第6讲函数与方程

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第6讲二次函数中的双参数问题(解析版)

第6讲二次函数中的双参数问题(解析版)二次函数是高中数学中的重要内容之一，它是关于二次方程而言的。

在解析几何中，二次函数与二次曲线紧密相关，对于理解平面几何图形和现实问题都具有重要作用。

本文将以第6讲“二次函数中的双参数问题”为题，探讨与二次函数有关的双参数问题的解析方法和应用。

一、二次函数回顾在开始探讨双参数问题之前，我们先简要回顾一下二次函数的基本概念和特征。

二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c, 其中a、b、c为实数，且a不等于零。

在直角坐标系中，二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。

二、双参数问题的提出双参数问题实际上是指给定二次函数的图像上的两个特定点，根据这两个点的信息，求解二次函数的表达式及其他相关的问题。

这类问题在实际生活中有广泛的应用，如建筑设计、物理运动分析等。

三、已知两点求解二次函数表达式在已知二次函数图像上两个点的情况下，我们可以通过解方程组的方式，确定二次函数的表达式。

假设已知点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以得到如下方程组：ax1^2 + bx1 + c = y1ax2^2 + bx2 + c = y2通过解此方程组即可得到二次函数的表达式。

四、已知顶点和一点求解二次函数表达式在已知二次函数的顶点和一点的情况下，我们可以确定二次函数的表达式。

假设已知顶点V(h, k)和一点P(x, y)，我们可以得到如下方程：f(h) = ah^2 + bh + c = kf(x) = ax^2 + bx + c = y通过解此方程组即可得到二次函数的表达式。

五、已知焦点和直线求解二次函数表达式在已知二次函数的焦点F和过定点的直线的情况下，我们可以确定二次函数的表达式。

假设已知焦点F(p, q)和过定点的直线l：y = mx + n，我们可以得到如下方程组：f(p + d) + f(p - d) = 2q其中，d为焦点到直线l的距离。

第6讲-函数的零点与方程的解

函数的零点与方程的解学习目标1、了解连续函数的零点存在性定理2、了解函数零点、方程之解、两函数图像交点之间的关系3、熟练掌握数形结合的方法和思想1、函数零点的概念：凡使()0f x =的实数x ，我们称其为函数()f x 的零点，严格说来，零点是一个数，而不是点。

从函数零点的定义不难发现：函数()f x 有零点⇔方程()0f x =有实数解⇔函数()f x 的图像与x 轴有交点。

事实上，()f x 之图像与x 轴交点的横坐标就是()f x 的零点，因此，求函数()f x 的零点，往往通过解方程()0f x =实现。

另外，两个函数()f x 与()g x 的图像之交点问题，往往也等价于方程()()0f x g x -=的解的问题，或者新函数()()()h x f x g x =-的零点问题。

2、连续函数的零点存在性定理。

如果函数()f x 在[,]a b 上连续（高中阶段可等价成其图像是连续不断的），且()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在[,]a b 上至少存在一个零点。

【注意】如果()()0f a f b ⋅>，不能说明()f x 在[,]a b 上就没有零点。

3、重要结论（1）如函数()f x 的图像关于直线x a =对称，且()f x 有n 个零点，则这n 个零点之和为na （2）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1ni i x na ==∑（3）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 中心对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y na nb =+=+∑4、如果函数()f x 为单调函数，则()f x 最多只有一个零点。

例1（重庆高考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内【解析】由题意知：()()()0f a a b a c =-->， ()()()0f b b c b a =--< ()()()0f c c a c b =-->因此，()f x 在(),a b 和(),b c 内分别至少有一个零点，依题意，只能选A 。

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。

2022年高考数学强基计划讲义专题5：函数与方程【原卷版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题5函数与方程一、真题特点分析：1. 【2021年北大13】方程2223450x xy y x -+-+=的整数解的组数为________．2.【2020年清华29】已知函数()()e 1x f x a x b =+-+在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为（） A ．e 2B ．eC ．2e 2D ．2e3【2020武大2】已知方程2sin 1x x -=，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有数多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于1．其中错误的判断有_______________．二、知识要点拓展一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式1.一元二次方程的根：24b b acx -±-=2.根与系数的关系：12b x x a +=-，12cx x a=（韦达定理）3.判别式：24b ac ∆=-．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题 1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥．（2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤． 2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥．（2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤． 3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．三．几个常见的函数方程1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.2.指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.3.对数函数()log a f x x=,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.方程的根与函数的零点：1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。

第6讲方程根的证明问题

条件中相当于给出：直线段与曲线 y = f ( x) 共有
3
个交点 . 即函数
F ( x) = f ( x) − [ f (a) +
f (b) − f (a ) ( x − a )] 共有 3 个根 . 则用上述特例可得： ∃ξ ∈ (a, b) ，使得 b−a
x → +∞ x → −∞
分析：此题相当于罗尔定理的推广，可借助罗尔定理而证之.
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注：利用上例我们可以很容易证明下面的题目：设函数 f ( x) 在 [0, +∞) 上可导，且满足 0 ≤ f ( x) ≤ 证明存在一点 ξ > 0 ，使得 f ′(ξ ) =
x ， 1 + x2
1−ξ 2 . (1 + ξ 2 ) 2
第 6 讲方程根的证明问题
6.1 基本概念、内容、定理、公式
1. 存在性的证法一般地，证明 f ( x) = 0 有一个根（即有一点 ξ ，使 f (ξ ) = 0 ），用连续函数的介值定理或根的存在性定理；而证明 f
(n)
( x) = 0(n = 1,2 ) 有根，用罗尔定理比较方便.
1) 连续函数的根的存在性定理 2) 罗尔定理 (1) 若存在函数 H ( x) ，使得 H ′( x) = F ( x) .而 H ( x) 在 [a, b] 上满足罗尔定理的条件，则存在 x0 ∈ ( a, b) ，使得 H ′( x 0 ) = 0 ，即 F ( x 0 ) = 0 . (2) 若存在两个函数 H ( x), ϕ ( x) ，使得 H ′( x) = F ( x)ϕ ( x) ， H ( x) 在 [a, b] 上满足罗尔定理的条件，因而存在 x0 ∈ ( a, b) ，使得 H ′( x 0 ) = 0 ，即 F ( x 0 )ϕ ( x 0 ) = 0 ，而 ϕ ( x 0 ) ≠ 0 ，则必有 F ( x 0 ) = 0 . (3) 拉格朗日中值定理和柯西中值定理 (4) 费尔玛定理（极值必要条件）若 F ( x) 在 x0 ∈ (a, b) 取得极值且 F ′( x 0 ) 存在，则 F ′( x 0 ) =0. 因此，若存在函数 H ( x) ，使得 H ′( x) = F ( x) ，而 H ( x) 在给定区间内取得极值，则一定存在 x0 ∈ ( a, b) ，使得 H ′( x 0 ) = 0 ，从而 F ( x0 ) =0. 2. 根的个数的求法 1) 利用单调性：（一般适用于函数表达式是显式表示时）函数 F ( x) 在每个单调区间（严格单调）内最多只能有一个零点. 2) 罗尔定理加反证法：（一般适用于函数表达式是抽象表示时） 3. 类型分析 1）欲证结论：至少存在一点 ξ ∈ ( a, b) ，使得 f 此类命题的证法一般有以下三条思路：（1）验证 f

函数的零点与方程的解教学课件

x1
x2 0 x3
x4
x
得到方程f(x)=0
方程f(x)=0的实数解函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
方程f(x)=0的实数解x 函数y=f(x)的零点x 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标xyya0
bx
0a
bx
这说明什么？ “在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可
探索新知
思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？
y
0a
bx
这说明什么？ “在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
探究1 如何求函数的零点？
函数y=f(x)的零点与、方程f(x)=0的解、函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标的关系：
函数y=f(x)的零点方程f(x)=0的实数解（方程法）函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.（图象法）
探究1 如何求函数的零点？例1：求下列函数的零点
1 方程法 2 图象法
(1) 图象是连续不断； (2)图象是“穿过”x轴的，即：3∈[2,4]，-1∈[-2,0]，有： f(2)·f(4)<0，f(-2)·f(0)<0
函数在零点所在区间连续不断，区间端点处的函数值异号.
探索新知
函数图象上有两点A和B，设A点横坐标为a,B点横坐标为b，怎样才能保证函数在[a,b]内一定有零点？

第6讲方程根的证明问题

108
这类命题的证明一般不作辅助函数，其解法是根据题意，求出一个函数在不同区间上的两个拉格朗日中值公式（或柯西中值公式），或者一个拉格朗日中值公式与一个柯西中值公式，然后再进行某种运算.
6.2 例题选讲一、关于方程根的个数及存在性
例 1 设常数 k > 0 ，函数 f ( x) = ln x −
即作辅助函数 F ( x) = f ( x) −
Ⅱ常数变易法此法适用于常数已分离出来的命题.构造辅助函数的步骤：（1）将常数部分设为 k ；（2）恒等变形，将等式一端变为由 a 及 f (a ) 构成的代数式，另一端为由 b 及 f (b) 构成的代数式；（3）分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只要把端点 a 改成 x ， f (a ) 改成 f ( x) ，则换变量后的端点表达式为辅助函数. 3）欲证结论：存在 ξ ,η ∈ (a, b) ， ξ ≠ η 满足某种关系式的命题类型：
(c − a n ) f ( n ) (ξ ) 。
(c − a1 )(c − a 2 ) n!
证明：构造 g ( x) =
( x − a1 )( x − a 2 ) (c − a1 )(c − a 2 )
( x − an ) f (c ) − f ( x ) (c − a n )
例 5-3 设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导， f (a ) = f (b) = 0 ，且对
条件中相当于给出：直线段与曲线 y = f ( x) 共有
3
个交点 . 即函数
F ( x) = f ( x) − [ f (a) +

人教版九年级数学讲义二次函数与一元二次方程(含解析)

第6讲二次函数与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数与一元二次方程之间的联系，能够根据二次函数与x轴的交点坐标联系相应方程的解的情况，此外了解二次函数与不等式之间的关系，能够根据图象写出相应不等式的解集等，本节课的难点是二次函数与方程、不等式之间的联系考查，希望同学们能够认真学习。

知识梳理讲解用时：10分钟二次函数与一元二次方程之间的关联求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标。

（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：①①=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；①①=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；①①=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；①①=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0），相应一元二次方程的根就是x1和x2.课堂精讲精练【例题1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，则方程x2+ x+1=0的根的情况是（）。

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【答案】B【解析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，图象与x轴有两个交点，则方程x2+x+1=0的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：直接利用二次函数图象得出方程x2+x+1=0的根的情况，即抛物线与x轴的交点情况，进而得出答案。

教学建议：利用数形结合分析。

高中数学专题函数方程教案

高中数学专题函数方程教案
一、教学目标
1. 了解函数方程的定义和基本概念；
2. 掌握函数方程的解法和计算方法；
3. 提高学生对函数方程的理解和运用能力。

二、教学重点和难点
重点：函数方程的定义和基本概念；
难点：解决函数方程的方法及计算过程。

三、教学准备
1. 教材：高中数学教材；
2. 工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。

四、教学过程
1. 引入：通过几个实际问题引导学生认识函数方程的概念，引出本节课的主题；
2. 学习：结合具体例题，介绍函数方程的定义和基本性质，讲解解决函数方程的常见方法；
3. 练习：组织学生进行练习，巩固所学知识，培养学生的解题能力；
4. 拓展：引导学生应用函数方程解决更复杂的问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，梳理知识结构，加深学生印象。

五、课后作业
1. 完成课后习题，巩固所学知识；
2. 总结本节课的重点内容，准备下节课的学习。

六、教学反思
教师根据学生学习情况和反馈，及时调整教学方法和内容，确保教学效果。

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。

以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

七年级数学竞赛第6讲高斯函数

七年级数学竞赛第6讲：高斯函数一、内容提要1．设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作[]x ，{}[]x x x =-称为x 的小数部分；例如：[]3.23=，{}3.20.2=，[]1.32-=-，{}1.30.7-=，1=，1=。

2．[]x 与{}x 具有如下基本性质：（1）对于任何实数x ，有[]{}x x x =+，其中{}01x ≤<。

（2）当{}0x =时，x 为整数；当x 为整数时，{}0x =。

（3）当01x ≤<时，[]0x =；反之，当[]0x =时，01x ≤<。

（4）对于任何实数x ，有[][]1x x x ≤<+，[]1x x x -<≤。

3．基本思路是寻求不等关系“1n x n ≤<+，某个整数n ”，确定[]x ，进而顺利解决问题。

二、例题精讲：【例1】（五羊杯竞赛题）若222211112341523415s +++⋅⋅⋅+=，则[]s = 。

1．（2012年上海新知杯竞赛）把所有除以4余2或者3的正整数从小到大排成一行，S （n ）为前n 个之和．求[][][][]2013321S S S S ++++【例2】（重庆市竞赛题）[]x 、[]y 、[]z 分别表示不超过x 、y 、z 的最大整数，若[]5x =，[]3y =-，[]2z =-，则[]x y z -+可以取值的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、41．[]x 、[]y 、[]z 分别表示不超过x 、y 、z 的最大整数，若[]5x =，[]3y =-，[]1z =-，求[]x y z --的值。

2．（第33届美国数学竞赛题）设[]x 表示不超过x 的最大整数，又设,x y 满足方程组[][]23325y x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，如果x 不是整数，那么x y +是（） A 、一个整数 B 、在4与5之间 C 、在-4与4之间 D 、在15与16之间 E 、16.53．（山东省竞赛题）设,x y 满足方程组[][]223216x y x y ⎧-=-⎪⎨-+=⎪⎩，求[]x y +的值。

函数与方程的思想详解

专题函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ).A. 0B. １C. ２D. ４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A.2. 由函数f(x)＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k 可得出答案为A.3. 设t ＝|x 2－1|(t≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4. 设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A. 答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ). Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13，又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案：点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０Ｂ. －２Ｃ. －52Ｄ. －３解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围. 3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A 、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值； (2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f(λ)的表达式，并求S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由，得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，即将①式两边平方并把代入得 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即. 解出两条切线的交点M 的坐标为，所以＝ .所以为定值，其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB| |FM|. |FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S ＝12|AB| |FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( ).Ａ. (－3，0)∪(3，＋∞) Ｂ. (－3，0)∪(0，3)Ｃ. (－∞，－３)∪(3，＋∞) Ｄ. (－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x 2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i ＝１，２……)上，y ＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分.(1) 求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i ＝１，２，……)的表达式； (２)设直线x ＝，x ＝，x 轴及y ＝f(x)的图象围成的梯形的面积为a i (i ＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝lim n→∞(a 1＋a 2＋…a n )，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得 f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14. 归纳得f()＝(i ＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛a n ｝是首项为12(１－k 4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k ＝1时取得最小值12. 点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 取值范围是 .解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y ＝kx ＋b 代入椭圆方程并整理得. 由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则Δ′＝12(b－1)2－4［１６－(b－1)2］≤0，即－１≤b≤３方法２，已知椭圆与y轴交于两点(０，－１)，(０，３).对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆恒有公共点，则(０，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.三、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。

3.2函数与方程、不等式之间的关系-人教B版高中数学必修第一册(2019版)教案

3.2 函数与方程、不等式之间的关系-人教B版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.能够了解函数与方程、不等式之间的关系；2.能够掌握一次函数、二次函数的相关知识；3.能够熟练运用函数求解方程、不等式。

二、教学内容1.函数与方程–函数在坐标系中的表示方法–函数方程的两种形式：显式解和隐式解–利用函数求解方程2.函数与不等式–一次函数的性质–二次函数的图像与性质–利用函数求解不等式三、教学重点和难点1.教学重点：函数方程的两种形式，利用函数求解方程和不等式；2.教学难点：二次函数的图像及其性质。

四、教学策略1.教师讲授与学生自主学习相结合；2.通过图像和实例进行教学；3.激发学生的兴趣，提高课堂参与度。

五、教学过程第一步：引入新知识教师通过讲解实例引发学生对函数与方程、不等式之间的关系的兴趣，为接下来的学习铺垫。

第二步：授课1.函数与方程–函数在坐标系中的表示方法函数在坐标系中的表示方法有图形、表格和公式三种。

其中，图形最容易理解，表格便于计算，公式最具普适性。

–函数方程的两种形式：显式解和隐式解函数方程的显式解指的是“y=函数表达式”，隐式解是除y之外的变量和常量所组成的方程式。

–利用函数求解方程利用函数求解方程，可以将需要求解的方程式代入函数表达式中，求出变量值，即为方程的解。

2.函数与不等式–一次函数的性质一次函数对应的图像是一条直线，其性质包括：斜率决定了直线的倾斜方向和大小，截距决定了直线与y轴的交点。

–二次函数的图像与性质二次函数对应的图像是抛物线，其性质包括：开口方向由二次项系数的正负决定，开口朝上的抛物线最小值为D，对称轴方程为x=-b/2a。

–利用函数求解不等式利用函数局部区间的正负性和函数性质，将不等式转化为相等式或函数的零点问题，从而求解不等式。

第三步：练习通过例题进行练习，加深学生对知识点的理解和掌握程度。

第四步：分组讨论将学生分成小组，进行讨论和分享，培养学生彼此之间的合作精神和交流能力。

第6讲函数的极值与最值(教师版)

第6讲函数的极值与最值一．基础知识回顾1．极大值点与极大值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．极小值点与极小值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于或等于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．3．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是增加的，在区间(x 0，b )上是减少的，则x 0是极大值点，f (x 0)是极大值；如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是减少的，在区间(x 0，b )上是增加的，则x 0是极小值点，f (x 0)是极小值.4．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值如图，函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．5．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值，(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二．问题探究探究点一：函数的极值与导数的关系例1：求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值与极值点．解：f ′(x )＝3x 2－6x －9. 解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )，有极小值f (3)＝－22，x ＝3是极小值点．跟踪训练1：求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值与极值点．解：函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋≦)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2.令f ′(x )因此当＝1时，()有极小值(1)＝3.＝1是极小值点．探究点二：利用函数极值确定参数的值例2：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．解：因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋≦)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.跟踪训练2：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．解：(1)≧f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，≨f ′(x )＝ax＋2bx ＋1. 由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0，≨a ＋2b ＋1＝0且a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得，a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x . f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－x －1x －23x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋≦)时，f ′(x )＜0；所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点．探究点三：函数极值的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x >2或x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为单调递减区间为(－2，2)． (－≦，－2)和(2，＋≦)；当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图像的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根．跟踪训练3：若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．解：f (x )＝2x 3－6x ＋k ，则f ′(x )＝6x 2－6，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1，可知f (x )在(－1,1)上是减函数，f (x )在(－≦，－1)和(1，＋≦)上为增函数．f (x )的极大值为f (－1)＝4＋k ，f (x )的极小值为f (1)＝－4＋k . 要使函数f (x )只有一个零点，只需4＋k <0或－4＋k >0(如图所示)即k <－4或k >4. ≨k 的取值范围是(－≦，－4)∪(4，＋≦)．探究点四：含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . 当2a 3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a 0<a ≤202<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a a ≤20a >2.跟踪训练4：已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．解：f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0时，列表如下：由表可知，当x ＝0时，f (x )取极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，≨f (0)＝3，即b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)，≨f (2)＝－16a ＋3＝－29，≨a ＝2. (2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，≨f (0)＝－29，即b ＝－29. 又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)，≨f (2)＝－16a －29＝3，≨a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.探究点五：函数最值的应用例3：已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1. 当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，≨g (x )≤g (1)＝－1. 综上可知，a 的取值范围是[)－1，＋≦.跟踪训练5：设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解：≧f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．≨当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. ≨当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，≨x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ≧对任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立，≨9＋8c <c 2，即c <－1或c >9. ≨c 的取值范围为(－≦，－1)∪(9，＋≦)．四．课时小结1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题. 4.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值5．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．6．.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．一般地，可采用分离参数法．λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .7.函数最值：(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．五．作业设计1. 函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图像如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有(A)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列关于函数的极值的说法正确的是(D)A ．导数值为0的点一定是函数的极值点B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有(C)A ．极大值5，极小值－27B ．极大值5，极小值－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值 4．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则(C)A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<08．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于(D)A ．2B ．3C ．6D ．99．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是(B)A ．1<a <2B ．1<a <4C ．2<a <4D ．a >4或a <110．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为 (D)A ．1 B.12 C.52 D.2211．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝3 .12．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a的值为9．13. 如果函数y ＝f (x )的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增；④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是③．(填序号)14．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是[－4，－2]．15．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．16．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1；(2)f (x )＝x 2e x .解：(1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝3(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13.令f ′(x )>0，可得x >1或x <13；令f ′(x )<0，可得13<x <1.≨函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－≦，13和(1，＋≦)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e－x＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且为f (0)＝0；当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2.17．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解：≧f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x－2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：≨f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52≨m ＝1.18．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解：(1)f ′(x )＝3x2－2x －1.令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f (－13)＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f (－13)＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.≧曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，≨f (x )极大值<0或f (x )极小值>0，即527＋a <0或a －1>0，≨a <－527或a >1，≨当a ∈(－≦，－527)∪(1，＋≦)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．19．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.(2)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x.令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2，由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论：①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )ea －2.②若a <3，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如上表：所以f (x )在(－≦，a －2)，(－2a ，＋≦)内是增函数，在(a －2，－2a )内是减函数．函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )ea －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .20．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，≧函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，≨－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．≨⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，≨⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x22|恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，≨c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，≨c <－18.≨c ∈(－≦，－18)∪(54，＋≦)，此即为参数c 的取值范围．21．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f ′(x所以f (．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1,1)上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.。

第六讲常微分方程

第六讲常微分方程一知识点详解（一）常微分方程的概念 1内容展开（1）定义：含有未知一元函数及其导数和自变量的方程称为常微分方程，简称微分方程（2）微分方程的阶：微分方程中含有的未知函数的导数色最高阶称为微分方程的阶（3）微分方程的解：1）解得定义：将()y f x =带入微分方程，使方程称为恒等式，则称()y f x =是微分方程的解 2）通解：微分方程的解中含有自由常数，且含独立自由常数的个数等于微风方程的阶数，则称该解为通解3）特届：不含任意常数的解称为微分方程的特解。

求特解时，初始条件的个数等于微分方程的阶数（二）一介微分方程 1 内容展开（1）变量可分离微分方程 1）方程形式()()'y f x g y =2) 解法当()0g y ≠时，()()()()'dyy f x g y f x dx g y =⇔= 两边求不定积分()()dy f x dx C g y =+⎰⎰其中拨C 为任意常数，其中()dyg y ⎰表示函数()1g y 的一个原函数，()f x dx ⎰表示函数()f x 的一个原函数若0y 使()00g y =，则0y y =也是原方程的一个特解注：①尽可能把y 写成x 的函数，也尽可能把y 从对数中“解脱”出来 ②不要漏掉()00g y =这种常数解（2）齐次微分方程 1）方程形式 'y y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭2）解法令y u x =由于''y u xu =+，所以微分方程'y y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭变为()()'1u f u u x =-，这是关于未知函数u 的一个变量可微分方程，由此方程解得未知函数()u u x =，进而得到微分方程的解()()y x xu x =（3）一阶线性微分方程 1）方程形式 ()()'y p x yq x +=当右端项()q x 恒为零时称其为一阶齐次线性微分方程，否则称其为一阶非齐次线性微分方程 2）解法()()()p x dx p x dy y e q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (4)伯努利方程1）方程形式形如()()()',0,1n y p x y q x y n +=≠2）解法令1n u y -=，则伯努利方程变为()()()()'11u n p x u n q x +-=-，这是关于未知函数()u u x =的一个一阶线性微分方程（5）全微分方程1）方程形式 ()(),,0p x y d x Q x y d y+=，若P Qy x∂∂=∂∂，该方程称为全微分方程 2）解法()()()()00,,,,x y x y P x y dx Q x y dy C +=⎰2 记忆方法（1）齐次微分方程和一阶齐次线性微分方程最终都要化为变量可分离微分方程求解（2）齐次微分方程的基本方法是：令y u x=; (3) 一阶非齐次线性微分方程的求解就是记公式 3 例题讲解【例6.1】微分方程()'1y x y x-=的通解是（）解析：可分离变量微分方程()()11,y x x dy dy dx dx x y x--== 1,dy dx dx y x =-⎰⎰⎰即ln ln y x x C =-+所以xy Cxe -=【例6.2】微分方程'2ln xy y x x +=满足()119y =-的解为（）解析：将'2ln xy y x x +=化为'2ln y y x x+=带入通解公式得 222ln 2ln ln ln dx dxx x x x y e x e C e x e dx C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰221ln x xdx C x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 2ln 39x x C x x=-+由()119y =-求得0C =所以1ln 33x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【例6.3】微分方程312dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y=（）解析：令y ux =，有dy du u x dx dx =+原方程化为312du u x u u dx +=-即 32du dx u x =-，积分得21ln x C u =+即22ln x y x C=+ 由于1,1,x y ==得C=1，所以得解y =（三）可降阶微分方程 1内容展开（1）方程()()n yf x =求n 次定积分得解（2）方程()''',y f x y =这类方程的特点是不显含未知函数y ，显含自变量x ，令()'p x y =，则微分方程()''',y f x y =变为()',p f x p =，这是关于()p p x =的一个一阶微分方程（3）方程()''',y f y y =这类方程的特点是不显含自变量x ，显含未知函数y ，令()'p y y =，则2'2d y d p d p d y p p d x dx dy dx===，因此微分方程()''',y f y y =变为()',p p f y p =这是一个以y 为自变量，()p y 为未知函数的一阶微分方程2记忆方法1）方程形如()''',y f x y =时，令()'p x y = 2）方程形如()''',y f y y =时，令()'p y y =3例题讲解【例6.4】微分方程()2'''0yy y+=满足初始条件'011,2x x yy ====的特解是（）解析：令''',d p d p d y d p y p y p d x d y d x d y ===⋅=原方程化为：20dp yp p dy+=得00dpp yp dy=+=或 0p =不满足初始条件'01x y ==舍弃0dpyp dy +=按分离变量法解之得1C p y=由初始条件'012x y ==解得112C =于是得12dy dx y=解之得22y x C =+以'01x y ==带入，得21C =且取+号所以y =（四）二阶线性微分方程解得性质1内容展开()()()'''y p x y q x y f x ++= ①非齐次()()'''0y p x y q x y ++= ②齐次（1）若12,y y 是②得解，则123c y c y +也是②的解，其中12,c c 为任意常数（2）若12,y y 是②得两个线性无关的解12y c y ⎛⎫≠⎪⎝⎭，则1122yc y c y =+ 是②的通解（3）若12,y y 是①的解，则12y y -为②得解（4）若y是②的通解，*y 是①的特解，则*y y y =+ 是①的通解（5）若*1y 是()()()'''1y p x y q x y f x ++=得解，*2y 是()()()'''2y p x y q x y f x ++=的解，则**12y y +是()()()()'''12y p x y q x y f x f x ++=+得解 2记忆方法与线性代数中方程组得解的理论是类似的 3例题讲解无（五）高阶常系数线性微分方程 1 内容展开（1）二阶常系数齐次线性微分方程1）方程形式 '''0y ay by ++=，其中a,b 是常数 2）解法（特征方程法）方程20a b λλ++=称为它的特征方程，特征方程的根12,λλ称为它的特征根 ①当12λλ≠且均为实数时，微分方程的通解是()1212xxy x C e C eλλ=+②当12λλ=时，微分方程的通解是()1112xxy x C e C xe λλ=+③当1,2i λαβ=±时，微分方程的通解是()()12cos sin x y x e C x C x αββ=+ （2）高于二阶常系数齐次线性微分方程方法和二阶常系数线性微分方程类似（3）二阶常系数非齐次线性微分方程 1）方程形式()'''y ay by f x ++=2）解法：由解得性质知，需找到对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，下找特解： ①右端项为()xn f x Pe μ=其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()*k x n yx x Q x e μ=，其中A) ()1110nn n n n Q x a x a xa x a --=++++ ，为n 次多项式的一般形式；B) k 的取值：当μ不是'''0y ay by ++=的特征根时，k=0 当μ是'''0y ay by ++=的单特征根时，k=1 当μ是'''0y ay by ++=的复特征根时，k=2 将()()*k x n yx x Q x e μ=代入微分方程()'''xn y a y b y P x e μ++=求出特定系数(),0,1,2,3,k a k n =②右端项为()()cos xn f x e P x x αβ=的方程，其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()()*cos sin k x n n yx x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦其中“A ）()1110,nn n n n Q x a x a x a x a --=++++ ()1110,n n n n n W x b x b x b x b --=++++B)k 的取值：当i αβ±不是'''0y ay by ++=的特征根时，k=0 当i αβ±是'''0y ay by ++=的特征根时，k=1 将()()()*cos sin k x n n y x x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦代入()'''c o s x n y a y b y eP xαβ++=求出待定系数(),0,1,2k k a b k n =注：数三只要求自由项为多项式函数，指数函数，正炫函数，余弦函数的二阶常系数非齐次方程 2记忆方法（1）方程右端含有三角函数时，所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数，相同的指数函数和kx （k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ中的μ的作为特征根的重数）（2）方程右端含有三角函数时，所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数，相同的指数函数，相同系数正炫函数与余弦函数，和k x （k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ和三角函数()cos sin x x ββ和中的i αβ±是否为特征根）3例题讲解【例6.5】求微分方程'''2432x y y y e -+=的通解解析：与所给方程对应的齐次线性微分方程为'''430y y y -+=它的特征方程为2430r r -+=得特征根121,3r r ==所以，对应齐次线性微分方程的通解为312x x Y C e C e =+由于2不是特征方程的根，故设该非齐次线性微分方程的特解为*2xy Ae=，将()()'''*2*2*2,2,4x x xy Ae y Ae y Ae ===带入原方程，有222244232x x x x Ae Ae Ae e -⋅+=解得2A =-所以*22x y e =-所以，原方程通解为*32122x x x y Y y C e C e e =+=+- （六）欧拉方程 1内容展开（1）方程形式形如()2'''x y axy by f x ++=的微分方程称为2阶欧拉方程，其中a ，b是常数（2）解法，当0x >时，令'x e =，欧拉方程变为()2'2(1)d y dya by f e dt dt+-+=，这时一个以t 为自变量，y 为未知函数的2阶线性常系数微分方程当0x <时，作变量代换'x e =-，可类似求解 2记忆方法当0x >时令'x e =；当0x <时，令'x e =- 3例题讲解无（七）差分方程 1内容展开（1）定义一阶常系数齐次线性差分方程 10t t y ay ++=一阶常系数非齐次线性差分方程 ()1t t y ay f t ++=其中()f t 为已知常数，a 为非零常数（2）其次差分方程的通解通过迭代，并由数学归纳法可得一阶常系数齐次线性差分方程的通解为：()()tC y t C a =⋅-其中C 为任意常数（3）非齐次差分方程的解得性质1）若*y 是非齐次差分方程的一个特解，()C y t 是齐次差分方程的通解，则非齐次差分方程的通解为()*t C t y y t y =+2）若1t y y 和分别是差分方程()11t t y ay f t ++=和()12t t y ay f t ++=的解，则1t y y +是差分方程()()112t t y ay f t f t ++=+得解（4）非齐次差分方程的特解形式非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式的设定如下表2记忆方法其次差分方程1t t y ay ++的通解为()()tC y t C a =⋅- 非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式设定如下3例题讲解【例6.6】差分方程121050t t y y t ++-=的通解为（）解析：原方程的一般形式为1552t t y y t ++=对应的其次差方程为150t t y y ++=，其通解为()()'5C y t C =-（C 为任意常数）()52f t t =是t 的一次多项式且51a =≠-，故设原方程的特解*t y At B =+带入原方程得()()5152A t B At B t ++++=即5662At A B t ++=比较系数知 55,1272A B ==-故*51126t y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭从而原差分方程的通解为()()'*515126t C t y y t y C t ⎛⎫=+=-+- ⎪⎝⎭三典型例题【例6.7】设函数()y x 连续，求解方程：()()2012xy s ds y x x +=⎰1）分析：题目中遇到变项积分一般都是要求导数的 2）解析：易判断()y x 可导，等式两端对x 求导得：()()'122y x y x x +=在原方程中令()000x y ==得从而得初值问题()'2400y y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩这是含初始条件时的一阶非齐次线性微分方程，由公式有：222421dx dx xy e xe C x Ce --⎛⎫⎰⎰=+=-+ ⎪⎝⎭⎰代入初始条件()001y C =⇒=所以221x y x e -=-+3）备注：变限积分与微分方程综合考察时，注意确定初始条件，方法—令积分上下限取值相同【例6.8】求微分方程''cos y y x x +=+1）分析：自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程的特解利用解得叠加原理 2）解析：原方程对应的齐次方程''0y y +=的特征方程为210λ+=，特征根1,2,i λ=±故齐次方程的通解为12cos sin yC x C x =+ 设非齐次方程''y y x +=的特解为1y Ax B =+代入方程，得A=1，B=0所以1y x = 设非齐次方程''cos y y x +=的特解为2c o s s i n y Ex x Dx x =+代入方程得10,2E D ==所以21sin 2y x x = 由于12y y +为原方程''cos y y x x +=+的一个特解，所以原方程的通解为12121cos sin sin 2y yy y C x C x x x x =++=+++ 3）备注：数学三不要求自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程，但大家要学会自由项为一项时的二阶常系数非齐次线性微分方程，即数学三考生要学会解微分方程''y y x +=和''cos y y x +=。

《微积分(应用型)》教学课件第六章

形如
dy p(x) y q(x) dx
（6-18）
的方程称为一阶非齐次线性微分方程，其中 p(x) ， q(x) 为已知函数．当 q(x) 0 时，称
dy p(x) y 0 dx
（6-19）
为一阶齐次线性微分方程，也称为式（6-18）对应的齐次方程．
6. 2. 1 一阶线性微分方程求解
下面我们来求式（6-18 ）的通解．为此，先求式（6-19 ）的通解．对式（6-19 ）分离变
y 3y 2 y (C1ex 4C2e2x ) 3(C1ex 2C2e2x) 2(C1e x C2e2x) (C1 3C1 2C1)ex (4C2 6C2 2C2)e2x 0 ．
6. 1. 1 相关定义
这表明函数 y C1ex C2e2x 满足所给微分方程，因此它是微分方程的解．又因为此解中有两个独立的任意常数，且任意常数的个数正好与微分方程的阶数相同，所以此解为微分方程的通解．
本节介绍了微分方程的一些概念，可分离变量的微分方程、一阶齐次微分方程和高阶微分方程的解法．
其中，可分离变量的微分方程的解法是：（1）将方程整理为变量分离方程，然后对方程的两边取不定积分；（2）一阶齐次微分方程的解法是令 u y ；高阶微
x
分方程的解法是对方程两边进行n 次积分．
6.2 一阶线性微分方程
1 dy sin xdx ， y
两边积分
dy y
( sin
x)dx
，
得方程的通解为
ln | y | cos x C ．
该解称为微分方程的隐式通解．
因为 eln|y| ecos xC1 ，即 y eC1ecos x ．令 C eC1 ，得 y Cecos ，此解称为原微分方程的显

2020届高三数学复习函数与方程、不等式讲座课件(共20张PPT)

借助函数图象的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题
借助于二次函数的图像特征来求解
尝试分离参数的方法，来回避分类讨论
总结
01 函数思想是一种思维习惯，要用变量和函数的
观点来思考问题
02 求 y f (x) 的零点和解 f (x) 0 求根是一致的，但方法是多样的，
特别要注意数形结合的使用。
如果要判断函数有几个零点，则必须结合其图像与性质（单调性、奇偶性）。
02 函数 f (x) 在[a,b]上是连续不断的曲线，且 f (a) f (b) 0 ，满足这些条件一定有零点。但不满足这些条件也不能说一定没有零点。
产品介绍 Product introduction
关于零点存在性定理
如图：
已知 x, y 0 ，则有： x y 2 xy （当且仅当 x y 等号成立）
若 x y S (和为定值)，
则当 x y 时，积 xy 取得最大值 S 2 ； 4
即： xy （ x+y）2 = S 2 24
若 xy P (积为定值)
则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 P
则 f (x) a fmin (x) a
因为 x 0 ，由平均值不等式： x+ 1 2（当且仅当 x 1 ，即： x 1时等号成立），
x
x
所以： f (x)min 2 故： a 2
产品介绍 Product
introduction 函数与不等式
【例 3.】变式：关于 x 的不等式 x+ 1 a 0 对 x [2, ) 恒成立， x
【例 1】关于 x 的一元二次方程 x2 ax 3 a 0 ，求当 a 为何值时，分别有以下的结论：

沪科版八年级数学上册：12.2.6 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式教案

第6课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式教材分析：本节课教学内容是数形结合思想的又一体现，引导学生从函数的角度来思考方程与不等式的问题，体会数学思维的多元性。

主要教学一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数图象的对应关系，从而根据图象求解一元一次方程和一元一次不等式。

初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系，以及他们各自能够解决的问题类型，为后续学习打下基础。

教学目标：知识与技能：1、理解一元一次方程的解，一元一次不等式的解集与一次函数图象间的对应关系。

2、会用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。

3、初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系。

过程与方法：1、通过观察、联想、思考等数学活动，得出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数的图象之间的对应关系，发展学生的合情推理能力。

2、体验数学结合思想的意义，逐步提高学生借助这一思想分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：增强学生合作交流的意识，培养学生思考的习惯，同时让学生感受到数学与实际生活的联系。

教学重、难点：重点：1、理解一元一次方程，不等式与一次函数的转化关系及本质联系。

2、学会利用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。

难点：用图象法求一元一次不等式的解集教学过程：一、复习导入1、复习直线x=a和=b以及借助他们如何把坐标系划分成三部分。

2、通过转化解决问题：（1）、已知函数y=2x+6,当x=1时，求y的值。

（2）、已知函数y=2x+6,当y=4时，求x的值。

（3）、已知函数y=2x+6,当y>4时，求x的取值范围。

3、明晰课题并板书：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式二、探究新知1、一元一次方程与一次函数问题①：（1）解方程：2x+6=0（2）已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0?（1）、学生活动1：用自己的方法解决，并做简单的比较。

（2）、学生活动2：画出一次函数y=2x+6的图象，观察图象与x轴的交点，看看它的坐标与方程2x+6=0的解有什么关系？（3）、学生活动3：由此你能得到什么结论？引导：我们把一元一次方程都写成kx+b=0(k≠0)的形式，看看他的解与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点坐标有什么联系？（4）、教师明晰：一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解，从图象上看就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。

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