同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案

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2021高考数学一轮复习统考第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式学案(含解析)北师大版

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式基础知识整合1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02tan α＝sin αcos α.2．六组诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos αcos α余弦 cos α －cos α cos α－cos αsin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α －tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z ； sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.1．(2019·成都一诊)cos(－1560°)的值为( ) A ．－32B ．－12C.12D ．32答案 B解析 cos(－1560°)＝cos(－5×360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.2．(2019·陕西咸阳模拟)若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( ) A ．－24B ．24C ．－2 2D ．2 2答案 C解析由已知得sin α＝－1－cos 2α＝－1－19＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝－22，选C.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D ．π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．若tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为( )A.m ＋1m －1 B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1答案 A解析 ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m .原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.故选A.5．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a2aB ．1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 2答案 B解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案－255解析因为α是第二象限的角，所以sin α>0，cos α<0，由tan α＝－12，得sin α＝－12cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，得54cos 2α＝1，所以cos α＝－255.核心考向突破考向一诱导公式的应用例1 (1)计算：sin(－1200°)cos1290°＝________. 答案 34解析原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin60°cos30°＝32×32＝34. (2)化简：tan π＋αcos 2π＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos －α－3πsin －3π－α＝________.答案－1解析原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos 3π＋α[－sin 3π＋α]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(3)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－1－cos275°＋α＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.1．诱导公式的两个应用方向与原则(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.[即时训练] 1.计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．12－32答案 A解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－12－cos π3＝－12－12＝－1. 2．(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为( )A.223 B ．23C.26D ．526答案 A解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝223，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝223.故选A.3．化简：－2sin π－αcos π－α－cos π－α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.解原式＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α ＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α＝1tan α. 精准设计考向，多角度探究突破考向二同角三角函数的基本关系角度1 切弦互化例2 (1)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45B ．－45C.35 D ．－35答案 B解析由tan(α－π)＝34，得tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，cos α＝－45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.(2)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α的值为( )A.32B ．－32C.12 D ．－12答案 B解析因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cos α，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又因为－π2＜α＜0，所以sin α＝－32.故选B.同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tan α＝sin αcos α和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α.[即时训练] 4.(2019·梅州模拟)已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于( )A.13 B ．31010C.377D ．355答案 B解析因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910.又因为α为锐角，故sin α＝31010.故选B.5．(2019·山东枣庄调研)已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝45，则tan α＝________.答案－43解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝45，∴sin α＝45，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.角度2 “1”的变换例 3 (2019·沧州七校联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2答案 A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.对于含有sin 2x ，cos 2x ，sin x cos x 的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2x ＋cos 2x ”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．[即时训练] 6.(2019·佛山模拟)已知tan α＝2，则 (1)3sin α－2cos αsin α＋cos α＝________；(2)23sin 2α＋14cos 2α＝________. 答案 (1)43 (2)712解析因为tan α＝2，所以， (1)原式＝3tan α－2tan α＋1＝3×2－22＋1＝43.(2)原式＝23·sin 2αsin 2α＋cos 2α＋14·cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝23·tan 2αtan 2α＋1＋14·1tan 2α＋1 ＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712. 角度3 sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例4 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)(2019·江苏模拟)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.答案－3125解析由平方关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，且cos θ<0，解得cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为 (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， (sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ， (sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．[即时训练] 7.(2019·济南模拟)若1sin α＋1cos α＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 答案 A解析由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1.故选A.8．(2019·淮南模拟)已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7B ．7 C. 3 D ．－ 3 答案 A解析因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72. 所以1－tan α1＋tan α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.故选A.1．(2019·深圳模拟)已知△ABC 为锐角三角形，且A 为最小角，则点P (sin A －cos B,3cos A －1)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析因为A 为△ABC 的最小角，所以A <π3，所以12<cos A <1，所以3cos A －1>12>0.因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，即sin A －cos B >0，所以点P 位于第一象限．故选A.2．在△ABC 中，cos 2A ＋B2＋cos 2C2的值为________．答案 1解析 ∵在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，∴A ＋B 2＝π2－C2，∴cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，∴cos2A ＋B2＋cos 2C2＝1.答题启示诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B2＝sin C2等．对点训练1．已知△ABC 是锐角三角形，则点P (cos C －sin A ，sin A －cos B )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵在锐角△ABC 中，A ＋C >π2，∴C >π2－A ，∴cos C <cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin A ，∴cos C －sin A <0，同理可得sin A －cos B >0，∴点P 在第二象限，选B.2．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解由题中条件，可知sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，两式平方并相加，得sin 2A ＋3cos 2A ＝2sin 2B ＋2cos 2B ，整理，得cos 2A ＝12，即cos A ＝±22. 若cos A ＝22，则cos B ＝32，即A ＝45°，B ＝30°，C ＝105°；若cos A ＝－22，则cos B ＝－32，即A ，B 两角均为钝角，不符合三角形内角和是180°的公理．所以△ABC 的三个内角分别为A ＝45°，B ＝30°，C ＝105°.。

同角三角函数的基本关系式及诱导公式预习学案

同角三角函数的基本关系式及诱导公式预习学案命题人:高玲审核人:石金兰时间：2011.09.29班级姓名学号面批时间【考纲要求】1.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 【基础知识梳理】1.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π+α.2.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为-α(或2π-α).3.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π-α.4.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为2π-α.5.诱导公式 (1)公式一sin(α+k ·2π)=----------------------, cos(α+k ·2π)=----------------------, tan(α+k ·2π)=----------------------,其中k ∈Z. (2)公式二sin [(21)]k πα++=----------------------, cos [(21)]k πα++=----------------------, tan [(21)]k πα++=----------------------.(3)公式三sin(-α)=----------------,cos(-α)=----------------,tan(-α)=----------------. (4)公式四sin(π-α)=----------------------, cos(π-α)=----------------------, tan(π-α)=----------------------.口诀： (5) 公式五sin(2π-α)=---------------------,cos(2π-α)=---------------------.(6)公式六sin(2π+α)=---------------------,cos(2π+α)=---------------------.口诀：6.特殊角的三角函数值：06432ππππ、、、、7.平方关系：；商数关系：；倒数关系： . 【预习自测】1．cos300o 等于（）.A 1.2B - 1.2CD 2. α是第四象限角,tan α=-512,则sin α=( ) A.15 B.- 15 C.513 D.- 5133.若β[)0,2π∈,β-cos β,则β的取值范围是( )A.0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.已知sin()2m πα+=，则cos()πα-= .5.（2011年高考重庆卷文科12)若3cos 5a =-,且3(,)2a ππ∈，则tan a = .6.若sinA=45,且A 是三角形中的一个内角,则5sin 815cos 7A A +-的值为 .7.化简: (1)sin(2)tan()tan()cos()tan(3)πααπαππαπα-+----;(2)3sin()cos()tan()222ππααπα+⋅-⋅-。

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系（2）商数关系（3）倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值（2）已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1）化简()f α（2）若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值（3）若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。

数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理

4。

2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。

同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。

(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。

2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。

特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。

( ）（2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。

( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（）2。

(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（）A 。

2B 。

32C.1D.123。

(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。

-12C 。

√32D.-√324。

函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。

北师大版4.2.1同角三角函数的基本关系及三角函数诱导公式导学案

cos( )=________________ (k∈Z)
规律：_______________________________________
3．同角三角函数的关系式的基本用途：
根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．
4．诱导公式的作用：
诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．
【导学释疑】
例1.已知 = ,且α是第二象限角，求cosα，tanα的值
变式训练1已知tanα= ,求sinα, cosα的值
【检测反馈】
1已知，且，则的值是
2 的值等于（）.
3若，则 _________________．
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思
公式四sin( +α)=______________
cos( +α)=______________ (k∈Z)
tan( +α)=______________
公式五sin( )=________________
cos( )=________________ (k∈Z)
公式六sin( )=________________
公式二sin(-α)=______________Байду номын сангаас
cos(-α)=______________ (k∈Z)
tan(-α)=______________
公式三sin( -α)=______________
cos( -α)=______________ (k∈Z)
tan( -α)=______________
安边中学高三年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第24课时

导学案018同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系式和诱导公式考纲要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x ． 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考情分析1.利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点．2.主要以选择题、填空题的形式考查. 教学过程基础梳理：一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：________. 2．商数关系： ________.对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”双基自测1．sin 585°的值为 ( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．(教材习题改已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( ) A ．－π6B ．－π3 C.π6D.π33．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为 ( )A ．0 B.34 C ．1 D.544．(2011²重庆高考)若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．典例分析考点一：同角三角函数的基本关系[例1] (2011²大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.变式1若例1中条件变为“若sin θ＝－45，tan θ>0”，则cos θ＝________.[例2] (2012²温州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 ( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2变式2(2011²杭州师大附中月考)如果f(tan x)＝sin2x －5sin xcos x ，那么f(5)＝________. 方法总结：1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.考点二：诱导公式[例3] (2012²衢州模拟)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝1log 3aa(a >0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为 ( )A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010变式3.(2012²聊城模拟)已知f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，f(2 011)＝ 5，则f(2 012)＝( )A ．3B ．5C ．1D ．不能确定方法总结;利用诱导公式化简求值时的原则 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90° 的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.考点三：三角形中的诱导公式 [例4] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．变式4.△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.方法总结：1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π； A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．[考题范例](2012·九江调研)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为 ( ) A ．－3或－33 B ．－33 C ．－ 3 D ．－32 法一：由sin θ＋cos θ＝3－12两边平方得sin θ·cos θ＝－34，由sin θ·cos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33，由于θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1， ∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，|sin θ|>|cos θ|，∴|tan θ|>1，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴tan θ<－1，∴tan θ＝－33，舍去．故tan θ＝－ 3. 法二：由sin θ＋cos θ＝3－12，两边平方得sin θ·cos θ＝－34，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋32＝4＋234＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋122， ∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝3＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3－12sin θ－cos θ＝3＋12得sin θ＝32，cos θ＝－12.∴tan θ＝－3.一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．本节检测1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<02．(2012²临沂一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 33．(2012²淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cosα＝( )A ．－15 B.15 C ．－75 D.754．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.235．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 6．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.自我反思。

(经典整理)同角三角函数的基本关系及诱导公式与两角和差

（一）同角三角函数的基本关系及诱导公式一、【课标要求】1.掌握同角三角函数的基本关系式，掌握公式中“1”的作用。

2.掌握诱导公式，并能进行化简求值。

二、【知识回顾】1．同角三角函数关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商的关系：sin tan cos ααα=（3）sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅三者之间，知一可求二，关键是利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±的变形2．诱导公式诱导公式一：sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，tan(2)k απ+= ，k Z ∈诱导公式二：sin()α-= ，cos()α-= ，tan()α-= ，诱导公式三：sin()πα+= ，cos()πα+= ，tan()πα+= ，诱导公式四：sin()πα-= ，cos()πα-= ，tan()πα-= ，诱导公式五：sin()2πα+= ，cos()2πα+= ，诱导公式六：sin()2πα-= ，cos()2πα-= ，口决：“奇变偶不变，符号看象限”。

形式：将角的形式化为：()2k k Z πα⋅±∈,不管α是多大，统统看成锐角，诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为：31. 化简三角函数式的的一般原则①函数种类尽量少、指数尽量低、项数尽量少 ②尽量化成同名、同角的三角函数③大角化小角、负角化正角，化到锐角就终了 ④化切为弦 ⑤注意“1”的作用【例题精讲】考点一：同角三角函数的基本关系例1.已知sin 2cos αα=，求下列各式的值：（1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+ （2）2sin 2sin cos ααα+例2.已知tan 1tan 6αα=--，求下列各式的值：（1）213sin cos 3cos ααα-+ （2）2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+考点二：三角函数式的求值例3.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos()2f παπαπααπαπα+--=----（1）若1860α=-，求()f α （2）若33cos()25πα-=，求()f α的值。

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案教学目标：1.掌握同角三角函数的基本定义及其性质；2.理解同角三角函数之间的基本关系；3.利用同角三角函数的基本关系和诱导公式解决实际问题。

教学重点：1.同角三角函数的基本定义的理解与应用；2.同角三角函数之间的基本关系的掌握与应用。

教学难点：1.同角三角函数的基本关系的推导过程；2.同角三角函数的应用问题的解决。

教学过程：一、复习1.让学生回顾三角函数的基本定义及其性质。

二、引入1.提问：在之前的学习中，我们已经学习了不同角度上的三角函数，那么，如果两个角度相等，它们的三角函数是否相等呢？2.引导学生思考：同角三角函数指的是角度相同的两个三角函数。

根据角度相等，我们可以猜测同角三角函数之间可能存在一些关系。

三、同角三角函数的基本关系1.讲解：让我们回忆一下，三角函数中的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、余切这七个函数，它们分别由一个角所决定，对应在单位圆上的点的坐标值。

2.补充：这七个函数之间存在一些基本关系。

让我们来总结一下：- 正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)；- 余切函数：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)；- 正割函数：sec(θ) = 1 / cos(θ)；- 余割函数：csc(θ) = 1 / sin(θ)；- 隐含关系：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1；- 隐含关系：1 + tan^2(θ) = sec^2(θ)；- 隐含关系：1 + cot^2(θ) = csc^2(θ)。

四、同角三角函数的诱导公式1.引导学生思考：从上述的基本关系中，我们是否可以得到其他同角三角函数之间的关系呢？2.讲解：根据角度和三角函数的性质，我们可以推导出同角三角函数的诱导公式。

- sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)- cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)- tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)3.通过推导一些简单的例子，进一步巩固同角三角函数的诱导公式。

同角三角函数的基本关系与诱导公式导学案

开启高考成功之门，钥匙有三：勤奋的精神；科学的方法；良好的心态。

课题：同角三角函数的基本关系与诱导公式主备课人：审核人：授课时间：2014年12月1日高三年级班级：小组：姓名：考点分析：1、考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；2、利用公式进行三角函数的求值和化简.学习目标：1、理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式，特别要对诱导公式的口诀理解透彻；2、通过训练加强公式运用能力的培养，寻找化简求值中的规律.一、回扣教材自主学习:1. 同角三角函数的基本关系：平方关系；商数关系。

2.六组诱导公式及记忆方法： .3．Sin （- 585°）的值为__________.4．已知sin(π＋θ)＝－3(cos2π－θ)，|θ|<π2，则θ=__________. 5．=>-=θθθcos ,0tan ,54sin 则若__________. 6.如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是__________．二、题型归类深度剖析考点一同角三角函数关系式的应用例1：已知:,2tan 则=α （1）=+-ααααcos sin cos 3sin （2）=+αααcos sin sin 2 ；方法小结：通关训练1：已知21cos sin cos sin =-+αααα，求α2tan 的值。

考点二诱导公式的应用 ).23sin()25sin()sin()2sin(),2sin(2)2cos(2 απαππαπαπααπ-∙+--∙--=+求：已知例方法小结：开启高考成功之门，钥匙有三：勤奋的精神；科学的方法；良好的心态。

通关训练2：化简：)sin()cos()23sin()2cos()tan(αππααπαπαπ-------考点三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用例3：.51cosx sinx ,0=+<<πx 已知的值求cosx sinx )1(∙；.cosx sinx )2(的值求- 的值求xx x tan 1sin 22sin )3(2-+.方法小结：通关训练3：若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形三、课堂检（见课件）四、作业布置：A 组B 组五、心得感悟：本节课你学到了哪些知识和方法？。

高考数学复习知识点讲解教案第22讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

sin
（2）
5
−
π
1
[2023·全国乙卷] 若 ∈ 0, ,tan = ,则sin − cos =_______.
5
2
2
sin
1
[解析] 方法一：因为tan =
= ，所以cos = 2sin ，
cos
2
1
2
2
2
代入sin + cos = 1得sin = ，
5
π
5
2 5
5
因为 ∈ 0, ，所以sin = ，则cos =
，所以sin − cos = − .
2
5
5
5
2sin cos
2tan
2
方法二： sin − cos = 1 − 2sin cos = 1 − 2
=1−
2
sin +cos
1+tan2
1
π
π
cos
−cos
sin
−sin
_________
正切
tan
tan
_______
−tan
−tan
续表
公式一
口诀
记忆规
律
公式二
公式三
公式四
函数名不变，符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
公式五
公式六
函数名改变，符号
看象限
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形
2
2
（1）sin = 1 − cos = 1 + cos 1 − cos ;
3
π
2
+ = −cos =

高三数学第一轮复习 —同角三角函数的基本关系与诱导公式教案

城东蜊市阳光实验学校一．课题：同角三角函数的根本关系与诱导公式二．教学目的：1．掌握同角三角函数的根本关系式及诱导公式；并能运用这些公式进展求值、化简与证明．三．教学重点：公式的恰中选用及利用公式时符号的正确选取．四．教学过程：〔一〕主要知识：1．同角三角函数的根本关系式：〔1〕倒数关系：tan cot 1αα⋅=；〔2〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==；〔3〕平方关系：22sin cos 1αα+=．2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．〔二〕主要方法：1．利用同角三角函数的根本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；2．学会利用方程的思想解三角题，对于sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+⋅-三个式子中，其中一个式子的值，可求其余两个式子的值．〔三〕例题分析：例1．化简sin tan tan (cos sin )cot s c c ααααααα+-++ 分析：切割化弦是解此题的出发点．解：原式sin sin sin (cos sin )cos sin cos 1cos sin sin ααααααααααα+-=+=+．例2．化简〔1〕sin()cos()44ππαα-++；〔2〕32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值．解：〔1〕原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．〔2〕3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=， ∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==， ∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3．〔1〕假设tan α=，求值①cos sin cos sin αααα+-；②222sin sin cos cos αααα-+．〔2〕求值66441sin cos 1sin cos x x x x----．解：〔1〕①原式sin 1cos 3sin 1cos αααα+===---． ②∵2211cos 1tan 3αα==+，∴原式22cos (2tan tan 1)ααα=-+=．〔2〕∵66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )x x x x x x x x +=+-⋅+2222222(sin cos )3sin cos 13sin cos x x x x x x =+-⋅=-⋅．又∵442222222sin cos (sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x x x +=+-⋅=-⋅． ∴原式66441sin cos 31sin cos 2x x x x --==--．例4．sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两个根，322πθπ<<，求角θ．解：∵2sin cos 21sin cos 416(21)0m m m m θθθθ+=⎧⎪-⎪⋅=⎨⎪⎪∆=-+≥⎩，代入2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+⋅，得m =，又322πθπ<<，∴21sin cos 04m θθ-⋅=<，sin cos m θθ+==1sin 2θθ==，又∵322πθπ<<， ∴56πθ=．〔四〕稳固练习：1．假设(cos )cos 2f x x =，(sin15)f = 〔D 〕2．1sin cos (0)5αααπ+=-≤≤，那么tan α=34-．五．课后作业：高考A 方案考点25，智能训练4，6，7，9，10，12，15，16．。

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式教案

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式核心素养立意下的命题导向1.利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α正切 tan αtan_α－tan_α－tan_α[澄清盲点误点]一、关键点练明 1．(平方关系)若sin α＝55，π2<α<π，则cos α等于( ) A.55B ．－55 C ．－255 D.255答案：C2．(商数关系)已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．答案：33．(诱导公式)化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．答案：－sin 2α 二、易错点练清1．(忽视角所在的象限)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213答案：A2．(忽视诱导公式变名、变号的条件)计算下列各式的值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 3 3．(忽视对k 的讨论)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．解析：当k 为奇数时：A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. 当k 为偶数时：A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：{－2,2}考点一同角三角函数的基本关系考法(一) 知弦求弦、切或知切求弦[例1] (1)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k1－k 2D ．－k1－k 2(2)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512D ．－512[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .故选B.(2)法一：因为α为第四象限角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.[答案] (1)B (2)D [方法技巧]考法(二) 知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (1)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2 (2)已知0<α<π2，sin α＝45，则sin 2α＋2sin αcos αcos 2α＋1－2sin 2α的值为________．[解析] (1)∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3， ∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B. (2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35，∴tan α＝43.∴sin 2α＋2sin αcos αcos 2α＋1－2sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫432＋2×432－⎝⎛⎭⎫432＝169＋832－169＝16＋2418－16＝402＝20.[答案] (1)B (2)20 [方法技巧]“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．[提醒] 知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．考法(三) sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12(2)(多选)(2021·滨州模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论正确的是( )A ．sin θ＝45B ．cos θ＝－35C ．tan θ＝－34D ．sin θ－cos θ＝75[解析] (1)∵sin αcos α＝38，∴(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－12.(2)由题意知sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425<0，又∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－2425＝4925＝75， ∴sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝－43，∴A 、B 、D 正确．[答案] (1)D (2)ABD [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[针对训练]1．已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34B ．－34 C.43 D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D. 2．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825 C ．1D.1625解析：选A tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 3．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为( ) A.56 B ．－56C.43D.34解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a 3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.考点二三角函数的诱导公式[典例] (1)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． [解析] (1)因为f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. (2)因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. [答案] (1)3 (2)0 [方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错． [针对训练]1．sin 570°的值是( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2021·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝( ) A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2.故选D.3．已知f (α)＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－αtan (π＋α)－cos (π－α)2－14sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α＋cos (3π－α)＋cos (2π－α).(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝(cos αtan α＋cos α)2－1－4cos α－cos α＋cos α＝(sin α＋cos α)2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z .∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为⎝⎛⎭⎫－π6，π3.创新思维角度——融会贯通学妙法勾股数与同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高的勾股数有以下几组：(3,4，5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(1,1，2)，(1，3，2)，(1,2，5)，(1,3，10)等，熟悉它们之间的关系，能快速解决选填小题． 1．已知tan α＝34，sin α<0，则cos α＝( )A.35 B ．－35C.45D ．－45解析：选D 由tan α＝34，想到勾股数(3,4,5)，结合sin α<0，得cos α＝－45.2．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513B.513 C ．－125D.125解析：选C 由α是第四象限角，且sin α＝－1213，所以tan α＝－125.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，且|α|＜π2，则tan α＝( ) A ．－33B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝32，∴sin α＝－32. 又∵|α|<π2，∴－π2<α<0，∴cos α>0，tan α<0，∴tan α＝－ 3. [课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B.2．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3. 3．若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B.15C.35D ．－35解析：选D ∵tan α＝12，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α－11＋tan 2α＝－35.故选D. 4．(多选)在△ABC 中，下列关系恒成立的是( ) A ．tan(A ＋B )＝tan C B ．cos(2A ＋2B )＝cos 2C C ．sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝sin C 2D ．sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝cos C2解析：选BD tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，A 不正确；cos(2A ＋2B )＝cos [2(π－C )]＝cos(－2C )＝cos 2C ，B 正确；sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π－C 2＝cos C2，C 不正确，D 正确．5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值是( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13.故选A. 6．若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－43，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝( ) A.15 B ．－15C.75D ．－75解析：选C 由题意得，tan θ＝sin θcos θ＝－43，θ∈(0，π)，故sin θ>0，cos θ<0.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝45，cos θ＝－35.因此，sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos θ＋sin θ＝75. 二、综合练——练思维敏锐度1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12等于( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎣⎡⎦⎤3π2＋⎝⎛⎭⎫α－π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A.2．若θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ等于( ) A ．sin θ－cos θ B ．cos θ－sin θ C ．±(sin θ－cos θ) D ．sin θ＋cos θ解析：选A 因为1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2 ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A. 3．已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝( ) A.1517 B.1517 C ．－817D.817解析：选D sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cos α＝－1517，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817，即sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝817.故选D. 4．已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( ) A ．－35B ．－125C.35D.125解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A.5．(2021·潍坊一模)在平面坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP ―→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ ―→，则点Q 的坐标是( ) A ．(－2，1) B ．(－1，2) C ．(－3，1)D ．(－1，3)解析：选D 设以射线OP 为终边的角为α，以射线OQ 为终边的角为β，且β＝α＋π2，由题意可得sin α＝12，cos α＝32，结合三角函数的定义与诱导公式可得x Q ＝2cos β＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝－1，y Q ＝2sin β＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α＝3，即点Q 的坐标为(－1，3)．故选D.6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.7．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.8．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155解析：选AC ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，cos α＝±154，∴若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A 符合条件；若B 符合，则cos(π＋β)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－14，与cos(π＋β)＝14矛盾，故B 不符合条件；对于C ，tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，故sin β＝±154，即C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，故sin β＝±64，故D 不符合条件．9．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________. 解析：因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，由tan A ＝sin A cos A ＝23以及sin 2A ＋cos 2A ＝1，可求得sin A ＝2211. 答案：221110．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________. 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 答案：011．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝(－cos α)·(－sin α) ＝sin αcos α＝1225. ∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.联立⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4512．已知cos α－sin α＝5213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. (1)求sin αcos α的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338. (2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.。

第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1．(2)cos α2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k ·2π(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．和积互化变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.2．弦切互化变形：sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1，cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1，sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．()(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.()答案(1)×(2)×(3)×2．小题热身(1)已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝()A ．－35B ．35C ．－45D ．45答案A解析因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，故cos(π＋α)＝－cos α＝－35.故选A.(2)(人教B 必修第三册7.2.3练习B T2改编)已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝()A ．54B ．－54C ．53D ．－53答案A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.故选A.(3)下列三角函数的值中(k ∈Z )，与sin π3的值相同的个数是()①πk πk πcos (2k ＋1)π－π6；⑤sin (2k ＋1)π－π3.A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于①，πsin (k ＋1)π＋π3，当k 为奇数时，sin (k ＋1)π＋π3＝sin π3；当k为偶数时，sin (k ＋1)π＋π3＝－sin π3，不满足题意．对于②，k πcos π6＝sin π3满足题意．对于③，k πsin π3，满足题意．对于④，cos (2k ＋1)π－π6＝cosπ6＝－sin π3，不满足题意．对于⑤，sin (2k ＋1)π－π3＝sin π3，满足题意．故选C.(4)(人教A 必修第一册习题5.3T5改编)－α)的结果为________．答案sin α解析原式＝sin αcos α·cos α＝sin α.考点探究——提素养考点一同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)考向1“知一求二”问题例1已知角α的终边在第三象限，且tan α＝2，则sin α－cos α＝()A ．－1B ．1C ．－55D ．55答案C解析由角α的终边在第三象限，则sin α<0，cos α<0，2，cos 2α＝1，解得cos α＝－55，sin α＝－255，所以sin α－cos α＝－255＋55＝－55.故选C.【通性通法】利用同角基本关系式“知一求二”的方法注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．【巩固迁移】1．(2024·广东梅州模拟)已知cos α＝13，且α为第四象限角，则tan α＝()A ．－22B ．±22C ．±23D ．23答案A解析∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.故选A.考向2“弦切互化”问题例2已知tan θ＝2，则1sin 2θ－cos 2θ的值为()A ．34B ．23C ．53D ．2答案C解析由题意，得1sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θsin 2θ－cos 2θ＝tan 2θ＋1tan 2θ－1＝22＋122－1＝53.故选C.【通性通法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．【巩固迁移】2．(2023·苏州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋sin αcos α＝()A ．35B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.考向3sin α±cos α，sin αcos α之间关系的应用例3(2023·广东潮州模拟)已知π2<x <π，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．答案75解析由(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ＝125，得2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，因为π2<x <π，所以sin x >cos x ，故sin x －cos x ＝75.【通性通法】“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．【巩固迁移】3．(2023·山东聊城模拟)已知α－π2，sin α＋cos α＝55，则tan α的值为________．答案－12解析∵sin α＋cos α＝55，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝15，∴sin αcos α＝－25，∴sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝95＝(sin α－cos α)2，又sin αcos α<0，α－π2，α－π2，sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝355，∴sin α＝－55，cos α＝255，∴tan α＝－12.考点二诱导公式的应用例4()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案B解析原式＝－tan αcos α(－cos α)cos(π＋α)[－sin(π＋α)]＝tan αcos 2α－cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.故选B.(2)已知＝23，其中α________．答案－23解析－2π3＋＝－23.【通性通法】1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；(2)互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【巩固迁移】4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f (α)________．答案12解析因为f (α)＝－sin αcos αcos α－cos αsin α＝cos α，所以cos π3＝12.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用例5(1)已知＝13，且α则cos ()A ．13B ．－13C ．223D ．－223答案C解析由sin π＝13，而α，∴5π6－α－π6，＝223.故选C.(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝12，则tan θ＝________．答案－3解析因为sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以tan θ＋1tan θ－1＝12，解得tan θ＝－3.【通性通法】利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【巩固迁移】5．已知cos167°＝m ，则tan193°＝()A ．1－m2B ．1－m 2m C ．－1－m 2m D ．－m 1－m 2答案C解析tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－sin167°cos167°＝－sin167°m，因为cos167°＝m ，所以sin167°＝1－m 2，所以tan193°＝－1－m 2m.故选C.6．已知cos α＝－513，且α________．答案1312解析∵cos α＝－513，α∴sin α＝1－cos 2α＝1213，∴coscos(α＋＝cos α－cos α(－sin α)＝1sin α＝1312.课时作业一、单项选择题1．(2023·广西桂林模拟)sin9330°的值为()A ．22B ．－12C ．12D ．－22答案B解析sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－12.故选B.2．(2023·吉林长春质检)已知＝13，θ∈(0，π)，则tan θ＝()A ．22B ．24C ．－22D ．－24答案C解析依题意，得cos θ＝13，则cos θ＝－13.由于θ∈(0，π)，所以sin θ＝1－cos 2θ＝223，所以tan θ＝sin θcos θ＝－2 2.故选C.3．已知＝13，则cos ()A ．223B ．－223C ．13D ．－13答案D解析∵π4＋α＝π2，∴cos π2＋＝－13.故选D.4．(2023·江西南昌模拟)已知sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝()A ．－31010B ．－1010C ．31010D ．1010答案A解析∵sin(θ＋π)＝0，∴3cos θ－sin θ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－31010.故选A.5．若tan θ＝－2，则cos 2θ－sin 2θ＝()A ．－45B ．35C ．－35D ．45答案C解析解法一：由题意知tan θ＝－2，θ＝sin θcos θ＝－2，2θ＋cos 2θ＝1，解得cos 2θ＝15，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－(1－cos 2θ)＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.故选C.解法二：已知tan θ＝－2，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.故选C.6．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34答案B解析由题意，得sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3，所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.故选B.7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为()A ．3－π2B ．π2－3C ．π－3D ．3π2－3答案A解析tan α＝－2cos32sin3＝－又0<3－π2<π2，α为锐角，所以α＝3－π2.故选A.8．已知sin α＋cos α＝15，则tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝()A ．－17524B ．17524C ．－2524D ．2524答案C解析由题意知sin α＋cos α＝15，有2sin αcos α＝－2425，所以tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝tan α＋12sin α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αcos α·12sin α(sin α＋cos α)＝12sin αcos α＝－2524.故选C.二、多项选择题9．已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ－π3，θ的值可能是()A ．－π6B ．－π3C ．π3D ．5π6答案AD解析∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵θ－π3，θ＝－π6或θ＝5π6.故选AD.10．在△ABC 中，下列结论正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sinB ＋C 2＝cosA2C ．tan(A ＋B )＝－tanD ．cos(A ＋B )＝cos C 答案ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确；sinB ＋C2＝cos A2，B 正确；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C 正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．故选ABC.11．给出下列四个结论，其中正确的是()A ．sin(π＋|α|)＝－sin α成立的条件是角α是锐角B ．若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13C ．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝－1tan αD ．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1答案CD解析由诱导公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|sin α，α≥0，α，α<0，所以A 错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以B 错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝cos α－sin α＝－1tan α，所以C 正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1，故sin n α＋cos n α＝1，所以D 正确．故选CD.三、填空题12．已知＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________．答案－3解析∵＝32，∴－sin φ＝32，∴sin φ＝－32，∵|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝sin φcos φ＝－ 3.13．(2023·河南平顶山联考)已知tan θ＝2，则1＋sin θcos θ的值为________．答案75解析∵tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1＝22＋2＋122＋1＝75.14．(2023·全国乙卷)若θtan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________．答案－55解析因为θ则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.15．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a ，则()A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案D解析根据“数字黑洞”的定义，任取数字串2024，经过第一步之后变为404，经过第二步之后变为303，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a ＝123，所以cos π6＝－32.故选D.16．(多选)已知角α满足sin αcos α≠0，则表达式sin(α＋k π)sin α＋cos(α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值为()A ．－2B ．－1C ．2D ．1答案AC解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC.17．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－14，则下列角β中，可能与角α广义互余的是()A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案AC解析若α与β广义互余，则α＋β＝π2＋2k π(k ∈Z )，即β＝π2＋2k π－α(k ∈Z )．又由sin(π＋α)＝－14，可得sin α＝14若α与β广义互余，则sin β＝2k π－cos α＝±1－sin 2α＝±154(k ∈Z )，故A 正确；若α与β广义互余，则cosβ＝2k π－sin α＝14(k ∈Z )，而由cos(π＋β)＝14，可得cos β＝－14，故B 错误；由A ，B 可知sin β＝±154，cos β＝14，所以tan β＝sin βcos β＝±15，故C 正确，D 错误．故选AC.18．已知f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α，α为第二象限角．(1)若f (α)＝3，求43sin 2α＋cos 2α的值；(2)若cos 2αf (α)＝12，求cos(2023π＋α)＋cos 解(1)因为α为第二象限角，所以|cos α|＝－cos α，f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|＝－2tan α.若f (α)＝3，则－2tan α＝3，所以tan α＝－32，所以43sin 2α＋cos 2α＝43sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝43tan 2α＋1tan 2α＋1＝43×＋1＋1＝1613.(2)cos 2αf (α)＝cos 2α×(－2tan α)＝－cos 2α×2sin αcos α＝－2sin αcos α.因为cos 2αf (α)＝12，则－2sin αcos α＝12，所以sin αcos α＝－14.又α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0.所以cos(2023π＋α)＋cos(π＋α)＋cosα＋sinα＝(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2×14＝6 2 .。

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--同角三角函数的基本关系与诱导公式长丰一中：朱磊考情分析：1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )2．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( ) A ．－513 B ．－1213 C ．513 D ．12133．sin 210°cos 120°的值为( ) B ．－34 C ．－32考点一三角函数的诱导公式【例1】．已知f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－αcos?－π－α?tan?π－α?，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为________．【例2】已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 －α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________.[解题感悟]1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．[变式训练] 本例变为：已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.考点二同角三角函数的基本关系及应用【例3】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝5.三个应用技巧【课后练习】【板书设计】。

同角三角函数基本关系式与诱导公式教案

【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）sin(π+α)=﹣sinα=﹣ ，所以sinα= 且α是第一象限角
所以cosα= =
（2）tan（π+α）cos（π﹣α）﹣sin（ +α）=-tanαcosα﹣sin（ +α）=﹣tanαcosα﹣cosα=﹣sinα﹣cosα= = ．
1.若，且为第二象限角，（）
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cosα
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tanα
tan_α
－tan_α
－tan_α
[方法技巧]
诱导公式记忆口诀
对于角“ ±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”.
(1)当cosA＝时，cosB＝，又A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝ π.
(2)当cosA＝－时，cosB＝－ .又A、B是三角形的内角，
∴A＝ π，B＝ π，不合题意．综上知，A＝，B＝，C＝ π.
同角三角函数基本关系式与诱导公式
适用学科
高中数学
适用年级
高中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
同角三角函数的基本关系
六组诱导公式
教学目标
1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx

三角函数的诱导公式学案3

三角函数的诱导公式学习目标：理解记忆三角函数的诱导公式并学会正确应用。

教学重点：诱导公式的记忆与应用。

复习案：1、同角三角函数的基本关系式是：2、正弦、余弦、正切函数在各个象限的正负是：3、角度数乘以( )=弧度数，弧度数乘以（）=角度数预习学案问题探究1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?2.角 -α与α的终边有何位置关系?3.角 -α与α的终边有何位置关系?4.角 +α与α的终边有何位置关系?【模块一】创设情境，提出问题问题1：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin α= cos α= tan α= ( α≠ ) 问题2：前面学习的公式一是怎样描述的？它有什么作用？公式一：作用：sin(2)cos(2)tan(2)k k k απαπαπ+⋅=+⋅=+⋅=其中k Z ∈【模块二】质疑解惑，探究新知思考：（1）30°角与210°角的终边有什么关系？结论：（2）30°角与210°角终边与单位圆的交点坐标有什么关系？结论：（3）请根据三角函数的定义写出30°角与210°角的三角函数值有什么关系？结论：（4）45°角与225°角有上述（1）至（3）的关系吗？结论：（5）角α与角180α︒+角有上述（1）至（3）的关系吗？诱导公式二：____________________xy________________________________________总结反思：公式二的作用【模块三】合作探究，深化理解类比前面的研究方法，探索下列问题：探索一：角α-与α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？诱导公式三：____________________________________________________________总结反思：公式三的作用探索二：角0180α-与α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？你还有其他途径得到这种关系吗？诱导公式四：____________________________________________________________总结反思：公式四的作用质疑探究：如何记忆诱导公式一、二、三、四？公式概括：x y xy口诀：【模块四】即时应用，巩固新知例1.求下列三角函数值例2 化简0000cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)a a a a +∙+--∙--练习反馈探究三：已知任意角a 的终边与单位圆相交于点 P(x,y), 请同学们思考回答点p 关于直线 y=x 对称的点的坐标是什么?=︒225cos )1(=311sin )2(π=-)316sin()3(π=︒-)2040cos()4((1)tan 3,2cos()3sin()4cos()sin(2)απαπααπα=--+-+-已知：求的值.3(2),6356παπα已知cos(+)=求cos(-)的值.x y例3：化简：【模块五】总结反思，提高认识【模块六】课后作业，巩固提高sin α.α)2πcos(cos α,α)2πsin(:公式-=+=+六sin α.α)2πcos(cos α,α)2πsin(:公式五=-=-)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2απαπαπαπαπαπαπαπ+++。

同角三角函数的基本关系及诱导公式教学设计

第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式堂预习知识排查· 双基落实【知识重温】一、必记3个知识点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：①________________．(2)商数关系：②________________．sin 2α＋cos 2α＝12．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－α正弦sin α③______④______⑤______⑥______⑦______余弦cos α⑧______⑨______⑩______⑪______⑫______正切tan α⑬______⑭______⑮______－sin α－sin αsin αcos αcos α－cos αcos α　－cos α　sin α－sin αtan α－tan α－tan α3.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0πsin α____________1________cos α____________0________－1tan α________1____________1课堂考点突破 · 分层探究考点一　三角函数的诱导公式 [自主练透型] 1．sin (－1 200°)cos 1 290°＝________．悟·技法1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的求出值．。

第12讲同角三角函数关系与诱导公式(学案)

同角三角函数关系及诱导公式知识要点：1.同角三角函数基本关系：（1）基本关系：①平方关系: sin 2α＋cos 2α＝1 2211tan cos αα+=②商数关系: tan α＝sin αcos α（α≠k π＋π2，k ∈Z ）；cot α＝cos αsin α（α≠k π，k ∈Z ）．③倒数关系: 1tan cot αα=（12k απ≠）（2）常用变换形式:（1）根据这三大关系，若已知一个角α的位置，及其一个三角函数值，则一定能求出其余的三角函数值．（2）几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。

2.诱导公式：（（①六组诱导公式统一为“()2k k Z πα±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正---→大化小---→小化锐，体现了化归思想。

(1)利用诱导公式（三）将负角的三角函数变为正角的三角函数. (2)利用诱导公式（一）化为0°到360°间的角的三角函数. (3)进一步转化成锐角三角函数. 二.基础练习1.化简1－sin 24 的结果为2.化简sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ=3. 已知tan θ＝2aa 2－1 (其中0＜a ＜1，θ是三角形的一个内角)，则cos θ的值是4.化简：2－sin 221°－cos 221°＋sin 417°＋sin 217°·cos 217°＋cos 217°=5．已知sin （π－α）＝log 814，且α∈(－π2 ，0)，则tan α的值是6． ︒⋅--⋅︒690cos )619cos()313tan(330sin ππ的值是.7.求值：23456tantantan tan tan tan tan 777777πππππππ++++++= 8. 设002900,3cos 2sin 3≤≤=-βαβα，，则________αβ==。

同角三角函数的基本关系与诱导公式教案

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[最新考纲] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限[常用结论]1．同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1. ( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立． ( ) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． ( ) (4)若sin(k π－α)＝23(k ∈Z )，则sin α＝23. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．化简sin 690°的值是( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 B [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－12.选B.]2．若sin α＝55，π2＜α＜π，则tan α＝ . －12 [∵π2＜α＜π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.] 3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．3 [原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.]4．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．－sin 2α [原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.]考点1 同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系的应用技巧(1)弦切互化：利用公式tan α＝sin αcos α实现角α的弦切互化．(2)和(差)积转换：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)“1”的变换：1＝sin 2α＋cos 2α＝cos 2α(tan 2α＋1)＝sin 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2α.“知一求二”问题(1)[一题多解]已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k(2)(2019·福州模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin(π－α)＝35，则tan α＝( )A ．－43 B.43 C ．－34D.34(1)A (2)C [(1)法一：(直接法)由cos α＝k ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得sin α＝1－k 2，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2.故选A.法二：(排除法)易知k ＜0，从而sin(π＋α)＝－sin α＜0，排除选项BCD ，故选A.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，所以cos α＝－45，所以tan α＝－34.]利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sin α或cos α时，符号的选取．弦切互化(1)(2019·郑州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos2α＋12sin 2α的值是()A.35B．－35C．－3 D．3(2)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝.(1)A(2)－43[(1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos2α＋sin αcos αcos2α＋sin2α＝1＋tan α1＋tan2α＝35.故选A.(2)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.]若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．sin α±cos α与sin αcos α关系的应用(1)若|sin θ|＋|cos θ|＝233，则sin4θ＋cos4θ＝()A.56 B.1718C.89 D.23(2)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(3－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝()A.1－32 B.1＋32C. 3 D．－ 3(1)B(2)B[(1)因为|sin θ|＋|cos θ|＝233，两边平方，得1＋|sin 2θ|＝43.所以|sin 2θ|＝13.所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－12sin22θ＝1718.故选B.(2)因为sin θ，cos θ是方程2x2＋(3－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin θ＋cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝2－32，解得m＝－32.因为θ为第二象限角，所以sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0，因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋32，所以sin θ－cosθ＝1＋32＝1＋32.故选B.]对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－2，2])，则sin αcos α＝t2－12，sin α－cos α＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．1.已知sin(π＋α)＝－13，则tan⎝⎛⎭⎪⎫π2－α值为()A．2 2 B．－2 2C.24D．±2 2D[因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，cos α＝±223，tan⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2.故选D.]2．已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin2θ的值为()A.195 B.165C.2310 D.1710C[原式＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝sin θ＋cos θsin θ＋sin2θsin2θ＋cos2θ＝tan θ＋1tan θ＋tan2θtan2θ＋1，将tan θ＝2代入，得原式＝2310.故选C.]3．已知sin x＋cos x＝3－12，x∈(0，π)，则tan x＝()A．－33 B.33C. 3 D．－ 3D[因为sin x＋cos x＝3－12，且x∈(0，π)，所以1＋2sin x cos x＝1－32，所以2sin x cos x＝－32＜0，所以x为钝角，所以sin x－cos x＝(sin x－cos x)2＝1＋32，结合已知解得sin x＝32，cos x＝－12，则tan x＝sin xcos x＝－ 3.]4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋2sin αcos α的值为．103[3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－1 3，1cos2α＋2sin αcos α＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sin αcos α＝1＋tan2α1＋2tan α＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103.]考点2诱导公式的应用应用诱导公式的一般思路(1)化大角为小角，化负角为正角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(1)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝ .(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是．(1)3 (2)0 [(1)因为f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cosπ－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.] (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．1.化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝ .－1 [原式＝＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.]2．已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为．－34 [原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－34.]考点3 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值已知f (x )＝(＋)(－)cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．[解] (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018 ＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．1.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010D.13C [由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0.tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010.]2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos(－α)＋3sin(π＋α)cos(π－α)＋9sin α＝.－15[由tan(π－α)＝－23，得tan α＝23，则cos(－α)＋3sin(π＋α)cos(π－α)＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15.]3．已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin(π－α)＋1cos(π－α)的值为．3512[由sin α＋cos α＝－15平方得sin αcos α＝－1225，∵π2＜α＜π，∴sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝7 5，∴1sin(π－α)＋1cos(π－α)＝1sin α－1cos α＝cos α－sin αsin αcos α＝－75－1225＝3512.][教师备选例题]已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cos x＝－1 5.(1)求sin x－cos x的值；(2)求sin 2x＋2sin2x1－tan x的值．[解](1)由已知，得sin x＋cos x＝1 5，两边平方得sin2x＋2sin x cos x＋cos2x＝125，整理得2sin x cos x＝－2425.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝49 25，由－π＜x＜0知，sin x＜0，又sin x cos x＝－1225＜0，∴cos x＞0，∴sin x－cos x＜0，故sin x－cos x＝－75.(2)sin 2x＋2sin2x1－tan x＝2sin x(cos x＋sin x)1－sin xcos x＝2sin x cos x(cos x＋sin x)cos x－sin x＝－2425×1575＝－24175.7。

同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案

2021高考数学一轮复习统考第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式学案(含解析)北师大版

同角三角函数的基本关系式及诱导公式预习学案

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)

数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理

北师大版4.2.1同角三角函数的基本关系及三角函数诱导公式导学案

导学案018同角三角函数的基本关系与诱导公式

(经典整理)同角三角函数的基本关系及诱导公式与两角和差

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案

同角三角函数的基本关系与诱导公式 导学案

高考数学复习知识点讲解教案第22讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

高三数学第一轮复习 —同角三角函数的基本关系与诱导公式教案

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 教案

第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式--2025年高考数学复习讲义及练习解析

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案

同角三角函数基本关系式与诱导公式 教案

三角函数的诱导公式学案3

同角三角函数的基本关系及诱导公式教学设计

第12讲同角三角函数关系与诱导公式(学案)

同角三角函数的基本关系与诱导公式 教案

同角三角函数的基本关系与诱导公式导学案

高考数学复习知识点讲解教案第22讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式教案

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同角三角函数基本关系式与诱导公式教案

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