高一数学立体几何提高复习.doc
高中数学 河南省嵩县江苏高级中学高一下学期立体几何专题复习学案(二)
立体几何专题复习学案（二）班级： 姓名： 小组：一·网络构建（一）空间中的三类角1.异面直线所成的角 （1）定义 ： （2）范围： （3）图示2.直线与平面所成的角 （1）定义 ： （2）范围： （3）图示3.二面角的 （1）定义 ： （2）范围： （3）图示 （二）点到面的距离：方法：（1）直接法 （2）等积法二、典型例题例1 如图，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求： (1)AO 与A ′C ′所成角的大小；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小.例2．如图，三棱锥中，棱垂直于平面，．（1）求证：；（2）若，直线与平面所成的角的正切值为，求直线与平面所成的角的正弦值．例3.如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的度数。
例4．如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC ⊥，3BC =，AP CP =，O 是AC 的中点，1PO =，2OB =，5PB =.P ABC -PA ABC 90ACB ∠=︒BC PC ⊥2PA AB ==PC ABC 2AB PBC（1）证明：BC⊥平面PAC；（2）求点A到平面PBC的距离.三、课堂检测1．某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为A．12B．13C．14D．152．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于A．40°B．50°C．90°D．150°3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形A ．全等B ．相似C ．仅有一个角相等D ．全等或相似4．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是A ．AB 与CF 成60°角 B ．BD 与EF 成60°角C ．AB 与CD 成60°D ．AB 与EF 成60°角5．如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，1BC 和1C D 与底面所成的角分别为60和45，则异面直线1BC 和1C D 所成角的余弦值为A BC ．6D ．36.在正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π27.空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，且AB ＝AD ，则AC 与平面BCD 所成的角是________.8．如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：BC⊥平面PBD；PD=，点E为棱PB的中点，求直线AE与平面DCE所成角的正弦值.（2）已知2-中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成9.如图所示，正四棱锥P ABCD的角的正切值为2（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.10. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且CD ＝2AB .(1)若AB ＝AD ，直线PB 与CD 所成的角为45°，求二面角P －CD －B 的大小；(2)若E 为线段PC 上一点，试确定点E 的位置，使得平面EBD ⊥平面ABCD ，并说明理由. 11．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD（Ⅰ）证明：平面PBD ⊥平面PAC（Ⅱ）设AP=1，AD=，∠CBA=60°，求A 到平面PBC 的距离．12．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，D 、E 分别为线段AB 、BC 上的点，且CD DE ==22CE EB ==.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求点B 到平面PDE 的距离.12.如图所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点.求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.13.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.。
高一数学必修2立体几何知识点详细总结
立体几何一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
（5）面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
（6）面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。
高一数学立体几何知识点
高一数学立体几何知识点
1. 嘿，知道吗，立体几何里点、线、面的关系可重要啦！就好比盖房子，点就像那小小的砖头，线呢是把砖头串起来的绳子，面就是一堵堵墙！比如正方体，那上面的顶点不就是一个个点嘛，棱就是线呀！
2. 哇塞，棱柱和棱锥也很有趣啊！棱柱就好像是一个个整齐的柱子立在那，棱锥呢，就像是削尖了的冰激凌！想想看金字塔不就是棱锥嘛。
3. 嘿嘿，圆柱和圆锥也得了解呀！圆柱不就是我们生活中常见的杯子、柱子嘛，圆溜溜的。
圆锥呢，像个尖尖的帽子！比如小丑戴的那种尖帽子。
4. 立体几何里的表面积和体积计算可别小瞧哟！算表面积就好像给物体穿衣服，得知道用多少布料；体积呢，就像这个物体能装多少东西！像算一个球的体积，想想它能装多少沙子呀。
5. 空间直线和平面的位置关系也很奇妙哦！有的平行像两条永不相交的铁轨，有的相交就像两条线碰头啦！看看教室里的墙壁和地面就是一种位置关系呀。
6. 二面角啊，就像是打开的书的角度一样！哎呀，这个可不能糊涂。
7. 空间向量在立体几何里作用可大啦！它就像是给我们指明方向的指南针，能帮我们解决好多难题呢！比如找两个面的夹角就可以用到它哟！
我觉得高一的立体几何知识点真的很有意思也很重要，掌握了它们能让我们更好地理解这个三维的世界！。
江苏省盐城中学高中数学立体几何知识点总结
高一立体几何知识梳理盐城中学高一数学组一、空间几何体（一）空间几何体的类型多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其这条直线称为旋转体的轴．（二）几种空间几何体的结构特征1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．1.2 棱柱的分类图1-1棱柱①棱柱，械垂直于底面》直棱柱 底山是多形）正棱柱其他棱柱…底面是四边形 棱柱 底面是平行四边形 四棱柱平行六面体 侧棱垂直于底面直平行底面是矩形底面是正方形 六面体长方体 性质：棱长都相等 正四棱柱正方体I 、II 、m 、1.3 侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；两底面是全等多边形且互相平行；平行于底面的截面和底面全等；棱柱的面积和体积公式s 二ch （c 是底周长，h 是高） 直棱柱侧S 直棱柱表面=C ・h+2S 底2.1(V 棱柱=S 底•h棱锥的结构特征棱锥的定义）棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥.（）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底f斜棱柱面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．2.2正棱锥的结构特征I、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；II、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；III、两个特征三角形：()A POH(包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径)；()A POB(包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径)正棱锥侧面积：S=1ch'(c为底周长，h,为斜高)P正棱椎2体积：V=1Sh(S为底面积，h为高)DC棱椎3OHAB正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体2对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为—a的正方体问题.211正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1：3(=-/』舟3：/十6正方体体对角线2正方体体对角线3、棱台的结构特征3.1棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台．3.2正棱台的结构特征(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；(3)正棱台的对角面也是等腰梯形；(4)各侧棱的延长线交于一点．4、圆柱的结构特征4.1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱．4.2圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面（轴截面）是全等的矩形．4.3圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形．4.4圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面=2n•r•h（r为底面半径，h为圆柱的高）V圆、=S h=nr2h5、圆锥的结构特征5.1圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5.2圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2=r2+h25.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形．6、圆台的结构特征6.1圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台．6.2圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．6.3圆台的面积和体积公式S圆台侧=n•（R+r）•l（r、R为上下底面半径）V1=1/3（n r2+n R2+n rR）h（h为圆台的高）7球的结构特征7.1球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体．7-2球的结构特征⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2=R2-d2⑶注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长．7-3球的面积和体积公式S=4nR2（R为球半径）；V=4/3nR3（三）空球面间几何体的表面积与体积球空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积：S=2兀rl+2兀r2圆锥的表面积：S=兀rl+兀丫2圆台的表面积：S=兀r1+兀丫*兀Rl+兀R2球的表面积：S=4兀R2空间几何体的体积柱体的体积：V=S L X h；锥体的体积：v=1S X h底，3底1.T74〜台体的体积：V=-（S+JSS+S）X h；球体的体积：V二万兀R33上％’上下下3斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；二、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）平行于同一直线的两直线平行．（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．（12）垂直于同一平面的两直线平行．2、线线垂直的判断：（7）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面7的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平/:□力面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.人二L如图，已知PO ±a ,斜线PA 在平面a 内的射影为OA ,a 是平面a 内一条直线. ①三垂线定理：若a ^OA ,则a ^PA .即垂直射影则垂直斜线.②三垂线定理逆定理：若a ^PA ,则a ^OA .即垂直斜线则垂直射影.（10）若一直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于平面内所有直线.补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条.3、线面平行的判断：（2）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.（5）两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.判定定理：allb［线线平行n 线面平行）性质定理：aliauu/i〔线面平行n线线平行）CK H p-b★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义（反证法）：/I a=0，则l〃a（用于判断）；⑵利用判定定理：线线平行0线面平行（用于证明）；⑶利用平面的平行：面面平行n线面平行（用于证明）；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行（用于判断）.2线面斜交和线面角：/Aa=A2.1直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角0.2.2线面角的范围：0£[0°,90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，0=0°；当直线垂直于平面时，0=90°4、线面垂直的判断：（9）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面．（11）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（14）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（16）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面.判定定理：。
第八章 立体几何初步单元检测(提升卷)高一数学新教材单元双测卷(人教A版2019必修第二册)
必修第二册第八章立体几何初步提升卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 本卷共22小题，其中单选8小题，多选4小题，填空4小题，解答题6小题，满分150分一、单选题1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱【答案】D【分析】根据正四棱柱的概念，结合反例，即可得答案；【详解】选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，故选：D.2．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中BM ED①//EF CD②//③CN与BM为异面直线④DM BN以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【答案】D【分析】作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,BM 与DE 为互相垂直的异面直线,故①不正确;////EF AB CD ,故②正确;CN 与BM 为异面直线,故③正确;由正方体性质可知BN ⊥平面DEM ,故BN DM ⊥,故④正确.故选:D【点睛】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.3．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //【答案】C【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误；对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 4．在直三棱柱111ABC A B C -中，16AA AB ==，8BC =，10AC =，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（ ）A ．16πB ．24πC ．36πD ．64π 【答案】A【分析】先由题意可得球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，易得2r ，又1r AA <，可得该三棱柱内能放置的最大球半径为2，最后由球的表面积计算公式计算即可.【详解】由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，∵底面三角形的边长分别为6、8、10，∴底面三角形为直角三角形， 6810222AB BC AC r +-+-===， 又∵16AA =，26<，∴该三棱柱内能放置的最大球半径为2，此时2244216S r πππ==⨯=表面积.故选：A .【点睛】关键点睛：解题关键是得出所求球的半径为直三棱柱底面三角形内切圆的半径r ，继而进行分析计算. 5．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题. 6．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马P ABCD -(如图)，PA ⊥平面ABCD .1==PA AB ，3AD =，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥P ADF -外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．11πC ．12πD ．16π【答案】B【分析】 把平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的P AB '的位置，根据图象可得当P '，E ，F ，D 四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，进而可求得各个边长，根据正弦定理，可求得AFD 外接圆的半径r ，在三棱锥P ADF -中，可确定外接球球心的位置，根据勾股定理，可求得外接球半径，即可得答案.【详解】把平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的P AB '的位置(如下图)，延长DC 到D ，使得1CD '=，则DF D F '=，因为PD 的长度为定值，故只需求PE EF FD P E EF FD ''++=++最小，只需P '，E ，F ，D 四点共线，因为4P D '=，2DD '=，CF CD P D DD '=''，所以2CF =，所以2AF =，5DF =，45DAF ∠=︒，由正弦定理得，AFD 外接圆的半径15102222r =⨯=. 设ADF 外接圆的圆心为O '，则三棱锥P ADF -外接球的球心O 一定在过O '且与平面ADF 垂直的直线上，因为O 到点P ，A 的距离相等，所以22101112442PA OA r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 此即为三棱锥P ADF -外接球的半径， 所以该球的表面积为2114π11π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】难点在于，需将平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的位置，当P '，E ，F ，D 四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，求得各个边长，进而再结合正弦定理，勾股定理求解，考查数形结合，分析计算的能力，属中档题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AB ，AD 中点分别为E ，F ，若过EF 的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（ ）A ．2213+B ．213+C ．3225+D ．325+【答案】A【分析】 将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，展开图计算求解即可.【详解】将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，在1Rt ECC △中,112,12CC BC BE AB ====,此时()22122113EQ QC +=++=,又113FH HC EQ QC +=+=.∴周长()122213EF EQ QC =++=+故选:A8．（chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”的五面体，其中ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，22GF CF == 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形故3GFC π∠=故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、多选题9．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（ ）A ．水的部分始终呈棱柱状；B ．水面四边形EFGH 的面积不改变；C ．棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；D ．当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值．【答案】ACD【分析】从棱柱的特征平面可判断A ；由水是四棱柱或者五棱柱时或者三棱柱时可判断B ；由11//B C 平面EFGH ，棱1111//B C A D 可判断C ；由体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，可判断D.【详解】由于BC 固定，所以倾斜的过程中，始终有AD //EH //FG //BC ，且平面AEFB //平面DHGC ，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形EFGH 的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；BC 为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同， 但水的部分始终呈棱柱状，且棱11//B C 平面EFGH ，棱1111//B C A D ，∴11//A D 平面EFGH ；∵体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，即EA BF +为定值，综上ACD 正确．故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判定、棱柱的结构特征，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于棱柱的结构特征要非常熟悉.10．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．QEF △的面积【答案】ACD【分析】 由Q 为11A B 上任意一点，知平面QEF 是确定，从而判断A ，而11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，根据直线与平面所成的角的定义可判断B ，由棱锥体积公式和三角形面积公式可判断CD ．【详解】平面QEF 就是平面11A B CD ，是确定的平面，因此点P 到平面QEF 的距离为定值，A 正确； 平面PEF 即平面PCD ，而Q 在直线11A B 上，11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，Q 到平面PEF 的距离为定值，但Q 运动时，PQ 的长度在变化，因此直线PQ 与平面PEF 所成的角也在变化，B 错误； P 点到直线CD 的距离是确定，而EF 的长度不变，因此PEF S △为定值，又Q 到平面PEF 的距离为定值，从而三棱锥P QEF -的体积为定值，C 正确；11//A B CD ，Q 到EF 的距离为定值，EF 的长度不变，∴QEF △的面积为定值，D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离，直线与平面所成的角，棱锥的体积等知识，解题关键是抓住11//A B CD ，由此得平面QEF 是确定的平面，再结合定点和定长，从而确定各选项中的定值． 11．如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a ，点P 是ACD △的中心.劳动课上，需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）A ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABDB ．截面是一个三角形C ．截面是一个四边形D ．截面的面积为24a【答案】AC 【分析】先作出符合题意的截面，分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点），四边形EMNF 是平行四边形，即为所作截面，即可逐一判断四个选项的正误. 【详解】因为正四面体的四个面都是等边三角形， 点P 是ACD △的中心，所以P 位于CD 中线的23处， 分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点）， 则//EM AB ，//EF CD ，且截面EMNF 经过点P ，满足题意， 因为//EM FN 且=EM FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形， 平面EMNF ⋂平面ABC EM =，//EM FN ，NF ⊂平面ABD ， 所以//EM 平面ABD ，所以选项A 正确；截面是一个四边形，故选项B 不正确；选项C 正确；四边形EMNF 是边长为23a 的菱形，所以面积不是24a ，故选项D 不正确，故选：AC 【点睛】本题主要考查了线面平行判断的应用以及空间几何体的截面图形，属于中档题12．如图所示，在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．1//BC MN B ．1B C ⊥平面1MNC C ．A 到直线MN 的距离为324D ．过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38π 【答案】ACD 【分析】由11//A D B C 可得判断AB ，利用11AD A D ⊥，1AD MN ⊥，求出距离可判断C ，由对称性得过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小的圆是以MN 所在弦为直径的圆，圆心为MN 中点F ，求出圆面积断D ． 【详解】正方体中，11//A D B C ，而M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则1//MN A D ，所以1//B C MN ，A 正确，B 错误；设1AD 与1,A D MN 分别交于点,E F ，则11AD A D ⊥，1AD MN ⊥， 由M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，知F 是1ED 中点，133244AF AD ==，C 正确；正方体外接球球心是正方体对角线交点O ，由对称性知过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以MN 所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为F ，13OD =，124DF =，11126cos 3AD OD F BD ∠===， 222111112cos OF D F D O D F D OFD O =+-⋅∠23236321648=+-⨯⨯⨯=， 截面圆半径为r ，则2221333488r OD OF =-=-=，面积为238S r ππ==，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查正方体中的平行与垂直，考查球的截面圆问题．特殊的几何图形如正方体、正四面体等几何体中有许多直线、平面间的平行与垂直关系，我们必须掌握，并能应用，在判断D 时，利用正方体的对称性是解题的关键．这样可得到面积最小的截面圆的直径是MN 所在的弦，从而求得半径长．三、填空题13．如图，矩形O A B C ''''水平放置的一个平面图形OABC 的直观图，其中6O A ''=，3O C ''=，//B C x '''轴，则原平面图形OABC 的面积为______.【答案】362 【分析】还原图形后可知原图形的高是直观图中矩形高的22底不变，由此可得面积比，利用直观图的面积求得原图形的面积.【详解】设B C ''与y '轴交于点D ，还原后BC 与y 轴交于点DO D ''在y '轴上 ∴OD 在y 轴上且2OD O D ''=，可还原图形如下：OD ∴为还原后的平行四边形OABC 的高 222OD O D O C ''''==，OA O A ''=∴原平面图形OABC 的面积S 为矩形O A B C ''''的面积S '的2222222263362S S O A O C '''''∴==⋅=⨯=故答案为：362【点睛】本题考查根据直观图计算原图形的面积的问题，关键是能够通过高的比例关系得到直观图面积与原图形面积的比例关系，进而求得结果.14．中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方1100多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为______. 83π【分析】根据圆锥侧面积展开图是半径为4的半圆，求得圆锥底面半径，进一步求圆锥的高，计算出圆锥的体积，由此求出三棱锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，则12242r ππ=⨯⨯，解得2r ，圆锥的高为224223h =-=，所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为218322333V ππ=⨯⨯=. 故答案为：833π. 15．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36︒按35计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．【答案】336π【分析】可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R ，正五边形的外接圆半径为r ，正二十面体的棱长为l ，可得56l r =，311R =，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案. 【详解】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R ，正五边形的外接圆半径为r ，正二十面体的棱长为l ，则3sin 3652lr =︒=，得56lr =， 所以正五棱锥的顶点到底面的距离是22225116l h l r l ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222()R r R h =+-，即22251166l R R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得311R =．所以该正二十面体的外接球表面积为222311364411S R l l πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭球，而该正二十面体的表面积是2120sin 60532S l l l =⨯⨯⨯⨯︒=正二十面体， 所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于55336π． 故答案为：553. 【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.16．如图，已知边长为1的正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，P 为EF 的中点，Q 为线段FC 上的动点，当三棱锥P ABQ -的体积最大时，三棱锥P ABQ -的外接球的表面积为______.【答案】4116π 【分析】由题意知三棱锥P ABQ -的体积最大时，点Q 与点C 重合，问题转化为求三棱锥P ABC -外接球的表面积，然后，利用勾股定理求出外接球半径R ，进而可求解 【详解】如图，由题意知三棱锥P ABQ -的体积最大时，点Q 与点C 重合，即求三棱锥P ABC -外接球的表面积，因为正方形ABCD 与正方形BCFE 的边长均为1，点P 为EF 的中点，所以1AB BC ==，2AC =，5BP PC ==过点P 作PG BC ⊥，垂足为G ，由正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，得PG ⊥平面ABC .设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，AC 的中点为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC .延长1OO 到点H ，使1O H PG =.连接,,PH OP OA ，设1OO x =，则1OH x =-，()222221122x x ⎛⎛⎫+=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得38x =，设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则2221314128264R x ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭.故所求表面积24141446416S R πππ==⨯= 故答案为：4116π 【点睛】关键点睛：三棱锥的体积与底面积和高有关，若底面面积不变，高增大时，体积增大；若高不变，底面面积增大时，体积增大，本题中，点A 到平面PBQ 的距离不变，当三角形PBQ 的面积最大时，三棱锥P ABQ -的体积取最大值，另外求球的半径，可以根据题意先确定出球心的位置，然后可在直角三角形中表示球的半径，此类问题考查空间想象能力和运算求解能力，难度比较大.四、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ABB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，114===B B AB AB ，3BC =，D 为AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2）求三棱锥11-B A CB 体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）设1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ，得1//OD AB ，可证得线面平行；（2）设1B A 与1A B 交于点O '，证明1'B O 是三棱锥11-B A CB 的高，由体积公式可得． 【详解】（1）证明：设1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ， 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B C CB 是平行四边形， 因为对角线1B C 与1C B 交于点O ，所以O 为1B C 的中点， 因为D 为AC 的中点，所以1//OD AB 因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以1//AB 平面1BC D ；（2）设1B A 与1A B 交于点O '，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 是平行四边形， 因为114===B B AB AB ，所以侧面11A ABB 是菱形，1322443A B BO '===， 因为1B A ，1A B 为菱形11A ABB 的对角线，所以11B A A B ⊥因为平面11A ABB ⊥平面ABC ，平面11A ABB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面11A ABB ，因为11,⊂A B B A 平面11A ABB ，所以1⊥BC B A ，1BC A B ⊥ 因为1BC A B B ⋂=，1,⊂BC A B 平面ABC ，1B A ⊥平面1A CB 所以三棱锥11-B A CB 的高为1'B O ， 所以三棱锥11-B A CB 的体积11111143344332212V BA BC B A =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，考查求三棱锥的体积．证明线面平行的方法是利用中位线定理得线线平行，然后根据线面平行的判定定理得出结论．求棱锥的体积的方法是棱锥体积公式，找到棱锥的高，求出底面积即可得体积．18．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=︒，4AB =，2AD =，3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图)，G 为AE 中点.（1）求证：DG ⊥平面ABCE ； （2）求四棱锥D ABCE -的体积；（3）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）523；（3）存在，34BP BD = 【分析】（1）证明DG AE ⊥，再根据面面垂直的性质得出DG ⊥平面ABCE ； （2）分别计算DG 和梯形ABCE 的面积，即可得出棱锥的体积；（3）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证明//PCF 平面ADE ，故//CP 平面ADE ，根据//PF AD 计算BPBD的值. 【详解】（1）因为G 为AE 中点，2AD DE ==， 所以DG AE ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ； （2）在直角三角形ADE 中，2AD DE ==，22AE ∴=，122DG AE ∴== 所以四棱锥D ABCE -的体积为()111521422332D ABCE ABCE V S DG -=⋅=⨯⨯+⨯=梯形； （3）如图，过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ， 因为//CF AE ，AE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ， 所以//CF 平面ADE ， 同理//PF 平面ADE ， 又因为CF PF F ⋂=， 所以平面//PCF 平面ADE ， 因为CP ⊂平面CFP ， 所以//CP 平面ADE ，所以BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，//AE CF ，//AF CE∴四边形AECF 是平行四边形，1AF CE ∴==， 3FB ∴=，又//PF AD ，34BP BF BD AB ∴==. 19．在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45°，求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33-. 【分析】（1）连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，根据条件可证//OF PA ，从而可证明结论.（2）由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ，PCE ∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒，又由条件可得PE ABCD ⊥平面，可得2PE EC ==，取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，可得MEA ∠为F BE A --的平面角，可得答案.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，1,2BC AD BC AD =∥，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点， 又F 为AD 中点，//OF PA ∴，OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得22EC BC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE EC ∴⊥，2PE EC ∴==.取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，由M F ，，分别为,PD PC 的中点，所以//,MF CD 又//CD BE ，所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面,ABCD AD BE AD =⊥，BE ∴⊥平面PAD ，,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角.又311,1,EM AE AM ===，3cos MEA ∴∠=-. 所以二面角F BE A --的余弦值为3-. 【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角，属于中档题.20．如图所示，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，1AB =，2AD =，ADC 60∠=，1AF =，M 是线段EF 的中点.（1）求证：AC BF ⊥；（2）求直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设点P 为一动点，若点P 从M 出发，沿棱按照→→M E C 的路线运动到点C ，求这一过程中形成的三棱锥P BFD -的体积的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【分析】（1）利用余弦定理求出AC ，利用勾股定理可得出AB AC ⊥，由已知可得出AF AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面ABF ，由此可得出AC BF ⊥；（2）设点A 在平面BDF 内的射影为点O ，连接DO ，可得出ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，利用等体积法计算出AO ，可求得sin ADO ∠，再利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，推导出//FN CM ，可得出//CM 平面BDF ，结合图形可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，可得()min P BFD C BFD F BCD V V V ---==，利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】（1）在平行四边形ABCD 中，ADC 60∠=，1CD AB ==，2AD =，由余弦定理可得2222cos 3AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，AC ∴=2BC AD ==，222AB AC BC ∴+=，90BAC ∴∠=，AB AC ∴⊥，因为四边形ACEF 为矩形，则AF AC ⊥，AB AF A =，AC ∴⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以AC BF ⊥；（2）在ABD △中，1AB =，2AD =，180120BAD ADC ∠=-∠=， 由余弦定理可得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，AB AC ⊥，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD 平面ACEF AC =，AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面ACEF ，AF ⊂平面ACEF ，AB AF ∴⊥，则BF == AF AC ⊥，AB AC A ⋂=，AF ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AD AF ∴⊥，DF ∴=，222BF DF BD ∴+=，由勾股定理的逆定理知90BFD ∠=，11022BDF S BF DF ∴=⋅=△， 设点A 在平面BFD内的射影为O ，连接DO ，则ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，132ABD ABC S S AB AC ==⋅=△△， 由A BDF F ABD V V --=，可得1133BDF ABD AO S AF S ⋅=⋅△△，可得313021010ABD BDFAF S AO S ⨯⋅===△△，又2AD =，30130sin 2AO ADO AD ∠==⨯=，2370cos 1sin ADO ADO ∴∠=-∠=， 因此，直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值为37020； （3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，因为四边形ABCD 为平行四边形，且AC BD N ⋂=，则N 为AC 的中点，//AC EF 且AC EF =，M 为EF 的中点，//CN FM ∴且CN FM =，所以，四边形CMFN 为平行四边形，则//CM FN ，FN ⊂平面BDF ，CM ⊄平面BDF ，//CM ∴平面BDF ，由图可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，()min 11321sin120132P BFD C BFD F BCD V V V ---===⋅⋅⋅⋅⋅=. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.21．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60,BCD PD AD ∠=︒⊥，点E 是BC 边的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）若二面角P AD C --的大小等于60︒，且34,3AB PD == ①点P 到平面ABCD 的距离；②求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4，②3π. 【分析】（Ⅰ）连接BD ，点E 是BC 边的中点，得出DE BC ⊥，DE AD ⊥再由DP AD ⊥，得出结果； （Ⅱ）DE AD ⊥，PD AD ⊥，PDE ∠为二面角P AD C --的平面角，60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，易证PK ⊥面ABCD ，PK 为点到面的距离，PBK ∠即为线面角. 【详解】（Ⅰ）连接BD ，底面ABCD 是菱形，∠BDC =60°， ∴△BCD 是正三角形．∵点E 是BC 边的中点，∴DE ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴DE ⊥AD ．∵DP ⊥AD ，DP ∩AD =D ， ∴AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）①∵DE ⊥AD ，PD ⊥AD ，∴PDE ∠为二面角P -AD -C 的平面角，∴60PDE ∠=︒， 过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，由（Ⅰ）易AD PK ⊥． ∴PK ⊥面ABCD ． ∵83PD =∴43DK =，4PK =， 即点P 到平面ABCD 的距离是4． ②AB =4，∴23DE =∴23DK DE =，∴K 为BCD △重心． 连接BK ，∵BCD △为正三角形，所以BK 为BP 在面ABCD 内的射影． ∴PB ⊥AB ，PBK ∠为直线PB 与平面ABCD 所成角，RT PKB △中，tan 3PK PK PKB KB DK ∠===3PKB π∠=， 直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为3π.【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．22．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．。
高一数学立体几何练习题及部分答案大全.docx
立体几何试题一．选择题（每题 4 分，共 40 分）1. 已知 AB3003001500空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形, （2）四边相等的四边形是菱形（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A平行B相交C在平面内D平行或在平面内4. 已知直线 m过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）A 1 个或 2 个B 0个或1个C1个 D 0个6.如图 , 如果 MC 菱形 ABCD 所在平面 , 那么 MA与 BD的位置关系是 ( )A平行B垂直相交C异面D相交但不垂直7. 经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A 0 个B 1个C无数个 D 1个或无数个8.下列条件中 , 能判断两个平面平行的是 ( )B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9. 对于直线m ,n 和平面,, 使成立的一个条件是 ( )A m // n, n, mB m // n, n,mC m n,I m, nD m n, m //, n //)10 . 已知四棱锥 , 则中 , 直角三角形最多可以有 (A 1个B2个 C 3个D4个二．填空题（每题 4 分，共16 分）11. 已知ABC的两边 AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点 O与直线 MN的位置关系为 _________12.过直线外一点与该直线平行的平面有 ___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13. 一块西瓜切 3 刀最多能切 _________块14.将边长是 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起 , 使得折起后 BD得长为 a, 则三棱锥D-ABC的体积为 ___________三、解答题15（10 分）如图，已知 E,F 分别是正方形ABCD A1B1C1 D1的棱 AA1和棱 CC1上的点，且 AE C1 F 。
20202021学年人教版必修二高一数学满分期末冲刺卷04立体几何初步难点解析版.docx
专题04立体几何初步（难点）_、单选题1.若尸是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA = PB = PC，D, E，P分别是AB, BC, G4的中点，则下列结论中不正确的是（）A.BC7/平面PDPB. DF ±平面C.平面PAE 1平面ABCD.平面PDF L平面ABC【答案】D【解析】由班//8C判断A,由与垂直，证明线面垂直，再结合平行线判断B,根据面面垂直的判定定理判断C,根据正棱锥的性质判断D. •.•P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA = PB = PC，D，E，F分别是AB，BC, C4的中点，:.DF//BC，•.DFu平面PDP，BC屯平面PDF，:.BC//平面PDF，故A正确；•.•PA = PB = PC, E是8C 中点，:.PELBC, AELBC,■■PE^\AE = E, PE,AEu平面PAE，..BC1平面F4E,•：DFHBC, :.DFA.平面B4E，故B 正确；•/BC±平面B4E，BCu平面ABC,平面PAE 1平面ABC，故C正确；^AEp\DF = O,连结PO,•.•。
不是等边三角形ABC的重心,..PO与平面ABC不垂直，平面PDP与平面ABC不垂直，故D错误.故选：D.p2.用斜二测画法画水平放置的A ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形VA'B'C.已知点O'是斜边3'。
'的中点，且A® = b则的边边上的高为（）A. 1B. 2C. ^2D. 2A/2【答案】D【解析】1在直观图中AC // y'轴，可知原图形中AC//y轴，故ACIBC.AC = -AC,求直观图中AC的长即可求解...•直观图是等腰直角三角形AB'C , IB^AC 90 ,A l b = 1 - A At = 很，根据直观图中平行于V 轴的长度变为原来的一半，AA ABC的边上的高AC= 2 AV = 2很•故选D.【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.3.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（）22 4 13A. 32 ------ TCB. 48 — 12TTC. 28—兀D. 20 ---------------------------- 兀3 3 3【答案】A 【解析】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，小球在12条边活动不到的空间相当于高为2,底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为〃，高为2的圆柱剩下的部分，且有3个，由此可计算出体积.由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径44为1的球的剩余部分，其体积为——4x13=8——71,33小球在12条边活动不到的空间相当于高为2,底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为〃，高为2的圆柱剩下的部分，且有3个，则其体积为（4x2—2m）x3 = 24—6〃，（ 4 A 22则小球不能到达的空间的体积为8 —a" +（24 —6万）=32-耳~〃.故选：A.【点睛】本题考查几何体体积的计算，解题的关键是得出小球在运动中不能到达的空间的结构特点.4,已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，平面ABCDEF.则下列结论不正确的是（）P B" C D A. C£）〃平面已侦B. DF±平面以F C. CF〃平面/MB D. CF_L平面【答案】D【解析】A.根据CD//AF,由线面平行的判定定理判断；B.由PAL平面ABCDEF,得到PA±DF >易知DF±AF，再利用线面垂直的判定定理判断；C.根据CF//BA,再由线面平行的判定定理判断；D.易知以与AZ）成60。
立体几何复习
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异面直线所成的角
在正方体AC 求异面直线A 在正方体 1中，求异面直线 1B 所成的角？ 和B1C所成的角？ 所成的角
D1 A1 B1 C1
球的大圆 球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆
球的公式 球的体积
球的表面积
4 3 V= π R 3
S = 4π R
2
将两个半径为1的铁球熔化成一个 将两个半径为 的铁球熔化成一个 大球，求大球的半径？ 大球，求大球的半径？
体积 问 题
常用体积公式
c a b
V长方体 = a b c
常用体积公式
h s
V柱
=
s
底
·h
常用体积公式
V锥
=
1 3
s
底
·h
(1)如果一条直线与一个平面平行， 如果一条直线与一个平面平行， 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面无公共点 则这条直线与这个平面无公共点 (2)如果一条直线与一个平面平行， 如果一条直线与一个平面平行， 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面内的直线 成异面直线或平行直线 (3)如果一条直线与一个平面平行， 如果一条直线与一个平面平行， 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面 相交，则这条直线与交线平行 直线与交线平行。 相交，则这条直线与交线平行。
有无数个公共点 有且仅有一个公 共点 没有公共点
位置关系
图 示
表示方法 公共点个数
直线在平 面内
直直斜 线 线与交 在平 面 垂直 平相 相交 面交 外 直线与平
高一数学复习提纲(集合~立体几何)
第一章：集合1.集合及表示法： (1)集合的概念元素、 集合的三种表示法 、 集合元素的性质。
2.集合与集合关系： (1)空集 (2)子集：【规定】空集是任何集合的子集.【结论】如果集合A 有n 个元素，则A 有2n 个子集. （3）真子集 (4)相等集合【规定】空集是任何非空集合的真子集.【结论】如果集合A 有n 个元素，则A 有21n -个真子集.有22n -个非空真子集. 3.集合运算：(1)交集 (2) 并集: (3) 补集: (4)集合运算性质(设U 为全集)A ∩A=A Φ=Φ A A ∩B=B ∩A A ∪A= AA A =Φ A ∪B=B ∪A )()()(BC A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =【重要结论】（1）A B A A B =⇔⊆ (2) A B A B A =⇔⊆ 【注意题型】 1．集合的运算（1）已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（2）若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂ （3）设集合2{|60}A x x x =--<,集合=B 2{|0}x x x -≤,全集R U =求(1)B A (2)()U A B ð (3)()()U U A B 痧 （4）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð (5) 已知2{,1,3}A a a =+-，2{3,21,1}B a a a =--+满足{3}AB =-，求实数a 的值2．集合的包含关系（1）已知集合2{|8150}A x x x =--=，集合{|10}B x ax =-=，若B A Ø，求实数a 的值.(2)已知22{2,(1),33}A a a a a =++++，若1A ∈，求实数a 的值.(3).已知集合2{|680}A x x x =-+<，22{|430}B x x ax a =-+<若A B Ø求实数a 的取值范围(4). 已知集合{}32|320A x x x x =++>，{}2|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤，{}|2A B x x =>-，求实数a 、b 的值．第二章：函 数【函数及基本性质概念解析】一、 函数的概念. 1.函数的定义 2.函数的定义域3.函数的三要素：定义域、值域、对应法则.4.函数的表示法：(1)解析法 (2)列表法 (3)图象法 5.映射：（1）映射的定义（2）映射与函数的关系： 6. 函数单调性（1）增（减）函数的定义: （2）函数的单调性与单调区间： 7. 函数的奇偶性（1）．奇函数、偶函数的定义 （2）奇函数、偶函数的图象特征 【注意题型】1. 已知集合{}(,)M x y =，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)x y x y +-（1）求（2，－5）的象 （2）求 （3，1）的原象 2.已知函数()f x 满足221()31,3x f x x -=-+求()f x 的解析式. 3. 已知2211()f x x xx-=+，求()f x4.求函数1lg1xy x+=-的定义域 5．已知函数()f x 的定义域为(0,2]，求下列函数的定义域 （1）(1)f x + （2） 2(2)f x x -6．已知二次函数2()22,f x x mx m =-+为常数，[0,6]x ∈，求()f x 的值域. 7.若函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4]4--，求实数m 的取值范围.8.证明函数242y x x =++在区间(,2]-∞-内是减函数.9. 已知函数()(0,)af x xx a R x=+≠∈ （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。
第九章 立体几何专练2—基本立体图形(提升练)-2022届高三数学一轮复习
第九章 立体几何专练2—基本立体图形（提升练）一、单选题1．将一半圆沿半径剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角为3π，以这两个扇形为侧面围成一高一低两个圆锥（不计接缝处的损耗），则高圆锥与低圆锥的高之比为( ) A ．2:1B ．70:8C ．4:1D ．32:702．如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径5R =，扇形弧长4l π=，则该圆锥的表面积为( )A ．2πB ．(425)π+C ．(35)π+D ．85π+3．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，⋯为边的正方形拼成长方形（斐波那契数列由1和1开始，之后的数就是由之前的两数相加而得出），然后在每个正方形中画一个圆心角为90︒的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等，如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为( )A ．215B ．415C ．515D ．6154．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:35．如图，圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是正方形，D ，E 分别是1AA 和1BB 的中点，C 是弧AB 的中点，则经过C 、D 、E 的平面与圆柱1OO 侧面相交所得到的曲线的离心率是( )A ．1B ．22C ．2D ．626．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h 、2h 、3h ，则123::(h h h = ) A ．2:3:3B ．23:1:1C ．3:2:2D ．3:6:67．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且BD CD ⊥，AB BD CD ==，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为()f x ，则()f x 的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P ，圆柱的上、下底面的圆心分别为1O ，2O ，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为O ，则不正确的是( )A ．如果圆锥的体积为圆柱体积的16，则圆锥的体积为8πB ．12122O O PO +=C ．如果112PO O O =，则O 与1O 重合D ．如果112:1:3PO O O =，则圆柱的体积为96125π二、多选题9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是( )A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆锥的表面积最小10．已知圆锥的顶点为S1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是()A．圆锥的侧面积是B．SA与底面所成的角是6πC．SAB∆D11．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是( )A．棱台的侧面积为BCD12．已知圆锥的顶点为P，母线长为2A，B为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是()A．圆锥的高为1B．三角形PABC．三角形PAB内切圆半径的最大值为2D．圆锥外接球的体积为32 3π三、填空题13．如图，四边形ABCD为梯形，//AD BC，90ABC∠=︒，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为．14．已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足SAB∆为等边三角形，且面积为43，又知SA与圆锥底面所成的角为45︒，则圆锥的表面积为．15．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为．16．“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1)．如图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中APC与BPD 为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为O，半径为1．用平行于底面ABCD的平面α去截“四脚帐篷”所得的截面图形为；当平面α经过OP的中点时，截面图形的面积为．四、解答题17．将半径为33α的扇形，用剩下的扇形铁皮制成一个圆锥形的容器，该圆锥的高记为h，体积为V．（1）求体积V有关h的函数解析式．（2）求当扇形的圆心角α多大时，容器的体积V最大．18．如图所示，有一块矩形铁皮ABCD ，4AB =，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面．试求： （1）矩形铁皮AD 的长度； （2）做成的圆锥体的体积．第九章立体几何专练2—基本立体图形（提升练）答案1．解：不妨设半圆的半径为1，用圆心角为3π的扇形围成的圆锥的底面周长为133ππ⨯=， 设其底面圆的半径为r ，则23r ππ=，解得16r =，则该圆锥的高21351()6h =-，用圆心角为23π的扇形围成的圆锥的底面周长为22133ππ⨯=， 设其底面圆的半径为R ，则223R ππ=，解得13R =，则该圆锥的高21221()3H =-，3567022=．故选：B ．2．解：圆锥的侧面展开图中，扇形所在圆的半径R ，扇形弧长4l π=，所以扇形的面积为142S π==扇形；设扇形的底面圆半径为r ，则24r ππ=，解得2r =， 所以底面圆的面积为224S ππ=⨯=底面圆；所以该圆锥的表面积为4(4S ππ=+=+． 故选：B ．3．解：由斐波那契数的规律知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， 所以接下来的圆弧对应的圆面半径是358+=，对应的弧长是12844l ππ=⨯⨯=， 设圆锥底面半径为r ，则24r ππ=，解得2r =，所以圆锥的高为h == 故选：A ．4．解：由题意，人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈， 因为圆的周长为2c r π=，所以圆盘与碌碡的半径之比为3:1，所以圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为3:2， 所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1:3． 故选：B ．5．解：设轴截面的正方形的边长为2，设1C 是弧11B A 的中点，且与C 关于圆柱的中心对称，由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴1C C =，所以长半轴长a =1b =，故半焦距为1c ==，所以椭圆的离心率为c e a ==． 故选：B ．6．解：设四棱锥为A BCFE -，三棱锥为A DEF -，则三棱锥A DEF -为正四面体，四棱锥A BCFE -为正四棱锥，显然23h h =． 设AB a =，正方形BCFE 的中心为M ，正三角形DEF 的中心为N ， 连接AM ，AN ，CM ，DN ，则22CM a =，233323DN a a =⨯=， 2222AM AC CM a ∴=-=，2263AN AD DN a =-=， 即122h AM a ==，2363h h AN a ===， 123266::::3:2:2233h h h ∴==． 故选：C ．7．解：作PQ BC ⊥于点Q ，作QR BD ⊥于点R ，连接到PR ， 由已知可得//PQ AB ，//QR CD ，且AB ⊥平面BCD ， 所以PQ ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ， 所以PQ BD ⊥， 又QR BD ⊥，PQQR Q =，PQ ，QR ⊂平面PQR ，所以BD ⊥平面PQR ，又PR ⊂平面PQR ， 所以BD PR ⊥， 设1AB BD CD ===， 则3AC =，则13x PQ =，所以3xPQ =， 又313QR BQ x BC -==，解得33xQR -=， 所以22233()()2233333x x PR x x -=+=-+， 故23()22336f x x x =-+， 其函数图像是关于直线32x =对称的图像且开口上，故选项B ，C ，D 错误． 故选：A ．8．解：由O 为外接球的球心，得PO AO CO DO ===；对于A ，21121121136O B PO V V O B O O ππ⋅⋅==⋅⋅圆锥圆柱，所以11212PO O O =， 又12122O O PO +=，所以112PO =，121O O =，所以112OO =， 所以2113144O B =-=， 所以211113133428V O B PO πππ=⋅⋅=⨯⨯=锥，选项A 正确；对于B ，由于BO DO =，则O 为12O O 中点，如图所示：因为111PO PO O O R =+==，21OO OO =，所以121PO OO +=， 所以111212122PO O O PO OO O O PO +++=+=，选项B 正确；对于C ：若O 与1O 重合，则2PO OO =，所以2OC OD OO OP =>≠与题设矛盾，选项C 不正确；对于D ，由112:1:3PO O O =，12122O O PO +=，可得125PO =，1265O O =， 所以1121325OO O O ==，又有1OB =，则145O B =，所以221124696()55125V O B O O πππ=⋅⋅=⋅⋅=，所以选项D 正确．故选：C ．9．解：对于A ，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R 相等，∴圆柱的侧面积为2224S R R R ππ=⨯=，故A 错误；对于B ，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R 相等，∴圆锥的侧面积为222(2)5S R R R R ππ=+，故B 错误；对于C ，圆柱的侧面积为2224S R R R ππ=⨯=，球面面积为24S R π=球，∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C 正确；对于D ，圆柱的表面积为222226S R R R R πππ=⨯+=圆柱， 圆锥的表面积为()2222(2)51S R R R R R πππ=+=圆锥，球的表面积为24S R π=球，∴圆锥的表面积最小，故D 正确．故选：CD ．10．解：因为圆锥的顶点为S 31，设圆锥的底面圆心为O ，则1SO =，底面半径3r =，所以母线长132l =+=， 故圆锥的侧面积是23rl ππ=，故选项A 正确；因为A ，B 是底面圆周上两个动点，则SA 为圆锥的一条母线，又SO ⊥底面圆， 则SAO ∠即为SA 与底面所成的角，在Rt SAO ∆中，13tan 33SO SAO r ∠===， 所以SA 与底面所成的角是6π，故选项B 正确； 设ASB α∠=，则0120α︒︒，且2SA SB ==， 所以SAB ∆的面积为212sin 2S α=⨯⨯，所以当90α=︒，时，SAB ∆的面积最大为2，故选项C 错误； 设圆锥内接圆柱的底面半径为(03)x x <<，高为h ， 则有13x h h -=，可得13xh =-， 则圆柱的侧面积为221233x x S x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭侧， 由二次函数的性质可知，当32x =时，S 侧有最大值为23()3322[]223ππ⨯-+=，故选项D 正确． 故选：ABD ．11．解：由题意作右图正三棱台111ABC A B C -，在平面11ABB A 中由点1A 向AB 作垂线，垂足为D ，取线段BC 的中点E ，连接AE ，在平面1AEA 中由点1A 向AE 作垂线，垂足为F ，连接DF ， 在等腰梯形11ABB A 中，4AB =，112B A =，12AA =， 则(42)21AD =-÷=，221213A D =-=故棱台的侧面积为13(24)3932⨯+⨯=，故A 正确，易知1A F 为棱台的高，在Rt ADF ∆中，3tan 63DF AD π=⋅=，2123133AF =+=，在Rt △1A DF 中，22112633A F A D DF =-=≠，故B 错误， 棱台的侧棱与底面所成角为1A AE ∠，112333cos 23AF A AE AA ∠===，故C 正确， 棱台的侧面与底面所成锐二面角为1A DE ∠，11313cos 33DF A DE A D ∠===，故D 错误，故选：AC ．12．解：圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3， 如图所示：所以圆锥的高为222(3)1h -，所以选项A 正确；由于A 和B 为底面圆周上两个动点，由于满足PA PB =，所以PAB ∆为等腰三角形， 由轴截面为等腰三角形PAC ，且顶角为2260120APC APO ∠=∠=⨯︒=︒， 当等腰三角形PAB 的顶角为90︒时，PAB ∆的面积取得最大值为： 122sin9022PAB S ∆=⨯⨯⨯︒=，所以选项B 错误；设PAB ∆内切圆的半径为r ，由题意知当PAB ∆的面积取得最大值时r 取得最大值，由等积法知，1(2222)22r ++=，解得22r =-，所以PAB ∆内切圆半径的最大值为22-，选项C 正确； 由题意知，圆锥外接球的半径是轴截面PAC ∆外接圆的半径， 由正弦定理得2324sin120R ==︒，解得2R =，所以圆锥外接球的体积为3432233V ππ=⨯=外接球，选项D 正确． 故选：ACD ．13．解：由题意可知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球， 圆台的上底面面积14S π=，下底面面积216S π=，所以圆台的体积为()14416163283V πππππ=⨯+⨯+⨯=圆台，又半球的体积为314162233V ππ=⨯⨯⨯=半球，故旋转体的体积为16682833V V πππ-=-=圆台半球． 故答案为：683π． 14．解：如图所示，设圆锥母线长为l ，由SAB ∆为等边三角形，且面积为43， 得23434l ⋅=，解得4l =； 设圆锥底面半径为r ，由SA 与圆锥底面所成的角为45︒， 得4cos4522r =⨯︒=； 所以圆锥的表面积为：()()2222422821S rl r πππππ=+=⋅⋅+⋅=+圆锥表．故答案为：8(21)π+．15．解：如图1，上底面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连结OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ， 则12ABC S AB CM ∆=⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABC S ∆的大小随着CM 的长短变化而变化， 如图2所示，当点M 与点O 重合时，22125CM OC ==+= 此时ABC S ∆取得最大值为12552⨯如图3所示，当点M 与点B 重合，CM 取最小值2， 此时ABC S ∆取得最小值为12222⨯⨯=．综上所述，ABC S ∆的取值范围为5]． 故答案为：5]．16．解：由题意，图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分， 因为底面ABCD 为正方形，由平行截面的性质可知，用平行于底面ABCD 的平面α去截“四脚帐篷”所得的截面图形A B C D ''''为正方形，当平面α经过OP 的中点时，因为1OP =，则12OO '=，OO O B '''⊥， 又1OB '=，所以3O B ''= 故3322A B ''==， 所以截面图形A B C D ''''的面积为233()22=． 故答案为：正方形；32．17．解：（1）将半径为33α的扇形， 用剩下的扇形铁皮制成一个圆锥形的容器，该圆锥的高记为h ，体积为V ． 设圆锥底面圆的半径为r ，则22227r R h h -=- 223111()(27)9333V h r h h h h h ππππ=⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯=-+．∴体积V 有关h 的函数解析式为31()93V h h h ππ=-+．⋯（4分）（2）31()9,(0)3V h h h h ππ=-+>，2()9V h h ππ'=-，⋯（6分）令()0V h '>，03h <<．令()0V h '<，3h >．∴当(0,3)x ∈，()V h 递增，当(3,)x ∈+∞，()V h 递减．当3h =，[()]max V h V =（3）⋯（8分） ．222r h R +=，∴32r = (2)2R r παπ-=，∴626α-=⋯（10分） ∴当626α-时，该圆锥的体积最大．⋯（12分） 18．解：如图所示，取半圆的圆心记作O 点，圆面的圆心记作O '，作O E AD '⊥交AD 于点E ， 设圆锥底面半径为22ABr ==，圆锥母线长为4l AB ==， 则：6OO l r '=+=，2EO r '==；（1）在Rt △OO E '中，由勾股定理可得：226242EO =-∴4422642AD DO OE EA =++=+=+（2）由（1）可得：圆锥的母线长4l =，底面半径2r =，则圆锥的高为：2223h l r =-=； ∴圆锥的体积为：283133V r h ππ==圆锥．。
高一数学立体几何练习题及答案
高一数学立体几何练习题及答案一、选择题1. 下列哪个图形不是立体图形？A. 立方体B. 圆锥C. 圆柱D. 正方形答案：D2. 已知一个立方体的边长为5cm，求它的表面积和体积分别是多少？A. 表面积：150cm²，体积：125cm³B. 表面积：100cm²，体积：125cm³C. 表面积：150cm²，体积：100cm³D. 表面积：100cm²，体积：100cm³答案：A3. 以下哪个选项可以形成一个正方体？A. 六个相等的长方体B. 一个正方形和一个长方体C. 六个相等的正方形D. 一个正方形和一个正方体答案：C4. 以下哪个图形可以形成一个圆柱？A. 一个正方形和一个长方体B. 一个圆和一个长方体C. 一个长方形和一个长方体D. 一个正方形和一个正方体答案：C5. 以下哪个选项可以形成一个圆锥？A. 一个圆和一个长方体B. 一个圆和一个正方体C. 一个正方形和一个长方体D. 一个正方形和一个正方体答案：B二、填空题1. 已知一个正方体的表面积为96cm²，求它的边长是多少？答案：4cm2. 已知一个圆柱的半径为3cm，高为10cm，求它的表面积和体积分别是多少？答案：表面积：198cm²，体积：90π cm³3. 以下哪个选项可以形成一个长方体？A. 六个相等的正方形B. 一个圆和一个长方形C. 六个相等的长方形D. 一个正方形和一个正方体答案：C三、解答题1. 某长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，请回答以下问题：（1）它的表面积是多少？（2）它的体积是多少？答案：（1）表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)= 2(3×4 + 3×5 + 4×5)= 2(12 + 15 + 20)= 2(47)= 94cm²（2）体积 = 长×宽×高= 3×4×5= 60cm³2. 某圆锥的半径是5cm，高是12cm，请回答以下问题：（1）它的表面积是多少？（2）它的体积是多少？答案：（1）斜面积= π×半径×斜高= π×5×13≈ 204.2cm²（2）体积= (1/3)π×半径²×高= (1/3)π×5²×12≈ 314.2cm³四、解析题某正方体的表面积是96cm²，它的边长是多少？解答：设正方体的边长为x，由表面积的计算公式可得：表面积 = 6x²96 = 6x²16 = x²x = 4所以，该正方体的边长为4cm。
高一数学立体几何知识点
高一数学立体几何知识点在高一的数学学习中，立体几何是一个非常重要的部分。
通过学习立体几何，我们可以了解到许多与立体图形相关的概念和定理。
在本文中，我们将着重介绍一些高一数学中常见的立体几何知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一部分的知识。
一、立体图形的基本概念立体几何是研究三维空间中的图形和体积的学科。
在立体几何中，我们首先需要了解一些基本概念，例如点、线、面、角等。
在三维几何空间中，点是没有大小的，线是由无数个点组成的，面是由无数个线组成的。
二、立体图形的分类在立体几何中，常见的图形有球体、圆柱体、棱柱、棱锥、四面体、正六面体等。
这些图形都有各自独特的性质和特点。
1. 球体：球体是由一个点向外面距离相等的所有点组成的。
球体有一个重要的性质——半径。
半径是连接球心和球面上的任意一点的线段，而直径是连接球面上两个相对的点的线段。
2. 圆柱体：圆柱体是由两个平行的并且大小相等的平面圆一起张成的。
圆柱体有两个重要的性质——底面积和侧面积。
底面积是圆柱体的基底圆的面积，而侧面积是圆柱体的侧表面的面积。
3. 棱柱：棱柱是由若干个相等的正多边形组成的，其中两个相邻的正多边形是平行的。
棱柱也有底面积和侧面积两个性质，与圆柱体十分相似。
4. 棱锥：棱锥是由一个多边形的底面和一个共享顶点的侧面组成的。
棱锥除了有底面积和侧面积之外，还有一个重要的性质——侧棱的生成线。
三、立体图形的体积计算在立体几何中，我们常常需要计算图形的体积，而不仅仅只是表面积。
不同的图形有不同的体积计算公式。
1. 球体的体积公式：体积V=（4/3）πr³，其中r为球体的半径。
2. 圆柱体的体积公式：体积V=底面积×高，其中底面积为πr²，r为底面圆的半径，高为圆柱体的高度。
3. 棱柱的体积公式：体积V=底面积×高，与圆柱体的体积计算公式相同。
4. 棱锥的体积公式：体积V=（1/3）×底面积×高，其中底面积为多边形的面积，高为棱锥到底面的确定的垂直距离。
高一数学立体几何初步期末复习
高一数学立体几何初步期末复习教学目的1. 复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用2. 掌握典型题型及其处理方法 教学重点、难点《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法 知识分析1. 多面体的结构特征对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。
2. 旋转体的结构特征旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。
3. 表面积与体积的计算有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。
4. 三视图与直观图的画法三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。
5. 直线和平面平行的判定方法 （1）定义：a a αφα=⇒I P ；（2）判定定理：a b a b a ////，，⊄⊂⇒ααα；（3）线面垂直的性质：b a b a a ⊥⊥⊄，，，ααα//(用的少)； （4）面面平行的性质：αβαβ////，a a ⊂⇒。
6. 线线平行的判定方法（1）定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线； （2）公理4：a b b c a c //////，，⇒；（3）平面几何中判定两直线平行的方法，如三角形（梯形）中位线定理，平行四边形性质； （4）线面平行的性质：,,a a b a b αβαβ⊂=⇒P I P ； （5）线面垂直的性质：a b a b ⊥⊥⇒αα，//；（6）面面平行的性质：,,a b a b αβαγβγ==⇒P I I P 。
高一数学立体几何知识点(全章)
高一数学立体几何学1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2. 空间直线.（1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）向这个平面所引的垂⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．线段和斜线段）⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若ba=，则b a,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
（直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）（3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂P直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.●若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），●三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条．．斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
2023高一下学期备战期末立体几何专题期末专题08 立体几何大题综合解析版
期末专题08 立体几何大题综合1．（2021春·江苏南京·高一校联考期末）如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，60BAD ∠=°，2AB =，1DE EF ==． （1）求证：//BC EF ；（2）求三棱锥B DEF −的体积．2．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，6ABAD AC ===，8PA BC ==，10PD =，M 为棱AD 上一点，且2AM MD =，N 为棱PC 的中点．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求四棱锥N BCDM −的体积．3．（2021·江苏·高一期末）如图在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点.（1）求证：EF ∥平面P AB；2023高一下学期备战期末立体几何专题（2）若AP =AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，证明AF ⊥平面PCD .4．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）如图，四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点．(1)若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ； (2)若BF PC ⊥，求证：平面⊥BDF 平面PBC ．5．（2021春·江苏常州·高一校联考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=°，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =（1）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//l BC ； （2）求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）求直线BM 与CD 所成角的余弦值．6．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为平行四边形，6810PAAD PD AB PB =====，，，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面PCD l =．(1)求四棱锥P ABCD −的体积； (2)求二面角A l D −−的余弦值．7．（2022春·江苏常州·高一统考期末）刍（ch ú）甍（m éng ）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶 ”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为长方形，//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是全等的等边三角形.(1)求证：//EF DC ；(2)若已知224AB BC EF ===， ①求二面角A EF C −−的余弦值； ②求该五面体ABCDEF 的体积.8．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，1,AB BC==4ABC π∠=.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ； (2)若PD 与平面P AC 所成的角为6π，求PC 与平面P AD 所成的角的正弦值. 9．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）如图，在四棱锥P -ABCD 中，112ABBC CD AD ====，//AD BC ，P 在以AD 为直径的圆O 上，平面ABCD ⊥平面P AD .(1)设点Q 是AP 的中点，求证：BQ //平面PCD ；(2)若二面角C PD A −−的平面角的正切值为2，求三棱锥A -PCD 的体积.10．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）在斜三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为4的正三角形，1=A B 1160A AB A AC ∠=∠=°．(1)证明：11//A C 平面1AB C ； (2)证明：1BC AA ⊥；(3)求直线BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．11．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为PB 中点，M 为AD 中点，F 为线段BC 上一点.(1)若F 为BC 中点，求证：//PM 平面AEF ；(2)设直线EF 与底面ABCD 所成角的大小为α，二面角E AF B −−的大小为β，若tan =βα，求BF 的长度.12．（2021春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1B C AB ⊥，侧面11BCC B 为菱形.（1）求证：1B C ⊥平面1ABC .（2）如果点D ，E 分别为11A C ，1BB 的中点，求证：//DE 平面1ABC .13．（2021春·江苏南京·高一校联考期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是线段AB 上的动点.（1）线段AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1B CD ？若存在，请写出ADDB值，并证明此时，1//AC 平面1B CD ；若不存在，请说明理由； （2）已知平面11ABB A ⊥平面1CDB ，求证：CD AB ⊥.14．（2021·江苏·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面ABCD ⊥平面PAB ，PAB 为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，E 为PB 的中点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PBC .（2）平面ADE 分此棱锥为两部分，若2AB AD =，求大的部分体积与小的部分体积之比.15．（2021·江苏·高一期末）已知在六面体PABCDE 中，PA ⊥平面ABCD ，ED ⊥平面ABCD ，且2PA ED =，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=°.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若2AB =，1DE =，且M 为PB 的中点，求三棱锥E PAM −的体积.16．（2021春·江苏常州·高一校联考期末）如图，三棱锥−P ABC 的底面是等腰直角三角形，其中2ABAC ==，PA PB =，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，F ，M ，N 分别是AB ，AC ，PC ，BC 的中点．（1）证明：平面EMN ⊥平面PAB ； （2）当PF 与平面ABC 所成的角为3π时，求四棱锥A PMNB −的体积． 17．（2021春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.（1）证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求二面角C OP D −−的余弦值.18．（2021春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期末）如图在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为菱形，平面11BCC B ⊥平面ABC ，直线1BB 与平面ABC 所成线面角为60°，且8BC =，10AC =，3cos 5CAB ∠=.（1）求证：平面1AB C ⊥平面1ABC ；（2）设P 为线段11A B 上一点，求三棱锥A PBC −的体积.19．（2021春·江苏苏州·高一统考期末）如图1，在矩形ABCD 中，已知2AB BC =，E 为AB 的中点.将ADE 沿DE 向上翻折，进而得到多面体1A BCDE −（如图2）.（1）求证：1DE A C ⊥；（2）在翻折过程中，求二面角1A DC B −−的最大值.20．（2021春·江苏南京·高一校联考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是矩形，侧面11BCC B 是菱形，M 、N 分别是1AB 、1BC 的中点，1AC BC ⊥（1）求证：//MN 平面111A B C ； （2）求证：11BC AB ⊥；（3）若2AC =，1BCC 是边长为4的正三角形，求三棱锥1B AB C −的体积． 21．（2021春·江苏徐州·高一统考期末）如图①，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，BB 1，的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面BB 1D 1D ；（2）将该正方体截去八个与四面体B -EFG 相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是1603，求该正方体的棱长． 22．（2021春·江苏南京·高一校考期末）如图，A 是以BD 为直径的半圆O 上一点，BC 垂直于圆O 所在的平面．（1）求证：AD ⊥平面ABC ；（2）若22BD BC ==， AD AB =，求二面角A CD B −−的余弦值．23．（2021春·江苏南京·高一南京市第一中学校考期末）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ＝2，CD ．平面P AD ⊥平面ABCD ，∠PDA ＝90°．(1)若平面P AD ∩平面PBC ＝l ，求证：l ∥BC ；(2)求证：平面P AC ⊥平面PBD ；(3)若二面角B ﹣P A ﹣D 的正切值为，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．24．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45°，求三棱锥A BCD −的体积.25．（2022春·江苏南京·高一统考期末）如图，三棱锥A BCD −中，ABC 为等边三角形，且面ABC ⊥面BCD ，CD ⊥．(1)求证：CD AB ⊥；(2)当AD 与平面BCD 所成角为45°时，求二面角C AD B −−的余弦值．26．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）已知一圆形纸片的圆心为O ，直径2AB =，圆周上有C 、D 两点.如图，OC AB ⊥，6AOD π∠=，点P 是 BD 上的动点.沿AB 将纸片折为直二面角，并连结PO ，PD ，PC ，CD .(1)当//AB 平面PCD 时，求PD 的长；(2)当三棱锥P COD −的体积最大时，求二面角O PD C −−的余弦值.27．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）在四棱锥P ABCD −中，平面ABCD⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===，120PDC ∠=°．(1)求证：AD PC ⊥； (2)求二面角______的余弦值；从① P AB C ，② P BD C −−，③ P BC D −−这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．(3)若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行． 28．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，//CD AB ，90ABC ∠= ，2AB BC ==2CD ，侧面PAD ⊥平面ABCD ．(1)求证：BD PA ⊥；(2)设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，PA 、PB 的中点分别为E 、F ，证明：//l 平面DEF ．29．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，4PA AD ==，2AB =，PA ⊥平面ABCD ，且M 是PD 的中点.(1)求证：AM ⊥平面PCD ；(2)求异面直线CD 与BM 所成角的正切值；(3)求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值.30．（2022春·江苏扬州·高一期末）如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，异面直线1BC 与1AB 互相垂直.（1）求证：平面1//A DC 平面11BD C ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为x ，116AC AB ==，三棱锥1A ACD −的体积为y ，试写出y 关于x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当1CC 与平面11ABB A 的距离为多少时，三棱锥1A ACD −的体积取得最大值？并求出最大值.期末专题08 立体几何大题综合1．（2021春·江苏南京·高一校联考期末）如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，60BAD ∠=°，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：//BC EF ；（2）求三棱锥B DEF −的体积．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）先证明//BC 平面ADEF ，再利用线面平行的性质，证明//BC EF ； （2）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，证明BH 是三棱锥B DEF −的高，即可求三棱锥B DEF −的体积．【详解】（1）因为//AD BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，所以//BC 平面ADEF ，又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =， 所以//BC EF ．（2）如图，在平面ABCD 内过点B 作BH AD ⊥于点H ．因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以DE BH ⊥．又AD ，DE ⊂平面ADEF ，AD DE D ∩=，所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B DEF −的高．在直角三角形ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，所以BH =因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE AD ⊥．又由（1）知，//BC EF ，且//AD BC ，所以//AD EF ，所以DE EF ⊥，所以三棱锥B DEF −的体积11111332DEF V S BH ∆=××=×××= 2．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，6ABAD AC ===，8PA BC ==，10PD =，M 为棱AD 上一点，且2AM MD =，N 为棱PC 的中点．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求四棱锥N BCDM −的体积．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）依题意可得PA AD ⊥，由面面垂直的性质得到PA ⊥平面ABCD ，即可证明平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）根据图中的几何关系，求出四边形BCDM 的面积，根据N 是PC 的中点，即可求解．【详解】（1）证明：由题意，222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =， PA ∴⊥平面ABCD ，又PA ⊂ 平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）解：设BC 的中点为H ，连接AH ，AB AC = ，所以ABC 是等腰三角形，AH BC ∴⊥，即AH 是梯形底边上的高，AH ==由题意知，2MD =，所以()12822BCDM S DM BC AH ++⋅× N 是PC 的中点，N ∴到底面的距离为142PA =，四棱锥N BCDM −的体积为143××；综上，四棱锥N BCDM − 3．（2021·江苏·高一期末）如图在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点.（1）求证：EF ∥平面P AB ；（2）若AP =AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，证明AF ⊥平面PCD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由中位线定理得//EF CD ，从而可得//EF AB ，得线面平行；（2）由等腰三角形得AF PD ⊥，再由面面垂直的性质定理得CD 与平面PAD 垂直，从而得CD AF ⊥，再由线面垂直的判定定理得证线面垂直．【详解】证明：（1）因为点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点.，所以//EF CD ，又//CD AB ，所以//EF AB ，而EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//EF 平面PAB ；（2）AP AD =，F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD 平面ABCD AD =，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥，CD PD D = ，,CD PD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ．4．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）如图，四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点．(1)若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ；(2)若BF PC ⊥，求证：平面⊥BDF 平面PBC ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）AC ，BD 的交点为O ，连接OF ，由菱形及中位线性质有//PA OF ，再由线面平行的判定可证结论；（2）由题意及线面垂直的性质有BD AC ⊥、BD PA ⊥，再由线面垂直的判定和性质得BD PC ⊥，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.（1）设AC ，BD 的交点为O ，连接OF ，因为底面ABCD 为菱形，且O 为AC 中点，PF FC =，所以//PA OF ，又PA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，故//PA 平面BDF ．（2）因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又AC PA A ∩=，AC 、PA ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥，又BF PC ⊥，BD BF B = ，BD ，BF ⊂平面BDF ，所以PC ⊥平面BDF ，又PC ⊂平面PBC ，故平面⊥BDF 平面PBC .5．（2021春·江苏常州·高一校联考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=°，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =（1）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//l BC ；（2）求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）求直线BM 与CD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2（3． 【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可；（2）根据面面垂直的性质，结合线面角定义进行求解即可；（3）根据平行线的性质，结合异面直线所成角的定义和余弦定理进行求解即可.【详解】证明：（1）∵//AD BC 、AD ⊂面PAD 、BC ⊄面PAD ，∴//BC 面PAD ,BC ⊂面PBC ，又∵面PAD ∩面PBC l =，∴//BC l ．（2）解：连结EC ，取EC 中点H ，连结MH ，HB ，∵M 是PC 的中点，H 是EC 的中点，∴//MH PE ，∵PA PD =，E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ，∴HB 是BM 在平面ABCD 内的射影，∴MBH ∠为BM 与平面ABCD 所成的角，∵//AD BC ，12BC AD =，E 为AD 的中点，90ADC ∠=°， ∴四边形BCDE 为矩形，∴EC =112HB EC ==，又∵12MH PE ==∴MHB 中，tan MH MBH HB ∠=，∴直线BM 与平面ABCD （3）解：由（2）知//CD BE ， ∴直线BM 与CD 所成角即为直线BM 与BE 所成角，连接ME ，Rt MHE △中，ME =Rt MHB △中，BM又BE CD ==∴MEB中，222cos 2BM BE ME MBE BM BE +−∠==⋅ ∴直线BM 与CD6．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为平行四边形，6810PA AD PD AB PB =====，，，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面PCD l =．(1)求四棱锥P ABCD −的体积；(2)求二面角A l D −−的余弦值．【答案】(2)23【分析】（1）作PM AD ⊥，垂足为M ，显然PM ，P A 不重合，作AN PD ⊥，垂足为N ，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得到PM ⊥平面ABCD ，再由平行四边形ABCD 为矩形，且面积为48，利用锥体的体积公式求解；（2）由AB ∥平面PCD ，平面PAB ∩平面PCD l =，得到AB l ∥，结合（1）得到l ⊥平面P AD ，则APD ∠二面角A l D −−的平面角求解．(1)解：如图所示：作PM AD ⊥，垂足为M ，显然PM ，P A 不重合，作AN PD ⊥，垂足为N ．在PAD 中，68PAAD PD ===，，所以N 为PD 中点，且AN =所以118622PAD S PM =××=××△，解得：PM = 因为6,8,10PA AB PB ===， 所以222PA AB PB +=，则PA AB ⊥；因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面,,ABCD AD PM AD PM =⊥⊂平面P AD ， 所以PM ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PM AB ⊥，又,,PA PM P PA PM =⊂ 平面P AD ， 则AB ⊥平面P AD ，又AD ⊂平面P AD ，所以AB AD ⊥，则平行四边形ABCD 为矩形，且面积为48；所以四棱锥P ABCD −的体积为1483× (2)因为底面ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，又因为CD ⊂平面PCD ，AB ⊄位平面PCD ，所以AB ∥平面PCD ．又因为AB ⊂平面P AB ，平面PAB ∩平面PCD l =，所以AB l ∥．由（1）知AB ⊥平面P AD ，所以l ⊥平面P AD ，又因为PA PD ⊂，平面P AD ，所以PA l ⊥且PD l ⊥，所以二面角A l D −−的平面角即APD ∠．在PAD 中，68PAAD PD ===，， 由余弦定理得2222226862cos 22683AP PD AD APD AP PD +−+−∠===⋅××． 所以二面角A l D −−的余弦值为23．7．（2022春·江苏常州·高一统考期末）刍（ch ú）甍（m éng ）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶 ”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为长方形，//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是全等的等边三角形.(1)求证：//EF DC ；(2)若已知224AB BC EF ===， ①求二面角A EF C −−的余弦值； ②求该五面体ABCDEF 的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)①13【分析】（1）利用线面平行的性质定理即得；（2）过点E 作EG DC ⊥，作EH AB ⊥，过点F 作FM DC ⊥，作FN AB ⊥，由题可得HEG ∠即为二面角A EF C −−的平面角，结合条件利用余弦定理可得；利用割补法可把该五面体分为两个四棱锥和一个三棱柱，然后利用锥体及柱体的体积公式即得. 【详解】（1）五面体ABCDEF 中，因为//EF 平面ABCD ， EF ⊂平面CDEF ，平面CDEF 平面ABCD CD =，所以//EF CD .（2）过点E 作EG DC ⊥，作EH AB ⊥，垂足分别为G ，H ， 过点F 作FM DC ⊥，作FN AB ⊥，垂足分别为M ，N ， 连结GH ，MN ，如图，①由（1）及四边形ABCD 为长方形知，AB CD EF ∥∥， 所以EG EF ⊥，EH EF ⊥，所以HEG ∠即为二面角A EF C −−的平面角，因为224AB BC EF ===，且ADE 和BCF △是全等的等边三角形， 所以222GMDG MC ===，2ED EA FC FB ====，因此，在EGH 中，EG EH ==2GH =，由余弦定理，得2221cos 23EH EG GH HEGEG EH +−∠==⋅， 故二面角A EF C −−的余弦值为13.②取GH 中点O ，连结EO ，由EG EH =知，EO GH ⊥，因为DC EG ⊥，DC GH ⊥，且EG ，GH 是平面EGH 内两相交直线， 所以DC ⊥平面EGH ， 因为EO ⊂平面EGH ，所以EO DC ⊥，又GH ，DC 是平面ABCD 内两相交直线， 所以EO ⊥平面ABCD ，在EGH 中，EG EH ==2GH =，可得EO =所以，四棱锥E ADGH −和F BCMN −的体积均为111(12)33ADGH V S EO =⋅=××=三棱柱EGH FMN −的体积21222FGH V S EF =⋅=××= △所以，该五面体ABCDEF 的体积为122V V +8．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，1,AB BC==4ABC π∠=.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ； (2)若PD 与平面P AC 所成的角为6π，求PC 与平面P AD 所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）由余弦定理、勾股定理知AC CD ⊥，根据线面垂直的性质得PA CD ⊥，再根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.（2）由（1）知PD 与平面P AC 所成角的平面角为6CPD π∠=求得PC =，再通过线面垂直证面面垂直并找到在面PAD 上C 的射影位置，即可求C 到面PAD 的距离，即可求PC 与平面P AD 所成的角的正弦值.【详解】（1）由题意BC AD ==，1ABCD ==，又4ABC ADC π∠=∠=，在△ADC 中1AC =，故222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥，又P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，则PA CD ⊥， 而PA AC A = ，,PA AC ⊂面PAC ，则CD ⊥面PAC ， 由CD ⊂面PCD ，故面PCD ⊥面PAC .（2）由（1）知：CD ⊥面PAC ，则PD 与平面P AC 所成角的平面角为6CPD π∠=，而1CD =，易知：PC =，又P A ⊥平面ABCD ，PA ⊂面PAD ，则面ABCD ⊥面PAD ，而C ∈面ABCD ，面ABCD ∩面PAD AD =，则在面PAD 上C 的射影在AD 上， 又△ADC 为等腰直角三角形，故C 在AD 上射影为AD 中点，所以C 到面PAD 的距离为2ADh==故PC 与平面P AD 所成的角的正弦值为h PC =. 9．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）如图，在四棱锥P -ABCD 中，112AB BC CD AD ====，//AD BC ，P 在以AD 为直径的圆O 上，平面ABCD ⊥平面P AD .(1)设点Q 是AP 的中点，求证：BQ //平面PCD ；(2)若二面角C PD A −−的平面角的正切值为2，求三棱锥A -PCD 的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)14.【分析】（1）E 为PD 中点，连接,QE CE ，中位线性质得//QE AD 且12QE AD =，结合已知有BCEQ 为平行四边形，再由线面平行的判定证明结论.（2）找到C 在面PAD 上射影F ，过F 作//FG AP 交PD 于G ，进而求出CF 、PA 、PD ，根据A PCD C ADP V V −−=及棱锥的体积公式求体积即可.【详解】（1）若E 为PD 中点，连接,QE CE ，又Q 是AP 的中点，即//QE AD 且12QE AD =，又12BC AD =，//AD BC ，故BC QE =且//BC QE ， 所以BCEQ 为平行四边形，故//BQ CE ，由⊄BQ 面PCD ，CE ⊂面PCD ，则//BQ 面PCD .（2）面ABCD ⊥面P AD ，面ABCD ∩面PAD AD =，C ∈面ABCD ， 则C 在面PAD 上射影F 在AD 上，即CF ⊥面PAD ，PD ⊂面PAD ， 所以CF PD ⊥，又112ABBC CD AD ====，//AD BC ，故12DF =，CF 过F 作//FG AP 交PD 于G ，则14DF FG DG AD PA PD ===， 由P 在以AD 为直径的圆O 上，即AP PD ⊥， 所以FG PD ⊥，又CF FG F = ，,CF FG ⊂面CFG ，故PD ⊥面CFG ，而CG ⊂面CFG ， 所以PD CG ⊥由FG ⊂面PAD ，CG ⊂面CDP ，面PAD ∩面CDP PD =，所以二面角C PD A −−对应平面角为CGF ∠，即tan 2CFCGF FG∠==，故FG =PA =，则1PD =， 所以111324A PCD C ADP V V CF PA PD −−==××××=.10．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）在斜三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为4的正三角形，1=A B 1160A AB A AC ∠=∠=°．(1)证明：11//A C 平面1AB C ； (2)证明：1BC AA ⊥；(3)求直线BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线线平行证明线面平行；（2）作出辅助线，得到11A AB A AC ≌△△，即有11=AC A B ，证明出1BC A M ⊥，再有BC AM ⊥，证明出BC ⊥平面1AA M ，从而得到1BC AA ⊥；（3）法一：由余弦定理得到16AA =，得到1AM A M ⊥，求出11123−=×⋅△B AA C AA M V S BM ，由等体积法求出C 到平面11ABB A 的距离d ，设直线BC 与平面11ABB A 所成角为θ，从而得到sin ==dBC θ，法二：作出辅助线，找到线面角，求出各边长，从而得到BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值. （1）证明：在三棱柱111ABC A B C 中有11//A C AC 又因为11A C ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C 即有11//A C 平面1AB C（2）取BC 中点M ，连接1,AM A M因为ABC 为正三角形，AC AB =，M 为BC 中点 所以BC AM ⊥，因为111160,∠=∠=°=A AB A AC AA AA 所以11A AB A AC ≌△△，即有11=AC A B所以1BC A M ⊥又因为1,=⊂ AM A M M AM 平面11,⊂AA M A M 平面1AA M 所以BC ⊥平面1AA M ，又1AA ⊂平面1AA M ，即有1BC AA ⊥ （3）法一：在1A AB △中，由余弦定理得：2221111cos 2+−∠=⋅AA AB A B A AB AA AB 得21111628224+−=⋅AA AA 解得：16AA =或2−（舍去） 1A M BC ⊥，由勾股定理得：1A M ==因为AM =22211AM A M A A +=，由勾股定理逆定理得：1AM A M ⊥，所以111122A AM S A M AM =⋅=× 由BC ⊥平面1AA M得11123−=×⋅△B AA C AA M V S BM ， 记C 到平面11ABB A 的距离为d因为11113C A AB B AA C A AB V V S d −−==⋅=，11111sin 46sin 6022ABA S AB AA BAA =⋅∠=××°=所以d =，又因为4BC = 记直线BC 与平面11ABB A 所成角为θ，则sin ==dBC θ法二：过点B 作1BE AA ⊥于点E ，连接EC ，又因为1,,,⊥=⊂ BC AA BC BE B BC BE 平面BEC ， 所以1AA ⊥平面BEC 过C 作CH BE ⊥于H由CH ⊂平面CBE ，则1CH AA ⊥因为11,,=⊂ BE AA E AA BE 平面11ABB A 所以CH ⊥平面11ABB A ，则sin 604BE CE AB ==°=则2221cos23BE CE BC BEC BE CE +−∠==⋅，则sin BEC ∠所以1sin 2BEC S BE CE BEC =⋅∠= CH记直线BC 与平面11ABB A 所成角为θ，则sin ==CH BC θ11．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为PB 中点，M 为AD 中点，F 为线段BC 上一点.(1)若F 为BC 中点，求证：//PM 平面AEF ；(2)设直线EF 与底面ABCD 所成角的大小为α，二面角E AF B −−的大小为β，若tan =βα，求BF 的长度.【答案】(1)证明见解析； (2)2或1.【分析】（1）连接BM 交AF 于点O ，连接OE ，易得ABFM 为平行四边形，即O 为BM 中点，可得//EO PM ，再由线面平行的判定证结论.（2）取AB 中点H ，连接FH ，由中点及线面垂直的性质得EH ⊥底面ABCD ，则EFH ∠为直线EF 与底面ABCD 所成角，过H 作⊥HN AF 于N ，连接EH ，EN ，利用线面垂直的判定及性质得AF EN ⊥，则ENH ∠为二面角E AF B −−的平面角，用线段表示出tan ,tan βα，结合222AF AB BF =+求BF 的长度.(1)连接BM 交AF 于点O ，连接OE ，底面ABCD 为正方形，F 为BC 中点，//AM BF ∴且AM BF =，∴四边形ABFM 为平行四边形.O ∴为BM 中点，又E 为PB 中点，//EO PM ∴，又PM ⊄平面AEF ，EO ⊂平面AEF ，//PM ∴平面AEF . (2)取AB 中点H ，连接FH . E 为线段PB 中点，//EH PA ∴且112EH PA ==，又PA ⊥底面ABCD ， EH ∴⊥底面ABCD ，HF ∴为斜线EF 在平面ABCD 内的射影，则EFH ∠为直线EF 与底面ABCD 所成角，即∠=EFH α，1tan ==EH HF HFα. 过H 作⊥HN AF 于N ，连接EH ，EN .⊥ EH 底面ABCD ，AF ⊂底面ABCD ，∴⊥EH AF ，又⊥HN AF ，= HN EH H ，,HN EH ⊂面EHN ， AF ∴⊥平面EHN ，EN ⊂平面EHN ，∴⊥AF EN ，综上，ENH ∠为二面角E AF B −−的平面角，即∠=ENH β，1tan ==EH NH NHβ.由tan =βα，知1=NH =HF .设0 =≤≤ NH t t ，=HF ，则=AN 3=NF t ，=BF由222AF AB BF =+得：)22232+=+t，化简得4210710−+=t t ，解得212t =或15，则2BF =或1.12．（2021春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1B C AB ⊥，侧面11BCC B 为菱形.（1）求证：1B C ⊥平面1ABC .（2）如果点D ，E 分别为11A C ，1BB 的中点，求证：//DE 平面1ABC . 【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【分析】（1）根据侧面11BCC B 为菱形，则11B C BC ⊥，进而可得结论；（2）取1AA 的中点F ，连DF ，FE ，可得//DF 面1ABC ，同理可得//EF 面1ABC ，进而可得//DE 面1ABC .【详解】（1）因三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为菱形，则11B C BC ⊥. 又1B C AB ⊥，且AB ，1BC 为平面1ABC 内的两条相交直线， 故1B C ⊥平面1ABC（2）如图，取1AA 的中点F ，连DF ，FE .因D 为11A C 的中点，则1//DF AC ，//EF AB 而DF ⊄平面1ABC ，1AC ⊂平面1ABC ， 故//DF 面1ABC . 同理，//EF 面1ABC .因DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线， 故平面//DEF 面1ABC . 因DE ⊂平面DEF ， 故//DE 面1ABC .【点睛】本题考查线面垂直，线面平行的证明，属于基础题.13．（2021春·江苏南京·高一校联考期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，点D 是线段AB 上的动点.（1）线段AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1B CD ？若存在，请写出ADDB值，并证明此时，1//AC 平面1B CD ；若不存在，请说明理由； （2）已知平面11ABB A ⊥平面1CDB ，求证：CD AB ⊥. 【答案】（1）存在，1=ADDB，证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）在线段AB 上存在点D ，当1=ADDB时，1//AC 平面1B CD ，连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点，证明1//DE AC 即可；（2）过B 作1⊥BP DB 并交1DB 于点P ，由平面11ABB A ⊥平面1CDB 可得BP ⊥平面1CDB ，从而得到CD BP ⊥，然后再证明1CD BB ⊥，然后可得CD ⊥平面11ABB A ，可得CD AB ⊥.【详解】（1）在线段AB 上存在点D ，当1=ADDB时，1//AC 平面1B CD . 证明如下：连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点， 又当1=ADDB，即点D 是AB 的中点，由中位线定理得1//DE AC ， ∵DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ， ∴1//AC 平面1B CD .（2）证明：过B 作1⊥BP DB 并交1DB 于点P ，又∵平面11ABB A ⊥平面1CDB ，BP ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11=CDB DB ， ∴BP ⊥平面1CDB ，又∵CD ⊂平面1CDB ，∴CD BP ⊥.在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴1CD BB ⊥，又∵1BB ⊂平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，1= BB BP B ， ∴CD ⊥平面11ABB A .又∵AB ⊂平面11ABB A ，∴CD AB ⊥.【点睛】本题主要考查的是立体几何中的平行和垂直关系，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.14．（2021·江苏·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面ABCD ⊥平面PAB ，PAB 为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，E 为PB 的中点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PBC .（2）平面ADE 分此棱锥为两部分，若2AB AD =，求大的部分体积与小的部分体积之比. 【答案】（1）证明见解析；（2）53.【分析】（1）先证明AE PB ⊥，AD PB ⊥，可得PB ⊥平面ADE ，再利用面面垂直的判定定理可得结论.（2）求得P ABCD V −=F 为PC 的中点，连接DF ，EF ，则3322P ADFEP ADE D AEP V V V −−−===. 【详解】（1）证明：因为PAB 为等边三角形，E 为PB 的中点，所以AE PB ⊥. 因为平面ABCD ⊥平面PAB 且相交于AB ，AD AB ⊥， 所以AD ⊥平面PAB ，则AD PB ⊥. 又AD AE A ∩=，所以PB ⊥平面ADE .因为PB ⊂平面PBC ，所以平面ADE ⊥平面PBC .（2）设F 为PC 的中点，连接DF ，EF ，所以//EF DA ，12EF DA =令1AD =，则2AB =，AE =所以1213P ABCD V −=××=33311122232P ADFE P ADE D AEP V V V −−−===×××=所以大的部分体积与小的部分体积之比为53=.【点睛】方法点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.15．（2021·江苏·高一期末）已知在六面体PABCDE 中，PA ⊥平面ABCD ，ED ⊥平面ABCD ，且2PA ED =，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=°.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若2AB =，1DE =，且M 为PB 的中点，求三棱锥E PAM −的体积.【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，易知BD AC ⊥，由PA ⊥平面ABCD 得PA BD ⊥，进而得BD ⊥平面PAC ，由于BD ⊂平面PBD ，故即可证得；（2）根据题意易得//DE 平面PAC ，//BC 平面ADEP ，故根据等体积法得11112222E PAM M PAEB PAEC PAE E PACD PAC V V V V V V −−−−−−=====，再根据几何关系求解即可. 【详解】解：（1）证明：连接BD 交AC 于O ，∵ 底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，O 为,BD AC 中点， ∵ PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ PA BD ⊥，∵ AC PA A ∩=， ∴ BD ⊥平面PAC ， ∵ BD ⊂平面PBD ， ∴ 平面PAC ⊥平面PBD .（2）∵ PA ⊥平面ABCD ，ED ⊥平面ABCD ， ∴//PA DE ，∵ DE ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， ∴//DE 平面PAC ，∵ 底面ABCD 为菱形，∴ //BC AD ∵BC ⊄平面ADEP ，AD ⊂平面ADEP ∴//BC 平面ADEP ， ∵ M 为PB 的中点，∴ 三棱锥E PAM −的体积11112222E PAM M PAEB PAEC PAE E PACD PAC V V V V V V −−−−−−=====， 由（1）知得BD ⊥平面PAC ，2AB =，1DE =，60ABC ∠=°，2PA ED =，∴ 12222PAC S =××= ，12OD BD ==所以11233D PAC PAC V S OD −=⋅=×=△所以12E PAM D PAC V V −−=【点睛】本题考查面面垂直的证明，等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据已知条件，利用等体积转化法得11112222E PAM M PAEB PAEC PAE E PACD PAC V V V V V V −−−−−−=====. 16．（2021春·江苏常州·高一校联考期末）如图，三棱锥−P ABC 的底面是等腰直角三角形，其中2ABAC ==，PA PB =，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，F ，M ，N 分别是AB ，AC ，PC ，BC 的中点．（1）证明：平面EMN ⊥平面PAB ； （2）当PF 与平面ABC 所成的角为3π时，求四棱锥A PMNB −的体积．【答案】（1）证明见解析；（2 【分析】（1）先由平面PAB ⊥平面ABC ，得到EN ⊥平面PAB ，利用面面垂直的判定定理证明平面EMN ⊥平面PAB ；（2）连结PE ，证明PFE ∠就是直线PF 与平面ABC 所成的角，于是PE = 用切割法把四棱锥A PMNB −看出三棱锥−P ABC 切去三棱锥M ANC −,直接求体积即可.【详解】解：（1）证明：由题意可得，AB AC ⊥， 点E ，N 分别是AB ，BC 的中点， 故EN ∥AC ，故EN AB ⊥， 平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB 故EN ⊥平面PAB EN 在平面EMN 内，故平面EMN ⊥平面PAB ； （2）连结PE ，由PA PB =，点E 是AB 的中点，可知PE AB ⊥， 再由平面PAB ⊥平面ABC ，可知PE ⊥平面ABC ， 连结EF ，可知PFE ∠就是直线PF 与平面ABC 所成的角，于是tan PEPFE EF=∠PE 因为PA PB =，E 是AB 中点，故PE AB ⊥， 又平面PAB ⊥平面ABC ，故PE ⊥平面ABC ， 即点P 到平面ABC 的距离为PE点M 是PC 中点，故点M 到平面ABC 的距离为d =1133A PMNB P ABC M ANC ABC ANC V V V PE S d S −−−∆∆=−=⋅−⋅111122213232=××−××即四棱锥A PMNB − 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（距离），常用的方法有：（1） 直接法；（2）等体积法；（3）补形法；（4）向量法.17．（2021春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.（1）证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求二面角C OP D −−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）17−【分析】（1）设平面P AB 与平面PCD 的交线为l .由题意可证明//AB 平面PCD ，从而可得//AB l ，从而可证明结论.（2）由题意可得COD ∠为二面角C OP D −−的平面角. 可证平面OPF ⊥平面PCD ，直线OP 在平面PCD 上的射影为直线PF OPF 为OP 与平面PCD 所成的角，通过解三角形可得答案.【详解】（1）证明：设平面P AB 与平面PCD 的交线为l . ∵//AB CD ，AB ⊄平面PCD ，∴//AB 平面PCD∵AB ⊂面P AB ，平面P AB 与平面PCD 的交线为l ，∴//AB l ∵AB 在底面上，l 在底面外 ∴l 与底面平行；（2）因为OP OD ⊥，OP OC ⊥，所以COD ∠为二面角C OP D −−的平面角. 设CD 的中点为F ，连接OF ，PF ,由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥ ∵OP ⊥底面，CD ⊂底面，∴OP CD ⊥ ∵OP OF O ∩=,∴CD ⊥平面OPF ∵CD ⊂平面PCD ，∴平面OPF ⊥平面PCD ∴直线OP 在平面PCD 上的射影为直线PF ∴OPF ∠为OP 与平面PCD 所成的角。
高中数学立体几何知识点归纳总结
高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩L底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA=++②（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos1αβγ++=，222sin sin sin2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
立体几何复习测试题及答案
立体几何复习测试题及答案高一数学立体几何复习题必修2立体几何知识点第一章：空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
3、 空间几何体的表面积与体积⑴ 圆柱侧面积；l r S⋅⋅=π2侧面；圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑵ 圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面（3）体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+⋅+=31（4）球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
10、面面平行：⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
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发言稿
各位尊敬的领导、各位亲爱的同事们：
我很荣幸能够站在这里，向大家发表我的观点和看法。
今天，
我想谈谈我们团队的发展和未来规划。
首先，我要感谢每一位在团队中辛勤工作的同事们。
正是因为
你们的努力和奉献，我们的团队才能够取得今天的成绩。
在过去的
一段时间里，我们共同克服了许多困难，取得了一定的成绩。
但是，我们也面临着新的挑战和机遇。
我相信，只要我们团结一心，共同
努力，就一定能够战胜困难，取得更大的成就。
其次，我要提出一些建议和规划。
首先，我们需要更加注重团
队的协作和沟通。
只有团结一致，才能够充分发挥每个人的才能，
实现团队的整体发展。
其次，我们需要不断学习和提升自己的能力。
只有不断学习，才能够适应社会的发展和变化，保持竞争力。
最后，我们需要明确团队的发展目标和规划。
只有明确了目标，才能够有
针对性地进行工作，实现更好的发展。
最后，我希望每一位同事都能够积极参与到团队的建设和发展
中来。
只有大家齐心协力，才能够实现我们的共同目标。
让我们携手并肩，共同努力，为团队的发展做出更大的贡献！
谢谢大家！。
高一期末复习：第一部分立体几何初步
【同步教育信息】一. 本周教学内容：高一期末复习：第一部分立体几何初步二、教学目的：1、梳理各单元基本知识2、总结各单元基本题型及各基础知识的基本应用三、知识分析：【本章知识网络】【本章学法点拨】1、必须明确本章内容的复习目标（1）联系实际，从实图下手，加强由模型到图形，再由图形到模型的基本训练，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系，能由一种语言转释成另外两种语言，逐步达到融会贯通的程度．（2）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证．（3）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算．（4）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题．但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键．（5）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题．2、要掌握解题的通法，推理严谨，书写规范（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；（2）求角或距离的步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明．专题一几种简单几何体的结构一、棱柱的结构特征观察下图可以看出，上面各图中都有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．1、定义一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．2、棱柱的分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的记法（1）用表示底面各顶点的字母表示棱柱．如图（1）可表示为棱柱ABCD—A1B1C1D1；图（2）可表示为棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1；图（3）可表示为棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1．（2）用棱柱的对角线表示棱柱．如图（1）可表示为棱柱AC1或棱柱BD1等；图（2）可表示为棱柱AC1或棱柱AD1或棱柱AE1等；图（3）可表示为棱柱AC1或棱柱AD1等．二、棱锥的结构特征观察下图，可以看出，上面三个图中的共同特点：（1）均由平面图形围成；（2）其中一个面为多边形；（3）其他各面都是三角形；（4）这些三角形有一个公共顶点．1、定义一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余的各面是有一个公共顶点的三角形．两者缺一不可，因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，但是也要注意：“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥．2、棱锥的分类底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫做四面体．3、棱锥的记法（1）用顶点和底面各顶点的字母表示．如图（4）可记为三棱锥P—ABC；图（5）可记为四棱锥P—ABCD；图（6）可记为五棱锥P一ABCDE等．（2）用对角面表示．如图（5）可记为四棱锥P—AC；图（6）可记为五棱锥P—AC等．三、圆柱的结构特征观察图（7）可知：它有两个互相平行的平面，且这两个“平面”是等圆．图形可以看作是矩形AOO'A'绕OO' 旋转而成的．1、定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱的记法用表示它的轴的字母表示，如图（7）可记为圆柱OO'．四、圆锥的结构特征观察图（8）可以看出：它有一个圆面，一个顶点，其他为曲面；可看作是直角△AOS 绕其直角边OS旋转而成的．1、定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥． 2、圆锥的记法用表示它的轴的字母表示．如图（8）的圆锥可记为圆锥SO ．五、圆台和棱台的结构特征观察图（9）（10）可以看出图形是由平行于底面的平面去截锥体而得到的．1、定义用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分所构成的几何体叫做棱台（圆台）。
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2008年暑假补课数学教案---------(必修二之立体几何部分)洞口三中 方锦昌第二章 小结(1)(08年7月7日) （1） 点、直线、平面的位置关系 （一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系： （2）直线、平面平行的判定及性质： （3）直线、平面垂直的判定及性质：（二）整合知识，发展思维1、公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：（三）应用举例，深化巩固例 1、已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ）A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥ 2、设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ D ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 3、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点. 求证：//PB 平面AEC ； 解: 证OE ∥PB平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直4、如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，求证：面AB 1D 1∥面BDC 1解:通过两相交直线的平行可证明.5．如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//12EF BC =．（1）证明FO //平面CDE ；解:证 FO ∥EG巩固训练：A 组题： 一、选择题：1．有四个命题：(1)、直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b a ,相交，则平面α与β重合;(2)、直线b a ,共面，直线c b ,相交，则直线c a ,共面。
（3）、直线a 在平面α内，,b =βαI a 与b 平行，则a 与面β没有公共点；（4）、有三个公共点的两个平面一定重合；以上命题中错误命题的个数是( C )（（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2、已知0//,//,30AB PQ BC QR ABC ∠=，则PQR ∠等于（ B ） A 030 B 030150或 C 0150 D 以上几个都不对 3、如果直线//a 直线b ，且a//平面α，那么b 与α的位置关系是（D ）A 相交B //b αC b α⊂D //b αα⊂或b 4、下列语句中，正确的个数为 （ A ）（1）一条直线和另一条直线平行，它和经过另一条直线的任何平面平行；（2）一条直线和一个平面平行，它和这个平面内的任何直线平行；（3）过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条；（4）平行于同一个平面的两条直线互相平行 A 0 B 1 C 2 D 3 5、如右图，ABCD--1A 1B 1C 1D 是正方体，N M H G F E ,,,,,分别为所在棱的中点，则下列结论正确的是（ B ） )(A GH 和MN 为平行直线，GH 和EF 为相交直线)(B GH 和MN 为平行直线，MN 和EF 为相交直线 )(C GH 和MN 为相交直线，GH 和EF 为异面直线 )(D GH 和EF 为异面直线，MN 和EF 也是异面直线二、填空题：6、已知b a ,是两条异面直线，a 上有三个点，b 上有两个点，这些点可确定 5 个平面 7．不共线的三个平面两两相交，可将空间分成 7或者8 个部分．8、在正方体1AC 的六个表面中，与AC 异面组成060角的对角线共有 4 条。
9、长方体ABCD--1A 1B 1C 1D 中，已知三条棱5=AB ，52=AD ，1121=AA ，则异面直线AC 与1BC 所成的角的度数为 60°三、解答题：10．已知在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是11,CC AA 的中点，求证：平面//BDF 平面E D B 11 11、已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点， 求证：AM //面EFG12、如图，四边形ABCD 是矩形，∉P 面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ， 交DP 于F ，求证：四边形BCFE 是梯形B 组题： 四、选择题：13．A,b 是异面直线，A ,B 是a 上的两点，C, D 是b 上的两点，M ,N 分别是线段AC,BD 的中点，则MN 和a 的位置关系为（ A ） A 异面 B 平行C 相交D 以上三种关系都有可能 14．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AB 的中点，则异面直线1DB 与CM 所成角的余弦值为（ D ）(A)12(B)32 C 26 (D)151515、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（D ）A ．α//bB ．α⊂bC ．b 与平面α相交D ．以上都有可能16、ABCD 是空间四边形，H G F E ,,,分别是四条边DA CD BC AB ,,,的任意四点，则下列结论正确的是（ D ）A.EG 和FH 是相交直线 B. EH 和FG 是平行直线C. EH 和FG 是异面直线D. 以上情况都有可能17、正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ D ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 五、填空题：18．三个平面将空间最少分成m 部分，最多分成n 部分，则n m +等于 12 ．19．三条直线中有两条平行，第三条和这两条都相交时确定 1 个平面；三条直线交于一点时可确定__1或者3 个平面；三条直线互相平行时，最多可确定 3 个平面。
20．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 ②③⑤ （填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形21．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n ②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ ③m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是_____③_______(写出所有真命题的序号)六、解答题：22．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2 （1）、求△AB 1D 1的面积；（2）、求三棱锥111A A B D -的体积。
解、①3 ② 2323．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，90A ∠=o，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，求异面直线1BC 与DC 所成的角的余弦值 (解:为 317 17)24、过正方体1111D C B A ABCD -的棱1BB 作一平面交平面11C CDD 于1EE ，求证：1BB //1EE第二章 小结（2）(08年7月8日)（一）知识回顾，整体认识1. 直线和平面垂直的判定及性质；2. 平面和平面垂直的判定及性质. （二）应用举例，深化巩固 1、如图，在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，求证：VB ⊥AC ．2、过△ABC 所在平面α外一点P ， 作PO ⊥α，垂足为O ，连接P A ，PB ，PC . (1)若P A ＝PB ＝PC ，∠C ＝90°，则点O 是AB 边的 中 点． (2)若P A ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的 外 心．(3)若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的 垂 心．3、如图，已知空间四边形ABCD 的边BC ＝AC ，AD ＝BD ，引BE ⊥CD ，E 为垂足，作AH ⊥BE 于H . 求证： AH ⊥平面BCD ．4. 已知ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ， BE ⊥PC ，E 为垂足. 求证：平面BDE ⊥平面PBC ．解:PC ⊥面BDE训练提高练习: C 组题：七、选择或填空题：25、平面⋂α平面a =β，平面⋂β平面b =γ，平面⋂γ平面c =α，若b a //，则c 与b a ,的位置关系是（ D ）A ．c 与b a ,异面B ．c 与b a ,相交C ．c 至少与b a ,中的一条相交D ．c 与b a ,都平行 26．平面过直线l 外的两点，若要这个平面与l 平行，则这样的平面有 （ D ） A 无数个 B 一个 C 不存在 D 上述情况都有可能 八、解答题：27．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1求BF 的长； V ABCA BDCH ABCDC 1FE解:(2 6 注意到AE ∥FC 1)28．两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM=FN ，求证：MN ∥平面BCE 。
29．（08高考 宁夏18）（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（Ⅲ）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．解:俯视图为:第二章 小结（3）(08年7月9日)（一）知识回顾，整体认识 1. 异面直线所成角； 2. 直线与平面所成角； 3. 两平面所成角.（二）应用举例，深化巩固例1. 已知空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是AB 、CD 的中点，且PQ ＝3，AC ＝4，BD ＝25 ， A C与BD 所成角的大小．例2. 已知四面体ABCD 的各棱长均相等，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求EF 与AC 所成角的大小．例3. 在四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 为等边三角形，CD ⊥BD ，∠DBC ＝30o ．(1 )求二面角A -DC -B 的大小； (2) 求二面角A -BC -D 的平面角的正切值； (3) 求二面角D -AB -C 的平面角的正切值.解: 注意三垂线法的应用与讲解.例4. 圆台上、下底面半径分别为2、4，O 1A 1、OB 分别为上、下底面的半径，二面角A 1-OO 1-B 是60o ，圆台母线与底面成60o 角. (1) 求A 1B 和OO 1所成角的正切值； (2) 求圆台的侧面积及体积.解; 注意 概念的转化, 实为一个三棱台的问题.例5. 在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90o ，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点，求CD 与平面ADMN 所成角的正弦. 解:注意到BN ⊥面ADMN第二章小结（4）—— 空间距离(08年7月10日)4642 2E D AC F G B 'C 'D '2一、复习目的:1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。