湖北省巴东一中数学选修2-1教案 曲线与方程1
人教版高中数学选修2—1《曲线与方程》教学设计
人教版高中数学选修2—1《曲线与方程》教学设计一、教学内容人教版选修2—1第二章第一节：曲线与方程二、教材分析曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，曲线的方程是曲线几何的一种代数表示，方程的曲线则是代数的一种几何表示。
在直角坐标系中，点可由它的坐标（x,y）来表示，而曲线是点的轨迹，所以曲线可用二元方程f(x,y)=0来表示。
“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“据数论形”的相互转化奠定了扎实的基础，曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃。
由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。
求曲线与方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一。
本节中提出的曲线与方程的概念，它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程，根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化。
数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。
解析几何的核心思想方法是“坐标法”，在直角坐标系中，根据曲线的特征建立曲线方程是研究的基础。
“曲线的方程既是我们研究的直接对象，更是研究曲线几何性质的桥梁。
而只有当曲线上点的集合与方程的解集之间具有一一对应关系时，才能通过研究方程得到曲线的性质，无论完备性和纯粹性得到破坏都不能由方程得到曲线的性质。
【课程标准】结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
【学习目标】1.通过感受曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程，初步理解曲线的方程和方程的曲线的概念；2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念和集合相等的关系，渗透数形结合思想和转化化归思想。
第三章 曲线与方程 高中数学选修2-1教学案
4．1 曲线与方程(一)○一 学习引导探究点一 曲线与方程的概念思考1 直线y ＝x 上任一点M 到两坐标轴距离相等吗？答 相等． 思考2 到两坐标轴距离相等的点都在直线y ＝x 上，对吗？答 不对． 思考3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答 y ＝±x .理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．小结 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．○二思考引导思考4曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？答不能，还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是不是都在曲线上．如以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分和方程x2＋y2＝4.例1证明圆心为M(3,4)，半径等于5的圆的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝25，并判断点O(0,0)，A(－1,0)，B(1,2)是否在这个圆上．证明首先，证明圆心为M(3,4)，半径等于5的圆的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝25.一方面，设P(x0，y0)是已知圆上任意一点，由于点P到圆心M的距离等于5，所以有(x0－3)2＋(y0－4)2＝5，即(x0－3)2＋(y0－4)2＝25.这说明圆上任一点的坐标(x0，y0)都是方程(x－3)2＋(y－4)2＝25的一组解．另一方面，设数对(x1，y1)是方程(x－3)2＋(y－4)2＝25的任意一组解，那么就有(x1－3)2＋(y1－4)2＝25. 两边开平方取算术根，得(x1－3)2＋(y1－4)2＝5.这说明P(x1，y1)是以M(3,4)为圆心，半径等于5的圆上的一点．所以(x－3)2＋(y－4)2＝25是圆心为点M(3,4)，半径等于5的圆的方程．将点O(0,0)的坐标代入方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，显然，左右两边的值相等，这说明数对(0,0)是方程的解，所以点O在这个圆上；因为(－1－3)2＋(0－4)2＝32＞25，这表明(－1,0)不是方程(x－3)2＋(y－4)2＝25的解，所以点A(－1,0)不在这个圆上，它在圆外；同理，点B(1,2)也不在这个圆上，它在圆内．○三小结引导反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．探究点二由方程判断曲线表示的图形例2 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正． (1)x －y ＝0；(2)x 2－y 2＝0； (3)|x |－y ＝0.解 (1)中，曲线上的点不全是方程x －y ＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论； (3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：反思与感悟 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 探究点三 曲线与方程关系的应用 例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上． (2)∵M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.○三小结引导反思与感悟 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上． (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问炼·学题．○四 拓展引导若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围． 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0. ∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 作业：课本 习题2-1课后提炼1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫15，15 C ．(1,5) D ．(4,4) 答案 D 2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0答案 C 3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )答案 D4．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是________．答案 a >1 [呈重点、现规律]1．曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．2．点(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是点(x 0，y 0)适合曲线C 的方程．思·学课型：课题： 4．1 曲线与方程 (二)第_ 2 _课时三维目标知识与技能 1.了解求曲线方程的步骤.2.会求简单曲线的方程．过程与方法曲线与方程求解过程．学生阅读、思考情感、态度价值观重点求曲线方程的难点求解曲线方程的步骤○一学习引导探究点一求曲线方程的一般步骤例1设A、B两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．解如图所示，设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合P＝{M||MA|＝|MB|}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为(x＋1)2＋(y＋1)2＝(x－3)2＋(y－7)2. 两边平方，并整理得x＋2y－7＝0.①预·学我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程．(1)由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，即x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1.点M1到A，B的距离分别是|M1A|＝(x1＋1)2＋(y1＋1)2＝(8－2y1)2＋(y1＋1)2＝5(y21－6y1＋13)；|M1B|＝(x1－3)2＋(y1－7)2＝(4－2y1)2＋(y1－7)2＝5(y21－6y1＋13). 所以|M1A|＝|M1B|，即点M在线段AB的垂直平分线上．由(1)(2)可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程．思考1你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一般步骤吗？答求曲线的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．○二思考引导演·学思考2求曲线方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解．答坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的繁杂程度．小结建立坐标系的基本原则(1)让尽量多的点落在坐标轴上．(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．例2已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．解如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M (x ，y )是曲线上任意一点，作MB ⊥x 轴，垂足为B ，那么点M 属于集合P ＝{M ||MF |－|MB |＝2}．由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为x 2＋(y －2)2－y ＝2，①将①式移项后两边平方，得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2， 化简得y ＝18x 2.因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.虽然原点O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是y ＝18x 2(x ≠0)．反思与感悟 (1)求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程也不同．(2)求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上的点应注意剔除．○三小结引导探究点二 求曲线方程的常用方法思考 求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？答(1)直接法建立适当的坐标系后，设动点为(x ，y )，根据几何条件寻求x ，y 之间的关系式． (2)定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(3)代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标(x ，y )来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，由此可求得动点坐标(x ，y )满足的关系．(4)参数法：如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立x 、y 分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去，即可得到x 、y 的关系式． ○四 拓展引导例3 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程． 解 方法一 (直接法)如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94 (x ≠0)． 方法二 (定义法)如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为 x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 方法三 (代入法) 设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )， 由题意，得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝⎛⎭⎫y －322＝9，即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 反思与感悟 解答本题可以用三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法．在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法．求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件．作业：课本 习题2-1课后提炼1．已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是( B ) A ．一条直线 B ．一条直线去掉一点 C ．一个点 D ．两个点2．平面内有两定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A →＋PB →|＝4，则点P 的轨迹是(C) A ．线段 B ．半圆 C ．圆 D ．直线3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝04．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则动点P 的轨迹方程是____________．(x －1)2＋y 2＝2 [呈重点、现规律]1．坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．2．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x ，y )，而不要设成(x 1，y 1)或(x ′，y′)等．3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y 的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．4．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．○一学习引导探究点一 圆锥曲线的共同特征例1 (1)若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是(A) A ．抛物线 B ．线段 C ．直线 D ．射线(2)已知曲线上的点M (x ，y )到定点F (2,0)和它到定直线l ：x ＝8距离的比是常数12，求曲线方程，并说明特征．答 由求轨迹方程方法可得曲线方程为x 216＋y 212＝1.这是椭圆的标准方程，因此椭圆上的点到定点的距离与到定直线的距离之比也是常数． (3)已知曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求曲线方程，并说明特征．答 由求轨迹方程方法可得曲线方程为x 216－y 29＝1.这是双曲线的标准方程．因此双曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数． 思考 三种圆锥曲线有什么共同特征？答 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e .当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆；当e >1时，圆锥曲线是双曲线；当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．跟踪训练1 (1)点M (x ，y )与定点(3,0)的距离和它到定直线l ：x ＝253的距离的比是常数35，则点M 的轨迹方程为__________．答案 x 225＋y 216＝1解析 由题设及圆锥曲线的共同特征，知M 点的轨迹是椭圆，且右焦点F (3,0)，e ＝35，因为c ＝3且F (3,0)，所以椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上．故方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．由a ＝5，c ＝3，得b ＝4，故所求点M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.(2)点M 与F (0，－2)的距离比它到直线l ：y －3＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是__________．答案 x 2＝－8y○二 思考引导探究点二 圆锥曲线共同特征的应用思考 圆锥曲线的共同特征体现了一种什么数学思想？答 转化思想，曲线上的点到定直线的距离和到焦点的距离可以相互转化．例2 试在抛物线y 2＝4x 上求一点A ，使A 到点B (3，2)与到焦点的距离之和最小． 解 由已知易得点B 在抛物线内，p2＝1，准线方程x ＝－1，过B 作C ′B ⊥准线l 于C ′，直线BC ′交抛物线于A ′，则|A ′B |＋|A ′C ′|为满足题设的最小值．因为C ′B ∥x 轴，B 点坐标为(3，2)，所以A ′点坐标为(x,2)．又因点A ′在抛物线上，所以A ′(1,2)即为所求A 点，此时最小值为|BC ′|＝3＋1.○三 小结引导反思与感悟 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到定直线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．○四 拓展引导(1)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是(B)A ．4B ．6C ．8D ．12(2)椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到一个焦点F 1(－3,0)的距离等于3，则它到直线x ＝－253的距离为________．答案 5作业：习题2-1课后练习1．已知动点P 的坐标(x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋2|2＝12，则动点P 的轨迹是________．椭圆2．已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到直线x ＝－43b3的距离．解 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.演·学 炼·学 思·学由椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ， 得|PF 1|＝4b －|PF 2|＝4b －b ＝3b .又|PF 1|d 1＝e ，d 1为P 到直线x ＝－43b 3的距离，∴d 1＝|PF 1|e ＝23b ，即P 到直线x ＝－43b 3的距离为23b .3．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解 (1)如图，抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. ∵点P 到准线x ＝－1的距离等于点P 到点F (1,0)的距离．∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然P 是AF 与抛物线的交点，最小值为|AF |＝ 5. (2)同理，|PF |与点P 到准线的距离相等，如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1. ∵|P 1Q |＝|P 1F |，∴|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝4.∴|PB |＋|PF |的最小值为4.小结引导[呈重点、现规律]1．三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数． 2．利用圆锥曲线的共同特征可实现曲线上的点到焦点的距离与到○一学习引导探究点一 直线与圆锥曲线的交点的求法 思考1 怎样求直线与圆锥曲线的交点？答 可以通过解直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组解得交点． 思考2 怎样判定直线与圆锥曲线的交点个数？答 通过直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的情况来进行判定． ①若方程组消元后得到一个一元二次方程，根据判别式Δ来讨论．②若方程消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点．值得注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必相切．例1 已知直线y ＝(a ＋1)x －1与y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值．解 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax .当a ＝0时，此方程组恰有一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.当a ≠0时，得a ＋1a y 2－y －1＝0.①若a ＋1a＝0，即a ＝－1，则方程为－y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1；②若a ＋1a ≠0，即a ≠－1，由Δ＝0，得1＋4(a ＋1)a ＝0，解得a ＝－45.这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上，当a ＝0，－1，－45时， 直线与y 2＝ax 只有一个公共点．反思与感悟 直线与抛物线的位置关系，通过对直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来讨论．对于直线与抛物线只有一个公共点的情况，应特别注意平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，但它不是切线，不能用Δ＝0求解，此时应分类讨论，千万不要漏掉斜率不存在和k ＝0的情况．○二思考引导探究点二 圆锥曲线弦长问题思考1 直线和圆锥曲线相交，怎样求弦长？答 (1)斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)抛物线中的弦过焦点时，求弦长可以不用弦长公式，而利用|AB |＝x 1＋x 2＋p . 当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)． 思考2 解决圆锥曲线弦长问题，是否一定要求出交点坐标．答 一般对交点坐标采用“设而不求”，利用根与系数的关系和根的判别式解决问题．如：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.例2 已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若△OAB 的面积为10，求k 的值；(2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点．(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝－x，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－2k 2＋1k 2，x 1x 2＝1.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·1k 4＋4k 2， 由点到直线距离公式d ＝|k |1＋k 2，∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10，解得k ＝±16. (2)证明 ∵k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2.∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2，∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝－x，得ky 2＋y －k ＝0，∴y 1y 2＝－1，即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ，∴以弦AB 为直径的圆必过原点．反思与感悟 直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．○三小结引导探究点三 中点弦问题思考 直线和圆锥曲线相交，涉及弦的中点问题一般怎样解决？ 答 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0.例3 已知椭圆的两个焦点为F 1(0，－22)，F 2(0,22)，离心率e ＝223.(1)求椭圆方程；(2)一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 中点的横坐标为－12，求直线l 倾斜角的取值范围． 解 (1)∵c ＝22，c a ＝223，∴a ＝3，c ＝2 2.∴b 2＝1.∴椭圆方程为y 29＋x 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且MN 中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，k MN ＝k (k ≠0)， 则y 219＋x 21＝1，y 229＋x 22＝1. 相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)y 1＋y 2.∴y 0＝92k .由于点⎝⎛⎭⎫－12，92k 在椭圆y 29＋x 2＝1内部，∴92(2k )2·19＋14<1.∴k 2>3.∴k >3或k <－ 3. ∴直线l 倾斜角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.反思与感悟解决“中点弦”问题的“点差法”巧妙处理中点坐标和斜率的关系，简化了计算．○四 拓展引导 C ：x 24＋y23＝1，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．解 方法一 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是椭圆上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，则k PQ＝－14. 设PQ 所在的直线方程为y ＝－14x ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝－14x ＋b ，x 24＋y23＝1，消去y ，得13x 2－8bx ＋16b 2－48＝0，∴Δ＝(－8b )2－4×13×(16b 2－48)>0， 解得b 2<134.又x 1＋x 2＝813b ，x 1x 2＝16b 2－4813，设PQ 的中点为M (x ，y )， 则x ＝x 1＋x 22＝4b 13，y ＝－14·4b 13＋b ＝12b 13.∵点M ⎝⎛⎭⎫4b 13，12b 13在直线y ＝4x ＋m 上，∴1213b ＝4·413b ＋m ，∴b ＝－134m . ∴⎝⎛⎭⎫－134m 2<134.解得－21313<m <21313. ∴当－21313<m <21313时，椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．方法二 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，M (x ，y )是它们的中点，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12.∴3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.∵x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，x 1≠x 2，∴3x 4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k PQ ＝14，∴y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝4x ＋m ，解得M (－m ，－3m )．∵点M 在椭圆C 的内部，∴(－m )24＋(－3m )23<1， ∴－21313<m <21313.∴当－21313<m <21313时，椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．。
高中数学选修2-1精品教案1：2.1.1 曲线与方程教学设计
2.1.1曲线与方程（一）教学目标１、知识与技能：能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义，并结合具体例子对定义进行解释.可以求出简单曲线的方程，画出简单方程的曲线.２、过程与方法：把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流，获得更好的理解和方法的改进.３、情感、态度与价值观：加深对数形结合的理解.（二）教学重点与难点重点：通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系，理解曲线的方程、方程的曲线的概念.难点：对曲线与方程的概念的理解.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.（三）教学过程一.问题引入在必修2中我们过直线和圆，然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究，那么，与初中相比，高中研究的方法有什么不同呢？借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题？老师引导学生得出：用解析的方法，研究直线的位置关系（如平行、相交、重合），直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系……老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升：第一，对比初、高中对直线和圆的研究，我们发现，研究的问题都是相似的，但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题，而高中是利用方程，凭借几条简单的数的运算法则解决问题的.第二，在今后的学习中，我们会发现方程的作用很强大，利用方程我们可以研究更多的几何图形（曲线），对几何图形的认识会更加深入、更加细致.本节课，我们将继续研究一般曲线与方程的关系，进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的.二.思考分析在平面直角坐标系中：问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？提示：对．问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？提示：不对，还可能在直线x＝－5上．问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x＝±5.三.抽象概括曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．四.例题分析及练习[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[思路点拨]按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析．[精解详析](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.[感悟体会](1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法．训练题组11．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CC ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上解析：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．答案：B2.方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( )A ．直线2x －y ＝0B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0解析：方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.∴表示两条直线2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.答案：C[例2] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值． [思路点拨] 对于(1)，只需判断点P ，Q 的坐标是否满足方程即可；对于(2)，就是把点M 的坐标代入方程，从而得到关于m 的方程，进而求出m 的值．[精解详析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10.解之得m ＝2或m ＝－185，∴m 的值为2或－185. [感悟体会](1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．训练题组23．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：将M 点的坐标代入直线l 、曲线C 的方程验证可知点M 在直线l 上，也在曲线C 上． 答案：B4．如果曲线ax 2＋by 2＝4过A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________. 解析：曲线过A (0，－2)，B (12，3)两点， ∴A (0，－2)，B (12，3)的坐标就是方程的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴b ＝1，a ＝4. 答案：4 15．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R)，求k 的取值范围．解：∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，12]. 五.课堂小结与归纳1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．六.当堂训练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上，但M 不一定在y ＝－2x 上．反之点M 在y ＝－2x 上时，一定在y 2＝4x 上．答案：B2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )解析：A 中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A 错；B 中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故B 错；C 中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x(x >0)，此方程只表示第一象限的部分，故C 错；D 中的方程y ＝|x |去绝对值得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，表示两条射线，所以D 正确． 答案：D3．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：选B.将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M 既在直线l 上又在曲线C 上，故选B.4．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)、(－1，－1)D ．(0,0)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，xy ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 5．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )解析：选B.方程x ＋|y －1|＝0可化为|y －1|＝－x ≥0，∴x ≤0，因此选B.6．若点P (2，－3)在曲线x 2－ky 2＝1上，则实数k ＝________.解析：将P (2，－3)代入曲线方程得4－9k ＝1，∴k ＝13.答案：137．给出下列结论：①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y ＝2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．其中正确的结论的序号是__________．解析：①不正确．方程等价于y ＝x －2(x ≠2)，∴原方程表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线，但除去点(2,0)；到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y －0|＝2，即y ＝2或y ＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2y ＝±2，∴方程表示四个点，所以③正确．答案：③8．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解：由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝ 4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π，所以所求图形的面积为2π.。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》教学设计
教学设计2．1.1曲线与方程教学目标知识与技能1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2．初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．过程与方法1．通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理地阐述自己的观点；3．能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．情感、态度与价值观1．通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2．通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神．重点难点教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．教具准备三角板、多媒体教学设备．教学过程引入新课在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线．下面看一个具体的例子：问题1：画出方程x－y＝0表示的直线，同时思考直线上的点的坐标是否都是方程的解，另一方面以这个方程的解为坐标的点是否都在直线上？借助多媒体让学生从直观上深刻体会如下结论：1．直线上的点的坐标都是方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在直线上．即直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系．也即引导学生类比、推广并思考相关问题：类比：推广：即任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即方程F(x，y)＝0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程F(x，y)＝0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x，y)＝0？为什么要具备这些条件？以上问题就是本节课的内容：曲线与方程(板书课题)．探究新知在上面的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个．现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把问题推广中的曲线与方程的这种对应关系完整地表达出来？为了弄清这些问题，首先提出如下的问题：问题2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？请同学们思考：(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.活动设计：学生独立思考，教师巡视指导．活动成果：方程(1)、(2)、(3)都不是曲线C的方程．第(1)题中曲线C上的点不全是方程x－y＝0的解；例如点A(－2，－2)、B(－3，－3)等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论．第(2)题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x2－y2＝0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D(2，－2)、E(－3，3)等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论．第(3)题中既有以方程|x|－y＝0的解为坐标的点，如G(－3,3)、H(－2，2)等不在曲线上，又有曲线C上的点，如M(－3，－3)、N(－1，－1)等的坐标不是方程|x|－y＝0的解．事实上，(1)、(2)、(3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况．教师点评：以上我们观察分析了问题1、问题2，发现问题1完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而问题2不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程．如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了．问题：在下“曲线的方程”和“方程的曲线”定义时，针对问题2中第(1)个问题“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”应作何规定？学生思考活动：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”．老师再提问：针对问题2中第(2)个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？学生思考回答：“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”．这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．理解新知教师提出问题：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．启发学生得出：关系(1)指点集C 是点集F 的子集；关系(2)指点集F 是点集C 的子集．这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：.⎭⎬⎫⊆⊆C F F C )2()1( C=F总结说明：另外从充要条件的角度看，关系(1)或(2)仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．运用新知1．初步应用、突出内涵1下列各小题中，如图所示的曲线C 的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系(1)还是关系(2)?学生活动：思考．成果：(1)错．不符合定义中的关系(2)，即CF 但F C. (2)错．不符合定义中的关系(1)，即F C 但C F.(3)错．不符合定义中的关系(1)和(2)，即CF 且FC.2．变式训练解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？(1)点A(3，－4)、B(－25，2)是否在方程x2＋y2＝25表示的圆上？(2)已知方程为x2＋y2＝25的圆过点C(7，m)，求m的值．学生回答：(1)依据关系(2)点A在圆上，依据关系(1)点B不在圆上．(2)依据关系(2)求得m＝±3 2.2证明：以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25.教师提出问题：请同学思考，证明应从何着手？学生活动：思考应从以下两方面：(1)圆上的点的坐标都满足方程：x2＋y2＝25；(2)以方程x2＋y2＝25的解为坐标的点都在圆上．教师点评：(1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？(学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法．(请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本例1的证明步骤纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性．)课堂小结本节课我们通过实例研究了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题．布置作业1．教材习题2.1A组第1题．2．思考题：如果两条曲线的方程F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为M(x0，y0)，求证：方程F1(x，y)＋λF2(x，y)＝0表示的曲线也经过点M.(λ为任意常数)设计说明这节课我们将直线引申到了一般的曲线，应用了特殊到一般，一般到特殊的方法，研究了曲线的方程和方程的曲线的定义．在领会定义时，要注意关系1、2缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具有充分性．曲线与方程一一对应关系的确立，进一步把曲线与方程统一了起来，通过数研究形，同时形也为数提供了直观背景．我们要有数形结合的意识．笛卡儿等人在解析几何中创立的用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数方法研究几何问题的思想方法意义重大．设计中注重了概念的形成过程，注重了学生的认识规律．备课资料近代数学本质上可以说是变量数学，而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明．解析几何的真正发明者应归功于法国两位数学家笛卡儿(R.Descartes,1596～1650，哲学名言：“我思故我在”)和费马(P.DeFermat,1601～1665)．笛卡儿出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是个律师．他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校.1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的. 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说：一个传说讲，笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”的习惯，他在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻的两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他的头脑中产生了关于解析几何的最初闪念；另一个传说是，1619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕(11月10日)，他作了三个连贯的梦，笛卡儿后来说，正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为佳话，给解析几何的诞生蒙上了一层神秘的色彩．人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示，不是不可能的事情，但事实上笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索、潜心思考、运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果．华罗庚论数形结合：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．随着学习的逐步深入，同学们可以进一步做到形与数的密切结合；体会到数学基础知识与实际应用的密切联系；体会到由于解析几何的创立可使函数概念的内涵更加丰富；并从中领略笛卡儿等数学家们的创新精神．(设计者：赵中华)。
2019-2020年高中数学 曲线与方程教案 新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学曲线与方程教案新人教A版选修2-1一、学习目标：1. 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。
二、重点、难点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。
难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。
三、考点分析：本讲内容是我们学习并学好圆锥曲线与方程的关键性内容，也是最重要的内容。
我们首先应理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，在高考中一般以小题的形式考查。
其次就是会求曲线的方程，这部分内容一般以大题的形式考查。
要注重对通性通法的求解和运用。
1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解；（2）以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。
2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）将方程f（x，y）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。
（查漏除杂）.3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
高中数学选修2-1精品教案7：2.1.1 曲线与方程教学设计
2.1.1曲线与方程一、教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；2．根据曲线方程的概念解决一些简单问题．二、教学重点，难点：教学重点：曲线方程的概念 ；教学难点：曲线方程概念的理解．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境： 在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．2．问题： 怎样理解这个表述？（二）．学生活动在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．这句话的含义是，圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解，且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上．（三）．新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M （x 0,y 0）是抛物线上的点，那么（x 0,y 0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程y =x 2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解；（2）以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么，方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程；曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5．从集合的角度看，曲线c 上所有点组成的集合记作A ；B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集，关系(2)指集合B 是集合A 的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．（四）．知识运用例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上．【解析】判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．【答案】解：∵22241216+=+=，即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解， 所以该点在圆上．∵22311016+=≠，即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解，所以该点不在这个圆上．例2．已知一座圆拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图所示），求圆拱的方程．【答案】解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上，可设为1(0,)O b ，设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =，即22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上，∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分（包括x 轴上的点），所以，圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3．画出方程的曲线：0log log =-x y y x ． 【答案】解：由0log log =-x y y x ，得：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ，即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ，（图略）． 说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。
高中数学 专题2.1 曲线与方程(1)教案 新人教A版选修2-1(2021年整理)
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曲线与方程（1)【教学目标】（1) 知识目标：①了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；②初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线"的概念；③学会根据已有的情景资料找规律,培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
(2）能力目标：①通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识; ②在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点; ③能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
（3) 情感目标：①通过概念的复习引入,从特殊到一般,让学生感受事物的发展规律；②通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；③学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想,体验到数学活动充满着探索性和创造性。
【重点难点】1。
教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．2。
教学难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点,促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．【教学过程】☆情境引入☆11月7日8时34分，嫦娥一号卫星顺利完成第３次近月制动,成功进入经过月球南北两极,轨道周期127分钟的圆轨道。
高中数学 专题2.1 曲线与方程(1)教案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案
曲线与方程（1）【教学目标】(1) 知识目标：①了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；②初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；③学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
(2) 能力目标：①通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；②在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；③能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
(3) 情感目标：①通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；②通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；③学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。
【重点难点】1.教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．2.教学难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．【教学过程】☆情境引入☆11月7日8时34分，嫦娥一号卫星顺利完成第３次近月制动，成功进入经过月球南北两极，轨道周期127分钟的圆轨道。
通过3次制动，嫦娥一号相对月球的速度共减小约848米每秒，从近月点高度212公里、远月点高度8617公里的椭圆轨道调整为轨道高度约为200公里的圆形轨道.☆探索新知☆直线与方程的关系设曲线C表示直角坐标系中平分第一、三象限的直线.思考1:曲线C上的点有什么几何特征？到两坐标轴的距离相等.思考2:如果点M（x0，y0）是曲线C上任意一点，则x0，y0应满足什么关系？x0＝y0思考3: x0＝y0可以认为是点M的坐标是方程x－y＝0的解，那么曲线C上的点的坐标都是方程x－y＝0的解吗？都是思考4:如果x0，y0是方程x－y＝0的解，那么点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？一定在思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？以方程|x|＝|y|的解为坐标的点都在曲线C上吗？都是 不一定在思考6:曲线C 上的点的坐标都是方程 的解吗？以方程的解为坐标的点都在曲线C上吗？ 不都是 都在 圆与方程的关系设曲线C 表示直角坐标系中以点（1，2）为圆心，3为半径的圆. 思考1:曲线C 上的点有什么几何特征？ 与圆心的距离等于3.思考2:如果点M （x 0，y 0）是曲线C 上任意一点，则x 0，y 0应满足什么关系？ (x 0－1)2＋(y 0－2)2＝9思考3: (x 0－1)2＋(y 0－2)2＝9可以认为是点M 的坐标是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解，那么曲线C 上的点的坐标都是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解吗？ 都是思考4: 如果x 0，y 0是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解，那么点M （x 0，y 0）一定在曲线C 上吗？ 都在思考5:曲线C 上的点的坐标都是方程的解吗？以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上吗？ 不都是 都在 曲线与方程的概念思考1: 在直角坐标系中，若曲线C 表示平分第一、三象限的直线，则方程x －y ＝0叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做方程x －y ＝0的曲线.那么，过原点且平分第一象限的射线的方程是什么？ x －y ＝0（0,0≥≥y x ）思考2: 在直角坐标系中，若曲线C 表示以点（1，2）为圆心，3为半径的圆，则方程(x －1)2＋(y －2)2＝9叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做该方程的曲线，那么，方程(x －1)2＋(y －2)2＝9（x ≤1）的曲线是什么？以点（1，2）为圆心，3为半径的左半圆思考3:一般地，对于曲线C 和方程f(x ，y)＝0，在什么条件下，该方程是曲线C 的方程？同时曲线C 是该方程的曲线？（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f(x ，y)＝0的解； （2）以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上. 定义:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. 说明:1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. 由曲线的方程的定义可知:如果曲线C 的方程是 f(x,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y 0)在曲线C 上的充要条件是 f(x 0, y 0)=0 题型一 曲线与方程的概念例1(1)已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么() A.曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B.凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上 C.不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D.不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5. ②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系.题型二 由方程判断其表示的曲线例2 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)一条直线x ＝4. 题型三 曲线与方程关系的应用例3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R)，求k 的取值X 围. 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋0.5)2＋0.5. ∴k ≤0.5，∴k 的取值X 围是(－∞，0.5]. ☆课堂提高☆1.“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2 ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析 ∵y ＝－2≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上时，点M 不一定在y ＝－2 上.反之，点M 在y ＝－2上时，点M 一定在y 2＝4x 上.2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是() A.两个点 B.四个点 C.两条直线D.四条直线解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.选B.3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()4.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为() A.π3B.5π3C.π3或5π3 D.π3或π6解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π3.☆课堂小结☆1. “曲线的方程”和“方程的曲线”的定义:（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可.2.曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。
人教A版高中数学选修2-1教案曲线与方程(1)
分析：以方程x y =
的解为坐标的点都在曲线上；但曲线上的点如（-1，1）不是方程x y =的解；
② 图中曲线与方程122=+y x 有什么关系？
③ 对于图中的曲线与对应的方程应作怎样修改？
练习：1．A (1,0)，B (0,1)，线段AB 的方程是x +y -1=0吗？（不是）
2．由到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y -5=0吗？（不是）
3．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？
思考：从集合的角度来看：曲线C 可以看成点集C ，方程),(y x f 的解集可以看成集合F ，若方程),(y x f 是曲线C 的方程，则C 与F 有什么样的关系？（F=C ）
2、讲解例题
例1：点P (1,a )在曲线x 2+2xy -5y =0上，则a =_______________．
例2：求证：与两坐标轴的距离的积是常数K （K >0）的点的轨迹方程是1±=xy 。
3、巩固练习：
1、以O 为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别
是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？
2、下列方程的曲线分别是什么？
(1) 2x y x = (2) 222x y x x
-=- (3) log a x y a =
3、设集合2{(,)|10}A x y x y =--=，{
}01),(2=--=x y y x B ，
则A ⋂B 表示的曲线是____________________，A ⋃B 表示的曲线是
____________________．
4、画出方程2()(1)0x y x y +--=的曲线．。
高中数学选修2-1 第二章 第一节《2.1曲线与方程》全套教案 - 副本
2.1曲线与方程课时分配:1.第一课曲线和方程1个课时2.第二课四种命题1个课时3.第三课四种命题间的相互关系1个课时1.1.1命题【教材分析】“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响。
学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径。
根据以上分析，确立教学重点是：理解曲线的方程和方程的曲线的概念；难点是：对曲线与方程对应关系的理解。
由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。
【教学目标】一、知识目标：1．了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系；2．初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已学知识为切入点，引起关注，引发数学思考进而分析、判断、归纳结论4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
二、能力目标：1．通过直线方程和圆的方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3．能用所学集合知识理解新的概念，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
三、情感目标：1．以现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代繁华都市的立交桥的图片激发学生学习曲线与方程的兴趣。
通过两个问题的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2．通过问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教法分析】本节课从问题引入→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者，不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会，这样既可以使学生完成知识建构，又可以培养其能力。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》示范教案
第二章圆锥曲线与方程本章概览教材分析“圆锥曲线与方程”是理科选修21的第二章内容，是必修教材中解析几何的延续，在那里我们研究了直线和圆，选修教材在此基础上进一步研究圆锥曲线与方程．对于这段内容，文科与理科的处理基本相同，只有细微的区别．笛卡儿的坐标系，开启了变量数学的大门．学了距离公式、直线和圆的方程这些入门功夫，算是品尝了数形结合的思想．要进一步感受这种思想的奥妙和威力，就来探索如何用解析几何的方法研究圆锥曲线吧！地球和宇宙飞船的轨道，子弹的飞行路线，一去不返的彗星的遗迹，放到直角坐标系里原来都是二次方程．用了代数方法，古人用非凡智慧才能洞悉的圆锥曲线的奥秘，就水落石出真相大白了．圆锥曲线是一个重要的数学模型，课本章前图讲了圆锥曲线可以由平面截圆锥得到，讲了它的广泛应用，“天上地下，圆锥曲线无处不在”．因此，无论从数学的进一步学习和研究，还是从今后在日常生活和实践的应用来看，学习这部分内容都是非常重要的．“圆锥曲线与方程”这部分内容研究的对象是圆锥曲线，其中圆锥曲线的几何性质可以从动手实验和直观的观察得到，而进一步深入的定量研究就要依靠对曲线与方程之间对应关系的了解，通过对方程这样一个代数对象的分析研究获得对圆锥曲线的几何性质的认识．因此，对这部分内容的学习，就不只是为获得对圆锥曲线性质的了解，而是要进一步体会数形结合的重要数学思想．历史上，正是这一重要的数学思想推动了数学跨越式的革命．事实上，在解析几何诞生后不久，微积分便产生了，这在数学发展的进程中是件里程碑价值的事件．我们说，学生在数学上的进步本质不单靠数学知识的积累，而是数学思想与数学方法的提升．数学从实践中来，建立了数学模型之后，又返回到实践中去，应用的范围得到了极大的扩展，这才显示出数学的力量．圆锥曲线正是对此有效诠释的一个极好的素材．从2000多年以前古希腊人研究圆锥曲线，到笛卡儿、开普勒、牛顿，直到今天的航天飞行，学生从数学文化的角度，从圆锥曲线的应用的角度都能受到很好的数学教育．因此，“圆锥曲线与方程”是一部分很有挖掘价值的素材，我们期望学生通过这部分内容的学习获得更多的收获．新教材在教材的选择与编排上力图体现知识的发展过程，丰富学生的数学活动，突出数学模型的建立，体现数形结合的思想，介绍圆锥曲线的重要应用与文化背景．希望给学生展现出更加生动活泼的数学，并给学生留有更多的思考空间．其主要特色：1．数学实验丰富了学生的数学活动；2．知识的呈现体现出层次性(先从几何直观想性质，再从方程进行研究)．课标要求1．曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．2.圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质．③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质．④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．教学建议1．把握教学要求本章理科共分四大节，前一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤．后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质．并插入学会用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．教学时力求突出主干知识，精选内容：研究圆锥曲线方程时主要介绍标准方程，不涉及一般方程；在利用方程研究圆锥曲线的几何性质时，只讨论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法；对有兴趣的学生可鼓励自主探究，并通过“思考”“探究”“探究与发现”“阅读与思考”等栏目，以及在条件许可下运用信息技术提供发展空间．另外，根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线的定义”．2．突出基本思想解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的性质．由于教材是先通过特殊曲线，从感性上认识曲线方程的意义，再建立一般的曲线方程的概念，因此在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面，重点放在“如何建立曲线方程”及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上．曲线方程的概念比较抽象，教学时只需通过已经学习过的几种曲线的方程与曲线的关系进行概括，并通过具体问题让学生适当感受，并在应用中加深体会，不要在定义的两个方面作过多研究．本章的数学教育价值是“数形结合”的数学思想方法，《标准》中多次提到“让学生体会和感受数形结合的思想”，应在本章中得到较好的落实．3．重视引入过程在椭圆的学习过程中，教材从圆出发，给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别；由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征；在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称：椭圆；通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程．教材意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验；在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化(代数化)为“方程”，形成理性认识．其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及标准方程的建立过程，都可与椭圆相类比展开．课时分配2.1曲线与方程整体设计教材分析“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响．学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径．如果认为学生不真正领悟曲线和方程的关系，照样能求出方程、照样能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线与方程”的开头课是解析几何教学的“重头戏”！根据以上分析，确立教学重点是：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；难点是：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．课时分配本节共安排两个课时，第一课时讲解曲线与方程的概念和简单的求曲线方程，第二节讲解求曲线方程的方法与步骤．2．1.1曲线与方程教学目标知识与技能1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2．初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．过程与方法1．通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理地阐述自己的观点；3．能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．情感、态度与价值观1．通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2．通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神．重点难点教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．教具准备三角板、多媒体教学设备．教学过程引入新课在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线．下面看一个具体的例子：问题1：画出方程x－y＝0表示的直线，同时思考直线上的点的坐标是否都是方程的解，另一方面以这个方程的解为坐标的点是否都在直线上？借助多媒体让学生从直观上深刻体会如下结论：1．直线上的点的坐标都是方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在直线上．即直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系．也即引导学生类比、推广并思考相关问题：类比：推广：即任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即方程F(x，y)＝0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程F(x，y)＝0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x，y)＝0？为什么要具备这些条件？以上问题就是本节课的内容：曲线与方程(板书课题)．探究新知在上面的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个．现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把问题推广中的曲线与方程的这种对应关系完整地表达出来？为了弄清这些问题，首先提出如下的问题：问题2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？请同学们思考：(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.活动设计：学生独立思考，教师巡视指导．活动成果：方程(1)、(2)、(3)都不是曲线C 的方程．第(1)题中曲线C 上的点不全是方程x －y ＝0的解；例如点A(－2，－2)、B(－3，－3)等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论．第(2)题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D(2，－2)、E(－3，3)等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论．第(3)题中既有以方程|x|－y ＝0的解为坐标的点，如G(－3,3)、H(－2，2)等不在曲线上，又有曲线C 上的点，如M(－3，－3)、N(－1，－1)等的坐标不是方程|x|－y ＝0的解．事实上，(1)、(2)、(3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况．教师点评：以上我们观察分析了问题1、问题2，发现问题1完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而问题2不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程．如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了．问题：在下“曲线的方程”和“方程的曲线”定义时，针对问题2中第(1)个问题“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”应作何规定？学生思考活动：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”．老师再提问：针对问题2中第(2)个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？学生思考回答：“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”．这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．理解新知教师提出问题：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．启发学生得出：关系(1)指点集C 是点集F 的子集；关系(2)指点集F 是点集C 的子集．这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：.⎭⎬⎫⊆⊆C F F C )2()1( C=F总结说明：另外从充要条件的角度看，关系(1)或(2)仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．运用新知1．初步应用、突出内涵1下列各小题中，如图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系(1)还是关系(2)?学生活动：思考．成果：(1)错．不符合定义中的关系(2)，即C F但F C.(2)错．不符合定义中的关系(1)，即F C但C F.(3)错．不符合定义中的关系(1)和(2)，即C F且F C.2．变式训练解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？(1)点A(3，－4)、B(－25，2)是否在方程x2＋y2＝25表示的圆上？(2)已知方程为x2＋y2＝25的圆过点C(7，m)，求m的值．学生回答：(1)依据关系(2)点A在圆上，依据关系(1)点B不在圆上．(2)依据关系(2)求得m＝±3 2.2证明：以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25.教师提出问题：请同学思考，证明应从何着手？学生活动：思考应从以下两方面：(1)圆上的点的坐标都满足方程：x2＋y2＝25；(2)以方程x2＋y2＝25的解为坐标的点都在圆上．教师点评：(1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？(学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法．(请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本例1的证明步骤纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性．)课堂小结本节课我们通过实例研究了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题．布置作业1．教材习题2.1A组第1题．2．思考题：如果两条曲线的方程F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为M(x0，y0)，求证：方程F1(x，y)＋λF2(x，y)＝0表示的曲线也经过点M.(λ为任意常数)设计说明这节课我们将直线引申到了一般的曲线，应用了特殊到一般，一般到特殊的方法，研究了曲线的方程和方程的曲线的定义．在领会定义时，要注意关系1、2缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具有充分性．曲线与方程一一对应关系的确立，进一步把曲线与方程统一了起来，通过数研究形，同时形也为数提供了直观背景．我们要有数形结合的意识．笛卡儿等人在解析几何中创立的用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数方法研究几何问题的思想方法意义重大．设计中注重了概念的形成过程，注重了学生的认识规律．备课资料近代数学本质上可以说是变量数学，而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明．解析几何的真正发明者应归功于法国两位数学家笛卡儿(R.Descartes,1596～1650，哲学名言：“我思故我在”)和费马(P.DeFermat,1601～1665)．笛卡儿出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是个律师．他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校.1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的. 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说：一个传说讲，笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”的习惯，他在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻的两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他的头脑中产生了关于解析几何的最初闪念；另一个传说是，1619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕(11月10日)，他作了三个连贯的梦，笛卡儿后来说，正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为佳话，给解析几何的诞生蒙上了一层神秘的色彩．人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示，不是不可能的事情，但事实上笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索、潜心思考、运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果．华罗庚论数形结合：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．随着学习的逐步深入，同学们可以进一步做到形与数的密切结合；体会到数学基础知识与实际应用的密切联系；体会到由于解析几何的创立可使函数概念的内涵更加丰富；并从中领略笛卡儿等数学家们的创新精神．(设计者：赵中华)。
选修2-1教案2.1.1曲线与方程 2
教学要求：理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．教学重点：求曲线的方程教学难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法教学过程：一、复习准备：1. 动一动：画出函数y=2x 2(-1≤x ≤2)的图象C2. 提问：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l ，并写出其方程二、讲授新课：1. 教学曲线与方程：① 提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．能否写成y =|x |，为什么？ ②曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二元方程F (x ,y )=0之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是方程F (x ,y )=0的解；2．以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点，都是曲线C 上的点，那么，方程F (x ,y )=0叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程F (x ,y )=0的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法．4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．（请学生再认真阅读一遍课本中的定义，真正弄懂曲线方程的概念．）③讲解例1：点P (1,a )在曲线x 2+2xy -5y =0上，则a =_______________．练习：1。
A (1,0)，B (0,1)，线段AB 的方程是x +y -1=0吗？2．由到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y -5=0吗？3．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？2. 小结1、什么是曲线的方程、方程的曲线；2、两个条件缺一不可（请学生说出哪两个条件）三、巩固练习：1、以O 为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2、下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log a x y a = (4) y =sin(arcsin x )3、画出方程()(0x y x +=的曲线．4、设集合{(,)|0}A x y x =，{(,)|0}B x y y ==，则A ⋂B 表示的曲线是____________________，A ⋃B 表示的曲线是____________________．教学目标：(1)掌握求曲线的方程的步骤；(2)会根据具体条件正确写出曲线的方程．教学重点： 求方程的步骤, 正确写出曲线的方程．教学难点：正确写出曲线的方程.教学过程：一、复习准备：1、已知曲线C 的方程为 y=2x 2 ；①现曲线C 上有点A （1，2），A 的坐标是不是y=2x 2 的解？点（0.5,t)在曲线上,则t=___.②已知方程y=2x 2 的一组解为 28x y =⎧⎨=⎩，以这组解为坐标的点B （2，8）——（在/不在）曲线C 上？2、曲线包括直线,曲线与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、讲授新课：1．自17世纪笛卡尔发明了坐标系后,人们开始用代数的方法来研究几何.我们这节课就来学习求曲线的方程.例1：有一圆，它的圆心为O ，半径长为4r =，试写出此圆的方程。
选修2-1曲线与方程导学案
【学习目标】1、从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念；2、掌握求曲线方程的步骤和方法.【学习重点与难点】3、教学重点：掌握求曲线方程的步骤和方法. 4、教学难点：掌握求曲线方程的步骤和方法. 【学习过程】一、阅读课本第页，了解方程的曲线与曲线的方程的概念二、阅读课本例1和例2，体会并总结求曲线的方程的步骤和方法。
※、求曲线的方程的步骤⑴建系：建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标⑵写集合：写出适合条件P 的点M 的集合}M P |{M P ）（⑶列方程：用坐标表示条件P （M ），列出方程f(x,y)=0 ⑷化简：化方程f(x,y)=0为最简形式※、求曲线的方程的一般方法①直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x,y 的等式，就得到曲线的轨迹方程②代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程③待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程的形式，在根据条件确定待定的系数④定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，在确定其中的基本量预测练习1、已知曲线方程为10)1(22y x . (1)判断点)3,2(),2,1(q p 是否在此方程表示的曲线上（2）若点),2(m mM 在此方程表示的曲线上，求m 值2、等腰三角形ABC 的顶点是)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。
3、已知ABC ，)2,0(),0,2(A B ，第三个顶点C 在曲线上移动，求ABC 的重心的轨迹方程。
（三角形重心坐标公式3x3321321{x x x y y y y ）。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》教学设计
曲线与方程教材分析:曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，曲线的方程是曲线几何的一种代数表示，方程的曲线则是代数的一种几何表示。
在直角坐标系中，点可由它的坐标来表示，而曲线是点的轨迹，所以曲线可用含x、y的方程来表示。
“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础，对解析几何教学有着深远的影响，曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃。
由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。
求曲线与方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一。
本节中提出的曲线与方程的概念，它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程，根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化。
数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。
曲线与方程学情分析：新课标强调返璞归真，努力揭示数学概念、结论的发展背景，过程和本质，揭示人们探索真理的道路。
同时结合高二学生特点，本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会孕育在其中的思想，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点，选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”，“ 圆的方程”入手，以集合相等，辅助理解“曲线的方程”与“方程的曲线”，进一步强化了概念理解的深刻性。
无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则。
曲线与方程课标分析"圆锥曲线与方程"是选修课程系列1选修1-1和系列2选修2-1中的内容,其中选修1-1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生设置的;选修2-1是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。
高中数学选修2-1优质学案4：2.1.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程【学习目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法. 【导入新课】 复习导入复习有关常见的曲线，及其对应的方程.例如我们一起回顾直线和圆的方程有关知识： 1.经过点P(0,b)和斜率为k 的直线l 的方程为y kx b =+， 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是y x = ， 3.圆心为C(a,b) ,半径为r 的圆C 的方程 为()()222x a y b r -+-=，4．直线 x-y=0上 点的横坐标与纵坐标相等 x=y （或x- y=0） 即第一、三象限角平分线 含有关系：（1） 直线上点的坐标都是方程x-y=0的解 （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线x-y=0 上. 新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念： 我们把满足下面两个条件： （1）；（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫，则该曲线，叫做. 例1下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ，为什么？（1）x －y =0（2（3）x 2－y 2=0（4）|x |－y =0[解析]点评：例2 （1）判断点M 1（3，－4），M 2（－，2）是否在方程x 2+y 2=25所表示的曲线上.（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25. 分析： [解析]2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f （x ，y ）=0； （4）将方程f （x ，y ）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点.（查漏除杂）. 例3 证明与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程是. 分析： 证明：例4 设A 、B 两点的坐标是 （－1，－1）、（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程.)0(>k k k xy ±=解3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法.用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”.（2）定义法：运用[解析]几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得出P 的轨迹方程.代入法也称相关点法.（4）参数法：若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时，则可借助中间变量（参数），使x ，y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程.（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数（求两动直线的交点时常用此法），也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程.交轨法可以说是参数法的一种变形.4. 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系. 例5 经过原点的直线l 与圆相交于两个不同点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析：解 课堂小结'y ,'x 'y ,'x 226490x y x y +--+=曲线的方程和方程的曲线（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 作业1．已知直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2，3)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上2．方程x 2＋y 2＝1(xy <0)的曲线形状是( )3．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A ．y 2＝x 与y ＝x B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x C.y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 24．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________． 拓展提升1． 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）x －2=0（2）（2x+3y －5）（ （3）（3x －4y －12）[ （4）0)13=--x 0]3)2(log 2=-+y x 0324222=++-+y x y x2. 已知点M 与轴的距离和点M 与点F （0，4）的距离相等，求点M 的轨迹方程.3. 已知一条直线和它上方的一个点F ，点F 到的距离是2.一条曲线也在直线的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到直线的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.x l l l l——★ 参 考 答 案 ★——新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f （x ，y ）＝0的解； （2）做曲线的方程，方程的曲线. 例1[解析]方程（1）是表示直线l 的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l 的方程.（2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论.（3）中虽然“直线l 上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2=0的解为坐标的点不全在直线l 上，如点（2，－2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论.（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）.【点评】理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定.判定时必须要同时满足（1）直线l 上的点的坐标都是方程的解.（2）以方程的解为坐标的点都在直线上.例2[解析]第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上.第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明.[答案]（1）把点M 1（3，－4），M 2（－，2）分别代入到方程中，可知前者满足方程，后者不满足.（2）设圆心坐标为（0，0），半径为r=5，圆上的任意一点P （x ，y ），结合两点间距离公式，我们得到圆上的点满足的方程. 例3[解析]先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.【证明】（1）设M （x 0，y 0）是轨迹上的任意一点，因为点M 与轴的距离为，与轴的距离为，所以 即是方程的解.x 0y y 0x k y x =⋅00),(00y x k xy ±=（2）设的坐标是方程的解，那么即，而正是点到轴，轴的距离，因此点到两条坐标轴的距离的积是常数，点是曲线上的点.由（1）（2）可知，是与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程. 例4[答案]解法一：∵，∴所求直线的斜率k=－0.5又∵线段AB 的中点坐标是，即（1，3）， ∴线段AB 的垂直平分线的方程为.即x +2y －7=0. 解法二：设M （x ，y ）是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则|MA|=|MB|∴（Ⅰ）（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程的解； （2）设点的坐标是方程（Ⅰ）的解，即 ∵以上变形过程步步可逆，综上所述，线段AB的垂直平分线的方程是. 例5[解析]先设出点的坐标，利用中点公式和圆的方程，，我们得到所求点与弦端点的坐标关系式，从而求其轨迹方程；或者直接设直线方程，引入参数K ，然后消去参数求轨迹方程.[答案]解法一：设M ，A ，B且 由①－②得1M ),(11y x k xy ±=k y x ±=11k y x =⋅1111,y x 1M x y 1M k 1M k xy ±=)0(>k k 7(1)23(1)--==--AB k 1317(,)22-+-+13(1)2y x -=--2222x +2x +1+y +2y +1=x -6x +9+y -14y +49∴270x y +-=270x y +-=1M 11(,)x y 11270x y +-=11M A =M B x +2y -7=0OM AB k k =(,)x y 11(,)x y 22(,)x y 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩22111122222264906490x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩①②12121212()()()()x x x x y y y y -++-+12126()4()0x x y y ----=∵即（易知） ∴ ∴化简得∴所求轨迹方程为 （在已知圆内部一段弧所对应的方程） 解法二：设M ，A ，B则设直线l 的方程为由方程组 消去y 得∴ 消去参数得【点评】若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将x’，y’表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程.相关点法也称代入法.简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标（x ，y ）之间的坐标.课后作业1．[解析]将x ＝2，y ＝3代入直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2的方程均成立，故点M (2，3)在直线l 上，也在曲线C 上，故选B.[答案]B2．[解析]方程x 2＋y 2＝1(xy ＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．故选C.[答案]C3．[解析]主要考虑x ，y 的取值范围，选项A 中y 2＝x 中y ∈R，而y ＝x 中y ≥0；选OM AB k k =1212y y y x x x -=-12x x ≠22640y yx y x x+⋅--=22320x y x y +--=02322=--+y x y x (,)x y 11(,)x y 22(,)x y 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩y kx =226490=⎧⎨+--+=⎩y kx x y x y 22(1)(64)90k x k x +-++=121222649,11k x x x x k k ++=⋅=++22321321k x k ky k k +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⋅⎪+⎩k 22320x y x y +--=项B 中y ＝lg x 2中x ≠0，而y ＝2lg x 中x >0；选项C 中y ＋1x －2＝1中y ∈R，x ≠2，而lg(y ＋1)＝lg(x －2)中y >－1，x >2，故只有D 正确．[答案]D4．[解析]在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.[答案]1 拓展提升1.[答案]解：（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y 轴的直线；（2）因为故方程表示的曲线为一条射线和一条直线x=4. （3）因为（3x －4y －12）[故方程表示的曲线为一条射线（除去端点）和一条直线x+2y=8.（4）因为则方程表示的图形为一个点（1，－1）2. [答案]解：设点M 的坐标为（x ，y ）∵点M 与轴的距离为，∴∴∴就是所求的轨迹方程.3. [答案]解：设直线l 为x 轴，过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，建立坐标系xOy ，0)13)(532(=---+x y x .4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或)3x (05y 3x 2≥=-+0]3)2(log 2=-+y x 直线。
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§2．1 曲线与方程
§2．1．1曲线与方程
【学情分析】：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。
【教学目标】：
知识与技能
1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，
2、领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；
过程与方法
1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、
化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；
2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.
情感态度与价值观
培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神
【教学重点】：理解曲线与方程的有关概念与相互联系
【教学难点】：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）
【课前准备】：多媒体、实物投影仪
教学环
节
教学活动设计意图
一．复习、引入1、问题： (1)求如图所示的直线的方程,并说明曲线上的点与
方程之间的关系；
观察、思考，求得方程为x
y=
引导学生分析：（1）如果点
00
(,)
M x y是这条直线上的任意一
点，则它到两坐标轴的距离相等，即
00
x y
=，那么它的坐标
00
(,)
x y是方程x
y=的解。
（2）如果
00
(,)
x y是方程x
y=的解，即
00
x y
=，则以这个
解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。
通过学生已熟悉的两种曲
线引入，有利于学生在已
有知识基础上开展学习；
提出新问题，创设情景，
引发学习兴趣。
二．复习、引入
(2) 仿照（1）说明：以(,)
a b为圆心，以r为半径的圆与
方程222
()()
x a y b r
-+-=的关系
⑴设M(x o,y o)是圆上任一点，则它到圆心的距离等于半径，
即22
00
()()
x a y b r
-+-=，即：222
()()
x a y b r
-+-=，
这就是说，(x o,y o)是此方程的解；
⑵如果(x o,y o)是方程222
()()
x a y b r
-+-=的解，则可以推
得22
00
()()
x a y b r
-+-=，即点M(x o,y o)到圆心的距离等
于半径，点M在圆上。
引导学生在前一个例子的
基础上类比归纳，得出结
论，使他们理解几何中的
“形”与代数中的“数”
的统一，为“依形判数”
和“就数论形”的相互转
化奠定了扎实的基础．这
正体现了解析几何的基
本思想，对解析几何教学
有着深远的影响．
三．讲解定义1．在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程
)
,
(=
y
x
f的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
2.讨论：曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个关于
x,y的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描
述了一个点集，记作F
请大家思考：如何用集合C和点集F间的关系来表达“曲
线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表
述以上定义
关系(1)指集合C是点集F的子集，关系(2)指点集F是点
集合C的子集．
这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的
方程”与“方程的曲线”，
即：F
C
C
F
F
C
=
⇔
⎭
⎬
⎫
⊆
⊆
)2(
)1(
3．练习：下列方程表示如图所示
的直线C，对吗？为什么？
（1）0
=
-y
x;
上述概念是本课的重点
和难点，让学生自己通过
讨论归纳出来，老师再说
清楚这两大性质(纯粹性
和完备性)的含义，使学
生初步理解这个概念
通过引导学生运用集合的
表述，使学生对曲线和方
程的关系的理解得到加
深和强化，在记忆中上也
趋于简化
通过反倒加深对定义的理
解。
y
x
-11
1
（2）设点1M 的坐标11(,)x y 是方程xy k =±的根，
则：11x y k =±，即 11||||x y k ⋅=，而1||y 、
1||x 是点1M 到横轴、纵轴的距离，因此点1M 到这两条直线的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点。
由（1）（2）可知，xy k =±是与两条坐标轴的距离的积
为常数(0)k k >的点的轨迹方程
五．练习 1．教科书P37 练习1、2
六．小结 1、 曲线与方程的关系
2、 如何证明、判断曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程
3、 曲线上的点所组成的集合与方程的解所组成的集合有什么关
系？
五、作业
教科书习题2.1 A 组1、2
练习与测试：
1．如果曲线C 上的点满足方程F （x,y)=0，则以下说法正确的是（ ）
A.曲线C 的方程是F(x,y)=0
B.方程F(x,y)=0的曲线是C
C.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C 上
D.坐标不满足方程F （x,y)=0的点不在曲线C 上 2.判断下列结论的正误，并说明理由.
（1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线的方程为x=0; (2)到x 轴距离为2的点的直线方程为y=-2;
(3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1;
(4)△ABC 的顶点A （0，-3），B （1，0），C （-1，0），D 为BC 中点，则中线AD 的方程为x=0 3.方程（3x-4y-12)·［log 2(x+2y)-3］=0的曲线经过点A （0，-3）、B （0，4）、C （4
7
,35-）、D （4，0）中的（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4.已知点A （-3，0），B （0，5），C （4，-3
35），D （3sec θ, 5tan θ),其中在曲线45952
2=-y x 上的点的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
5．证明动点P(x ，y)到定点M(-a ，0)的距离等于a(a ＞0)的轨迹方程是022
2
=++ax y x 6.如果两条曲线的方程F 1(x,y)=0和F 2(x,y)=0，它们的交点M （x 0,y 0)，求证：方程F 1(x,y)+λF 2(x,y)=0表示的曲线也经过M 点.（λ为任意常数）
练习与测试解答：
1.分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程和曲线
解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性.故选D
2.分析：判断所给问题的正误，主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，即考查曲线上的点的纯粹性和完备性.
解：（1）满足曲线方程的定义.∴结论正确
（2）因到x 轴距离为2的点的直线方程还有一个；y=2，即不具备完备性. ∴结论错误.
（3）到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为｜x ｜·｜y ｜=1,即xy=±1. ∴所给问题不具备完备性 ∴结论错误
（4）中线AD 是一条线段，而不是直线， ∴x=0(-3≤y ≤0),
∴所给问题不具备纯粹性. ∴结论错误.
3.分析：方程表示的两条直线3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但应注意对数的真数大于0，
∴x+2y ＞0
解：由对数的真数大于0，得x+2y ＞0.
∴A(0,-3)、C(4
7
,35-
)不合要求 将B （0，4）代入方程检验，不合要求. 将D （4，0）代入方程检验，合乎要求. 故选B.
4.分析：由曲线上的点与方程的解的关系，只要把点的坐标代入方程，若满足这个方程，说明这是这个方程的解，这个点就在该方程表示的曲线上.
解：将点A （-3，0）、B （0，5）、C （4，-
3
35
）、D （3sec θ, 5 tan θ)代入方程459522=-y x 459522=-y x 检验，只有点A 和点B 满足方程.
故选B.
5．仿照课本例子，分两种情况易证
6.分析：只要将M点的坐标代入方程.
F1(x,y)+λF2(x,y)=0，看点M的坐标是否满足方程即可
证明：∵M(x0,y0)是曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点，
∴F1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.
∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R)
∴M(x0,y0)在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲线上.
评述：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也称为过曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点的曲线系方程。