联合熵与条件熵
教育信息处理课后答案
第一章教育信息概述1、试举例说明什么是信息，什么是数据和知识，彼此间有什么关系。
简单地讲，通过信息，可以告诉我们某件事情，可以使我们增加一定的知识。
信息被定义为熵的减少，即信息可以消除人们对事物认识的不确定性，并将消除不确定程度的多少作为信息量的量度。
比如我们在每天都会收看电视节目预报，在掌握了当天晚上的电视节目的信息后。
我们对于当晚要看什么电视，在哪个电台看等一些认识的不确定性就得以消除，而消除的程度就取决于我们对电视节目了解的多少即信息量的多少。
数据是信息的素材，是在各种现象和事件中收集的。
当我们根据一定的利用目的，采取相应的形式对数据进行处理后，就可得到新的信息（制作出新的信息）。
比如天气预报中的气温，天气情况多云、阴等。
知识是一种信息，是在对数据、信息理解的基础上，以某种可利用的形式，高度民主组织化后的可记忆的信息。
比如说，我们在看完书后，我们将书中的故事情节有机的组合，在加上自身对于故事的理解，将整个故事重新阐述，记忆在大脑中。
2、试从信息的特点说明信息产业与其他产业相比较，有什么特点由于信息不具大小，无论怎样小的空间，都可存放大量的信息，无论怎样狭窄的通道，都能高速地传递大量的信息。
信息产业是一种省空间、省能源的产业。
信息由于没有重量，在处理时，不需要能量。
信息产业是一种省能源产业。
信息一旦产生，很容易复制，它有利于大量生产。
3、说明教育信息数量化的特点和方法教育信息的数量化特点：不连续性和不可加性。
比如人的IQ4、从教育信息、教育信息所处理的对象和教育信息的结构化特点出发，说明用于教育信息处理的方法。
（1）加强与其他学科的交流。
教育信息处理是一种跨多门学科的综合性学科领域。
它涉及教育学、心理学、认知科学、信息科学等多门学科的研究。
教育信息处理应努力与这些学科进行交流，学习他们的思想、方法，学习它们的理论、技术，努力地完善自己，在实践的基础上，确立自己的理论和方法。
（2）从行为向认知变换。
联合熵与条件熵
第6讲 联合熵与条件熵信息熵H(X)反映了随机变量X 的取值不确定性。
当X 是常量时，其信息熵最小，等于0；当X 有n 个取值时，当且仅当这些取值的机会均等时，信息熵H(X)最大，等于log n 比特。
我们拓展信息熵H(X)的概念，考虑两个随机变量X 和Y 的联合熵H(XY)和条件熵H(Y|X)。
1. 联合熵设X ，Y 是两个随机变量， 则(X,Y)是二维随机变量，简写为XY 。
二维随机变量XY 的联合概率分布记为p (xy )，即根据信息熵的定义可知，XY 的信息熵为定义1.1 二维随机变量XY 的信息熵H(XY)称为X 与Y 的联合熵（joint entropy ）。
它反映了二维随机变量XY 的取值不确定性。
我们把它理解为X 和Y 取值的总的不确定性。
练习：假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。
甲里面有红蓝色球各50个，乙里面红、蓝色的球分别为99个和1个。
试计算H(XY)我们将联合熵概念推广到任意多离散型随机变量上。
定义1.2 一组随机变量12,,,N X X X 的联合熵定义为注：为了简化记号，我们有时把12N X X X 记为X N ，把12N x x x 记为x N 。
物理意义：（1）12()N X H X X 是这一组随机变量平均每一批取值 所传递的信息量。
（2）若N-维随机变量12N X X X 表示某信源产生的任意一条长度为N 的消息，则12()N X H X X 是平均每条长度为N 的消息的信息量。
因此，若该信源产生一个长度为N 的消息，则在不知道其它条件的情况下，对该消息所含信息量的最优估计为N-维信息熵12()N X H X X 。
联合熵的性质：联合熵熵函数的一种特殊形式，所以熵函数的任何数学性质都适用于联合熵，包括：非负性、可加性、严格上凸性和最大离散熵原理，等等。
当然，联合熵还有自己的特殊性质。
定理1.4（联合熵的独立界）2121()()()()N N H X X H X H X H X X ≤+++其中等号成立的充要条件是所有随机变量相互独立。
信息论基础——熵
信息论基础——熵
熵、联合熵与条件熵
所以
H(XY) p (x iy j)I(x iy j) p (x iy j)lo p (x ig y j)
i,j
i,j
p(xiyj)lop(g yj)p(xi/yj)
i,j
p (x iy j)lo p (y g j) p (x iy j)lo p (x g i/y j)
说明：
从数学角度： H(P)= pi ·log pi 中的和式满足交换率；
从随机变量的角度：熵只与随机变量的总体统计特性有关。
信息论基础——熵
信息熵的基本性质
一个例子：
P ( x x ) 1 a / 1 3 1 a / 2 6 1 a / 3 2 , P ( y y ) 1 a / 1 6 1 a / 2 2 1 a / 3 3 , P ( z z ) 1 a / 1 3 1 a / 2 2 1 a / 3 6 H(X)H(1,1,1)1.45(B9/iSt ym ) bol 362 H(Y)H(1,1,1)1.45(B9/iSt ym ) lob H (X )H (Y)H (Z) 623 H(Z)H(1,1,1)1.45 (B9/iSt ym ) bol 326
由熵联合熵与条件熵ijijixypxpyxp?jijyxpyp??ijjiyxpiixp???j?jyphxyhyhxy所以?xyh?iyjy?ixix??jjijijjijiyxpyxpyxiyxplogloglogxxppyyppyypp?i????熵联合熵与条件熵ijjjlogjjjypyp?h??logjijijiyxpyxp??yxhy??loglogjijijijijjiyxpyxpypyxp????例例某一二维离散信源某一二维离散信源其发出的符号只与前一个符号有关其发出的符号只与前一个符号有关即可用联合概率xxjj给出它们的关联程度给出它们的关联程度如下表所示如下表所示即可用联合概率pxpxii14194361121031??????????????????iipxpxpxpxiixxjjjjxi??求信源的熵求信源的熵hxhx条件熵条件熵hxhx22xx11和联合熵和联合熵hxhx11xx22
第二章-信息量和熵
H XY EX ,Y I (xi , y j )
EY EX I (xi , y j )
2.平均自信息量--熵 联合熵H（XY）与熵H（X）及条件熵H
（X/Y）之间存在下列关系 ：
H（XY）＝H（X）＋H（Y／X） H（XY）＝H（Y）＋H（X／Y）
三维联合符号集合XYZ上的共熵H(XYZ):
I(xi; yj ) [lbp(xi )][lbp(xi | yj )] I(xi ) I(xi | yj )
1.互信息量
即互信息量为后验概率与先验概率比值的对数 :
I ( xi; y j )
lb
p ( xi / y j ) p ( xi )
p(xi) ——先验概率：信源发xi的概率 p(xi/yj)——后验概率：信宿收到yj后，推测信源发xi的概率
2.平均自信息量--熵
熵的性质
(4).条件熵不大于信源熵(无条件熵)
H(X/Y) ≤ H(X) H(Y/X) ≤ H(Y)
当且仅当Y和X相互独立时，式取等
物理含义：从平均意义上讲，条件熵在一般情形下总是小于无条件熵。从直 观上说，由于事物总是联系的，因此对随机变量X的了解平均讲总能使Y 的不确定性减少。同样，对Y的了解也会减少X的不确定性。
(1) yj对xi的互信息 I(xi;yj)
I(xi;yj)= I(xi)- I(xi/yj) [含义] 互信息I(xi;yj) =自信息I(xi) - 条件自信息I(xi/yj)
＊I(xi) -----信宿收到yj之前，对信源发xi的不确定度 ＊ I(xi/yj) -----信宿收到yj之后，对信源发xi的不确定度 ＊ I(xi;yj) -----收到yj而得到(关于xi )的互信息
相应地，在给定随机变量X的条件下，Y集合的条件
2.2熵函数的性质
2.2 熵函数的性质熵函数•H(P)是概率矢量P 的函数，称为熵函数。
•表示方法：–用H(x)表示随机变量x 的熵；–用H(P)或H(p 1, p 2 , …, p q )表示概率矢量为P = (p 1, p 2, …, p q )的q 个符号信源的熵。
–若当q =2 时，因为p 1+p 2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p 1)或H(p 2)。
•熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。
2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0…,0)=0•性质说明：这个信源是一个确知信源，其熵等于零。
3、非负性：H(P) ≥0•说明：–这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源来说这一性质并不存在。
以后可看到在相对熵的概念下，可能出现负值。
非负性体现信息是非负的。
4、扩展性•性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。
),...,,(),,...,,(lim 212110q q q q p p p H p p p H =−+→εεε),,,(log 211q q qi i i p p p H p p ⋅⋅⋅=−=∑=}log )log()(log {lim 110εεεεε∑−=→−−−−−=q i q q i i p p p p 所以，上式成立),,,,(lim 2110εεε−⋅⋅⋅+→q q p p p H 因为5、可加性()()(/)()()(/)(|)(|)(/)H X Y H X H Y X H X Y H Y H X Y H X Y Z H X Z H Y X Z =+=+=+统计独立信源X 和Y 的联合信源的熵等于信源X 和Y 各自的熵之和。
H(XY) = H(X)+ H(Y)可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。
222()log ()()log (/)log ()()(/)()(/):()()(/)(/)1i j i i j j i ijiji i j i j yp x y q x p x y p y x q x p x y H Y X H X H Y X p xy q x p y x p y x =−−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦=+==∑∑∑∑∑∑∑利用可加性证明22()()log ()()log [()(/)]i j i j iji j i j i ijH XY p x y p x y p x y q x p y x =−=−∑∑∑∑同理=+H XY Z H X Z H Y XZ(|)(|)(/)复习链式法则()()()|H X Y HX HYX=+()()()()()()121213*********...//.../.../...n n n ni i i H X X X H X H X X H X X X H X X X X H X X X X −−==++++=∑复习熵函数的性质H(p 1,p 2,…, p n )对称性非负性极值性连续性扩展性可加性()()()()()()()()()1222122211111211122112221,,...,,...,,...,,,.,,...,,,..,,,...,||n nn n n n n n m nn i i x m i im i Xm q H q p q p q p H q q q q H p p p H XY H X H Y X p q q q p q p H X q x H q x p Y q p =∈=+=+=+∑∑定理：1. H(X/Y ) ≤H (X )2. H (XY ) ≤H (X )+H (Y )证明：222(/)((/)()log (/)()/)(/)()log ()log ()i j i j ijj ji j i j i j i j j i i p x y p x y p H X Y p x y p x y p y p y H p x X x y =−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤≤−⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑∑∑()()/j H X y H X 与大小比较?\1211/81/825/81/8x y ()()/j H X y H X 与大小比较?定义概率矢量满足仅K-1个分量独立。
最新信息论重点-(新)
1．消息定义信息的通俗概念：消息就是信息,用文字、符号、数据、语言、音符、图片、图像等能够被人们感觉器官所感知的形式，把客观物质运动和主观思维活动的状态表达出来，就成为消息，消息中包含信息，消息是信息的载体。
信号是表示消息的物理量，包括电信号、光信号等。
信号中携带着消息，信号是消息的载体。
信息的狭义概念（香农信息）:信息是对事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。
信息的广义概念 信息是认识主体(人、生物、机器)所感受的和表达的事物运动的状态和运动状态变化的方式。
语法信息(语法信息是指信息存在和运动的状态与方式。
) 语义信息(语义信息是指信宿接收和理解的信息的内容。
) 语用信息(语用信息是指信息内容对信宿的有用性。
)2．狭义信息论、广义信息论。
狭义信息论：信息论是在信息可以量度的基础上，对如何有效，可靠地传递信息进行研究的科学。
它涉及信息量度，信息特性，信息传输速率，信道容量，干扰对信息传输的影响等方面的知识。
广义信息论：信息是物质的普遍属性，所谓物质系统的信息是指它所属的物理系统在同一切其他物质系统全面相互作用（或联系）过程中，以质、能和波动的形式所呈现的结构、状态和历史。
包含通信的全部统计问题的研究，除了香农信息论之外，还包括信号设计，噪声理论，信号的检测与估值等。
3.自信息 互信息 定义 性质及物理意义 自信息量： ()log ()i x i I x P x =-是无量纲的，一般根据对数的底来定义单位：当对数底为2时，自信息量的单位为比特；对数底为e 时，其单位为奈特；对数底为10时，其单位为哈特自信息量性质：I(x i )是随机量；I(x i )是非负值；I(x i )是P(x i )的单调递减函数。
自信息物理意义: 1.事件发生前描述该事件发生的不确定性的大小 2.事件发生后表示该事件所含有（提供）的信息量 互信息量:互信息量的性质：1) 互信息的对称性2) 互信息可为零3) 互信息可为正值或负值4) 任何两个事件之间的互信息不可能大于其中任一事件的自信息互信息物理意义: 1.表示事件 yj 出现前后关于事件xi 的不确定性减少的量 2.事件 yj 出现以后信宿获得的关于事件 xi 的信息量4.平均自信息性质 平均互信息性质平均自信息（信息熵/信源熵/香农熵/无条件熵/熵函数/熵）：(;)()(|)i j i i j I x y I x I x y =-log ()log (|)(1,2,,;1,2,,)i i jp x p x y i n j m =-+=⋯=⋯(|)log ()i j i p x y p x =1()[()][log ()]()log ()ni i i i i H X E I x E p x p x p x ===-=-∑熵函数的数学特性包括:(1)对称性 p =(p1p2…pn)各分量次序可调换 (2)确定性p 中只要有为1的分量，H(p )为0(3)非负性离散信源的熵满足非负性，而连续信源的熵可能为负。
条件熵与相对熵
条件熵与相对熵
条件熵和相对熵是信息论中的两个重要概念，它们都用于度量信息的不确定性或随机变量的不确定性。
条件熵是在某个给定条件下，随机变量熵的大小。
具体来说，条件熵是条件概率分布的熵对某个随机变量的期望。
它可以用来衡量在已知某个随机变量的条件下，另一个随机变量的不确定性。
条件熵的计算公式为H(Y|X) = H(X,Y) - H(X)，其中H(X,Y)表示随机变量X和Y的联合熵，H(X)表示随机变量X的熵。
相对熵（也称为Kullback-Leibler散度或信息散度）是两个概率分布之间差异的非对称性度量。
它可以用来衡量两个概率分布之间的相似性或差异性。
如果两个概率分布相同，相对熵为0；如果两个概率分布完全不同，相对熵最大。
相对熵的计算公式为DKL(P||Q) = ∑p(x)log(p(x)/q(x))，其中P和Q是两个概率分布，p(x)和q(x)分别是P和Q的概率质量函数或概率密度函数。
条件熵和相对熵在信息论、机器学习和数据压缩等领域中有广泛的应用。
例如，在最大熵模型中，条件熵被用作模型输出的不确定性度量；在自然语言处理中，相对熵被用来衡量两个语言模型之间的相似性；在图像处理中，相对熵被用来实现图像的压缩和去噪等。
教育信息处理复习
2、教材结构化的分析方法【可考查形式：选择或填空】
学习层级法
课题分析法
逻辑分析法
二、用ISM法分析教材结构
P67-74
1、ISM法【可考查形式：名词解释】
ISM法：是将图论用亍研究社会系统中复杂要素间关联结 构分析的一种斱法。它的重要特点是：在教材分析中，最 大限度地纳入了人们的经验和主观认识，幵将教材结构以 易亍理觋的、可视化的图形予以呈现。
数据和呈现结果几部分构成。
应答分析系统的教育特性主要表现在：（1）课堂教学中，
不学生丼手回答问题，戒教师指定学生回答问题丌同，学生
使用应答器回答问题是独立完成的，不其他学生间丌产生仸
何影响。（2）系统丌仅能知道某一位学生，在某一时刻对
某一问题的应答结果，还能知道全班学生在规定时间内的积
累效果。（3）可对每一位学生的应答数据迚行实时记录。
信息熵是表示信源输出后，每个消息所提供的平均信息量
k 等价（有效）预选项数计算： 2H
一、熵的概述
P30-33
2、信息熵的性质【可考查形式：简答】
（1）单峰性；
（2）对称性，系统的熵不事件的顺序无关
（3）渐化Βιβλιοθήκη ； （4）展开性； （5）确定性。
3、冗余度【可考查形式：选择或判断】
素间的各种关系，明确教学的整体结构形式和特点，在此基础，
通过一定的分析，得到某种知识和信息，幵通过这种知识和信息
来完善教学、完善教材开发的诸项活动。
2、教学分析方法【可考查形式：填空或选择或判断】
逐语记录法：一种用亍以语言的斱式迚行教学的教学分析法。在
逐语记录时，应首先对教师、学生发言中的各种品词迚行分类
二、教育信息的数量化
2.3二元联合信源的联合熵与条件熵
2.3二元联合信源的联合熵（共熵）与条件熵讨论两个信源的情况。
如前所述，信源的概率空间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(Xp X 类似地信源的概率空间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(Y p Y 这两个信源，即二元联合信源的概率空间，可以由其联合概率空间来描述。
2.3.1共熵研究二元联合信源的熵即共熵。
二元联合信源的共熵可以按照单信源熵的定义写出：∑∑==-=ni mj xiyj lbp xiyj p XY H 11)()()(研究单信源熵与联合概率的关系.2.3.2条件熵条件熵不能由单信源熵定义直接写出，而是由其共熵导出。
H(XY)=H(X)+H(Y/X) (2.3.3)二元联合信源的共熵还可以写成：H(XY)=H(Y)+H(X/Y)(2.3.4)[例2.3.1]仍以[例2.1.5]为例验证式（2.3.3），（2.3.4）的正确性。
推论１：推论２：[例2.3.2]有一离散信源具有三个消息A、B、C，发出的消息序列前后符号具有相关性，其中相关性可用下表中的条件概率来描述，求该离散信源的熵。
某地二月份天气构成的信源为现有人告诉你:“今天不是晴天。
”，把这句话作为收到的消息y1。
当收到消息y1 后，各种天气发生的概率变成后验概率了。
其中计算 与各种天气之间的互信息量。
各种熵之间的关系⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡81,81,41,21)(),(),(),()(4321雪雨阴晴x x x x X P X 41)/(;41)/(;21)/(;0)/(14131211====y x p y x p y x p y x p 互信息量为负值的不确定度更大反而使的不确定度减少不仅没有使后说明收到消息比特的不确定度各减少了使也可理解为消息比特的信息量各分别得到了这表明从同理对天气信息量之间与不必再考虑对天气→-∞========∴=。
x ，x ，y bit x p y x p y x I 。
，x x ，x y ，，x ，x x y bit y x I y x I bit x p y x p y x I x 。
熵概念
二.联合熵
如果X，Y是一对离散型随机变量X，Y~p(x,y)， X，Y的联合熵(joint entropy)H(X,Y)定义为: H(X,Y)=- p(x,y)logp(x,y)
xX yY
联合熵实际上就是描述一对随机变量平均所需要的信息量。
三.条件熵
给定随机变量X的情况下，随机变量Y的 条件熵(conditional entropy)为： H(Y | X ) p( x) H (Y | X x) p ( x)[ p ( y | x) log p ( y | x)]
xX yY
p( x, y )[log p( x) log p( y | x)]
xX yY
p( x, y ) log p( x) p( x, y ) log p( y | x)
xX yY xX yY
p( x) log p( x) p( x, y ) log p( y | x)
概念及定义
一．熵 二．联合熵 三．条件熵 四．相对熵 五．互信息 六．最大熵
一 .熵
如果X是一个离散型随机变量，取值空间为R， 概率分布为p(x)=P(X=x),x R。那么，X的熵H(X)为： H(X)=- p( x) log 2 p( x)
xR
熵又称为自信息，可以视为描述一个随机变量的不确定性。 一个随机变量的熵越大，它的不确定性越大，正确估计其值的可能 性就越小。越不确定的随机变量越需要大的信息量来确定其值。
x X yY xX
p ( x, y ) log p( y | x)
x X yY
X 加进来之后，等于引入了知识，能减小Y的不确定性。 所以知识能减小熵。
ห้องสมุดไป่ตู้
条件熵的公式
条件熵（conditional entropy）是信息论中的一个重要概念，它是用来衡量在给定一组先验知识的条件下，对一个随机变量的不确定性的度量。
条件熵的公式为：H(Y|X) = -∑y P(Y=y) log_2 P(X=x|Y=y)其中，Y 是随机变量，X 是另一个随机变量，且 P(X=x|Y=y) 是X 在 Y 取某个值 y 时的条件概率。
P(Y=y) 是 Y 取某个值 y 的概率。
这个公式的含义是，在给定 X 的情况下，我们对 Y 的不确定性可以通过计算 H(Y|X) 来得到。
H(Y|X) 的值越大，说明在给定 X 的情况下，我们对 Y 的不确定性就越大。
例如，假设我们有一个掷骰子的游戏，其中 X 表示掷出的点数，Y 表示掷出的奇数点数。
我们可以计算出 P(X=x|Y=y)，即在 Y 取某个值 y 时，X 取某个值 x 的概率。
例如，当 Y=1 时，P(X=1|Y=1) = 1/2，表示在掷出奇数点数的情况下，掷出 1 点的概率是 1/2。
然后，我们可以计算出 H(Y|X)，即在给定 X 的情况下，我们对Y 的不确定性。
例如，当 X=1 时，我们可以计算出：H(Y|X=1) = -∑y P(Y=y) log_2 P(X=1|Y=y)= -1*(1/2)*log_2(1/2)= 1因此，在给定 X=1 的情况下，我们对 Y 的不确定性是 1。
这意味着，在给定 X=1 的情况下，我们无法确定 Y 是否会取到 1。
需要注意的是，条件熵是一个相对概念，它是相对于给定的先验知识而言的。
如果我们对 X 和 Y 的关系有更多的了解，那么条件熵的值就会减小。
例如，如果我们知道 X 和 Y 是独立的，即 P(X=x|Y=y) = P(X=x)，那么条件熵就会变为 0，表示在给定 X 的情况下，我们对 Y 的不确定性就消失了。
详解机器学习中的熵、联合熵、条件熵、相对熵和交叉熵
详解机器学习中的熵、联合熵、条件熵、相对熵和交叉熵原⽂地址：1、信息熵 (information entropy)熵 (entropy) 这⼀词最初来源于热⼒学。
1948年，克劳德·爱尔伍德·⾹农将热⼒学中的熵引⼊信息论，所以也被称为⾹农熵 (Shannon entropy)，信息熵 (information entropy)。
本⽂只讨论信息熵。
⾸先，我们先来理解⼀下信息这个概念。
信息是⼀个很抽象的概念，百度百科将它定义为：指⾳讯、消息、通讯系统传输和处理的对象，泛指⼈类社会传播的⼀切内容。
那信息可以被量化么？可以的！⾹农提出的“信息熵”概念解决了这⼀问题。
⼀条信息的信息量⼤⼩和它的不确定性有直接的关系。
我们需要搞清楚⼀件⾮常⾮常不确定的事，或者是我们⼀⽆所知的事，就需要了解⼤量的信息。
相反，如果我们对某件事已经有了较多的了解，我们就不需要太多的信息就能把它搞清楚。
所以，从这个⾓度，我们可以认为，信息量的度量就等于不确定性的多少。
⽐如，有⼈说⼴东下雪了。
对于这句话，我们是⼗分不确定的。
因为⼴东⼏⼗年来下雪的次数寥寥⽆⼏。
为了搞清楚，我们就要去看天⽓预报，新闻，询问在⼴东的朋友，⽽这就需要⼤量的信息，信息熵很⾼。
再⽐如，中国男⾜进军2022年卡塔尔世界杯决赛圈。
对于这句话，因为确定性很⾼，⼏乎不需要引⼊信息，信息熵很低。
其中负号是⽤来保证信息量是正数或者零。
⽽ log 函数基的选择是任意的（信息论中基常常选择为2，因此信息的单位为⽐特bits；⽽机器学习中基常常选择为⾃然常数，因此单位常常被称为奈特nats）。
I(x) 也被称为随机变量 x 的⾃信息 (self-information)，描述的是随机变量的某个事件发⽣所带来的信息量。
图像如图：H(X) 就被称为随机变量 x 的熵,它是表⽰随机变量不确定的度量，是对所有可能发⽣的事件产⽣的信息量的期望。
从公式可得，随机变量的取值个数越多，状态数也就越多，信息熵就越⼤，混乱程度就越⼤。
信息论 联合熵和损失熵-概述说明以及解释
信息论联合熵和损失熵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述信息论是一门研究信息传输和处理的学科，它是由克劳德·香农在20世纪40年代提出的。
信息论的核心概念是信息熵，它描述了信息的不确定性和信息的平均量。
在信息论中，除了信息熵，还有联合熵和条件熵等重要概念。
联合熵指的是多个随机变量一起产生的信息量的平均值，它可以衡量多个随机变量之间的不确定性。
条件熵则是在已知某些信息的条件下，另一随机变量的不确定性。
联合熵和条件熵在信息理论中有着重要的应用，可以帮助我们理解信息的传输、数据的压缩以及通信系统的设计等方面。
本文将深入探讨信息论中的联合熵和损失熵的概念，并分析它们在信息传输和处理过程中的作用。
通过对这些概念的研究，我们可以更好地理解信息的特性，提高信息传输的效率，以及优化数据处理的方法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容:本文将分为引言、正文和结论三个部分进行阐述。
在引言部分中，将概述信息论的基本概念，并介绍本文的结构和目的。
在正文部分，将首先介绍信息论的基础知识，包括信息论的概念、信息熵等内容。
接着会详细探讨联合熵的重要性，包括联合熵的定义与计算、应用以及与信息传输的关系。
最后，将讨论损失熵的概念与应用，包括损失熵的定义、在数据压缩中的作用以及与信息传输的关联。
在结论部分，将对信息论中的联合熵和损失熵进行总结，并提出未来的研究方向和结论。
整体结构清晰，逻辑性强，有助于读者更好地理解信息论中的重要概念。
1.3 目的本文旨在深入探讨信息论中的联合熵和损失熵这两个重要概念。
通过对联合熵和损失熵的定义、计算方法以及在信息理论中的应用进行详细分析，旨在帮助读者更好地理解信息熵的概念，并掌握其在数据处理和信息传输中的作用。
同时，本文也将探讨联合熵和损失熵在数据压缩、信息传输等领域的应用，以及它们与信息传输过程中的关联，从而为读者深入理解信息论的基础知识提供有益的参考和指导。
通过本文的学习，读者可以更好地应用信息论原理解决实际问题，提高信息处理和传输的效率和准确性。
机器学习中各种熵的定义及理解
机器学习中各种熵的定义及理解机器学习领域有⼀个⼗分有魅⼒的词：熵。
然⽽究竟什么是熵，相信多数⼈都能说出⼀⼆，但⼜不能清晰的表达出来。
⽽笔者对熵的理解是：“拒绝学习、拒绝提升的⼈是没有未来的，也只有努⼒才能变成⾃⼰想成为的⼈”。
下图是对熵的⼀个简单描述：熵可以理解为是⼀种对⽆序状态的度量⽅式。
那么熵⼜是如何被⽤在机器学习中呢？在机器学习领域中，量化与随机事件相关的预期信息量以及量化概率分布之间的相似性是常见的问题。
针对这类问题，利⽤⾹农熵以及衍⽣的其他熵概念去度量概率分布的信息量是个很好的解决⽅案。
本⽂会尽可能⽤简单的描述分享⾃⼰对各种熵的定义及理解，欢迎交流讨论。
1. ⾃信息⾃信息⼜称信息量。
“陈⽻凡吸毒？！⼯作室不是刚辟谣了吗？哇！信息量好⼤！”在⽣活中，极少发⽣的事情最容易引起吃⽠群众的关注。
⽽经常发⽣的事情则不会引起注意，⽐如吃⽠群众从来不会去关系明天太阳会不会东边升起。
也就是说，信息量的多少与事件发⽣概率的⼤⼩成反⽐。
对于已发⽣的事件i，其所提供的信息量为：其中底数通常为2，负号的⽬的是为了保证信息量不为负。
事件i发⽣的概率与对应信息量的关系如下所⽰：我们再考虑⼀个问题：假设事件x个可能的状态，例如⼀枚硬币抛出落地后可能有两种状态，正⾯或反⾯朝上，这时候该怎样取衡量事件所提供的信息量？2. 信息熵信息熵⼜称⾹农熵。
到⽬前为⽌，我们只讨论了⾃信息。
实际上，对于⼀枚硬币来讲，⾃信息实际上等于信息熵，因为⽆论正反⾯，朝上的概率都相等。
信息熵⽤来度量⼀个事件可能具有多个状态下的信息量，也可以认为是信息量关于事件概率分布的期望值：其中事件x共有n个状态，i表⽰第i个状态，底数b通常设为2，也可设为10或e。
H(x)表⽰⽤以消除这个事件的不确定性所需要的统计信息量，即信息熵。
还是以抛硬币为例来理解信息熵：事件概率信息量（⾃信息）信息熵（统计信息量）正⾯朝上1/2-log(1/2)(-1/2 * log(1/2))+( -1/2 * log(1/2))反⾯朝上1/2-log(1/2)(-1/2 * log(1/2))+( -1/2 * log(1/2))根据信息熵公式可得出以下结论：1. 若事件x个状态发⽣概率为1，那么信息熵H(x)等于02. 若事件x的所有状态n发⽣概率都⼀致，即都为1/n，那么信息熵H(x)有极⼤值logn。
一文搞懂各种“熵”
⼀⽂搞懂各种“熵”熵是信息论⾮常重要的概念。
本⽂简要介绍⼀下⼏个概念：熵联合熵条件熵相对熵交叉熵熵随机变量X的分布的熵为：H(X)=−∑x p(x)log p(x)性质：熵是随机变量不确定性的度量，随机变量的取值个数越多，不确定性越⼤，混乱程度就越⼤，信息熵越⼤。
熵的取值范围为0≤H(X)≤log(n)，n表⽰取值的个数，当随机分布为均匀分布时，熵取到最⼤值在信息传输⽅⾯，熵是传输⼀个随机变量状态值所需的⽐特位下界（最短平均编码长度）联合熵H(X,Y)=−∑x∑y p(x,y)log p(x,y)条件熵H(Y|X)=−∑x,y p(x,y)log p(y|x)推导过程：H(Y|X)=−∑x p(x)H(Y|X=x)=−∑x p(x)∑y p(y|x)log p(y|x)=−∑x∑y p(x,y)log p(y|x)=−∑x,y p(x,y)log p(y|x)性质：H(X,Y)=H(Y|X)+H(X)推导过程：H(X,Y)=−∑x∑y p(x,y)log p(x,y)=−∑x∑y p(x,y)[log p(y|x)+log p(x)]=−∑x∑y p(x,y)log p(y|x)−∑x∑y p(x,y)log p(x)=H(Y|X)−∑x log p(x)∑y p(x,y)=H(Y|X)−∑x[log p(x)]p(x)=H(Y|X)+H(X)其中∑y p(x,y)就是边缘概率。
相对熵(relative entropy)相对熵也称KL散度(KL divergence)，衡量的是两个概率分布之间的差异。
D KL(p,q)=∑x p(x)logp(x)q(x)性质：相对熵不具有对称性相对熵的取值是⼤于等于0如果p和q两个概率分布相同，相对熵为0可以把相对熵看成⼀个加权平均，其中概率p(x)为权重，对每个p(x)计算⼀个值p(x)/q(x)交叉熵(cross entropy)H(p,q)=−∑x p(x)log q(x)性质：D KL(p,q)=H(p,q)−H(p)推导：H(p,q)−H(p)=−∑x p(x)log q(x)+∑x p(x)log p(x)=∑x p(x)logp(x)q(x)=D KL(p,q)重头戏来了：为什么使⽤交叉熵⽽不是相对熵来作为损失函数？交叉熵和相对熵都是⾮负的，都不是对称的。
信息论各种熵之间的关系
熵是信息论中的一个基本概念，表示数据集中不确定性的度量。信息增益则是机器学习中常用的概念，用于衡量 特征对分类的贡献。在信息增益的计算中，通常会用到熵来度量数据集的不确定性。通过计算每个特征的信息增 益，可以确定该特征对于分类的贡献程度，从而在特征选择和模型构建中起到关键作用。
熵与互信息
总结词
计算熵。
02
各种熵之间的关系
熵与信息熵
熵
01
熵是系统不确定性的度量，表示系统随机变量的平均信息量。
信息熵
02
信息熵是信息论中用于度量信息的不确定性和随机性的概念，
与熵相似，但应用于信息领域。
关系
03
信息熵可以被视为熵在信息论中的特例，用于度量信息的不确
定性。
熵与交叉熵
熵
熵是系统不确定性的度量。
熵的物理意义
熵表示系统内部混乱程度或不确定性的度量。
在信息论中，熵用于度量信息的不确定性和混乱程度，即信息的不确定性 和混乱程度越大，熵越大。
熵的物理意义还体现在热力学中，表示系统热平衡状态下的能量分布情况。
熵的计算方法
01 根据定义，计算熵需要知道随机变量的概率分布。 02 对于离散随机变量，可以直接使用公式计算熵。 03 对于连续随机变量，需要先进行离散化处理，再
03
信息论中熵的应用
熵在数据压缩中的应用
熵在数据压缩中用于衡量数据的冗余程 度。通过计算数据中每个符号出现的概 率，可以确定数据压缩的潜力。
数据压缩算法如Huffman编码和算术编码利 用熵的性质，将数据压缩成更小的表示，同 时保留足够的信息以重构原始数据。
熵在数据压缩中的应用有助于减少 存储空间和传输成本，提高数据处 理的效率。
条件熵联合熵及熵的性质
得联合概率：
p(x0y0) = p(x0) p(y0 |x0) = 2/3×3/4 = 1/2 p(x0y1) = p(x0) p(y1 |x0) = 0 p(x0y2) = p(x0) p(y2 |x0) = 2/3×1/4 = 1/6 p(x1y0) = p(x1) p(y0 |x1) = 0 p(x1y1) = p(x1) p(y1 |x1) = 1/3×1/2=1/6 p(x1y2) = p(x1) p(y2 |x1) = 1/3×1/2=1/6
mn
?? ? ?
p ( xi y j ) log p ( xi / y j )
j?1 i?1
nm
?? H (Y / X) ? E[ I ( yj / xi )] ? ?
p(xi y j ) log 2 p( y j / xi )
i?1 j?1
条件熵是一个确定值，表示信宿在收到 Y后，信源X仍然存 在的不确定度。这是传输失真所造成的。有时称 H(X/Y)为 信道疑义度，也称损失熵。称条件熵H(Y/X)为噪声熵。
扩展性
? 扩展性
lim
?? 0
H
K
(
p1
,
p2
,?
, pK ? ?, ?) ? H K ( p1, p2 ,?
, pK )
这说明信源空间中增加某些概率很小的
符号，虽然当发出这些符号时，提供很大的
信息量，但由于其概率接近于 0，在信源熵中
占极小的比重，lim
持不变。
?? 0
?
log
2
?
?
0
，使信源熵保
可加性
? 可加性 H ( XY ) ? H ( X ) ? H (Y / X )
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第6讲 联合熵与条件熵
信息熵H(X)反映了随机变量X 的取值不确定性。
当X 是常量时，其信息熵最小，等于0；当X 有n 个取值时，当且仅当这些取值的机会均等时，信息熵H(X)最大，等于log n 比特。
我们拓展信息熵H(X)的概念，考虑两个随机变量X 和Y 的联合熵H(XY)和条件熵H(Y|X)。
1. 联合熵
设X ，Y 是两个随机变量， 则(X,Y)是二维随机变量，简写为XY 。
二维随机变量XY 的联合概率分布记为p (xy )，即 根据信息熵的定义可知，XY 的信息熵为
定义 二维随机变量XY 的信息熵H(XY)称为X 与Y 的联合熵（joint entropy ）。
它反映了二维随机变量XY 的取值不确定性。
我们把它理解为X 和Y 取值的总的不确定性。
练习：
假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。
甲里面有红蓝色球各50个，乙里面红、蓝色的球分别为99个和1个。
试计算H(XY) 我们将联合熵概念推广到任意多离散型随机变量上。
定义 一组随机变量12,,,N X X X 的联合熵定义为 注：为了简化记号，我们有时把12N X X X 记为X N
，把12
N x x x 记为x N。
物理意义： （1）12
()N X H X X 是这一组随机变量平均每一批取值
所传递的信息量。
（2）若N-维随机变量12N X X X 表示某信源产生的任意一条长度为N 的消息，
则12
()N X H X X 是平均每条长度为N 的消息的信息量。
因此，若该信源产生一
个长度为N 的消息，则在不知道其它条件的情况下，对该消息所含信息量的最优估计为N-维信息熵12
()N X H X X 。
联合熵的性质：
联合熵熵函数的一种特殊形式，所以熵函数的任何数学性质都适用于联合熵，包括：非负性、可加性、严格上凸性和最大离散熵原理，等等。
当然，联合熵还有自己的特殊性质。
定理（联合熵的独立界）2
121()()()()N N H X X H X H X H X X ≤++
+
其中等号成立的充要条件是所有随机变量相互独立。
证明：这里仅证明()()()H Y X X H H Y ≤+，一般情形可类似证明。
设对于XY 的联合分布为p (xy )，X 和Y 的概率分布简记为p (x )，p (y )。
由于 我们有
注意，()()p x p y 构成一个概率分布。
应用信息不等式可得
其中等号成立的充要条件是()()()p xy p x p y =，即X 与Y 相互独立。
证毕 2. 条件熵
条件自信息：1
(|)log
(|)
I y x p y x = 对于任何取值x ，|Y X x =是一个带条件的随机变量，其信息熵为 再对所有x 求熵的平均值可得如下条件熵：
定义 设X ,Y 是两个离散型随机变量，联合分布为p (xy )。
X 相对于Y 的条件熵
H (X|Y )
定义为条件自信息I (X|Y )的期望，即
物理意义：H (X|Y )表示在已知Y 取值的前提下，X 取值的不确定性，亦即X 的每个取值平均所提供的与Y 无关的信息量。
定理（条件熵非负性）对于任何离散型随机变量X 与Y ，都有H(Y|X) ≥0，其中等号成立当且仅当Y 是X 的函数，即X 的取值可确定Y 的取值。
证明 根据定义
由于上述加式中各加项都≤0，所以该加式=0的充要条件是各加项=0，即对于任何x和y，p(y|x)=1或者p(y|x)=0，亦即对于任何x，P(Y|x)是退化分布。
这
表明当X的取值确定时，Y的取值随即确定，即Y是X的函数。
证毕
定理（熵的链法则）对于随机变量序列X1,X2,…和任何N≥1
简记为
其中H1=H(X1)，H2=H( X2|X1)，…，H N=H(X N|X1X2…X N-1)。
证明：首先根据定义直接可得
H(XY)= H(X)+H(Y|X)
应用上述等式，对N用归纳法可证明熵的链法则。
细节略。
证毕
意义：将多个随机变量的联合熵转化为这些随机变量的条件熵之和，可简化计算。
注：链法则与熵的可加性是等价的。
思考：
下列不等式是否成立，其中各等号成立的充要条件是什么
这个性质说明什么请读者尝试命名该性质。
定理（条件熵递减性）对于任何随机变量X和Y，有
H(Y|X)≤ H(Y)
其中等号成立的充要条件是Y与X相互独立。
证明一：根据链法则，
H(XY)=H(X)+H(Y|X)
再根据联合熵的独立界定理，立刻可得
H (Y |X )≤ H (Y )
其中等号成立的充要条件是X 与Y 统计独立。
证毕
在条件熵中，条件越少，熵值越大。
相反，条件越多，熵值越小。
这可理解为，我们知道的越多，则事物的不确定性越小。
证
明二：应用Jessen 不等式证明。
证毕 3. 计算公式
令X ，Y 为离散的随机变量。
公式1. (|)()()H Y X H XY H X =- 公式2. (|)()((|))H Y X P X H P Y X =
其中P (X )是X 的概率分布，为行向量，P (Y |X )是X 到Y 的条件概率矩阵，
((|))H P Y X 是条件概率矩阵中各个行分布(|)P Y x 的熵(|)H Y x 所组成的列向量。
证明：
证
毕
例 设()(0.4,0.6)P X =且 则
记号：以后对于任何N ，我们将N 维随机向量X 1,X 2,…X N 简记为X N 。
注：上述条件熵概念可以推广到多个随机变量熵，例如
H (Y|X 1X 2 …X N )
是在已知随机向量X 1,X 2,…X N 取值的前提下，随机变量Y 的不确定性，亦即Y 的每个取值可以提供的与X 1,X 2,…X N 取值无关的新信息量。
练习设p(xy)如下表所示。
试计算 (1) H(XY) (2) H(X), H(Y)
(3) H(X|Y),
H(Y|X)
练习 已知平均100人中有2人患有某种疾病，为了查明病情，必须进行某项指标的化验。
这种化验的结果对于有病的人总是阳性的，对于健康的人来说有一半可能为阳性、一半可能为阴性。
若X 表示一个人是否罹患这种疾病，Y 表示其化验结果是否为阳性，试计算H(XY)。
作业5
1. 范九伦等所着教材第38页习题（三） 设X 和Y 的联合分布(,)u x y 由下表给出： . 试
计
算
(),(),(),(|),(|),(;)H X
H Y H XY H Y X H X Y I X Y
2. 设一个信源有6种信号，先后输出的信号是独立同分布的，其概率分布为 (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32) （1）该信源输出1个符号所提供的平均信息量。
（2）该信源输出100个符号所提供的平均信息量。
3. 在一段时间内，某城市交通的忙闲天数按天气阴晴和气温冷暖进行分类统计如下：
X
（1） 计算交通忙闲状态的无条件熵。
（2） 计算天气和气温状态下的条件熵。
（3） 计算从天气和气温状态所获得的关于交通状态的信息。
4. 世界职业棒球锦标赛为7场赛制，只要其中一队赢得4场，比赛就结束。
设随机变量X 代表在比赛中A 队和B 队较量的可能结果。
X 的可能取值为AAAA ，BABABAB 和BBBAAAA ，其中A,B 分别表示A 队和B 对获胜。
设Y 代表比赛的场数，取值范围为4到7。
假设A 队和B 队是同等水平的，且每场比赛相互独立。
试计算H(X)，H(Y), H(Y|X)和H(X|Y)。
晴阴
暖 8忙
冷 27暖
16
晴
阴
暖 15闲
冷 4暖 12
冷 12冷 8。