为中
点问题
所以点A的坐标是（8，- 1 3、学生板演，师批改 5、学生抢答完成
课堂小结
1、已知向量 a的坐标是（ a1, a2 ),向量a的长度公式为
2
2
布置作业
1、已知y轴上一点A，与点B（5，12）间的距离为13，求A的坐标。（注意考虑如何设点A的坐标） 2、求点A（-1,8）关于点M（2,3）的对称点A´的坐标。（应用中点公式）
向量的减法：
0
AB = OB - OA
P（x，y）（x2，y2） B
x
A （x1，y1）
探究新知终点坐标减始点坐标
解：∵ AB = OB - OA
坐
标的
=（x2，y2）-（x1，y1）
运算
∴ AB=(x2-x1,y2-y1)
向量的长度即两点间距离公式:
AB AB
(x
2x
)2
1

(
由中点公式可知
x x1 x2 1 5 2,
2
2
y y1 y2 3 (11) 4.

空间向量及其运算的坐标表示

平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理：如果e1 , e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .

高三数学平面向量向量及向量的基本运算

4)实数与向量的积 a ①实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ ，它的长度与方向规定如下： a a ；（Ⅰ） a a （Ⅱ）当时 0 ,λ 的方向与的方向相同； a a 当时，的方向相反；当时 0 λ 的方向与， 0 ，方向是任意的。 a 0 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
、 OB 不共线，变一：设 OA
求证： A、 B P 三点共线。 OP ＝OA ＋、 OB 且 1, 、 R
1 1 说明：当时， OP＝ (OA＋OB) ，此 2 2 时P为AB的中点，这是向量的中点公式。
e1 , e2 是不共线的向量,已知向量, 练习、设
例2: 已知G是△ABC的重心，求证：
GA GB GC 0
练习、如图平行四边形ABCD的对角线 OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足 BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN, 设 OA a, OB b,试用a, b表示OM, ON, MN
例3（同课本）：设 OA 、 OB 不共线，点P在 OP ＝OA ＋OB 且 1, 、 R 。 AB上，求证：
5)两个向量共线定理 a 向量 b与非零向量共线实数，使得 b = a 。

有且只有一个
6)平面向量的基本定理如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量， a ，有且只有那么对这一平面内的任一向量 , a e e 一对实数使： 1 2 1 1 2 2 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
t
何值时，a t b 念 : ①向量②零向量③ 单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平面向量的基本定理, 基底