第十章1理力

一、质点的动量定理
ma F
dv m F
dt
d(mv) F dt
质点的动量定理 质点的动量对时间的一阶导数
等于作用于其上的力。
质点动量定理的微分形式
d(mv )
Fdt
即质点动量的增量等 于作用于质点上的力
在 t1~ t 2 内, 速度由v1 ~ v2 , 有 的元冲量。
质点动量定理的积分形式
mv2 mv1
力与其作用时间的乘积称为力的冲量。
冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效果的度量。
常力的冲量 变力的冲量
I Ft
力在微小时间间隔dt内的冲量称为力的元冲量。
dI Fdt
力在有限时间内（瞬时t1至瞬时t2）的冲量
单位： N·s
I t2 Fdt t1
§10-2 动量定理
Theorem of momentum
质心
rc
miri m
，
m
mi
yC
mi yi mi
zC
mi zi mi
p
mi vi
mi
d ri dt
dmi ri dm rc
dt
dt
m d rc dt
m vc
即
p mvc
质点系的动量等于质点系 的质量与质心速度的乘积，方
向与质心速度方向相同。
质点系的动量 p 在直角坐标系中的投影为
改变量等于在这段时间内作用于质
点系外力冲量的矢量和。
由质点系动量定理可见，质点系的内力不能改变 质点系的动量。
d p
dt
Fi ( e )
n
p2
p1
I (e) i
i 1
动量定理微分形式的投影式
dp x dt
Fx(e)
dp y dt
Fy(e)
dp z dt
Fz(e)
动量定理积分形式的投影式
动力学普遍定理概述
质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解
？ 质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个质点 运动微分方程，联立求解即可。
动力学普遍定理
同运动相关的量 同力相关的量
动量定理
动量
冲量
动量矩定理
动量矩
力矩
动能定理
动能
功
第十章 动量定理
Theorem of momentum
§10-1 动量与冲量 §10-2 动量定理 §10-3 质心运动定理
t2 Fdt I
t1
即在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在
此段时间内的冲量。
二、 质点系的动量定理
设质点系有n个质点，第i个质点的质量为mi，速度为vi；外 界物体对该质点作用的力为Fi(e) ，称为外力，质点系内其他 质点对该质点作用的力为Fi(i) ，称为内力。
第i个质点：d
C
则其动量为
p mvc vc 0
p mvc 0
⑵ 轮: m，R， ω;偏心距e， 绕轴O转动，则其动量为
p mv c m e
C vc
e
ω
O
⑶ 均质轮: m，R，沿水平直线轨 道纯滚动，轮心速度v，其动量
vω
C
p mv 方向同 v
O ω
⑷ 均质杆: m ，杆长为L，绕杆端轴O
以角速度ω转动，则
于质点系的外力的矢量和。
d p
dt
Fi ( e )
质点系动量定理的微分形式
dp Fi(e)dt dIi(e)
质点系动量的增量等于作用于 质点系的外力元冲量的矢量和。
在 t1~ t2 内, 动量 p1 ~ p2 有
质点系动量定理的积分形式
n
p2
p1
I (e) i
i 1
在某一时间间隔内，质点系动量的
vc L / 2 p mvc
C
1 m L
2
（5）均质杆质量为m，长度为l，图示瞬时A端 速度为v， 求其动量。
AB作平面运动 由A、B速度知P为瞬心
B
∵vA= v
AB
v AP
v
l sin
vB C
P ωAB
vC AB CP
v l l sin 2
φ
A
mvc
vA
p
v
2sin
mvC
mv
(mi
vi
)
(F
(e) i
F (i) i
)dt
F (e) i
dt
F (i) i
dt
质点系: d(mivi ) Fi(e)dt Fi(i)dt
(i)
(F i dt) 0
d (mi vi ) d mi vi
d p
d p
dt
Fi ( e )
质点系的动量定理 质点系动量对时间的一阶导数等于作用
⒈质点的动量 质点的动量定义为质点的质
量与速度的乘积。是瞬时矢
mv
量，方向与速度方向一致。
质点的动量
mv
单位
kg m / s
v m
动量是度量机械运动强弱程度的一个物理量。
⒉质点系的动量 质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系 的动量。用 p 表示。
质点系的动量
n
p mivi i 1
xC
mi xi mi
※应用质点系动量守恒定律，需注意以下几点：
动量守恒方程中的速度必须是绝对速度； 应确定一个正方向，严格按照动量投影的正负号去计算； 动量守恒定律常用来求速度。
例10-2 物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的 质量为mB，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为l，质量不计， 初始时系统静止，并有初始摆角0；释放后，细杆近似以
三、 质点系动量守恒定律
如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则质点 系的动量保持不变。
若 F (e) 0, 则 p = 恒矢量
如果作用于质点系上的外力主矢在某一坐标轴上的
投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的e) x
0,
则
px= 恒量
结论：只有外力才能改变质点系的动量；内力不能改变质 点系的动量，但能改变其中各部分的动量。
基本内容 ：
动量定理---描述质点和质点系总体运动变 化与作用力间的关系，用以求解质点系动力 学问题
基本要求：
理解动量、冲量、质点系质心的概念
会计算质点、质点系、刚体作各种运动时的 动量和力的冲量
能熟练运用动量定理、质心运动定理及其守 恒定律求解动力学问题
§10-1 动量与冲量
一、动量 Momentum and impulse
px
p0 x
I (e) x
py
p0 y
I
(e) y
pz
p0 z
I (e) z
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为 m1， 转子质量为m2，定子和机壳质心 O1， 转子质心O2 ，O1O2=e , ω 为常量。求基础的水平及铅直约束力。
ω O1
e φ O2
解： 研究电动机外壳与转子组成质点系
px mivix mvcx
py miviy mvcy
pz miviz mvcz
若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可写为
p pi mi vci
式中 mi 、vci 分别为第i 个刚体的质量和它的质心的速度。
例10-1 求图示均质物体或物体系统的动量。
ω
⑴ 均质轮:m，R，ω, 绕质心轴C 转动
=0cost 规律摆动（ 为已知常数），求物块A的最大速度。
解：取物块和小球为研究对象
FA
Fx(e) 0
px p0x 0
小球B获得最大相对速度时，物块A的速度最大
mNAg
•
0 sin t
当sint 1时 max 0
此时cosωt=0，即φ=0 当细杆铅垂时，小球相对物块有最大的相对速度
B
mBg
vr lmax l0
当vr向左时，物块应有向右的绝对速度，设为v 小球向左的绝对速度为 va v vr
由质点系动量守恒定律
Av
mAv mB (v vr ) 0 vr l 0
v mBvr mBl 0
vr
B
mA mB mA mB
系统的动量为 p = p 1+ p 2
∴ p = p2 = m2ωe
y
φ=ωt 时， px m2e cost
py m2e sin t
由质点系动量定理：
dpx dt
Fx
dp y dt
Fy
m1g m2 g
ω O1
x
e
Fx
m1g φ
O2
m2g
A
Fy MA
Fx m2 2esin t, Fy (m1 m2 )g m2 2ecost
2 sin
思考题
思10-1 求图示各均质物体的动量。设各物体质量皆为m 。
p mivi mvC
l
p 1 ml
2
l
l/3
p 1 ml
6
瞬心法
v l sin 60
l
60
v
p 1 ml 3 mv
2
3
y
45º 2a
a
x
a
p 1 ma
2
R
p mR
v R
p mv
二、 冲量
物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方 向有关，还与力作用的时间的长短有关。