斯坦纳——雷米欧斯定理的代数法证明

斯坦纳-雷米欧斯定理的三种证明方法

川，沈文选主编．初等数学教程．研究湖南师范大学出版社．９１９５例２、求极限ｌ０ｍｉ
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作脚考介
何向荣：（９０一）女满族河北丰宁人１７承德师专数学系高级讲师，理学学士。工作单位：承德民族师范高等专科学校数学系。
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理的几种方法，写出来和大家探讨。
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斯坦纳一雷米欧斯定理；反正法；正弦定理；平面
解析几何
角形。
中已Ｂ与Ｄ乙和Ｃ角分，知ＥＣ是Ｂ乙的平
证明：Ｃ在△ＤＢ与△ＢＣ中，正弦Ｅ由
定理可得：
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图１
又由已知Ｃ＝Ｅ，所以以上二式相ＤＢ除得：
事实上斯坦纳— 雷米欧斯定理就是我们在学习等腰三角形时多次应用过的一个证明等腰三角形的结论：有两条内角平分线长度相等的三角形必为等腰三角形。当时听老师讲此定理证明比较难，所以本
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Ｌ刘玉涟等编数学分析讲义．ｌ科学普及
出版社
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图吉米多维奇．数学分析人民教育出版
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斯坦纳——雷米欧斯定理的代数法证明

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斯坦纳——雷米欧斯定理的代数法证明
作者：令标
来源：《中学数学杂志(初中版)》2010年第06期
《中学数学杂志》(初中)2010年第10期刊载的“利用比例性质巧证斯坦纳—雷米欧斯定理”一文(下称文［1］),利用比例性质、反证法及正弦定理等,间接地从一个新的角度证明了众所周知的平面几何中的著名定理——斯坦纳—雷米欧斯(Steiner—Lehmes)定理. 斯坦纳—雷米欧
斯定理自问世以来,人们对其情有独钟,潜心于不同证法的探究,醉心于形式多样的引申［2］,凡此种种,屡见不鲜. 受文［1］的启发,笔者再经思索,从代数计算的角度又得到了该定理的两个简明、别致的代数法证明,现介绍如下,供读者参考．。

斯坦纳定理(My God)

斯坦纳-雷米欧司定理斯坦纳-雷米欧司定理:两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形设在三角形ABC中，有B、C的角平分线CF、BE交于OBE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因为BD=CE，所以等量代换得出：AB/AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD与ABE相似，所以LACD=LABE，同理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代换得到LABC=LACB，所以AB=AC注:"L"为角的符号证明一：已知：三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC∵BE=DC∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CEF∵2α+2β<180°,∴α+β<90°∴∠FBC=∠CEF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HEF=∠CBG;∵BC=EF,∴Rt△CGB≌Rt△FHE∴CG=FH,BG=HE连接CF∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC证明二：设二角的一半分别为α、βsin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0 →sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0，∴sin[(α-β)/2]=0∴α=β,∴AB=AC.证明三：用张角定理：2cosα/BE=1/BC+1/AB2cosβ/CD=1/BC+1/AC若α>β可推出AB>AC矛盾！若α<β可推出AB<AC矛盾！所以AB=AC定理来源：1840年，德国数学家雷米欧斯给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。

再谈斯坦纳——雷米欧斯定理的纯几何证法

再谈斯坦纳——雷米欧斯定理的纯几何证法作者：令标来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第05期《中学数学杂志》(初中)2011年第8期登载的“对称地处理对称性问题——斯坦纳——雷米欧斯定理的最佳证法”一文(下称文［1］),用间接方法——反证法,并结合两条引理,证明了平面几何中的一个令人痴迷甚久、脍炙人口的著名定理——斯坦纳——雷米欧斯(Steiner—Lehmes)定理.该定理当时甫一面世,便受到了数学爱好者、数学家的青睐,特别是斯坦纳的首证公开之后,在数学界产生了极大的反响,诸多证法纷至沓来,形式各异的推广如雨后春笋.其间出现了一些耐人寻味、发人深省的精妙证法,让人惊叹不已,它确是盛开在平面几何百花园里一朵绚丽多彩的奇葩!文［1］的证明是否“最佳”,笔者不敢妄断,读者定会评判.作为几何问题,探寻其原汁原味的纯几何证法,乃不失其几何神韵(实在难以寻觅,间接方法也是明智的选择),这也正是平面几何的魅力所在.斯坦纳——雷米欧斯定理也不例外,自它问世以来的一百多年里,人们孜孜以求,潜心于新证法的不断探究,尤为引人入胜的是其直接证法——纯几何方法.下面将介绍一个为日本数学家颇感兴趣、高度赞赏的直接证法［2］,供读者参考．定理已知△ABC中,BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,且BE=CD.求证：AB=AC．证明如图1,作∠BEF=∠BCD,使得EF=BC,点F、C位于BE的两侧,连结BF、CF．由BE=CD,得△FEB≌△BCD.于是∠FBE=∠BDC,BF=BD．又∠ABC=2∠CBE,∠DCE=∠BCD,知∠FBC=∠FBE+∠CBE=∠BDC+∠CBE=(180°-∠ABC-∠BCD)+∠CBE=180°-(∠CBE+∠BCD).①∠CEF=∠CEB+∠BEF=∠CEB+∠BCD=∠CEB+∠DCE=(180°-∠CBE-2∠DCE)+∠DCE=180°-(∠CBE+∠BCD).②由∠ABC+∠ACB＜180°,知∠CBE+∠BCD＜90°. ③由①、②、③得∠FBC=∠CEF＞90°.在钝角△FBC与△CEF中,FC=CF,BC=EF.故△FBC≌△CEF,BF=CE.即BD=CE.因此△BCD≌△CBE,∠ABC=∠ACB.故AB=AC．上述证法仅用有限的直线形知识,浅显简单,通俗易懂,确乎精彩,难怪日本数学家秋山武太郎在他的著作《平面、立体几何学》一书中有“确实是巧妙简洁的证明,今后,能够超过这个证明的,恐怕不会再有了”的较高评价. 斯坦纳——雷米欧斯定理尽管从现行的初中数学课程中已隐退多年,作为数学教师,对它的历史情形的了解和解法的把握是不可或缺的,也能透视教师自身的数学素养.许多经久不衰的历史经典几何名题,仿佛一颗颗闪烁的明珠,璀璨夺目,异彩纷呈,推动着几何学乃至整个数学的发展.伟大的物理学家爱因斯坦曾言：“如果欧几里得未能激起你少年时代的热情,那你就不是一个天才的科学家.”平面几何在数学教育中占有重要的地位,它是培养、训练学生思维能力无可替代的极好素材.愿我们教学一线的数学教师,竭尽所能地介绍一些适合学生知识水平的历史名题(不限于几何方面),拓展学生的知识视野,丰富课堂教学的内容,“激活”学生自主学习的内动力,真正地充实素质教育．参考文献［1］程诗春. 对称地处理对称性问题——斯坦纳——雷米欧斯定理的最佳证法［J］.中学数学杂志(初中),2011,(8)．［2］郭要红,戴普庆.中学数学研究［M］.安徽：安徽大学出版社,1998∶11．。

斯坦纳-雷米欧司定理

斯坦纳-雷米欧司定理斯坦纳-雷米欧司定理斯坦纳-雷米欧司定理:两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形设在三角形ABC中，有B、C的角平分线CF、BE交于OBE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因为BD=CE，所以等量代换得出：AB/AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD与ABE相似，所以LACD=LABE，同理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代换得到LABC=LACB，所以AB=AC注:"L"为角的符号证明一：已知：三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC∵BE=DC∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CEF∵2α+2β<180°,∴α+β<90°∴∠FBC=∠CEF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HEF=∠CBG;∵BC=EF,∴Rt△CGB≌Rt△FHE∴CG=FH,BG=HE连接CF∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC证明二：设二角的一半分别为α、βsin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0，∴sin[(α-β)/2]=0∴α=β,∴AB=AC.证明三：用张角定理：2cosα/BE=1/BC+1/AB2cosβ/CD=1/BC+1/AC若α>β可推出AB>AC矛盾！若α<β可推出AB<AC矛盾！所以AB=AC定理来源：1840年，德国数学家雷米欧斯给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。

有关三角形角平分线的有趣问题的讨论

有关三角形角平分线的有趣问题的讨论前言：角平分线这个词我们并不陌生,初中时,我们便知道等腰三角形两底角的平分线相等、全等三角形对应角平分线相等的一些有关三角形角平分线的定理,今天就让我们更加深入的探究角平分线的特性吧！正文：一．斯坦纳—雷米欧司定理尽然我们知道“等腰三角形两底角的平分线相等”是一个真命题,那么我们便可以猜想：它的逆命题是否也是真命题呢？也就是“有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”是否成立？在两千多年前,欧几里得在他的经典巨著《几何原本》中便给出了上述第一个命题的证明,但是他却没有能够证明第二个命题也就是第一个命题的逆命题。

直到十八世纪,雷米欧司重新提出这个题目,著名的德国几何学家斯坦纳才给出了这个逆命题的证明。

所以,现在大家都把它叫“做斯坦纳—雷米欧司定理”既然连欧几里得也无法证明的命题,我们中学生该如何下手呢？自然地,我们便想到要不从最简单的方式入手吧？①反证法：我们先将命题化为几何语言：如图,已知BP、CQ分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线,且BP=CQ 求证：△ABC是等腰三角形证明：如上图,设∠ABP=∠PBC=½∠ABC=β,∠ACQ=∠QCB=½∠ACB=α设BP与CQ交点为O（这样要证明△ABC为等腰三角形便要转换为证明α=β）若α＞β,于是在线段OP上可以取一点R使∠RCD=β且BR＜BP在△BQC与△CRB中∵∠BQC=180°－(2β+α),∠CRB=180°－(2β+α)∴∠BQC=∠CRB又∵α＞β∴∠QBC＜∠RCB根据正弦定理 BR =Sin∠RCB ＞ Sin∠QBC =CQBC Sin∠CRB Sin∠BQC BC∴BR＞CQ=BP 这与BR＜BP矛盾故α＞β不成立同理可证α＜β也不成立∴α只能与β相等∴∠ABC=∠ACB∴△ABC为等腰三角形同学们是否感觉到用反证法证明很容易呢？其实,斯坦纳一开始也是用反证法证明的,但他的方法比我们的方法更烦琐些,命题已经证完了,大家终于可以松一口气了,但是我们知道,反正法毕竟不能取代纯几何证法,纯几何证法才是能够使几何命题完善的。

“斯坦纳—莱莫斯”定理证法的综述

。
“
斯坦纳
,
”
时
有一
统一的解决了定理及其拓广的
.
“
井上难题
和
“
蒋声问题
”
,
充分揭示了
:
两相等角平
分线与等腰三角形的关系
一
、
定理的形成
( Le h m
e s
1 8 4 。年莱莫斯
) 发现命题 :
两内角平分线相等的三角形是等腰三角形
t
1 8 6 4 年的各种杂志上
有许多文
19 4 0
直接证法难度更大
,
,
于是人们又开始寻求定理简单的证法 )
。
大约于
,
有人基于法国数学家仑已非特 ( R e ba f f e
韵引理
,
“
三角形中大角的平分线小
利用反证法
。
给出了一个较简单的证法
,
。
但美中不足的是引理的证法在 “。年代
,
如同定理
一样困难中
,
指出定理的证法已达 6 0 首先
,
后进入本世纪中期
人们对定理的兴趣更加浓厚
(
3
的一箱综合报道
。
余种
)
。
0 年代到了8
,
定理波及到世界各地
,
。
而井上先生却谦虚的称道它地方见过
“

著名数学定理1

著名数学定理15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(JohnHortonConway ，1937-)和W.A.Schneeberger 于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的话(例如a 2+b 2+c 2+d 2)，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数. 6714(黑洞数)定理黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174.阿贝尔-鲁菲尼定理定理定义：阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如，任意给定二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，它的两个解可以用方程的系数来表示：a ac b b r 2422,1-±-=. 这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解.三次方程，四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：()0,500111≠≥=++⋅⋅⋅++--n n n n n a n a x a x a x a ，那么不存在一个通用的公式(求根公式)，使用 n a a a ,,,10⋅⋅⋅ 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说，当n 大于等于5时，存在n 次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解.比如025=-x 的解就是52.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次，三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次，三次和四次对称群： 432,,σσσ ，它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群5σ，这是一个不可解群.当次数n 大于等于5时，情况也是如此.阿贝尔二项式定理二项式定理可以用以下公式表示：()∑=-=+n r r r n r n n b a C b a 0.其中，()!!!r n r n C r n -=，又有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系.艾森斯坦因判别法艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式()011a x a x a x f n n n n +++=-- 如果存在素数p ，使得p 不整除a n ，但整除其他a i (i=0，1，...，n -1)；p²不整除a 0 ，那么f (x )在有理数域上是不可约的.奥尔定理离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G 满足：G 的任意两个点u 和v 度数之和至少为n ，即deg (u )+deg (v )≥n ，那么G 必然有哈密顿回路.它描述了简单图拥有哈密顿回路的一个充分条件.表达式deg (u )+deg (v )≥n →G 有哈密顿通路相关概念：简单图：没有重边和环的无向图.度数：某点所连接的边的数目.哈密顿回路：经过图的所有的点的一条回路.阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理）AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是弧ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD .折弦定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦. 伯特兰·切比雪夫定理伯特兰·切比雪夫定理说明：若整数n > 3，则至少存在一个质数p ，符合n <p < 2n − 2.另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n ，存在一个质数p ，符合n <p < 2n .贝亚蒂定理定义一个正无理数r 的贝亚蒂列B r 为B r =[r ]，[2r ]，[3r ]，...=[nr ](n ≥1)，这里的[]是取整函数.若然有两阿基米德折弦定理个正无理数p ，q 且111=+q p ，(即1-=p p q ) ，则B p =[np ](n ≥1)，B q =[nq ](n ≥1)构成正整数集的一个分划：+=⋃∅=⋂Z B B B B q p q p ,.布利安桑定理布利安桑定理叙述如下：如果六边形的边交替地通过两个定点P 和Q ，则连接六边形的相对的顶点的三条对角线是共点的.布列安桑(Brainchon )定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点.布朗定理设P(x)为满足p ≤ x 的素数数目，使得p +2也是素数(也就是说，P (x )是孪生素数的数目).那么，对于x ≥3，我们有：()()()22log log log x x x c x P <，其中c 是某个常数. 裴蜀定理(贝祖定理)对任何整数a 、b 和它们的最大公约数d ，关于未知数x 和y 的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a ,b 是整数,且(a ,b )=d ，那么对于任意的整数x ,y ,ax +by 都一定是d 的倍数，特别地，一定存在整数x ,y ，使ax +by =d 成立。

代数几何经典结论

代数几何经典结论代数几何是研究代数和几何之间的关系的数学分支，它将代数的概念和方法应用于几何问题的解决中。

在代数几何中，有许多经典的结论和定理，下面是其中的一些：1. 帕斯卡定理（Pascal's theorem）：对于任意六边形的六个顶点，当三组对边的交点共线时，剩下的三对对边的交点也共线。

2. 奇异点定理（Singular point theorem）：对于一个曲线上的奇异点，它的切线与曲线相切于该点，并且切线穿过该点的重数等于曲线的次数。

3. 柯西定理（Cauchy's theorem）：对于一个平面上的封闭曲线，如果它不经过某个点，那么这个点的内部包含在曲线所围成的区域内。

4. 范涅齐亚定理（Van Neumann's theorem）：对于一个平面上的三次曲线，如果它有一个奇异点，那么它一定还有另外两个奇异点。

5. 奇点定理（Singularity theorem）：对于一个代数曲线，如果它的次数大于等于奇异点的个数，那么它一定有奇异点。

6. 基尔霍夫定理（Kirchhoff's theorem）：对于一个电路网络，它的回路电流和节点电流满足基尔霍夫定律。

7. 洛朗定理（Laurent's theorem）：对于一个复变函数的洛朗级数展开，它的系数和函数的奇点之间存在一一对应的关系。

8. 贝尔特拉米定理（Bertini's theorem）：对于一个代数曲面的平面截面，它的奇异点的个数是有限的。

9. 集合定理（Set theory theorem）：对于一个集合的幂集，它的势大于该集合的势。

10. 克莱因瓦格定理（Klein's theorem）：对于一个代数曲面的非奇异点，它的局部环是一个离散赋值环。

这些经典的代数几何结论都是数学领域中的重要定理，它们揭示了代数和几何之间深刻的联系，为研究几何问题提供了有力的工具和方法。

通过深入研究这些结论，我们可以更好地理解和应用代数几何的理论和技巧。

lindemann-weierstrass定理证明_概述说明

lindemann-weierstrass定理证明概述说明1. 引言1.1 概述在数学领域中，Lindemann-Weierstrass定理是一项重要的数学成果，它深化了我们对于超越数和代数数的理解。

此定理是由德国数学家Ferdinand von Lindemann和Karl Weierstrass共同证明的。

该定理提供了确切的条件来判断一个给定的常量或者变量是否为超越数。

1.2 文章结构本文将以如下顺序讨论Lindemann-Weierstrass定理及其证明过程。

首先，在第二部分将回顾相关的理论背景和先前研究，以帮助读者了解该定理所处的上下文；随后，在第三部分详细说明Lindemann-Weierstrass定理的表述、前置条件和假设；接着，在第四部分我们将逐步呈现整个证明过程中的关键步骤；在第五部分，我们将对结果进行深入分析并展开进一步讨论其意义和推广应用；最后，在第六部分总结全文并强调Lindemann-Weierstrass定理带来的重要影响。

1.3 目的本文旨在介绍Lindemann-Weierstrass定理及其证明过程。

我们希望通过这篇文章，读者可以了解该定理在数学领域中的地位和重要性，并深入了解其证明过程的关键步骤。

此外，我们也希望讨论该定理的结果对于数学研究的意义以及未来可能的推广和应用方向。

通过阅读本文，读者将能够更好地理解Lindemann-Weierstrass定理，并在相关领域有所启发和进一步探索的动力。

2. Lindemann-Weierstrass定理2.1 理论背景Lindemann-Weierstrass定理是由两位数学家Ferdinand von Lindemann和Karl Weierstrass在19世纪末提出的重要数学定理。

该定理建立在初等代数和解析函数论的基础上，涉及到数论、代数和分析等多个领域。

2.2 定理表述Lindemann-Weierstrass定理表明，对于任意一个非零代数整系数多项式$f(x)$，如果其所有系数都是代数数（即可由有理系数组合而成），那么对于任意一个非零有理常数$a$，至少存在一个实常数$x_0$使得$f(a+x_0)$为超越数（即不会成为代数方程的根）。

数学高手必记公式及证明

梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理证明梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)³(BD/DC)³(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/Y A)=证明一：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)³(BD/DC)³(CE/EA)=(AG/BD)³(BD/DC)³(DC/AG)=1证明二：过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB³BD/DC³CE/EA=AF/FB³FB/PF³PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)³(BD/DC)³(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)³(BD/DC)³(CE/EA)=1证明四：连接BF。

（AD：DB）²（BE：EC）²（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）²（S△BEF：S△CEF）²（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）²（S△BDF：S△CDF）²（S△CDF：S△ADF）=1此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

代数基本定理的严格证明

代数基本定理的严格证明代数基本定理，听起来是不是有点高大上？其实它就像一块大蛋糕，里面藏着各种美味的果馅儿。

想想吧，这个定理说的是，任何一个多项式方程，最多有那么多根，根的个数跟方程的次数一模一样。

比如说，你有个二次方程，最多就两个根，简简单单。

没错，听起来像数学课上老师的口头禅，但它的意义可大了。

说白了，这就像是数学界的万有引力，给我们提供了一个框架，让我们知道，哎，方程的根总是会以某种方式存在。

想象一下，你在一个热闹的集市上，四处逛荡，碰到了各种各样的小摊位。

每个摊位都有自己的特色，但无论哪个摊子，它们的存在都是为了让你挑选，最后带走一些美味。

代数基本定理就像这个集市，告诉你，无论多复杂的方程，总会有它的解，别担心，你总能找到一两个，甚至是几个。

数学这玩意儿，听起来冷冰冰，但其实充满了温暖，就像冬天里的一杯热巧克力。

我们知道，古希腊的数学家们可是对这个定理下了不少功夫。

那些伟大的头脑们，像阿基米德和欧几里得，花了多少个不眠之夜，试图解开方程的奥秘。

到了17世纪，德国的卡尔达诺就像个数学侦探，偷偷摸摸地研究起了三次方程。

再后来，阿贝尔和盖尔法特就把这个故事推向了新的高度，渐渐地，大家意识到，这些复杂的方程根本逃不过代数基本定理的法眼。

现在，很多人可能会觉得，哎，这玩意儿离我很远，毕竟我又不做数学研究，和我有什么关系呢？可是，你想啊，生活中到处都是方程，像做饭的时候调味料的配比，或者在理财时算利息，甚至是你玩游戏时的分数计算，这些都是方程啊。

代数基本定理就在这儿，悄悄地陪伴着我们，保证我们不会迷失在数学的迷雾中。

有趣的是，这个定理不仅仅适用于实数，它还扩展到了复数，仿佛给了我们一把钥匙，打开了更大的宝库。

想象一下，复数就像一个神秘的岛屿，充满了奇妙的生物和未知的风景。

而代数基本定理就像那张详细的地图，带你一路探险，发现那些原本以为根本不存在的解，简直让人兴奋得不得了。

代数基本定理的证明，不仅仅是一个数学问题，更是对我们思维方式的一种启发。

代数基本定理的几种证明

2014-3050-021 本科毕业论文（设计）代数基本定理的几种证明学生姓名：黄容学号：1050501021系院：数学系专业：数学与应用数学指导教师：覃跃海讲师提交日期：2014年4月27日毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习,选取具有创新价值和实践意义的论题.2．论文篇幅一般为理科以3000至5000字为宜.3．论文应观点明确,中心突出,论据充分,数据可靠,层次分明,逻辑清楚,文字流畅,结构严谨.4．论文字体规范按《广东第二师范学院本科生毕业论文管理办法（试行）》和“论文样板”执行.5．论文应书写工整,标点正确,用微机打印后,装订成册.本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计）,是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、使用学位论文的规定,即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务,在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定.学生签名：时间：年月摘要代数基本定理是代数学上一个重要的定理,甚至在整个数学上都起着基础作用.最早在1629年由荷兰数学家吉拉尔在他的论著《代数新发现》提出, 然而没有给出证明.1637年迪卡儿也都提出这个定理,但同样没有给出证明.一直到一百年多后, 于1746年达朗贝尔才给出第一个证明.到十八世纪后半叶,欧拉等人也给出一些证明,然而这些证明都不够严格,都先是假设了一些条件,然后才得出证明.直到1799年高斯才给出了第一个实质的证明.在二十世纪以前该定理对于代数学都是起着核心的作用，因为代数学所研究的对象都是建立在复数域上的, 因此也就之称为代数基本定理.然而直到现在该定理却还是没有纯代数证法,用纯代数证明该定理却是十分困难的,很多人相信根本不存在纯代数的证法.不过后来随着复变理论的发展,该定理已成为其他一些定理的推论了,用复函数理论可以很完美的证明了.现在据说也已经有了两百多种证法.虽然前人已做了很多研究,但从多方面知识总结这些证明还是很有意义的.本论文基于多项式、柯西积分定理、儒歇定理、刘维尔定理、最大模定理和最小模定理这几个方面介绍了代数基本定理的几种证法.[关键词]：代数基本定理；多项式；柯西积分定理；儒歇定理；刘维尔定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise "Algebra newly discovered" put forward, but he did not give proof. In 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond d'Alembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, because the object being studied algebra are built on complex field, so it's called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a corollary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessors have done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based on polynomial, Cauchy integral theorem, Ro che’s theorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.[Key Words]：Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Roche’s theorem; Lowville Theorem目录摘要 (I)Abstract (II)1. 引言 ................................................................................................................... - 1 -2.1. 利用多项式证明..................................................................................... - 2 -2.1.1. 引理................................................................................................ - 2 -2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理.................................................... - 2 -2.2. 利用柯西积分定理证明......................................................................... - 3 -2.2.1. 柯西积分定理................................................................................ - 3 -2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理........................................ - 4 -2.3. 利用刘维尔定理证明............................................................................. - 5 -2.3.1. 刘维尔定理.................................................................................... - 5 -2.3.2. 利用刘维尔定理证明代数基本定理............................................ - 6 -2.4. 利用儒歇定理证明................................................................................. - 7 -2.4.1. 儒歇定理........................................................................................ - 7 -2.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理................................................ - 7 -2.5. 利用最大模定理证明............................................................................. - 8 -2.5.1. 最大模定理.................................................................................... - 8 -2.5.2. 利用最大模定理证明代数基本定理............................................ - 9 -2.6. 利用最小模定理证明........................................................................... - 10 -2.6.1. 最小模定理.................................................................................. - 10 -2.6.2. 利用最小模定理证明代数基本定理.......................................... - 10 -3. 总结 ................................................................................................................. - 11 - 参考文献.............................................................................................................. - 12 -致谢……………………………………………………………………………….-12 -代数基本定理的几种证明1. 引言一元一次方程只有一个实数根,而在复数域内有两个根,那么一元N 次方程在复数域上会不会有N 个根？另外,在积分运算中部分分式法也有与这样的问题,所有实系数多项式是不是都可以分解成一次因式的乘积或者分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积？上述这些问题关键在于证明代数基本定理.根据钟玉泉编写的《复变函数论》,代数基本定理的具体描述为：任何n 次多项式方程在复数域中至少有一个根.根据该定理我们可以直接得到一个结果,在复数域内对于所有n 次多项式方程有且只有n 个根[1].可见证明代数基本定理意义十分重要.这个定理最早在1629年由荷兰数学家吉拉德在他的论著《代数新发现》中提出，但没有得到证明。

初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)-学习文档

第 1 页板块一反证法反证法反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的目的，这种方法就是反证法．反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【例1】设)0是一次函数()0y ax b a =+≠上一点，试证y ax b =+的图象至多只能通过一个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．【解析】将x =，0y =代入y ax b =+，得b =，于是(y a x =，设()0y a x b a =+≠的图象上有两个不同的有理点()11x y ，、()22x y ，，则1x 、1y 、2x 、2y 都是有理数，且消去a，变形得122121x y x y y y -=-因为12x x ≠，则12y y ≠，所以上式左端是有理数，它不可能等于无理数，故()0y ax b a =+≠的图象至多只能通过一个有理点．【备选】求证:平面上任意两个不同的整点到点P 的距离都不相等．【解析】假设结论不成立，则平面上两个不同的整点(,)A a b 、(,)B c d （其中a 、b 、c 、d 都是整数）使得AP BP =．由22AP BP =可得2222((((a b c d +=+，即22222(2(a c b d a b c d --+--，从而22222228()12()8()(()a c b d a c b d a b c d -+-+--=+--，进而可得22222228()(()8()12()a c b d a b c d a c b d --=+------，因此()()0a c b d --=．⑴ 若0a c -=，则0b d -=，从而a c =，b d =，A 、B 重合．⑵ 同理，若0b d -=，A 、B 重合．习题1. 若0a ≠，则关于x 的方程0ax b +=的解是唯一的．知识导航夯实基础反证法与同一法【解析】因为0a ≠，则b x a=-是0ax b +=的一个解，假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则①-②得由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾．故若0a ≠，则x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【点评】证明的第一行是说明解的存在，在这种情况下，结论“解是唯一的”的否定是“至少有两个解”，但本题的反设是“若1x 、2x （12x x ≠）是0ax b +=的解”，其实，这里省去了“只要有两个不同的解，就能导出矛盾，当然不可以有更多的不同的解”的推理．【例2】平面上有一点P 及ABC △，若PB PC AB AC +>+，求证：点P 在ABC △外部．【解析】假设点P 不在ABC △外部，则有如下几种可能：⑴ 若点P 在BC 边上（如下左图）．由PB PC BC AB BC +=<+，与已知矛盾，所以点P 不可能在BC 边上．⑵ 若点P 在AC （或AB ）边上（不包括端点）（如下中图），则PB AB AP <+所以PB PC AB AP PC AB AC +<++=+与已知矛盾，所以点P 不可能在AC （或AB ）边上．⑶ 若P 与A 重合，显然PB PC AB AC +=+，与已知矛盾，故点P 不可能是A 点． ⑷ 若点P 在ABC △内（如上页右图），延长BP 交AC 于D ，则①+②得AB AD PD DC BP PD PC +++>++即AB AC PB PC +>+，与已知矛盾，所以点P 不在ABC △内．由以上⑴～⑷知，点P 必在ABC △外．习题2. 如右图，在凸四边形ABCD 中，若AB BD AC CD ++≤，求证：AB AC <．【解析】设AB AC ≥，则ACB ABC ∠∠≥，因为ABCD 是凸四边形，所以BCD ACB ∠>∠，ABC DBC ∠>∠，则BCD DBC ∠>∠，于是BD CD >，故AB BD AC CD +>+，与已知条件矛盾，因此，AB AC <得证．习题3. 在同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a 与b 相交，c a ⊥，d b ⊥，则c 与d 也相交．【解析】假设c d ∥，因为a c ⊥，所以a d ⊥，又因为b d ⊥，所以a 、b 平行，这与已知条件a与b 相交矛盾，故c 与d 也相交．【例3】在四边形ABCD 中，OA OC =，ABC ADC ∠=∠，求证：ABCD 是平行四边形．【解析】若OB OD =，则显然ABCD 是平行四边形．若OB OD ≠，不妨设OB OD >，则在OB 上取点'B ，使得'OB OD =，连结''AB B C 、，则四边形'AB CD 是平行四边形，则'ADC AB C ABC ∠=∠>∠，矛盾！故ABCD 是平行四边形．习题4. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．【解析】显然，若AB CD =则结论成立．否则，不妨设AB CD >，BC DA >．如图，在线段BA 上截取BE CD =，连结DE ；则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =．同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =，则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，'''''''D F C D A B C D AB CD >-=-=-，矛盾!即两个四边形均是平行四边形．探索提升第 3 页【例4】 G 是ABC △的重心，若AB GC AC GB +=+，则AB AC =．【解析】若AB AC ≠，不妨设AB AC >，通过倍长中线可得CAG BAG ∠>∠，作点C 关于AG 的对称点'C ，则由“8字模型”，''AB GC AC GB +>+，可得AB GC AC GB +>+，矛盾！故AB AC =．【例5】试证明雷米欧司—斯坦纳定理：内角平分线相等的三角形是等腰三角形．【解析】如图，若AB AC >，则一方面， ACB ABC ∠>∠，DCB EBC ∠>∠，在DBC △和EBC △中，CD BE =，BC CB =于是BD CE > ……①另一方面，作DBEF □，则BE DF =，又BE CD =∴FDC △为等腰三角形，其中DF DC =∴FCD DFC ∠=∠，而ABE ACD ∠<∠∴EFC ECF ∠>∠，从而EC EF BD >= ……②综合①、②，矛盾．【备选】设凸五边形ABCDE 的各边相等，并且A B C D E ∠∠∠∠∠≥≥≥≥，求证：此五边形是正五边形．【解析】假设A E ∠>∠，那么在BAE △和AED △中，由BAE AED ∠>∠可得BE AD >；因此，在ABD △和EBD △中，由BE AD >可得BDE ABD ∠>∠．另外，由BC CD =可得BDC CBD ∠=∠，结合BDE ABD ∠>∠可得CDE CBA ∠>∠，而这与已知条件B D ∠≥∠矛盾．所以A E ∠≤∠，结合已知条件可得A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠，得证．本题中，多次使用了“两边对应相等的两个三角形中，夹角越大，则第三边也越大；反之亦然”这一定理．板块二同一法同一法在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以克服这个困难．用同一法证明的一般步骤是:(1)不从已知条件入手，而是作出符合结论特性的图形；(2)证明所作的图形符合已知条件；(3)推证出所作图形与已知为同一图形．【例6】在等腰ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，D 是AC 上的一点，满足AD BC =；求证：（1）ABD CBD ∠=∠；（2）BD BC =．【解析】由点D 的唯一性，利用同一法可以轻松解决问题．【例7】在ABC △中，D 是BC 边上一点，40B ∠=︒，30BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】在BC 所在直线上找点'C ，使得'AC AB =，连结'AC则'40C ∠=︒，70ADC ∠=︒，那么'70DAC ∠=︒，由此''DC AC AB DC ===，即C 、'C 非常挑战探索提升知识导航重合．所以40C ∠=︒．习题5. 在ABC △中，D 是BC 边上一点，42B ∠=︒，27BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】说明：答案为42︒；题目可进一步变成“在ABC △中，D 是BC 边上一点，B α∠=，BAD β∠=，32180αβ+=︒，AB CD =，求C ∠”．【备选】在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B C ∠+∠=︒，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：()12EF BC AD =-．【解析】延长BA 、CD 交于点P ，连结PF 交AD 于点'E ，利用线束定理容易证明'E 即为AD 的中点，那么E 、'E 重合，则1122EF PF PE BC AD =-=-，得证．【例8】在ABC △中，AD 是角平分线，I 是AD 上一点，且1902BIC BAC ∠=︒+∠，则I 为ABC △的内心．【解析】设'I 为三角形的内心，显然'I 必在AD 上，且1'902BI C BAC ∠=︒+∠．若点I 在'AI 上，易得1902BIC BAC ∠<︒+∠；若点I 在'I D 上，易得1902BIC BAC ∠>︒+∠．所以，点I 与点'I 重合，即I 为三角形的内心．习题6. 如图，I 是ABC △的BAC ∠的角分线上一点，直线MN 过点I ，与A B A C 、边分别交于点M N 、，且ABI NIC ∠=∠，ACI MIB ∠=∠．求证：I 是ABC △的内心．【解析】 1180902BIC MIB NIC BAC ∠=︒-∠-∠==︒+∠，结合上题结论可知，I 是ABC △的内心．非常挑战。

nullstellensatz定理

nullstellensatz定理，又称为零点定理，是代数几何学中的一个重要定理。

它描述了代数闭域上的多项式环的结构和理想的关系，从而在代数几何学和交换环论中发挥着重要作用。

它的证明融合了代数和几何的方法，深刻而美妙，对于理解代数几何学的核心思想具有极其重要的意义。

nullstellensatz定理的内容非常深刻，它表明了代数闭域上的多项式环与代数闭域上的代数集之间存在着一种紧密的联系。

几何上来看，nullstellensatz定理告诉我们一个多项式在代数闭域上有零点当且仅当它在对应的代数集上为零。

这种联系的建立，使得我们可以从代数的角度来研究几何问题，从而拓展了几何学研究的范围和深度。

这个定理的发现和证明过程也是非常有意思的。

早在19世纪，代数几何学家们就对这个问题进行了探索，其中包括高斯、赫尔姆霍兹、魏尔斯特拉斯等杰出数学家的努力。

这个定理的完整表述和证明则要追溯到20世纪初，由德国数学家埃米尔·诺特（Emmy Noether）给出。

她在证明nullstellensatz定理时，使用了交换环理论的方法，凭借出色的代数技巧和几何直觉，最终完成了这个重要的定理。

nullstellensatz定理的重要性不仅在于它本身的深刻，更在于它在代数几何学和其他数学领域的深远影响。

它为代数几何学提供了一种新的工具，使得代数和几何之间的联系变得更加紧密。

通过nullstellensatz定理，我们可以更好地理解代数几何学中的零点、代数集、素谱等基本概念，对于研究代数几何学有着非常重要的指导作用。

在实际应用方面，nullstellensatz定理也有着重要的意义。

它在求解多项式方程组的正整数解、数论中的一些定理证明等方面都有着广泛的应用。

其深刻的结论和丰富的内涵，使得它成为了代数几何学中不可或缺的一部分。

nullstellensatz定理是代数几何学中的一个核心定理，其深刻的内容和广泛的应用价值使得它成为了数学领域中的经典之作。

著名数学定理1

著名数学定理15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(JohnHortonConway ，1937-)和W.A.Schneeberger 于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的话(例如a 2+b 2+c 2+d 2)，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数. 6714(黑洞数)定理黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174.阿贝尔-鲁菲尼定理定理定义：阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如，任意给定二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，它的两个解可以用方程的系数来表示：a ac b b r 2422,1-±-=. 这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解.三次方程，四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：()0,500111≠≥=++⋅⋅⋅++--n n n n n a n a x a x a x a ，那么不存在一个通用的公式(求根公式)，使用 n a a a ,,,10⋅⋅⋅ 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说，当n 大于等于5时，存在n 次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解.比如025=-x 的解就是52.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次，三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次，三次和四次对称群： 432,,σσσ ，它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群5σ，这是一个不可解群.当次数n 大于等于5时，情况也是如此.阿贝尔二项式定理二项式定理可以用以下公式表示：()∑=-=+n r r r n r n n b a C b a 0.其中，()!!!r n r n C r n -=，又有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系.艾森斯坦因判别法艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式()011a x a x a x f n n n n +++=-- 如果存在素数p ，使得p 不整除a n ，但整除其他a i (i=0，1，...，n -1)；p²不整除a 0 ，那么f (x )在有理数域上是不可约的.奥尔定理离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G 满足：G 的任意两个点u 和v 度数之和至少为n ，即deg (u )+deg (v )≥n ，那么G 必然有哈密顿回路.它描述了简单图拥有哈密顿回路的一个充分条件.表达式deg (u )+deg (v )≥n →G 有哈密顿通路相关概念：简单图：没有重边和环的无向图.度数：某点所连接的边的数目.哈密顿回路：经过图的所有的点的一条回路.阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理）AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是弧ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD .折弦定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦. 伯特兰·切比雪夫定理伯特兰·切比雪夫定理说明：若整数n > 3，则至少存在一个质数p ，符合n <p < 2n − 2.另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n ，存在一个质数p ，符合n <p < 2n .贝亚蒂定理定义一个正无理数r 的贝亚蒂列B r 为B r =[r ]，[2r ]，[3r ]，...=[nr ](n ≥1)，这里的[]是取整函数.若然有两阿基米德折弦定理个正无理数p ，q 且111=+q p ，(即1-=p p q ) ，则B p =[np ](n ≥1)，B q =[nq ](n ≥1)构成正整数集的一个分划：+=⋃∅=⋂Z B B B B q p q p ,.布利安桑定理布利安桑定理叙述如下：如果六边形的边交替地通过两个定点P 和Q ，则连接六边形的相对的顶点的三条对角线是共点的.布列安桑(Brainchon )定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点.布朗定理设P(x)为满足p ≤ x 的素数数目，使得p +2也是素数(也就是说，P (x )是孪生素数的数目).那么，对于x ≥3，我们有：()()()22log log log x x x c x P <，其中c 是某个常数. 裴蜀定理(贝祖定理)对任何整数a 、b 和它们的最大公约数d ，关于未知数x 和y 的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a ,b 是整数,且(a ,b )=d ，那么对于任意的整数x ,y ,ax +by 都一定是d 的倍数，特别地，一定存在整数x ,y ，使ax +by =d 成立。

斯坦纳定理的证明

斯坦纳定理的证明斯坦纳定理：两内角平分线相等的三角形必为等腰三角形。

这一命题的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长在相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明过程想必大家都会。

但上述命题在《几何原本》中只字未提，直到1840年，雷米欧斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆（C.Sturm）的信中提出请求给出一个纯几何证明。

斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。

据说连欧几里德都不会证！！首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863），因而这一定理就称为斯坦纳—雷米欧斯定理。

继斯坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，但大多是间接证法，直接证法难度颇大。

一百多年来，吸引了许多数学家和数学爱好者。

德国数学家海塞（L.O.Hesse,1811~1874）的证法：作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC，∵BD=EC，∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CDF，∵2α+2β<180°,∴α+β<90°，∴∠FBC=∠CDF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=HD连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC.。

Weierstrass定理

Weierstrass 定理定理设],[)(b a C x f ∈, 则对任何0>ε，总存在一个代数多项式)(x p ，使ε<-∞||)()(||x p x f在],[b a 上一致成立。

定义： n 阶伯恩斯坦多项式定义为∑=--=n k k n k k n n x x n k f C x f B 0)1()())(( 其中)!(!!k n k n C kn -=为二项式展开系数。

引理1设10=h ，x h =1，22x h =，则00h h B n =，11h h B n =，2221h n x x n n h B n →+-=引理2 伯恩斯坦算子n B 是一个正线形算子。

即n B 满足线形性：)()()(g B f B g f B n n n βαβα+=+正性：对任何0≥f ，0≥f B n推论设g f ≤||，则g B f B n n ≤||引理3 设],[)(b a C x f ∈，则对任何0>ε，存在常数C 使2)(|)()(|y x C y f x f -+<-ε证明：首先],[)(b a C x f ∈，则)(x f 在],[b a 上一致连续。

即对任何0>ε，存在0>δ，使得当δ<-||y x 时， ε<-|)()(|y f x f 另外，函数2)(|)()(|y x y f x f --是一个在紧集}||],,[|),{(δ≥-∈y x b a y x y x 、连续的函数，取 2)(|)()(|max y x y f x f C --= 则对任何],[b a y x ∈、，2)(|)()(|y x C y f x f -+<-ε。

Weierstrass 定理的证明：不妨设]1,0[],[=b a ，以下证明0||||→-∞f B f n 。

首先设y 是任意一个固定的数。

由引理3，对任何0>ε，存在常数C ，使)2(2/)(2/|)()(|222y xy x C y x C y f x f +++=-+<-εε根据引理1、2，我们知道 )21(2/))(2/(|)())((|222y xy n x x n n C y x C B y f x f B n n +-+-+=-+<-εε特别，令y x = (2/)21(|)())((|2222ny y C y y n y y n n C y f y f B n -+=+-+-+<-εε 取4C N ε≥，则当N n >时， ε<-|)())((|y f y f B n由于y 是任意一个固定的数，N 的选取与N 无关。