【数学】2016-2017年上海市长宁区延安中学高三(上)期中数学试卷与答案
2017-2018学年上海市延安中学高三上学期12月月考数学试卷
2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷一.填空题1．已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁U A=．2．已知，则cos（π﹣α）=．3．直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角大小为．4．不等式＞|x|的解集为．5．函数f（x）=log2（1+x）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．6．设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=．7．已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数k，均有a k=（S n﹣S k）成立，则公比q=．11．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是．（填写命题所对应的序号即可）①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．12．设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是．13．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f （x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．14．已知{a n}是等差数列，记b n=a n a n+1a n+2（n为正整数），设S n为{b n}的前n项和，且3a5=8a12＞0，则当S n取最大值时，n=．二.选择题15．已知条件p：log2（x﹣1）＜1的解，q：x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要16．若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在（）A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第二象限 D．第三或第四象限17．现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A．42小时B．46小时C．50小时D．52小时18．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]三.解答题19．如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用Sθ表示，求Sθ+•的取值范围．20．已知椭圆（a＞b＞0），右焦点，点在椭圆上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．21．某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x∈N*且x≤12；（1）写出2016年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？22．设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间；（1）判断下列函数：①f1（x）=x﹣2x2，②f2（x）=|log2（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；（2）若函数f（x）=ax3+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．23．设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁U A={4} ．【考点】补集及其运算．【分析】由题意全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，∴集合∁U A={4}，故答案为：{4}2．已知，则cos（π﹣α）=﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵已知=cosα，则cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，故答案为：．3．直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角大小为arctan．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】利用两条直线的夹角公式求得直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角的值．【解答】解：直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为k1=2，直线l2：x﹣y﹣2=0的斜率为k2=1，设直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角为θ，则tanθ=||=，∴直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角为θ=arctan，故答案为：．4．不等式＞|x|的解集为（0，2）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，根据＜0，求得不等式的解集．【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．5．函数f（x）=log2（1+x）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=y=2x﹣1（x＞0）．【考点】反函数．【分析】根据f（x）=y=log2（1+x）（x＞0），求出值域f（x）＞0．用x把y表示出来，把x 与y互换即可得出．【解答】解：f（x）=y=log2（1+x）∵x＞0，∴y＞0，由y=log2（1+x），可得：x=2y﹣1∴y=2x﹣1（x＞0）故答案为：y=2x﹣1（x＞0）6．设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为=1，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得a=0，故答案为0．7．已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为y2﹣3x2=λ（λ≠0），将点C坐标代入可得λ的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可设双曲线的方程为y2﹣3x2=λ（λ≠0），将点C（1，1）代入可得λ=﹣2，．故答案为：．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=27．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出对应的结果．【解答】解：△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD=3DB，∴==（﹣），∴=•（﹣）=﹣•=×62﹣×0=27．故答案为：27．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出等比中项，然后求解焦距即可．【解答】解：m是2和8的等比中项，可得m=±4，当m=4时，曲线是椭圆，可得a=2，c=，则2c=2．当m=﹣4时，曲线是双曲线，此时，a=1，b=2，c=，2c=2．故答案为：或．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数k，均有a k=（S n﹣S k）成立，则公比q=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知条件推导出a2=a1，从而得到q﹣q2=q2，由此能求出公比q=．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数k，均有a k=（S n﹣S k）成立，∴a n=a1q n﹣1，S n=，a k=（S n﹣S k）=，当k=2时，a2==a1，∴，∴，∴q﹣q2=q2，q（2q﹣1）=0解得q=，或q=0（舍）．∴公比q=．故答案为：．11．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是②、③．（填写命题所对应的序号即可）①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】本题考查平面向量基本定理，由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．【解答】解：根据平面向量基本定理知：①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；故错；②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基；故正确；③平面向量的基向量只要不共线，也可能互相垂直；故对；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合．如果是三个不共线的向量，表示法不惟一，故错．故答案为：②、③．12．设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是[1，4] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程可得﹣4≤x≤4．由|MP2=（x﹣m）2+y2=（x﹣m）2+12（1﹣）=（x﹣4m）2+12﹣3m2，结合二次函数的性质及椭圆的性质可知，取得最小值4m≥4，结合点M在椭圆的长轴上，可求m得范围【解答】解：设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x≤4．|MP2=（x﹣m）2+y2=（x﹣m）2+12（1﹣）=（x﹣4m）2+12﹣3m2∵当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，|MP|2取得最小值，而x∈[﹣4，4]，故有4m≥4，解得m≥1．又点M在椭圆的长轴上，所以﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是[1，4]．故答案为：1≤m≤4．13．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f （x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f （x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围．【解答】解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）﹣1]=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（﹣1，0），函数f（x）=在区间[﹣1，3]上的图象如图所示：由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，]故答案为：（0，]．14．已知{a n}是等差数列，记b n=a n a n+1a n+2（n为正整数），设S n为{b n}的前n项和，且3a5=8a12＞0，则当S n取最大值时，n=16．【考点】数列的函数特性．【分析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣56d5＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=4d5＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出Sn中S16最大．【解答】解：由b n=a n a n+1a n+2且3a5=8a12＞0，所以，3a5=8（a5+7d）所以，＞0，即d＜0因为a16=a5+11d=，所以，a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17所以，b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18因为，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0a15＜﹣a18所以，b15＞﹣b16即b15+b16＞0所以，S16＞S14所以S16最大．故答案为：16二.选择题15．已知条件p：log2（x﹣1）＜1的解，q：x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出p，q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由log2（x﹣1）＜1，得：0＜x﹣1＜2，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即q：﹣1＜x＜3，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．16．若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在（）A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第二象限 D．第三或第四象限【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，结合三角函数的符号可得，cosα•sinα＞0，而圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为（﹣cosα，sinα）根据其坐标的特点即可得出结论．【解答】解：由于方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，∴cosα•sinα＞0，而圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为（﹣cosα，sinα）结合三角函数的符号可得，圆心的横坐标与纵坐标符号相反，故其位置在第二或第四象限．故选B．17．现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A．42小时B．46小时C．50小时D．52小时【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×x∈N*，再建立不等式求解．【解答】解：根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×x∈N*，由y=100×＞1010，解得＞108，即xlg＞8，即x＞≈45.45．∴x＞45.45，故经过46小时，细胞总数超过1010个．18．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由函数f（x）是递增函数，且y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f （x）是奇函数，再结合f（n﹣3）+f（）=0可得（n﹣3）+=0，进而利用数形结合求出结果．【解答】解：f（x）是定义在R上的增函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数f（x）是奇函数；又f（n﹣3）+f（）=0，所以（n﹣3）+=0，且4m﹣m2﹣3≥0；即，画出不等式组表示的图形，如图所示；则实数m，n表示一段圆弧，所以表示圆弧上的点（m，n）与点（0，0）连线的斜率，所以结合图象可得：的最大值是直线OA的斜率，为=3，最小值是直线OB的斜率，不妨设为k，则，消去n，得（m﹣2）2+（km﹣3）2=1，整理得（k2+1）m2﹣（6k+4）m+12=0，令△=（6k+4）2﹣4×12×（k2+1）=0，化简得3k2﹣12k+8=0，解得k=2±，应取k=2﹣为最小值；所以的取值范围是：[2﹣，3]．故选：C．三.解答题19．如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用Sθ表示，求Sθ+•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数线．【分析】（1）利用任意角的三角函数定义可得sinθ，cosθ，再利用半角公式和两角和差的正切公式=即可得出；（2）利用向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式可得=sinθ+cosθ+1，再利用两角和的正弦公式即可得出．【解答】解：（1）∵B，∠AOB=θ，∴cosθ=﹣，．∴==2．∴===﹣3．（2）Sθ=|OA||OB|sinθ=sinθ，∵=（1，0），=（cosθ，sinθ），∴=+=（1+cosθ，sinθ），∴=1+cosθ，∴=sinθ+cosθ+1=+1（0＜θ＜π），∵，∴≤1，∴．20．已知椭圆（a＞b＞0），右焦点，点在椭圆上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据焦点坐标和D点坐标列方程组求出a2，b2即可；（2）对直线l的斜率进行讨论，使用根与系数的关系计算，根据计算结果是否为0得出结论．【解答】解：（1）由题意可知，解得a2=4，b2=2，∴椭圆C的标准方程为：．（2）若直线l无斜率，则直线l的方程为x=0，∴A（0，），B（0，﹣），又F（，0），∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°，符合题意；若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消元得（1+2k2）x2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=0，x1•x2=﹣，y1y2=﹣．∴=（x1﹣，y1），=（x2﹣，y2），∴=（x1﹣）（x2﹣）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+2+y1y2=﹣+2﹣=﹣≠0，∴与不垂直，即∠AFB≠90°．综上，存在过原点的直线l使得∠AFB=90°，直线l的方程为x=0．21．某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x∈N*且x≤12；（1）写出2016年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）把x=1代入到f（x）得到f（1）即为g（1），当x≥2时，g（x）=f（x）﹣f（x ﹣1）化简得出解析式；（2）对一切x∈{1，2，12}有ax≥f（x）列出不等式得到a≥一个函数，求出函数的最大值得到a的取值范围．【解答】解：（1）g（1）=f（1）=1×2×33=66，g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）=x（x+1）（35﹣2x）﹣[（x﹣1）x（35﹣2（x﹣1）]，=﹣6x2+72x．当x=1时，g（x）=﹣6x2+72x=66=g（1）．∴g（x）=﹣6x2+72x；（2）依题意，对一切x∈{1，2，…，12}有ax≥f（x）．∴a≥（x+1）（35﹣2x），x∈{1，2，…，12}．设h（x）=﹣2（x﹣）2+35+，∴h（x）max=h（8）=171．故a≥171．故保证每月满足市场需求，则a至少应为171台．22．设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间；（1）判断下列函数：①f1（x）=x﹣2x2，②f2（x）=|log2（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；（2）若函数f（x）=ax3+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）依次判断各函数在（0，1）上是否存在极大值点即可得出结论；（2）求出f（x）的极大值点，令极大值点在区间（1，2）上即可；（3）利用f（x）的单调性得出f（x）的峰点在区间（a，n）上即可．【解答】解：（1）①f1′（x）=1﹣4x，令f1′（x）=0得x=，当0时，f1′（x）＞0，当时，f1′（x）＜0，∴f1（x）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，∴f1（x）是[0，1]上的单峰函数，峰点为；②当x∈[0，1]时，f2（x）=|log2（x+0.5）|=．∴f2（x）在[0，0.5]上单调递减，在[0.5，1]上单调递增，∴f2（x）不是[0，1]上的单峰函数；（2）f′（x）=3ax2+1，令f′（x）=0得x=±，当x＜﹣时，f′（x）＜0，当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴x=是f（x）的极大值点，∵函数f（x）是[1，2]上的单峰函数，∴1＜＜2，解得：．（3）证明：∵f（x）是[a，b]上的单峰函数，∴存在x0∈（a，b），使得f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，b）上单调递减，假设n ≤x0，则f（x）在（m，n）上是增函数，∴f（m）＜f（n），与f（m）≥f（n）矛盾；∴假设错误，故n＞x0，∴f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，n）上单调递减，∴（a，n）为f（x）的含峰区间．23．设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n }的通项，利用{a n }是“封闭数列”，得a 1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n }的首项a 1的所有取值． 【解答】解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a 1+a n ）﹣4=2（a 1+a 2…+a n ），① 用n +1去代n 得，3（a 1+a n +1）﹣4=2（a 1+a 2…+a n +a n +1），②②﹣①得，3（a n +1﹣a n ）=2a n +1，a n +1=3a n ，在①中令n=1得，a 1=1，则a n ≠0，∴，∴数列{a n }是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a 1+a 2+a 3+…+a n =．（2）当k=1，b=0，p=0时，n （a 1+a n ）=2（a 1+a 2…+a n ），③用n +1去代n 得，（n +1）（a 1+a n +1）=2（a 1+a 2…+a n +a n +1），④④﹣③得，（n ﹣1）a n +1﹣na n +a 1=0，⑤用n +1去代n 得，na n +2﹣（n +1）a n +1+a 1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n +2﹣2na n +1+na n =0，即a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ，∴数列{a n }是等差数列．∵a 3=3，a 9=15，∴公差，∴a n =2n ﹣3．（3）由（2）知数列{a n }是等差数列，∵a 2﹣a 1=2，∴a n =a 1+2（n ﹣1）． 又{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N *，必存在p ∈N *使a 1+2（n ﹣1）+a 1+2（m ﹣1）=a 1+2（p ﹣1），得a 1=2（p ﹣m ﹣n +1），故a 1是偶数，又由已知，，故．一方面，当时，S n =n （n +a 1﹣1）＞0，对任意n ∈N *，都有．另一方面，当a 1=2时，S n =n （n +1），，则， 取n=2，则，不合题意．当a 1=4时，S n =n （n +3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．。
【精品】2016年上海市长宁区延安中学高一上学期期中数学试卷
2015-2016学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共42分，每小题3分）1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，用列举法表示∁U A=．2．（3分）已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=．3．（3分）用列举法表示集合{x|x+y=4，x∈N，y∈N+}=．4．（3分）已知f（x）=，则f（12）的值为．5．（3分）命题“已知x、y∈R，如果x+y＜2，那么x≠0或y≠2”是命题．（填“真”或“假”）6．（3分）已知集合A={m，5}，B={m2+1，m，2}，若x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的值为．7．（3分）已知全集U中有25个元素，集合A中有12个元素，集合B中有17个元素，A∩B中有8个元素，则∁U A∩∁U B中元素的个数是．8．（3分）设全集U=R，集合A={x|（1﹣2x）（x+3）＞0}，B={x|＞1}，则图中阴影部分所表示的集合是．（用区间表示）9．（3分）已知关于x的不等式≤0解集为∅，则实数k的取值范围是．10．（3分）已知关于x的不等式|x﹣2|≤a（a＞0）恰有5个整数解，则实数a 的取值范围是．11．（3分）已知正数a、b满足2a2+b2=5，则a的最大值为．12．（3分）已知函数f（x）=x（1﹣2x），则不等式f（）＞﹣3的解集为．13．（3分）定义min{a，b}=，函数f（x）=min{|x﹣1|，﹣x2+11}，若集合A={x|f（x）=m}中有4个元素，则实数m的取值范围是．14．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁U A，则2x∉∁U A，则同时满足条件①②③的集合A的个数为．二．选择题（本大题15分，每小题3分）15．（3分）“x＜4”是“＜2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（3分）已知命题P的逆命题是“若a、b都不是偶数，则ab不是偶数”，则命题P的逆否命题是（）A．若a、b都是偶数，则ab是偶数B．若ab是偶数，则a、b都是偶数C．若a、b至少有一个是偶数，则ab是偶数D．若ab是偶数，则a、b至少有一个是偶数17．（3分）下面四组函数中，函数f（x）和g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=•，g（x）=B．f（x）=，g（x）=x﹣1C．f（x）=，g（x）= D．以上三组都不是同一函数18．（3分）已知全集U=R，集合A={x|f（x）=0}，B={x|g（x）=0}，C={x|h（x）=0}，则方程=0的解集可表示为（）A．C∩（A∪B）B．∁U C∪（A∩B）C．∁U C∩（A∩B）D．∁U C∩（A∪B）19．（3分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）=a|x﹣x1|+b|x﹣x2|的图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），则实数a、b应满足的条件是（）A．a+b=0且a﹣b＞0 B．a+b=0且a﹣b＜0C．a﹣b=0且a+b＞0 D．a﹣b=0且a+b＜0．三、解答题（本大题43分，其中20题8分，21题8分，22题9分，23题10分，24题8分）20．（8分）解不等式组：．21．（8分）已知k为实数，解关于x的不等式（kx﹣k2﹣1）（x﹣2）＞0．22．（9分）已知集合A={y|y=x2，x∈R}，集合B={y|y=﹣x2+3x﹣1，x∈R}集合C为函数f（x）=的定义域．（1）求A∩B；（2）若A∪C⊆A，求实数m的取值范围．23．（10分）国际上钻石的重量计算单位为克拉．已知某种钻石的价值y（美元）与其重量x（克拉）的平方成正比，且一颗为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．已知，价值损失百分率=×100%．切割中重量的损耗不计（1）写出y关于x的函数关系式；（2）若把一颗钻石切割成重量比为1：4的两颗钻石，求价值损失的百分率；（3）若把一颗钻石切割成重量分别为m克拉和n克拉的两颗钻石，问：当m、n满足何种关系时，价值损失的百分率最大？24．（8分）柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．具体表述如下：对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，…b n（n∈N+，n≥2），都有（a12+a22+…+a n2）（b12+b22+…b n2）≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2．（1）证明n=2时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；（2）若对任意x∈[2，6]，不等式3+2≤m恒成立，求实数m的取值范围（4分）2015-2016学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共42分，每小题3分）1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，用列举法表示∁U A= {1，3} ．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，∴∁U A={1，3}，故答案为：{1，3}．2．（3分）已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B={x|x ＜4} ．【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，∴A∪B={x|x＜4}．故答案为{x|x＜4}．3．（3分）用列举法表示集合{x|x+y=4，x∈N，y∈N+}={0，1，2，3} ．【解答】解：集合{x|x+y=4，x∈N，y∈N+}={0，1，2，3}．故答案为：{0，1，2，3}．4．（3分）已知f（x）=，则f（12）的值为11．【解答】解：f（x）=，则f（12）=f（9）=f（6）=6+5=11．故答案为：11．5．（3分）命题“已知x、y∈R，如果x+y＜2，那么x≠0或y≠2”是真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题的逆否命题为：已知x、y∈R，如果x=0且y=2，那么x+y≥2，为真命题．，则命题“已知x、y∈R，如果x+y＜2，那么x≠0或y≠2”是真命题，故答案为：真6．（3分）已知集合A={m，5}，B={m2+1，m，2}，若x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的值为﹣2．【解答】解：∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，则m2+1=5，即m2=4，m=2或﹣2，当m=2时，A={2，5}，B={5，2，2}，此时B不成立，故m≠2，当m=﹣2时，A={﹣2，5}，B={5，﹣2，2}，满足条件．故m=﹣2，故答案为：﹣27．（3分）已知全集U中有25个元素，集合A中有12个元素，集合B中有17个元素，A∩B中有8个元素，则∁U A∩∁U B中元素的个数是4．【解答】解：∁U A∩∁U B中中有n个元素，如图所示阴影部分，又全集U中有25个元素，集合A中有12个元素，集合B中有17个元素，A∩B中有8个元素，∵∁U A∩∁U B=C U（A∪B），∴∁U A∩∁U B中元素的个数是25﹣（17+12﹣8）=4，故答案为：4．8．（3分）设全集U=R，集合A={x|（1﹣2x）（x+3）＞0}，B={x|＞1}，则图中阴影部分所表示的集合是[，1）．（用区间表示）【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A），A={x|（1﹣2x）（x+3）＞0}={x|﹣3＜x＜}，B={x|＞1}={x|0＜x＜1}，∴∁U A={x|x≥或x≤﹣3}，∴B∩（∁U A）={x|≤x＜1}=[，1），故答案为：[，1）9．（3分）已知关于x的不等式≤0解集为∅，则实数k的取值范围是0≤k＜4．【解答】解：∵x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，∴不等式≤0等价于kx2﹣kx+1≤0，当k=0时，kx2﹣kx+1≤0可化为1≤0，解集为∅，当k≠0时，可得，解得0＜k＜4，综合可得k的取值范围为0≤k＜4故答案为：0≤k＜4．10．（3分）已知关于x的不等式|x﹣2|≤a（a＞0）恰有5个整数解，则实数a 的取值范围是[2，3）．【解答】解：∵|x﹣2|≤a，∴﹣a≤x﹣2≤a，即2﹣a≤x≤2+a，若不等式|x﹣2|≤a（a＞0）恰有5个整数解，则这5个整数解为0，1，2，3，4，则满足，即，解得2≤a＜3，故答案为：[2，3）11．（3分）已知正数a、b满足2a2+b2=5，则a的最大值为2．【解答】解：∵正数a、b满足2a2+b2=5，即2a2+b2+3=8，则a≤=2，当且仅当=，2a2+b2=5，a，b＞0，即b=1，a=时取等号．故答案为：2．12．（3分）已知函数f（x）=x（1﹣2x），则不等式f（）＞﹣3的解集为{x|x＜﹣或x＞﹣} ．【解答】解：由x（1﹣2x）=﹣3可解得x=﹣1或x=，结合二次函数f（x）=x（1﹣2x）图象开口向下，∴不等式f（）＞﹣3等价于﹣1＜＜，故＜，等价于|x+1|＞，解得x＜﹣或x＞﹣，故答案为：{x|x＜﹣或x＞﹣}．13．（3分）定义min{a，b}=，函数f（x）=min{|x﹣1|，﹣x2+11}，若集合A={x|f（x）=m}中有4个元素，则实数m的取值范围是（0，2）．【解答】解：①x﹣1≥0即x≥1时：|x﹣1|=x﹣1，由x﹣1﹣[﹣x2+11]=x2+x﹣12=（x﹣3）（x+4）≤0，解得：1≤x≤3，故1≤x≤3时：f（x）=x﹣1，由（x﹣3）（x+4）＞0，解得：x＞3，故x＞3时：f（x）=﹣x2+11，②x﹣1＜0即x＜1时：|x﹣1|=1﹣x，由1﹣x﹣[﹣x2+11]=﹣＞0，解得：x＜，故x＜时：f（x）=﹣x2+11，由﹣＜0，解得：＜x＜1，故＜x＜1时：f（x）=1﹣x，画出函数f（x）的图象，如图示：，由图象得0＜m＜2，故答案为：（0，2）．14．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁U A，则2x∉∁U A，则同时满足条件①②③的集合A的个数为8．【解答】解：由①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈C U A，则2x∉C U A．当1∈A，则2∉A，即2∈C U A，则4∉C U A，即4∈A，但元素3与集合A的关系不确定，3属于A时，6属于A的补集；3属于A的补集时，6属于A；而元素5没有限制．∴A={1，4，6}，{2，3，5}，{2，3}，{1，4，5，6}，{1，3，4}，{2，4，5}，{2，6}，{1，3，4，5}．，同时满足条件①②③的集合A的个数为8个．故答案为：8．二．选择题（本大题15分，每小题3分）15．（3分）“x＜4”是“＜2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：当x=﹣2时，满足x＜4，但＜2无意义，即充分性不成立，若＜2，则0≤x＜4，此时x＜4成立，即“x＜4”是“＜2”的必要不充分条件，故选：B．16．（3分）已知命题P的逆命题是“若a、b都不是偶数，则ab不是偶数”，则命题P的逆否命题是（）A．若a、b都是偶数，则ab是偶数B．若ab是偶数，则a、b都是偶数C．若a、b至少有一个是偶数，则ab是偶数D．若ab是偶数，则a、b至少有一个是偶数【解答】解：命题P的逆命题是“若a、b都不是偶数，则ab不是偶数”，则命题P为：若ab不是偶数，则a、b都不是偶数，则P的逆否命题是：若a、b至少有一个是偶数，则ab是偶数，故选：C．17．（3分）下面四组函数中，函数f（x）和g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=•，g（x）=B．f（x）=，g（x）=x﹣1C．f（x）=，g（x）= D．以上三组都不是同一函数【解答】解：对于A，f（x）=•=（x≥1），与g（x）==（x≤﹣3或x≥1）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，f（x）==x﹣1（x≠1）与g（x）=x﹣1（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数；对于C，f（x）==（﹣1≤x≤1）与g（x）=（﹣1≤x≤1）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数．故选：C．18．（3分）已知全集U=R，集合A={x|f（x）=0}，B={x|g（x）=0}，C={x|h（x）=0}，则方程=0的解集可表示为（）A．C∩（A∪B）B．∁U C∪（A∩B）C．∁U C∩（A∩B）D．∁U C∩（A∪B）【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|f（x）=0}，B={x|g（x）=0}，C={x|h（x）=0}，∴方程=0的解集可表示为∁U C∩（A∪B），故选：D．19．（3分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）=a|x﹣x1|+b|x﹣x2|的图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），则实数a、b应满足的条件是（）A．a+b=0且a﹣b＞0 B．a+b=0且a﹣b＜0C．a﹣b=0且a+b＞0 D．a﹣b=0且a+b＜0．【解答】解：当x≤x1时，f（x）=﹣a（x﹣x1）﹣b（x﹣x2）=﹣（a+b）x+（ax1+bx2）由图可知当x1＜0＜x2时，f（x）=a（x﹣x1）﹣b（x﹣x2）=（a﹣b）x﹣ax1+bx2由图可知当x≥x2时，f（x）=a（x﹣x1）+b（x﹣x2）=（a+b）x﹣（ax1+bx2）由图又可得出①②两式．由①，①′两式可得a=﹣b＞0，同时使得②，②′成立．故实数a、b应满足的条件是：a＞0且a+b=0 （或a=﹣b＞0），故选：A．三、解答题（本大题43分，其中20题8分，21题8分，22题9分，23题10分，24题8分）20．（8分）解不等式组：．【解答】解：不等式≥2可化为﹣2≥0，通分并整理可得≤0，解得﹣3≤x＜0；不等式|4x+5|＞3可化为4x+5＜﹣3或4x+5＞3，解得x＜﹣2或x＞﹣，取交集可得原不等式的解集为{x|﹣3≤x＜﹣2或﹣＜x＜0}21．（8分）已知k为实数，解关于x的不等式（kx﹣k2﹣1）（x﹣2）＞0．【解答】解：（1）当k=0时，不等式可化为x﹣2＜0，解集为{x|x＜2}；（2）当k＜0时，＜2，此时不等式的解集为{x|＜x＜2}；（3）当k=1时，=2，此时不等式的解集为{x|x≠2}；（4）当0＜k＜1或k＞1时，＞2，此时不等式的解集为{x|x＞或x ＜2}．22．（9分）已知集合A={y|y=x2，x∈R}，集合B={y|y=﹣x2+3x﹣1，x∈R}集合C为函数f（x）=的定义域．（1）求A∩B；（2）若A∪C⊆A，求实数m的取值范围．【解答】解：集合A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，集合B={y|y=﹣x2+3x﹣1，x∈R}={y|y=}，（1）A∩B={y|y≥0}∩{y|y=}={y|}；（2）集合C为函数f（x）=的定义域，∴﹣x2+4x+m﹣7≥0．解得：．若A∪C⊆A，则，解得：m≥3．23．（10分）国际上钻石的重量计算单位为克拉．已知某种钻石的价值y（美元）与其重量x（克拉）的平方成正比，且一颗为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．已知，价值损失百分率=×100%．切割中重量的损耗不计（1）写出y关于x的函数关系式；（2）若把一颗钻石切割成重量比为1：4的两颗钻石，求价值损失的百分率；（3）若把一颗钻石切割成重量分别为m克拉和n克拉的两颗钻石，问：当m、n满足何种关系时，价值损失的百分率最大？【解答】解：（1）依题意设y=kx2，又当x=3时，y=54000，∴k=6000，故y=kx2=6000x2（x＞0）；（2）设两颗钻石的重量为m、4m克拉则原有价值是6000（5m）2，现有价值是6000m2+6000（4m）2，价值损失的百分率===32%，即价值损失的百分率是32%．（3）若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6000（m+n）2，现有价值是6000m2+6000n2；价值损失的百分率为：=，当且仅当m=n时取等号；所以，当m=n时，钻石价值损失的百分率最大．24．（8分）柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．具体表述如下：对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，…b n（n∈N+，n≥2），都有（a12+a22+…+a n2）（b12+b22+…b n2）≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2．（1）证明n=2时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；（2）若对任意x∈[2，6]，不等式3+2≤m恒成立，求实数m的取值范围（4分）【解答】（1）证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2﹣4（a12+a22）（b12+b22）≤0，即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．（其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）（2）解：由（1）可得（3+2）2≤（32+22）[（）2+（）2]=52，∴（3+2）max=2，∵对任意x∈[2，6]，不等式3+2≤m恒成立，∴m≥．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知全集U=R ，集合M={x|0≤x≤2}，集合N={x|x ＞1}，则M∩N=___ ．2.（填空题，4分）函数f （x ）=log 2（4-x 2）的最大值为___ ．3.（填空题，4分）已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于___ ．4.（填空题，4分）函数f （x ）=x 2，（x ＜-2）的反函数是___ ．5.（填空题，4分）已知等差数列{a n }，a 4+a 6=10，前5项的和S 5=5，则其公差为___ ．6.（填空题，4分）在（x- 1x ）6展开式中，常数项为___ ．（用数值表示） 7.（填空题，5分）若 sinα+cosαsinα−cosα =3，tan （α-β）=2，则tan （β-2α）=___ ．8.（填空题，5分）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是___ ．（结果精确到0.01）9.（填空题，5分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为___ ．10.（填空题，5分）已知函数 f (x )={log 2x ，0＜x ＜2(23)x +59，x ≥2．若函数g （x ）=f （x ）-k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }（n∈N *），若a 1=1，a n+1+a n =（ 12 ）n ，则 lim n→∞a 2n =___ ．12.（填空题，5分）如图，C 为△ABC 外接圆P 上一个动点，若OA=1，OB= √3 ，∠AOB=150°，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为___ ．13.（单选题，5分）下列命题正确的是（）A.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行14.（单选题，5分）设a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），则“a＜b”是“a-1＜b-1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.（单选题，5分）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数12的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞．现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A.42小时B.46小时C.50小时D.52小时16.（单选题，5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）=2f（x），且当x∈（0，2]时，f(x)=x+1x −94．若对任意x∈（-∞，m]，都有f(x)≥−23，则m的取值范围是（）A. (−∞，215]B. (−∞，163]C. (−∞，92]D. (−∞，194]17.（问答题，14分）已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB=AC=AA1=1，∠BAC=90°．（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；（2）求点B1到平面A1BC的距离．18.（问答题，14分）函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x2．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)−1x ，x∈(−∞，−12]∪[12，+∞)，求g（x）的值域．19.（问答题，14分）如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足tanA= sinB+sinC2−cosB−cosC．（1）证明：b+c=2a；（2）若OA=2OB=2，且b=c，设∠AOB=θ（0＜θ＜π），当θ变化时，求四边形OACB面积的最大值．20.（问答题，16分）已知函数f（x）=ln（x-1+a）．（1）设f-1（x）是f（x）的反函数，当a=1时，解不等式f-1（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）+ln（x2）=0的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[ 12，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2，求a的取值范围．21.（问答题，18分）记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列{S nn}是等差数列；（2）若a1=1，{√S n}是公差为1的等差数列，求使S k+1S k+2S k2为整数的正整数k的取值集合；（3）记b n=t a n（t为大于0的常数），求证：b1+b2+⋯…+b nn ≤b1+b22．2020-2021学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知全集U=R，集合M={x|0≤x≤2}，集合N={x|x＞1}，则M∩N=___ ．【正确答案】：[1]（1，2]【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵M={x|0≤x≤2}，N={x|x＞1}，∴M∩N=（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】：本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（填空题，4分）函数f（x）=log2（4-x2）的最大值为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由对数有意义可得4-x2＞0，解不等式可得定义域；通过二次函数t=4-x2的最大值为4，计算对数可得．【解答】：解：由对数有意义可得4-x2＞0，解得-2＜x＜2，∴函数f（x）的定义域为（-2，2）；∵二次函数t=4-x2的最大值为4，此时x=0，故函数f（x）的最大值为log24=2．故答案为：2．【点评】：本题考查对数函数的性质，涉及定义域和值域，属基础题．3.（填空题，4分）已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于___ ．【正确答案】：[1]9π【解析】：设球的半径为R，由已知球的体积求得半径，再由圆的面积公式求解．πR3=36π，得R=3．【解答】：解：设球的半径为R，由43∴该球大圆的面积等于πR2=9π．故答案为：9π．【点评】：本题考查球的体积公式与表面积公式，是基础的计算题．4.（填空题，4分）函数f（x）=x2，（x＜-2）的反函数是___ ．【正确答案】：[1] y=−√x，(x＞4)【解析】：直接利用反函数的定义求解即可．【解答】：解：函数f（x）=x2，（x＜-2），则y＞4．可得x= −√y，所以函数的反函数为：y=−√x，(x＞4)．故答案为：y=−√x，(x＞4)．【点评】：本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．5.（填空题，4分）已知等差数列{a n}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，则其公差为___ ．【正确答案】：[1]2d =5，解方程组求得d的值．【解析】：设公差为d，由题意可得 2a1+8d=10，5a1+ 5×42【解答】：解：∵等差数列{a n}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，设公差为d．d =5，由题意可得 2a1+8d=10，5a1+ 5×42解方程组求得d=2，故答案为 2．【点评】：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．）6展开式中，常数项为___ ．（用数值表示）6.（填空题，4分）在（x- 1x【正确答案】：[1]-20【解析】：利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，再求展开式的常数项．）6=[x+（-x-1）]6，【解答】：解：二项式（x- 1x其展开式的通项公式为：T r+1= C6r•x6-r•（-x-1）r=（-1）r• C6r•x6-2r，当6-2r=0时，得r=3，所以展开式的常数项为：T4=（-1）3• C63 =-20．故答案为：-20．【点评】：本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的应用问题，是基础题目．7.（填空题，5分）若sinα+cosαsinα−cosα=3，tan（α-β）=2，则tan（β-2α）=___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：把已知的第1个等式左边的分子分母都除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanα的方程，即可求出tanα的值，然后把所求的式子中的角β-2α变换为（β-α）-α后，利用两角差的正切函数公式化简，将求出的tanα的值和已知的tan（α-β）=2代入即可求出值．【解答】：解：∵ sinα+cosαsinα−cosα = tanα+1tanα−1=3，∴tanα=2．又tan（α-β）=2，∴tan（β-2α）=tan[（β-α）-α] =-tan[（α-β）+α]=- tan(α−β)+tanα1−tan(α−β)•tanα = 43．故答案为：43【点评】：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道综合题．本题的突破点是将所求式子的角β-2α变换为（β-α）-α的形式．8.（填空题，5分）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是___ ．（结果精确到0.01）【正确答案】：[1]0.30【解析】：先求出从这批产品中抽取4个，则事件总数，然后求出其中恰好有一个二等品的事件的个数，最后根据古典概型的公式求出恰好有一个二等品的概率．【解答】：解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为C1004个，其中恰好有一个二等品的事件有C101•C903个，根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为：C 101•C 903C 1004 = 10×90×89×883×2×1 × 4×3×2×1100×99×98×97= 28489506≈0.30． 故答案为：0.30．【点评】：本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）= mn．9.（填空题，5分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：设A （x 1，2），B （x 2，-2），由函数图象可得（x 2-x 1）2+42=52，解得：x 2-x 1=3，利用T=2×3= 2πω ，即可解得ω的值．【解答】：解：∵函数f （x ）=2sin （ωx+φ），图象中AB 两点距离为5， 设A （x 1，2），B （x 2，-2）， ∴（x 2-x 1）2+42=52， 解得：x 2-x 1=3，∴函数的周期T=2×3= 2πω ，解得：ω= π3 ． 故答案为： π3．【点评】：本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．10.（填空题，5分）已知函数 f (x )={log 2x ，0＜x ＜2(23)x +59，x ≥2 ．若函数g （x ）=f （x ）-k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (59，1)【解析】：由题意可得函数f （x ）的图象与直线y=k 有二个不同的交点，结合图象求出实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可得函数f （x ）的图象与直线y=k 有二个不同的交点，如图所示： 故实数k 的取值范围是 (59，1) ， 故答案为 (59，1) ．【点评】：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．11.（填空题，5分）已知数列{a n }（n ∈N *），若a 1=1，a n+1+a n =（ 12 ）n ，则 lim n→∞a 2n =___ ．【正确答案】：[1]- 23【解析】：由已知推导出 S 2n =23(1−14n ) ， S 2n−1=1+13(1−14n−1) ，从而 a 2n =S 2n −S 2n−1=13•22n−1−23 ，由此能求出 lim n→∞a 2n ．【解答】：解：∵数列{a n }（n∈N *）满足a 1=1，a n+1+a n =（ 12）n ，∴（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）= 12+(12)3+⋯+(12)2n−1=12(1−14n )1−14=23(1−14n ) ，∴ S 2n =23(1−14n) ． 又a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a 2n-2+a 2n-1）= 1+(12)2+(12)4+⋯+(12)2n−2=1+(12)2(1−14n−1)1−14= 1+13(1−14n−1) ．即 S 2n−1=1+13(1−14n−1) ．∴ a 2n =S 2n −S 2n−1=13•22n−1−23 ．∴ lim n→∞a 2n =lim n→∞(13•22n−1−23)=−23 ．【点评】：本题考查由数列递推式求数列的通项公式，考查数列极限的求法，是中档题． 12.（填空题，5分）如图，C 为△ABC 外接圆P 上一个动点，若OA=1，OB= √3 ，∠AOB=150°，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 12+√7【解析】：由余弦定理得|AB|，由正弦定理得外接圆半径，然后通过向量的数量积推出最大值即可．【解答】：解：由余弦定理得 |AB |=√OA 2+OB 2−2OA •OBcos1500=√7 ， 由正弦定理得外接圆半径 R =12•ABsin1500=√7 ， 所以 OA⃗⃗⃗⃗⃗ •OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |d ，其中d 是 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影， 过点P 作PC' || OA 交圆于点C'，如图， 则 d max =12OA +R =12+√7 ，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 12+√7 ．故答案为： 12+√7 ．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力． 13.（单选题，5分）下列命题正确的是（ ） A.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【正确答案】：D【解析】：根据空间线面关系的判定定理，性质及几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【解答】：解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故错误；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故错误；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故错误；果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故正确；故选：D．【点评】：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题．14.（单选题，5分）设a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），则“a＜b”是“a-1＜b-1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】：解：由“a＜b”⇒“a-1＜b-1”，由”⇒“a-1＜b-1”⇒“a＜b”，故“a＜b”是“a-1＜b-1”的充要条件，故选：C．【点评】：本题以不等式的性质为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．15.（单选题，5分）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数12的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞．现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A.42小时B.46小时C.50小时D.52小时【正确答案】：B【解析】：依题意得到细胞总数y和分裂时间x的函数解析式为y=100×(32)x，x∈N∗，令y＞1010，求出x的范围，从而得到结果．【解答】：解：由题意得细胞总数y和分裂时间x的函数解析式为y=100×(32)x，x∈N∗，由y=100×(32)x＞1010得(32)x＞108，所以x＞8lg3−lg2≈45.45，故选：B．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是基础题．16.（单选题，5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）=2f（x），且当x∈（0，2]时，f(x)=x+1x −94．若对任意x∈（-∞，m]，都有f(x)≥−23，则m的取值范围是（）A. (−∞，215]B. (−∞，163]C. (−∞，92]D. (−∞，194]【正确答案】：D【解析】：先利用函数f（x）的单调性，求出其在x∈（0，2]时的最值，然后根据递推关系可知，当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，即可分析出何时f（x）min≥ −23．【解答】：解：当x∈（0，2]时，函数f（x）在（0，1）上递减，在（1，2]上递增，所以f min=f（1）=- 14．因为f（x+2）=2f（x），当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，最小值不断变小，当图象向左平移2个单位时，最小值变为原来的12，最小值不断变大．当x∈（2，4]时，f min=f（3）=- 12；当x∈（4，6]时，f min=f（5）=-1；所以要对任意x∈（-∞，m]，都有f（x）≥−23，∵x∈（4，5）时，函数f（x）递减，x∈（5，6]时，函数f（x）递增，所以当m最大时，m∈（4，5），且f（x）min=f（m）=2f（m-2）=4f（m-4）=4[m-4+ 1m−4- 9 4 ] ≥−23，解得m ≤194，故m的取值范围是（-∞，194]．故选：D．【点评】：本题主要考查函数最值的求法以及函数递推式的应用，属于难题．17.（问答题，14分）已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB=AC=AA1=1，∠BAC=90°．（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；（2）求点B1到平面A1BC的距离．【正确答案】：【解析】：法一：（1）求出A1B=A1C=BC=√2，从而BC || B1C1，进而∠A1BC为异面直线A1B与B1C1所成的角或补角，由此能求出异面直线A1B与B1C1所成角．（2）设点B1到平面A1BC的距离为h，由V B1−A1BC =V C−A1B1B，能求出点B1到平面A1BC的距离．法二：（1）设异面直线A 1B 与B 1C 1所成角为θ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1B 与B 1C 1所成角．（2）求出平面A 1BC 的法向量，利用向量法能求出点B 1到平面A 1BC 的距离．【解答】：解法一：（1）在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，AB=AC=AA 1=1，∠BAC=90° 所以， A 1B =A 1C =BC =√2 因为，BC || B 1C 1，所以∠A 1BC 为异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角或补角．……4分 在△A 1BC 中，因为， A 1B =A 1C =BC =√2 ，所以，异面直线A 1B 与B 1C 1所成角为 π3 ．…………………………7分 （2）设点B 1到平面A 1BC 的距离为h ， 由（1）得 S △A 1BC =12×√2×√2•sin π3=√32 ，…………………………9分S △A 1B 1B =12×1×1=12 ，…………………………11分 因为， V B 1−A 1BC =V C−A 1B 1B ，…………………………12分 所以， 13S △A 1BC •ℎ=13S △A 1B 1B •CA ，解得， ℎ=√33． 所以，点B 1到平面A 1BC 的距离为 √33 ．…………………………14分 解法二：（1）设异面直线A 1B 与B 1C 1所成角为θ，如图建系，则 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1 ， 0 ， −1) ， B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1 ， 1 ， 0) ，…………4分 因为， cosθ=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√2=12⇒θ=π3 所以，异面直线A 1B 与B 1C 1所成角为 π3．…………7分（2）设平面A 1BC 的法向量为 n ⃗ =(u ， v ， w) ，则 n ⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ⊥A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1 ， 1 ， 0) ， A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1 ， 0 ， −1) ，……………9分 所以，由 {n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−u +v =0u −w =0 ，得 n ⃗ =(1 ， 1 ， 1) ．…………12分所以，点B 1到平面A 1BC 的距离 d =|B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ ||n ⃗ |=√33．…………………………14分【点评】：本题考查异面直线所成角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．18.（问答题，14分）函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x2．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)−1x ，x∈(−∞，−12]∪[12，+∞)，求g（x）的值域．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，设x＜0，则-x＞0，求出f（-x）的表达式，结合函数的奇偶性可得f（x）的表达式，综合可得答案，（2）根据题意，求出g（x）的解析式，当x≥12时，g（x）= f(x)−1x=2-（x+ 1x），由基本不等式的性质求出g（x）的范围，当x≤−12时，g（x）= f(x)−1x=2+x- 1x，分析其单调性，求出g（x）的范围，综合可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，所以f（0）=0，设x＜0，则-x＞0，所以f（-x）=2（-x）-（-x）2=-2x-x2=-f（x），所以f（x）=2x+x2，所以 f (x )={2x +x 2，x ＜00，x =02x −x 2，x ＞0；（2）当 x ≥12 时，g （x ）=f (x )−1x =2-（x+ 1x）， 又由x+ 1x≥2，则g （x ）≤2-2=0， 当且仅当x=1时取等号， 当 x ≤−12 时，g （x ）=f (x )−1x =2+x- 1x ，在（-∞，- 12）上为增函数， g （x ）≤g （- 12 ）=2- 12 +2= 72 ， 则g （x ）的值域为 (−∞，72] ．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域计算，属于基础题． 19.（问答题，14分）如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足tanA= sinB+sinC2−cosB−cosC ． （1）证明：b+c=2a ；（2）若OA=2OB=2，且b=c ，设∠AOB=θ（0＜θ＜π），当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinC+sinB=2sinA ，由正弦定理即可证得b+c=2a ；（2）由（1）及已知可得△ABC 为等边三角形，由余弦定理可求得AB 2=5-4cosθ，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S 四边形OACB=2sin （θ- π3 ）+5√34，由已知可求范围 θ−π3∈(−π3，2π3) ，利用正弦函数的性质即可求解其最大值．【解答】：解：（1）证明：因为tanA=sinAcosA =sinB+sinC2−cosB−cosC，所以sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，所以sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，所以sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，即sinC+sinB=2sinA，由正弦定理得b+c=2a；（2）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，由余弦定理得AB2=1+4-2×1×2×cosθ=5-4cosθ，所以S OACB=S△OAB+S△ABC=12OA•OBsinθ+√34AB2 = sinθ−√3cosθ+5√34=2sin(θ−π3)+5√34，因为θ∈（0，π），所以θ−π3∈(−π3，2π3)，所以当θ−π3=π2即θ=5π6时，四边形OACB面积取得最大值2+5√34．【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想、函数思想的应用，属于中档题．20.（问答题，16分）已知函数f（x）=ln（x-1+a）．（1）设f-1（x）是f（x）的反函数，当a=1时，解不等式f-1（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）+ln（x2）=0的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[ 12，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2，求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据反函数的定义即可求出，（2）关于x的方程f（x）+ln（x2）=0的解集中恰好有一个元素转化为ax2+x=1的解集中恰好有一个元素，分类讨论，即可求出a的值，（3）先判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性，即可得到f（t）-f（t+1）=ln（1t+a）-ln（ 1t+1 +a ）≤ln2，再根据对数的运算性质和函数单调性可得a≥ 1t - 1t+1 ，设g （t ）= 1t - 1t+1 ，t∈[ 12 ，1]，利用定义判断函数的单调性即可求出a 的取值范围．【解答】：解：（1）函数y=f （x ）=ln （x -1+a ）， ∴x -1+a=e y ，∴x= 1e y −a ，f -1（x ）= 1e x −a ， 当a=1时，f -1（x ）= 1e x −1 ＞0，解得x ＞0， ∴不等式f -1（x ）＞0的解集为（0，+∞）；（2）依题意有f （x ）+ln （x 2）=0，即ln （ax 2+x ）=0，即ax 2+x=1的解集中恰好有一个元素，当a=0时，x=1，符合题意；当a≠0时，△=1+4a=0，解得a=- 14， 综上所述：a=0或a=- 14（3）a ＞0时，假设0＜x 1＜x 2时， 1x 1 +a ＞ 1x 2+a ， ∴ln （ 1x 1 +a ）＞ln （ 1x 2+a ）， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴函数f （x ）在区间[t ，t+1]上的最大值与最小值的分别为f （t ），f （t+1）， ∴f （t ）-f （t+1）=ln （ 1t +a ）-ln （ 1t+1 +a ）≤ln2， 即a≥ 1t - 1t+1 ，设g （t ）= 1t - 1t+1 ，t∈[ 12 ，1]， 设 12 ≤t 1＜t 2≤1， 则g （t 1）-g （t 2）= 1t 1- 1t1+1 - 1t 2+ 1t 2+1 = (t 2−t 1)(t 1+t 2+1)t 1t 2(t 1+1)(t 2+1) ， ∵ 12 ≤t 1＜t 2≤1，∴t 2-t 1＞0，t 1+t 2+1＞0，t 1t 2＞0，t 1+1＞0，t 2+1＞0， ∴g （t 1）-g （t 2）＞0， 即g （t 1）＞g （t 2）， ∴g （t ）= 1t-1t+1 在[ 12，1]上为减函数， ∴g （t ）max =g （ 12 ）=2- 23 = 43 ， ∴a≥ 43【点评】：本题考查了反函数的定义，函数单调性的应用，对数的运算性质，函数单调性的定义，属于中档题21.（问答题，18分）记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列{S nn}是等差数列；（2）若a1=1，{√S n}是公差为1的等差数列，求使S k+1S k+2S k2为整数的正整数k的取值集合；（3）记b n=t a n（t为大于0的常数），求证：b1+b2+⋯…+b nn ≤b1+b22．【正确答案】：【解析】：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的求和公式和定义，计算可得证明；（2）由等差数列的通项公式可得S n=n2，求得S k+1S k+2S k2关于k的式子，讨论k的取值，可得所求集合；（3）判断数列{b n}是首项和公比均大于0的等比数列，设公比q=t d，证明b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n，再由不等式的性质即可得证．【解答】：解：（1）证明：设等差数列{a n}的公差为d，则S n=na1+n(n−1)2d，从而S nn=a1+n−12d，所以当n≥2时，S nn −S n−1n−1=(a1+n−12d)−(a1+n−22d)=d2，所以数列{S nn}是等差数列；（2）因为a1=1，{√S n}是公差为1的等差数列，所以√S1=1，所以√S n=√S1+(n−1)=n，所以S n=n2，所以S k+1S k+2S k2=[(k+1)(k+2)k2]2=(1+3k+2k2)2，显然k=1，2满足条件，k=3不满足条件，当k≥4时，因为k2-3k-2=k（k-3）-2≥4（4-3）-2=2＞0，所以0＜3k+2k2＜1，所以1＜1+3k+2k2＜2，故S k+1S k+2S k2不是整数，综上所述，正整数k的取值集合是{1，2}；（3）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n-1）d，b n=t a n，所以b nb n−1=t a n−a n−1 =t d，（n≥2），所以数列{b n}是首项和公比均大于0的等比数列，设公比q=t d，下面证明：b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n，因为(b1+b n)−(b p+b k)=b1+b1q n−1−b1q p−1−b1q k−1=b1(q p−1−1)(q k−1−1)，当q＞1时，y=q x为增函数，因为p-1≥0，k-1≥0，所以q p-1-1≥0，q k-1-1≥0，所以b1+b n≥b p+b k，当q=1时，b1+b n=b p+b k，当0＜q＜1是，y=q x为减函数，因为p-1≥0，k-1≥0，所以q p-1-1≤0，q k-1-1≤0，所以b1+b n≥b p+b k，综上，有b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n，所以n（b1+b n）=（b1+b n）+（b1+b n）+…+（b1+b n）≥（b1+b n）+（b2+b n-1）+（b3+b n-2）+…+（b n+b1）=（b1+b2+…+b n）+（b n+b n-1+…+b1），所以b1+b2+⋯+b nn ≤b1+b n2．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，以及数列的单调性的判断和运用、不等式的性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
上海市延安中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷及解析
上海市延安中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.下列函数中,在区间)0+∞，上为增函数的是（ ） A.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.1y x x=+C.()ln 2y x =+D.12y x -=2.在△ABC 中,“cos cos sin sin A B A B ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列命题正确的是（ ） A.若30a ＞，则20180a ＞ B.若40a ＞，则20190a ＞ C.若30a ＞，则20190S ＞D.若40a ＞，则20200S ＞4.若函数()f x 满足：对于任意的,,a b c ∈R ，()()(),,f a f b f c 都可成为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数2()21+=+x x t f x 是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A.[)0,+∞B.[]0,1C.[]1,2D.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知集合}{}2|03B x x =，＜＜，则AB =_______.6.若tan 2α=，则sin 2α= .7.函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若127S π=，则()67cos a a +=________.9.幂函数()f x的图像过点2⎛ ⎝⎭，则()14f -=______. 10.已知：sin (α+β)=12，sin (α−β)=13，则tanα:tanβ=________.11.设△ABC 中,a b c 、、分别为内角、AB 、C 的对边,sin sin ab B C ==，△ABC 的面积为则边b 的长为__________.12.已知数列{}n a 中,12512n n n n a n -⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，为奇数，，为偶数则()122lim n n a a a →∞++⋯+=______. 13.已知数列{}n a 中,132a =，前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________. 14.如图,扇环ABCD 的两条弧长分别为1l 和()212l l l ＞，扇环的两条边AD 和BC 的长都是d ,则此扇环的面积为________(用12l l 、和d 表示).15.已知数列{}n a 的通项公式为2n a an n =+，若满足1234a a a a ＜＜＜，且当8n ≥时,1n n a a +≥恒成立,则实数a 的取值范围是_________.16.已如函数())20182018log 20182xx f x x -=--+，则关于x 的不等式()()264f x f x -+＞的解集为____________.三、解答题（题型注释）17.已知()15cos cos 2313αβααβ+=-=-，，、均为锐角. (1)求sin α的值； (2)求()cos αβ-的值.18.已知函数()211221log log 28.2f x x a x x ⎛⎫⎡⎤=-+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，(1)若1a =,求函数()f x 的值域；(2)若关于x 的方程()0f x a +=有解,求实数a 的取值范围. 19.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足:()()2*1141.n n a S a n N ==+∈，(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()*11n nn n n a a b n N a a ++=+∈，求()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-的值； (3)是否存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=?若存在,求出所有符合条件的m k 、；若不存在,请说明理由.21.定义区间()[)(][]c d c d c d c d ，、，、，、，的长度均为d c -,其中.d c ＞ (1)若函数21xy =-的定义域为[]a b ，，值域为102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，写出区间长度[]a b ，的最大值；(2)若关于x 的不等式组()22711log log 32x x tx t ⎧⎪+⎨⎪++⎩＞＜的解集构成的各区间长度和为6,求实数t的取值范围；(3)已知m n R ∈，，求证:关于x 的不等式223x m x n+--＞的解集构成的各区间的长度和为定值.参考答案1.C【解析】1.对四个选项逐一分析，由此确定正确选项.对于A 选项，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不符合题意. 对于B 选项，1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，()ln 2y x =+在()2,-+∞上递增，故在区间()0+∞，上为增函数，符合题意.对于D 选项，12y x -=在区间()0+∞，上为减函数，不符合题意. 故选：C. 2.B【解析】2.将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定充分、必要条件.当“cos cos sin sin A B A B ＞”时，()cos cos sin sin cos 0A B A B A B -=+>，所以()cos cos 0C A B =-+<，所以ABC ∆是钝角三角形.当“ABC ∆是钝角三角形”时，有若C 为钝角时，则()()cos cos cos cos sin sin 0C A B A B A B =-+=--<，所以cos cos sin sin A B A B >.当B 为钝角时，cos 0,cos 0,sin 0,sin 0B A A B <>>>，所以cos cos sin sin A B A B <. 当A 为钝角时，cos 0,cos 0,sin 0,sin 0A B A B <>>>，所以cos cos sin sin A B A B <. 所以当“ABC ∆是钝角三角形”时，不能推出“cos cos sin sin A B A B >”. 故“cos cos sin sin A B A B ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：B. 3.C【解析】3.根据等比数列通项公式、前n 项和公式，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.对于A 和C 选项， 2310a a q =>，则10a >，0q ≠.201520183a a q =⋅，由于q 的符号无法确定，故2018a 无法确定符号，A 选项错误.20192019111q S a q -=⋅-，由于2019110,01q a q->>-，所以20190S >，C 选项正确. 对于B 和D 选项，3410a a q =>，则1a 和q 同号（可能同时为正，或者同时为负）201520194a a q =⋅，其中40a >，而q 的符号无法确定，故B 选项错误.20192020111q S a q -=⋅-，其中2019101q q->-，而1a 的符号无法确定，故D 选项错误. 故选：C. 4.D【解析】4.先由题意得到()()()+>f a f b f c 对任意的,,a b c ∈R ，都恒成立，将函数()f x 解析式变形，得到1()121-=++x t f x ，分别讨论1t =，1t >，1t <三种情况，根据函数单调性求出函数值域，进而可求出结果.由题意可得：()()()+>f a f b f c 对任意的,,a b c ∈R ，都恒成立，因为21()12121+-==+++x x x t t f x ， 当1t =时，()1f x =，此时()()(),,f a f b f c 都为1，能构成一个等边三角形，满足题意； 当1t >时，1()121-=++x t f x 在R上是减函数，所以11()11121-<=+<+-=+x t f x t t ， 即()()()(),,1,∈f a f b f c t ，由()()()+>f a f b f c 恒成立，得2t ≤，所以12t <≤； 当1t <时，1()121-=++x t f x 在R上是增函数，所以1()1121-<=+<+x t t f x ， 即()()()(),,,1∈f a f b f c t ，由()()()+>f a f b f c 恒成立，得21≥t ，解得12t ≥；所以112t ≤<； 综上，122t ≤≤. 故选：D 5.{}1,2【解析】5.根据交集的知识，求得两个集合的交集. 交集是两个集合的公共元素，故{}1,2A B =.故答案为：{}1,2. 6.45【解析】6.sin 2α.7.()()3,44,⋃+∞【解析】7.根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞8.【解析】8.根据等差数列前n 项和公式，求得67a a +的值，进而求得()67cos a a +的值. 依题意()11212671267π2a a S a a +=⨯=+=，所以677π6a a +=，所以()67cos a a +=ππcos πcos 66⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故答案为： 9.116【解析】9.求得幂函数()f x 的表达式，令()4f x =求得()14f-的值.设幂函数()f x x α=，将2⎛ ⎝⎭代入得22α=，所以12α=-，即()12f x x -=.()4f x =，所以124x -=，解得116x =，根据反函数的性质知()11416f -=.故答案为：116. 10.5【解析】10. 因为sin (α+β)=12，sin (α−β)=13，所以sinαcosβ+cosαsinβ=12,sinαcosβ−cosαsinβ=13,因此sinαcosβ=512,cosαsinβ=112,即tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=5.11.【解析】11.由正弦定理得到b c =，利用三角形面积公式求得sin C ，由此求得,,C B A 的大小，利用余弦定理解方程，解方程求得a 的值.由正弦定理得b c =，由三角形面积公式得1sin 2ab C =，而ab =1sin sin 2C B ==，所以π6B C ==，2π3A =.由余弦定理得，222cos 2b c a A bc+-=，即22222221211,3222b a a a b b b --==-⋅=，223ab ，3a b ，代入ab =2260,b b ===故答案为：12.14-【解析】12.利用分组求和法求得122n a a a ++⋯+的表达式，进而求得其极限值. 依题意1321,,,n a a a -是首项为25，公比为125的等比数列；242,,,n a a a 是首项为12-，公比为14的等比数列.故122n a a a ++⋯+()()1321242n n a a a a a a -=+++++++211111525241111254n n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--，所以()122lim n n a a a →∞++⋯+=21521111254=---14=- 故答案为：14-. 13.12【解析】13.利用递推关系式求得{}n S 的通项公式，有2348337n n S S ＜＜，化简后求得所有n 的可能取值，进而求得满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和. 由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n S S S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322nn S -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=. 故答案为：12 14.()122l l d +⋅【解析】14.根据扇环的面积公式，求得扇环的面积. 根据扇环的面积公式可知，扇环的面积为()122l l d +⋅.下面证明扇环公式：设,OA OB x AOB α==∠=，则21l lx x dα==+，所以()12,l x d l x αα=+=，12l l d α-=.扇环的面积等于AOB DOC S S -扇形扇形()121122l x d l x =+-12121122l l l l αα=⋅-⋅()()1212121122l l l l l l d α-=⋅+⋅=⋅+⋅. 故答案为：()122l l d +⋅15.11717a -<<-【解析】15.根据二次函数的性质结合数列{}n a 的单调性列不等式，解不等式求得a 的取值范围.依题意可知2n a an n =+是二次函数类型，且开口向下，即0a <，对称轴12x a=-.由于{}n a 满足1234a a a a ＜＜＜,且当8n ≥时,1n n a a +≥恒成立，所以7117222a <-<，解得11717a -<<-. 故答案为：11717a -<<-. 16.{|3x x <-或}2x >【解析】16.首先证得()()4f x f x +-=，判断出()f x 单调性后化简不等式()()264f x f x -+>，解一元二次不等式求得原不等式的解集.0x x x >-≥0x >恒成立，所以函数()f x 的定义域为R .由于())20182018log 20182xx f x x --=--+20182018log 20182xx -=--+)20182018log 20182x xx -=+-+所以()()4f x f x +-=.由于())20182018log 220181xxf x x =-++为增函数，所以有()()264f x f x -+>得()()()264f x f x f x ->-=-，则26x x ->-，即()()26320x x x x +-=+->，解得3x <-或2x >.故答案为：{|3x x <-或}2x >17.（1）sin 13α=；（2）539+.【解析】17.首先根据,αβ的大小，求得()sin ,sin 2αβα+的值. （1）利用cos2α的二倍角公式，求得sin α的值.（2）利用()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦，求得()cos αβ-的值. 由于,αβ为锐角，所以0π,02παβα<+<<<，所以()sin αβ+==，12sin 213α==.（1）由二倍角公式得25cos 212sin 13αα=-=-，29sin 13α=，由于sin 0α>，所以sin 13α=. （2）由()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦()()cos2cos sin 2sin ααβααβ=+++5112513331339+⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.（1）7,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(,2⎤-∞-⎦【解析】18.（1）利用配方法，结合二次函数的性质，求得()f x 的值域.（2）化简方程()0f x a +=，分离常数a ，根据方程()0f x a +=有解，求得a 的取值范围.（1）当1a =时，()()2222217log log 2log 24f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由于182x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以[]2log 1,3x ∈-，所以当21log ,22x x =-=时，()f x 有最小值为74；当2log 3,8x x ==时，()f x 有最大值为14.故()f x 的值域为7,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）原函数可化为()()2221log log 28.2f x x a x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，，所以[]2log 1,3x ∈-.依题意关于x 的方程()0f x a +=有解，即()222log log 20x a x a +++=①，在182x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时有实数根. 当21log 1,2x x =-=时，①化为1230a a -++=≠，所以12x =不是①的根. 当1,82x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，(](]22log 1,3,log 10,4x x ∈-+∈，①可化为()()222log 1log 2a x x +=--，()()()2222222log 2log 12log 13log 1log 1x x x a x x ++-++=-=-++()223log 12log 1x x ⎡⎤=-+++⎢⎥+⎣⎦②.其中()223log 1log 1x x ++≥=+223log 1log 1x x +=+，即1182x ⎡⎥=⎤∈⎢⎣⎦，时，等号成立.所以②式可化为2a ≤-. 所以a 的取值范围是(,2⎤-∞-⎦.19.（1）138t =，()13418f t =（2），不超过3.【解析】19. 解：（1）138t =． 记乙到C 时甲所在地为D ，则15D 8A =千米． 在CD ∆A 中，222CD C D 2C Dcos =A +A -A ⋅A A ， 所以()1CD f t ==. （2）甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时78小时．当13788t t =≤≤时， ()f t == 当718t ≤≤时，()55f t t =-. 所以.因为()f t 在37,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是，()f t 在7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是7588f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f t 在3,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3418，不超过3. 20.（1）21n a n =-；（2）2；（3）存在，523k m =⎧⎨=⎩或911k m =⎧⎨=⎩【解析】20. （1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得122n b b b n ++⋯+-，进而求得()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-的值. （3）首先假设存在符合题意的,m k ，根据已知条件列方程组，解方程组求得,m k 的值. （1）由()241n n S a =+得()21141n n S a ++=+，两式相减并化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，由于0n a >，所以12n n a a +--，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n =-.（2）由（1）得112121112221212121n n n n n a a n n b a a n n n n +++-⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，所以 122n b b b n ++⋯+-1112212331121521n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦--+ 12121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-2=. （3）存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=.理由如下： 假设存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=，由（1）得()()12211300m m m m k a a a a m k k ++++++⋯+=+-+=.由于正整数,m k 均大于2，故2114m k k +->+≥，且21m k +-和1k +的奇偶性相同.由22300235=⨯⨯得 21232125k m k +=⨯⎧⎨+-=⨯⎩或12521235k m k +=⨯⎧⎨+-=⨯⨯⎩，解得523k m =⎧⎨=⎩或911k m =⎧⎨=⎩.因此存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=. 21.（1）2log 3；（2）227t ≤；（3）定值为43，证明见解析.【解析】21.（1）令210xy =-=求得函数的零点，令1212xy =-=，求得定义域区间长度最大时,a b 的值.（2）先求得不等式711x >+的解集A ，设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，根据AB 的长度为6列不等式组，由此求得t 的取值范围.（3）将原不等式223x m x n+>--转化为分式不等式的形式，结合高次不等式的解法，求得不等式的解集，进而求得不等式解集构成的各区间的长度和为定值43.（1）令210xy =-=，解得0x =，此时0y =为函数的最小值.令1212xy =-=，解得11x =-，223log 2x =.故定义域区间长度最大时231,log 2a b =-=，故区间[],a b 的长度为223log 1log 32b a -=+=.（2）由711x >+得601x x -+>+，解得16x -<<，记()1,6A =-.设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，不等式组()22711log log 32x x tx t ⎧⎪+⎨⎪++⎩＞＜的解集为A B .设不等式()22log log 32x tx t ++<等价于()2030340x t x t tx >⎧⎪+>⎨⎪+-<⎩，所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⋂⊆，由于不等式组的解集的个区间长度和为6，所以不等式组()230340t x t tx ⎧+>⎨+-<⎩，当()0,6x ∈是恒成立. 当()0,6x ∈时，不等式()30t x +>恒成立，得0t >. 当()0,6x ∈时，不等式2340t tx +-<恒成立，分离常数得243t x x<+恒成立. 当()0,6x ∈时，23y x x =+为单调递增函数，所以()230,54y x x =+∈，所以244327x x >+，所以实数227t ≤.（3）原不等式223x m x n+>--可化为 ()()()()233342230x m n x m n mn x m x n -+++++<--①.令()()()23334223g x x m n x m n mn =-+++++，其判别式()()233412223m n m n mn ∆=++-++()29160m n =-+>，所以()0g x =有两个不相等的实数根12,x x ，设12x x <，则()()()123g x x x x x =--，根据求根公式可求得2143x x -==.而()()2g m n m =-，()()2g n m n =-. i)当m n =时，不等式①等价于()()1230x x x x --<，解得12x x x <<，即不等式①的解集为()12,x x ，区间长度为2143x x -=. ii)当m n ≠时，不妨设m n <，则()()20g m n m =->，()()20g n m n =-<，所以12m x n x <<<.此时不等式①即()()()()1230x x x x x m x n --<--，解得1m x x <<或2n x x <<，即不等式①的解集为()()12,,m x n x ⋃，区间的长度为()1212x m x n x x m n -+-=+-+()334433m n m n ++=-+=.综上所述，关于x 的不等式223x m x n+--＞的解集构成的各区间的长度和为定值43.。
上海市延安中学2016届高三上学期练习(函数)数学试题(2015.9.26) 含答案
2016届延安高三函数练习2015。
9.26一、填空题（5分＊12=60分） 1、集合{}A x y y B A x ∈==-=,3|},1,0,1{，则_______=B A 2、若函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=124113)(x x x x x f x ,________)2(1=-f 3、函数)54(log221+--=x x y 的单调递减区间是___________ 4、函数)2(122-≤+--=x x x y 的反函数是____________5、若使函数12+-=ax x y 在区间]2,1[上存在反函数，则实数a 的取值范围________6、已知函数x x x h x x x g x x f x +=+=+=32)(,log )(,2)(的零点依次为c b a ,,，则c b a ,,由小到大的顺序是___________7、把函数3x y =的反函数的图像向右平移2个单位,再作以原点为中心的对称图形，则所得新图形的函数表达式是__________=y 8、关于x 的方程m x =--231有两个解,则实数m 的取值范围是__________ 9、若函数|log |)(2x x f =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,m m 内是单调函数，则实数m 的取值范围是________10、若函数[]1)1(lg )(2+-+=x a x x f 的值域为实数集R ，则实数a 的取值范围是___________11、设函数)(x f y =的定义域为R ,周期为4的偶函数，且当]6,4[∈x 时，13)(-=x x f ，则当]0,2[-∈x 时，_________)(=x f 12、已知函数x x x x x f 11)(--+=,关于x 的方程),(0|)(|)(2R b a b x f a x f ∈=++恰有6个不同的实数解，则a 的取值范围是______________二、选择题（5分*4=20分） 13、“函数R x x f ∈),(存在反函数”是“函数)(x f 在R 上为增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D 。
2016-2017学年上海市延安中学高三(上)开学数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市延安中学高三（上）开学数学试卷一.填空题1．（5分）两数2和3的几何平均数是．2．（5分）已知矩阵，，，若AX＝B，则y＝．3．（5分）若是纯虚数，则实数a＝．4．（5分）若函数f（x）＝3sin（2x+φ），φ∈（0，π）为偶函数，则φ＝．5．（5分）已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，，则A∩∁U B＝．6．（5分）已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）＝．7．（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为．8．（5分）若二项式展开式中第四项与第八项的二项式系数相等，则其常数项为．9．（5分）在暑假期间，甲外出旅游的概率是0.2，乙外出旅游的概率是0.25，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是．10．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m311．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．12．（5分）已知F1、F2是双曲线C：＝1的左、右焦点，点M在双曲线C上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则双曲线C两条渐近线夹角的正切值为．13．（5分）若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围为．14．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．二.选择题15．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石16．（5分）已知程序框图如图所示，n∈N*，则该程序框图的功能是（）A．求数列的前10项和B．求数列的前11项和C．求数列的前10项和D．求数列的前11项和17．（5分）已知数列{a n}，对于任意的正整数n，，设S n表示数列{a n}的前n项和，下列关于S n极限的结论，正确的是（）A．B．C．D．S n不收敛18．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝•＝2，则点集{P|＝λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．三.解答题19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝a sin C﹣c cos A．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B是边长为4的正方形，AC＝3，BC＝5；（1）求直线B1C1与平面A1B1C所成的角的大小；（2）证明：在线段B1C上存在点D，使得AD⊥A1C，并求的值．21．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝log a（x+1），g（x）＝log a，记F（x）＝2f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m＝0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．22．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足（n∈N*），求{b n}的通项公式；（3）求第（2）小题中数列{b n}的前n项和T n．23．（12分）（1）设椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．（2）如图，已知“盾圆D”的方程为．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d1，M到直线l：x＝3的距离为d2，求证：d1+d2为定值；（3）由抛物线弧E1：y2＝4x（0）与第（1）小题椭圆弧E2：（）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|F A|＝r1，|FB|＝r2且∠AFx＝α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求的取值范围．2016-2017学年上海市延安中学高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．【解答】解：两数2和3的几何平均数＝＝．故答案为：．2．【解答】解：由矩阵的运算法则有：，据此可得：，解得：x＝1，y＝2．故答案为：2．3．【解答】解：∵复数＝，∵复数是一个纯虚数，∴，∴，故答案为：4．【解答】解：当φ＝，f（x）＝3sin（2x+）＝3cos2x，此时函数f（x）＝3sin（2x+φ），是偶函数，故答案为：．5．【解答】解：由题意可得：A＝{x||x﹣1|＜3}＝（﹣2，4），，则A∩∁U B＝[1，4）．故答案为：[1，4）．6．【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，（α为常数）．∵幂函数f（x）过点，∴，解得．∴f（x）＝，由y＝解得x＝y2，把x与y互换可得y＝x2．∴f（x）的反函数为f﹣1（x）＝x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．7．【解答】解：如图，点D为圆锥底面圆的圆心，∵扇形OAB的圆心角为90°，半径为4厘米，∴弧AB＝，∴2π•DC＝2π，∴DC＝1，在Rt△SDC中，SC＝4，SD＝＝，∴用这个扇形卷成的圆锥的高为．故答案为：．8．【解答】解：由二项式展开式中第四项与第八项的二项式系数相等，可得＝，∴n＝10，故该二项式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x10﹣2r，令10﹣2r＝0，求得r＝5，可得常数项为•（﹣2）5＝﹣8064，故答案为：﹣8064．9．【解答】解：甲外出旅游的概率是0.2，乙外出旅游的概率是0.25，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，暑假期间两人中至少有一人外出旅游的对立事件是甲、乙二人都没有外出旅游，∴暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率：p＝1﹣（1﹣0.2）（1﹣0.25）＝0.4．故答案为：0.4．10．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S＝2×1＝2m2，棱锥的高h＝3m，故体积V＝＝2m3，故答案为：211．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z＝2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．12．【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨＝，丨MF2丨＝，∴sin∠MF2F1＝，∴＝，可得：5b4＝16a2c2，又c2＝a2+b2，即有5b4＝16a2（a2+b2），即为16a4+16a2b2﹣5b4＝0，即为（4a2+5b2）（4a2﹣b2）＝0，解得2a＝b，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x，由夹角公式可得渐近线夹角的正切值为||＝．故答案为：．13．【解答】解：由得：＜2，而f（n）＝，当n取奇数时，f（n）＝﹣a﹣；当n取偶数时，f（n）＝a+．所以f（n）只有两个值，当﹣a﹣＜a+时，f（n）max＝a+，即a+＜2，得到a＜；当﹣a﹣≥a+时，即﹣a﹣≤2，得a≥﹣2，所以a的取值范围为﹣2≤a＜．故答案为：﹣2≤a＜14．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y＝kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x＝﹣，y＝∵m＝，∴代入整理可得n﹣1＝0表示圆，故不正确．故答案为：②③．二.选择题15．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．16．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝0，n＝2，k＝1满足条件k≤10，S＝，n＝4，k＝2满足条件k≤10，S＝+，n＝6，k＝3满足条件k≤10，S＝++，n＝8，k＝4…满足条件k≤10，S＝++…+，n＝26，k＝11不满足条件k≤10，退出循环，输出S＝++…+＝+++…+．故选：C．17．【解答】解：∵数列{a n}，对于任意的正整数n，，∴a1＝a2＝a3＝…＝a2017＝1，a2018＝﹣，a2019＝﹣，a2020＝﹣，…，n≥2018∴Sn＝1×2017+＝2016+（）n﹣2017，∴＝＝2016．故选：B．18．【解答】解：由两定点A，B满足＝＝2，＝﹣，则||2＝（﹣）2＝﹣2•+＝4，则||＝2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选：D．三.解答题19．【解答】解：（1）c＝a sin C﹣c cos A，由正弦定理有：sin A sin C﹣sin C cos A﹣sin C＝0，即sin C•（sin A﹣cos A﹣1）＝0，又，sin C≠0，所以sin A﹣cos A﹣1＝0，即2sin（A﹣）＝1，所以A＝；（2）S△ABC＝bc sin A＝，所以bc＝4，a＝2，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即4＝b2+c2﹣bc，即有，解得b＝c＝2．20．【解答】（1）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B是边长为4的正方形，AC＝3，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（4，0，4），C1（0，3，4），A1（0，0，4），C（0，3，0），＝（﹣4，3，0），＝（4，0，0），＝（0，3，﹣4），设平面A1B1C的法向量＝（x，y，z），则，取y＝4，得＝（0，4，3），设直线B1C1与平面A1B1C所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴．∴直线B1C1与平面A1B1C所成的角为．（2）证明：＝（0，﹣3，4），假设在线段B1C上存在点D，使得AD⊥A1C，设，则＝+＝（0，3﹣3λ，4λ），∵AD⊥A1C，∴＝0﹣3（3﹣3λ）+16λ＝0，解得λ＝．∴D．∴．21．【解答】解：（1）F（x）＝2f（x）+g（x）＝（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）＝0，则…（*）方程变为，即（x+1）2＝1﹣x，即x2+3x＝0解得x1＝0，x2＝﹣3，经检验x＝﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x＝0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为＝，故，设1﹣x＝t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t＝1时，此时x＝0，y min＝5，所以a m≥1①若a＞1，由a m≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由a m≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤022．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S4＝4S2，a2n＝2a n+1；∴d＝4（2a1+d），a2＝2a1+1即a1+d＝2a1+1，联立解得a1＝1，d＝2．∴a n＝2n﹣1．（2）数列{b n}满足（n∈N*），∴n≥2时，+…+＝1﹣，可得：＝，∴．（3）T n＝+…+，＝+…++，相减可得：＝+…+﹣＝2×﹣﹣，∴．23．【解答】（1）解：由△MF1F2的周长为6得2（a+c）＝6，即a+c＝3，椭圆C1与双曲线C2：有相同的焦点，所以c＝1，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，椭圆C1的方程为；（2）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d2＝|x﹣3|．当M∈C1时，y2＝4x（0≤x≤3），＝|x+1|，则d1+d2＝|x+1|+|x﹣3|＝（x+1）+（3﹣x）＝4；当M∈C2时，y2＝﹣12（x﹣4）（3＜x≤4），＝|7﹣x|，则d1+d2＝|7﹣x|+|x﹣3|＝（7﹣x）+（x﹣3）＝4；所以d1+d2＝4为定值；（3）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）：当时，，此时r＝，cosα＝﹣；当﹣≤cosα≤1时，A在椭圆弧E2上，由题设知A（1+r1cosα，r1sinα）代入得，3（1+r1cosα）2+4﹣12＝0，整理得（4﹣cos2α）+6r1cosα﹣9＝0，解得或（舍去）．当﹣1≤cosα≤﹣时A在抛物线弧E1上，由方程或定义均可得到r1＝2+r1cosα，于是，综上，（﹣1）或（﹣≤cosα≤1）；相应地，B（1﹣r2cosα，﹣r2sinα），当﹣1时A在抛物线弧E1上，B在椭圆弧E2上，＝＝∈[1，]；当1时A在椭圆弧E2上，B在抛物线弧E1上，•＝∈[，1]；当﹣时A、B在椭圆弧E2上，＝∈（，）；综上的取值范围是[，]．。
上海高三高中数学期中考试带答案解析
上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.集合，，则___________．2.复数所对应的点在复平面内位于第________象限．3.已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则_____．4.若方程组无解，则实数_____．5.若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．6.已知双曲线,它的渐近线方程是,则的值为_______．7.在中，三边长分别为，，，则 ___________．8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．9.函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则_______．10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_______．11.在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______________．12.无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_________个．二、选择题1.已知，，都是实数，则“，，成等比数列”是“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）A．如果∥，∥，则一定有∥．B．如果，，则一定有．C．如果，，则一定有∥．D．如果，∥，则一定有．3.已知函数，、、，且，，，则的值（______）A．一定等于零．B．一定大于零．C．一定小于零．D．正负都有可能．4.已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4三、解答题1.如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为．（1）求异面直线、所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．（1）求在区间上的解析式；（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．3.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设且，求数列的前项和的最值．4.已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．5.对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：02（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ()．上海高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.集合，，则___________．【答案】【解析】2.复数所对应的点在复平面内位于第________象限．【答案】四【解析】3.已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则_____．【答案】【解析】【点睛】本题主要等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式及极限，涉及方程思想、极限思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.先利用等差数列的通项公式、等差数列的前项和化简，再利用极限公式进行求解.4.若方程组无解，则实数_____．【答案】【解析】由已知可得 .5.若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．【答案】1【解析】由已知可得 .6.已知双曲线,它的渐近线方程是,则的值为_______．【答案】2【解析】由已知可得 .7.在中，三边长分别为，，，则 ___________．【答案】【解析】8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【点睛】本题主要直线的方程、直线的定点问题和点到直线的距离，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.首先求出直线得到定点，再利用数学结合思想，利用两点的距离公式即可求得正解.9.函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则_______．【答案】4【解析】10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_______．【答案】【解析】11.在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______________．【答案】【解析】由已知可得 .【点睛】本题主要考查向量的数量积、向量的分解和基本不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.将已知条件两边平方得.12.无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_________个．【答案】91【解析】由已知可得最多由个.二、选择题1.已知，，都是实数，则“，，成等比数列”是“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由成等比数列可得；但是当时可得，而不成等比数列，故正确答案为A.2.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）A．如果∥，∥，则一定有∥．B．如果，，则一定有．C．如果，，则一定有∥．D．如果，∥，则一定有．【答案】D【解析】选项A可能，故A错；选项B可能，故B错；选项C可能，故C错，故正确答案为D.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、具有一定的综合性，属于中档题型. 本题可采用排除法进行求解：选项A可能，故A错；选项B可能，故B错；选项C可能，故C错，故正确答案为D.3.已知函数，、、，且，，，则的值（______）A．一定等于零．B．一定大于零．C．一定小于零．D．正负都有可能．【答案】B【解析】由已知可得为奇函数，且在上是增函数，由，同理可得，.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.由已知可得为奇函数，且是增函数，由，同理可得，，三式相加化简即可得正解.4.已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由已知可得，故①错；由图（1）可得无最值，故②错；由图（2）可得，故③对；由图（3）可得，或，故④对，综上正确命题个数为，故选B.图（1）图（2）图（3）【点睛】本题考查可行域、线性规划和直线的斜率等知识，涉及函数与不等式思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.由已知可得，故①错；由图（1）可得无最值，故②错；由图（2）可得，故③对；由图（3）可得，或，故④对，综上正确命题个数为，故选B.三、解答题1.如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为．（1）求异面直线、所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）;（2）体积单位.【解析】（1）先建系，再求出的坐标，然后代入公式即可求得正解；（1）以A为坐标原点，、、分别为轴和轴建立直角坐标系.（2）利用等积法，再进一步求解.试题解析：依题意有（2，2，4），（0，0，0），（2，2，0），（0，4，2）所以.设异面直线、所成角为角，所以，所以异面直线、所成角的大小为线段的中点为，线段的中点为，由，高，得，，由为线段的中点，且,,由面,，得面,三棱锥的体积为体积单位.2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．（1）求在区间上的解析式；（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．【答案】（1） ;（2）.【解析】（1）由奇函数定义得，从而求出是的表达式，进而求得定义域上的表达式；（2）先利用换元法求出是的值域为，再利用奇函数的性质可求得的值域为，从而定义域内的值域为，故的取值范围为.试题解析：（1）设，则，是奇函数，则有（2）设，令，则，而.，得，从而，在的取值范围是.又设，则，由此函数是奇函数得，，从而.综上所述，的值域为，所以的取值范围是.3.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设且，求数列的前项和的最值．【答案】（1）;（2）见解析.【解析】（1）先建立方程求得公比，再代入通项公式即可求得正解；（2）由（1）得，然后对进行分类讨论.试题解析：（1），，.整理得，解得或（舍去）..（2）.1）当时，有数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.由，得.所以.的没有最大值.2）当时，有，数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.，得，.的没有最小值.4.已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．【答案】（1） ;（2）;（3） .【解析】(1)利用相关点代入法求解；（2）先由已知求得椭圆方程为，设；（3）设, 1)当直线的斜率存在时,设方程为，由以为直径的圆经过原点，又到直线的距离；2) 当直线的斜率不存在时,设方程为的面积是定值 .试题解析：（1）解.设（）由题意则，又，从而得（2）由，得.又，得.点在椭圆上，，，且，，由于，的取值范围是（3）设,则;1)当直线的斜率存在时,设方程为, 由得；有①由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ；整理得:②将①式代入②式得: ,又点到直线的距离所以2) 当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得；代入得，解得,从而,综上:的面积是定值.【点睛】本题考查椭圆的方程、向量的数量积、直线与圆和三角形的面积，涉及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第一小题利用相关点代入法求解；第二小题设；第三小题利用舍而不求法思想和分类讨论思想，紧扣进行求解.5.对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：02（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ()．【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】(1) ；(2)周期为；(3)由题意得.试题解析：(1)(2),周期为4 , 所以=.(3)由题意得由又而从而有此函数的最小正周期为6,1)当时..2)当时..【点睛】本题考查函数的解析式、复合函数、数列的通项公式和三角函数，涉及函数与方程思想、分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第二小题通过计算发现数列的周期性，并利用周期性解题；第三小题通过待定系数法求得，从而，再利用周期性结合分类讨论思想进行求解.。
陕西省延安市高三数学上学期期中试题理
志丹县高级中学2016-2017学年度第一学期期中考试高三年级数学(理)试题（全卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（10小题，每题5分，共50分）1.已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则（）A.（-∞,2]B.[1,2]C. [2,2]D. [-2,1]2.命题“对任意,都有”的否定为（）A．对任意,都有B．不存在,都有C．存在,使得D．存在,使得3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数y=ln(1-x)的定义域为（）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]5.已知函数为奇函数,且当时,,则（）A. -2B. 0C.1D. 26.将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（）A. B. C.0 D.7.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8.已知为正实数,则( )A. B.C. D.9.函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A.3B.2C.1D.010.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)二、填空题（4小题，每题5分，共20分）11.已知是第三象限角,,则____________.12.已知则=________.13.已知函数的定义域为(-1，1),则函数的定义域为___________.14.已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.三、解答题（共5小题，每题10分，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知集合A＝{x|x－5x＋1≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}，(Ⅰ)当m＝3时，求A∩（?R B)；(Ⅱ)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．16.已知函数的最小正周期为. (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)讨论在区间上的单调性.17.在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(Ⅰ)求cos A的值；(Ⅱ)求c的值.18. 设函数.(Ⅰ)求的单调区间和极值；(Ⅱ)已知当恒成立，求实数的取值范围.19.设L为曲线C:在点(1,0)处的切线.(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.高三年级数学理科试题答案一、选择题（每小题5分,共50分）1.D2.D3.A4.B5.A6.B7.B8.D9.B 10.C二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分)11. 12. 13.(0，1) 14.三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.解：由x－5x＋1≤0，所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．(Ⅰ)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则?R B＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩（?R B)＝{x|3≤x≤5}．(Ⅱ)因为A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.16.解(I).所以(Ⅱ)所以17.解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故.(II)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以.在△ABC中,.所以.18.解:(Ⅰ）∴当，∴的单调递增区间是，单调递减区间是当；当.(Ⅱ）∵上恒成立.令，由二次函数的性质，上是增函数，∴∴所求的取值范围是19.解: (I)设,则.所以.所以L的方程为.(II)令,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于.满足,且.当时,,,所以,故单调递减;当时,,,所以,故单调递增.所以,().所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.。
【精品】2017年上海市长宁区延安中学高一上学期期中数学试卷
2016-2017学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共42分，每题3分）1．（3分）已知集合A={1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．2．（3分）函数f（x）=的定义域是．3．（3分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=．4．（3分）已知函数f（x）=2x，g（x）=﹣，则f（x）•g（x）=．5．（3分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B=．U6．（3分）已知集合A={（x，y）|3x﹣y=7}，集合B={（x，y）|2x+y=3}，则A ∩B=．7．（3分）不等式的解是．8．（3分）不等式的解是．9．（3分）命题“如果x＞2且y＞2，那么x+y＞4”的否命题是．10．（3分）集合M={a|∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M=．11．（3分）设集合P满足{1，2}⊆P⊆{0，1，2，3，4}，满足条件的P的个数为．12．（3分）定义集合A，B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2}，B={1，2，3}，则A*B中所有元素之和为．13．（3分）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．14．（3分）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为．二、选择题（本大题共15分，每题3分）15．（3分）若a、b、c∈R，则下列四个命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞b，则D．若a＞|b|，则a2＞b216．（3分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．和B．y=|1﹣x|和C．和y=x+1 D．y=x0和y=117．（3分）下列四个命题中，正确的是（）A．奇函数的图象一定过原点B．y=x2+1（﹣4＜x≤4）是偶函数C．y=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数D．y=x+1是奇函数18．（3分）下列函数中，最小值为2的函数是（）A．B．C．D．19．（3分）若a1、b1、c1、a2、b2、c2∈R，且都不为零，则“”是“关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0与a2x2+b2x+c2＞0的解集相同”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共43分，其中第20题6分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，第24题10分）20．（6分）解不等式组：．21．（8分）对任意x∈R，函数y=（k2﹣k﹣2）x2﹣（k﹣2）x﹣1的图象始终在x轴下方，求实数k的取值范围．22．（9分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}．若A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．23．（10分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？24．（10分）（1）若a、b、m、n∈R+，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值．2016-2017学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共42分，每题3分）1．（3分）已知集合A={1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．【解答】解：根据题意，集合A={1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2}；故答案为{﹣1，0，1，2}．2．（3分）函数f（x）=的定义域是[﹣1，﹣）∪（﹣，1] ．【解答】解：根据题意，得，即，解之得﹣1≤x≤1且x≠﹣故答案为：[﹣1，﹣）∪（﹣，1]3．（3分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=3．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3．故答案为：3．4．（3分）已知函数f（x）=2x，g（x）=﹣，则f（x）•g（x）=2﹣6x，（x ≠0）．【解答】解：函数f（x）=2x，定义域为R，g（x）=﹣，定义域为{x∈R|x≠0}那么：f（x）•g（x）=（﹣）（2x）=2﹣6x，其定义域为{x|x≠0}．故答案为：2﹣6x，（x≠0）．5．（3分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B={0，2，4} ．U【解答】解：因为全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则∁U A={0，4}，（∁U A）∪B={{0，2，4}．故答案为：{0，2，4}．6．（3分）已知集合A={（x，y）|3x﹣y=7}，集合B={（x，y）|2x+y=3}，则A ∩B={（2，﹣1）} ．【解答】解：集合A={（x，y）|3x﹣y=7}，集合B={（x，y）|2x+y=3}，∴A∩B={（x，y）|}={（x，y）|}={（2，﹣1）}．故答案为：{（2，﹣1）}．7．（3分）不等式的解是[﹣3，1）．【解答】解：由可得，解得﹣3≤x＜1故不等式的解集为[﹣3，1），故答案为：[﹣3，1）8．（3分）不等式的解是[﹣3，﹣1] ．【解答】解：不等式可化为（x+1）（x+3）≤0，且x﹣1≠0，解得﹣3≤x≤﹣1，故不等式的解集为[﹣3，﹣1]故答案为：[﹣3，﹣1]9．（3分）命题“如果x＞2且y＞2，那么x+y＞4”的否命题是如果x≤2或y≤2，那么x+y≤4．【解答】解：“如果x＞2且y＞2，那么x+y＞4”的否命题是：如果x≤2或y≤2，那么x+y≤4，故答案为：如果x≤2或y≤2，那么x+y≤410．（3分）集合M={a|∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M={﹣1，2，3，4}．．【解答】解：由题意可知5﹣a是6的正约数，当5﹣a=1，a=4；当5﹣a=2，a=3；当5﹣a=3，a=2；当5﹣a=6，a=﹣1；即M={﹣1，2，3，4}．故答案为：{﹣1，2，3，4}．11．（3分）设集合P满足{1，2}⊆P⊆{0，1，2，3，4}，满足条件的P的个数为8．【解答】解：∵集合P满足{1，2}⊆{0，1，2，3，4}，∴满足条件的P有：{1，2}，{1，2，0}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，0，3}，{1，2，0，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共有8个．故答案为：8．12．（3分）定义集合A，B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2}，B={1，2，3}，则A*B中所有元素之和为14．【解答】解：∵A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，∴A*B={2，3，4，5}，∴A*B中的所有元素之和为：2+3+4+5=14，故答案为：1413．（3分）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3] ．【解答】解：①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．14．（3分）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为4．【解答】解：∵不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，∴16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．则f（x）=a+4+≥a+4+=a+4+4．当且仅当取等号．∴，解得a=4．因此正实数a的最小值为4．故答案为：4．二、选择题（本大题共15分，每题3分）15．（3分）若a、b、c∈R，则下列四个命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞b，则D．若a＞|b|，则a2＞b2【解答】解：若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A错误；若a=c=1，b=d=0，则a＞b，c＞d，但a﹣c=b﹣d，故B错误；若a＞0＞b，则，故C错误；若a＞|b|，则|a|＞|b|，则a2＞b2，故D正确；故选：D．16．（3分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．和B．y=|1﹣x|和C．和y=x+1 D．y=x0和y=1【解答】解：对于A，y==|x|（x∈R），与y==x（x∈R）的解析式不同，不是同一函数；对于B，y=|1﹣x|的定义域为R，与y==|x﹣1|的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，y==x+1（x≠1），与y=x+1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，y=x0=1（x≠0），与y=1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数．故选：B．17．（3分）下列四个命题中，正确的是（）A．奇函数的图象一定过原点B．y=x2+1（﹣4＜x≤4）是偶函数C．y=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数D．y=x+1是奇函数【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、当奇函数的定义域不含有0时，其图象不过原点，如y=，故A错误；对于B、y=x2+1（﹣4＜x≤4），其定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误；对于C、y=|x+1|﹣|x﹣1|=，分析可得有f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，故C正确；对于D、对于函数y=x+1，f（﹣x）=﹣f（x）不成立，不是奇函数，故D错误；故选：C．18．（3分）下列函数中，最小值为2的函数是（）A．B．C．D．【解答】解：选项A，令=t≥，则y=t+，t≥，y′=1﹣＞0∴函数y=t+在[，+∞）上单调递增，则最小值为=，故选项A不正确；选项B，中取x=﹣1，则y=﹣2，故最小值为2不正确；选项C，，当且仅当x=取等号，故最小值为2不正确；选项D，=≥2，当且仅当x=0取等号，故最小值为2正确；故选：D．19．（3分）若a1、b1、c1、a2、b2、c2∈R，且都不为零，则“”是“关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0与a2x2+b2x+c2＞0的解集相同”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：举反例，不等式x2+x+1＞0与x2+x+2＞0的解集都是R，但是≠，若==，则不等式x2+x+1＞0与﹣x2﹣x﹣1＞0的解集不相同，故则“”是“关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0与a2x2+b2x+c2＞0的解集相同”的既非充分又非必要条件．故选：D．三、解答题（本大题共43分，其中第20题6分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，第24题10分）20．（6分）解不等式组：．【解答】解：由题意，∴，∴不等式的解集为21．（8分）对任意x∈R，函数y=（k2﹣k﹣2）x2﹣（k﹣2）x﹣1的图象始终在x轴下方，求实数k的取值范围．【解答】解：由k2﹣k﹣2=0，解得：k=2或k=﹣1，k=2时，y=﹣1，图象始终在x轴下方，符合题意，k=﹣1时，y=3x﹣1，x＞时，不合题意，若k2﹣k﹣2≠0，则函数是二次函数，若函数的图象始终在x轴下方，则，解得：﹣＜k＜2，综上，k∈．22．（9分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}．若A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．【解答】解：由A中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，即A={1，2}，∵B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，∴B⊆A，C⊆A，若B⊆A，显见B中至少有一个元素1，即B≠∅，当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意；当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意，∴a=2或a=3，则a的取值集合为{2，3}；若C⊆A，当C是空集时，△=m2﹣8＜0，即﹣2＜m＜2；当C为单元素集合时，△=0，m=±2，此时C={}或C={﹣}，不满足题意；当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3，综上，m的取值集合为{m|m=3或﹣2＜m＜2}．23．（10分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．24．（10分）（1）若a、b、m、n∈R+，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值．【解答】（1）证明：∵a、b、m、n∈R+，∴（a+b ）=m2+n2+≥m2+n2+2mn=（m+n）2，当且仅当bm=an 时取等号，∴．（2），=+≥=25，当且仅当2（1﹣2x）=3•2x，即当时取得最小值，最小值为25．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
【真题】17年上海市长宁区延安中学高三(上)数学期中试卷含答案
2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题）1．函数y=的定义域为．2．已知tanα=﹣，则sin2α=．3．函数y=tan（2x﹣）的单调区间为．4．已知cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），则α=（用反三角函数表示）．5．设集合A={x||x﹣2|≥1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=．6．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=．7．已知函数f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），则f﹣1（x）=．8．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=．9．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为．11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2c，则∠C的取值范围为．12．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1，则数列{b n}的前1000项和为．14．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围．二.选择题15．“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要16．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（）A．ab≤1 B．a2+b2≥2 C．+≤ D．+≥217．等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，则数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是（）A．S7或S8B．S12C．S13D．S1418．如图，点列{A n}、{B n}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+2，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{d n}是等差数列 B．{S n}是等差数列C．{d}是等差数列D．{S}是等差数列三.解答题19．已知函数f（x）=，其中a为常数；（1）当a=2时，解不等式f（x）≥1；（2）当a＜0时，求函数f（x）在x∈（1，3]上的值域．20．已知f（x）=sin2x﹣2sin2x，（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．21．某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为R=40cm，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）为l=280cm （假定四个轮胎中心构成一个矩形）．当该型号汽车开上一段上坡路ABC（如图（1）所示，其中∠ABC=a（），且前轮E已在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时，后轮中心在H处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路）．设前轮中心在E和G处时与地面的接触点分别为S和T，且BS=60cm，ST=100cm．（其它因素忽略不计）（1）如图（2）所示，FH和GE的延长线交于点O，求证：OE=40cot（cm）；（2）当a=π时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米？（精确到1cm）22．数列{a n}的前n项和记为S n且满足S n=2a n﹣1，n∈N*；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1a n a n+1，求{T n}的通项公式；（3）设有m项的数列{b n}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+）+lg （1+）+…+lg（1+）=lg（log2a m）．问数列{b n}最多有几项？并求出这些项的和．23．如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题）1．函数y=的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）．【解答】解：由题意得：x2﹣5x﹣6≥0，即（x﹣6）（x+1）≥0，解得：x≥6或x≤﹣1，故函数的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）．2．已知tanα=﹣，则sin2α=﹣．【解答】解：∵tanα=﹣，则sin2α===﹣，故答案为：﹣．3．函数y=tan（2x﹣）的单调区间为（﹣+，+），（k∈Z）．【解答】解：函数y=tan（2x﹣），令﹣+kπ＜2x﹣＜+kπ，k∈Z，解得﹣+＜x＜+，k∈Z；所以函数f（x）的单调增区间为（﹣+，+），（k∈Z）．故答案为：（﹣+，+），（k∈Z）．4．已知cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），则α=arccos﹣π（用反三角函数表示）．【解答】解：∵arccos（﹣）=π﹣arccos，又cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），∴﹣α∈（0，π），∴﹣α=π﹣arccos；即α=﹣π+arccos．故答案为：﹣π+arccos．5．设集合A={x||x﹣2|≥1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=（﹣∞，0）∪[3，+∞）．【解答】解：由|x﹣2|≥1得x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，解得x≥3或x≤1，则集合A=（﹣∞，1]∪[3，+∞），由得，则x（1﹣x）＜0，即x（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜0，则集合B=（﹣∞，0）∪（1，+∞），所以A∩B=（﹣∞，0）∪[3，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪[3，+∞）．6．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=﹣．【解答】解：∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，设cosα﹣sinα=t（t＜0），则t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，∴t=﹣，即cosα﹣sinα=﹣．故答案为：﹣．7．已知函数f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），则f﹣1（x）=﹣，x∈（﹣1，0] ．【解答】解：函数y=f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），∴y+1=x2，又﹣1≤x＜0，∴0≤y＜1，∴x=﹣；交换x、y的位置，得y=f﹣1（x）=﹣，x∈（﹣1，0]．故答案为：﹣，x∈（﹣1，0]．8．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1∴f（x）=2x+2x﹣1．当x＜0时，﹣f（x）=2﹣x+2（﹣x）﹣1，∴f（x）=﹣2﹣x+2x+1，∴f（﹣1）=﹣2﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．9．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是4．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，a1＞0．∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案为：4．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），或f（x）=sin（2x﹣）．【解答】解：由函数图象可得：A=，周期T=4（）=π，由周期公式可得：ω==2，由点（，0）在函数的图象上，可得：sin（2×+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，|φ|＜π，当k=1时，可得φ=，当k=0时，可得φ=﹣，从而得解析式可为：f（x）=sin（2x+），或f（x）=sin（2x﹣）．由于，点（，﹣）在函数图象上，验证可得：f（x）=sin（2x+）．故答案为：f（x）=sin（2x+）．11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2c，则∠C的取值范围为．【解答】解：在△ABC中，∵a+b=2c，∴（a+b）2=4c2∴a2+b2=4c2﹣2ab≥2ab即c2≥ab．当且仅当a=b是，取等号．由余弦定理知cosC===∴故填：12．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥﹣（x2+1），即a≥﹣（|x|+）；又由|x|+≥2，则﹣（|x|+）≤﹣2；要使不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥﹣2即可；综上可得，a的取值范围是[﹣2，+∞）；故答案为：[﹣2，+∞）．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1，则数列{b n}的前1000项和为1893．【解答】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b1000=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．故答案为：1893．14．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a≥2．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2故答案为：或a≥2．二.选择题15．“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增，可得f（x）的对称轴为x=﹣=a，开口向上，可得a≤3，∴“a=3”⇒“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”，∴“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的充分而不必要条件，故选：A．16．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（）A．ab≤1 B．a2+b2≥2 C．+≤ D．+≥2【解答】解：对于A，2=a+b≥2，则ab≤1，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立；对于B，a2+b2≥2（）2=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立，对于C，令a=b=1，则不成立，对于D.+=≥=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立，故选：C．17．等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，则数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是（）A．S7或S8B．S12C．S13D．S14【解答】解：等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，设公差为d，则3（a1+4d）=7（a1+9d），解得d=﹣．∴a n=a1+（n﹣1）d=．令＜0，可得n＞，故当n≥14时，a n＞0，当n≤13时，a n＜0，故数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是S13，故选：C．18．如图，点列{A n}、{B n}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+2，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{d n}是等差数列 B．{S n}是等差数列C．{d}是等差数列D．{S}是等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，由于a，c不确定，则{d n}不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n，则数列{S n}为等差数列．故选：B．三.解答题19．已知函数f（x）=，其中a为常数；（1）当a=2时，解不等式f（x）≥1；（2）当a＜0时，求函数f（x）在x∈（1，3]上的值域．【解答】解：（1）a=2，不等式f（x）≥1即为，化简为（x﹣1）（x ﹣2）（x﹣3）≥0且x≠1，所以不等式的解集为：（1，2]∪[3，+∞）；（2）当a＜0时所以f（x）==x﹣3+，此函数为增函数，所以x ∈（1，3]的值域为（﹣∞，]．20．已知f（x）=sin2x﹣2sin2x，（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．【解答】解：（1）因为f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，…（4分）所以，函数的周期为T==π，即函数f（x）的最小正周期为π．…（5分）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，所以f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]．…（7分）（2）因为﹣≤x≤，得﹣≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1．…（8分）∴﹣2≤2sin（2x+）﹣1≤1，…（10分）所以，函数f（x）的最大值为1．…（12分）此时，2x+=，即x=．…（14分）21．某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为R=40cm，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）为l=280cm （假定四个轮胎中心构成一个矩形）．当该型号汽车开上一段上坡路ABC（如图（1）所示，其中∠ABC=a（），且前轮E已在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时，后轮中心在H处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路）．设前轮中心在E和G处时与地面的接触点分别为S和T，且BS=60cm，ST=100cm．（其它因素忽略不计）（1）如图（2）所示，FH和GE的延长线交于点O，求证：OE=40cot（cm）；（2）当a=π时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米？（精确到1cm）【解答】解：（1）由OE∥BC，OH∥AB，得∠EOH=α，…..（2分）过点B作BM⊥OE，BN⊥OH，则Rt△OMB Rt△ONB，从而∠BOM=．…..（4分）在Rt△OMB中，由BM=40得OM=40cot，从而，OE=OM+ME=OM+BS=40cot+60．…..（6分）（2）由（1）结论得OE=+60．设OH=x，OF=y，在△OHG中，由余弦定理得，2802=x2+（+60+100）2﹣2x（+60+100）cos150°，解得x≈118.8cm．…..（9分）在△OEF中，由余弦定理得，2802=y2+（+60）2﹣2y（+60）cos150°，解得y≈216.5cm．…..（12分）所以，FH=y﹣x≈98cm，即后轮中心从F处移动到H处实际移动了约98cm．…（14分）22．数列{a n}的前n项和记为S n且满足S n=2a n﹣1，n∈N*；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1a n a n+1，求{T n}的通项公式；（3）设有m项的数列{b n}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+）+lg （1+）+…+lg（1+）=lg（log2a m）．问数列{b n}最多有几项？并求出这些项的和．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣1，n∈N*；∴n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为1．∴a n=2n﹣1．（2）a n a n+1=2n﹣1•2n=．∴T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1a n a n+1=+…+（﹣1）n+1×4n]==[1﹣（﹣4）n]．（3）由lg2+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg（log2a m）．∴××…×=log2a m=m﹣1．又数列{b n}是连续的正整数数列，∴b n=b n﹣1+1．∴=m﹣1，又b m=b1+（m﹣1），∴mb1﹣3b1﹣2m=0，∴m==3+，由m∈N*，∴b1＞2，∴b1=3时，m的最大值为9．∴这些项的和=3+4+…+11=63．23．如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．【解答】解：（1）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．（2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，∴f（x）=f（﹣x）．设x≥0，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2∴f（x）=当t≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，∴x=1时y max=（1﹣t）2，当0＜t＜时，y=f（x）在[0，t]上递减，在[t，1]上递增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，∴x=1时y max=（1﹣t）2，当t≥时，∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，∴x=0时，y max=t2，综上所述：当t＜时，y max=f（1）=（1﹣t）2，当t≥y max=f（0）=t2，（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．又≤x≤设，则﹣≤x﹣1≤，g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．再设n﹣≤x≤n+（n∈z），当n=2k（k∈z），则2k﹣≤x≤2k+，则﹣≤x﹣2k≤，g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；当n=2k+1（k∈z），则2k+1﹣≤x≤2k+1+，则≤x﹣2k≤g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；∴g（x）=∴对于n﹣≤x≤n+，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣＜x+1＜n+1+，∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），∴y=g（x）是周期为1的函数．①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，500）有1000个交点，而在[500，501]有一个交点．∴y=mx过（，），从而得m=②当m＜0时，同理可得m=﹣③当m=0时，不合题意．综上所述m=±赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；（2）存在x I∈，使得()f x M=．那么，我们称M是函数()f x的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三(上)12月月考数学试卷
2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁U A=．2．（5分）已知，则cos（π﹣α）=．3．（5分）直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角大小为．4．（5分）不等式＞|x|的解集为．5．（5分）函数f（x）=log2（1+x）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．6．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=．7．（5分）已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是．8．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=．9．（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为．10．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数k，均有a k=（S n﹣S k）成立，则公比q=．11．（5分）下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是．（填写命题所对应的序号即可）①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线12．（5分）设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是．13．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知{a n}是等差数列，记b n=a n a n+1a n+2（n为正整数），设S n为{b n}的前n项和，且3a5=8a12＞0，则当S n取最大值时，n=．二.选择题15．（5分）已知条件p：log2（x﹣1）＜1的解，q：x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要16．（5分）若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在（）A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第二象限 D．第三或第四象限17．（5分）现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A．42小时B．46小时C．50小时D．52小时18．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]19．（12分）如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用Sθ表示，求Sθ+•的取值范围．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），右焦点，点在椭圆上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．21．（12分）某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x ∈N*且x≤12；（1）写出2016年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？22．（12分）设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间；（1）判断下列函数：①f1（x）=x﹣2x2，②f2（x）=|log2（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；（2）若函数f（x）=ax3+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．23．（12分）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2016秋•长宁区校级月考）已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁U A={4} ．【解答】解：∵全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，∴集合∁U A={4}，故答案为：{4}2．（5分）（2016秋•长宁区校级月考）已知，则cos（π﹣α）=﹣．【解答】解：∵已知=cosα，则cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，故答案为：．3．（5分）（2016秋•长宁区校级月考）直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角大小为arctan．【解答】解：直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为k1=2，直线l2：x﹣y﹣2=0的斜率为k2=1，设直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角为θ，则tanθ=||=，∴直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角为θ=arctan，故答案为：．4．（5分）（2016•闵行区一模）不等式＞|x|的解集为（0，2）．【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．5．（5分）（2016秋•长宁区校级月考）函数f（x）=log2（1+x）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=y=2x﹣1（x＞0）．【解答】解：f（x）=y=log2（1+x）∵x＞0，∴y＞0，由y=log2（1+x），可得：x=2y﹣1∴y=2x﹣1（x＞0）故答案为：y=2x﹣1（x＞0）6．（5分）（2006•天津）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=0．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得a=0，故答案为0．7．（5分）（2010•上海）已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是．【解答】解：根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可设双曲线的方程为y2﹣3x2=λ（λ≠0），将点C（1，1）代入可得λ=﹣2，．故答案为：．8．（5分）（2016秋•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=27．【解答】解：△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD=3DB，∴==（﹣），∴=•（﹣）=﹣•=×62﹣×0=27．故答案为：27．9．（5分）（2016秋•长宁区校级月考）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为或．【解答】解：m是2和8的等比中项，可得m=±4，当m=4时，曲线是椭圆，可得a=2，c=，则2c=2．当m=﹣4时，曲线是双曲线，此时，a=1，b=2，c=，2c=2．故答案为：或．10．（5分）（2014•普陀区二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的=（S n﹣S k）成立，则公比q=．正整数k，均有a【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数k，均有a k=（S n﹣S k）成立，∴a n=a1q n﹣1，S n=，a k=（S n﹣S k）=，当k=2时，=a2=a 1，∴，∴，∴q﹣q2=q2，q（2q﹣1）=0解得q=，或q=0（舍）．∴公比q=．故答案为：．11．（5分）（2008•普陀区一模）下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是②、③．（填写命题所对应的序号即可）①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．【解答】解：根据平面向量基本定理知：①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；故错；②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基；故正确；③平面向量的基向量只要不共线，也可能互相垂直；故对；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合．如果是三个不共线的向量，表示法不惟一，故错．故答案为：②、③．12．（5分）（2016秋•长宁区校级月考）设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是[1，4] ．【解答】解：设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x≤4．|MP2=（x﹣m）2+y2=（x﹣m）2+12（1﹣）=（x﹣4m）2+12﹣3m2∵当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，|MP|2取得最小值，而x∈[﹣4，4]，故有4m≥4，解得m≥1．又点M在椭圆的长轴上，所以﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是[1，4]．故答案为：1≤m≤4．13．（5分）（2014•宝山区二模）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，] ．【解答】解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）﹣1]=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（﹣1，0），函数f（x）=在区间[﹣1，3]上的图象如图所示：由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m 的取值范围是（0，]故答案为：（0，]．14．（5分）（2008•闵行区二模）已知{a n}是等差数列，记b n=a n a n+1a n+2（n为正整数），设S n为{b n}的前n项和，且3a5=8a12＞0，则当S n取最大值时，n=16．【解答】解：由b n=a n a n+1a n+2且3a5=8a12＞0，所以，3a5=8（a5+7d）所以，＞0，即d＜0因为a16=a5+11d=，所以，a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17所以，b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18因为，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0a15＜﹣a18所以，b15＞﹣b16即b15+b16＞0所以，S16＞S14所以S16最大．故答案为：16二.选择题15．（5分）（2016秋•长宁区校级月考）已知条件p：log2（x﹣1）＜1的解，q：x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【解答】解：由log2（x﹣1）＜1，得：0＜x﹣1＜2，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即q：﹣1＜x＜3，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．16．（5分）（2008•卢湾区二模）若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在（）A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第二象限 D．第三或第四象限【解答】解：由于方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，∴cosα•sinα＞0，而圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为（﹣cosα，sinα）结合三角函数的符号可得，圆心的横坐标与纵坐标符号相反，故其位置在第二或第四象限．故选B．17．（5分）（2014•闸北区二模）现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A．42小时B．46小时C．50小时D．52小时【解答】解：根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×x∈N*，由y=100×＞1010，解得＞108，即xlg＞8，即x＞≈45.45．∴x＞45.45，故经过46小时，细胞总数超过1010个．18．（5分）（2016秋•长宁区校级月考）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]【解答】解：f（x）是定义在R上的增函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数f（x）是奇函数；又f（n﹣3）+f（）=0，所以（n﹣3）+=0，且4m﹣m2﹣3≥0；即，画出不等式组表示的图形，如图所示；则实数m，n表示一段圆弧，所以表示圆弧上的点（m，n）与点（0，0）连线的斜率，所以结合图象可得：的最大值是直线OA的斜率，为=3，最小值是直线OB的斜率，不妨设为k，则，消去n，得（m﹣2）2+（km﹣3）2=1，整理得（k2+1）m2﹣（6k+4）m+12=0，令△=（6k+4）2﹣4×12×（k2+1）=0，化简得3k2﹣12k+8=0，解得k=2±，应取k=2﹣为最小值；所以的取值范围是：[2﹣，3]．故选：C．三.解答题19．（12分）（2014•普陀区二模）如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用Sθ表示，求Sθ+•的取值范围．【解答】解：（1）∵B，∠AOB=θ，∴cosθ=﹣，．∴==2．∴===﹣3．（2）Sθ=|OA||OB|sinθ=sinθ，∵=（1，0），=（cosθ，sinθ），∴=+=（1+cosθ，sinθ），∴=1+cosθ，∴=sinθ+cosθ+1=+1（0＜θ＜π），∵，∴≤1，∴．20．（12分）（2016秋•长宁区校级月考）已知椭圆（a＞b＞0），右焦点，点在椭圆上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，解得a2=4，b2=2，∴椭圆C的标准方程为：．（2）若直线l无斜率，则直线l的方程为x=0，∴A（0，），B（0，﹣），又F（，0），∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°，符合题意；若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消元得（1+2k2）x2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=0，x1•x2=﹣，y1y2=﹣．∴=（x1﹣，y1），=（x2﹣，y2），∴=（x1﹣）（x2﹣）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+2+y1y2=﹣+2﹣=﹣≠0，∴与不垂直，即∠AFB≠90°．综上，存在过原点的直线l使得∠AFB=90°，直线l的方程为x=0．21．（12分）（2016秋•长宁区校级月考）某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x∈N*且x≤12；（1）写出2016年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？【解答】解：（1）g（1）=f（1）=1×2×33=66，g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）=x（x+1）（35﹣2x）﹣[（x﹣1）x（35﹣2（x﹣1）]，=﹣6x2+72x．当x=1时，g（x）=﹣6x2+72x=66=g（1）．∴g（x）=﹣6x2+72x；（2）依题意，对一切x∈{1，2，…，12}有ax≥f（x）．∴a≥（x+1）（35﹣2x），x∈{1，2，…，12}．设h（x）=﹣2（x﹣）2+35+，∴h（x）max=h（8）=171．故a≥171．故保证每月满足市场需求，则a至少应为171台．22．（12分）（2016秋•长宁区校级月考）设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间；（1）判断下列函数：①f1（x）=x﹣2x2，②f2（x）=|log2（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；（2）若函数f（x）=ax3+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．【解答】解：（1）①f1′（x）=1﹣4x，令f1′（x）=0得x=，当0时，f1′（x）＞0，当时，f1′（x）＜0，∴f1（x）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，∴f1（x）是[0，1]上的单峰函数，峰点为；②当x∈[0，1]时，f2（x）=|log2（x+0.5）|=．∴f2（x）在[0，0.5]上单调递减，在[0.5，1]上单调递增，∴f2（x）不是[0，1]上的单峰函数；（2）f′（x）=3ax2+1，令f′（x）=0得x=±，当x＜﹣时，f′（x）＜0，当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴x=是f（x）的极大值点，∵函数f（x）是[1，2]上的单峰函数，∴1＜＜2，解得：．（3）证明：∵f（x）是[a，b]上的单峰函数，∴存在x0∈（a，b），使得f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，b）上单调递减，假设n≤x0，则f（x）在（m，n）上是增函数，∴f（m）＜f（n），与f（m）≥f（n）矛盾；∴假设错误，故n＞x0，∴f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，n）上单调递减，∴（a，n）为f（x）的含峰区间．23．（12分）（2013•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 2﹣a 1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n }，使得对任意n ∈N *，都有S n ≠0，且．若存在，求数列{a n }的首项a 1的所有取值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a 1+a n ）﹣4=2（a 1+a 2…+a n ），① 用n +1去代n 得，3（a 1+a n +1）﹣4=2（a 1+a 2…+a n +a n +1），② ②﹣①得，3（a n +1﹣a n ）=2a n +1，a n +1=3a n ，（2分） 在①中令n=1得，a 1=1，则a n ≠0，∴，∴数列{a n }是以首项为1，公比为3的等比数列， ∴a 1+a 2+a 3+…+a n =．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n （a 1+a n ）=2（a 1+a 2…+a n ），③ 用n +1去代n 得，（n +1）（a 1+a n +1）=2（a 1+a 2…+a n +a n +1），④ ④﹣③得，（n ﹣1）a n +1﹣na n +a 1=0，⑤（6分） 用n +1去代n 得，na n +2﹣（n +1）a n +1+a 1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n +2﹣2na n +1+na n =0，即a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ，（8分） ∴数列{a n }是等差数列． ∵a 3=3，a 9=15，∴公差，∴a n =2n ﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n }是等差数列，∵a 2﹣a 1=2，∴a n =a 1+2（n ﹣1）． 又{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N *，必存在p ∈N *使a 1+2（n ﹣1）+a 1+2（m ﹣1）=a 1+2（p ﹣1），得a 1=2（p ﹣m ﹣n +1），故a 1是偶数，（12分） 又由已知，，故．一方面，当时，S n =n （n +a 1﹣1）＞0，对任意n ∈N *，都有．另一方面，当a 1=2时，S n =n （n +1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；caoqz；左杰；danbo7801；742048；qiss；zlzhan；ywg2058；陈远才；刘老师；吕静；lily2011；沂蒙松；zhczcb；lcb001；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年5月5日。
2017年上海市长宁区延安中学高三下学期开学数学试卷与解析答案
2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（下）开学数学试卷一.填空题1．（3分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．（3分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．3．（3分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．4．（3分）已知无穷等比数列{a n}中，，，则=．5．（3分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．6．（3分）在（tanx+cotx）10的二项展开式中，tan2x的系数为（用数值作答）7．（3分）设F1、F2是双曲线x2﹣4y2=4的两个焦点，P在双曲线上，且，则||•||=．8．（3分）已知，以为边作平行四边形OACB，则与的夹角为．9．（3分）从集合{1，2，3，…，10}中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是．10．（3分）定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x ≤1时，f（x）=log3x，则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为．11．（3分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为．12．（3分）定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四个式子：①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②；③n（n+1）；④n（n+1）f（1）．其中与f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）相等的是．二.选择题13．（3分）“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要14．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④15．（3分）已知P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，那么S△PBC：S PCA：S△PAB等于（）A．4：3：2 B．2：3：4 C．：：D．：：16．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，首项，对于n∈N*，，当且仅当n=4时，数列{b n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（）A．B．（3，4） C．D．三.解答题17．已知sin（+α）sin（﹣α）=，α∈（，π），求si n4α．18．如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，Q是AA1的中点，点P在线段B1D1上；（1）试在线段B1D1上确定点P的位置，使得异面直线QB与DP所成角为60°，并请说明你的理由；（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q﹣DBB1P的体积．19．已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间上有最大值4，最小值1，设函数．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在时恒成立，求实数k的取值范围．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l过点A（﹣a，0），且与椭圆相交于另一点B；（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB长为，求直线l的倾斜角；（3）点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且，求y0的值．21．从数列{a n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a n}的一个子数列．设数列{a n}是一个首项为a1、公差为d（d≠0）的无穷等差数列．（1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q．（2）若a1=7d，从数列{a n}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a n}的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若a1=1，从数列{a n}中取出第1项、第m（m≥2）项（设a m=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{a n}的无穷等比子数列，请说明理由．2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1} ．【解答】解：∵集合A={x|＜0}={x|﹣5＜x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}={x|x≤﹣1或x≥3}，∴A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}．故答案为：{x|﹣5＜x≤﹣1}．2．（3分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．【解答】解：令arcsin（2x+1）=即sin=2x+1=解得x=故答案为：3．（3分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π4．（3分）已知无穷等比数列{a n}中，，，则=．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，由，，可得q•q2=﹣，解得q=﹣，则====．故答案为：．5．（3分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．6．（3分）在（tanx+cotx）10的二项展开式中，tan2x的系数为210（用数值作答）=tan10﹣r x•cot r x=tan10﹣2r x，【解答】解：通项公式T r+1令10﹣2r=2，解得r=4．∴tan2x的系数==210．故答案为：210．7．（3分）设F1、F2是双曲线x2﹣4y2=4的两个焦点，P在双曲线上，且，则||•||=2．【解答】解：∵双曲线x2﹣4y2=4，∴双曲线的标准方程：，则a=2，b=1，c=，双曲线的定义可知：|||﹣丨丨|=4 ①，，则⊥，由勾股定理可知：||2+丨丨2=（2）2，②由①②解得：||•||=2，故答案为：2．8．（3分）已知，以为边作平行四边形OACB，则与的夹角为．【解答】解：∵OACB为平行四边形，∴===（0，3），=（﹣2，1），∴cos＜＞===．即与的夹角为arccos．故答案为：arccos．9．（3分）从集合{1，2，3，…，10}中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是80．【解答】解：将和等于11放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．从每一小组中取一个，共有••••=5×2×2×2×2=80，故答案为：80．10．（3分）定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x ≤1时，f（x）=log3x，则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为30．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），又f（x）关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），可得f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=﹣f（2+x）=﹣[﹣f（x）]=f（x）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．当0＜x≤1时，f（x）=log3x≤0，当﹣1≤x＜0时，0＜﹣x≤1，∴f（﹣x）=log3（﹣x），则f（x）=﹣log3（﹣x）≥0．=﹣＜0．∴方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为2×1+2×5+2×9=30．故答案为：30．11．（3分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为．【解答】解：∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，∴k=1，又圆心在直线x+y=0上∴∴m=﹣1∴原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域，△AOB为不等式所表示的平面区域，联立解得B（﹣，），A（﹣1，0），=×|﹣1|×|﹣|=．所以S△AOB故答案为：．12．（3分）定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四个式子：①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②；③n（n+1）；④n（n+1）f（1）．其中与f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）相等的是①②③．【解答】解：由定义知f（1）+f（2）+…+f（n）=f（1）+2f（1）+…+nf（1）==f（1）=n（n+1）；故①②③正确，④不正确；故应填①②③．二.选择题13．（3分）“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要【解答】解：f（x）≥3”推不出“f（x）的最小值为3；当f（x）的最小值为3，一定能得到f（x）≥3故“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的必要非充分条件．故选B．14．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A15．（3分）已知P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，那么S △PBC：S PCA：S△PAB等于（）A．4：3：2 B．2：3：4 C．：：D．：：【解答】解：∵P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，∴．延长PB到B1，使得，延长PC到C1，使得，连结PB1、PC1、B1C1，则．∴P是△PB1C1的重心，设=3S，则=S，，S△PCA=，S△PAB=，∴S△PBC ：S△PCA：S△PAB==2：3：4．故选：B．16．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，首项，对于n∈N*，，当且仅当n=4时，数列{b n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（）A．B．（3，4） C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为q，首项﹣b n=log a n+1﹣log a n=log=log q∴b n+1∴数列{b n}是以log q为公差，以log a1=6为首项的等差数列，∴b n=6+（n﹣1）log q．由于当且仅当n=4时T n最大，∴log q＜0，且∴∴﹣2即2＜q＜4故选：C三.解答题17．已知sin（+α）sin（﹣α）=，α∈（，π），求sin4α．【解答】解：∵sin（+α）sin（﹣α）=，α∈（，π），∴sin（+α）sin[﹣（+α）]=sin（+α）cos（+α）===，∴cos2α=，∵α∈（，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α=﹣=﹣，∴sin4α=2sinαcosα=﹣2×=．18．如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，Q是AA1的中点，点P在线段B1D1上；（1）试在线段B1D1上确定点P的位置，使得异面直线QB与DP所成角为60°，并请说明你的理由；（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q﹣DBB1P的体积．【解答】解：（1）P是线段B1D1中点．证明如下：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），Q（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，2），B1（1，1，2），设D1P=λD1B1，则，∴P（λ，λ，2），∴=（λ，λ，2），又=（0，1，﹣1），∴|cos＜＞|=||=cos60．∴||=，解得：；（2）连接A1P，则A1P⊥平面DBB1D1，∵A1Q∥平面DBB1D1，∴四棱锥Q﹣DBB1P的高为．=．∴=．19．已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间上有最大值4，最小值1，设函数．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在时恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由于二次函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b的对称轴为x=1，由题意得：1°，解得．或2°，解得．（舍去）∴a=1，b=0．故g（x）=x2﹣2x+1，．（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0，即，∴．在时，设，∴k≤（t﹣1）2，由题意可得，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，故t≠1，即≤t≤2，且t≠1．∵（t﹣1）2min＞0，∴k≤0，即实数k的取值范围为（﹣∞，0]．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l过点A（﹣a，0），且与椭圆相交于另一点B；（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB长为，求直线l的倾斜角；（3）点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且，求y0的值．【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，∴，解得a=2，b=1．所以椭圆的方程为+y2=1．（2）由（1）可知点A的坐标是（﹣2，0）．设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．代入椭圆方程，消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．由﹣2x1=，得．从而．所以|AB|==．由|AB|=，得=．整理得32k4﹣9k2﹣23=0，即（k2﹣1）（32k2+23）=0，解得k=±1．所以直线l的倾斜角或．（3）由（1）可知A（﹣2，0）．设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），于是A，B两点的坐标满足方程组，由方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，由﹣2x1=，得，从而，设线段AB是中点为M，则M的坐标为（﹣，），以下分两种情况：①当k=0时，点B的坐标为（2，0）．线段AB的垂直平分线为y轴，于是=（﹣2，﹣y 0），=（2，﹣y0），由，得y0=；②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y﹣=，令x=0，解得，由=（﹣2，﹣y0），=（x1，y1﹣y0），=﹣2x1﹣y0（y1﹣y0）=+（+）==4，整理得7k2=2，故k=，解得．综上或．21．从数列{a n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a n}的一个子数列．设数列{a n}是一个首项为a1、公差为d（d≠0）的无穷等差数列．（1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q．（2）若a1=7d，从数列{a n}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a n}的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若a1=1，从数列{a n}中取出第1项、第m（m≥2）项（设a m=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{a n}的无穷等比子数列，请说明理由．【解答】解：（1）由题设，得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），得d2=2a1d，又d≠0，于是d=2a1，故其公比．（2）设等比数列为{b m}，其公比，，由题设a n=a1+（n﹣1）d=（n+6）d．假设数列{b m}为{a n}的无穷等比子数列，则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N*，使a n=b m，即，得，当m=5时，，与假设矛盾，故该数列不为{a n}的无穷等比子数列．（3）①设{a n}的无穷等比子数列为{b r}，其公比（t≠1），得b r=t r﹣1，由题设，在等差数列{a n}中，，，因为数列{b r}为{a n}的无穷等比子数列，所以对任意自然数r（r≥3），都存在n∈N*，使a n=b r，即，得，由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，m﹣1均为正整数，可知t r﹣2+t r﹣3+t+1必为正整数，又d≠0，故t是大于1的正整数．②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{a n}存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列{b r}中的每一项均为数列{a n}中的项．在等比数列{b r}中，b r=t r﹣1，在等差数列{a n}中，，，若b r为数列{a n}中的第k项，则由b r=a k，得，整理得，由t，m﹣1均为正整数，得k也为正整数，故无穷等比数列{b r}中的每一项均为数列{a n}中的项，得证．综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列{a n}存在无穷等比子数列．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2016-2017年陕西省延安市延川中学高三(上)数学期中试卷和答案(文科)
A．f（x1）＞f（x2） B．f（﹣x1）＞f（x2） C．f（x1）＜f（﹣x2） D．f（x1） ，f（x2）的大小与 x1，x2 的取值有关
二．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 13． （5 分）已知 10a=5，b=lg2，则 a+b= 14． （5 分） sin75°+ sin15°的值等于 ． ．
RA）∩B．
18． （12 分）已知 求：cos2α 的值． 19． （12 分）已知函数 f（x）=
，且 cos（α﹣β）=
，sin（α+β）=﹣ ，
．
（1）求 f（x）的定义域及最小正周期； （2）求 f（x）的单调递减区间． 20． （12 分）已知函数 f（x）=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 ． （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）求 f（x）的单调区间． 21． （12 分）函数 相邻两条对称轴之间的距离为 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）设 ，则 ，求 α 的值． ， （A＞0，ω＞0）的最大值为 3，其图象
2． （5 分）计算 sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（ A． B． C． D．
3． （5 分）给出命题：若函数 y=f（x）是幂函数，则函数 y=f（x）的图象不过第 四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ A．3 B．2 C．1 D．0 ） ）
7． （5 分）将函数 y=sin2x 的图象向左平移 得图象的函数解析式是（ A．y=2cos2x B．y=2sin2x C． ）
个单位，再向上平移 1 个单位，所
D．y=cos2x +2，
8． （5 分）已知函数 y=f（x）的图象在点 M（1，f（1） ）处的切线方程是 则 f（1）+f′（1）的值等于（ A．1 B． C．3 D．0 ） ）
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知全集U＝R，集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{x|x＞1}．2．（4分）函数f（x）＝log2（4﹣x2）的最大值为．3．（4分）已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于．4．（4分）函数f（x）＝x2，（x＜﹣2）的反函数是．5．（4分）已知等差数列{a n}，a4+a6＝10，前5项的和S5＝5，则其公差为．6．（4分）在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）7．（5分）若＝3，tan（α﹣β），则tan（β﹣2α）＝．8．（5分）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是．（结果精确到0.01）9．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω的值为．10．（5分）已知函数．若函数g（x）＝f（x），则实数k的取值范围是．11．（5分）已知数列{a n}（n∈N*），若a1＝1，a n+1+a n＝（）n，则aa2n ＝．12．（5分）如图，C为△ABC外接圆P上一个动点，若OA＝1，∠AOB＝150°，则的最大值为．二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）13．（5分）下列命题正确的是（）A．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行14．（5分）设a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），则“a＜b”是“a﹣1＜b﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数的细胞分裂一次，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A．42小时B．46小时C．50小时D．52小时16．（5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）（x），且当x∈（0，2]时，，m]，都有（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝AA1＝1，∠BAC＝90°．（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；（2）求点B1到平面A1BC的距离．18．（14分）函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）2．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数，求g（x）的值域．19．（14分）如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，且满足tan A＝．（1）证明：b+c＝2a；（2）若OA＝2OB＝2，且b＝c，设∠AOB＝θ（0＜θ＜π），求四边形OACB面积的最大值．20．（16分）已知函数f（x）＝ln（x﹣1+a）．（1）设f﹣1（x）是f（x）的反函数，当a＝1时﹣1（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）+ln（x2）＝0的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2 21．（18分）记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列是等差数列；（2）若是公差为1的等差数列，求使；（3）记（t为大于0的常数），求证：．2020-2021学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知全集U＝R，集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{x|x＞1}（1，2]．【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x＞8}，∴M∩N＝（1，2]．故答案为：（7，2]．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（4分）函数f（x）＝log2（4﹣x2）的最大值为2．【分析】由对数有意义可得4﹣x2＞0，解不等式可得定义域；通过二次函数t＝4﹣x2的最大值为4，计算对数可得．【解答】解：由对数有意义可得4﹣x2＞8，解得﹣2＜x＜2，∴函数f（x）的定义域为（﹣3，2）；∵二次函数t＝4﹣x6的最大值为4，此时x＝0，故函数f（x）的最大值为log64＝2．故答案为：8．【点评】本题考查对数函数的性质，涉及定义域和值域，属基础题．3．（4分）已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于9π．【分析】设球的半径为R，由已知球的体积求得半径，再由圆的面积公式求解．【解答】解：设球的半径为R，由，得R＝3．∴该球大圆的面积等于πR2＝2π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式与表面积公式，是基础的计算题．4．（4分）函数f（x）＝x2，（x＜﹣2）的反函数是．【分析】直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f（x）＝x2，（x＜﹣2），则y＞2．可得x＝，所以函数的反函数为：．故答案为：．【点评】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．5．（4分）已知等差数列{a n}，a4+a6＝10，前5项的和S5＝5，则其公差为2．【分析】设公差为d，由题意可得2a1+8d＝10，5a1+＝5，解方程组求得d的值．【解答】解：∵等差数列{a n}，a4+a6＝10，前5项的和S5＝5，设公差为d．由题意可得7a1+8d＝10，7a1+＝5，解方程组求得d＝4，故答案为2．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．6．（4分）在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，再求展开式的常数项．【解答】解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣3）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣6）r••x6﹣8r，当6﹣2r＝3时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣3）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的应用问题，是基础题目．7．（5分）若＝3，tan（α﹣β），则tan（β﹣2α）＝．【分析】把已知的第1个等式左边的分子分母都除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanα的方程，即可求出tanα的值，然后把所求的式子中的角β﹣2α变换为（β﹣α）﹣α后，利用两角差的正切函数公式化简，将求出的tanα的值和已知的tan （α﹣β）＝2代入即可求出值．【解答】解：∵＝＝6，∴tanα＝2．又tan（α﹣β）＝2，∴tan（β﹣3α）＝tan[（β﹣α）﹣α]＝﹣tan[（α﹣β）+α]＝﹣＝．故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道综合题．本题的突破点是将所求式子的角β﹣2α变换为（β﹣α）﹣α的形式．8．（5分）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是0.30．（结果精确到0.01）【分析】先求出从这批产品中抽取4个，则事件总数，然后求出其中恰好有一个二等品的事件的个数，最后根据古典概型的公式求出恰好有一个二等品的概率．【解答】解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为C1004个，其中恰好有一个二等品的事件有C105•C903个，根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为：＝×＝≈3.30．故答案为：0.30．【点评】本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．9．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω的值为．【分析】设A（x1，2），B（x2，﹣2），由函数图象可得（x2﹣x1）2+42＝52，解得：x2﹣x1＝3，利用T＝2×3＝，即可解得ω的值．【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5，设A（x3，2），B（x2，﹣7），∴（x2﹣x1）6+42＝82，解得：x2﹣x7＝3，∴函数的周期T＝2×6＝，解得：ω＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．10．（5分）已知函数．若函数g（x）＝f（x），则实数k的取值范围是．【分析】由题意可得函数f（x）的图象与直线y＝k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象与直线y＝k有二个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是，故答案为．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．11．（5分）已知数列{a n}（n∈N*），若a1＝1，a n+1+a n＝（）n，则a2n＝﹣．【分析】由已知推导出，，从而，由此能求出a2n．【解答】解：∵数列{a n}（n∈N*）满足a1＝1，a n+2+a n＝（）n，∴（a3+a2）+（a3+a8）+…+（a2n﹣1+a2n）＝，∴．又a1+（a3+a3）+（a4+a5）+…+（a2n﹣2+a6n﹣1）＝＝．即．∴．∴．【点评】本题考查由数列递推式求数列的通项公式，考查数列极限的求法，是中档题．12．（5分）如图，C为△ABC外接圆P上一个动点，若OA＝1，∠AOB＝150°，则的最大值为．【分析】由余弦定理得|AB|，由正弦定理得外接圆半径，然后通过向量的数量积推出最大值即可．【解答】解：由余弦定理得，由正弦定理得外接圆半径，所以，其中d是在，过点P作PC'∥OA交圆于点C'，如图，则，所以的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）13．（5分）下列命题正确的是（）A．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【分析】根据空间线面关系的判定定理，性质及几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【解答】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或异面；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，故错误；果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题．14．（5分）设a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），则“a＜b”是“a﹣1＜b﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：由“a＜b”⇒“a﹣1＜b﹣1”，由”⇒“a﹣7＜b﹣1”⇒“a＜b”，故“a＜b”是“a﹣1＜b﹣6”的充要条件，故选：C．【点评】本题以不等式的性质为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．15．（5分）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数的细胞分裂一次，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A．42小时B．46小时C．50小时D．52小时【分析】依题意得到细胞总数y和分裂时间x的函数解析式为，令y＞1010，求出x的范围，从而得到结果．【解答】解：由题意得细胞总数y和分裂时间x的函数解析式为，由得，所以，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是基础题．16．（5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）（x），且当x∈（0，2]时，，m]，都有（）A．B．C．D．【分析】先利用函数f（x）的单调性，求出其在x∈（0，2]时的最值，然后根据递推关系可知，当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，即可分析出何时f（x）min≥．【解答】解：当x∈（0，2]时，4）上递减，2]上递增min＝f（1）＝﹣．因为f（x+2）＝2f（x），当图象向右平移6个单位时，最小值不断变小，当图象向左平移2个单位时，最小值变为原来的．当x∈（2，4]时，f min＝f（3）＝﹣；当x∈（4，2]时，f min＝f（5）＝﹣1；所以要对任意x∈（﹣∞，m]，∵x∈（4，5）时，x∈（3，函数f（x）递增，所以当m最大时，m∈（4，且f（x）min＝f（m）＝2f（m﹣4）＝4f（m﹣4）＝5[m﹣4+﹣]，解得m，故m的取值范围是（﹣∞，]．故选：D．【点评】本题主要考查函数最值的求法以及函数递推式的应用，属于难题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝AA1＝1，∠BAC＝90°．（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；（2）求点B1到平面A1BC的距离．【分析】法一：（1）求出，从而BC∥B1C1，进而∠A1BC为异面直线A1B与B1C1所成的角或补角，由此能求出异面直线A1B与B1C1所成角．（2）设点B1到平面A1BC的距离为h，由，能求出点B1到平面A1BC的距离．法二：（1）设异面直线A1B与B1C1所成角为θ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与B1C1所成角．（2）求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求出点B1到平面A1BC的距离．【解答】解法一：（1）在直三棱柱A1B1C6﹣ABC中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，AB＝AC＝AA7＝1，∠BAC＝90°所以，因为，BC∥B1C2，所以∠A1BC为异面直线A1B与B4C1所成的角或补角．……4分在△A8BC中，因为，，所以，异面直线A1B与B1C7所成角为．…………………………7分（2）设点B7到平面A1BC的距离为h，由（1）得，…………………………9分，…………………………11分因为，，…………………………12分所以，，解得，．所以，点B1到平面A6BC的距离为．…………………………14分解法二：（1）设异面直线A2B与B1C1所成角为θ，如图建系，则，，…………5分因为，所以，异面直线A1B与B1C5所成角为．…………7分（2）设平面A6BC的法向量为，则．又，，……………8分所以，由，得．…………12分所以，点B6到平面A1BC的距离．…………………………14分【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．18．（14分）函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）2．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数，求g（x）的值域．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性可得f（x）的表达式，综合可得答案，（2）根据题意，求出g（x）的解析式，当时，g（x）＝＝2﹣（x+），由基本不等式的性质求出g（x）的范围，当时，g（x）＝＝2+x﹣，分析其单调性，求出g（x）的范围，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，设x＜0，则﹣x＞05＝﹣2x﹣x2＝﹣f（x），所以f（x）＝3x+x2，所以；（2）当时，g（x）＝），又由x+≥2，当且仅当x＝1时取等号，当时，g（x）＝，在（﹣∞，﹣，g（x）≤g（﹣）＝2﹣，则g（x）的值域为．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域计算，属于基础题．19．（14分）如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，且满足tan A＝．（1）证明：b+c＝2a；（2）若OA＝2OB＝2，且b＝c，设∠AOB＝θ（0＜θ＜π），求四边形OACB面积的最大值．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin C+sin B＝2sin A，由正弦定理即可证得b+c＝2a；（2）由（1）及已知可得△ABC为等边三角形，由余弦定理可求得AB2＝5﹣4cosθ，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S四边形OACB＝2sin（θ﹣）+，由已知可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其最大值．【解答】解：（1）证明：因为，所以sin B cos A+sin C cos A＝2sin A﹣cos B sin A﹣cos C sin A，所以sin B cos A+cos B sin A+sin C cos A+cos C sin A＝8sin A，所以sin（A+B）+sin（A+C）＝2sin A，即sin C+sin B＝2sin A，由正弦定理得b+c＝6a；（2）因为b+c＝2a，b＝c，所以△ABC为等边三角形，由余弦定理得AB2＝6+4﹣2×5×2×cosθ＝5﹣2cosθ，所以＝，因为θ∈（4，π），所以，所以当即时，四边形OACB面积取得最大值．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想、函数思想的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）＝ln（x﹣1+a）．（1）设f﹣1（x）是f（x）的反函数，当a＝1时﹣1（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）+ln（x2）＝0的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2【分析】（1）根据反函数的定义即可求出，（2）关于x的方程f（x）+ln（x2）＝0的解集中恰好有一个元素转化为ax2+x＝1的解集中恰好有一个元素，分类讨论，即可求出a的值，（3）先判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性，即可得到f（t）﹣f（t+1）＝ln（+a）﹣ln（+a）≤ln2，再根据对数的运算性质和函数单调性可得a≥﹣，设g（t）＝﹣，t∈[，1]，利用定义判断函数的单调性即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）函数y＝f（x）＝ln（x﹣1+a），∴x﹣1+a＝e y，∴x＝，f﹣1（x）＝，当a＝4时，f﹣1（x）＝＞0，∴不等式f﹣1（x）＞5的解集为（0，+∞）；（2）依题意有f（x）+ln（x2）＝3，即ln（ax2+x）＝0，即ax2+x＝1的解集中恰好有一个元素，当a＝0时，x＝8；当a≠0时，△＝1+6a＝0，综上所述：a＝0或a＝﹣（3）a＞0时，假设0＜x2＜x2时，+a＞，∴ln（+a）＞ln（，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的分别为f（t），∴f（t）﹣f（t+7）＝ln（+a）﹣ln（，即a≥﹣，设g（t）＝﹣，t∈[，设≤t1＜t3≤1，则g（t1）﹣g（t7）＝﹣﹣+＝，∵≤t6＜t2≤1，∴t8﹣t1＞0，t7+t2+1＞5，t1t2＞8，t1+1＞7，t2+1＞4，∴g（t1）﹣g（t2）＞4，即g（t1）＞g（t2），∴g（t）＝﹣在[，∴g（t）max＝g（）＝2﹣＝，∴a≥【点评】本题考查了反函数的定义，函数单调性的应用，对数的运算性质，函数单调性的定义，属于中档题21．（18分）记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列是等差数列；（2）若是公差为1的等差数列，求使；（3）记（t为大于0的常数），求证：．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的求和公式和定义，计算可得证明；（2）由等差数列的通项公式可得，求得关于k的式子，讨论k的取值，可得所求集合；（3）判断数列{b n}是首项和公比均大于0的等比数列，设公比q＝t d，证明b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k＝1+n，再由不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}的公差为d，则，从而，所以当n≥2时，，所以数列是等差数列；（2）因为是公差为1的等差数列，所以，所以，所以，显然k＝1，2满足条件，当k≥6时，因为k2﹣3k﹣5＝k（k﹣3）﹣2≥5（4﹣3）﹣6＝2＞0，所以，所以，故，综上所述，正整数k的取值集合是{1；（3）设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a7+（n﹣1）d，b n＝t an，所以＝t d，（n≥2），所以数列{b n}是首项和公比均大于0的等比数列，设公比q＝t d，下面证明：b7+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，因为，当q＞1时，y＝q x为增函数，因为p﹣5≥0，所以q p﹣1﹣2≥0，q k﹣1﹣3≥0，所以b1+b n≥b p+b k，当q＝7时，b1+b n＝b p+b k，当0＜q＜6是，y＝q x为减函数，因为p﹣1≥0，所以q p﹣7﹣1≤0，q k﹣4﹣1≤0，所以b6+b n≥b p+b k，综上，有b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，所以n（b1+b n）＝（b8+b n）+（b1+b n）+…+（b1+b n）≥（b5+b n）+（b2+b n﹣1）+（b7+b n﹣2）+…+（b n+b1）＝（b4+b2+…+b n）+（b n+b n﹣1+…+b4），所以．【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，以及数列的单调性的判断和运用、不等式的性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2016-2017学年陕西省延安市延川中学高三(上)期中数学试卷和答案
2016-2017学年陕西省延安市延川中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求，请将你所选选项填入答题卷相应表格中）1．（5分）如果集合P={x|x＞﹣1}，那么（）A．0⊆P B．{0}∈P C．∅∈P D．{0}⊊P2．（5分）设全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{|x＞1}3．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2⩾0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2⩽0 C．∃x0∈R，|x|+x2＜0 D．∃∈R，|x|+⩾04．（5分）下列函数中：①y=3x﹣1②y=x x③y=5×2x④y=2x﹣1⑤y=5x，一定为指数函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=6．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（）A．a≤3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥57．（5分）为了得到函数y=2×2x的图象，可以把函数y=2x的图象（）A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C．向左平移2个单位长度D．向右平移2个单位长度8．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）当x∈[1，2]时，函数f（x）=2x﹣1的值域为（）A．[﹣3，﹣1]B．[1，3]C．[﹣1，2]D．[﹣1，1]10．（5分）已知，那么a的取值范围是（）A．B．C．或a＞1 D．11．（5分）已知函数y=a x+b的图象过第二、三、四象限，那么（）A．a＞1，b＞﹣1 B．a＞1，b＜﹣1 C．0＜a＜1，b＞﹣1 D．0＜a＜1，b ＜﹣112．（5分）方程lnx+2x﹣8=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填入答题卷相应横线上）13．（5分）若f（x）=2x+3，则f（3）=．14．（5分）求值：=．15．（5分）函数y=a x﹣1+1（a＞0且a≠1），无论a取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为．16．（5分）已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a ﹣1），则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=．18．（10分）对于二次函数y=﹣4x2+8x﹣3，（1）指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值或最小值．19．（12分）已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0，a≠0．a∈R．}中只有一个元素（A 也可以叫做单元素集合），求a的值，并求出这个元素．20．（12分）某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）．（1.01210=1.127，1.01215=1.196，1.01216=1.210）21．（12分）若函数y=（a2﹣3a+3）•log a x是对数函数，又函数中f（1）=1，（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最小值．22．（14分）已知函数，且f（1）=2，（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数f（x）在（0，1]的增减性，并用单调性定义证明之；（3）若f（k）＞2，求k的取值范围．2016-2017学年陕西省延安市延川中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求，请将你所选选项填入答题卷相应表格中）1．（5分）如果集合P={x|x＞﹣1}，那么（）A．0⊆P B．{0}∈P C．∅∈P D．{0}⊊P【解答】解：集合P={x|x＞﹣1}，对于A，0是元素，P是集合，应该是属于或者不属于的关系，∴0∈P．对于B：{0}是集合，应该集合与集合的关系，∴{0}⊂P．对于C：∅表示空集，空集是任何非空集合的真子集，∴∅⊂P．对于D：{0}是含有一个元素的集合，与集合P是真子集的关系，∴{0}⊂P．故选：D．2．（5分）设全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{|x＞1}【解答】解：∵全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，∴∁U B={x|x≤1}，则A∩∁U B={x|0＜x≤1}，故选：B．3．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2⩾0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2⩽0 C．∃x0∈R，|x|+x2＜0 D．∃∈R，|x|+⩾0【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题值，命题“∀x∈R，|x|+x2⩾0”的否定是“∃x0∈R，|x0|+＜0”．故选：C．4．（5分）下列函数中：①y=3x﹣1②y=x x③y=5×2x④y=2x﹣1⑤y=5x，一定为指数函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：形如y=a x（a＞0，a≠1）的函数为指数函数，①y=3x﹣1的3x系数不为1，不是指数函数，②y=x x的底数不是x，不是指数函数，③y=5×2x3的系数不是1，不是指数函数，④y=2x﹣1不符合指数函数定义，⑤y=5x是指数函数，故选：B．5．（5分）下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=【解答】解：C．∵=x，与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样，∴二者是同一函数．故选：C．6．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（）A．a≤3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【解答】解：∵抛物线函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2开口向上，对称轴方程是x=1﹣a，在区间[4，+∞）上递增，∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3．故选：B．7．（5分）为了得到函数y=2×2x的图象，可以把函数y=2x的图象（）A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C．向左平移2个单位长度D．向右平移2个单位长度【解答】解：函数y=2×2x=2x+1，要得到其图象，可将函数y=2x的图象向左平移1个单位长度，故选：A．8．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．9．（5分）当x∈[1，2]时，函数f（x）=2x﹣1的值域为（）A．[﹣3，﹣1]B．[1，3]C．[﹣1，2]D．[﹣1，1]【解答】解：函数f（x）=2x﹣1，∵y=2x是增函数，当x∈[1，2]时，y∈[2，4]．∴函数f（x）=2x﹣1的值域为[1，3]．故选：B．10．（5分）已知，那么a的取值范围是（）A．B．C．或a＞1 D．【解答】解：=log a a．当0＜a＜1时，得0＜a＜，∴0＜a＜；当a＞1时，得a，∴a＞1．综上，a的取值范围是或a＞1．故选：C．11．（5分）已知函数y=a x+b的图象过第二、三、四象限，那么（）A．a＞1，b＞﹣1 B．a＞1，b＜﹣1 C．0＜a＜1，b＞﹣1 D．0＜a＜1，b ＜﹣1【解答】解：如图，∵函数y=a x+b的图象过第二、三、四象限，∴y=a x的图象过第一、二象限，且过（0，1）点∴0＜a＜1．由图象知：y=a x+b的图象是由函数y=a x的图象沿y轴向下平移|b|个单位得到的，结合图象知b＜﹣1．故选：D．12．（5分）方程lnx+2x﹣8=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：原方程可化为lnx=﹣2x+8，则原方程的根即为函数y=lnx和函数y=﹣2x+8图象交点的横坐标，在同一坐标系内做出这两个函数的图象：由图象可以看出只有一个交点，所以原方程只有一个实数根．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填入答题卷相应横线上）13．（5分）若f（x）=2x+3，则f（3）=9．【解答】解：∵f（x）=2x+3，∴f（3）=2×3+3=9．故答案为：9．14．（5分）求值：=6．【解答】解：==6．故答案为：6．15．（5分）函数y=a x﹣1+1（a＞0且a≠1），无论a取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为（1，2）．【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，则x=1时，函数y=a0+1=2，即函数图象恒过一个定点（1，2）．故答案为：（1，2）．16．（5分）已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．【解答】解：∵f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1）∴，∴故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=．【解答】解：（1）由sinx≠0，得x≠kπ，k∈Z．∴y=的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；（2）由cosx≥0，解得：．∴y=的定义域为[]，k∈Z．18．（10分）对于二次函数y=﹣4x2+8x﹣3，（1）指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值或最小值．【解答】解：（1）∵二次函数的二次项系数小于零，∴抛物线开口向下；对称轴为x==1；把x=1，代入得y=﹣4+8﹣3=1∴顶点坐标为（1，1）；（2）由（1）中抛物线的开口向下，函数图象的对称轴为x=1，得到函数的单调递增区间为（﹣∞，1）单调递减区间为（1，+∞）．（3）根据抛物线开口向下，得到抛物线有最高点（顶点），故函数在对称轴处（x=1时）存在最大值1，图象向下无限延长，故无最小值；19．（12分）已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0，a≠0．a∈R．}中只有一个元素（A 也可以叫做单元素集合），求a的值，并求出这个元素．【解答】解：当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式△=4﹣4a=0得a=1．即x2+2x+1=0，解得x=﹣1所以集合A={﹣1}．答：a的值为1，这个元素是﹣1．20．（12分）某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）．（1.01210=1.127，1.01215=1.196，1.01216=1.210）【解答】解：（1）1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×（1+1.2%），2年后该城市人口总数为y=100×（1+1.2%）+100×（1+1.2%）2×1.2%=100×（1+1.2%）2同理，3年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2%）3X年后该城市人口总数为y=100×（1+1.2%）x（x∈N）．（2）10年后人口总数为100×u（1+1.2）10≈112.7（万）（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100×（1+1.2%）x=120，x=log1.0121.20≈16（年）．因此，大约16年以后城市人口将达到120万人．21．（12分）若函数y=（a2﹣3a+3）•log a x是对数函数，又函数中f（1）=1，（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最小值．【解答】解：（1）依题意得；∴a=2，又f（1）=1，∴log2（b﹣2）=1，∴b=4；（2）=，令由于x∈[1，3]，∴2≤2x≤8，∴u（x）在[1，3]上是增加的，∴当x=1时，∴f（x）min=log22=1．22．（14分）已知函数，且f（1）=2，（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数f（x）在（0，1]的增减性，并用单调性定义证明之；（3）若f（k）＞2，求k的取值范围．【解答】解：由f（1）=2，得=2，解得m=1；…（1分）∴f（x）==x+；（1）∵f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称；且，∴f（x）是定义域上的奇函数；…（4分）（2）f（x）在（0，1]上是单调减函数；证明：设x1，x2是（0，1]上的任意两个实数，且x1＜x2…（5分）则…（6分）===；…（7分）∵0＜x1＜x2≤1，∴；…（8分）∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x1）＞f（x2）；…（9分）∴f（x）在（0，1]上是单调减函数．…（10分）（3）同理可证f（x）在[1，+∞）上是单调增函数；…（11分）由f（k）＞2得f（k）＞f（1），…（12分）∴k＞1或0＜k＜1；…（13分）即所求k的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）． (14)。
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2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题）1．函数y=的定义域为．2．已知tanα=﹣，则sin2α=．3．函数y=tan（2x﹣）的单调区间为．4．已知cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），则α=（用反三角函数表示）．5．设集合A={x||x﹣2|≥1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=．6．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=．7．已知函数f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），则f﹣1（x）=．8．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=．9．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为．11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2c，则∠C的取值范围为．12．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1，则数列{b n}的前1000项和为．14．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围．二.选择题15．“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要16．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（）A．ab≤1 B．a2+b2≥2 C．+≤ D．+≥217．等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，则数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是（）A．S7或S8B．S12C．S13D．S1418．如图，点列{A n}、{B n}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+2，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{d n}是等差数列 B．{S n}是等差数列C．{d}是等差数列D．{S}是等差数列三.解答题19．已知函数f（x）=，其中a为常数；（1）当a=2时，解不等式f（x）≥1；（2）当a＜0时，求函数f（x）在x∈（1，3]上的值域．20．已知f（x）=sin2x﹣2sin2x，（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．21．某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为R=40cm，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）为l=280cm （假定四个轮胎中心构成一个矩形）．当该型号汽车开上一段上坡路ABC（如图（1）所示，其中∠ABC=a（），且前轮E已在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时，后轮中心在H处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路）．设前轮中心在E和G处时与地面的接触点分别为S和T，且BS=60cm，ST=100cm．（其它因素忽略不计）（1）如图（2）所示，FH和GE的延长线交于点O，求证：OE=40cot（cm）；（2）当a=π时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米？（精确到1cm）22．数列{a n}的前n项和记为S n且满足S n=2a n﹣1，n∈N*；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1a n a n+1，求{T n}的通项公式；（3）设有m项的数列{b n}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+）+lg （1+）+…+lg（1+）=lg（log2a m）．问数列{b n}最多有几项？并求出这些项的和．23．如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题）1．函数y=的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）．【解答】解：由题意得：x2﹣5x﹣6≥0，即（x﹣6）（x+1）≥0，解得：x≥6或x≤﹣1，故函数的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）．2．已知tanα=﹣，则sin2α=﹣．【解答】解：∵tanα=﹣，则sin2α===﹣，故答案为：﹣．3．函数y=tan（2x﹣）的单调区间为（﹣+，+），（k∈Z）．【解答】解：函数y=tan（2x﹣），令﹣+kπ＜2x﹣＜+kπ，k∈Z，解得﹣+＜x＜+，k∈Z；所以函数f（x）的单调增区间为（﹣+，+），（k∈Z）．故答案为：（﹣+，+），（k∈Z）．4．已知cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），则α=arccos﹣π（用反三角函数表示）．【解答】解：∵arccos（﹣）=π﹣arccos，又cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），∴﹣α∈（0，π），∴﹣α=π﹣arccos；即α=﹣π+arccos．故答案为：﹣π+arccos．5．设集合A={x||x﹣2|≥1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=（﹣∞，0）∪[3，+∞）．【解答】解：由|x﹣2|≥1得x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，解得x≥3或x≤1，则集合A=（﹣∞，1]∪[3，+∞），由得，则x（1﹣x）＜0，即x（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜0，则集合B=（﹣∞，0）∪（1，+∞），所以A∩B=（﹣∞，0）∪[3，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪[3，+∞）．6．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=﹣．【解答】解：∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，设cosα﹣sinα=t（t＜0），则t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，∴t=﹣，即cosα﹣sinα=﹣．故答案为：﹣．7．已知函数f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），则f﹣1（x）=﹣，x∈（﹣1，0] ．【解答】解：函数y=f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），∴y+1=x2，又﹣1≤x＜0，∴0≤y＜1，∴x=﹣；交换x、y的位置，得y=f﹣1（x）=﹣，x∈（﹣1，0]．故答案为：﹣，x∈（﹣1，0]．8．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1∴f（x）=2x+2x﹣1．当x＜0时，﹣f（x）=2﹣x+2（﹣x）﹣1，∴f（x）=﹣2﹣x+2x+1，∴f（﹣1）=﹣2﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．9．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是4．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，a1＞0．∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案为：4．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），或f（x）=sin（2x﹣）．【解答】解：由函数图象可得：A=，周期T=4（）=π，由周期公式可得：ω==2，由点（，0）在函数的图象上，可得：sin（2×+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，|φ|＜π，当k=1时，可得φ=，当k=0时，可得φ=﹣，从而得解析式可为：f（x）=sin（2x+），或f（x）=sin（2x﹣）．由于，点（，﹣）在函数图象上，验证可得：f（x）=sin（2x+）．故答案为：f（x）=sin（2x+）．11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2c，则∠C的取值范围为．【解答】解：在△ABC中，∵a+b=2c，∴（a+b）2=4c2∴a2+b2=4c2﹣2ab≥2ab即c2≥ab．当且仅当a=b是，取等号．由余弦定理知cosC===∴故填：12．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥﹣（x2+1），即a≥﹣（|x|+）；又由|x|+≥2，则﹣（|x|+）≤﹣2；要使不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥﹣2即可；综上可得，a的取值范围是[﹣2，+∞）；故答案为：[﹣2，+∞）．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1，则数列{b n}的前1000项和为1893．【解答】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b1000=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．故答案为：1893．14．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a≥2．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2故答案为：或a≥2．二.选择题15．“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增，可得f（x）的对称轴为x=﹣=a，开口向上，可得a≤3，∴“a=3”⇒“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”，∴“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的充分而不必要条件，故选：A．16．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（）A．ab≤1 B．a2+b2≥2 C．+≤ D．+≥2【解答】解：对于A，2=a+b≥2，则ab≤1，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立；对于B，a2+b2≥2（）2=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立，对于C，令a=b=1，则不成立，对于D.+=≥=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立，故选：C．17．等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，则数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是（）A．S7或S8B．S12C．S13D．S14【解答】解：等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，设公差为d，则3（a1+4d）=7（a1+9d），解得d=﹣．∴a n=a1+（n﹣1）d=．令＜0，可得n＞，故当n≥14时，a n＞0，当n≤13时，a n＜0，故数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是S13，故选：C．18．如图，点列{A n}、{B n}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+2，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{d n}是等差数列 B．{S n}是等差数列C．{d}是等差数列D．{S}是等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，由于a，c不确定，则{d n}不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n，则数列{S n}为等差数列．故选：B．三.解答题19．已知函数f（x）=，其中a为常数；（1）当a=2时，解不等式f（x）≥1；（2）当a＜0时，求函数f（x）在x∈（1，3]上的值域．【解答】解：（1）a=2，不等式f（x）≥1即为，化简为（x﹣1）（x ﹣2）（x﹣3）≥0且x≠1，所以不等式的解集为：（1，2]∪[3，+∞）；（2）当a＜0时所以f（x）==x﹣3+，此函数为增函数，所以x ∈（1，3]的值域为（﹣∞，]．20．已知f（x）=sin2x﹣2sin2x，（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．【解答】解：（1）因为f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，…（4分）所以，函数的周期为T==π，即函数f（x）的最小正周期为π．…（5分）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，所以f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]．…（7分）（2）因为﹣≤x≤，得﹣≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1．…（8分）∴﹣2≤2sin（2x+）﹣1≤1，…（10分）所以，函数f（x）的最大值为1．…（12分）此时，2x+=，即x=．…（14分）21．某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为R=40cm，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）为l=280cm （假定四个轮胎中心构成一个矩形）．当该型号汽车开上一段上坡路ABC（如图（1）所示，其中∠ABC=a（），且前轮E已在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时，后轮中心在H处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路）．设前轮中心在E和G处时与地面的接触点分别为S和T，且BS=60cm，ST=100cm．（其它因素忽略不计）（1）如图（2）所示，FH和GE的延长线交于点O，求证：OE=40cot（cm）；（2）当a=π时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米？（精确到1cm）【解答】解：（1）由OE∥BC，OH∥AB，得∠EOH=α，…..（2分）过点B作BM⊥OE，BN⊥OH，则Rt△OMB Rt△ONB，从而∠BOM=．…..（4分）在Rt△OMB中，由BM=40得OM=40cot，从而，OE=OM+ME=OM+BS=40cot+60．…..（6分）（2）由（1）结论得OE=+60．设OH=x，OF=y，在△OHG中，由余弦定理得，2802=x2+（+60+100）2﹣2x（+60+100）cos150°，解得x≈118.8cm．…..（9分）在△OEF中，由余弦定理得，2802=y2+（+60）2﹣2y（+60）cos150°，解得y≈216.5cm．…..（12分）所以，FH=y﹣x≈98cm，即后轮中心从F处移动到H处实际移动了约98cm．…（14分）22．数列{a n}的前n项和记为S n且满足S n=2a n﹣1，n∈N*；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1a n a n+1，求{T n}的通项公式；（3）设有m项的数列{b n}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+）+lg （1+）+…+lg（1+）=lg（log2a m）．问数列{b n}最多有几项？并求出这些项的和．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣1，n∈N*；∴n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为1．∴a n=2n﹣1．（2）a n a n+1=2n﹣1•2n=．∴T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1a n a n+1=+…+（﹣1）n+1×4n]==[1﹣（﹣4）n]．（3）由lg2+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg（log2a m）．∴××…×=log2a m=m﹣1．又数列{b n}是连续的正整数数列，∴b n=b n﹣1+1．∴=m﹣1，又b m=b1+（m﹣1），∴mb1﹣3b1﹣2m=0，∴m==3+，由m∈N*，∴b1＞2，∴b1=3时，m的最大值为9．∴这些项的和=3+4+…+11=63．23．如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．【解答】解：（1）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．（2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，∴f（x）=f（﹣x）．设x≥0，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2∴f（x）=当t≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，∴x=1时y max=（1﹣t）2，当0＜t＜时，y=f（x）在[0，t]上递减，在[t，1]上递增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，∴x=1时y max=（1﹣t）2，当t≥时，∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，∴x=0时，y max=t2，综上所述：当t＜时，y max=f（1）=（1﹣t）2，当t≥y max=f（0）=t2，（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．又≤x≤设，则﹣≤x﹣1≤，g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．再设n﹣≤x≤n+（n∈z），当n=2k（k∈z），则2k﹣≤x≤2k+，则﹣≤x﹣2k≤，g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；当n=2k+1（k∈z），则2k+1﹣≤x≤2k+1+，则≤x﹣2k≤g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；∴g （x ）=∴对于n ﹣≤x ≤n +，（n ∈z ），都有g （x ）=|x ﹣n |，而n +1﹣＜x +1＜n +1+， ∴g （x +1）=|（x +1）﹣（n +1）|=|x ﹣n |=g （x ）， ∴y=g （x ）是周期为1的函数．①当m ＞0时，要使y=mx 与y=g （x ）有1001个交点，只要y=mx 与y=g （x ）在[0，500）有1000个交点，而在[500，501]有一个交点． ∴y=mx 过（，），从而得m=②当m ＜0时，同理可得m=﹣③当m=0时，不合题意． 综上所述m=±赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。