专题12解三角形的方法-2019年高考数学(文)命题热点全覆盖

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新高考解三角形解答题技巧

新高考解三角形解答题技巧
解三角形解答题是高考的热点题型，主要涉及正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等知识。

以下是一些解题技巧：
1. 熟悉基础知识：解三角形的问题需要熟练掌握正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等基础知识。

2. 审题清晰：认真审题，明确题目要求，弄清楚已知条件和未知数，再根据已知条件进行推导。

3. 善于运用三角形的性质：在解题过程中，要善于运用三角形的性质，如角平分线定理、中线定理等，这些性质可以帮助我们简化计算过程。

4. 观察三角形形状：通过已知条件和推导结果，观察三角形的形状，如直角三角形、等腰三角形等，这有助于我们找到解题的突破口。

5. 灵活运用公式：在解题过程中，要灵活运用正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等公式，以适应不同的情况。

6. 逻辑清晰：在推导过程中，逻辑要清晰，每一步都要有明确的依据，避免出现跳跃或错误。

7. 细心计算：在计算过程中，要细心，避免因计算错误导致整个解题过程失败。

8. 多做练习：通过多做练习，可以熟悉各种题型，提高解题速度和准确性。

总之，解三角形解答题需要熟练掌握基础知识、善于运用三角形的性质和公式、逻辑清晰、细心计算等多方面的技巧。

同时，多做练习也是提高解题能力的有效途径。

专题12+解三角形的方法-019年高考数学(理)命题热点全覆盖

专题12+解三角形的方法-019年高考数学(理)命题热点全覆盖【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.∴的面积.练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）.【解析】（1）又2sin C＝5sin A，利用正弦定理可得：2c ＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1) (2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.(2)由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又∵M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2x则CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（三）面积的最值问题例3．在中，角A,B,C的对边分别为且. （1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即可求解，（2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.练习1．已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S 的最大值．【答案】（1）; （2）.【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；练习1．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知(sin A+sin B)(a+b)=c·(sin C+sin B).（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围。

解三角形的技巧与方法归纳

解三角形的技巧与方法归纳三角形是几何学中一个非常重要的图形，研究三角形的性质和解三角形的方法对于拓展数学应用和解决实际问题都有着重要的意义。

下面是关于解三角形的一些常用技巧和方法的归纳。

一、根据已知边长和角度解三角形1. 正弦定理：如果三角形的边长和夹角都已知，可以使用正弦定理来解三角形。

正弦定理可以表示为： a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示三角形的角度。

2. 余弦定理：如果三角形的两边和夹角或三边之间的关系已知，可以使用余弦定理来解三角形。

余弦定理可以表示为：c² = a² + b² -2abcosC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示三角形的角度。

二、根据已知边长解直角三角形1.求斜边：如果已知一个直角三角形的两个直角边，可利用勾股定理求出斜边的长度。

勾股定理可以表示为：c²=a²+b²，其中a、b分别表示直角三角形的两个直角边，c表示斜边的长度。

2.求直角边：如果已知一个直角三角形的斜边和一个直角边，可利用勾股定理求出另一个直角边的长度。

勾股定理可以表示为：a²=c²-b²或b²=c²-a²，其中a、b分别表示直角三角形的直角边，c表示斜边的长度。

三、利用特殊角度解三角形1.30-60-90三角形：当一个三角形的角度为30度、60度和90度时，称为30-60-90三角形。

在30-60-90三角形中，斜边的长度是短边的两倍，短边的长度是斜边的一半。

2.45-45-90三角形：当一个三角形的两个角度都为45度时，称为45-45-90三角形。

在45-45-90三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度是直角边的根号2倍。

四、利用相似三角形解三角形1.比较边长比例：如果两个三角形的相应边长比例相等，那么这两个三角形是相似的。

解三角形的实用方法

解三角形的实用方法三角形是几何学中常见的图形，解三角形是指根据已知条件求解三角形的各个要素，例如边长、角度等。

在实际生活和工作中，解三角形的方法经常被应用于测量、建筑、导航等领域。

本文将介绍几种实用的方法来解三角形。

一、解决三角形的基本要素要解决一个三角形，我们需要知道至少三个要素，其中至少包括一边和一个角。

以下是一些常见的解决三角形的基本方法：1. 根据三边求解如果我们已经知道了一个三角形的三边长度，可以使用余弦定理来计算其角度。

根据余弦定理，我们可以得到以下公式：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cosB = (c^2 + a^2 - b^2) / (2ca)其中A、B、C分别是三角形的三个角，a、b、c分别是三角形的三个边长。

2. 根据两边和夹角求解如果我们已知两个边的长度和它们之间的夹角，可以使用正弦定理来计算第三边的长度。

根据正弦定理，我们可以得到以下公式：sinA / a = sinB / b = sinC / c其中A、B、C分别是三角形的三个角，a、b、c分别是三角形的三个边长。

3. 根据两角和边求解如果我们已知两个角度和它们之间的边的长度，可以使用正弦或余弦定理来计算其他要素。

如果我们已知两个角A和B以及它们之间的边c，可以使用正弦定理求解。

反之，如果我们已知两个角A和B以及边a和b，可以使用余弦定理求解。

二、解决实际问题的方法除了上述基本的解三角形的方法，我们还可以应用这些方法来解决一些实际问题。

1. 测量三角形的高度在测量中，可以使用三角形的相似性来测量难以访问的高度。

我们可以绘制一个已知底边和顶点的三角形，并在顶点处测量角度。

然后可以使用辅助三角形和三角函数来计算高度。

2. 导航和定位在导航和定位中，我们可以使用三角形的解法来确定目标的位置。

例如，使用三角形的测量方法来测量两个观测点之间的角度，然后使用三角函数和已知的距离来计算目标距离观测点的位置。

专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题(11大核心考点)-2024年高考数学二轮复习讲练测

则 = ．
5．（2021•浙江）在中，∠ = °， = ，是的中点， = ，则 = ；

∠ = ．

6．（2022•甲卷）已知中，点在边上，∠ = °， = ， = ．当取得最小值时，
，得 = 2或 =
∈ 0, ，得sin = 1
7
− 2（舍），
− cos 2
2
2
15
4
=
=

2sin⋅cos
3 15
．
4

3
3
= sin，所以 = 6cos．
在 △ 中，再由余弦定理得 cos =

所以 6 =
15
，
4
所以△ 的面积 = 1 sin = 1 × 3 × 2 ×
2
=
3

= 0, ∴ ∠ = ， =
2
2
3
7
1+4−2
7
，解得AD为
9
1
+
16
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2
− )=
=
3
，cos∠
3
129
12
4
3 3
，sin∠ =
，
43
43
3
1
, sin∠ = ，
2
2
7 3
+ ∠) = 2 43，

cos∠ = −cos∠ = −
cos∠ = cos(

（2）在△ 中，由正弦定理得sin = sin ⇒ sin2 = sin ⇒
16+2 −9
2×4×
，解得 = 21．
2 + 2 − 2
2⋅

2019年高考数学命题热点解析理科专题12【解三角形的方法】

（六）角的范围问题
例 6．在锐角三角形 ABC 中，A＝2B，a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，求ba的取值范围．
【答案】( 2, 3)
【解析】由已知及正弦定理可解得a
b
=2cosB，由
0＜A＜
π，可得π
2
6
＜B＜
π，解得
4
cosB
的范围，即可解得a
b
的取值范围．
8
【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，熟练掌握正弦定理，余弦函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题．练习 1．已知ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acosC＋c＝2b.
所以
，当且仅当 a = c = 2 时等号成立，
故△ ABC 面积的最大值为 3．
练习 2．在ΔABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，且
.
（1）求角 A 的大小；（2）已知公差为 dd ≠ 0的等差数列an中，a1 ⋅ sinA = 1，且a1,a2,a4成等比数列，记bn = ana4n+1，求数列bn 的前 n 项和Sn. 【答案】（1）A = π6；（2）Sn = nn+1.
【解析】（1）由正弦定理可得
，再根据三角函数恒等变换即可求
出 cosA =
3，又
2
A
为三角形的内角，可得
A
=
π6 （2）先求出等差数列an
=
2n，再根据裂项相消法求bn的
前 n 项和.
（2）根据题意，因为 AE 平分∠BAC，
12
所以
，故AB
AC
=
BE CE
=

高中数学求三角函数解析式方法总结超全面(必刷题)

求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。

（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。

2019高考文科数学命题热点名师解密专题：解三角形的方法

【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.【三角形解题方法类型】（一）正余弦定理的灵活应用例1．在中，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）因为,由正弦定理，得，由余弦定理，又因为，所以（二）三角形中的中线问题例2．在中，内角的对边分别为，若，.（Ⅰ）求；(Ⅱ)若为边的中线，且，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理得，，进而得到即，由，∴.由得到，最后由正弦定理可得的值；（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得，解得.得到三边长，结合（Ⅰ）可求的面积．（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得即解得.∴.∴的面积.练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）.【解析】（1）又2sin C＝5sin A，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1) (2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.【详解】(1)∵∴∴由正弦定理得：即∴∵C为三角形的内角，∴【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（三）面积的最值问题例3．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即可求解，（2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值.（2）由余弦定理，得因为，所以，又因为，所以三角形的面积为，此时.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.练习1．已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）; （2）.【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，从而由可得解.（2），所以，所以（时取等号）．练习1．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知(sin A+sin B)(a+b)=c·(sin C+sin B).（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围。

高中数学题型解法归纳《解三角形题型的解法》

高中数学题型解法归纳《解三角形题型的解法》在直角三角形中，三边之间有一个重要的关系，即勾股定理，即a²+b²=c²。

同时，锐角之间的关系为A+B=90度，而边角之间的关系则可以用锐角三角函数来表示，例如sinA=cosB=a/c，cosA=sinB=b/c，tanA=a/b。

在斜三角形中，三角形内角和为180度，正弦定理可以用来描述各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）。

而余弦定理则可以用来描述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC。

三角形的面积公式有两种，一种是以三条边的高为基的公式，即S=1/2ah=1/2bh=1/2ch，另一种则是以三边和它们所对的角的正弦为基的公式，即S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB。

解三角形是指由三角形的六个元素中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题。

解三角形的主要类型有两类正弦定理和两类余弦定理。

如果出现多解，可以利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验。

在三角形中的三角变换中，除了应用上述公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

例如，由于在三角形中A+B+C=180度，所以sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC。

在△ABC中，已知c=2，C=π/3.1）若△ABC的面积等于3，求a,b；2）求a+b的取值范围。

解析：（1）由正弦定理有a/___，代入c和C的已知值，得到a/sinA=b/sinB=2/√3.由面积公式S=1/2ab sinC，代入已知值和a/sinA=b/sinB，得到3=1/2ab sin(π/3)，即ab=6√3.将a/sinA=b/sinB=2/√3代入正弦定理中，得到sinA=√3/2，sinB=1/2，因此a=2√3，b=2.答案：a=2√3，b=2.2）由三角不等式，有a+b>c，即a+b>2.又由正弦定理有a/sinA=b/sinB=2/√3，因此a=2b/√3，代入a+b>2中得到b(√3+2)>4，即b>4/(√3+2)。

解三角形大题解题方法

解三角形大题解题方法解三角形大题是数学中常见的问题类型，主要考察了三角形的边长和角度关系。

这类问题通常涉及到给定三角形的某些边长或角度，然后求解其他边长或角度。

解三角形大题的解题方法主要包括以下步骤：1. 理解问题：首先，要明确题目给出的条件和要求解的问题。

2. 选择合适的公式：根据题目条件，选择适当的三角形公式来求解。

例如，正弦定理、余弦定理、面积公式等。

3. 建立方程：根据选择的公式，建立关于未知数的方程。

4. 求解方程：解方程得到未知数的值。

5. 验证答案：最后，验证得到的解是否符合题目的条件和实际情况。

下面是一个具体的例子，说明如何使用这些步骤来解三角形大题。

例题：已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足 a = 4, b = 5, C = 60°。

求角B的大小。

1. 理解问题：题目要求我们求出角B的大小。

2. 选择合适的公式：在这个问题中，我们可以使用余弦定理来求解角B的大小。

余弦定理的公式是：c² = a² + b² - 2abcosC。

3. 建立方程：根据余弦定理，我们可以建立以下方程：c² = 4² +5² -2×4×5×cos60°。

4. 求解方程：解这个方程可以得到c的值。

然后，使用余弦函数计算cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)。

5. 验证答案：最后，我们需要验证得到的角B的值是否在0到180°之间，以确保它是有效的角度。

通过以上步骤，我们可以求解出角B的大小为锐角或直角。

高中数学解三角形方法

高中数学解三角形方法解三角形是高中数学中的重要内容之一，它涉及到了三角函数、三角关系等知识点。

本文将介绍常见的解三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、正切定理以及解决特殊三角形的方法。

通过学习和掌握这些方法，我们可以准确地解决各类三角形相关题目。

1. 正弦定理正弦定理是解三角形常用的方法之一。

它适用于已知一个角和两边的情况下，求解其他两个角或边的长度。

正弦定理的表达式为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$其中，$a$、$b$、$c$ 分别表示三角形的边长，$A$、$B$、$C$ 表示对应的角度。

2. 余弦定理余弦定理也是解三角形中常用的方法之一。

它适用于已知三边的长度，求解其中一个角的情况。

余弦定理的表达式为：$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$$$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$$$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$3. 正切定理正切定理也是解三角形的一种方法，它适用于已知一个角和边长的情况下，求解其他两个角的大小。

正切定理的表达式为：$$\tan A=\frac{a}{b}$$$$\tan B=\frac{b}{a}$$$$\tan C=\frac{a}{c}$$4. 解决特殊三角形的方法在解三角形问题中，有时会遇到特殊的三角形，如等腰三角形和直角三角形。

对于这些特殊的三角形，可以利用其特点来简化解题过程。

（1）等腰三角形：等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。

在解决等腰三角形问题时，可以利用等边性质得出两个角相等。

例如，已知等腰三角形的底边长度和顶角，可以利用等边性质求解其他两个角。

（2）直角三角形：直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在解决直角三角形问题时，可以利用勾股定理求解三个边的长度。

通过掌握上述解三角形的方法，我们可以灵活运用并解决各类三角形相关题目。

高三文科数学复习解三角形知识要点及基础题型归纳整理

解三角形知识刚要一．公式与结论1．角与角关系：A +B +C = π；2．边与边关系：（1）大角对大边，大边对大角（2）两边之和大于第三边，两边只差小于第三边解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解3．正弦定理：正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径）变形：①角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2=== ②边化角 R c C Rb B R a A 2sin 2sin 2sin ===③C B A c b a sin :sin :sin ::=①已知两角和一边；解三角形②已知两边和其中一边的对角．如：△ABC 中，①B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形 ②B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形。

4.余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c b B ac +-= 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角五.三角形面积5．面积公式 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC )(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径.注:由面积公式求角时注意解的个数6相关的结论：1．角的变换在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

解三角形的几种方法

解三角形的几种方法解三角形，是高中阶段我们学习的重要内容之一，在实际生活中应用也很广泛。

而正弦定理、余弦定理、等面积法、勾股定理等正是解决这一类问题的重要工具，下面我就通过例题从不同解法加以说明。

例：如右图：在ABC ∆中，,32,34==AC AB D 为BC 的中点，,300=∠BAD 求BC 的长。

1、余弦定理解：延长AD 到E, 使得AD=DE, 连结BE.因 D 为BC 的中点,故 EDB ADC ∆≅∆,即BE=AC. 在ABE ∆中，由余弦定理得：BAD cos AE 2AB -AE AB BE 222∠⋅⋅+=有 022230cos AE 342-AE )3(4)3(2⋅⋅⋅+= 整理得：03612AE -AE 2=+，即6AE = 故AD=3.在ABD ∆中，由余弦定理得：BAD cos AD 2AB -AD AB BD 222∠⋅⋅+=有022230cos 3342-3)3(4BD ⋅⋅⋅+=,即21BD = 故212BC =.总结：余弦定理适用于解决知两边及夹角或知三边求其它各边角的三角形问题。

2、等面积法解：ACD ABD S ∆∆=SD A C AC AD BAD AD AB ∠⋅⋅=∠⋅⋅sin 21sin 21 代入AB 、AC 、BAD ∠得：1sin =∠DAC 即090=∠DAC . 以下又分三种解法： (1) BC 21S A ABD S ∆∆=AC AC BAD AD AB B sin AB 2121sin 21∠⋅⋅⋅=∠⋅⋅ 整理得：AD=3.在ADC t ∆R 中，由勾股定理得：21CD =,即212BC =. (2) 在C A B ∆中，由余弦定理得：BAD cos AC 2AB -AC AB BC 222∠⋅⋅+=解得：212BC =.(3) 取AB 的中点E ，连结DE. 因D 为BC 的中点及090=∠DAC .故090E =∠DA .在E R AD t ∆中，330cos 32EAD cos AE AD 0=⋅=∠⋅=. 在ADC t ∆R 中，由勾股定理得：21CD =, 即212BC =. 3、正弦定理在BD A ∆和CD A ∆中，由正弦定理得：BD BAD AB ADB ∠=∠sin sin ,CDCADAC ADC ∠=∠sin sin 因0180ADC ADB =∠+∠,故ADC=sin∠∠.sinADB又因BD=DC,故CAD⋅=1, 即090∠DAC.==sin20∠30sin以下可以按解法2中的三种方法做出。

解三角形的几种方法

解三角形的几种方法三角形是初中数学学科的基础内容之一，解三角形问题是常见的数学题型之一。

通过解三角形问题可以帮助我们深入理解三角函数的定义和性质。

本文将介绍解三角形的几种常见方法。

一、正弦定理正弦定理是解三角形问题中最基本也是最常用的方法之一。

它的原理是：在任意三角形ABC中，有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三个对应角的大小。

根据正弦定理，我们可以通过已知角和边的数据来求解未知角和边的长度。

例如，已知三角形的两个角的大小以及一个边的长度，可以通过正弦定理求解出三角形的其他边和角的大小。

二、余弦定理余弦定理也是解三角形问题中常用的方法之一。

它的原理是：在任意三角形ABC中，有以下关系成立：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，C表示夹在两边a 和b之间的角的大小，cosC表示角C的余弦值。

通过余弦定理，我们可以通过已知角和边的数据来求解未知角和边的长度。

例如，已知三角形的三个边的长度，可以通过余弦定理求解出三角形的角的大小。

三、正切定理正切定理是解三角形问题中较少使用的方法之一。

它的原理是：在任意三角形ABC中，有以下关系成立：tanA = (b - c) / atanB = (c - a) / btanC = (a - b) / c其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三个对应角的大小。

通过正切定理，我们可以通过已知边的长度来求解未知角的大小。

例如，已知三角形的两边的长度和一个角的大小，可以通过正切定理求解出其他两个角的大小。

四、利用勾股定理解直角三角形在解直角三角形问题中，我们可以应用勾股定理。

勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

即，设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有：c² = a² + b²通过勾股定理，我们可以通过已知两边的长度来求解未知边的长度。

数学解三角形技巧大全

数学解三角形技巧大全解三角形是数学中的一个重要内容，也是高中数学中的一项基本知识。

掌握一些解三角形的技巧可以让我们更加方便地求解各种三角形的性质和关系。

本文将介绍一些常用的数学解三角形的技巧大全。

一、利用正弦定理求解三角形正弦定理是解三角形最基本也是最常用的方法之一。

对于任意一个三角形ABC，假设它的三个角度分别为∠A，∠B，∠C，边长分别为a，b，c。

正弦定理可以表达为：$\dfrac{a}{\sin{\angle A}} = \dfrac{b}{\sin{\angle B}} =\dfrac{c}{\sin{\angle C}}$利用正弦定理可以轻松求解三角形的任意边长或角度，只需知道已知边长或角度之间的比例关系即可。

二、利用余弦定理求解三角形余弦定理也是解三角形的重要方法之一。

当我们已知一个三角形的两边和夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。

对于任意一个三角形ABC，假设它的三个角度分别为∠A，∠B，∠C，边长分别为a，b，c。

余弦定理可以表达为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\angle C}$利用余弦定理可以解决一些不规则的三角形，或者求解已知两边和一个角的三角形。

三、利用解析几何方法求解三角形解析几何是利用坐标系和代数方法来解决几何问题的一种方法。

对于三角形ABC，如果我们已知三个顶点的坐标，可以利用解析几何的方法来求解三角形的各种性质。

首先，假设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，点C的坐标为$(x_3,y_3)$。

我们可以利用距离公式来求解三边的长度，即：$a=\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$$b=\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$$c=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$其中，$\sqrt{\cdot}$表示开根号运算。

通过解析几何方法，我们可以很方便地求解三角形的各种性质，如边长、角度、重心、外心等。

解三角形应用举例备考策略 2019高考绝密资料

解三角形应用举例备考策略主标题：解三角形应用举例备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角，备考策略难度：3 重要程度：5考点一测量距离问题【例1】要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．解如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 km. 在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，∴A ，B 之间的距离为 5 km.【备考策略】 (1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．考点二测量高度问题【例2】如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB ＝α，α的最大值为60°. (1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； (2)求塔的高AB .解 (1)依题意知，在△DBC 中，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝180°－∠DBF ＝180°－45°＝135°，CD ＝6 000×160＝100(米)， ∠D ＝180°－135°－30°＝15°，由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠D ，∴BC ＝CD ·sin ∠D sin ∠DBC＝100×sin 15°sin 135°＝100×6－2422＝50(6－2)2＝50(3－1)(米)．在Rt △ABE 中，tan α＝ABBE . ∵AB 为定长，∴当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE ⊥CD . 当BE ⊥CD 时，在Rt △BEC 中， EC ＝BC ·cos ∠BCE ＝50(3－1)×32 ＝25(3－3)(米)．设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟，则t＝EC6 000×60＝25(3－3)6 000×60＝3－34(分钟)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，∴AB＝BE·tan 60°＝BC·sin∠BCD·tan 60°＝50(3－1)×12×3＝25(3－3)(米)．即所求塔高AB为25(3－3) 米．【备考策略】(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形．考点三测量角度问题【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．审题路线分清已知条件和未知条件⇒设行驶t小时，则CD，BD可求⇒在△ABC中，用余弦定理求BC，用正弦定理求sin∠ABC⇒在△BCD中，用正弦定理求∠BCD⇒可推出BD＝BC⇒再求t⇒回到实际问题中去．解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD ＝103t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(3－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝(3－1)2＋22－2×2×(3－1)cos 120°＝6(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝AC sin 120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BD sin∠CBDCD＝10t·sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6海里，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．【备考策略】(1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解．(2)根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

解三角形方法与技巧例题和知识点总结

解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。

解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。

三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。

解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。

二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。

正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。

例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。

首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。

然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。

同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。

2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。

例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。

由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。

解三角形求解题技巧

解三角形求解题技巧三角形是初中数学中的一个重点内容，其求解题目主要涉及到角度、边长、面积等方面的计算。

下面将介绍一些解三角形题目的技巧和方法。

一、根据已知条件确定解题思路在解三角形的题目中，首先需要根据已知条件来确定解题思路。

根据题目所给的已知条件，可以判断需要使用何种方法来求解。

根据已知条件可以分为以下几种情况：1. 已知两个角和一边：通过已知两个角和一边来确定三角形。

可以使用正弦定理、余弦定理来求解。

2. 已知两个边和一个夹角：通过已知两个边和一个夹角来确定三角形。

可以使用正弦定理、余弦定理来求解。

3. 已知两个边和一个高：通过已知两个边和一个高来确定三角形。

可以使用面积公式来求解。

4. 已知一个角和两个边：通过已知一个角和两个边来确定三角形。

可以使用正弦定理、余弦定理来求解。

5. 已知一个角和一个边：通过已知一个角和一个边来确定三角形。

可以使用正弦定理、余弦定理来求解。

二、应用正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解三角形问题中最常用的方法之一。

1. 正弦定理：在一个三角形中，三个角的对边分别为a、b、c，三角形的内心到各边的垂线的长度分别为r1、r2、r3。

则有：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中R为三角形外接圆的半径。

通过此定理可以求解出三角形的边长和角度。

2. 余弦定理：在一个三角形中，三个角的对边分别为a、b、c。

则有：a² = b² + c² - 2bc·cosA,b² = a² + c² - 2ac·cosB,c² = a² + b² - 2ab·cosC，通过此定理可以求解出三角形的边长和角度。

三、解题步骤在解三角形问题时，可以按照以下步骤进行求解：1. 根据已知条件确定解题思路。

2. 根据已知条件选择使用合适的公式进行计算。

3. 根据公式计算出三角形的边长和角度。

解三角形-2019届高考数学(文)提分必备30个黄金考点---精校解析Word版

【考点剖析】1.命题方向预测：(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． (2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 2.课本结论总结：（1）正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C（2）余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.（3）S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B（4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则（5）常见题型：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 3.名师二级结论：（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .（2）正弦定理的变形：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； ②a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；③sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．（4）三角形的面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . （5）解三角形的常用途径：①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 4.考点交汇展示：【2018届海南省琼海市高考模拟】设函数．(Ⅰ) 求的最大值，并写出使取最大值时的集合；(Ⅱ) 已知中，角、、的对边分别为、、．若，，求的最小值．【答案】（1）2，（2）1【解析】由题意，，即化简可得，只有，在中，由余弦定理可得：，可知，即当时，取得最小值为【2017浙江，14】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】【上海市2018年5月高考模练习（一）】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里. (1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为(直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【解析】(1)求得,，由海里(2)国舰艇的到达时间为：小时在中，得海里，所以渔政船的到达时间为：小时.因为，所以渔政船先到，答：渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】【考点分类】考向一利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1.【2018年理数全国卷II】在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A2.【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．【答案】 33.【2018年天津卷文】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，【方法规律】(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．（3）已知三边，解三角形，利用余弦定理；（4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；【解题技巧】在处理解三角形过程中，要注意“整体思想”的运用，可起到事半功倍的效果.如：在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。