2011届江苏省高考复习专题(内部)系列：——第四课时 基本不等式..
高考数学(苏教,理科)复习课件：第六章 不等式、推理与证明第四节 基本不等式
第四节
基本不等式
数学
第四节 基本不等式
[典例] 已知a>0，b>0，a＋b＝1， 求证：1＋1a1＋1b≥9. [证明] 法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab. ∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab
数学
第四节 基本不等式
＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab， 即a＝b＝12时取“＝”． ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当a＝b＝12时等号成立． 法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋abb＋a1b＝1＋a2b，
答案：充分不必要
2．(2014·扬州期末)已知x，y∈R，且x＋2y＝1，则2x＋4y的
最小值是________． 解析：因为x＋2y＝1，所以x＝1－2y，从而2x＋4y＝21－2y＋
22y＝
2 22y
＋22y≥2
2
，当且仅当y＝
1 4
时取等号．故2x＋4y的
最小值为2 2. 答案：2 2
数学
第四节 基本不等式
(3)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则
z xy
的最小值
为________． [解析] z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，
∴xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋4xy－3≥2 xy·4xy－3＝1.
当且仅当xy＝4xy，即x＝2y＝4时“＝”成立． [答案] 1
数学
证明：由于a、b均为正实数，
所以a12＋b12≥2
a12·立，
数学
第四节 基本不等式
又因为a2b＋ab≥2 a2b·ab＝2 2， 当且仅当a2b＝ab时等号成立， 所以a12＋b12＋ab≥a2b＋ab≥2 2，
高考数学一轮复习 基本不等式课件
4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2
且c2＝d2且ab＝cd.
1.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
求证：(11)(11)(11)≥8. abc
证明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
(11)(11)(11) abc
当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号.
1.利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件 缺一不可.
三、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
，几何平均
数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 .
四、利用基本不等式求最值
设x，y都是正数. (1)如果积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有
最小值
.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时积xy有最大
x 1 (x1) 1;1=3 答案：C
4.已知
＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是
.
解析：2＝
，所以xy≥15，当且仅当
时等号成立.所以xy的最小值是15.
答案：15
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4
万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费
4.基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它 的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：
2ab≤ ab≤ ab≤ a2b2(a0,b0).
ab
2
2
求下列各题的最值. (1)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝ (2)x＞0，求f(x)＝ ＋3x的最小值. (3)x＜3，求f(x)＝ ＋x的最大值.
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
高考数学一轮复习教学案基本不等式含解析——谢丹军
第四节基本不等式[知识能否忆起]一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件：a >0，b >0.2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 三、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[小题能否全取]1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选C ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析：选A ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：55．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y 的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y≥2 10xy＝2，故⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．典题导入[例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5D ．6[自主解答] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋(－x ). ∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋(－x )≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.(2)∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15·(3x ＋4y )·⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. [答案] (1)－2 (2)C本例(2)条件不变，求xy 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ， ∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy 的最小值为1225.由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．以题试法1．(1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)(2011·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10典题导入[例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[自主解答] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标．由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法 2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2 150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－ ⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．2．(2013·太原模拟)设a 、b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．4．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：选A 设甲、乙两地的距离为s ，则从甲地到乙地所需时间为sa ，从乙地到甲地所需时间为s b ，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b＝a ，即a <v <ab . 5．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32B.53C.256D ．不存在解析：选A 设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2.由a m a n ＝4a 1，即2m ＋n －22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝n m 时等号成立． 6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选C 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.7．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy取得最大值3.答案：38．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.答案：949．(2012·朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 810．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x－x 的最小值． 解：(1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(a －2x )22＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2. 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2.11．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9xy ≥19＋2 2y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f (x )×10 0001 000x ＝10f (x )x＝10(x 2＋71x ＋100)x ＝10x ＋1 000x＋710≥210x ·1 000x＋710＝910.当且仅当10x ＝1 000x，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．1．(2012·浙江联考)已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值是2；又λ≥x ＋22xyx ＋y ，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.2．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝14⎝⎛⎭⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎫2 x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz 取得最小值3.答案：33．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x＋1 800×6 ＝900x＋9x ＋10 809 ≥2 900x ·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号． 即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90 ＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)． 令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2＞x 1≥35， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋100x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋100x 2＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2.∵x 2＞x 1≥35， ∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0,100－x 1x 2＜0，故f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x，当x ≥35时为增函数． 则当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2＜10 989.因此该厂应接受此优惠条件．1．函数y ＝a 1－x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 解析：因y ＝a x 恒过点(0,1)，则A (1,1)，又A 在直线上，所以m ＋n ＝1(mn ＞0)． 故1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号． 答案：42．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值是________．解析：∵A (2,0)，B (0,1)，∴0≤b ≤1，由a ＋2b ＝2，得a ＝2－2b ，ab ＝(2－2b )b ＝2(1－b )·b ≤2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－b )＋b 22＝12. 当且仅当1－b ＝b ，即b ＝12时等号成立，此时a ＝1， 因此当b ＝12，a ＝1时，(ab )max ＝12. 答案：123．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30.(1)求xy 的取值范围；(2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ，则2＋x ≠0，y ＝30－x 2＋x＞0,0＜x ＜30. (1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋2)＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号， 因此xy 的取值范围是(0,18]．(2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42－2，y ＝42－1时等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．。
江苏省 必修5教案 3.4基本不等式复习
b a ab D'
D A
B C 3．4 基本不等式复习
一、复习引入
1．重要不等式：
如果)""(2R,,2
2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b a 语言表述： ______________________________________________________
我们称b a b a ,2
为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和
成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数 “当且仅当”的含义是充要条件
4．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”
以长为a+b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 过点C 作垂直于直径AB 的弦DD′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD = 这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2
，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立
二、讲解新课 (节节清内容2)
1.公式的等价变形：ab≤222b a +，ab≤（2
b a +）2.。
江苏高考理科数学二轮讲义：专题一第4讲 不等式 Word版含解析
第4讲不等式[考向导航]考点扫描三年考情考向预测1．不等式的解法第4题不等式在江苏高考中主要考查一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式是考查重点．试题多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中高档题．不等式成立问题会在压轴题中出现，难度较大，不等式的实际应用有时也会在实际应用题中出现，主要利用基本不等式求最值．2．基本不等式第10题第13题第10题3．不等式成立问题4．线性规划5．不等式的实际应用1．必记的概念与定理已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24．(简记：和定积最大) 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．①直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；②特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．2．记住几个常用的公式与结论(1)几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．ab≤⎝⎛⎭⎫a＋b22(a，b∈R)；⎝⎛⎭⎫a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．(2)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(3)简单分式不等式的解法①变形⇒f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)且g (x )≠0；②变形⇒f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0．(4)两个常用结论①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0．②ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0．3．需要关注的易错易混点(1)利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．(2)在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．不等式的解法 [典型例题](1)(·江苏省高考名校联考(八))已知函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，则实数m 的值为________．(2)(·苏州第一次质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，ln （x －1），1＜x ≤2，若不等式f (x )≤5－mx恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)因为函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，所以函数的最大值为0．令f (x )＝0，可得Δ＝4a 2－4×(－4)×(－b )＝4a 2－16b ＝0，即b ＝a 24．关于x 的不等式f (x )≥m 可化简为4x 2－2ax ＋b ＋m ≤0，即4x 2－2ax ＋a 24＋m ≤0．又关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，所以方程4x 2－2ax ＋a 24＋m ＝0的两个根为x 1＝c ，x 2＝c ＋8，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝a 2x 1x 2＝a 216＋m4，又|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(a 2)2－4(a 216＋m4)＝64，解得m ＝－64． (2)作出函数f (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝5－mx ，则g (x )恒过点(0，5)，由f (x )≤g (x )恒成立，并数形结合得－52≤－m ≤0，解得0≤m ≤52．【答案】 (1)－64 (2)⎣⎡⎦⎤0，52二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题(1)考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．[对点训练]1．(·江苏省高考命题研究专家原创卷(六))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x－3，x ≤0，x 12，x ＞0，若f (a )＞f (f (－2))，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，f (－2)＝(12)－2－3＝1，f (1)＝1，所以不等式化为f (a )>1．当a ≤0时，f (a )＝(12)a －3>1，解得a <－2；当a >0时，f (a )＝a >1，解得a >1．因而a 的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－2)∪(1，＋∞)2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A ，2∉A ，则a 的取值范围是________． [解析] 因为2∉A ，所以4－4a ＋a 2－1<0，即a 2－4a ＋3<0，解得1<a <3． [答案] 1<a <3基本不等式 [典型例题](1)(·南通市高三调研)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y 的最小值是________．(2)(·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．【解析】 (1)因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝y x ＋4（x ＋y ）y ＝y x ＋4xy ＋4≥2y x ·4x y ＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时，取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8． (2)设P ⎝⎛⎭⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2≥22x ·4x2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4．【答案】 (1)8 (2)4用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．[对点训练]3．(·苏锡常镇四市高三调研)若正数x ，y 满足15x －y ＝22，则x 3＋y 3－x 2－y 2的最小值为________．[解析] x 3＋y 3－x 2－y 2＝x 3＋94x ＋y 3＋14y －x 2－y 2－94x －14y ≥3x 2＋y 2－x 2－y 2－94x －14y ＝2x 2－94x －14y ＝2x 2＋92－94x －14y －92≥6x －94x －14y －92＝15x －y 4－92＝224－92＝1，当且仅当x ＝32，y ＝12时取等号，故x 3＋y 3－x 2－y 2的最小值为1．[答案] 14．(·高考江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．[解析] 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a sin 60°＋12c sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．[答案] 9线性规划 [典型例题](1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．(2)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0．若z 的最大值为12，则实数k ＝________．【解析】 (1)不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25，所以(x 2＋y 2)min ＝45，又当(x ，y )取点(2，3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13．(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0，2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知k ＝2．【答案】 (1)⎣⎡⎦⎤45，13 (2)2确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[对点训练]5．(·江苏名校高三入学摸底)若变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x －2y ＋6≥0y ≥0，则⎝⎛⎭⎫12x ＋y的最小值为________．[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中△OAB (含边界)所示，作直线l ：x ＋y ＝0，若向上平移直线l ，则x ＋y 的值增大，当平移至过点B (2，4)时，x ＋y 取得最大值6，此时⎝⎛⎭⎫12x ＋y取得最小值18．[答案] 186．(·江苏省名校高三入学摸底卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为M ，且M 的取值范围是[1，2]，则点P (a ，b )所组成的平面区域的面积是________．[解析] 作出约束条件⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2表示的平面区域如图1中阴影部分所示(三角形OAB 及其内部)． 将目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)化为直线方程的形式为y ＝－a b x ＋zb，若－a b ≤－2，当直线y ＝－a b x ＋zb 经过点A (1，0)时，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值M ＝a ∈[1，2]，由⎩⎨⎧a >0b >0－a b≤－2a ∈[1，2]得点P (a ，b )所组成的平面区域如图2中阴影部分所示，此时点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为34．若－a b >－2，当直线y ＝－a b x ＋zb 经过点B (0，2)时，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值M ＝2b ∈[1，2]，由⎩⎨⎧a >0b >0－a b>－22b ∈[1，2]得点P (a ，b )所组成的平面区域如图3中阴影部分所示，此时点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为34．综上，点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为32．[答案] 32不等式的实际应用[典型例题]“第五届上海智能家居展览会”于5日－7日在上海新国际博览中心举行，全面展示当前最新的智能家居．某智能家居企业可以向社会提供智能家居套餐的生产和销售一条龙服务，由于没有进行促销活动，该企业的某品牌套餐全年的销量只有1．25万套，如果延续的经营策略，预计的销量只有的80%．为了不断拓展市场，提高经营效益，拟在借“第五届上海智能家居展览会”的东风对该品牌套餐进行促销活动．经过市场调研，该品牌套餐的年销量x 万套与年促销费用t 万元之间满足关系：x ＝4t ＋mt ＋1(t ≥0)．预计生产设备的固定成本为4万元，每生产1万套该品牌套餐需再投入27万元的可变成本，若将每套该品牌套餐的售价定为其生产成本的160%与平均每套促销费用的40%的和，则当年生产的该品牌套餐正好能销售完．(1)将该企业的利润y 万元表示为关于年促销费用t 万元的函数； (2)该企业的促销费用为多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费用，生产成本＝固定成本＋可变成本) 【解】 (1)由题意可知在x ＝4t ＋mt ＋1(t ≥0)中，当t ＝0时，x ＝1．25×0．8＝1，代入上式得m ＝1， 所以x ＝4t ＋1t ＋1(t ≥0)．当年生产x 万套时，年生产成本为 27x ＋4＝27×4t ＋1t ＋1＋4．当年销售x 万套时，年销售收入为160%×⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4＋40%×t ． 由题意，生产x 万套该品牌套餐正好销售完，由利润＝销售收入－生产成本－促销费用，得y ＝160%×⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4＋40%×t －⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4－t ．所以y ＝－3t 2＋333t ＋935（t ＋1）(t ≥0)．(2)y ＝－3t 2＋333t ＋935（t ＋1）＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤113－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1＋81t ＋1≤35×(113－18)＝57， 当且仅当t ＋1＝81t ＋1，即t ＝8时等号成立，即当该企业的促销费用为8万元时，企业的年利润最大，且最大值为57万元．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．[对点训练]7．(·苏州调研)如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB ＝y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在GH 上)，现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？[解] (1)因为AB ＝y ，AB ＝AC ＋1，所以AC ＝y －1． 在直角三角形BCF 中，因为CF ＝x ，∠ABC ＝60°， 所以∠CBF ＝30°，BC ＝2x ． 由于2x ＋y －1 >y ，得x >12．在△ABC 中，因为AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 60°，所以(y －1)2＝y 2＋4x 2－2xy ．则y ＝4x 2－12（x －1）．由y ＞ 0，及x >12，得x ＞ 1．即y 关于x 的函数解析式为y ＝4x 2－12（x －1）(x ＞ 1)． (2)M ＝3(2y －1)＋4x ＝12x 2－3x －1－3＋4x ．令x －1＝t ，则M ＝12（t ＋1）2－3t －3＋4(t ＋1)＝16t ＋9t＋25≥49，在t ＝34，即x ＝74，y ＝152时，总造价M 最低．所以x ＝74时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低．1．函数f (x )＝1xlg(2＋x －x 2)的定义域为__________．[解析] ⎩⎨⎧x ≠0，2＋x －x 2>0，⇒－1<x <0或0<x <2，所以函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，2) [答案] (－1，0)∪(0，2)2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．[解析] 因为t >0，所以y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．[答案] －23．(·高三第一次调研测试)若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为______． [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，数形结合易知当直线z ＝x ＋y 过点A (－3，－3)时，z 取得最小值，z min ＝－6．4．(·苏北四市高三质量检测)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________．[解析] 因为当x ＞0时，f (x )＝2x －3，所以当x ＜0，即－x ＞0时，f (－x )＝2－x －3，因为函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝2－x －3＝－f (x )， 所以f (x )＝－2－x ＋3．当x ＞0时，不等式f (x )≤－5等价为2x －3≤－5， 即2x ≤－2，无解，故x ＞0时，不等式不成立； 当x ＜0时，不等式f (x )≤－5等价为－2－x ＋3≤－5， 即2－x ≥8， 得x ≤－3；当x ＝0时，f (0)＝0，不等式f (x )≤－5不成立． 综上，不等式f (x )≤－5的解集为(－∞，－3]． [答案] (－∞，－3]5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．[解析] 一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30． [答案] 306．(·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a＞0，则实数a 的取值范围是________．[解析] 记f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，令f (x )＝0，由题意得，Δ＝4(a －2)2－4a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0，f （5）≥0，Δ≥0，1≤a －2≤5，所以1＜a ＜4或4≤a ≤5， 即实数a 的取值范围是(1，5]．7．(·扬州市第一学期期末检测)已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为______．[解析] x ＋4y －xy ＝0，即x ＋4y ＝xy ，等式两边同时除以xy ，得4x ＋1y＝1，由基本不等式可得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥24y x ·x y ＋5＝9，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y ＝6时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为9，因为m ≤9．[答案] m ≤98．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32． [答案] ⎣⎡⎦⎤－12，32 9．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为______．[解析] 因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2yx 2＋2y 2＝4xy ＋2y 2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2（x 2＋2y 2）x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t 的最大值为2．[答案] 210．(·宁波统考)已知函数f (x )＝log a (x 2－a |x |＋3)(a >0，a ≠1)．若对于－1≤x 1<x 2≤－12的任意实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)<0成立，则实数a 的范围是________．[解析] 易知已知函数为偶函数，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时为减函数． 对于x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时， f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0，a ≠1) 设g (x )＝x 2－ax ＋3，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a >1，1≤a 2，g （1）>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2≤12，g ⎝⎛⎭⎫12>0，则2≤a <4或0<a <1． [答案] (0，1)∪[2，4)11．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x－x 的最小值． [解] (1)因为x ＞0，a ＞2x ， 所以y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（a －2x ）22＝a 28， 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28．(2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2． 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x－x 的最小值为2－a 2．12．已知关于x 的不等式x ＋2x 2－（1＋a ）x ＋a >0．(1)当a ＝2时，求此不等式的解集； (2)当a >－2时，求此不等式的解集．[解] (1)当a ＝2时，不等式可化为x ＋2（x －1）（x －2）>0，所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}．(2)当a >－2时，不等式可化为x ＋2（x －1）（x －a ）>0，当－2<a <1时，解集为{x |－2<x <a 或x >1}；当a ＝1时，解集为{x |x >－2且x ≠1}； 当a >1时，解集为{x |－2<x <1或x >a }．13．(·盐城市高三第三次模拟考试)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD 用来种植草莓，其中AB ＝99 m ，AD ＝49．5 m ．现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n (n ∈N *)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m 宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF ＝1 m)，这部分的建设造价为每平方米31．4元．(1)当n ＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留π) (2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低．(计算中π取3．14) [解] (1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r ．当n ＝20时，共有19块空地，所以r ＝99－19×12×20＝2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 πr 2＋πr ×AD ＝π×22＋2π×49．5＝103π(m 2)， 即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m 2． (2)设两项费用的和为f (n )．因为r ＝99－（n －1）×12n ＝100－n2n，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 S ＝πr 2＋πr ×AD ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49．5×100－n 2n ， 则f (n )＝10nS ＋31．4×1×49．5(n －1)＝10n [π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49．5×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n ]＋31．4×1×49．5(n －1)＝31．4×[（100－n ）24n ＋49．5×100－n2＋49．5(n －1)]＝31．44×[（100－n ）2n＋99(100－n )＋198(n －1)]＝31．44×(1002n ＋100n ＋9 502)＝31．44×[100×⎝⎛⎭⎫100n ＋n ＋9 502]， 因为100n＋n ≥2100n·n ＝20，当且仅当n ＝10时等号成立， 所以，当且仅当n ＝10时，f (n )取得最小值， 即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．14．设m 是常数，集合M ＝{m |m >1}，f (x )＝log 3(x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1)．(1)证明：当m ∈M 时，f (x )对所有的实数x 都有意义； (2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值；(3)求证：对每个m ∈M ，函数f (x )的最小值都不小于1． [解] (1)证明：f (x )＝log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2m ）2＋m ＋1m －1，当m ∈M ，即m >1时，(x －2m )2＋m ＋1m －1>0恒成立，故f (x )的定义域为R ．(2)令g (x )＝x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1，因为y ＝log 3g (x )是增函数，所以当g (x )最小时f (x )最小，而g (x )＝(x －2m )2＋m ＋1m －1， 显然当x ＝2m 时，g (x )的最小值为m ＋1m －1．此时f (x )min ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m －1． (3)证明：m ∈M 时，m ＋1m －1＝m －1＋1m －1＋1 ≥2＋1＝3，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m －1≥log 33＝1，结论成立．。
2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第八单元第四节 基本不等式及其应用
1 = x − 2 ,即x=3时，取等号. 当且仅当 x−2
(2)若x<2,则x-2<0.故
1 1 1 − f ( x) = − + ( x − 2) + 2 = + (2 − x) − 2 ≥ 2 • (2 − x) − 2 = 0 x−2 2− x 2− x
所以f(x)≤0,当且仅当
3 + a的取值范围; a−4
a−4
8 2 8 2 8 2 8y 2x + = ( + ) = ( + )( x + y) = 10 + + (3)由 ,再用基本不 x y x y x y x y
等式求最值.
解 (1)∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>2>0,
3x +(8 − 3x) 8 = =4 ∴ , 2 4 2 当且仅当3x=8-3x,即 x = 3 时取等号, 4 ∴当 x = 时,y = 3x(8 - 3x) 的最大值是4. 3 y = 3x(8 − 3x) ≤
(2)显然a≠4,当a>4时,a-4>0, ∴ 3 + a = 3 +(a − 4)≥ 2 3 ×(a − 4) + 4 = 2 3 + 4 ,当且仅当 a−4 a−4 a−4
3 = a − 4, = 4 + 3 时,取等号; 即a a−4
当a<4时,a-4<0, ∴ 3 + a = 3 +(a − 4)+ 4 = − 3 +(4 − a)]+ 4 ≤ −2 3 ×(4 − a) + 4 [ a-4 a−4 4−a 4−a ， =2 3+4 3 当且仅当 =(4 − a) ,即a=4- 3时,取等号. 4−a 3 ∴ + a 的取值范围是(-∞,-2 3 +4]∪[2 3 +4,+∞).
推荐高考数学一轮复习讲练测江苏专题4 基本不等式及其应用讲 含解析
【最新考纲解读】内 容要 求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A 、B 、C 表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题. 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题. 线性规划√基本不等式√【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件. 【课前检测训练】 【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )1. ×2. ×3. ×4. ×5. × 【练一练】1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8答案 D3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C. 4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．答案 25 m 25．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.【题根精选精析】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴20a b ab +≥> （当且仅当a b =时，取等号）20b c bc +≥> （当且仅当b c =时，取等号） 20c a ca +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()2228a b b c c a ab bc ca abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥. 【1-2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc ca ab a b c a b c++≥++. 【答案】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴222bc ac abc c a b ab +≥=， 222ac ab a bc a b c bc +≥=， 222bc ab ab c b a c ac+≥=. ∴bc ca aba b c a b c++≥++. 【1-3】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【基础知识】如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 【思想方法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【温馨提醒】1. 在运用ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．考点2 利用基本不等式求最值【2-1】若log 2x ＋1og 2y ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 【答案】4【解析】因为log 2x ＋log 2y ＝1，即log 2xy ＝1，所以xy ＝2且x ＞0，y ＞0，于是x ＋2y ≥2x ·2y ＝4，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时取等号，所以x ＋2y 的最小值为4. 【2-2】设01x <<，函数411y x x=+-的最小值为 ． 【答案】 9 【解析】41414(1)4(1)[(1)]()55291111x x x x y x x x x x x x x x x--=+=+-⋅+=++≥+⋅=----， 当且仅当xx x x )1(41-=-，32=x 时，等号成立，∴y 的最小值是9. 【2-3】已知0,0,lg 2lg8lg 2xyx y >>+=，则113x y+的最小值是 ． 【答案】4【2-4】若a>0，b>0，且a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为 ． 【答案】2【解析】由2＝a ab 0<ab≤1，令t ＝ab ，t ∈(0,1]，则y ＝t ＋1t在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y min ＝2，故选A.【2-5】设x>0，y>0，且x ＋4y ＝40，则lgx ＋lgy 的最大值是 ． 【答案】2【解析】∵x ＋4y ＝40，且x>0，y>0，∴x 4x y ⋅xy 当且仅当x ＝4y 时取“＝”) ∴xy∴xy≤100.∴lgx ＋lgy ＝lg(xy)≤lg100＝2. ∴lgx ＋lgy 的最大值为2. 【基础知识】 常见结论：1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+【思想方法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋a x(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【温馨提醒】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.考点3 基本不等式的实际应用【3-1】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）. 【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为x ,4x. 则该容器的最低总造价是808020160y x x=++≥.当且仅当2x =的时区到最小值. 【3-2】如图，在三棱锥P ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M PAB ，三棱锥M PBC ，三棱锥M PCA 的体积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，且1x ＋a y ≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．【答案】1【3-3】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为 ．【答案】4【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以2EB x =，2AE y =．AB EB AE =+＝22x y +≥2222x y ⋅＝2xy ，即2xy ≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4．【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y （万元）与营运年数)(*N x x ∈满足25122-+-=x x y ，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？ 【答案】5年【基础知识】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【思想方法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【温馨提醒】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题． 【易错问题大揭秘】 忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.答案 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．。
高考数学复习 基本不等式的应用课件 苏教版
2
(2) y
x
1
1
1 9
（3）令t x 1 (0,)
则x y t 45
（4）y
t
1 4
5
t
t
第七页，共15页。
15.已知 a,b R a b 3, ab ab
，
求 的取a 值 b
(f范法àn围一wé：(ifa)ànbwé3i)a;b求 2
ab 3
的取值范围
ab 3
即 ab 9 a b 6
（足最解 (2小)3：原）值（式.已1=）(知2x 原1正y)式(，x数求y4)(z3xy
h
è4xyn
x y
g 8s h 2的y
3
x
ù)
2
2
满
（3）x
2y
1 2
(x
2 y)(1 x
1) y
1 (3 2
2y x
x ) y
3 2
2
第九页，共15页。
12.（1）求y x 1 x2 的最大值.
（2）a 0,b 0, a2 b2 ，1 求 a 1 b2
x 1
（2） y 1 2x(1 2x) 1
2
8
第六页，共15页。
14.（1）求 y x2 1(x 0的) 最小值 2
x
（2）求
y
x
x2
(x
1
0)的最大值
1 2
（3）求 y x2 7x 10 x 1 的最小值
x 1
9
（4）求
y
x2
x 1 7x 10
x
1
的最大值
解：（1）y
x
1 x
的最大值.
2
解：（1）当 x 0 时y 取最大值，
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
江苏高考分类汇编04不等式教师版
x＋y＝2m＋1 之间的平面区域（包含边界）.
当m2 ＞m2，即 0＜m＜12时，A＝，不满足条件；当m2 ≤m2，即 m≤0 或 m≥12时，A≠.
若 m≤0，则 A＝{（x，y）|（x－2）2＋y2≤m2，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，半径为|m|的圆面（m
＝0 时是点（2，0））；
江苏高考数学分类汇编
第4页
波利亚的四步解题法：第一步，彻底理解问题；第二步，形成解决思路；第三步，执行；第四步，总结。
综上，实数 m 的取值范围是[12，2＋ 2].
方法二 由 A B 得， A ，所以 m2 m , m 1 或 m 0 .
2
2
2 2m
当 m 0 时，
2
2 2m 1
2m m ，且
2
2m m ，
2
2
2
又 2 0 2 2m 1，所以集合 A 表示的区域和集合 B 表示的区域无公共部分；
当 m 1 时，只要 2 2m m, 或 2 2m 1 m ，解得 2 2 m 2 2 或1 2 m 1 2 ，
无解.综上所述，满足不等式 f (1 x2 ) f (2x) 的 x 的范围是 x (1, 2 1) .
方法三
1 x2 0
1 x 1
（1） 2x 0
，解得
x
0
(1 x2 )2 1 (2x)2 1
x 2 1或x
2 1或1
波利亚的四步解题法：第一步，彻底理解问题；第二步，形成解决思路；第三步，执行；第四步，总结。
专题四 不等式
高考考试说明：一元二次不等式（C 级），线性规划（A 级），基本不等式（C 级）
高考数学总复习 64 基本不等式课件 苏教版
＝
13 5
＋
1 5
3yx＋1x2y
≥
13 5
＋
1 5
×2
5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.
答案：5
聚 焦 考 向 透 析
方
法
感
3x 12y y ·x
＝
悟 提 升
课
时
规
范
训
练
基
4．(课本改编题)设x，y都是正实数，且x＋4y＝40，则lg x＋lg
础 知
识
梳
y的最大值是__________．
理
聚
解析：x＋4y≥2 4xy；
焦 考
向
透
∴4 xy≤40，
析
方
∴xy≤100，
法 感
悟
提
∴lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 100＝2.
升
课
答案：2
时 规
范
训
练
5．若a>0，b>0且ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是________．
基 础
知
识
a＋b＝1
梳 理
解析：由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得a>0
聚
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
a＋b 2
，几何平均数为
焦 考 向 透
析
ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的
方 法
感
几何平均数．
悟 提
升
课 时 规 范 训 练
3．基本不等式的变形不等式
基
础
①a2＋b2≥2ab，(a，b∈R)
知 识
梳
(完整版)高中数学基本不等式知识点归纳及练习题(可编辑修改word版)
W＞0，W2＝3x＋2y＋2 3x· 2y＝10＋2 3x· 2y≤10＋( 3x)2·( 2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
∴ W≤ 20＝2 5
变式: 求函数 y
2x 1
5
2x
1 (
x
5 )
的最大值。
2
2
解析：注意到 2x 1与 5 2x 的和为定值。
y2 ( 2x 1 5 2x )2 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8
3
1
1
当 x＜0 时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2 x·=－2
x
x
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解：因 4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又 (4x 2)A 1 不是常数，所以对 4x 2 要进行拆、凑项，
4x 5
x
5 4
,5
4
x
0
，
y
4
x
2
4
1 x
5
5
4x
5
1 4x
2
2
2
巧和公式等号成立的条件等．
两个变形
( ) a2＋b2 a＋b
(1)
≥
2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)；
2
2
a2＋b2 a＋b
2
(2)
≥ ≥ ab≥ (a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时取等号)．
2
2
11
＋
ab
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．
三个注意
1
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
高中基本不等式
第44课 基本不等式●考试目标 主词填空1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．设a,b ∈R+,则称2ba +为a,b 的算术平均值；称ab 为a,b 的几何平均值. 3．平均值不等式的原形与变形 ①2ba + ≥ab (当且仅当a=b 时取等号)为原形. ②变形有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.4．利用平均值不等式求最大最小值，是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况. 5．最值定理如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .●题型示例 点津归纳【例1】 设x ∈［2,5),求下列函数的最值. (1)y =(3+2x )·(6-x ); (2)y =(3+2x )·(4-x ); (3)y =4x -9·2x +1+80; (4)y =6722++x x .【解前点津】 (1)因3+2x =12-2x 时,x =49∈［2,5］,故可直接应用平均值不等式; (2)因3+2x =8-2x 时,x =45但45∉［2,5］故不能使用平均值不等式; (3)可分解为y =(2x -8)·(2x -10); (4)因方程61622+=+x x 无根,故不能使用平均值不等式，而考虑其“单调性”.【规范解答】 (1)y =(3+2x )·(6-x )=21·(3+2x )·(12-2x ) ≤21×41［(3+2x )+(12-2x )］2=8225 ,当且仅当3+2x =12-2x ,即x =49时,y m ax =8225 , 又∵x =2时,y =28;x =5时,y =13<28,故函数只有最大值8225,而没有最小值.(2)因y =(3+2x )·(4-x )=-2x 2+5x +12,其对称轴为x =45,故函数在［2,5)上单调减;当x =2时,y m ax =(3+4)·(4-2)=14,函数没有最小值.(3)分解因式得:y =(2x -8)·(2x -10)=-(2x -8)·(10-2x )≥-22810⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,故y min =-1,又当x =2时,y =(4-8)·(4-10)=24,当x =5时,y =(32-8)·(32-10)=528.故当且仅当x =2时,函数有最小值-1,而函数没有最大值(x =5∉［2,5］］. (4)易证函数在［2,5］上单调增,故当x =2时,y min =101011,又因5∉［2,5］,故函数没有最大值. 【解后归纳】 利用平均值不等式求最值时，应考虑诸项条件是否齐备，对两个正数而言:和定→相等时→积最大;积定→相等时→和最小.在求函数的最值时，若不能使用平均值不等式，则可以考察函数的单调性.【例2】 一开发商在某处想圈一块周长为L 的地皮，这块地皮既可以为长方形，也可以为圆形，欲使其面积最大，应确定为何种图形?何种尺寸? 【解前点津】 设长方形的一边之长为x ,则邻边之长为2L -x ,则可先确定x ·(2L-x )的最大值. 【规范解答】 若确定为圆形，则面积为π⎪⎭⎫ ⎝⎛π2L 2=π42L;若确定为长方形，则不妨设其面积为S ,一边之长为x ,则邻边之长为2L -x ,故S =x ·(2L-x )≤161L 2.当且仅当x =2L -x 即x =4L时取等号. ∵41πL 2-161L 2=L 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-16141π>0,∴应确定为圆形地皮. 【解后归纳】 在一切封闭平面图形中，若周长一定，则只有圆的面积最大.【例3】 若正数a 、b 满足ab ≥a+b +3,试求a+b 的取值范围.【解前点津】 设a+b=x ,利用平均值不等式，可推导出一个关于x 的不等式.【规范解答】 设a+b=x ,则x >0,ab ≥x +3,又ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =42x，故由不等式的传递性得42x ≥x +3,解之x ≥6,故a+b 的取值范围是［6,+∞］. 【解后归纳】 求某表达式的取值范围，常可使用“换元法”，从而达到等价转化的目的. 【例4】 已知:x 、y 、z ∈R+,且满足x+y+z =1,求zy x 941++的取值范围. 【解前点津】 不具备用平均值不等式的条件，但是x1+mx ,mz z my y ++9,4(m >0),则可用等价变形，构造使用平均值不等式的条件可求范围. 【规范解答】 ∵x+y+z =1,引入参数m >0,∴mx+my+mz=m zy x 941++⇒=(x1+mx )+( )9()4mz z my y +++-m ≥2m +4m +6m -m =12m -m .当且仅当x 1=mx 且y 4=my 且z 9=mz ,即x =,1m 且y =m 2且z =m3时取等号.代入x+y+z =1得:m1+m2+m3=1.解之m =36.∴12m -m =1236-36=36. 综上所述可知:zy x 941++的取值范围是［36,+∞). 【解后归纳】 为了使用平均值不等式，可引入一个参数，构造一个含有参数的不等式，它能运用平均值不等式，使运算能进行下去，最后，依据相等的条件，可解出参数的值.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.已知x ,y ∈R ,且2x 2+y 2-4x ≤0,则 ( )A.y 2>4xB.y 2<4xC.y 2≥4xD.y 2≤4x 2.已知三个不等式:ab >0,-bda c -<,bc >ad ,以其中两个作条件，余下一个作结论，可以组成正确命题的个数是 ( )A. 0B.1C.2D.3３.对于x ∈［0,1］的一切值，则a +2b >0是使ax +b >0恒成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件４.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的 平均增长率为x ,则有 ( )A.x =21(a+b ) B.x ≤21(a +b ) C.x >21(a +b ) D.x ≥21(a +b )５.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立，则正数a 的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.212+D.22+1６.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为( )元.A.1000B.1500C.2000D.2500７.设x ,y 是满足2x +y =20的正数,则lg x +lg y 的最大值是 ( ) A.50 B.2 C.1+lg5 D.18.已知正数a ,b 满足ab =a +b +5,则ab 的取值范围是 ( ) A.［7+6,+∞) B.［7-6,+∞) C.［7+26,+∞) D.［7-26,+∞)二、思维激活9.点P (x ,y )是直线x +3y -2=0上的动点,则代数式3x +27y 的最小值是 . 10.如果|x |≤4π,则函数f (x )=cos 2x +s in x 的最大值是 . 11.如果圆柱轴截面的周长L 的定值，则圆柱体积的最大值为 .12.某厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P 1，第三年比第二年增长的百分率为P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，若P 1+P 2+P 3为定值，则年平均增长率的百分率P 的最大值为 . 三、能力提高13.已知2b +ab +a =30(a >0,b >0),求y =ab1的最小值.14.求函数y =1)2)(5(+++x x x (x >-1)的值域.15.已知:a >b >0,求2223196b ab b a b a -+-的最小值.16.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (千米／时)的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米／时)的函数，并指出该函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶.第2课 基本不等式习题解答1.D 因2x 2≤4x -y 2成立,故必有4x -y 2≥0即y 2≤4x .2.D 可逐一检验.３.B 由条件,x =0时,b >0,x =1时,a +b >0⇒a +2b >0. ４.B由(1+x )2=(1+a )(1+b )≤(1+2b a +)2. ５.B 由条件:2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-,令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2,∴a =2. ６.C设池底的一边长为x m,总造价为y 元,则池底的邻边之长为x4m,由条件得:y =180·x ·x 4 +80·2(2x +x 8)=720+320(x +x4)≥720+320·2·x x 4+=2000.7.Clg x +lg y =lg xy =lg x ·(20-2x )=lg ［2·x ·(10-x )］≤lg ［2·2210⎪⎭⎫⎝⎛-+x x =lg50=1+lg5.8.C由ab =a +b +5≥2ab +5,得(ab )2-2ab ≥5(ab -1)2≥6ab ≥7+26 .9.3x +27y =32-3y +33y ≥2y y 33233•-=6,,故最小值为6. 10.f (x )=1-sin 2x +sin x =1+sin x (1-sin x )≤1+(21)2=45. 11.因4R +2h =L 为定值,故V柱=πR 2·h =π·(2R )·(2R )·(2h )·81≤8π·33222⎪⎭⎫ ⎝⎛++h R R =8π ·(3L)3=2161πL 3为所求最大值. 12.由题意:(1+P 1)·(1+P 2)·(1+P 3)=(1+x )3,∴(1+x )3≤332113⎪⎭⎫⎝⎛+++P P P ,∴x ≤31(P 1+P 2+P 3),故P 的最大值为31(P 1+P 2+P 3). 13.∵2b +ab +a =30,∴30≥ab +22·ab ,∴-52 ≤ab ≤32,当且仅当a =2b 时,取等号,解方程组⎩⎨⎧=++=3022a ab b b a 得a =6且b =3⇒y min =181.14.∵x >-1,∴x +1>0,令m =x +1,则m >0且y =54)1)(4(++=++mm m m m ≥2m m 4•+5=9,当且仅当m =2时取等号,故y min =9.又当m →∞时,y →∞,故原函数的值域是［9,+∞).15.∵a >b >0,∴a -b >0,故)(196)(196)(196222223b a b a b a b b a b a bab b a b a -+=-+-=-+-. 而b ·(a -b )=[]2)(b a b -≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a b =42a(当且仅当b =a -b 即2b =a 时取等号).故b ·(a -b )有最大值42a .故原式=a 2+)(196b a b -•≥a 2+24196a⨯≥2224196a a ⨯•=56. (当且仅当a 2=24196a⨯,2b =a ,即a =27,7=b 时取等号). 故原式的最小值为56.16.(1)由条件知:汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s ／v ,全程运输成本为y =a ·v s +bv 2·v s =s (v a +bv ),故所求函数及定义域为:y =s ·(va+bv ),v ∈(0,c ). (2)因s 、a 、b 、v 都为正数，故有s ·(v a +bv )≥2s ·ab ,当且仅当va=bv ,即v =b a 时取等号. 若b a ≤c ,则当v =ba时,全程运输成本y 最小; 若b a >c ,当v ∈(0,c ］时，有s ·(v a +bv )-s ·(c a +bc )=s ·［a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-c v 11+b (v -c )］=vc s ·(c -v )·(a -bcv ). 因为c -v ≥0且a >bc 2,故a -bcv >a -bc 2>0. 所以s ·⎪⎭⎫⎝⎛+bv v a ≥s ⎪⎭⎫⎝⎛+bc c a . 当且仅当v =c 时等号成立，也即v =c 时，全程运输成本y 最小; 综上所述知：为使全程运输成本y 最小,当b a ≤c 时,行驶速度应为v =b a ;当ba>c 时,行驶速度应为v =c .。
(完整版)基本不等式知识点和基本题型
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+ 二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值； 变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
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1 2011届江苏省高考复习专题（内部）系列：
第四课时 基本不等式
【学习目标】
1．理解均值定理及均值不等式的证明过程
2．能应用均值不等式解决最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题
3．在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。
4．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。
【学习重点】
应用数形结合的思想理解基本不等式 【学习难点】
应用基本不等式求最大值和最小值 [自主学习]
1．基本不等式
2
,0,
a R a ∈≥0
a ≥
2
2
2
(
)
2
2
a
b a b ++≥，
2
2
2
a b c a b b c a c
++≥++
若a>b>0,m>0,则
b b m a
a m +<
+； 若a,b 同号且a>b 则
11a b
<。
ab
b
a
R b a 2,,2
2
≥+∈则
2．均值不等式: 两个正数的均值不等式：
ab
b a ≥
+2
变形ab b
a 2
≥+，2
2a b a b +⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭
等。
3．最值定理:
设,0,x y x y >+≥由
（1）如果x,y 是正数,且积(x y P =是定值）,则xy 时
,x y +和有最小值
（2）如果x,y 是正数和(x y S +
=是定值）,则
x=y 时,2
2
S x y 积有最大值（
）
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
2 [课前热身]
1. 已知,x y R +∈，且41x y
+=，则x y ⋅的最大值为 .
2. 若0,0x y >>1x y +=,则
41x y
+的最小值为 ．
3. 已知：0
>>x
y ，且1=xy ，则2
2
x y x y
+-的最小值是 .
4. 已知下列四个结论
①当2lg 1lg ,10≥+≠>x
x x x 时且
；②02
x >≥当时；
③x
x x
1,2+
≥时当的最小值为2；④当x
x x 1,20-
≤<
时无最大值.
则其中正确的个数为
[典型例析] 例1（1）已知54
x
<，求函数14245
y
x x =-+
-的最大值.
（2）求函数1
42
2
++
=x x y 的最小值求2
2
242
y
x x =--
+的最大值.
变式训练
（1）已知x 、y 为正实数，且121+=x y
，求
x+y 的最小值。
（2） 已知0
0>>y x ，，且30
2=++xy y x
，求xy 的最大值．
例2 某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为82
m，问x y分别为多少时用料最省？
例3 已知A(0,9) B(0,16)是y轴正半轴上的两点，C(x,0)是x轴上任意一点，求当点C 在何位置时，A C B
最大？
3
4 [当堂检测]
1. 已知lg lg 1x y +=，则
52x
y
+
的最小值是 .
2.若x ，y 是正数，则2
2
)
21()
21(x
y y
x +
++的最小值是
3. 函数1(01)
x
y
a
a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10(0)
m x n y m n +-=>上，则11m n
+的最小值为 ．
4．已知不等式1()(
)9
a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小
值为
[学后反思]____________________________________________________ _______
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