全概率公式和贝叶斯公式的一种新讲解

文 Βιβλιοθήκη 教 育 １ ；１ 杨 莉 军
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全概率公式和贝叶斯 公式 的一种新讲解
（ 北京印刷 学院 基 础部 ， 北京 １２０ ） ０ ６ ０
摘 要 ：全概 率公式” 贝叶斯公式” 《 率论与数理统计》 “ 和“ 是 概 教学的重点和难 点。通 常的授课方法是： 直接给 出定理及公式 ， 然后套用定理及 公式的讲解方法。 学生接 受起来 比较 困难。 采取通过 实例给 出应用背号、 引导学生理 解二者之 间的关 系并给 出“ 全概 率公式 ” 简化思考过程的实例 的 讲解方法， 并作为《 数学实验》 课的一个例子 ， 可以由此介绍数学软件， 也 发现教 学效果 良好 。 关键词 ： 率公式 ； 全概 贝叶斯公式 ； 学研 究； 学实验 教 数 过检验的概率 ＰＡ 。而顾 客关心的是从商场买 （） （），日ＵＢ Ｕ…Ｕ既 ＝Ｓ ｉ ｉ ２ 则称 Ｂ ，： 。Ｂ ……Ｂ 为样本 空间 Ｓ的一个 划 的电视机虽然有合格证 ，但它是次品的可能性 个重要 内容 。 按照通常 的方法授课 ， 即运用直 分 。 是多少。 接给出定理及公式 ， 然后套用公式 的讲解方法 ， 利用 “ 样本 空间的划分 ” 的定 义 ， Ｂ ， 若 Ｂ， 厂家关 心的问题全概率公式解决 了， 顾客 学生接受起来 比较困难。结果 同学们经常是在 Ｂ 为样本空 间 ｓ的一个划 分 ， ＰＢ ＞ ， 且 （ ０ 那 和厂家的利益应该是相对“ １ 矛盾” 的。那 么顾 客 遇到应该运用“ 全概率公式 ” 贝叶斯公式” 和“ 的 么， 试验 Ｅ的任一事件 Ａ的概率 为 关心的问题将 由“ 贝叶斯公式” 来解决 。 ＝ 马 ２ ＝ （ ， Ｕ 时候， 抛开公式 ， 直接运用初等数学知识解决问 ，（ ） Ｐ（ ） ，（（ ＵＢ Ｕ Ｕ ） ） ＰＡＢ ＵＡＢ２ Ｕ ） 问题 ２ ：求当一批产 品已通过检验 的条件 （ ＋Ｐ ＋ （ 题， 导致简单 问题复杂化 ， 的竟然 出现概率大 Ｐ ） （ ） ＋ＰＡＢ） 有 下确有 ２ 件次 品的概率 Ｐ ： ） （ Ｉ 是多少。这样讲 ＢＡ Ａ Ｊ与 ＋Ｐ Ｉ Ｐ￣ ＋ ）（ ） （ Ｂ （ ） …＋ Ｄ ＡＯ ）（ ． ） ｐ 于１ 的错误却不知错在 哪里 。 解， 学生 马上就 明白“ 贝叶斯公式 ” 的应用背景 ， （尽 ） Ａ （ 全概 率公式 和贝叶斯 公式本身 是用来 解 ∑ Ｐ Ｉ 也就很容易理解“ 贝叶斯公式 ” 了。 决实际 问题的 ， 应用背景尤为重要 ， 如果对公式 于是给出“ 全概率公式” 的定义 。 现利用 贝叶斯公式求解 问题 ２ ： 的应用背景不理解 ， 很难灵活运用 。 通过几年来 定 义 ２ｔ ： 】 ） （ ２ ０ ９ ０４ Ｐ Ｂ ） ． ８ｘ ． ． Ａ： （Ｉ Ｐ ） —Ａ ２ （ Ｉ Ｐ Ｂ ０＿ ４ ， ＝Ｐ ∽ ∽ ） 暇） 以 ） Ｐ ＋， 岛） 十 ＋ ）ｃ ， ） ＰＡ （） ０９ ８ ｏ 对《 概率论 与数理统计》 门课 的教学研究 ， 这 发 ∑ ＰＡＢＰ ） （Ｉ） ， ． （） １ “ 贝叶斯 公式 ” 的分母是 “ 全概 率公式 ” 要 现从实例 人手 ， 引导学生去学 习“ 全概率公式 ” 和“ 贝叶斯公式” 并通过实例理解二者之间的关 前面 的例 子运用 “ 全概 率公式 ” 似乎 有些 解决 的问题 ，分子是 分母 的一个加数 。可 以说 系， 是很有效 的。由此介绍数学软件 ， 决概 率 简单问题复杂化 的味道 ，我们运用这个简单的 “ 解 贝叶斯公式 ” 是全概率公式 的一个 推论 ， ， 所以 统计计算中的问题 ， 激发学生的学 习积极性 。 有 例子只是 想给出全概率公式的应用背景。当问 也称其为“ 逆概率公式 ” 。只要清楚了“ ［ ３ １ 全概率 利于改善教学效果 题复杂之后就知道什么样的问题怎样运用 “ 全 公式” “ ，贝叶斯 公式” 就简单 了。 １ 全概 率 公 式 ３ 实 例 概率公式 ” 了。 首先 ， 不妨从 下述例 子人 手 。假设 １ 个年 再看 另一个例 子 ： 某电视机厂生产 的产 品 “ 全概率公式”是使复杂 问题简单化 的很 级有 ５ 个班 ， 每个班是 ３ ， ０人 男女生各一半 ， 如 以 １０台为一批 ，假定每一批 电视机 中次品最 有价值 的一个 实际应用公式 。当一个 事件 的发 ０ 果挑选 １ 名学生做学生会主席 ，那么选 中女生 多不超过 ４台。也就是说每 １０台电视机 中有 生是由几个不相关过程导致 的时候 ， ０ 运用 “ 全概 的可能性是多少？ ０台次品 、 １台次 品 、 ２台次品 、 ３台次品或 ４台 率公式 ”简化思考过程 ，用化整为零 的办法计 学生很快会得到答 案。 设选 中女生为 Ａ事 次 品。具体情况为每一批即每 １０台电视机 中 算 ， ０ 效果很好 。 可以把 问题像金字塔一样一层一 件， 则 ＝ ＝ 这个年级 共有 １０人 ， （ ５ 而女 有 ０台次品的可能性 为 １ ％， １台次品 的可 层的分开， ０ 有 再一层一层的套用“ 全概率公式 ” 下 。 生７ 人， ５ 则所求即为 ０ ） 事实上 ， ． 。 ５ 我们 的选取 能性为 ２ ％， ２台次品的可能性为 ４ ％， ３ 面举例说 明。 ０ 有 ０ 有 过程应该是 以 ０２的可能性在 １ ． 班选 取 ，再以 台次 品的可能性为 ２ ％， ４台次 品的可能性 ０ 有 例 ：某商场 的某种 电子元 件分别从北京 、 天津 、 深圳进货 。其中北京有 ３ 家工厂 以 Ｏ ． ５的可能性选取 到女生 ； 同样 以 ０２ ． 的可能性 为 １％。现进行抽样 检验 ， ０ 从一批 电视机 中随 上海 、 在２ 班选取 ， 再以 ０ ． ５的可能性选取 到女生 。 依 机取 出 １ 台电视 机来检验 。 若发 现是次 品， 则认 １ ： 的比例 ， ：１ ２ 合格率分别为 ９ ％、５ ９％； ９ ９ ％、 ７ 上 次类 推 ， ０ 以 ． ２的可能性 在 ３ 班选 取 ， 以 ０ 为这批产品不合格即不 能出厂 。 再 ． ５ 海有 ４家工厂 以 １ ：： ：２１的比例 ， 格率分别为 ２ 合 的可能性选取到女生 ；以 ０２的可能性 在 ４班 ． 问题 ｌ 一批 产品通过检验的概率 ： ９ ％、８ ９ ％、５ 天津有两家工厂以 ４５的 ６ ９ ％、７ ９ ％； ： 合格 率分别为 ９ ％、８ 深圳有 ３家工 ９ ９ ％； 选取 ， 再以 ０５的可能性选取 到女生 ； ０２的 ． 以 ． 解 ： Ａ事件 为一批 产品通 过检验 ，，－ 比例 ， 设 Ｂ（ ｉ 可能性在 ５班选取 ，再以 ０５的可能性选取 到 ０ １ ，，１ ． ，， ３４ 为一 批产 品中含有 ｉ ２ 件次 品 ，则 Ｐ 厂 以 ２ ： 的比例 ，合格率分 别为 ９ ％、８ ：１ ３ ９ ９ ％、 女生。写成 下面的计算过程。 （ ０ ＝ ．， Ｂ） Ｏ２ Ｐ（ ２ ＝ ．， Ｂ ） ０２ Ｐ ９ ％提供 货源。问这家商场的这种电子元件的 Ｂ ） ０１Ｐ（ １＝ ．， Ｂ ） Ｏ４ Ｐ（ ３＝ ．， ７ ＝ ＋ ＋ ＋ × ｊ 这 种 方 （ ＝ ．， ，＝ ，，，，） 一批产 品 的一个 区 合格率是多少。 × × × ＋ × ＝ １ Ｂ ）Ｏ１Ｂ（ Ｏ １２３４是 ｉ 法事实上运用 的就是全概率公式。 间 的划 分 ， ＡＩ。＝ ， （ Ｂ ） ０９ ， （ Ｂ ） Ｐ（ Ｂ） １Ｐ ＡＩ ： ．９ Ｐ ＡＩ２＝ 解 ： Ａ事件为 “ 设 合格 品”Ｂ０ １ ，，） ， ． ，３ ４分 ＝２ ７， ６ １ 上海 、 天津 、 深圳 ４地进 货， 则 为给出 “ 全概 率” 公式 ， 给出“ 本空 间 ０９ ，（ Ｉ，＝ ． Ｐ ＡＢ） Ｏ９ 。 先 样 ．８Ｐ ＡＢ）Ｏ９ （ Ｉ ＝ ． 运用公式（ ） 别依次为从北 京、 有 ） ｎ×Ｏ＋ 而 ＋． 扎 ２ ＋ ｌ９ ㈣ 。 Ｐ（ １： ． ， Ｂ ） ０２ ， Ｂ ） ０２ ， Ｂ ） 二 １而 ０×９ ０× １ ２９ ４ Ｏ × ｎ×６＝ 而 的划分” 的数学定义 。 Ｂ ） Ｏ２ Ｐ（ ２＝ ．５ Ｐ（ ３＝ ． Ｐ（４ ＝ ５ ５