2017版高考数学一轮总复习平面向量数系的扩充与复数的引入第二节平面向量的数量积及其应用模拟创新题文

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全国版2017版高考数学一轮复习平面向量数系的扩充与复数的引入42平面向量的基本定理及向量坐标运算课

反之,当A,B,C三点共线时,λ1+λ2=1.特别地,当λ1=
λ2= 时,C是A与B的中点.
OC1OA2OB，
1 2
P1
1 3P1
2
2.两个向量作为基底的条件作为基底的两个向量必须是不共线的.
【小题快练】
链接教材练一练
1.(必修4P101习题2.3A组T5改编)已知向量a=(2,3),
b=(x,6)共线,则实数x的值为 ( )
1
3
2 3
P P P1P
2 3
P1P2 ,
12
P1 23P12
BC3CD
感悟考题试一试
3.(2014·广东高考)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a= ( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A.(-2,1)
B.(2,-1)
C.(2,0)
D.(4,3)
【解析】选B.b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).
4.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，，则( )
1
3
【解析】
D FD EEF1b(1ba)1ba,
6
3
6
C DC FFD1b(1ba)a2b.
2
6
3
考向二平面向量的坐标运算【典例2】(1)(2015·江苏高考)已知向量a=(2,1), b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 ________.
(2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则 =___________.
(x,y)
3.平面向量的坐标运算
向量的加法、减法向量的数乘

高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 平面向量的应用课件文

【跟踪训练】
1．[2015·沈阳一模]在△ABC 中，|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，AB＝2，AC＝1，E，F 为 BC 的三等分点，
则A→E·A→F＝( )
8
10
A.9
B. 9
25
26
C. 9
D. 9
解析由|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，化简得A→B·A→C＝0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，不可能为 0，所以A→B与A→C垂直，所以△ABC 为直角三角形．以 AC 为 x 轴，以 AB 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由 E，F 为 BC 的三等分点知 E23，23，F31，34，所以A→E＝32，32，A→F＝13，43，所以A→E·A→F＝23×13＋23×43＝190.
2．[2016·兰州诊断]已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )A．0B来自1C．2D. 5
解析因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝ 5，故选 D.
3．在△ABC 中，A→B＝(cos18°，cos72°)，B→C＝(2cos63°，2cos27°)，则角 B 等于( )
考点多维探究
考点 1 向量在平面几何中的应用
典例1
(1)[2014·天津高考]已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC
上，BE＝λBC，DF＝μDC.若A→E·A→F＝1，C→E·C→F＝－23，则 λ＋μ＝(
)
1
2
A.2
B.3
5
7
C.6
D.12
(2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋

高考数学大一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算名师课件

∴A→B、B→D共线。又∵它们有公共点 B，
∴A、B、D 三点共线。
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线。
【解】 ∵ka＋b 和 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb。∴(k－λ)a＝(λk－1)b。 ∵a、b 是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0。∴k＝±1。
【例 1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；④ a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b。其中真命题的序号是__②__③____。
【解析】 ①不正确。两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。
考点三共线向量定理的应用
【例 2】设两个非零向量 a 与 b 不共线，
(1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共
线；【解】
证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，
∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B。
答案 D
考点二平面向量的线性运算
平面向量的线性运算包括向量的加、减、数乘运算及其线性运算的几何意义的应用，是高考考查向量的热点。常以选择题、填空题的形式出现。考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则，向量减法的三角形法则及向量的相等。
角度一：考查向量加法或减法的几何意义
1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是
定义
法则(或几何意义)

2017届高考数学一轮复习课件：第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入4-4

52＋22＋322＝2 10， ∴a＝ 10，b＝ 10－4＝ 6，故椭圆方程为1x02 ＋y62＝1.
第二十四页，编辑于星期六：一点二十一分。
考点多维探究
第二十五页，编辑于星期六：一点二十一分。
考点 3 向量在三角函数中的应用
利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、
求角或求最值等问题是高考考查的热点，以选择题、填空题或解答题的形式呈现，且主要有以下几种命题
设直角三角形内切圆与 AB 边切于点 E，与 CB 边切于点 F，则由圆的切线长定理可得 BE＝BF，AD ＝AE＝2，设 BE＝BF＝x，在 Rt△ABC 中，可得 CB2＋CA2＝AB2，即(x＋1)2＋9＝(x＋2)2，解得 x＝3，故 B(0,4)．
∴B→O·A→C＝(1，－3)·(－3,0)＝－3. 故答案为－3.
(1)[E，F 分别在边 BC，DC
上，BE＝λBC，DF＝μDC.若A→E·A→F＝1，C→E·C→F＝－23，则 λ＋μ＝(
)
1
2
A.2
B.3
5
7
C.6
D.12
(2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋
第六页，编辑于星期六：一点二十一分。
小题快做 1.思考辨析 (1)已知△ABC 中，BC 边最长，A→B＝a，A→C＝b，且 a·b>0，则△ABC 的形状为锐角三角形．( √ ) (2)设定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足O→P·O→A＝4，则点 P 的轨迹方程是 x＋2y－4＝0.( √ ) (3)作用于同一点的两个力 F1 和 F2 的夹角为23π，且|F1|＝3，|F2|＝5，则 F1＋F2 的大小为 19.( √ )

数学高考第一轮复习平面向量、数系的扩充与复数的引入

[学以致用] 1. 如图，△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，CD 与 → → → BE 交于 F，设AB＝a，AC＝b，AF＝ma＋nb，则 m＋n＝( A. 1 4 B. 3 )
2 C. 3
5 D. 6
→ → → → → 解析：AF＝mAB＋nAC＝mAB＋2nAE，由 B、F、E 三点共线，得 m＋2n＝1，① → → → → → AF＝mAB＋nAC＝2mAD＋nAC，由 C、F、D 三点共线，得 2m＋n＝1，② 2 ①＋②得 3(m＋n)＝2，m＋n＝ . 3
突破· 3个热点考向
考向一
平面向量基本定理的应用 [案例探究]
例1
如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC
→ → → → 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示 AB，AD.
[解]
→ → 设AB＝a，AD＝ b.
因 M，N 分别为 CD，BC 的中点， → 1 → 1 所以BN＝2b，DM＝2a， 1 c＝b＋2a，因而 d＝a＋1b 2 2 a＝32d－c， ⇒ b＝22c－d， 3
解析：b－a＝(2，－1)，选 B 项．
答案：B
2. [课本改编]设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b |等于( A. 4 C. 3 5 ) B. 5 D. 4 5
解析：由向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，且 a∥b，得 1×y－(－ 2)×2＝0，解得 y＝－4，即 b＝(－2，－4)， ∴2a－b＝2(1,2)－(－2，－4)＝(4,8)， ∴|2a－b |＝ 42＋82＝4 5.
→ 2 → 2 即AB＝3(2d－c)，AD＝3(2c－d)．

大高考2017版高考数学一轮总复习平面向量数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及坐标运算课件理

→ → → → 解析 (1)设 AB 的中点为 D，由 5AM＝AB＋3AC，得 3AM－ → → → → → 3AC＝2AD－2AM，即 3CM＝2MD.如图所示，故 C，M，D 三 → 3→ 点共线，且MD＝ CD，也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的 5 3 两高之比为 3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为5，选 C.
→ 【例 1】 (1)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足 5AM → → ＝AB＋3AC，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )
1 A.5 2 B.5 3 C.5 4 D.5
→ (2)(2015· 陕西西安二模)P 是△ABC 所在平面内一点，若CB＝ → → λPA ＋PB，其中 λ∈R，则 P 点一定在( ) A.△ABC 内部 C.AB 边所在直线上 B.AC 边所在直线上 D.BC 边所在直线上
【例 3】 (1)(2016· 广东揭阳模拟)设向量 a＝(1， 2)， b＝(2， 3)，若向量 a－λb 与向量 c＝(－5，－6)共线，则 λ 的值为( )
4 A. 3
4 B. 13
4 C.－ D.4 9 (2)(2016· 甘肃嘉峪关一中模拟)已知向量 a＝(m，1－n)，b＝ 1 1 (1， 2)，其中 m＞0， n＞0，若 a∥b，则m＋n的最小值是( ) A.2 2 C.4 2 B.3＋2 2 D.3＋ 2
4.两个向量共线定理
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa .
►一个易错点：忽视零向量的性质致误.
(1)[零向量的方向不确定，所以在处理平行问题时，一般规定零向量与任何一个向量平行.在讨论两个向量共线时，考生容易忽视零向量.]下列叙述错误的是________(填序号). ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a 与 b 方向相同； ③向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 b＝λa； ④若 λa＝λb，则 a＝b.

2017届高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入理新人教版

第四章⎪⎪⎪平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μ a ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .[小题体验]1．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：A2．(教材习题改编)化简：(1)(AB ＋MB )＋BO ＋OM ＝________. (2) NQ ＋QP ＋MN －MP ＝________. 答案：(1) AB (2)03．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]1．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 的关系是________．(填序号) ①共线；②不共线；③以上二者皆可能．答案：③2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：2考点一平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是( )A．②③B．①②C．③④ D．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a ∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[谨记通法]向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第1题易混淆有关概念．考点二向量的线性运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43ACB ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13ACD ．AD ＝43AB －13AC解析：选 A AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13(AC －AB )＝43AC －13AB ＝－13AB ＋43AC ，故选A.2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则DC ＝________，BC ＝________(用a ，b 表示)．解析：如图，DC ＝AB ＝OB －OA ＝b －a ，BC ＝OC －OB ＝－OA －OB ＝－a －b .答案：b －a －a －b3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[谨记通法]用几个基本向量表示某个向量问题的4个步骤(1)观察各向量的位置； (2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果．考点三共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 同向．解：(1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k ＝1.[由题悟法] 共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，又因为BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·嘉兴测试)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB ＝a ，CA ＝b ，则AM ＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：选A AM ＝AC ＋CM ＝－CA ＋12CB ＝－b ＋12a ，故选A.2．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD 的形状是( )A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对解析：选C 由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．3．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则向量OC等于( )A.23OA－13OB B．－13OA＋23OBC．2OA－OB D．－OA＋2OB解析：选C 因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋OB＝0，所以OC＝2OA－OB.4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.解析：因为ABCD为平行四边形，所以AB＋AD＝AC＝2AO，已知AB＋AD＝λAO，故λ＝2.答案：25．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC 2＝16，|AB＋AC |＝|AB－AC|，则|AM |＝________.解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC |＝2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a解析：选B 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D 依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a －c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.3．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋32MC ＝0，D 是AC 的中点，则|MD ||BM |的值为( )A.13B.12 C ．1D ．2解析：选A ∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD ＝12ME ＝12(MA ＋MC )．∵MB ＋32MA ＋32MC ＝0，∴MB ＝－32(MA＋MC )＝－3MD ，∴|MD ||BM |＝|MD ||－3MD |＝13，故选A.4．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ＋OB ＋2OC ＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ＝12(OA ＋OB )，又OA ＋OB ＋2OC ＝0，∴OD ＝－OC ，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4. 6．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b7．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB －OC |＝|OB ＋OC －2OA |，则△ABC 的形状为________．解析：OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝CB ＝AB －AC ，∴|AB ＋AC |＝|AB －AC |. 故AB ⊥AC ，△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，故①错；BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确；CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴正确命题为②③④. 答案：39.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG .解：AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12b .AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC )＝23AB ＋13(AC －AB ) ＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b . 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝ 2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ＝CD －CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ＝2e 1－8e 2， ∴AB ＝2BD .又∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，∵BF ＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ＝λBD (λ∈R)，即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ＝AD ＋μAB ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ＝2DC . ∵点E 在线段CD 上，∴DE ＝λDC (0≤λ≤1)． ∵AE ＝AD ＋DE ，又AE ＝AD ＋μAB ＝AD ＋2μDC ＝AD ＋2μλDE ， ∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ＝m OA ＋(1－m ) OB ＝OB ＋m (OA －OB )， ∴OP －OB ＝m (OA －OB )，即BP ＝m BA ，∴BP 与BA 共线．又∵BP 与BA 有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，存在实数λ，使BP ＝λBA ， ∴OP －OB ＝λ(OA －OB )．又OP ＝m OA ＋n OB .故有m OA ＋(n －1) OB ＝λOA －λOB ，即(m －λ) OA ＋(n ＋λ－1) OB ＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题体验]1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：选C 由a ∥b ，得1×2－m 2＝0，所以m 2＝2，即m ＝± 2. 2．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131．若a ，b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息；3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题纠偏]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ＝(－4，－3)，则向量BC ＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：选A 法一：设C (x ，y )，则AC ＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：AB ＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC ＝AC －AB ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.2．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.答案：－3考点一平面向量基本定理及其应用基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1解析：选D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．2.(易错题)如图，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作▱OADB ，BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，用a ，b 表示OM ，ON ，MN . 解：∵BA ＝OA －OB ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －16b ，∴OM ＝OB ＋BM ＝16a ＋56b .∵OD ＝a ＋b ，∴ON ＝OC ＋13CD ＝12OD ＋16OD＝23OD ＝23a ＋23b ， ∴MN ＝ON －OM ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ＝16a ＋56b ，ON ＝23a ＋23b ，MN ＝12a －16b .[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．考点二平面向量的坐标运算…………………………基础送分型考点——自主练透[题组练透] 1．(2015·抚顺二模)若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：选A 设c ＝xa ＋yb ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN ＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ＝OM －OC ＝3c ， ∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ，∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ＝(9，－18)．[谨记通法] 平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.考点三平面向量共线的坐标表示重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ＝2a ＋3b ，BC ＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2) AB ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ∥BC ， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.[由题悟法]向量共线充要条件的2种形式(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．已知向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13解析：选A AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ，AC 共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.2．(2015·潍坊期中考试)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________．解析：ma ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由于ma ＋4b 与a －2b 共线，∴－(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2. 答案：－2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．(2015·青岛二模)若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD ＝( )A ．(－1，－1)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(2,4)解析：选A 由题意可得AD ＝BC ＝AC －AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 3．(2015·广东六校联考)已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．4．(2015·洛阳一模)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量ka ＋b 共线，则实数k ＝________.解析：ka ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量ka ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.答案：－15．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：AB ＝(a －1,3)，AC ＝(－3,4)，据题意知AB ∥AC ，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.答案：－54二保高考，全练题型做到高考达标1．已知在▱ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6 解析：选B 因为在▱ABCD 中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝12AC ，所以AM ＝12(AB＋AD )＝12×(－1,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6，故选B.2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D 由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1.c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝2PA ，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ＝OB ＋BP ，又BP ＝2PA ，所以OP ＝OB ＋23BA ＝OB＋23(OA －OB )＝23OA ＋13OB ，所以x ＝23，y ＝13. 4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 解析：选D AC ＝AB ＋AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC ＝12AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)．答案：(－6,21)7．(2015·北京东城模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为________．解析：连接AO ，则AO ＝12(AB ＋AC )＝m 2AM ＋n2AN .又∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1，即m ＋n ＝2.答案：28．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}－13，－239．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO ＝(－1,1)，b ＝OB ＝(6,2)，c ＝BC ＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.答案：42.如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG ＝λPQ ，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP ＝x OA ，OQ ＝y OB ，证明：1x ＋1y是定值．解：(1) OG ＝OP ＋PG ＝OP ＋λPQ ＝OP ＋λ(OQ －OP ) ＝(1－λ) OP ＋λOQ . (2)证明：一方面，由(1)，得OG ＝(1－λ) OP ＋λOQ＝(1－λ)x OA ＋λy OB ；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴OG ＝23OM ＝23×12(OA ＋OB )＝13OA ＋13OB .② 而OA ，OB 不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧1－λx ＝13，λy ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3(定值)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)结论几何表示坐标表示模 |a |＝a·a|a |＝x 21＋y 21 夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a·b |与|a||b|的关系 |a·b |≤|a||b||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22[小题体验]1．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C 法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.2．(教材习题改编)已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝2e 2－3e 1的夹角为______．答案：150°3．已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝2a －b2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3.答案： 31．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在运用向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方．[小题纠偏]1．给出下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b )c ＝a (b ·c )； ④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0. 其中正确的说法有________个．答案：02．(2016·南宁第二次适应性测试)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2且(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则向量a 与b 的夹角为________．解析：设a 与b 的夹角为θ.依题意得a 2－2b 2＋a ·b ＝－2,4－8＋4cos θ＝－2，cos θ＝12.又θ∈[0，π]，因此θ＝π3，即向量a 与b 的夹角为π3. 答案：π3考点一平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 2．已知AB ＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A ．－322B ．－3 5 C.322D ．3 5解析：选C 因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB ＝(2,1)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos 〈AB ，CD 〉＝AB ·CD | CD |＝1552＝322.3．(2014·重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16DC ，则AE ·AF 的值为________．解析：取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ， ∴AE ·AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 BC －BA ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712 BA ＋BC＝712|BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23 ＝2918. 答案：2918[谨记通法]向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a |·|b |cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题，如“题组练透”第1a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 题易错考点二平面向量数量积的性质常考常新型考点——多角探明[命题分析]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模1．(2015·浙江高考)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.解析：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°.由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.答案：2332．(2014·北京高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析：∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)， ∵ λa ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5. 答案： 5角度二：平面向量的夹角3．(2015·重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π3 B.π2C.2π3D.5π6解析：选C ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．(2016·江西八校联考)在△ABC 中，AB ＝(2，3)，AC ＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．解析：由题意得，(|AB |· |AC |)2＝(|AB |·|AC |·cos〈AB ，AC 〉)2＋(|AB |·|AC |·sin 〈AB ，AC 〉)2，即(|AB |·|AC |)2＝(AB ·AC )2＋(|AB |·|AC |·sin〈AB ，AC 〉)2，∴|AB |·|AC |·sin〈AB ，AC 〉＝2－3， ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin〈AB ，AC 〉＝1－32.答案：1－32角度三：平面向量的垂直5．(2014·重庆高考)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D.152解析：选C 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.6．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC －AB )＝－λ2AB ＋2AC ＋(λ－1) AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得λ＝712. 答案：712[方法归纳]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.考点三平面向量与三角函数的综合重点保分型考点——师生共研[典例引领](2015·山东烟台一模)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cosx,1)，x ∈R.(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解：(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.又π3<2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2.[由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[即时应用](2016·江西新余三校联考)已知a ＝(cos x,2cos x )，b ＝(2cos x ，sin x )，f (x )＝a·b.(1)把f (x )图象向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当a ≠0，a 与b 共线时，求f (x )的值．解：(1)∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＋1.由－π2＋2k π≤2x －π12≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－5π24＋k π≤x ≤7π24＋k π，k ∈Z ， ∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π，7π24＋k π，k ∈Z.(2)∵a ≠0，a 与b 共线，∴cos x ≠0， ∴sin x cos x －4cos 2x ＝0，∴tan x ＝4.∴f (x )＝2 cos 2x ＋2sin x cos x ＝2cos 2x ＋2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2tan x 1＋tan 2x ＝1017.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析：选D 由向量垂直的充要条件，得2(x －1)＋2＝0. 所以x ＝0.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C.12D.35解析：选A b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c ＝(3,4)，又(b ＋λa )⊥c ，∴(b ＋λa )·c ＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311.3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32. 4．(2015·太原模拟)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π35．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________．解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2. 答案：－2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·济南二模)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．(2016·洛阳质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选B a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以〈a ，b 〉＝π3. 3．(2015·济宁二模)平面四边形ABCD 中，AB ＋CD ＝0，(AB －AD )·AC ＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形解析：选C 因为AB ＋CD ＝0，所以AB ＝－CD ＝DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB －AD )·AC ＝DB ·AC ＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．4．(2016·开封质检)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM ·DB 等于( )A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选D 因为DM ＝DA ＋AM ＝DA ＋13AB ，DB ＝DA ＋AB ，所以DM ·DB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DA ＋13 AB ·(DA ＋AB )＝|DA |2＋13|AB |2＋43DA ·AB ＝1＋43－43AD ·AB ＝73－43|AD |·|AB |·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1.5．(2015·山西考前检测)若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为4，OA ＋2AB ＋2AC ＝0，则CA 在CB 方向上的投影为( )A ．4B.15C.7 D ．1解析：选C 如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则由平面向量的加法的几何意义得AB ＋AC ＝2AD . 又由条件得AB ＋AC ＝－12OA ＝12AO ，所以2AD ＝12AO ，即4AD ＝AO ，所以A ，O ，D 共线．所以OA ⊥BC ，所以CD 为CA 在CB 方向上的投影．因为|AO |＝|CO |＝4，所以|OD |＝3，所以|CD |＝ |OC |2－|OD |2＝7.6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－82＝8 2.答案：8 27．(2015·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ＝4AC ，则OC ·(OB －OA )＝________.解析：由已知得|AB |＝2，|AC |＝24，则OC ·(OB －OA )＝(OA ＋AC )·AB ＝OA ·AB ＋AC ·AB ＝2cos 3π4＋24×2＝－12. 答案：－128．(2015·湖北咸宁联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO ＝x CA ＋y CB ，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA －m CB |(m ∈R)的最小值为32，则|CO |的最小值为________．解析：由CO ＝x CA ＋y CB ，且x ＋y ＝1，可知A ，O ，B 三点共线，所以|CO |的最小值为AB 边上的高，又AC ＝BC ＝1，即O 为AB 的中点，且函数f (m )＝|CA －m CB |的最小值为32，即点A 到BC 边的距离为32.又AC ＝1，所以∠ACB ＝120°，从而可得|CO |的。

高考数学新一轮复习专题四平面向量、数系的扩充与复

专题四平面向量、数系的扩充与复数的引入1.对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝ ( )A.52B.32C ．1 D.122.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos2θ等于( )A.22B.12 C ．0 D ．－1 4.若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－25.△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD → ＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 6.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP →的坐标为________．8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是________．9.设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________． 10.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是__________．专题四平面向量、数系的扩充与复数的引入1.D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，同理有b ∘a ＝|b |cos θ|a |，a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，即2|a |cos θ|b |和2|b |cos θ|a |是整数，取θ＝π3，则|a ||b |和|b ||a |是整数，则|a ||b |＝|b ||a |＝1，则a ∘b ＝12.2.B ab ＝0，即a ＝0，或b ＝0或a ＝0且b ＝0， a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且b ≠0.由小范围是大范围成立的充分不必要条件．∴“ab ＝0”是“a ＋bi”为纯虚数的必要不充分条件．3.C a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1，2cos θ)，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0.∴－1＋1＋cos2θ＝0，即cos2θ＝0.4.A z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2＋2i 2＝0.5.D ∵AD →＝AC →＋CD →，CD →＝CB →＋BD →，AB →＝CB →－CA →＝AD →＋DB →，∴AD →＝45a －45b ，故选D.6.1 1 DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·CB →＝DA →2＋AE →·CB →＝DA →2＋0＝1，DE →·DC →＝|DE →|·|DC →|cos 〈DE →，DC →〉＝cos 〈DE →，DC →〉≤1.当且仅当cos 〈DE →，DC →〉＝1，即〈DB →，DC →〉＝π2时取“＝”号．7.(2－sin2，1－cos2) 如图：x ＝2－cos(2－π2)＝2－sin2，y ＝1＋sin(2－π2)＝1－cos2，故P (2－sin2，1－cos2)，∴OP →＝(2－sin2，1－cos2)．8. 2 由AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝2得|DF →|＝1，再由AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)易求．9. 2 a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )， a ＋c ＝(3，3m )，由(a ＋c )⊥b ，知(a ＋c )·b ＝(3，3m )·(m ＋1，1)＝0，∴3(m ＋1)＋3m ＝0，∴m ＝－12，∴a ＝(1，－1)，|a |＝ 2. 10.[1，4]矩形如图所示设|BM →||BC →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM →＝λBC →，CN →－λCD →， ∴DN →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →) ＝AB →·AD →＋BM →·AD →＋AB →·DN →＋BM →·DN →＝0＋λBC →·AD →＋AB →·(λ－1)CD →＋0＝λ|BC →||AD →|＋(λ－1)×(－1)|AB →||DC →|＝λ×12－(λ－1)×22＝4－3λ.又0≤λ≤1，∴1≤4－3λ≤4，即AM →·AN →的取值范围为[1，4]．。

高考数学大一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与

第四章平面向量、数系的扩充分与复数的引入
第四节数系的扩充与复数的引入
基础知识自主学习
热点命题深度剖析
思想方法感悟提升
最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5. 了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
基础自测
(1)任何数的平方都不小于0。( × ) 解析错误。任何实数的平方都不小于0，而在复数集内，i2＝－ 1<0。 (2)方程x2＋x＋1＝0没有解。( × ) 解析错误。方程x2＋x＋1＝0无实数根。 (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi。( × ) 解析错误。复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为b。 (4)两个虚数的和还是虚数。( × ) 解析错误。例如z1＝1＋i，z2＝1－i是两个虚数，它们的和z1＋z2＝ (1＋i)＋(1－i)＝2是实数。
【解析】 (1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i。 ∵(1－2i)(a＋i)是纯虚数，∴a＋2＝0，且 1－2a≠0，∴a＝－2。
【规律方法】解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可。 (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部。
2．复数的几何意义 (1)复平面的概念当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面。 (2)实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做__实__轴____，y轴叫做__虚__轴___，实轴上的点都表示 __实__数____；除原点以外，虚轴上的点都表示_纯__虚__数___。 (3)复数的几何表示复数 z＝a＋bi一―一―对→应复平面内的点___Z_(_a_，__b_) __

2017年高考数学一轮复习课件：第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3

第七页，编辑于星期六：二点四十三分。
4．若向量 a，b，c 满足 a∥b 且 a⊥c，则 c·(a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：由 a∥b 及 a⊥c，得 b⊥c，则 c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0。答案：D
第八页，编辑于星期六：二点四十三分。
5．已知向量 a、b 的夹角为 45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，则|b|＝______2____；b 在 a 方向上的投影等于____1______。
第十一页，编辑于星期六：二点四十三分。
2．向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝⑨|_a_|c_o_s_〈_。a，e〉 (2)a⊥b⇒⑩_a_·_b_＝__0____且 a·b＝0⇒⑪_a_⊥__b__。 ((34))cao·as＝〈⑫a，__b|_a〉_|2_＝_，⑭|_a_||a＝a_|··_b|⑬b_|_______a__·_。a_。 (5)|a·b|⑮___≤___|a||b|。 3．数量积的运算律 (1)交换律 a·b＝⑯____b_·a_____。 (2)分配律(a＋b)·c＝⑰___a_·c_＋__b_·_c___。 (3)对 λ∈R，λ(a·b)＝⑱___(_λ_a_)_·b___＝⑲____a_·_(λ_b_)__。
2π π A. 3 B.3
4π C. 3
D．－23π
(2)设向量 a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，若 a⊥(a－b)，则 x＝
___0__或__2___。
(3)设两个向量 a，b，满足|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为π3，若向
量 2ta＋7b 与 a＋tb 的夹角为钝角，求实数 t 的范围。
所以所求实数 t 的范围是－7，－

高三数学复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

数学(6省专版)
提升学科素养
演练知能检测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]
回扣主干知识
1．下列说法中正确的是
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的长度为零 C．长度相等的两个向量是相等向量
(
)
提升学科素养
突破热点题型
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相
同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 答案：D
数学(6省专版)
演练知能检测
第一节
平面向量的概念及其线性运算向量的线性运算
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故 D错误．
演练知能检测
答案：B
数学(6省专版)
第一节
平面向量的概念及其线性运算
2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD
提升学科素养
突破热点题型
位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
——————————————————————————
数学(6省专版)
演练知能检测
回扣主干知识

高考一轮第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节课下作业我来演练

一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝ ( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．答案：B2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，又a ＋b 与4b －2a 平行， ∴3(4x －2)＝6(1＋x )，解得x ＝2. 答案：D3．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于 ( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ.解得⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32.∴c ＝12a －32b .答案：B4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AD ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：∵a ，b 不共线，∴AC≠0，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在实数t ，满足AB＝t AC ，即λa ＋b ＝ta ＋μtb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，得λμ＝1. 答案：D5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，又△DEF ∽△BEA ， ∴DF ＝13AB .即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD ，∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC)＝23⎝⎛⎭⎫12b －12a ＝13b －13a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .答案：B 二、填空题6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：设e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13三、解答题8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB＝(3,6)， DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA＝(－3，－6)．因为AC ＝13AB ，DA ＝－13DA ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝12－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)．9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP－b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R)，则AD ＝13ta ＋512tb .①又设BD ＝k BC (k ∈R)，由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。

高考数学专题平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点； 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD|＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP OP ＝12(OA ＋OB)． 2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB(λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD等于( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－131.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA＋CD ＋EF＝( )A ．0B ． BEC ．ADD ． CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF，BF ＝CE，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE＋EF ＝CF.(2)由题意DE ＝CE ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] (1)D (2)12解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD＝2CE ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA ) ＝23CA＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23 [类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC＋CB＝AD ＋CE ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD成立．[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB ，BD共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c ， OD ＝d ， OE＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB|3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎨⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1. [类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ， DF ，CD.[解] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC－AB＝(1－k )AB ＋k 4AC，且AP ＝m AB ＋211AC，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311. 答案：311[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3. 答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos a ，b ＝0，可得cos a ，b ＝12，又因为0≤ a ，b ≤π，所以 a ，b ＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD |＝12×5×20＝5.1.(2014·11＝(x 2，y 2)，若|＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B ．－23 C.56D ．－56解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC＝－1，则|BC |的最小值是( )A. 2 B ．2C. 6D ．6 解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC|＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC|min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．平面向量数量积的性质是高考的重点．归纳起来常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD的中点．若AC ·BE＝1 , 则AB 的长为________．解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB|2＝1，∴|AB |＝12.答案：12角度二平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126 B ．－126 C.112D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a－b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________．解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC＝0.∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC，又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0，解得k ＝113.③当C ＝90°时， ∵AC ⊥BC，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132. [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例)，b ＝(cos β，，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.[试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B.32 C.22D.12解析：选C 由题意知z ＝i i ＋1＝i (1－i )(i ＋1)(1－i )＝1＋i 2，|z |＝22，故选C. 2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 0121＋i 2＝i 1 006·1＋i 2＝i 2·1＋i 2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选C.2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A a ＋b i ＝51＋2i ＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2.3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D 复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝( )A.10 B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．(2)依题意得，z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i ，因此复数z ＝z 1z 2的共轭复数1－2i 在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案] (1)B (2)D [类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z －＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ＝(3，－4)，OA＝(－1,2)， OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[解析] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i. (2)由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i )2(1＋a i )(1－a i )＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B.[答案] (1)A (2)B解：∵z ＝3＋5i ，∴z －＝3－5i∴(1＋z )·z －＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC．5＋i D．5－i解析：选D由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋52－i＝3＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝3＋2＋i＝5＋i，所以z＝5－i.2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3i B．－2i C．i D．－i解析：选D依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.。

2017版高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第五节数系的扩充与复数

第五节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如ɑ＋bi(ɑ，b ∈R)的数叫复数，其中ɑ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则ɑ＋bi 为实数，若b≠0，则ɑ＋bi 为虚数，若ɑ＝0且b≠0，则ɑ＋bi 为纯虚数．(2)复数相等：ɑ＋bi ＝c ＋di ⇔ɑ＝c ，b ＝d (ɑ，b ，c ，d ∈R)． (3)共轭复数：ɑ＋bi 与c ＋di 共轭⇔ɑ＝c ，b ＝－d (ɑ，b ，c ，d ∈R)．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝ɑ＋bi 的模，即|z|＝|ɑ＋bi| 2．复数的几何意义复数z ＝ɑ＋bi Ｆ―→一一对应复平面内的点Z(ɑ，b)Ｆ―→一一对应平面向量OZ →＝(ɑ，b)．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝ɑ＋bi ，z 2＝c ＋di ，ɑ，b ，c ，d ∈R z 1±z 2＝(ɑ＋bi )±(c＋di)＝(ɑ±c)＋(b±d)i ． z 1·z 2＝(ɑ＋bi)(c ＋di)＝(ɑc －bd)＋(bc ＋ɑd)i ． z 1z 2＝ɑ＋bi c ＋di ＝ɑc ＋bd c 2＋d 2＋bc －ɑd c 2＋d2i(c ＋di ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如右图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝1＋i的虚部为i.( )(2)若z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)，当ɑ＝0时，z是纯虚数．( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√3．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：由题意知，该复数在复平面内对应的点为(－2，1)，所以该点位于复平面的第二象限．答案：B4．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．1 B．2 C. 2 D. 3解析：∵z(1＋i)＝2i，∴|z|·|1＋i|＝|2i|.∴|z|·2＝2.∴|z|＝ 2.答案：C5．(2015·北京卷)复数i(1＋i)的实部为________．解析：因为i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，所以实部为－1.答案：－1一个关键复数分类的关键是抓住z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当ɑ＝0，且b≠0时，z为纯虚数．一个实质复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．一种方法化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．两点注意1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等ɑ＋bi＝c＋di列方程时，注意ɑ，b，c，d∈R的前提条件．一、选择题1．(2015·湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－i C．1 D．－1解析：因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.答案：A4．(2016·郑州一检)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m∈R)是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：由m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，则m ＋3＝0，所以m ＝－3.答案：A5．在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45iB.25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i解析：由2i 2－i ＝－25＋45i 该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45，故复数z ＝25＋45i.答案：A6．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0解析：设z ＝ɑ＋bi(ɑ，b ∈R)，则z 2＝ɑ2－b 2＋2ɑbi ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ɑb ＝0，ɑ2－b 2≥0，则b ＝0，或ɑ，b 都为0，即z 为实数，故选项A 为真．同理选项B 为真；选项C 为假，选项D 为真．答案：C二、填空题7．若复数z 满足iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是________．解析：由于iz ＝2＋4i ，所以z ＝2＋4ii ＝4－2i ，故z 对应点的坐标为(4，－2)．答案：(4，－2)8．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2＝________．解析：∵z＝1＋i ，∴z ＝1－i ，则z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 答案：09．(2015·重庆卷)设复数ɑ＋bi(ɑ，b ∈R)的模为3，则(ɑ＋bi)(ɑ－bi)＝________．解：∵|ɑ＋bi|＝ɑ2＋b 2＝3，∴(ɑ＋bi)(ɑ－bi)＝ɑ2＋b 2＝3. 答案：3 三、解答题10．在复平面内，复数5＋4i ，－1＋2i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，求点C 对应复数的模．解：由题意知点A(5，4)，B(－1，2)，所以点C 的坐标为(2，3)，所以点C 对应的复数为z ＝2＋3i ，它的模为22＋32＝13.11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝1－i 1＋i ＋2＝（1－i ）22＋2＝2－i ，设z 2＝ɑ＋2i(ɑ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(ɑ＋2i)＝(2ɑ＋2)＋(4－ɑ)i ，又z 1·z 2是实数，∴ɑ＝4，从而z 2＝4＋2i.三角函数与平面向量的高考热点题型三角函数、解三角形、平面向量是高考考查的重点与热点，本专题的热点题型有：一是三角恒等变换的综合应用；二是三角函数与解三角形的综合问题；三是三角函数与平面向量的综合应用，中档难度。

高三数学(理)一轮复习课件第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入

【解析】 (1)如图①，连接 OC、OD、CD，由点 C、D 是半圆弧的三等分点，有∠A OC ＝∠COD＝∠BOD＝60°，且 OA ＝OC＝OD，则△OA C 与△OCD 均为边长等于圆 O 的半径的等边三角形，所以四边形 OA CD 为菱形，所以A→D＝A→O＋A→C＝12A→B＋A→C＝12a＋b.
【阅后报告】要求在正确理解即时给出的新定义的前提下，通过逐项判断来找到正确答案.在判断中需要在反复运用共线向量定理和向量数乘运算性质的同时，正确运用反证法的思想.
1.（2013·四川卷)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点
O，AB＋AD＝λAO，则λ＝
.
【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB＋AD＝AC.
D． 4 3
【解析】（1）由于 AB 、 AC 分别是与 OA 、 OC 有相同方向的单 AB AC
位向量，且 OP

OA

AB AB

AC AC

，即
AP

AB AB

AC AC

，
∴动点轨迹是过内心的一条直线，故选 A.
（2）由OA OB OC =0，知 O 为△ABC 的重心，
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量:长度相等且方向相反的向量.
【思考探究】两向量平行与两直线（或线段）平行有何不同? 提示：平行向量也叫共线向量,这里的“平行”与两直线（或线段）平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同.
又O是AC的中点，∴AC＝2AO，
∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO.
又AB＋AD＝λAO，∴λ＝2.

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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、向量、数系的扩充与复数的引入
1、舟遥遥以轻飏，风飘飘而吹衣。 2、秋菊有佳色，裛露掇其英。 3、日月掷人去，有志不获骋。 4、未言心相醉，不再接杯酒。 5、黄发垂髫，并怡然自乐。
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