21.5(3)反比例函数的综合应用

4 ＋2.∴这两个函数的表达式分别为 y1＝ ，y2＝2x＋2 (2)由图象可知，当 x 0<x<1 时，y1>y2 成立 (3)∵点 C 与点 A 关于 x 轴对称， ∴C(1，－4)．过 点 B 作 BD⊥AC， 垂足为 D， 则 D(1， －2)． 于是△ABC 的高 BD＝1－(－ 1 1 2)＝3，底为 AC＝4－(－4)＝8，∴S△ABC＝ AC·BD＝ ×8×3＝12 2 2
反比例函数增减性的应用：
k 都在反比例函数 y k 0 的图象上,则y1与y2 x y 的大小关系为 .
3.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)且x1＜0＜x2
y1 ＞0＞y2
A
o
y1
x2
x
B
x1
y2
反比例函数解析式中 右图是反比例函数
k 的几何意义：
P
S1 S2 R
的图象，图中矩形的面积
21.5 反比例函数
第3课时 反比例函数的综合应用
定远第一初中 钱传福
1.如果反比例函数 限，那么m的范围为
的图象位于第二、四象 .
由1－3m＜0
得－3m＜－ 1
1 ∴ m＞ 3
定远第一初中 钱传福
2.反比例函数
的图象过点(-4,-2),
8 那么它的解析式为________.当x=1时, y=____.
k 4 解：(1)∵点 A(1，4)在 y1＝ 的图象上，∴k＝1×4＝4，∴y1＝ ，∵ x x 4 点 B 在 y1＝ 的图象上，∴m＝－2，∴点 B(－2，－2)，又∵点 A，B 在 x
a＋b＝4， a＝2， 一次函数 y2＝ax＋b 的图象上，∴ 解得 ∴y2＝2x － 2a ＋ b ＝－ 2 ， b ＝ 2.
o
P(m,n)
A (3)设P(m,P n/ )关于原点的对称点是 P(m,n),过P作x
x
与过P作y轴的垂线交于 A点, 则 1 1 SPAP | AP AP | | 2m | | 2n | 2 | k | . 2 2
y
y
s1 s 2
P/
o
s1s2P(m,n)
x
P/
o
s1 s 2
◇ 作业：
k 1.如图，点 P 是正比例函数 y＝x 与反比例函数 y＝x在 第一象限内的交点，PA⊥OP 交 x 轴于点 A，△POA 的面积
2 ． 为 2，则 k 的值是____
（图 1)
（图 2)
1 3 2.如图，点 A 在双曲线 y＝ 上，点 B 在双曲线 y＝ 上， x x 且 AB∥x 轴，C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，
k 3. 函数y=kx-k 与 y k 0 在同一条直角坐标 x 系中的图象可能是 D :
y o (A) x y o (B) x y o (C) x y o (D) x
反比例函数增减性的应用：
1.已知点A(-2,y1)，B(-1,y2)都在反比例函 4 数 y 的图象上,则y1与y2的大小关系 x (从大到小)为 y1＞ y2. 2.已知点A(-2,y1)，B(1,y2)都在反比例函 k 数 y x (k 0)的图象上,则y1与y2的大小关 系为 y1＞ y2 .
S1、S2、S3之间何关系？ 为什么？

Q

S3
( 2)过 P分别作 x 轴, y轴的垂线 , 垂足分 （ 1 ）过 P分别作 x轴, y 轴的垂线 , 垂足分别为 A, B,
则 S OA AP | m | | n | | k | ( 如图所示 ). 矩形 OAPB 则S OA AP | m | | n || k | .
（图 1)
（图 2)
2．如图，A 是反比例函数图象上的一点，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，点 P 在 x 轴上，△ABP 的面积为 2，则这个反比例函数解析式为 4 y＝ x ． _________
◇ 练习：
1 3.如图:A、C是函数 y 的图象上任意两点， x
垂足为D.记Rt AOB的面积为S1 , Rt OCD的面积为S 2 , 则 ___ C .
s1s2
P(m,n)
x
1 s1 s2 k 2
以上几点揭示了双曲线上的点构成的几何图 形的一类性质.掌握好这些性质,对解题十分 有益.(上面图仅以P点在第一象限为例).
◇ 练习：
k 1.如图，过反比例函数 y＝x(k≠0)图象上一点，分别作 x 轴、y 轴的垂
－6 ． 线，垂足为 C，B，若△ABC 的面积是 3，则 k＝______
x
图象上，点 A1，A2，A3，…在 x 轴的正半轴上，则点 P2015 的
2( 2014＋ 2015) 横坐标为_________________ ．
7.一辆汽车匀速通过某段公路， 所需时间 t(h)与行驶速度 k v(km/h)满足函数关系式 t＝v，其图象为如图所示的一段曲线 且端点为 A(40，1)和 B(m，0.5)． (1)求 k 和 m 的值； (2)若行驶速度不得超过 60 km/h，则汽车通过该路段最 少需要多少时间？
o A.S1>S2 S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 C D.S1和S2的大小关系不能确定.
S1
过A作x轴的垂线, 垂足为B.过C作y轴的垂线,
y
A
B
x
D
◇ 练习：
k 4.如图, P是反比例函数 y 图像上的一点 ,由P分别 x 向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为 3, 则这个反比例 函数的解析式是____.
k 5.如图，已知双曲线 y＝x(x>0)经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F，交 BC 于点 E，且四边形 OEBF 的面积为 2，
2 ． 则 k＝____
6．如图，已知△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，…均为等腰 4 直角三角形，直角顶点 P1，P2，P3，…在函数 y＝ (x>0)的
2 ． 则它的面积为____
3.在平面直角坐标系中， 菱形 OABC 的对角线 OB 在 x 轴上， 2 4 顶点 A 在反比例函数 y＝x的图象上，则菱形的面积为____．
3 4．如图，点 A，B 是双曲线 y＝ 上的点，分别经过 A，B x
4 ． 两点向 x 轴，y 轴作垂线段，若 S 阴影＝1，则 S1＋S2＝____
y P(m,n) o A x y A o P(m,n) x
S OAP
1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
(3)设P(m, n)关于原点的对称点是 P(m,n), 过P作 x轴的垂线与过P作y轴的垂线交于A点, 则 y 1 1 S PAP | AP AP | | 2m | | 2n | 2 | k | (如图所示). 2 2
y
Q(a,b) P(m,n) M(c,d) N(e,f) o A x o
P(m,n)
A x
1 1 1 1 1 | a | | b | | m | | n | | c | | d | | e | | f | | k | 2 2 2 2 2
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结 论成立吗?
40 解： (1)k＝40， m＝80 (2)由 t＝ v 40 2 得 v＝ ≤60，∴t≥ ，故汽车通过该 t 3 2 路段至少用 小时 3
【综合应用】
k 8.如图， 已知反比例函数 y1＝x的图象与一次函数 y2＝ax＋ b 的图象交于点 A(1，4)和点 B(m，－2)． (1)求这两个函数的表达式； (2)观察图象，当 x>0 时，直接写出 y1>y2 时自变量 x 的取 值范围； (3)如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求△ABC 的面积．
矩形OAPB
y
（a、b） P
S1 R （ e、 f ） S2
B
P(m,n) A

Q （c、d）
o
x
S3
ab cd ef k
s1 s2 s3
k k 设设 P(P m( ,m n) y )上任意一点 , , ,是双曲线 n)是双曲线 y ( k ( k0 0)上任意一点 x x (1)( 过 作 轴的垂线 , 垂足为 A, 则 2)P 过 Px 作 x轴的垂线 , 垂足为 A, 则 1 1 1 S OAP OA AP | m | | n | | k | 2 2 y 2
解: 设P(m,n)，则mn=k
S矩形APCO mn | k |, | k | 3.
又图像在二 ,四象限,
P
y
C
k 3
A
o x
课堂小结
①反比例函数的性质 及应用 ②反比例函数的图象的分布与比例系数k的符号的关系 ③反比例函数的图象上的点与坐标轴围成的图形的面积 与比例系数的关系