2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷(带解析)

2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷（带解析）一、填空题1．已知集合{}2,A x x x R=<∈，集合{}13,B x x x R =<<∈，则A B = .2．命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 . 3．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = . 4．下图是某算法的流程图，其输出值a 是 .5．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 .6．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .7．已知点(),P x y 在不等式0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是 .8．曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是 .9．在等差数列{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = . 10．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD x AF y AE =+，,x y R ∈，则x y +的值为 .11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 . 12．已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 .13．如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .14．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c == ()f d =，其中0d c b a >>>>，则a b c d 的取值范围是 .二、解答题15．在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin ,n A ⎛= ⎝⎭，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若7a =，8b =，求ABC ∆的面积．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．（1）求证：//AP 平面MBD ；（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .17．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，右准线为x =，离心率为．若直线()0y t t =>与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线10x +=截得的线段长. 19．已知无穷数列{}n a 中，1a 、2a 、、m a 构成首项为2，公差为－2的等差数列，1m a +、2m a +、、2m a ，构成首项为12，公比为12的等比数列，其中3m ≥，m N *∈. （1）当12n m ≤≤，m N *∈，时，求数列{}n a 的通项公式； （2）若对任意的n N *∈，都有2n m n a a +=成立． ①当27164a =时，求m 的值； ②记数列{}n a 的前n 项和为n S ．判断是否存在m ，使得432m S +≥成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数()2ln f x ax x =-（a 为常数）． （1）当12a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若0a <，且对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围.21．如图，OA 、OB 是圆O 的半径，且OA OB ⊥，C 是半径OA 上一点：延长BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交OA 的延长线于点E .求证：45OBC ADE ∠+∠=.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵23a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:m x 20y --=，求实数a 、b 的值．23．在极坐标系中，求圆4sin ρθ=上的点到直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭值．24．解不等式211x x +--≤.25．在底面边长为2，高为1的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点．（1）求异面直线1A E 、CF 所成的角；（2）求平面1A EF 与平面11ADD A 所成锐二面角的余弦值．26．将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和．（1）求2ξ=时的概率；（2）求ξ的概率分布及数学期望．2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷参考答案1．{}12,x x x R <<∈或()1,2 【解析】 试题分析：{}2,A x x x R =<∈，{}13,B x x x R =<<∈，{}12,A B x x x R ∴=<<∈.考点：集合的交集运算 2．2,220x R x x ∃∈-+> 【解析】试题分析：由全称命题的否定知，命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是“2,220x R x x ∃∈-+>”. 考点：命题的否定3. 【解析】试题分析：1iz i =+，111iz i i i+∴==-+=-， z == 考点：复数的除法运算、复数的模 4．31 【解析】试题分析：第一次循环，2113a =⨯+=，330a =>不成立，执行第二次循环；2317a =⨯+=，730a =>不成立，执行第三次循环；第三次循环，27115a =⨯+=，1530a =>不成立，执行第四次循环；第四次循环，215131a =⨯+=，3130a =>成立，跳出循环体，输出的a 值为31. 考点：算法与程序框图 5．13【解析】试题分析：利用x 、y 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号，用(),x y 表示其中一个基本事件，则事件总体所包含的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个；事件“取出的两个球的编号大于5”所包含的基本事件有：()2,4，()3,4，共2个，所以事件“取出的两个球的编号大于5”发生的概率2163P ==. 考点：古典概型 6．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有122r r ππ=⇒=，故底面面积2211S r ππππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故圆柱的体积122V Sh ππ==⨯=.考点：圆柱的体积7．4 【解析】试题分析：如下图所示，不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，在直线方程24x y +=，令0y =，解得4x =，得点A 的坐标为()4,0，作直线:l z x y =+，其中z 可视为直线l 在x 轴上的截距，当直线l 经过区域中的点()4,0A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 404z =+=.考点：线性规划 8．2y x =或20x y -= 【解析】 试题分析：sin y x x =+,1cos y x '∴=+，当0x =时，1cos 02y '=+=，故曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是()020y x -=-，即2y x =或20x y -=.考点：利用导数求函数图象的切线方程 9．2n 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的首项1a 与公差d 的方程组，则有418137715a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故()()2111222n n n d n n S na n n --⨯=+=+=. 考点：等差数列的前n 项和 10．52【解析】 试题分析：D 为BC 的中点，()11112222BD BC AC AB AC AB ∴==-=-，AD AB BD∴=+1111113322222222AB AC AB AB AC AF AE AF AE xAF y AE⎛⎫=+-=+=⨯+⨯=+=+ ⎪⎝⎭，32x ∴=，1y =，35122x y ∴+=+=. 考点：平面向量的基底表示11．1± 【解析】试题分析：当0a ≥时，()213a f a =+=，解得1a =；当0a <时，0a ->，由于函数()f x 是偶函数，()()213a f a f a -∴=-=+=，解得1a =-，综上所述，1a =±.考点：函数的奇偶性 12．()1,2【解析】试题分析：法一：如下图所示，设B E x =，则03x <<，由勾股定理易得A E x =，3CE x =-，112122CF CD ==⨯=，EF ===，AF ===，由于AEF ∠为钝角，则cos 0AEF ∠<，则有222AE EF AF +-0<，即()()2224610102640xx x x x ++-+-=-+<，即2320x x -+<，解得12x <<；FED CBA法二：如下图所示，设BC x =，则03x <<，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xBy ，则()0,2A ，(),0E x ，()3,1F ，()()()0,2,0,2EA x x =-=-，EF =()()()3,1,03,1x x -=-，AEF ∴∠是钝角，则0EA EF ⋅<，即()()3210x x -⋅-+⨯<，整理得2320x x -+<，解得12x <<，且A 、E 、F 三点不共线，故有()()321x x -⨯≠-⨯，解得6x ≠.考点：余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积 13【解析】试题分析：由于AOP ∆为等腰三角形，且90AOP ∠=，故有AO OP a ==，则点P 的坐标为()0,a ，设点Q 的坐标为(),x y ，()()(),0,,PQ x y a x y a =-=-，()()(),0,,QA a x y a x y =--=---，PQ =2QA ，则有()22x a x y a y ⎧=⋅--⎨-=-⎩，解得233x a a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点Q 的坐标为2,33a a ⎛⎫-⎪⎝⎭，将点Q 的坐标代入椭圆的方程得2222211133a a a b⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得225a b =，即()2225a a c =-，2245c a ∴=，c e a ∴==. 考点：共线向量、椭圆的离心率 14．()21,24【解析】试题分析：如下图所示，由图形易知01a <<，13b <<，则()33log log f a a a ==-，()3log f b b =3log b =，()()f a f b =，33log log a b ∴-=，1ab ∴=，令21108033x x -+=，即210240x x -+=，解得4x =或6x =，而二次函数2110833y x x =-+的图象的对称轴为直线5x =，由图象知，35c <<，5d >，点()(),c f c 和点()(),d f d 均在二次函数2110833y x x =-+的图象上，故有52c d+=，10d c ∴=-，由于()21103338133f =⨯-⨯+=，当13x <<时，()33log log f x x x ==，30log 1x ∴<<，13b <<，()01f b ∴<<，()()f b f c =，()01f c ∴<<，由于函数()f x 在()3,5上单调递减，且()31f =，()40f =，34c ∴<<，()211010abcd cd cd c c c c∴=⨯==-=-+()2525c =--+，34c <<，()22152524c ∴<--+<，即2124abcd <<.考点：函数的图象、对数函数、二次函数的单调性 15．（1）60A =；（2）ABC S ∆= 【解析】试题分析：（1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式1sin 02A A -=，再利用弦化切的思想求出tan A 的值，最终在求出角A 的值；（2）解法一：在角A 的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出s i n B 和cos B ，并利用()s i n s i n C A B =+结合和角公式求出sin C 的值，最后利用面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求出ABC ∆的面积；解法二：利用余弦定理求出c 的值，并对c 的值进行检验，然后面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求出ABC ∆的面积.试题解析：（1）因为m n ⊥，所以0m n ⋅=，则1sin 02A A -=， 4分因为090A <<，所以cos 0A ≠，则tan A =60A = 7分 （2）解法一：由正弦定理得sin sin a bA B=，又7a =，8b =，60A =， 则84sin sin 607B ==，因为ABC ∆为锐角三角形，所以1cos 7B =， 9分因为()11sin sin sin cos cos sin 72C A B A B A B =+=+=+=， 12分所以1sin 2ABC S ab C ∆== 14分 解法二：因为7a =，8b =，60A =， 所以由余弦定理可知，214964282c c =+-⨯⨯，即28150c c -+=，解得3c =或5c =， 当3c =时，222949640c a b +-=+-<，所以cos 0B <，不合乎题意； 当5c =时，2222549640c a b +-=+->，所以cos 0B >，合乎题意；所以1sin 2ABC S bc A ∆== 14分 考点：正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式 16．（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接AC ，找到AC 与BD 的交点O 为AC 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明//AP OM ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//AP 平面MBD ；（2）先证明AD ⊥平面PBD ，得到AD BD ⊥，再由已知条件证明BD PD ⊥，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明BD ⊥平面PAD . 试题解析：（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以点O 为AC 的中点，又M 为PC 的中点，所以//OM PA ， 4分因为OM ⊂平面MBD ，AP ⊄平面MBD ，所以//AP 平面MBD 6分MODCBAP（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 8分因为AD PB ⊥，PD PB P =，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以AD ⊥平面PBD ，因为BD ⊂平面PBD ，所以AD BD ⊥， 10分因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥， 12分 又因为BD AD ⊥，AD PD D =，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以BD ⊥平面PAD 14分考点：直线与平面平行、直线与平面垂直17．当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米. 【解析】试题分析：先将休闲广场的长度设为x 米，并将宽度也用x 进行表示，并将绿化区域的面积S 表示成x 的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为x 米，则宽为2400x米，绿化区域的总面积为S 平方米， ()240064S x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 6分2400242446x x ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭360024244x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()6,600x ∈ 8分因为()6,600x ∈，所以3600120x x +≥=， 当且仅当3600x x=，即60x =时取等号 12分 此时S 取得最大值，最大值为1944.答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.14分 考点：矩形的面积、基本不等式18．（1）221124x y +=；（2） 【解析】试题分析：（1）先根据题中的条件确定a 、c的值，然后利用b =b 的值，从而确定椭圆C 的方程；（2）先确定点M 的坐标，求出圆M 的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题意知3c a =，2a c=，解得a =则c =2b =，故椭圆C 的标准方程为221124x y += 5分 （2）由题意可知，点M 为线段AB 的中点，且位于y 轴正半轴， 又圆M 与x 轴相切，故点M 的坐标为()0,t ，不妨设点B 位于第一象限，因为MA MB t ==，所以(),B t t ， 7分代入椭圆的方程，可得221124t t +=，因为0t >，解得t = 10分 所以圆M的圆心为(，其方程为(223x y += 12分因为圆心M到直线10x +=的距离1d == 14分故圆M被直线10x +=截得的线段长为=分考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理19．（1）数列{}n a 的通项公式为24,11,122n m n n n m a m n m --+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）①m 的值为7或21；②详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据数列的定义求出当12n m ≤≤时数列{}n a 的通项公式，注意根据n 的取值利用分段数列的形式表示数列{}n a 的通项；（2）①先确定164是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出m 的值；②在（1）的基础上，先将数列{}n a 的前2m 项和求出，然后利用周期性即可求出43m S +，构造()21312m f m m m =-++-，利用定义法求出()f m 的最大值，从而确定2m S 和43m S +的最大值，进而可以确定是否存在m N *∈，使得432m S +≥.试题解析：（1）当1n m ≤≤时，由题意得24n a n =-+， 2分当12m n m +≤≤时，由题意得12n mn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 4分故数列{}n a 的通项公式为24,11,122n m n n n m a m n m --+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 5分（2）①因为12164n -+=无解，所以164必不在等差数列内， 因为611642⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以164必在等比数列内，且等比数列部分至少有6项，则数列的一个周期至少有12项， 7分所以第27项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内，若1272m ≤≤时，则272711264ma -⎛⎫==⎪⎝⎭，得21m =， 若21274m m +≤≤，则2732727211264mma a --⎛⎫===⎪⎝⎭，得7m =， 故m 的值为7或21 9分 ②因为221312m m S m m =-++-，12330a a a S ++==， 所以2432123122312m m m S S a a a m m +⎛⎫=+++=-++- ⎪⎝⎭， 12分 记()21312m f m m m =-++-，则()()()111212m f m f m m ++-=-+， 因为3m ≥，所以()()10f m f m +-<，即()()1f m f m +<， 14分 故3m =时，2m S 取最大，最大值为78， 从而43m S +的最大值为74，不可能有432m S +≥成立，故不存在满足条件的实数m 16分考点：等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和、数列的周期性、数列的单调性20．（1）函数()f x 的单调递减区间为()0,1；（2）实数a 的取值范围是212,0e e e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭. 【解析】试题分析：（1）将12a =代入函数解析式并求出相应的导数，利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的单调递减区间；（2）构造新函数()()()2F x f x a x =--，将问题转化为“对任意[]1,x e ∈时，()0F x ≥恒成立”，进而转化为()min 0F x ≥，围绕()min 0F x ≥这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数a 的取值范围.试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()21212ax f x ax x x-'=-=，当12a =时，()21x f x x -'=， 2分由()0f x '<及0x >，解得01x <<，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1 4分 （2）设()()()()22ln 2F x f x a x ax x a x =--=---，因为对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x ≥-恒成立，所以()0F x ≥恒成立，()()()()()2221121122ax a x ax x F x ax a x x x---+-'=---==，因为0a <，令()0F x '=，得11x a =-，2112x =<， 7分 ①当101a<-≤，即1a ≤-时， 因为()1,x e ∈时，()0F x '<，所以()F x 在()1,e 上单调递减， 因为对任意的[]1,x e ∈，()0F x ≥恒成立，所以[]1,x e ∈时，()()min 0F x F e =≥，即()2120ae a e ---≥， 解得212e a e e -≥-，因为2121ee e->--。