2013届人教A版文科数学课时试题及解析(25)平面向量的数量积B

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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(33)数列的综合应用B

课时作业(三十三)B [第33讲数列的综合应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．一张报纸厚度为a ，对折(沿一组对边的中点连线折叠)7次后，报纸的厚度为( )A ．8aB ．64aC ．128aD ．256a2．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg0.97＝－0.0132，lg0.5＝－0.3010)( )A ．22B ．23C ．24D ．253．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )A ．11B ．17C ．22D ．234．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为________米．能力提升5．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝( ) A.1n B.2nC ．－1nD ．－2n6．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)，则a 2011＝( ) A ．－12 B ．－23C.35D.527．设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93.若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．198．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 9．已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n ，若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，设b n ＝1na n ，则使b 1＋b 2＋…＋b n <99100成立的最大n 值为( ) A ．97 B ．98 C ．99 D ．10010．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．11．已知数列{a n }中，a 201＝2，a n ＋a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则a 2011＝________.12．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意的正整数p ，q 都有a p ＋q ＝a p a q ，则a 8的值为________．13．已知a n ＝3n ，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状：a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9………………记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (11,12)＝________.14．(10分) 已知数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项a n 及S n ；(2)设数列{b n ＋a n }是首项为－2，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .15．(13分)某市2011年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2012年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2018年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(参考数据lg 65732lg1.5≈7.5)难点突破16．(12分) 设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n ≤b n ＋1＋1.课时作业(三十三)B【基础热身】1．C [解析] 报纸的厚度为27a ＝128a .故选C.2．B [解析] 依题意有(1－3%)n <0.5，所以n >lg0.5lg0.97≈22.8.故选B. 3．C [解析] 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22，故选C.4．1700 [解析] 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n ，则14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，所以山的高度为h ＝(18－1)×100＝1700(米)．【能力提升】5．C [解析] 已知变形为1a n ＋1－1a n＝－1，设b n ＝1a n ，则{b n }是等差数列，b 1＝－1，b n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n.故选C. 6．C [解析] 由递推公式得a 2＝－23，a 3＝52，a 4＝35，a 5＝－23，…，所以数列{a n }是周期数列，周期为3，于是a 2011＝a 2010＋1＝a 1＝35.故选C. 7．C [解析] 依题意即求S n 最大时的项数n .将两已知等式相减，可得公差d ＝－2，所以3a 1＋9d ＝99，解得a 1＝39，所以a n ＝39－2(n －1)＝41－2n .当a n >0时，S n 取得最大值，所以41－2n >0，得n <20.5，所以k ＝n ＝20.故选C.8．B [解析] 从上到下各节记为a 1，a 2，…，a 9，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 9＋a 8＋a 7＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ d ＝766，a 1＝1322，所以a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.故选B. 9．B [解析] 因为S 3＝3a 2≤9，即a 2≤3，且a 1>1，a 4>3，首项及公差d 为整数，所以可得a 1＝2，d ＝1，所以a n ＝n ＋1，所以b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，所以n n ＋1<99100成立的最大n 值为98.故选B. 10.104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x )10＝4，所以x ＝104－1.11．2 [解析] 由已知得a n ＋1＝－a n ，所以a 202＝－2，a 203＝2，a 204＝－2，…，可以看出，奇数项为2，偶数项为－2，所以a 2011＝2.12．256 [解析] 令p ＝q ＝1，则a 2＝4，令p ＝q ＝2，则a 4＝16，令p ＝q ＝4，则a 8＝256.13．3112 [解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，所以前10行数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A (11,12)为{a n }的第112项，所以A (11,12)＝a 112＝3112.14．[解答] (1)因为数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝12的等比数列，所以a n ＝2·⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n . (2)依题意得：b n ＋a n ＝－2＋2(n －1)＝2n －4，所以b n ＝2n －4－a n ＝2n －4－22－n .设数列{b n ＋a n }的前n 项和为P n ，则P n ＝n (－2＋2n －4)2＝n (n －3)，所以T n ＝P n －S n ＝n (n －3)－4⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n 2－3n －4＋22－n . 15．[解答] (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2018年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1q 6＝128×1.56＝1458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10000＋S n >13，即S n >5000，于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5000，即1.5n >65732，则有n >lg 65732lg1.5≈7.5，因此n ≥8. 所以，到2019年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13. 【难点突破】16．[解答] (1)由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋n －1>0， n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b，当n ≥2时，A n ＝1b ＋1bA n －1 ＝1b ＋…＋1b n －1＋1bn －1A 1 ＝1b ＋ (1)n －1＋1b n . ①当b ≠1时，A n ＝1b ⎝⎛⎭⎫1－1b n 1－1b＝b n －1b n (b －1)， ②当b ＝1时，A n ＝n .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n (b －1)b n －1，b ≠1，1， b ＝1.(2)证明：当b ≠1时，欲证2a n ＝2nb n (b －1)b n －1≤b n ＋1＋1，只需证2nb n ≤(b n ＋1＋1)b n －1b －1. ∵(b n ＋1＋1)b n －1b －1＝b 2n ＋b 2n －1＋…＋b n ＋1＋b n －1＋b n －2＋…＋1＝b n ⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n ＋b n －1＋1b n 1＋...＋b ＋1b >b n (2＋2＋ (2)＝2nb n ，∴2a n ＝2nb n (b －1)b n －1<1＋b n ＋1. 当b ＝1时，2a n ＝2＝b n ＋1＋1.综上所述2a n ≤b n ＋1＋1.。

2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)4：平面向量

2013年高考解析分类汇编4：平面向量一、选择题错误！未指定书签。

．（2013年高考辽宁卷（文3））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A(3,4)AB =- ，所以||5AB = ，这样同方向的单位向量是134(,)555AB =- ，选A.错误！未指定书签。

．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（）A B C ． D ．【答案】A本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。

因为(2,1),(5,5)AB CD ==,所以(2,1)(5,5)15AB CD ⋅=⋅=，CD == 。

所以向量AB 在CD 方向上的投影为cos ,AB CD AB AB CD CD⋅<>===，选A.错误！未指定书签。

．（2013年高考大纲卷（文3））已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（）A ．4-B ．3-C ．-2D ．-1【答案】B0)62()1,1()3,32()()(=+-=--∙+=-⊥+λλ，所以3-=λ，故选B.错误！未指定书签。

．（2013年高考湖南（文8））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ ____ （）A 1- BC 1+D 2+【答案】C【命题立意】本题考查数量积的应用。

因为0a b ⋅= ，即a b ⊥ ，又1a b ==，所以a b += ,a b固定，设u a b =+ ，则1c u -= ，即c 的终点在以u 对应点为圆心，半径为1的圆上。

则当c 与u方向相同时，max1c= ，选C错误！未指定书签。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(1)集合及其运算

课时作业 (一) [第 1讲会合及其运算 ][时间： 45 分钟分值： 100分]基础热身1．已知会合 M＝ {0,1,2,3,4} ， N＝ {1,3 ， 5} ， P＝M∩ N，则 P 的子集共有 ()A．2个 B．4 个 C．6 个 D．8 个2．已知全集是实数集R，M＝{ x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(?R M)∩N等于()A．{4} B ．{3,4}C．{2,3,4}D． {1,2,3,4}3．设全集U＝ { x∈N* |x＜ 6} ，会合 A＝ {1,3}，B＝{3,5} ，则 ?U(A∪ B)＝ ()A ． {1,4}B． {1,5}C． {2,4} D ．{2,5}4．设非空会合 M、N知足： M＝ { x|f(x)＝ 0} ，N＝ { x|g(x)＝ 0} ，P＝ { x|f(x)g(x)＝ 0} ，则集合 P 恒知足的关系为 ()A．P＝M∪N B．P? (M∪N)C．P≠ ? D ．P＝ ?能力提高5．已知会合 M＝{0,1,2} ， N＝ { x|x＝－ a， a∈ M} ，则会合 M∩ N＝()A．{0 ，－ 1}B．{0}C．{ － 1，－ 2} D ．{0 ，－ 2}2－ 2x＋ 3)} ，6．设 A、B 是两个会合，定义 M* N＝ { x|x∈ M 且 x?N} ．若 M＝ { y|y＝ log2(－ xN＝ { y|y＝x， x∈ [0,9]} ，则 M *N＝ ()A ． (－∞， 0]B． (－∞， 0)C．[0,2] D ． (－∞， 0)∪ (2,3]7．设会合 A＝ {1,2} ，则知足 A∪B＝ {1,2,3} 的会合 B 的个数为 ()A．1 B．3C．4D． 8x－ y＋1>0 ，8．若会合 P＝{ 0， 1， 2}， Q＝ (x， y)x， y∈ P，则 Q 中元素的个数x－ y－2<0 ，是()A．4 B．6C．3 D． 59．已知全集 U ＝R，会合 M ＝{ y|y＝ x2－ 1，x∈R} ，会合 N＝ { x|y＝4－x2} ，则 (?U M)∩ N ＝()A．(－2，－ 1)B．[ －2，－ 1)C．[ －2,1)D． [－ 2,1]10．已知全集 U ＝ { － 2，－ 1,0,1,2} ，会合 A＝ x x＝ 2 ，x， n∈Z，则Un－ 1? A＝ ________.11．已知会合A＝ { x∈R||x－ 1|<2} ，Z为整数集，则会合A∩Z中全部元素的和等于________．12．已知会合 A＝ { － 1,2} ， B＝ { x|mx＋ 1＝ 0} ，若 A∪B＝ A，则 m 的值为 ________．13．已知会合 M＝ {0,1,2,3,4} ，A?M，会合 A 中全部的元素的乘积称为会合 A 的“累积值”，且规定：当会合 A 只有一个元素时，其积累值即为该元素的数值，空集的积累值为 0.设会合 A 的积累值为 n.(1)若 n＝ 2 时，这样的会合 A 共有 ________个；(2)若 n 为偶数，则这样的会合 A 共有 ________个．14．(10 分 )已知 x∈R，y>0，会合 A＝{ x2＋ x＋ 1，－ x，－ x－ 1} ，会合 B＝－ y，－y ，2y＋1，若 A＝ B，求 x2＋ y2的值．15． (13 分)已知会合 A＝ x y＝6－ 1 ，会合 B＝{ x|y＝ lg(－ x2＋ 2x＋ m)} ．x＋1(1)当 m＝3 时，求 A∩ (?R B)；(2)若 A∩ B＝ { x|－ 1< x<4} ，务实数m 的值．难点打破16． (12 分)会合 A＝{ x|－ 2≤ x≤5} ， B＝ { x|m＋ 1≤ x≤ 2m－ 1} ．(1)若 B? A，务实数m 的取值范围；(2)当 x∈Z时，求 A 的非空真子集的个数；(3)当 x∈R时，若 A∩ B＝ ?，务实数m 的取值范围．作业手册课时作业 ( 一)【基础热身】1． B [ 分析 ] 由于 M ＝ {0,1,2,3,4} ， N ＝{1,3,5} ，因此 P ＝ M ∩N ＝ {1,3} ，因此会合 P 的子集共有 ? ， {1} ，{3} ， {1,3}4 个．2． C [分析 ] 由于 ? R M ＝ { x|x>1} ，因此 (? R M)∩ N ＝ {2,3,4} ．3． C [分析 ] 由题知 U ＝ {1,2,3,4,5} ， A ∪ B ＝ {1,3,5} ，故 ? U (A ∪ B)＝ {2,4} ，应选 C. 4．B [分析 ] 会合 M 中的元素为方程 f(x)＝ 0 的根，会合 N 中的元素为方程 g(x)＝ 0 的根．但有可能 M 中的元素会使得 g(x)＝ 0 没存心义，同理 N 中的元素也有可能会使得f( x) ＝0 没存心义．如： f(x) ＝ x － 2，g(x)＝ 1－ x ，f(x) ·g(x)＝ x －2· 1－x ＝0 解集为空集．这里简单错选 A 或 C.【能力提高】 5． B [分析 ] ∵ N ＝ {0 ，－ 1，－ 2} ，∴ M ∩ N ＝{0} ．应选 B.6．B [ 分析 ] y ＝ log 2(－ x 2－ 2x ＋ 3)＝ log 2[ － (x ＋1) 2＋4] ∈(－∞， 2] ，N 中，∵ x ∈ [0,9] ，∴y ＝ x ∈ [0,3] ．联合定义得： M*N ＝ (－∞， 0) ．7． C [分析 ] 依题意，会合 B 能够是 {3} ， {1,3} ， {2,3} ， {1,2,3} ，应选 C.8． D [分析 ] Q ＝ {( x ， y)|－ 1<x － y<2， x ， y ∈ P} ，由 P ＝{0,1,2} 得 x － y 的取值只可能是 0 和 1.∴Q ＝ {(0,0) ， (1,1)， (2,2)， (1,0)， (2,1)} ，含有 5 个元素．9． B [ 分析 ] 会合 M 是函数的值域， M ＝ { y|y ≥－ 1} ， ? U M ＝ { y|y<－ 1} ；会合 N 是函数的定义域， N ＝{ x|－ 2≤x ≤ 2} ，因此 (? U M)∩ N ＝ [－2，－ 1)．应选 B.10． {0}[ 分析 ] 当 n ∈{ － 1,0,2,3} 时， x ∈ { － 1，－ 2,2,1} ，即 A ＝{ － 1，－ 2， 2,1} ，因此 ? U A ＝{0} ．11． 3 [分析 ] A ＝ { x ∈R ||x － 1|<2} ＝ { x|－ 1<x<3} ． ∴ A ∩ Z ＝{0,1,2} ，即 0＋1＋ 2＝ 3.1[分析 ] ∵ A ∪ B ＝A ，∴ B? A. 12．0或 1或－2 当 B ＝ ? 时， m ＝ 0，切合题意；当 B ≠ ? 时， m ≠ 0，此时 x ＝－ m 1.∵ B? A ， ∴－ 1＝－ 1或－ 1＝2，m m∴ m ＝ 1 或 m ＝－ 1.21综上可知， m 的取值为 0 或 1 或－ .213．(1)2 (2)29[分析 ] 利用列举法可求 A ＝ {2} 或 {1,2} ．但求解 (2) 时，应先算出 n 为奇数时会合 A 共有 3个， M ＝ {0,1,2,3,4} 子集的个数有 32 个，因此 n 为偶数，会合 A 共有29 个． (说明：不从反面下手，计算太麻烦)14． [解答 ] 由 x ∈ R ， y>0 ，则 x 2＋ x ＋1>0 ，－ y<0，－ y<0， y ＋ 1>0，且－ x － 1<－ x ，2 －y<－ y.由于 A ＝ B ，2x 2＋ x ＋ 1＝y ＋ 1，－ x － 1＝－ y ， x ＝1，因此解得－ x ＝－ y，y ＝2.2因此 A ＝ {3 ，－ 1，－ 2} ， B ＝ { － 2，－ 1,3} ，切合条件，故 x 2＋ y 2＝ 12＋ 22＝ 5.15． [解答 ] (1) 由6 －1≥0，解得－1<x≤5，即A＝{ x|－1< x≤5}，x＋ 1当 m＝ 3 时，由－ x2＋ 2x＋ 3>0，解得－ 1<x<3，即 B＝ { x|－1<x<3} ，∴ ? R B＝ { x|x≥ 3或x≤－ 1} ，∴A∩ (? R B)＝ { x|3≤ x≤ 5} ．(2)由 B＝ { x|y＝ lg(－ x2＋ 2x＋ m)} ，得－x2＋ 2x＋m>0，而由 (1)知 A＝ { x|－ 1<x≤ 5} ，且 A∩ B＝ { x|－1<x<4} ，∴ B＝ { x|t<x<4， t≤－ 1} ，∴ 4，t是方程－ x2＋ 2x＋m＝0 的根．∴ m＝ 8.【难点打破】16． [解答 ] (1) 当 m＋ 1>2m－1，即 m<2 时， B＝ ? ，知足 B? A.当 m＋ 1≤ 2m－ 1，即 m≥ 2 时，要使B? A 建立，需m＋ 1≥－ 2，可得 2≤m≤3，2m－ 1≤5，综上， m 的取值范围是m≤3.(2)当 x∈Z时， A＝ { － 2，－ 1,0,1,2,3,4,5} ，8(3)由于 x∈R，且 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 5} ， B＝{ x|m＋ 1≤ x≤2m－ 1} ，又 A∩ B＝ ? .则①若 B＝ ? ，即 m＋ 1>2m－ 1，得 m<2 时知足条件．②若 B≠ ? ，则要知足的条件是m＋ 1≤ 2m－ 1，m＋1≤ 2m－ 1，或解得 m>4.m＋ 1>52m－ 1<－ 2，综上， m 的取值范围是m<2 或 m>4.。

人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (2)

高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x ，y 满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设 △ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为 S ，S 1，S 2，S 3，记 S 1S=λi (i =1,2,3)，则 λ2⋅λ3 取到最大值时，2x +y 的值为 ( ) A ． −1 B ． 1C ． −32D ． 322. 在 △ABC 中，已知 b =2√3，c =2，C =30∘，那么 a 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 2 或 4 D ．无解3. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A ． [1,5] B ． [1,9] C ． [4,5] D ． [0,9]4. 正方形 ABCD 的边长为 2，E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BE 上的动点，则 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A ． [−1,0]B ． [−1,45]C ． [−45,1]D ． [0,1]5. 若 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列各式中不正确的是 ( )A ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣B ． ∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣C ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣D ． 4∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣6. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57. 已知非零向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为 13，且 a ⊥(a −kb ⃗ )，则实数 k 的值为 ( ) A ． 18 B ． 24 C ． 32 D ． 368. 在 △ABC 中，AC =3，BC =√7，AB =2，则 AB 边上的高等于 ( ) A ． 2√3 B ．3√32C ．√262D ． 329. 已知点 O 是 △ABC 内部一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △AOB S △ABC=47，则实数 m 为 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． 4 D ． −410. 已知 A ，B 都是数轴上的点，O 为原点，A (3)，B (−2)，则 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ( ) A ． 17B ． 1C ． −1D ． −17二、填空题（共6题）11. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为．12. 如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为 2，且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ．13. 设向量 a =(3,3)，b ⃗ =(1,−1)，若 (a +λb ⃗ )⊥(a −λb ⃗ )，则实数 λ= ．14. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，若 a 2+b 2−c 2=0，则角 C 为直角．( )15. 如图，在折线 ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E ，F 分别是 AB ，CD的中点，若折线上满足条件 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，则实数 k 的取值范围是．16. 山上有一塔，高 50 m ，自山下地面某点测得塔顶仰角为 75∘，测得塔底仰角为 45∘，则山高m ．三、解答题（共6题）17. 已知 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，a与 b ⃗ 夹角 π3，m ⃗⃗ =3a −b ⃗ ，n ⃗ =ka +2b ⃗ ． (1) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ∥n ⃗ ？ (2) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ？18. 已知 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，a >c ，且 2csinA =√3a ．(1) 求角 C 的大小；(2) 若 c =4，△ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．19. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsinA =√3acosB ．(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b =3，sinC =2sinA ，求 a ，c 的值．20. 已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个 ①A =π3；②a =13；③c =15；④sinC =13．(1) 请指出这三个条件，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积21. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0． (3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数．(1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 bsinB =csinC 得， sinB =bsinC c=2√3sin30∘2=√32，所以 B =60∘ 或 B =120∘．当 B =60∘ 时，A =90∘， a =√(2√3)2+22=4；当 B =120∘ 时，A =30∘，a =c =2，故 a =4 或 a =2．【知识点】正弦定理3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义6. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】A【解析】由 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，可设 ∣∣b ⃗ ∣∣=t ，则 ∣a ∣=6t (t >0)，因为 a ⋅(a −kb ⃗ )=∣a ∣2−ka ⋅b⃗ =36t 2−k ×6t ×t ×13=0，所以 k =18．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】B【知识点】正弦定理、余弦定理9. 【答案】D【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】 3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1．【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】138【解析】如图，由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )，所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB⃗⃗⃗⃗ ．设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6，所以 CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y(IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ．因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0，点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式．所以 IC⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA ⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ．因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ，所以 (−y 7):(x 6−5y 42)=52，结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算12. 【答案】 1+√2【解析】因为 ∠DEB =∠ABC =45∘，所以 AB ∥DE ，过 D 作 AB ，AC 的垂线 DM ，DN ，则 AN =DM =BM =BD ⋅sin45∘=√2，所以 DN =AM =AB +BM =2+√2，所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 λ=2+√22，μ=√22，所以 λ+μ=1+√2．【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ±3【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】 √【知识点】余弦定理15. 【答案】 [−94,−2]【解析】以 BC 的垂直平分线为 y 轴，以 BC 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为 AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，所以 B (−2,0)，C (2,0)，A(−4,2√3)，D(4,2√3)．因为 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，所以 E(−3,√3)，F(3,√3)．设 P (x,y )，−4≤x ≤4，0≤y ≤2√3，因为 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ，所以 (−3−x,√3−y)(3−x,√3−y)=x 2+(y −√3)+9=k ，即 x 2+(y −√3)=k +9．当 k +9>0 时，点 P 的轨迹为以 (0,√3) 为圆心，以 √k +9 为半径的圆．当圆与直线 DC 相切时，此时圆的半径 r =3√32，此时点有 2 个；当圆经过点 C 时，此时圆的半径为 r =√22+3=√7，此时点 P 有 4 个．因为满足条件 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，结合图象可得，所以274≤k +9≤7，解得 −94≤k ≤−2，故实数 k 的取值范围为 [−94,−2]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 25(√3−1)【知识点】解三角形的实际应用问题三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −6． (2) 1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 由题意知 2csinA =√3a ，由正弦定理得 2sinCsinA =√3sinA ，又由 A ∈(0,π)，则 sinA >0，所以 sinC =√32，又因为 a >c ，则 ∠A >∠C ，所以 ∠C =60∘．(2) 由三角形的面积公式，可得 S △ABC =12absinC =12ab ×√32=√3，解得 ab =4，又因为 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−422ab=12，解得 a 2+b 2=20，即 (a +b )2=28，所以 a +b =2√7，所以 △ABC 的周长为 a +b +c =2√7+4．【知识点】余弦定理、正弦定理19. 【答案】(1) 由 bsinA =√3acosB 及正弦定理 a sinA=b sinB，得 sinB =√3cosB ，故有 tanB =sinBcosB =√3．即 B =π3．(2) 由 sinC =2sinA 及正弦定理 a sinA=c sinC，得 c =2a, ⋯⋯①由 b =3 及余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ，得 9=a 2+c 2−ac, ⋯⋯② 联立①②，解得 a =√3，c =2√3．【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) △ABC 同时满足 ①，②，③．理由如下：若 △ABC 同时满足 ①，④，则在锐角 △ABC 中， sinC =13<12，所以 0<C <π6．又因为 A =π3，所以 π3<A +C <π2．所以 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，所以 △ABC 不能同时满足 ①，④，所以 △ABC 同时满足 ②，③．因为 c >a ，所以 C >A 若满足 ④，则 A <C <π6，则 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，故 △ABC 不满足 ④，故 △ABC 同时满足 ①，②，③．(2) 因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以 132=b 2+152−2×b ×15×12，解得 b =8 或 b =7．当 b =7 时 cosC =72+132−1522×7×13<0，所以 C 为钝角，与题意不符合，所以 b =8．所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =30√3．【知识点】余弦定理、判断三角形的形状21. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0，当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0，所以必要性得证．反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0，当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时，不妨设 c ≠0，则 b =ad c，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =a cq ，所以 p ∥q ，所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ，所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线，充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0．(3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣．【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式22. 【答案】(1) g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)=−√3sinx +cosx,所以 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)． (2) 向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )=sinx +√3cosx ，因为f (x )=sinx +√3cosx =2sin (x +π3)=85,所以 sin (x +π3)=45，因为 x ∈(−π3,π6)，所以 x +π3∈(0,π2)，所以 cos (x +π3)=35，所以sinx =sin [(x +π3)−π3]=12sin (x +π3)−√32cos (x +π3)=4−3√310. (3) 由（1）知 g (x )=−√3sinx +cosx =−2sin (x −π6)，将函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y =−2sin (12x −π6)的图象，再把整个图象向右平移 2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x)，因为 A (−2,3)，B (2,6)，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)，又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0，即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0，所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2（*），因为 −2≤2cos 12x ≤2，所以 −132≤2cos 12x −92≤−52，所以254≤(2cos 12x −92)2≤1694．又因为254−x 2≤254，所以当且仅当 x =0，即 (2cos 12x −92)2和254−x 2 同时等于254时，（*）式成立．所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2)，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(23)平面向量的概念及其线性运算

则 O→D＝ O→B＋ O→C，所以 O→D ＝－ O→A ，
在平行四边形 OBDC 中，设 BC 与 OD 相交于 E，
则 B→E＝ E→C， O→E＝ E→D，
3
பைடு நூலகம்
所以 AE 是△ ABC 的 BC 边的中线，且 |O→A|＝ 2|O→E|，根据平面几何知识知 O 是△ ABC 的重心．【难点突破】
，Q
，E，F，G，H
→ ，则OP
＋
O→Q＝
(
)
→
→
→
→
A. OH B.OG C.FO D.EO
能力提升
图 K23 － 2
5．已知 λ∈ R，则下列命题正确的是 ( )
A ． |λa|＝ λ|a| B ． |λa|＝ |λ|a
C．|λa|＝ |λ||a| D ．|λa|＞ 0
6．对于非零向量 a， b，“ a＋ 2b＝ 0”是“ a∥ b”的 ( )
的重心．
难点突破
13．(12 分 )若 M 为△ ABC 内一点，且满足
→ AM
＝ 34A→B＋ 14A→C，求△
ABM
与△
ABC
的面积
之比．
2
课时作业 (二十三 )
【基础热身】
1． D [ 解析 ] B→A＋ C→D＋ E→F ＝D→E ＋ C→D ＋ E→F＝ C→D ＋ D→E ＋E→F ＝ C→F ，所以选 D.
4．C
[ 解析 ]
令
a＝
→ OP
＋
O→Q，利用平行四边形法则作出向量
O→P＋ O→Q ，再平移即发现
→ a＝ FO .
【能力提升】
5．C [ 解析 ] 当 λ＜ 0 时， |λa|＝ λ|a|不成立， A 错误； |λa|应该是一个非负实数，而非向量，所以 B 错误；当 λ＝ 0 或 a＝ 0 时， |λa|＝ 0， D 错误．

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)

高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |.2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →|＝_____________________.1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－124.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.考点一向量的模及夹角问题例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；（3）若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．举一反三1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2C. 2D.22(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．考点二两向量的平行与垂直问题例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ； (3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.举一反三2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .考点三向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |； (2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．举一反三3 （2010·四川）已知△ABC 的面积S =12AB →·AC →·＝3，且cos B ＝35，求cos C .1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可．（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·重庆)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A ．－32 B.32C ．2D ．62．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )A ．－6B ．－3C ．3D ．63.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150° 4．(2010·湖南)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为 ( )A.135B.655C.65D.136．(2010·湖南长沙一中月考)设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________. 7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(12分)(2011·杭州调研)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ)． (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值．11．(14分)(2011·济南模拟)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值．答案1．(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b ＝0 ③|a |2 a·a ④a·b|a||b |⑤≤ 2.(1)b·a(2)a·c ＋b·c (3)λ(a ·b ) 3.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22 a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)22．B [|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2.] 3．D [由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y 2＝8x (x ≠0)解析由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2， BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．－2解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，52，所以MA →·MB →＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61， ∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×(－6)＋9＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 举一反三1 (1)C [∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0，展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b ) ＝|c |·|a ＋b |cos θ，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ， ∴|c |的最大值是 2.](2)λ<12且λ≠－2解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题思路 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直． (2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b . 由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.举一反三2 (1)解因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.(2)解由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例3 解题思路与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.举一反三3 解由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12.AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－1010.课后练习区 1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.] 2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a·b <0，∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.] 4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．B [因为a·b ＝|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉，所以，a 在b 上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝21－842＋72＝1365＝655.] 6.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35.7．120°解析设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ， ∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．(－1,0)或(0，－1)解析设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1，有x ＋y ＝－1.①由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1，∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分) ∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115.故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分) (2)解由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(6分) 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(8分) ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分) 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分) 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝85，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分) 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝45. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝725.………………………………………………(14分)。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(33)数列的综合应用B

作(三十三 )B[ 第 33数列的合用 ][ ： 45 分分：100 分]基身1．一厚度a ，折(沿一的中点折叠)7 次后，的厚度( )A ． 8aB ． 64aC ．128aD ． 256a2．某放射性物的量每日衰减 3%，若此物衰减到其量的一半以下，起码需要的天数是 (参照数据 lg0.97＝－ 0.0132， lg0.5＝－ 0.3010)( )A ．22B ．23C ．24D ． 253．在数列 { a n } 中， a 1＝2，当 n 正奇数， a n ＋ 1＝ a n ＋ 2，当 n 正偶数， a n ＋ 1＝2a n ， a 6＝ ( )A ．11B ．17C ．22D ． 23 4．夏天高峰上的气温从山脚起每高升 100 米降低 0.7 度，已知山脚气温 26 度，山气温 14.1 度，那么此山相山脚的高度 ________米．能力提高5．已知数列 { a n } 中， a 1＝－ 1， a n ＋ 1·a n ＝ a n ＋1－ a n ，数列通a n ＝ ()1 2A. nB. n1 2C ．－ nD ．－ n6．已知数列 { a n } 中， a 1＝ 3， a n ＝ 1－ 1 (n ≥ 2)， a 2011＝ ()5 a n － 11 2A ．－ 2B ．－ 335C.5D. 27．数列 { a n } 等差数列，其前 n 和 S n ， a 1＋ a 4＋ a 7＝99， a 2＋ a 5＋ a 8＝ 93.若随意 n ∈ N * ，都有 S n ≤S k 建立， k 的 ()A ．22B ．21C ．20D ． 198．《九章算》“竹九 ” ：有一根9 的竹子，自上而下各的容成等差数列，上边 4 的容共 3 升，下边 3 的容共4 升，第5 的容 ()A ．1 升 67升 C.47升 D.37升B.66 44 339．已知等差数列 { a n } 的首 a 1 及公差 d 都是整数，前 n 和 S n ，若 a 1>1，a 4 >3，S 3≤ 9，b n ＝ 1 ，使 b 1＋b 2＋⋯＋ b n < 99建立的最大 n( )na n 100 A ．97 B ． 98 C ． 99 D ．10010．某厂在 2011 年末制生划，要使 2021 年末的量在原有基上翻两番，年均匀增率 ________．201＝ 2， a n ＋ a n ＋ 1＝ 0(n ∈ N ＋ )， a 2011＝________.n11．已知数列 { a } 中， a12．在数列 { a n } 中，若 a 1＝ 2，且随意的正整数p ， q 都有 a p ＋ q ＝ a p a q ， a 8 的________．13．已知 a n ＝ 3n ，把数列 { a n } 的各摆列成以下的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯A(m ， n)表示第 m 行的第 n 个数， A(11,12)＝ ________.14． (10 分)已知数列 { a n} 是首项为2，公比为1的等比数列， S n为 { a n} 的前 n 项和．2(1)求数列 { a n} 的通项 a n及 S n；(2)设数列 { b n＋ a n} 是首项为－ 2，公差为 2 的等差数列，求数列 { b n} 的通项公式及其前 n 项和 T n.15．(13 分 )某市 2011 年共有 1 万辆燃油型公交车．相关部门计划于2012 年投入 128 辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增添50% ，试问：(1)该市在 2018 年应当投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年末，电力型公交车的数目开始超出该市公交车总量的≈7.5)难点打破nba n－1 16． (12 分) 设 b＞ 0，数列 { a n } 知足 a1＝ b， a n＝a n－1＋n－1(n≥ 2)．657lg1？ (参照数据32 3lg1.5(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)证明：关于全部正整数n,2a n≤ b n＋1＋ 1.作 (三十三 )B【基身】27a ＝ 128a.故 C.1． C[分析 ] 的厚度nlg0.52． B [分析 ] 依意有 (1－ 3%) <0.5 ，所以 n>lg0.97 ≈22.8.故 B. 3． C [分析 ] 逐算得数列的前 6 挨次： 2,4,8,10,20,22 ，故 C. 4．1700 [分析 ] 从山脚到山气温的化成等差数列，首 26，末 14.1，公差－ 0.7，数列的数 n ， 14.1＝ 26＋( n － 1)× (－ 0.7)，解得 n ＝ 18，所以山的高度 h ＝ (18－ 1)× 100＝1700(米 )．【能力提高】1115． C[分析 ]已知形a n ＋ 1 －a n ＝－ 1，b n ＝a n ， { b n } 是等差数列， b 1＝－ 1， b n＝－ 1＋ (n － 1)× (－1) ＝－ n ，所以 a n ＝－ 1.故 C.n6．C[分析 ] 由推公式得a 2＝－ 2， a 3＝ 5， a 4＝ 3， a 5＝－ 2，⋯，所以数列 { a n } 是周3 2 5 3期数列，周期 3，于是 a 2011＝ a 2010＋ 1＝ a 1＝3.故 C.5n.将两已知等式相减，可得公差 d ＝－ 2，所7．C [分析 ] 依意即求 S n 最大的数以 3a 1＋ 9d ＝ 99，解得 a 1 ＝39，所以 a n ＝ 39－ 2(n － 1)＝41－ 2n.当 a n >0 ， S n 获得最大，所以 41－ 2n>0 ，得 n<20.5，所以 k ＝ n ＝ 20.故 C.8．B [分析 ]a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＝3，从上到下各 a 1，a 2，⋯，a 9，公差 d ，有a 9＋ a 8＋ a 7＝ 4，4a 1＋ 6d ＝3，7 ，解得d ＝ 66即133a 1＋ 21d ＝4，a 1＝，22所以 a 5＝a 1＋4d ＝ 13 ＋4× 7 ＝ 6722 .故 B.66 669．B [分析 ] 因 S 3＝ 3a 2≤ 9，即 a 2≤ 3，且 a 1>1 ，a 4 >3，首及公差 d 整数，所以可得 a ＝ 2，d ＝ 1，所以 a ＝n ＋ 1，所以 b ＝1 ＝ 1－1，b ＋ b ＋⋯＋ b ＝ 1－1＋ 1－1nnn n ＋ 1 n n ＋1 12 n 2 21＋⋯＋ 1－1＝1－1＝n，所以n99建立的最大 n98.故 B.3n n ＋ 1n ＋ 1 n ＋ 1n ＋ 1<10010.104－ 1 [ 分析 ] 令 2011 年末的量1， 2021 年末的量4， (1＋ x)10＝ 4，所以 x ＝104－ 1.由已知得 a n ＋ 1＝－ a n ，所以 a 202 ＝－ 2， a 203＝ 2， a 204＝－ 2，⋯，能够看11． 2[分析 ] 出，奇数2，偶数－ 2，所以 a 2011＝ 2.12．256 [分析 ]令 p ＝ q ＝ 1， a 2＝ 4，令 p ＝ q ＝ 2， a 4＝ 16，令 p ＝ q ＝ 4， a 8＝256.13． 3112[分析 ]1，公差 2 的等差数列，所由形知，各行数字的个数组成首从前10 行数字个数的和 10× 1＋10× 9× 2＝ 100，故A(11,12) { a n } 的第 112 ，所以A(11,12)＝a 112＝ 31122.14． [解答 ] (1) 因数列 { a n } 是首 a 1 ＝2，公比 q ＝1的等比数列，2所以 a ＝2·1 n － 1＝ 22－ n ，n2211－ n1 S n ＝2 ＝ 4 1 1－ n .1－ 2 2(2)依意得： b n ＋ a n ＝－ 2＋2(n －1)＝ 2n － 4，所以 b n ＝2n － 4－ a n ＝ 2n － 4－ 2 2－n. 数列 { b n ＋ a n } 的前 n 和 P n ，P n ＝n －2＋ 2n － 4 ＝ n(n －3)， 212－ 3n － 4＋ 22－ n所以 T n ＝P n － S n ＝ n(n － 3)－ 4 1－ n ＝ n.215． [解答 ] (1) 市逐年投入的力型公交的数目成等比数列 { a n } ，此中 a 1＝128， q ＝ 1.5，在 2018 年投入的力型公交6＝ 1286a 7＝ a 1q ×1.5 ＝ 1458( )．(2) S n ＝ a 1＋ a 2＋⋯＋ a n ，依照意，得S n> 1，即 S n >5000 ，n310000＋ Sn于是 S n ＝128 1－ 1.5 >5000，1－1.5657即 1.5n 657，有 n> lg 32>32≈ 7.5，所以 n ≥ 8.lg1.5所以，到 2019 年末，力型公交的数目开始超市公交量的【点打破】nba n －116． [解答 ] (1) 由 a 1＝ b>0，知 a n ＝ a n － 1＋ n －1>0， n ＝ 1＋ 1 n －1 .a令 A n ＝ n，A 1＝ 1， a n b1 ＋ 1 当 n ≥2 ， A n ＝A n －1b b 1 1 1＝＋⋯＋ n －1 ＋ n －1A 1b b b ＝ 1＋⋯＋ n 1－1＋ 1n .bb b1 1b 1－ nn－1b＝b n b①当 b ≠ 1 ， A n ＝1 b －1 ，1－ b②当 b ＝ 1 ， A n ＝ n.nb n b － 1 ， b ≠ 1， ∴ a n ＝b n － 1 13.1， b ＝ 1.(2) 明：当 b ≠ 1 ，欲2a n ＝2nb n b －1 ≤ bn ＋12nb n≤ (b n ＋1 b n － 1n＋ 1，只要＋ 1).b － 1b － 1∵(b n ＋1＋1)b n － 1＝ b 2n ＋ b 2n －1＋⋯＋ b n ＋ 1＋ b n － 1＋b n －2＋⋯＋ 1 b － 1＝ b nn1n－111 b ＋b n＋b＋b n－ 1＋⋯＋b＋b>b n(2＋ 2＋⋯＋ 2)＝2nb n，∴ 2a n＝2nb n b－ 1n＋ 1 b n－ 1<1＋ b.当 b＝1 ， 2a n＝ 2＝ b n＋1＋ 1.上所述 2a n≤ b n＋1＋1.。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(33)数列的综合应用A

课时作业(三十三)A [第33讲数列的综合应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＝( ) A.32 B.94 C.259 D.25162．将不等式x 2－x <nx (n ∈N *)的解集中的整数的个数构成的数列记为{a n }，则该数列的通项公式是a n ＝( )A ．nB ．2nC ．2n －1D ．n －13．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20小时4．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点A n (a n ，a n ＋1)在函数y ＝xx ＋1的图象上．则该数列{a n }的通项公式是a n ＝________.能力提升 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．4 D ．56．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( )A ．等于－2B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在8．各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋12B.5－12C.3－52D.2＋529．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编为( )A ．①和⑳B ．⑨和⑩C ．⑨和⑪D ．⑩和⑪10．数列{a n }中，a 1＝2，点(log 3a n ，a n ＋1)在函数y ＝2×3x 的图象上，则{a n }的通项公式为a n ＝________.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且a ，d 分别是函数f (x )＝x 3－x 在区间[2,3]上的最大值和最小值，则bc ＝________.12．已知等差数列{a n }，对于函数f (x )＝x 5＋x 3满足：f (a 2－2)＝6，f (a 2010－4)＝－6，S n 是其前n 项和，则S 2011＝________.13．已知a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，把数列{a n }的各项排成如图K33－1所示的三角数阵．记S (m ，n )表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应数阵中的数是________．1 3 57 9 11 13 15 17 19… 图K33－114．(10分) 当p 1，p 2，…，p n 均为正数时，称np 1＋p 2＋…＋p n为p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．已知数列{a n }的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为12n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n2n ＋1(n ∈N *)，试比较c n ＋1与c n 的大小．15．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设：2b n ＝1a n＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .难点突破16．(12分)设数列{b n }满足：b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n . (1)求证：1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1；(2)若T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，对任意的正整数n,3T n －log 2m －5>0恒成立．求m的取值范围．课时作业(三十三)A【基础热身】1．B [解析] a 2＝22a 1＝4，a 3＝32a 1a 2＝94.故选B.2．A [解析] x 2－x <nx (n ∈N *)的解集为{x |0<x <n ＋1(n ∈N *)}，所以数列{a n }前5项为1,2,3,4,5…，所以通项公式为a n ＝n .故选A.3．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n 小时共传递人数S n ＝1－2n1－2＝2n －1≈106，所以n ≈20小时．4.1n [解析] 因为a n ＋1＝a n a n ＋1且a 1＝1，所以1a n ＋1＝1＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列.1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n .【能力提升】5．C [解析] 二次函数f (x )＝2x 2－17x 的对称轴为直线x ＝174，因为n ∈N ＋，所以当n＝4时，S n ＝2n 2－17n 有最小值．故选C.6．D [解析] 由a 27＝a 3·a 9，d ＝－2，得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解之得a 1＝20，∴S 10＝10×20＋10×92(－2)＝110.7．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．故选B.8．B [解析] 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值).a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12.故选B. 9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11坑，故答案选D.10．2n [解析] 由已知得a n ＋1＝2×3log 3a n ＝2a n ，显然{a n }的各项不为零，所以a n ＋1a n＝2，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＝2×2n －1＝2n .11．144 [解析] 因为f ′(x )＝3x 2－1且x ∈[2,3]，所以f ′(x )>0，即f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以，a ＝f (x )max ＝f (3)＝24，d ＝f (x )min ＝f (2)＝6，所以bc ＝ad ＝144.12．6033 [解析] f (x )为奇函数，所以由f (a 2－2)＋f (a 2010－4)＝0得f (a 2－2)＝f (4－a 2010)，所以a 2－2＝4－a 2010，即a 2＋a 2010＝6，所以S 2011＝2011(a 1＋a 2011)2＝2011(a 2＋a 2010)2＝6033.13．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a n ＋1＝a n ＋2n ，所以a 10＝a 9＋18＝a 8＋16＋18＝a 7＋14＋34＝a 6＋12＋48＝a 5＋10＋60＝a 4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101.14．[解答] (1)由已知有a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n (2n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)(2n －1)，两式相减，得a n ＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝12×1＋1，解得a 1＝3＝4×1－1， ∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝a n 2n ＋1＝4n －12n ＋1＝2－32n ＋1，c n ＋1＝a n ＋12n ＋3＝2－32n ＋3，∴c n ＋1－c n ＝32n ＋1－32n ＋3＞0，即c n ＋1＞c n .15．[解答] (1)由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2且1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得a n ＝12n －1.(2)由2b n ＝1a n ＋1得2b n ＝2n －1＋1＝2n ，∴b n ＝1n，从而b n b n ＋1＝1n (n ＋1)，则T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.【难点突破】16．[解答] (1)因为b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，所以对任意的n ∈N *，b n >0. 所以1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1.(2)T n ＝⎝⎛⎭⎫1b 1－1b 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝2－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，∴b n ＋1>b n ，所以数列{b n }是单调递增数列．所以数列{T n }关于n 递增．所以T n ≥T 1.因为b 1＝12，所以b 2＝b 1(b 1＋1)＝34，所以T 1＝2－1b 2＝23，所以T n ≥23.因为3T n －log 2m －5>0恒成立，所以log 2m <3T n －5恒成立，所以log 2m <－3，所以0<m <18.。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(33)数列的综合应用B

2 3，a3＝来自5， 2a4＝
3， 5
a5＝－
2，, 3
，所以数列
{ an} 是周
3 期数列，周期为 3，于是 a2011＝ a2010＋1＝ a1＝ 5.故选 C.
7．C [ 解析 ] 依题意即求 Sn 最大时的项数 n.将两已知等式相减，可得公差 d＝－ 2，所
以 3a1＋ 9d＝ 99，解得 a1＝39，所以 an＝ 39－ 2(n－ 1)＝41－ 2n.当 an>0 时， Sn 取得最大值，
A ． 1 升 B.6676升 C.4474升 D.3373升
9．已知等差数列 { an} 的首项 a1 及公差 d 都是整数，前 n 项和为 Sn，若 a1>1，a4 >3，S3≤ 9，
设
bn＝
1 ，则使 nan
b1＋b2＋, ＋
bn<19090成立的最大
n 值为 (
)
A ． 97 B． 98 C． 99 D ．100
所以 41－ 2n>0 ，得 n<20.5，所以 k＝ n＝ 20.故选 C.
a1＋ a2＋ a3＋ a4＝3， 8．B [解析 ] 从上到下各节记为 a1，a2，, ， a9，公差为 d，则有
a9＋ a8＋ a7＝ 4，
4a1＋ 6d＝3，
即
解得
3a1＋ 21d＝4，
d＝
7， 66
a
1＝
13 22
课时作业 (三十三 )B [ 第 33 讲数列的综合应用 ]
[时间： 45 分钟
分值： 100 分 ]
基础热身
1．一张报纸厚度为 a，对折 (沿一组对边的中点连线折叠 )7 次后，报纸的厚度为 ( )
A ． 8a B． 64a C．128a D． 256a

4.3 平面向量的数量积课件(含2013年高考真题)文新人教版课件

|�� ||b |
夹角
��1 b1 + ��2 b2
2 2 2 ��1 + ��2 · b2 1 + b2
|a · b |与 |a||b|的关系
|a1b1+a2b2|≤ |a · b|≤|a||b|
2 2 2 ��1 + ��2 b2 1 + b2
①a · b= 想一想已知在实数范围内,若 ab=ac 且 a≠0,则 b=c,对于向量 a,b,c,若 a·b=a·c,则结论如何呢? 答案:若 a,b,c 是实数,ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量就没有这样
的性质,即若向量 a,b,c 若满足 a· b=a· c(a≠0),则不一定有 b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.
第四章
4.3
平面向量的数量积 -19-
考点二
两平面向量的夹角与垂直
【例 2】设向量 a=(1,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ 等于( A.
2 2
)
B.
1 2
C.0
D.-1
关闭
∵ a⊥b,∴ a·b=2cos2θ-1=0,即 cos 2θ=0.
关闭
C
解析考点一考点二考点三误区警示答案
第四章
4.3
平面向量的数量积 -14-
(1)如图,∵ 向量��, �� 的夹角为 120° , ∴ ��·�� =|��|·|�� |·cos 120° =5×5× ∵ �� = (�� + �� ),

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(25)平面向量的数量积B

课时作业 (二十五 )B [第 25 讲平面向量的数目积 ][ 时间： 35 分钟分值： 80 分]基础热身1．已知向量 a ， b 知足 a ⊥ b ， |a |＝ 1， |b |＝ 2，则 |2a －b |＝ ()A ．0B ．2 2C ．4D ． 82．已知 a ＝ (1,0)， b ＝ (x,1)，若 a ·b ＝ 3，则 x 的值为 ()A.2B ．22 C. 3－1 D. 33．已知 |a |＝ 2， b 是单位向量，且 a 与 b 夹角为 60°，则 a ·(a － b )等于 () A ．1 B ．2－ 3C ．3D ． 4－ 34．已知向量 a ，b 知足 (a ＋2b ) ·(a － b )＝－ 6，且 |a |＝1，|b |＝ 2，则 a 与 b 的夹角为 ________．能力提高→ → ) 5．在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ 4，则 AB ·AC 等于 ( A ．－ 16 B ．－ 8 C ．8 D ． 166．已知 a ＝ (1， sin 2 x)， b ＝(2， sin2x)，此中 x ∈ (0， π)．若 |a ·b |＝ |a ||b |，则 tanx 的值等于()2A ． 1B ．－ 1 C. 3 D.27．若两个非零向量a ，b 知足 |a ＋ b |＝ |a － b |＝ 2|a |，则向量 a ＋ b 与 a － b 的夹角是 ()π πA. 6B.32π 5πC. 3D. 68．若非零向量 a ， b 知足 |a ＋ b |＝ |b |，则 ( ) A ． |2a |>|2a ＋ b | B ． |2a |<|2a ＋ b | C ．|2b |>|a ＋ 2b | D ． |2b |<|a ＋ 2b |9．已知 |a |＝ |b |＝ 2， (a ＋ 2b ) ·(a － b )＝－ 2，则 a 与 b 的夹角为 ________．10．在边长为 → → →→ → →1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝ 2BD ，CA ＝ 3CE ，则 AD ·BE ＝________.→ AB 11．在△ ABC 中，已知 → ＋ |AB|________． →→→ → 1 → → AC→ ⊥ BC ，且 AB ·AC ＝ 2|AB| |AC ·|，则△ ABC 的形状是|AC|12． (13 分 )已知直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ADC ＝ 90°， AD ＝2， BC ＝ 1， P 是腰→ →DC 上的动点，求 |PA ＋3PB|的最小值．难点打破13．(12 分 )如图 K25 － 1，梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AD ⊥ AB ，AD ＝ 1，BC ＝2，AB ＝ 3，P 是 BC 上的一个动点，当→ → 取最小值时，求 tan ∠ DPA 的值．PD ·PA图 K25－1课时作业 (二十五 )B【基础热身】1． B [ 分析 ] ∵ |2a － b |2＝ 4a 2－ 4a ·b ＋ b 2＝ 8， ∴ |2a －b |＝ 2 2.2． D [ 分析 ] 依题意得 a ·b ＝ x ＝ 3.3． C [ 分析 ] a ·(a － b )＝ a 2－ a ·b ＝4－ 2× 1×cos60°＝ 3.π[ 分析 ]设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有 ( a ＋ 2b ) ·(a － b ) ＝a 2＋ a ·b － 2b 2＝－ 7＋ 2cos θ4.31π＝－ 6，所以 cos θ＝ .由于 0≤ θ≤ π，故 θ＝ .23【能力提高】5． D→ → → → → → →→ 2 [分析 ] 由于∠ C ＝ 90°，所以 AC ·CB ＝ 0，所以 AB ·AC ＝ (AC ＋CB) ·AC ＝|AC| ＋→→→2＝ 16.AC ·CB ＝ AC6．A[ 分析 ] 由 |a ·b |＝ |a ||b |知 a ∥ b .所以 sin2x ＝ 2sin 2 x ，即 2sinxcosx ＝2sin 2x ，而 x ∈ (0，π，故 tanx ＝ 1.应选 A.π)，所以 sinx ＝ cosx ，即 x ＝ 47． C [ 分析 ] 依题意，由 |a ＋ b |＝ |a － b |＝ 2|a |得 a ⊥ b ， b 2＝ 3a 2， cos 〈a ＋ b ， a －b 〉＝ a 2－ b 2 ＝－ 1 ，所以向量 a ＋ b 与 a － b 的夹角是 2π2 3 .|a ＋ b ||a － b |8．C [ 分析 ] 由于 |a ＋ b|＝ |b|，所以 a ·(a ＋ 2b )＝ 0，即 a ⊥ (a ＋ 2b )，所以 |a |、|a ＋ 2b |、|2b |组成直角三角形的三边， |2b |为斜边，所以 |2b |>|a ＋ 2b |.π 2 29.3 [分析 ] 设 a 与 b 的夹角为 θ，由 ( a ＋ 2b ) ·(a － b ) ＝－ 2 得 |a | ＋ a ·b － 2|b | ＝ 4＋2× 2× cos θ－2× 4＝－ 2，1 π解得 cos θ＝ 2，∴ θ＝ 3.1[分析 ] 由题知， D 为 BC 中点， E 为 CE 三均分点，以 BC 所在的直线为 x 轴，10．－ 4以 AD 所在的直线为y 轴，成立平面直角坐标系，可得A 0，3，D(0,0)，B －1，0 ，2 2→3→3 ，1， 3 ，故AD ＝，BE ＝ 5，E3 60，－ 2 66→ →3 × 3 1所以 AD ·BE ＝－2＝－ .6 4→→ →→→AB AC11．等边三角形[分析 ] 非零向量 AB 与AC 知足→ ＋ → ·BC ＝ 0，即∠ BAC 的均分|AB| |AC|→ →π线垂直于 BC ，∴ AB ＝ AC ，又 cosA ＝AB ·AC＝ 1，∠ A ＝，所以△ ABC 为等边三角形．→ → 23|AB||AC|12．[ 解答 ] 成立如下图的坐标系，设 DC ＝ h ，则 A(2,0) ，B(1，h) ．设 P(0 ，y)(0≤ y ≤ h)，→ → →→ 则 PA ＝ (2，－ y)，PB ＝(1 ，h － y)，∴ |PA ＋ 3PB|＝ 25＋ 3h － 4y 2≥ 25＝ 5. 【难点打破】→ → xAy ，则 A(0,0) ，13．[解答 ] 如图，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴成立平面直角坐标系 B(3,0)， C(3,2)，D (0,1)，设∠ CPD ＝ α，∠ BPA ＝ β， P(3，y)(0 ≤ y ≤ 2)．→ → ∴PD ＝( － 3,1－ y)， PA ＝ (－ 3，－ y)，→ → 2 1 2 35 ∴ PD ·PA ＝ y －y ＋ 9＝ y －2 ＋4 ，11 → →∴当 y ＝2时， PD ·PA 取最小值，此时P3，2.易知在△所以→ →|DP |＝ |AP|， α＝ β.ABP 中， tan β＝31＝6，22tan β12tan ∠DPA ＝－ tan(α＋β)＝ tan 2β－ 1＝ 35.。

平面向量的数量积(人教A版)(含答案)

平面向量的数量积（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若向量，满足，与的夹角为60°，则( )A. B.C. D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算2.已知向量与的夹角为120°，且，，则( )A.13B.3C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算3.已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则( )A.-6B.-7C.-3D.9答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算4.若单位向量，，满足且，则=( )A.4B.3C.2D.0答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算5.若向量，，满足，，，，则( )A.1B.2C.4D.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算6.已知向量，满足，，，则=( )A.0B.C.4D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算7.已知单位向量，的夹角为，且，若向量，则( )A.11B.C.9D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算8.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为( )A. B.C.1D.-1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算9.若平面上三点A，B，C满足，，，则( )A.-25B.-7C.12D.25答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算10.如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为( )A.7B.5C.3D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算。

人教高中数学必修二A版《平面向量的应用》平面向量及其应用教学说课复习课件(平面几何中的向量方法)

必修第二册·人教数学A版
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探究二平面向量在几何求值中的应用
[例 2] (1)已知边长为 2 的正六边形 ABCDEF，连接 BE，CE，
点 G 是线段 BE 上靠近 B 的四等分点，连接 GF，则G→F·C→E( )
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的合力的大小为( )
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N
B．5 2 N
C．5 3 N
D．5 6 N
解析：两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝ F21＋F22＋2F1·F2＝5 6(N)．答案：D
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①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、
平行、夹角等问题转化为代数运算．

【三维设计】2013届高考数学第四章第三节平面向量的数量与平面向量应用举例课后练习新人教A版

"【三维设计】2013届高考数学第四章第三节平面向量的数量与平面向量应用举例课后练习人教A 版 "一、选择题1．(2011·某某高考)若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0.答案：D2．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，当(λm ＋n )⊥(2n ＋m )时，实数λ的值为( ) A.58B ．－316C ．－38D.38解析：由已知得|m |＝34，|n |＝5，m·n ＝11，∵(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，∴(λm ＋n )·(2n＋m )＝λm 2＋(2λ＋1)m·n ＋2n 2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－38. 答案：C3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是( )A ．42，0B ．4,2 2C ．16,0D ．4,0解析：由于|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋π6)，易知0≤8－8cos(θ＋π6)≤16，故|2a －b |的最大值和最小值分别为4和0. 答案：D4．(2012·永州模拟)已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |＝6，|BC |＝8，|CA |＝10，则AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值等于( )A ．100B ．96C ．－100D ．－96解析：∵|AB |＝6，|BC |＝8，|CA |＝10，62＋82＝102.∴△ABC 为Rt △.即AB ·BC ＝0.AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝CA (BC ＋AB )＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－100. 答案：C5．(2012·某某第二次质检)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．30° B．60°C ．120° D．150°解析：将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得：a·b ＝0；将|a －b |＝233|a |两边同时平方得：b 2＝13a 2. 所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a ＋b ·a －b |a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 243a 2＝12. 所以〈a ＋b ，a －b 〉＝60°.答案：B二、填空题6．(2011·某某高考)已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(ke 1＋e 2)＝0，即ke 21＋e 1e 2－2ke 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54. 答案：547．(2012·某某调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB ＋AC )·AD 的值为________．解析：|BC |2＝|AB |2＋|AC |2＝8，|AD |＝12|BC |，AB ＋AC ＝2AD ，(AB ＋AC )·AD ＝2AD ·AD ＝12|BC |2＝4.答案：4三、解答题8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值；(3)求向量a 在b 方向上的投影．解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52. (3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×－222＋－22＝－222＝－22. 9．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.10．已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点(1)AC ·BC ＝－13，求sin 2θ的值． (2)若|OA ＋OC |＝7，且θ∈(－π，0)，求OB 与OC 的夹角．解：(1)AC ＝(cos θ，sin θ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)BC ＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)． AC ·BC ＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2) ＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－13. ∴sin θ＋cos θ＝23， ∴1＋2sin θcos θ＝49， ∴sin 2θ＝49－1＝－59. (2)∵OA ＝(2,0)，OC ＝(cos θ，sin θ)， ∴OA ＋OC ＝(2＋cos θ，sin θ)，∴|OA ＋OC |＝2＋cos θ2＋sin 2θ＝7. 即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7.∴4cos θ＝2，即cos θ＝12. ∵－π<θ<0，∴θ＝－π3. 又∵OB ＝(0,2)，OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32， ∴cos 〈OB ，OC 〉＝|OB ·OC ||OB |·|OC |＝0－32＝－32. ∴〈OB ，OC 〉＝5π6.。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(25)平面向量的数量积A

课时作业(二十五)A [第25讲平面向量的数量积][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．a ＝(2,3)，b ＝(－1，－1)，则a ·b ＝() A ．1 B ．－1 C ．－5 D ．52．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a ·(2a －b )＝0，则k ＝()A ．－12B ．－6C ．6D ．12 3．已知向量|a |＝10，且|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为() A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°4．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为() A.655 B.65 C.135D.13 能力提升5．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝() A.12B ．1 C.32 D. 3 6．半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(P A →＋PB →)·PC →的值是() A ．－2B ．－1C ．2D ．无法确定，与C 点位置有关7．设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有() A ．a ⊥b B ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |8．已知两不共线向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确．．．的是()A ．(a ＋b )⊥(a －b )B ．a 与b 的夹角等于α－βC ．|a ＋b |＋|a －b |>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上的投影相等9．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a －3b |等于________．10．已知a 、b 、c 都是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为________．11．△ABO 三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x ，y)是坐标平面内一点，满足AP →·OA→≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．12．(13分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围．难点突破13．(12分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝2，求c 的值．课时作业(二十五)A【基础热身】1．C[解析] a ·b ＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5. 2．D[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝0，即10－(k －2)＝0，所以k ＝12，故选 D. 3．B[解析] 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60?cos θ＝－12，故θ＝120°. 4．A[解析] ∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝2×－4＋3×74＋9·16＋49＝55，∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝22＋32×55＝655. 【能力提升】5．B [解析] |a |＝2，a ·b ＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×12＝1. 6．A [解析] (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.7．A [解析] 由题意知函数f(x)＝x a 2－x 2a ·b ＋a ·b －x b 2，又因为函数f (x)的图象是一条直线，所以a ·b ＝0，即a ⊥b .所以选 A.8．B [解析] a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角是θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等．9.7[解析] ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7. 10.12[解析] b ＝c －a ，两边平方，并结合单位向量，得a ·c ＝12. 11．3[解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y)·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1，∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2.∴OP →·AB →＝(x ，y)·(－1,2)＝2y －x ≥3. 12．[解答] 由条件知，cos45°＝a ·b |a|·|b|，∴a ·b ＝3，设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝a ＋λb ·λa ＋b |a ＋λb |·|λa ＋b |<0，∴(a ＋λb )(λa ＋b )<0.λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a ·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856. 若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反，∴存在k<0，使a ＋λb ＝k(λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴k λ＝1，λ＝k.∴k ＝λ＝－1，∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1. 【难点突破】13．[解答] 如图，取AB 的中点E ，连接CE ，则CE →＝12(CA →＋CB →)．由AB →·AC →＝BA →·BC →，得AB →·(AC →＋BC →)＝0，所以AB →·CE →＝0，即AB ⊥CE.又E 为AB 的中点，所以CA ＝CB ，即b ＝a.在Rt △AEC 中，|AC →|cos A ＝|AE →|，即bcosA ＝c 2，①AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cosA ＝cbcosA ＝2.②将②代入①，得c 22＝2，解得c ＝2.。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(31)等比数列

作 (三十一 )[ ： 45 分[第31 分：等比数列 100 分]]基身1．以下四个中，正确的个数是()①等比数列 { a n } 的公比 q>0 且 q ≠ 1， { a n } 是增数列； ②等差数列不是增数列就是减数列；③ { a n } 是增数列， { b n } 是减数列， { a n － b n } 是增数列； ④ { a n } 是增的等差数列， {2 a n } 是增的等比数列．A ．1B ．2C ．3D ． 42．等比数列 { a n } 中，若 a 1＋ a 2＝ 1，a 3 ＋a 4＝ 9，那么 a 4＋ a 5 等于 ( )A ．27B ． 27 或－ 27C ．81D ． 81 或－ 813．已知等比数列 { a n } 的公比正数，且 a 3·a 7＝ 4a 42， a 2＝ 2， a 1＝ ()2A ． 1 B. 2 C ．2D. 24．各都正数的等比数列{ a n } 中， a 1＝ 1 ， a 2＋ a 3＝ 27 1 ＋ 1，通公式a n ＝________.a 2 a 3能力提高5． S n 等比数列 { a n } 的前 n 和，已知 3S 3＝ a 4－ 2,3S 2＝ a 3－ 2，公比 q ＝ ( )A ．3B ．4C ．5D ． 6 6．在等比数列 { a n } 中，若 a 2a 3a 6a 9a 10＝ 32，a 92的 ()a 12A ．4B ．2C ．－ 2D ．－ 47．已知数列 { a n } 是首 1 的等比数列， S n 是数列 { a n } 的前 n 和，且 9S 3＝ S 6，数列1的前5 和 ()a n31或 115或 1A. 85B.16 53115C.16D. 88．数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 1 ＝1， a n ＋1＝ 3S n (n ≥ 1)， a 6＝ () A ．3×44 B ． 3× 44＋ 1 C ．44D ． 44＋ 19．已知公差不 0 的等差数列 { a n } 足 a 1 ，a 3 ，a 4 成等比数列， S n { a n } 的前 n 和，S 3－ S 2S 5－ S 3的()A ． 2B ． 31C.5 D ．410．在△ ABC 中， tanA 是以－ 4 第三， 4 第七的等差数列的公差， tanB 是以1第三， 9 第六的等比数列的公比，tanC ＝ ________.32x 2＋ 9x ＋ 6＝0 的两根相等，数列的各 11．数 10 的等比数列的中两与相乘的 ________．12．在等比数列 { a n } 中，a n >0，且 a 1·a 2·⋯·a 7·a 8＝ 16， a 4 ＋a 5 的最小 ________．13．已知 a ，b ， c 是减的等差数列，若将此中两个数的地点，获得一个等比数a 2＋ c 2列，2的 ________．b14． (10 分) 等比数列 { a n } 的前 n 和 S n .已知 a 2 ＝6,6a 1＋ a 3＝ 30，求 a n 和 S n .15． (13 分) 已知等比数列 { a n} 的公比 q＝ 3，前 3 和 S3＝13.3(1)求数列 { a n} 的通公式；(2)若函数πa3，求函数f(x)＝ Asin(2 x＋φ)( A>0,0< φ<π)在 x＝获得最大，且最大6f(x)的分析式．点打破111 16． (12 分 ) 已知公差不0 的等差数列 { a n} 的首 a1a(a∈R) ，且a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列 { a n} 的通公式；(2) n∈N*，比1＋1＋⋯＋1 与1的大小．a2 a22a2n a1作 (三十一 )【基身】1． B [ 分析 ] 于①，不必定增数列，可能减数列；于②，常数列也是等差数列；于③，依照函数的性考，正确．故 B.知正确；于④，依照指数函数的性知， 2． B [ 分析 ] a 3＋ a 4＝ q 2(a 1＋ a 2) ＝q 2 ＝9，所以 q ＝ ±3，所以 a 4＋ a 5＝q(a 3＋a 4)＝ ±27，故 B.[ 分析 ]{ a n } 的公比 q ，有 a 1q 2·a 1q 6＝ 4a 12q 6，解得 q ＝2( 舍去 q ＝－ 2)，所3． A 以由 a 2＝ a 1q ＝ 2，得 a 1＝ 1.故 A.4．3n －1[ 分析 ] 由已知等式可得 a 2a 3＝ 27，等比数列的公比 q ，有 a 12q 3＝ 27，所以 q ＝ 3，通公式 a n ＝ 3n －1. 【能力提高】5． B [分析 ] 将已知两等式相减得 3a 3＝a 4－a 3，即 a 4＝ 4a 3，所以公比 q ＝ 4.故 B. 6． B [分析 ] 公比 q ，由 a 2a 3a 6 a 9 a 10＝ 32 得 a 65＝ 32，所以 a 6＝ 2，2 3 2所以 a 9 ＝ a 6q6 ＝ a 6 ＝2.故 B.a 12a 6q367．C[分析 ]9 1－ q ＝ 1－ q ，解得 q ＝ 2，数列 1是以 1 首，由意可知 q ≠ 1， 1－ q 1－ q a n15 和 31以 2公比的等比数列，由乞降公式可得其前16.所以 C.8． A [分析 ] 由 a n ＋ 1＝ 3S n ? S n ＋ 1－ S n ＝ 3S n ? S n ＋ 1＝ 4S n ，所以数列 { S n } 是首 1，公比 4 的等比数列，所以 S ＝ 4n － 1，所以 a ＝S －S ＝ 45－ 44＝ 3× 44，所以 A.n6 6 59． A[分析 ] 等差数列 { a n } 的公差 d ，有 (a 1＋ 2d)2＝ a 1( a 1＋ 3d)，得 a 1＝－ 4d ，所以 S 3 － S2＝ a 3 ＝ a 1＋2d＝－ 2d ＝ 2.故 A.S 5 － S 3 a 4＋ a 5 2a 1＋ 7d － 8d ＋ 7d－ 4＋ 4tanA ＝ 4， tanA ＝2，由已知，有 110． 1 [分析 ] 3解得3tan B ＝ 9，tanB ＝3，∴ tanC ＝－ tan(A ＋ B)＝－tanA ＋ tanB＝1. 1－ tanAtanB11．243 [分析 ] 此数列 { a n } ，由 a 5 a 6＝3，进而 a 1 a 2⋯ a 9a 10＝ (a 5a 6)5＝ 35＝ 243.12．2 2[分析 ] 由已知得 (a 4a 5) 4＝ 16，因 a n >0，所以 a 4a 5＝ 2，所以 a 4＋a 5≥2 a 4a 5＝2 2.13． 20a ＋ c ＝ 2b ，a ＋ c ＝ 2b ，a ＋ c ＝2b ，[分析 ] 依得① 2或②2或③ 2b ＝ac ，a ＝ bc ， c ＝ ab. 由①得 a ＝b ＝c ，与“ a ，b ， c 是减的等差数列”矛盾；由②消去 c 整理得 (a － b)( a ＋ 2b)＝ 0， a>b ，所以有 a ＝－ 2b ， c ＝ 4b ， a 2＋ c 22 ＝20；ba 2＋ c 2由③消去 a 整理得 (c － b)( c ＋ 2b)＝ 0，又 b>c ，所以有 a ＝ 4b ， c ＝－ 2b ， 2 ＝20.b 14． [解答 ]{ a n } 的公比 q ，由得 a 1q ＝ 6，26a 1＋ a 1q ＝ 30.a 1＝ 3， a 1＝ 2，解得或 q ＝ 3.q ＝ 2，当 a 1＝ 3，q ＝ 2 ， a n ＝ 3× 2n －1， S n ＝ 3× (2n － 1)；当 a 1＝ 2，q ＝ 3 ， a n ＝ 2× 3n －1， S n ＝ 3n － 1.15． [解答 ] (1) 由 q ＝3， S 3＝13得a 131－3 ＝13，31－ 33解得 a 1＝1.所以 a n ＝ 1× 3n －1＝ 3n －2.3 3(2)由 (1) 可知 a n ＝ 3n －2，所以 a 3＝ 3. 因函数 f(x)的最大 3，所以 A ＝ 3；π因当 x ＝6 f(x) 获得最大，π所以 sin 2×6＋ φ ＝ 1.π又 0<φ<π，故 φ＝.6所以函数 f(x)的分析式 f(x)＝ 3sin2x ＋ π6 .【点打破】16． [解答 ] (1) 等差数列 { a n } 的公差 d ，由意可知 12＝ 1 1 ， a 2· 即 (a 1＋ d)2＝ a 1(a 1＋3d)，进而 a 1d ＝d 2.a 1 a 4因 d ≠ 0，所以 d ＝ a 1＝ a ，故通公式 a n ＝ na.(2) T n ＝ 1 ＋ 1＋⋯＋1 .因 a 2n ＝ 2na ， a 2 a 22a 2n 1 1 n1 1 11 121－2 11 n所以 T n ＝a 2＋ 22＋⋯＋ 2n ＝ a ·1 ＝ a 1－2 .1－2进而，当 a ＞ 0 ， T n ＜ 1，当 a 11a ＜ 0 ， T n ＞.。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(33)数列的综合应用B

课时作业(三十三)B [第33讲数列的综合应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．一张报纸厚度为a ，对折(沿一组对边的中点连线折叠)7次后，报纸的厚度为( )A ．8aB ．64aC ．128aD ．256a2．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg0.97＝－0.0132，lg0.5＝－0.3010)( )A ．22B ．23C ．24D ．253．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )A ．11B ．17C ．22D ．234．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为________米．能力提升5．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝( )A.1nB.2nC ．－1nD ．－2n6．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)，则a 2011＝( ) A ．－12 B ．－23C.35D.527．设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93.若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．198．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 9．已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n ，若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，设b n ＝1na n ，则使b 1＋b 2＋…＋b n <99100成立的最大n 值为( ) A ．97 B ．98 C ．99 D ．10010．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．11．已知数列{a n }中，a 201＝2，a n ＋a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则a 2011＝________.12．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意的正整数p ，q 都有a p ＋q ＝a p a q ，则a 8的值为________．13．已知a n ＝3n ，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状：a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9………………记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (11,12)＝________.14．(10分) 已知数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项a n 及S n ；(2)设数列{b n ＋a n }是首项为－2，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .15．(13分)某市2011年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2012年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2018年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(参考数据lg 65732lg1.5≈7.5)难点突破16．(12分) 设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n ≤b n ＋1＋1.课时作业(三十三)B【基础热身】1．C [解析] 报纸的厚度为27a ＝128a .故选C.2．B [解析] 依题意有(1－3%)n <0.5，所以n >lg0.5lg0.97≈22.8.故选B. 3．C [解析] 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22，故选C.4．1700 [解析] 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n ，则14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，所以山的高度为h ＝(18－1)×100＝1700(米)．【能力提升】5．C [解析] 已知变形为1a n ＋1－1a n＝－1，设b n ＝1a n ，则{b n }是等差数列，b 1＝－1，b n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n.故选C. 6．C [解析] 由递推公式得a 2＝－23，a 3＝52，a 4＝35，a 5＝－23，…，所以数列{a n }是周期数列，周期为3，于是a 2011＝a 2010＋1＝a 1＝35.故选C. 7．C [解析] 依题意即求S n 最大时的项数n .将两已知等式相减，可得公差d ＝－2，所以3a 1＋9d ＝99，解得a 1＝39，所以a n ＝39－2(n －1)＝41－2n .当a n >0时，S n 取得最大值，所以41－2n >0，得n <20.5，所以k ＝n ＝20.故选C.8．B [解析] 从上到下各节记为a 1，a 2，…，a 9，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 9＋a 8＋a 7＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ d ＝766，a 1＝1322，所以a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.故选B. 9．B [解析] 因为S 3＝3a 2≤9，即a 2≤3，且a 1>1，a 4>3，首项及公差d 为整数，所以可得a 1＝2，d ＝1，所以a n ＝n ＋1，所以b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，所以n n ＋1<99100成立的最大n 值为98.故选B. 10.104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x )10＝4，所以x ＝104－1.11．2 [解析] 由已知得a n ＋1＝－a n ，所以a 202＝－2，a 203＝2，a 204＝－2，…，可以看出，奇数项为2，偶数项为－2，所以a 2011＝2.12．256 [解析] 令p ＝q ＝1，则a 2＝4，令p ＝q ＝2，则a 4＝16，令p ＝q ＝4，则a 8＝256.13．3112 [解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，所以前10行数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A (11,12)为{a n }的第112项，所以A (11,12)＝a 112＝3112.14．[解答] (1)因为数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝12的等比数列，所以a n ＝2·⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n . (2)依题意得：b n ＋a n ＝－2＋2(n －1)＝2n －4，所以b n ＝2n －4－a n ＝2n －4－22－n .设数列{b n ＋a n }的前n 项和为P n ，则P n ＝n (－2＋2n －4)2＝n (n －3)，所以T n ＝P n －S n ＝n (n －3)－4⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n 2－3n －4＋22－n . 15．[解答] (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2018年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1q 6＝128×1.56＝1458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10000＋S n >13，即S n >5000，于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5000，即1.5n >65732，则有n >lg 65732lg1.5≈7.5，因此n ≥8. 所以，到2019年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13. 【难点突破】16．[解答] (1)由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋n －1>0， n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b，当n ≥2时，A n ＝1b ＋1bA n －1 ＝1b ＋…＋1b n －1＋1bn －1A 1 ＝1b ＋ (1)n －1＋1b n . ①当b ≠1时，A n ＝1b ⎝⎛⎭⎫1－1b n 1－1b＝b n －1b n (b －1)， ②当b ＝1时，A n ＝n .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n (b －1)b n －1，b ≠1，1， b ＝1.(2)证明：当b ≠1时，欲证2a n ＝2nb n (b －1)b n －1≤b n ＋1＋1，只需证2nb n ≤(b n ＋1＋1)b n －1b －1. ∵(b n ＋1＋1)b n －1b －1＝b 2n ＋b 2n －1＋…＋b n ＋1＋b n －1＋b n －2＋…＋1＝b n ⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n ＋b n －1＋1b n －1＋…＋b ＋1b >b n (2＋2＋…＋2) ＝2nb n ，∴2a n ＝2nb n (b －1)b n －1<1＋b n ＋1. 当b ＝1时，2a n ＝2＝b n ＋1＋1.综上所述2a n ≤b n ＋1＋1.。

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