1.2行列式的性质
线性代数1.2行列式的性质
如 1 6 7
1 9 7
137
5 7 3 5 1 3 5 6 3
2 3 9 2 4 9 2 1 9
性质5 将行列式的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行
(列)的对应元素上,行列式的值不变,即:
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 ain k
ai1
ai 2
ain
aj 1 aj 2 ajn
例1计算 阶行列式
3
4 1 2
D
15 2
12 0
9 12 1 1
1 20 3 3
解：注意到行列式第2列元素都有因数4，可将其提出来。
3 1 1 2
3 1 1 2
D
4 15 2
3 0
9 1
12 1
4
3 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
将行列式化成上三角型行列式过程中我们希望第1行、第1列
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pj pi pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
D
p1pj pi pn
证毕。
推论1 若行列式的两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.
第二节 行列式的性质
一 行列式的性质
在计算行列式的时候,一般都不会直接使用定义,通常会 将行列式进行一些变换,化成容易看出结果的形态,此节就是 讨论行列式的变换遵循什么法则.
1.2 行列式的性质(《线性代数》闫厉 著)
a
0
xa
小结
掌握5个性质2个推论
掌握计算行列式的常规方法，见例一
掌握具有特殊结构行列式的计算方法，
见例三
1 1
0 2
D
1
2 1 0
2 1
1 0
解
0 1 1
1 1 0
D
1
2 1
2 1
1
1 1
r1 r2
0 1
1
2
2 1
0
1
1
1
2
2
0
0
2
2
0
0
r3 r1
r4 2r1
1 1
0 1
0 1
2 1
0
1
1
1
2 2
2
2
0
1 1 0 2
0 1 1 2
x n 1 a
D x n 1 a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x n 1 a
a
a
x
1
1
x ( n 1)a 1
a
x
a
a
a
x
a
a
a
1
a
a
x
1
x ( n 1)a
a
xa
a
xa
0
x ( n 1)a ( x a )n1 .
推论1
如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明
把这两行互换，有D D ，故 D 0 .
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
行列式与矩阵的初等变换
行列式与矩阵的初等变换行列式和矩阵是线性代数中两个重要的概念，它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍行列式和矩阵的概念，以及它们之间的关系，并探讨初等变换在行列式和矩阵运算中的作用。
一、行列式的定义与性质1.1 行列式的定义行列式是一个数学对象，用于表示方阵中各个元素的线性关系。
对于n阶方阵A = (aij)，其行列式记作det(A)或|A|。
1.2 行列式的性质- 行列互换：将方阵A的两行交换位置，行列式的值变号。
- 行列式倍乘：将方阵A的某一行乘以k，行列式的值乘以k。
- 行列相等：若两个方阵A和B除了某两行互换外其他行完全相等，则它们的行列式相等。
二、矩阵的初等变换2.1 矩阵的行初等变换- 互换：交换矩阵A中的两行。
- 消元：将矩阵A中的某行乘以k后加到另一行上。
- 缩放：将矩阵A中的某一行乘以k，k为非零常数。
2.2 矩阵的列初等变换列初等变换与行初等变换类似，只是变换的对象是列而非行。
三、行列式与矩阵的关系3.1 行列式的计算计算行列式的常用方法有展开法、方阵分解法和初等变换法。
其中，初等变换法是一种简便有效的计算方法。
通过对行列式进行初等变换，可以将行列式转化为更简单的形式，进而方便进行计算。
3.2 行列式与矩阵的关系行列式可以通过矩阵来计算，也可以通过矩阵的初等变换来求解。
对于n阶方阵A，其行列式等于A经过一系列行(列)初等变换后得到的方阵的行列式。
四、初等变换的应用4.1 线性方程组的求解通过初等变换可以将线性方程组转化为简化的梯形方程组，从而方便求解。
利用初等变换求解线性方程组的方法称为高斯消元法。
4.2 矩阵的求逆矩阵的逆矩阵是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
通过初等变换，可以将矩阵转化为简化的阶梯矩阵，从而求得矩阵的逆。
4.3 线性方程组的克拉默法则利用行列式的性质，可以通过克拉默法则求解线性方程组。
克拉默法则使用了行列式的概念，通过计算方程组中各个方程的行列式来求解未知数。
§1.2 行列式的性质
§1.2 行列式的性质
1、 n 阶行列式的质
定义1
将行列式 D 的行和列交换后得到的 行列式称为 D 的转置行列式，记为
D T 或 D ，即若
a11 D a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann , 则D D
T
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
说明
①此定理称为按 k 个行展开，若将行变成 列，则行列式按 k 个列展开。 ②此定理证明的方法与定理1一样，这里证 略。 ③在计算行列式时，常常按一行或一列展开。 若在行列式 D 中某些行或某些列含多个零， 就按这些行或这些列展开，可能更方便。
an1 an 2 ann .
性质1 性质2
将行列式转置，行列式不变，即 DT D . 用数 k 乘行列式 D 的一行（列），等 于以数 k 乘以行列式 D ，即
a11 a1n a11 a1n ain kD ann
D1 kai1 an1
kain k ai1 ann an1
性质3
若行列式 D 的一行（列）每一个元素都
M ij
Aij 1
i j
。而
M ij
称为 aij
的代数余子式.
引理
一个 n 阶行列式 D ，若 i 行元素除 aij 外都为零，则 D 等于 aij 与它的代数余子 式的乘积，即
D aij Aij
（1.12）
定理1
n 阶行列式
D aij
等于其任意一行的 (1.13)
各元素与对应代数全子式乘积之和，即
性质5 若行列式有两行（列）元素成比列，则 行列式为零. 性质6 把行列式一行（列）的倍数加到另一行 （列），行列式不变. 性质7 互换行列式的两行（列），行列式变号.
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 关键词.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3 1。
3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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.4 2。
1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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6 2。
4加边法（升阶法）。
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.6 2。
5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
§12行列式的性质与计算
§1.2 行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种特殊的方阵，由一个方阵中的所有元素按照一定规则构成。
行列式具有一些重要的性质和计算方法，以下是关于行列式的性质与计算的介绍。
一、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的独立性。
即对于一个n阶行列式，它的行和列都是n个独立的元素，可以独立进行变换，而不影响其他元素的位置。
2.行列式的行和列具有相同的代数余子式。
即对于一个n阶行列式，它的行代数余子式和列代数余子式都是n阶行列式，可以通过伴随矩阵的方式求得。
3.行列式的行和列具有相同的转置矩阵。
即对于一个n阶行列式，它的行转置矩阵和列转置矩阵都是n阶矩阵，可以通过转置矩阵的方式求得。
4.行列式的行和列具有相同的逆矩阵。
即对于一个n阶行列式，它的行逆矩阵和列逆矩阵都是n阶矩阵，可以通过逆矩阵的方式求得。
5.行列式的行和列具有相同的特征值。
即对于一个n阶行列式，它的行特征值和列特征值都是n个独立的特征值，可以通过特征多项式的方式求得。
二、行列式的计算1.按照定义计算。
行列式的定义是一个由方阵中的元素按照一定规则构成的多项式，可以按照定义直接计算。
2.化简计算。
行列式中的元素可以进行化简和约分，使得计算更加简便。
3.公式计算。
行列式有一些常用的公式，可以通过这些公式进行计算。
4.软件计算。
现在有很多数学软件可以用来计算行列式，例如MATLAB、Mathematica等等。
三、特殊行列式的计算1.二阶行列式的计算。
二阶行列式只有两个元素，可以通过交叉相乘的方式计算。
2.三阶行列式的计算。
三阶行列式有六个元素，可以按照展开式的公式进行计算，也可以通过软件计算。
3.n阶行列式的计算。
对于n阶行列式，可以使用Laplace展开式进行计算，也可以使用软件进行计算。
四、行列式的应用1.在解线性方程组中的应用。
通过求解线性方程组的系数矩阵和常数向量，可以得到方程组的解。
而系数矩阵就是一个n阶行列式，因此行列式在解线性方程组中有着重要的应用。
§1.2 行列式的性质与计算
上节例4 0 例1 上节例 中 计算四阶行列式 1 1 1
用性质计算行列式
1 0 1 1 解： 0 2 5 1 ( 1)r1 + r3 D= 1 x 2 3 0 3 0 1
1
1 1 0 2 5 1 0
0 0
x 3
3 2 0 1
2 5 1 3 5 5 1 3c3 + c1 1+ 1 x 6 3 2 3 2 +6 x 展开1( 1) 0 0 1 0 3 0 1 3
… … …
→1 →i → j
i、 j行互换，行列式变号 行互换， 、 行互换 行列式变号.
2 4 2 2 1 1 1
ai 1 D= ain
2 4
… … →i →j
= D
D= 0
性质1.2.4 把行列式的某一行（列）中的各元素都乘以同一常 性质 把行列式的某一行（ 乘此行列式的值. 数 k , 等于用数 k 乘此行列式的值 推论1.2.2 符号外面. 符号外面. 推论1.2.3 若行列式中有两行(列)元素对应成比例，则此行列 若行列式中有两行( 元素对应成比例， 推论 式值为零. 式值为零. 行列式中某一行（ 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式
D=
a a
b a+b
c a+b+c
d a+b+c+d
r3 + r4 = r2 + r3
a b c d 0 a a+b a+b+c 0 0 0 0 a a 2a + b 3a + b
r3 + r4 =
a b
c
d
0 a a+b a+b+c 0 0 a 2a + b 0 0 算 例2 解：1
1.2行列式性质
a13 a23 12 a33
a23 a33 3 a21 a33 a31
1
0 2
0 1 2
100 298
100 0 200 1 300 2
例2
计算行列式 2 1 199
3
1 2 3 0 1 2 100 1 199 2 298 3
解
1 2 3
0 1 2
100 1 200 2 300 3
D T 称为D的转置行列式。从而有 D D T
这条性质说明行列式的行和列的地位是相同的。也就 是说，对“行”成立的性质，对于“列”成立的
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。即
r r i j
D
c c i j
D,
则D D
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以数k 得到行列式D1，等于数k乘以此行列式。即
0 an
例6 设
a11 11 ak 1 k1 c11 c n1
这是用两条线将行列式分成四 块了，其中一块为0，与0不在 同一对角线上的两块必须方块
D
a1 k akk kk c1 k c nk
0
c11 c n1 b11 11 bn1 bn1
0
解
b a Dn a a
a b a a
a a a a a b a a
a b a a
a a a b
a a a a
c1 c2 cn
b (n 1)a a a a a b (n 1)a b a a a b (n 1)a a a b a b (n 1)a a a a b
1.2 行列式的性质与计算
n
nDT
n a~kl A~kl n
n a~kl (1)kl M~ kl
l 1 k1
l 1 k1
nn
nn
al k
( 1)k l
M
T lk
al k (1)kl Ml k
l 1 k1
l 1 k1
nn
alk Alk nD ,
l 1 k1
由归纳假设
DT D . 即性质对于 n 阶行列式也成立。
6
§1.2 行列式的性质与计算
第 三、行列式的三个基本操作及其性质
一 章
1. 三个基本操作
2. 相应的三个性质
行 列
性质1
将行列式的某一行(列)中所有的元素 k 倍，则行列式
式 P8 性质2 的值 k 倍，即
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain .
式 175 715
6 6 2 6 6 2 .
3 58 538
9
§1.2 行列式的性质与计算
第 性质2 交换行列式中的两行(列)， 行列式的值反号.
一 章
证明 (利用数学归纳法证明) 对于 2 阶行列式, 结论显然成立；
假设对于 n 1 阶行列式结论成立，下证对于 n 阶行列式
行
列
结论也成立。(注意此时 n 3)
§1.2 行列式的性质与计算
第
一
a11 a1n
章
行
ai1 ain
第i行
列 式
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
相同 第 j行
an1 ann
当 i j 时, ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
1.2 行列式的性质
1 1 2 3 0 2 1 5 0 0 1 1
1 3 2
0 0 0 1 0 4 0 0 0 4 6 1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6
两行相同，行列式的值为0
a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann
D D,
D 0.
6
引例
例如：
a1 a2 kb1 kb2
k (a1b2 a2b1 ) k
a1 a2 b1 b2
n阶行列式也有此性质
性质3 行列式一行的共因数可以提出去，即
a11 ... ... a n1 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ...
即bij a ji 按定义
D 1 b1 p1 b2 p2 L bnpn 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .
T
又因为行列式D可表示为
D 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .
故
D DT .
3
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 引例 例如
a11 b12 a21 b22
b11 b12 b21 b22
1.2行列式的性质
12 0 1
例1.2.3 计算行列式D 2
3
10
0 .
0 3 5 18
5 10 15 4
j
2.第i行（列）乘以k，表示为： k i 3.第i行（列）乘k后加到第j行（列），表示为： k i j 4.对行（列）使用行列式性质写在等号上面（下面）.
1 a1 例1.2.2 计算行列式 1 a2
1 a3
2 a1 2 a1 2 a1
3 a1 3 a1 . 3 a1
L LLL
L LLL
an1 an2 L ann
an1 an2 L ann
性质1.2.5 若行列式中有两行（列）的对应元素成比例， 则此行列式等于零.
推论1.2.1 若行列式中某一行（列）所有元素全是零， 则此行列式等于零.
a11 例1.2.1 设 a21
a12 a22
a13 a23
1 6
，求
10a11 2a21
性质1.2.2 行列式两行（列）互换，其值变号. 即
a11 a12 L a1n L LLL
a11 a12 L a1n L LLL
ai1 ai2 L ain
as1 as2 L asn
L L L L L L L L
as1 as2 L asn L LLL
ai1 ai2 L ain L LLL
an1 an2 L ann
LLL
LLL LLL
an1 L
n
an1 L ann an1 L ann
注 该性质可以推广到某行（列）每个元素为m项和的情形中.
性质1.2.7 将行列式中某一行（列）的所有元素都乘以数k后 加到另一行（列）的对应元素上，行列式值不变. 即
1.2行列式的性质
Dn 的每行提取-1，得 的每行提取- ，
0 − a12 0 n a12 Dn = ( −1) L L a1n a2 n
L − a1n L − a2 n L L L 0 L L L L a1n a2 n = ( −1)n D′= ( −1)n D n n L 0
0 a12 0 −a = ( −1)n 12 L L − a1n − a2 n
b b a L b
L L L L L
b b b L a
L b L 0 L 0 L 0 L a−b
1 b b 0 a−b 0 = [a + ( n − 1)b] 0 0 a − b L L L 0 0 0
= [ a + ( n − 1)b ] (a − b )n−1
例3.若 n 级行列式 Dn = aij 满足 .
ri + krj
或 ci + kc j
例1. 计算行列式
2 D= −3 5 4 −5 1 2 7 −9 说明：
计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为 上三角形或下三角形，从而算得行列式的值． 上三角形或下三角形，从而算得行列式的值．
例2. 计算行列式 a b Dn = b L b 解：
一、行列式的性质 二、应用举例
转置行列式
设
a11 a21 D= L a n1
a12 a22 L an 2 a21 a22 L a2 n
L L L L L L L L
a1n a2 n , L ann a n1 an 2 称为D的转置行列式， 称为 的转置行列式， L ann
a11 a12 行列式 L a1n
记作 D′ 或 DT .
一、行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变， 性质 行列互换，行列式不变，即
行列式的计算方法总结 毕业论文
1 行列式的概念及性质1.1 行列式的概念n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a212222111211等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。
这一定义可写成，这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列的求和。
1.2 行列式的性质[1]性质1 行列互换，行列式值不变，即=nn n n n na a a a a a a a a212222111211nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外，即=nnn n in i i na a a ka ka ka a a a212111211nnn n in i i na a a a a a a a a k 212111211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个nn nnj j j j j j r j j j nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(∑-=数乘以此行列式。
事实上，nnn n in i i n a a a ka ka ka a a a212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a +nnn n in i i n a a a a a a a a a k212111211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。
性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。
1.2 行列式的性质与计算
= [a + (n −1)b](a − b)n−1.
0
a1 b
例5:
b a2
b b
L L
b b
D = b b a 3 L b , a i 不等于 b L L L L L b b b L an
将第 一行的 倍分别加到 第2,3,…n行上 一行的-1倍分别加到 行上
解:
D=
a1 b − a1 b − a1 L b − a1
D = __________
2) 若3阶行列式 的第二行元素分别为 ，2，0， 阶行列式D的第二行元素分别为 阶行列式 的第二行元素分别为1， ， ， 第三行元素的余子式分别为6,x,19，则 x= 第三行元素的余子式分别为 ，
性质４ 若行列式的某一列（ 的元素都是两数之和， 性质４: 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和， 则该行列式等于两个行列式之和. 则该行列式等于两个行列式之和 例如: 例如
性质５ 把行列式的某一行（ 性质５: 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一 对应的元素上去， 式不变． 数然后加到另一行 (列)对应的元素上去，行列 式不变． 列 对应的元素上去
a11
例如: 例如
L a1 i M
L a1 j
L a1 n
a 21 L a 2 i M a n1 L a ni
a11 a21 M
推论：行列式可按列展开，也可按行展开． 推论：行列式可按列展开，也可按行展开．
性质2 行列式的某一行（ 性质2：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 乘此行列式. 一数 k ，等于用数 k 乘此行列式
a11 a12 L a1n LLLLLLL
a11
a12 L a1n
LLLLLLL
行列式的计算技巧总结
行列式的若干计算技巧与方法目 录，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --=ββββsin sin cos cos k k -=.()β1cos +=k 这就证明了当时也成立，从而由数学归纳法可知，1+=k n 对一切的自然数，结论都成立．即：.βn D n cos =2.6 递推法技巧分析：若阶行列式满足关系式n D .021=++--n n n cD bD aD 则作特征方程.02=++c bx ax ①若，则特征方程有两个不等根，则0≠∆．1211--+=n n n Bx Ax D ②若，则特征方程有重根，则0=∆21x x =解得，25,16=-=B A 所以.1145++-=n n n D 3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和．3.1.2 例题解析例11 计算行列式小结本文主要介绍了行列式计算的一些技巧和方法，还有一些特殊行列式的计算技巧，通过归纳和总结这些技巧和方法，让读者在计算行列式时游刃有余．然而在这么多方法面前，我们需要多观察、多思考，这样便于我们更加轻松地解决有关行列式的问题，也让我们更加灵活的运用这些方法和技巧来解决实际问题．参考文献:[1]北大数学系代数小组. 高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003：50～104.[2]钱吉林. 高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002：24～58[3]刘家保，陈中华，陆一南.若干类型行列式计算方法.佛山科学技术学院学报（自然科学版），2012年3月，30(2).[4]杨鹏辉.行列式的计算技巧.宜春学院报，2011年4月，33（4）.[5]丁冰.三线型行列式的计算.科技通报,2012年2月,28(2).[6]龚德仁.高阶行列式计算的若干技巧.课外阅读（中下）.2012年03期.[7]张新功.行列式的计算方法探讨.重庆师范大学学报（自然科学版），2011年7月,28(4).[8]王爱霞.关于n阶行列式的计算方法与技巧的探讨.佳木斯教育学院学报.2012年第1期.[9] 樊正华，徐新萍.浅谈行列式的计算方法.江苏教育学院学报（自然科学），2011年2月，27(1).[10]卢潮辉.三对角行列式的计算. 漯河职业技术学院学报,2010年3月,9(2).[11] 陈林.求n阶行列式的几种方法和技巧. 科技信息报，2007年第8期.[12]“爪”字型和“么”字型行列式的计算.河北理科教学研究(短文集锦),2006年第4期.学习体会与建议：计算行列式的最重要的一点就是化繁就简。
线性代数第一章1-2行列式的性质
思考题
解 答解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
1 1 A11+A12+ · · · +A1n 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 n
a12 ai 2
a1 n ain
a11 ai 1
a12 a1 n ai 2 ain ai 2 ain an 2 ann
相同
k kai 2 kain ai 1 an 2 ann a
0.
n1
性质1.2.4: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,
t
故结论成立.
思考: P26 第三题
性质1.2.5: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式 不变. a11 a1i a1 j a1n 例如 a21 a2i a2 j a2n k an1 ani anj ann a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2n an1 (ani kanj ) anj ann
n
ij ij
其中
D 当i j 1 当 i j . a ki Akj D ij 0 当 i j . ij k 1 0 当 i j
1 2 3 n 1 2 0 0 设 n 阶行列式 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n 求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ · · · +A1n .
故
D D .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质1.2.2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 证明: 由行列式
1.2 行列式的性质与计算
n n x3 2 ( x3 x1 ) xn 2 ( xn x1 )
按第一列展开，并把每一列的共因子 ( xi x1 ) 提出，有
1 x2 Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) n x2 2 1 1 x3 xn n n x3 2 xn 2
一、行列式的性质 a11 a12 a1n 记 a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 T D
a1n a2 n ann
行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即D=DT。 证明 令 D det(aij ) T 则 D det aij 的转置行列式为 D det a ji
性质3
证明
互换行列式的两行（列）,行列式变号.
设行列式 D ( 1) a1 p1 aipi a jp j anpn
t
其中 1 i j n 为标准排列
t 为排列 p1 pi p j pn 的逆序数
ri rj
D1 1 a1 p1 a jpi aip j anpn
4 5 0
c3 c2
3 100 1 1
8 4 5 0 0 0
100 20 2000
例2
1 1 1 x1
1 1 x 1 1
1 x 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 0 0 x x x 0 0 0 x x x 0 0 0 x
解 D
1 xn 2 xn
n n x2 1 xn 1
解
将前一行乘以 x1 加到后一行上 （从后往前）
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L L L L
a1n a2n L a nn
行列式计算的目标之一：化零 几种计算行列式的典型方法
一、直接化三角形（适用于元 素均为数字的低阶行列式或 形式简单的高阶行列式）
例1. 计算
2 −3 D = 5 4 −5 7 −9 −6 1 −1 2 1 2 4 7 2
只用
ri + krj 变换或只用 ci + kc j
L L L L L L L L L
0 L 0 b1 m L bm m b1 m L bm m
a nn bm 1
证明 对 D1 作运算 ri + kr j，把 D1 化为下三角形行列式
a11 L a1n
p11
设为 D1 = M M = M O = p11 L pnn an1 L ann pn1 L pnn
计算2n阶行列式 例4. 计算 阶行列式
a O D
2n
b N a b N b a O a
=
b
二、提取因子法（分离因子法） （常见类型为每行/列元素和相等）
例5 计算n阶行列式
a b L b b a L b L L L L b b L a
D =
此行列式的特征: 每行的元素和相等。 解: 此行列式的特征 每行的元素和相等。
变换一定能
把行列式化为上( 三角形.行列式的值不变. 把行列式化为上(下)三角形.行列式的值不变.
计算n阶行列式 例2. 计算 阶行列式
1 2 3 D = 4 L n −1 0 3 4 L n −1 −2 0 4 L n L L L L L L −1 −2 −3 −4 L 0
计算n阶行列式 例3. 计算 阶行列式
对 D 2 作运算 c i + kc j , 把 D 2 化为下三角形行列式
b11 L b1m q11 0 设为 D2 = M M = M O = q11 L qmm bm1 L bmm qm1 L qmm
对 D 的前 n 行作同前的运算 ri + krj，再对后 m 列作 同前运算 ci + kc j , 把 D 化为下三角形行列式
3 +1 −5−3
4−2 3 4 1 −2 = + −6+7 −5 −6 −3 7
性质5 把行列式的某一行（ 性质 把行列式的某一行（列） 的所有元素的k倍加到另外一行 的所有元素的 倍加到另外一行 对应元素上， （列）对应元素上，行列式的值不 变。
D =
a11 a 21 L a n1
L L L L
a11 L a1n M M D= an1 L ann c11 L c1n M M cm1 L cmn b11 L b1m M M bm1 L bmm
p11
0
=
M
O q11 M
0
pn1 L pnn c11 L c1n M M cm1 L cmn O
qm1 L qmm
故 D = ( p11 L pnn ) ⋅ ( q11 L qmm ) = D1 D2
a b a L a
a a b L a
L L L L L
a a a L b
利用第一行 将主对角线 以下元素化 为零
a 1 a 0 b−a 0 ri − r1 , i = 2,3Kn [b + (n − 1)a] 0 0 b − a M M M 0 0 0
L a L 0 L 0 O L b−a
= [b + (n − 1)a](b − a)n−1
D
a1 c1 + ci ai
i = 2,3Kn
n i=2
1 + a1 + ∑ = 0 0 M 0
a1 ai
1 a2 0 M 0
1 0 a3 M 0
K K K K
1 0 0 M 0
1 0 0 M an
n n 1 1 = a2a3 Kan + a1a2 Kan 1 + ∑ = a1a2 Kan 1 + ∑ i = 2 ai i =1 ai
第一章 行列式
第2节 行列式 节 的性质
性质1 性质
a11 a21
行列互换，行列式的值不变。 行列互换，行列式的值不变。
a12 L a1n a22 L a2 n
a11 D =
T
a21 L an1 a22 L an 2 M M M a2 n L ann
D=
a12 M a1n
M an1
M M M an 2 L ann
1 2 8 = 2× 2× 3× 1 1 3 1 1 4
等价性质：用一常数乘以行列式， 等价性质：用一常数乘以行列式， 相当于用该常数乘以行列式的某一 行或某一列。 行或某一列。 推论：行列式中如果有两行（列） 推论：行列式中如果有两行（ 元素对应成比例， 元素对应成比例， 则此行列式的值为0。 则此行列式的值为 。
y x x-z z y
z y x
y x z
x =2 z y
y x z
z y x
四、准三角形行列式
例7 证明
a11 L a n1 c11 L cm1 a11 = L a n1
L L L L L L L L L
a1n L a nn c1n L cmn a1n L
0 L 0 b1 1 L bm1 b1 1 L
b + ( n − 1 )a a a L a c1 + ci , i = 2,3Kn b + ( n − 1 ) a b a L a Dn b + ( n − 1 )a a b L a L L L L L b + ( n − 1 )a a a L b
1 1 = [b + ( n − 1)a ] 1 L 1
1 + a1 1 1 1 L 1 1 1 + a2 1 1 L 1 1 1 1 + a3 1 L 1 L L L L L L 1 1 1 1 L 1 + an
D =
( a i ≠ 0 , i = 1, 2 ,L , n )
此行列式的特征: 解: 此行列式的特征 大部分元素为 1 。
1 + a1 − a1 ri − r1 , i = 2,3Kn − a1 n M − a1 1 1 a2 0 0 a3 M M 0 0 K 1 1 K 0 0 K 0 0 M M K 0 an
a 12 a 22 L an2
L L L L
b1 j b2 j L b nj
L L L L
a1n a2n L a nn
例
1+ 2 + 3 2+3+ 4 3+5
1 2 3
1 1 2
2 1 1 3 1 1 =2 2 1 +3 2 1 +4 2 1 3 3 2 5 3 2 0 3 2
1 1 1
问题：下式是否正确？ 问题：下式是否正确？
a11 L L a n1 a12 L L an 2 L L L L a1n L L ann
a11 L L a12 L a1n 1n L L L ai 2 L ain = λ D L L L
λ ai1 λ ai 2 L λ ain = λ ai1
an1 an 2 L ann
例如
1 4
1 4 8 1 2 8 2 4 6 = 2× 1 2 3 = 2× 2× 1 1 3 3 6 12 3 3 12 3 6 12 8
为行列式D的转置行列式 的转置行列式。 称 DT 为行列式 的转置行列式。
性质2 互换行列式的两行（ 性质 互换行列式的两行（列）， 行列式变号。 行列式变号。 若行列式有两行（ 推论 若行列式有两行（列）完 全相同，则此行列式的值为0。 全相同，则此行列式的值为 。
性质3 行列式的某一行（ 性质 行列式的某一行（列）的 公因子λ 公因子λ可以提到行列式符号的外 面。
x+ y y+z x y y z z x z+x
z x
z+x y+z x+ y y x z
x+ y z+x y+z
z+x + y
z+x y+z x+ y x z y
x+ y y+z
x+ y z+x y+z
z+x + y
y =x z
z y x
x y
z x
x z y
y x z
z+y
x =- z y
z y x
三、分解行列式（常用于证明）
例6 证明
y + z x + y z + x x = 2 z y z + x y + z x + y y x z z y x x + y z + x y + z
y 原式= x z y =x z z + y x
z+x y+z x+ y z+x y+z x+ y z y x
例8 计算
5 0 7 0 9 7 1 2 3 4 8 0 4 0 3 3 2 3 4 1 4 0 1 0 −1
作业
53页，习题一，14（1）（2）（3）（4）， 15，16
L a2n L L L ann
等于下列两个行列式的和： 则D等于下列两个行列式的和： 等于下列两个行列式的和
a 11 a 21 D = L a n1
a 12 a 22 L an2
L L L L
a1 j a2 j L a nj
L L L L
a1n a2n L a nn
a 11 + a 21 L a n1
a 1i a 2i L a ni