2020-2021学年人教版七年级下册 第5章 相交线与平行线 培优训练(四)
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人教版七年级下册第5章相交线与平行线
培优训练(四)
1.如图,若∠1=∠2,∠A=∠3.则可以推出AC∥DE.请完成下面的推理过程:因为∠1=∠2,所以AB∥
所以∠A=∠4
又因为∠A=∠3,所以∠3=∠
所以AC∥DE
2.如图,已知∠1=∠BDE,∠2+∠3=180°
(1)证明:AD∥EF.
(2)若DA平分∠BDE,FE⊥AF于点F,∠1=40°,求∠BAC的度数.
3.如图,AB∥CD,AB=CD,点B、E、F、D在同一直线上,∠BAE=∠DCF.(1)求证:AE=CF;
(2)连结AF、EC,若AE=AF,试猜想四边形AECF是什么四边形,并证明你的结论.
4.【问题原型】
如图①,AB∥CD,点M在直线AB、CD之间,则∠M=∠B+∠D,小明解决上述问题的过程如下:
如图②,过点M作MN∥AB
则∠B=()
∵AB∥CD,(已知)
MN∥AB(辅助线的做法)
∴MN∥CD()
∴∠=∠D()
∴∠B+∠D=∠BMD
请完成小明上面的过程.
【问题迁移】
如图③,AB∥CD,点M与直线CD分别在AB的两侧,猜想∠M、∠B、∠D之间有怎样的数量关系,并加以说明.
【推广应用】
(1)如图④,AB∥CD,点M在直线AB、CD之间,∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N,∠M=96°,则∠N=°;
(2)如图⑤,AB∥CD,点M与直线CD分别在AB的两侧,∠ABM的平分线与∠CDM
的平分线交于点N,∠N=25°,则∠M=°;
(3)如图⑥,AB∥CD,∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M,∠G=78°,∠F=64°,∠E=64°,则∠M=°.
5.感知:如图①,若AB∥CD,点P在AB、CD内部,则∠P、∠A、∠C满足的数量关系是.
探究:如图②,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则∠APC、∠A、∠C满足的数量关系是.
请补全以下证明过程:
证明:如图③,过点P作PQ∥AB
∴∠A=
∵AB∥CD,PQ∥AB
∴∥CD
∴∠C=∠
∵∠APC=∠﹣∠
∴∠APC=
应用:(1)如图④,为北斗七星的位置图,如图⑤,将北斗七星分别标为A、B、C、D、
E、F、G,其中B、C、D三点在一条直线上,AB∥EF,则∠B、∠D、∠E满足的数量
关系是.
(2)如图⑥,在(1)问的条件下,延长AB到点M,延长FE到点N,过点B和点E分别作射线BP和EP,交于点P,使得BD平分∠MBP,EN平分∠DEP,若∠MBD=25°,则∠D﹣∠P=°.
6.如图,直线AB与CD相交于点O,OD平分∠BOE.
(1)图中∠AOD的补角是(把符合条件的角都填出来);
(2)若∠AOC=28°,求∠BOE的度数.
7.如图,直线AB与CD相交于点E,射线EG在∠AEC内(如图1).(1)若∠BEC的补角是它的余角的3倍,则∠BEC=°;
(2)在(1)的条件下,若∠CEG比∠AEG小25度,求∠AEG的大小;
(3)若射线EF平分∠AED,∠FEG=m°(m>90°)(如图2),则∠AEG﹣∠CEG =°(用m的代数式表示).
8.如图,射线OA∥射线CB,∠C=∠OAB=120°.点D、E在线段BC上,且∠DOB=∠BOA,OE平分∠DOC.
(1)说明AB∥OC的理由;
(2)求∠BOE的度数;
(3)平移线段AB,若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC=∠OBA,试求此时∠OEC 的度数.
9.如图,在△ABC中,∠A=∠B,D、E是边AB上的点,DG∥AC,EF∥BC,DG、EF相交于点H.
(1)∠HDE与∠HED是否相等?并说明理由.
解:∠HDE=∠HED.理由如下:
∵DG∥AC(已知)
∴=()
∵EF∥BC(已知)
∴=()
又∵∠A=∠B(已知)
∴=().
(2)如果∠C=90°,DG、EF有何位置关系?并仿照(1)中的解答方法说明理由.解:.理由如下:
10.如图,已知直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD,OM是∠BOF的角平分线.(1)若∠AOC=25°,求∠BOD和∠COE的度数;
(2)若∠AOC=α,求∠EOM的度数(用含α的代数式表示).
参考答案
1.解:∵∠1=∠2,
∴AB∥CE,
∴∠A=∠4(两直线平行,内错角相等,
∵∠A=∠3,
∴∠3=∠4,
∴AC∥DE(内错角相等,两直线平行),
故答案为:CE,(内错角相等,两直线平行),4,(内错角相等,两直线平行).2.(1)证明:∵∠1=∠BDE,
∴AC∥DE,
∴∠2=∠ADE,
∵∠2+∠3=180°,
∴∠3+∠ADE=180°,
∴AD∥EF;
(2)∵∠1=∠BDE,∠1=40°,
∴∠BDE=40°,
∵DA平分∠BDE,
∴∠ADE=BDE=20°,
∴∠2=∠ADE=20°,
∵∠2+∠3=180°
∴∠3=160°,
∵FE⊥AF,
∴∠F=90°,
∴∠B=360°﹣90°﹣160°﹣40°=70°,
在△ABC中,∠BAC=180°﹣∠1﹣∠B=180°﹣40°﹣70°=70°.3.(1)证明:∵AB∥CD
∴∠B=∠D
又∵AB=CD,∠BAE=∠DCF