数学人教版八年级上册最短路经问题
人教版八年级数学上册1最短路径问题课件
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
B′
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
抽象为数学问题
A
C
l
轴对称
A C
用旧知解决新知
B
l
A
C
l
B′
B′
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线的交点即为所求的点；
同侧: 作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另
a P1
M .P
N
b
P2
解决“两线一点”型最短路径问题:
要作两次轴对称，从而构造出最短路径． a
P1
作法： 1.作点P关于直线a的对称 点P1; 2.作点P关于直线b的对称
M .P
点P2; 3.连接P1P2，分别交直线 a ，b于点M ,N ;
N
b
4.依次连接PM ,MN ,NP , 即所求最短路径。
A1
P
l1
.
A
Q
. B1
B
l2
再学习（4）造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A Ｍ
Ｎ B
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短呢？
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ
A
A1等于河宽，连接A1Ｂ
人教八年级数学上册最短路径问题
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得
AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直
线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方
法是（ ）
A.转化思想 B.三角形两边之和大于第三边
∙B A∙
C.两点之间，线段最短
l
∙B
题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该
A∙
过程用到了“转化思想”，“两点之间，线段
l
C
最短”，验证是否为最短距离时利用了三角形
两边之和大于第三边.
B′
随堂练习 2
两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在 地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的 位置.
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最 小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
A∙
C l
∙B
新知探究
知识点2
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值 最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作 点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.
C
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中， ∠A′CE=∠B′C=BD，
则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.
2024年人教版八年级上册数学第13章第4节课题学习 最短路径问题
使MN ⊥ m， 且AM 交直线n 于点N，过点N作NM ⊥
＋MN＋NB 最小
m 于点M，连接AM
感悟新知
特别解读 解决连接河两边两地的最短路
径问题时，可以通过平移桥的方法 转化为求直线异侧两点到直线上一 点所连线段的和最小的问题.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例4 如图13.4-5，从A 地到B 地要经过一条小河(河的两岸 平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应 如何选择桥的位置才能使
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂小结
设计最短路径 设计最短路径
两点在直 线异侧
两点在直 线同侧
利用轴对称转换
解：如图13 .4 -2，作点B 关于l 的对称点B1，连接 AB1交l 于点M，连接BM， 此时AM＋BM 最短，则点 M 即为所求的分支点.
感悟新知
知1－练
1-1.如图，在正方形网格中有M，N 两点，在直线l 上求一 点P 使PM＋PN 最短，则点P应选在( C ) A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点
四边形P M N Q周 长的最
小值为 P′Q′＋ PQ 的值
小
线的交点即为点M，N
感悟新知
知1－讲
特别解读 1.直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. 2.直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称 点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的 两点，依据异侧两点的方法找点.
感悟新知
知1－练
例1 [情境题 生活应用]某供电部门准备在输电主干线l 上连 接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电．
八年级数学上册 最短路径问题 人教版
核心素养 利用轴对称和平移解决最短路径问题，让学生体会图形
的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 例11 如图13-4-20，在由边长为1个单位长度的小正方
形组成的网格中，请分别在AB，AC上找到点E，F，使四边 形PEFQ的周长最小.
图13-4-20
解：如图13-4-21，分别作点P关于AB，点Q关于AC的对称 点P′，Q′,连接P′Q′,交AB于点E，交AC于点F，则E，F即 为所求.
图13-4-8
思路导图：
作点P关于BC的对称点
利用轴对称，求线段和最小
解：如图13-4-9，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q， 交BC于点M，M是所求的点.
图13-4-9
题型二 求线段和的最小值 例6 如图13-4-10，△ABC为等边三角形，高AH=10 cm， P为AH 上一动点，D为AB的中点，求PD+PB的最小值.
A.转化思想 B.三角形的两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任 意一个内角
解析：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上， ∴CB=CB′.又∵AB′交l于点C，且两条直线相交只有 一个交点，∴CB′+CA的长度最短，即CA+CB的值 最小.此最短路径问题运用了“两点之间，线段最 短”，体现了转化思想，验证时运用了三角形的两 边之和大于第三边.故选D.
考点一 线段和最小问题 例9 (贵州黔南中考)如图13-4-17，直线l外不重合的两点A， B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点 C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的 知识或方法是( D )
人教版初中数学八年级上册《最短路径问题》
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
B A C
l
两点之间，线段最短.
B
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名 的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
• 2.师友交流达成统一意见 • 3.师友展示解决问题的方法、策略
• 4.学友给学师回讲进行整理、消化。
问题A 归纳
B A
抽象为数学问题 B A
l
解决实 际问题
C
联想旧知
l
B
A C
A
用旧知解决新知 C
l
B′
l B
问题B
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考： 你能把这个问题转化
温馨提示：1.自主思考 2.师友交流达成统一意见 3.师友展示 4.不同方法展示 5.学友给学师回讲进一步整理、消化
证明：如图. 在直线 l 上任取另一点C′ ， 连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ． A ∵直线 l 是点B、B′的对称轴， C′ 点C、C′在对称轴上， ∴BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′． 在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′， ∴AC+BC < AC′+B′C′， 即AC+BC最小．
A 大桥 B
新知1
八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题说课稿（新版）新人教版一. 教材分析八年级数学上册13.4课题学习“最短路径问题”是新人教版教材中的一项重要内容。
这一节内容是在学生掌握了平面直角坐标系、一次函数、几何图形的性质等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是最短路径问题的研究，通过实例引导学生了解最短路径问题的背景和意义，学会利用图论知识解决实际问题。
教材中给出了两个实例：光纤敷设和城市道路规划，让学生通过解决这两个实例来理解和掌握最短路径问题的求解方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、一次函数等知识有了一定的了解。
但是，对于图论知识以及如何利用图论解决实际问题还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握图论知识，并能够将其应用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图论知识解决最短路径问题的方法。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学在实际生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为图论问题，并利用图论知识解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌握最短路径问题的求解方法。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过展示实例和动画效果，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示光纤敷设和城市道路规划的实例，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
2.新课导入：介绍图论中最短路径的概念和相关的数学知识。
3.实例分析：分析光纤敷设和城市道路规划两个实例，引导学生将其转化为图论问题。
4.方法讲解：讲解如何利用图论知识解决最短路径问题，包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法等。
2023-2024学年人教版八年级数学上学期：课题学习 最短路径问题(附答案解析)
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2023-2024学年人教版八年级数学上学期13.4课题学习 最短路
径问题
一．选择题（共6小题）
1．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1，P 2
交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2＝6，则△PMN 周长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．如图，直线L 是一条输水主管道，现有A 、B 两户新住户要接水入户，图中实线表示铺
设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄．计划在l 上的某处修建一个水泵站M ，向P ，
Q 两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m
上的某处修建一个给水站，向。
人教版八年级数学上册1最短路径问题课件
分析：
可以把河岸看成两条平行线a
和b，N为直线b上一个动点，
A
MN垂直于直线b，交直线a于点
M，这样问题可以转化为：
当点N在直线的什么位置时， AM+MN+NB最小？
由于河宽固定，因此AM+NB 最小时，AM+MN+NB最小。这 样问题进一步转化为：
当点N在直线b的什么位置时， AM+NB最小？
问题2 归纳
抽象为数学问题
解决实 际问题
A
A'
M
a
b
N
B
用旧知解决新知
A
Ma Nb
B
联想旧知
A
C
l
B
新知2
利用平移确定最短路径选址
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以 通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线 异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平 移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线 上，从而作出最短路径的方法来解决问题.
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线 段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题 的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同 旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核 心，所有作法都相同.
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
你能证明吗？
证明：
另任意造桥M′N′， 连接AM′、BN′、A′N′. 由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′， AA′＝MN＝M′ N′.
13.4课题学习++最短路径问题-讲练课件-2023-2024学年+人教版+八年级数学上册
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
(2)涂黑部分成轴对称图形．如图2是一种涂法，请在图4－6中分别设计
出另外三种涂法．(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一
种涂法，如图2与图3)
解：如图所示．(答案不唯一，合理即可)
数学活动
活动3 等腰三角形中相等的线段
例3 综合探究探索等腰三角形中相等的线段．
3．如图，点A，点B为直线MN外两点，且在MN异侧，点A，B到直
线MN的距离不相等，试求一点P，同时满足下面两个条件：
①点P在MN上；②PA＋PB最小．
解：如图所示，点P即为所求．
4．如图，铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在路边建一个货物站C，
使A，B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出
数学（RJ）版八年级上册
第十三章 轴对称
课题学习
最短路径问题
新课学习
单动点问题—— 两点在直线异侧
例1 如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小．
解：如图，连接AB，AB与l的交点即为所求点P.
1.如图，高速公路l的两侧有M，N两个城镇，要在高速公路上建一个出
口P，使M，N两城镇到出口P的距离之和最短，请你找出点P的位置．
你找的点C．
解：如图所示，点C即为所求．
5．(2022·珠海市期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标
为(4，2)，点B的坐标为(1，－3)，在y轴上有一点P使PA＋PB的值最小，
则点P的坐标为(
D
)
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
第5题图
6．如图，直线l1与l2交于点O，P为其平面内一定点，OP＝3，M，N
人教版初中数学八年级上册第十三章 课题学习 最短路径问题
l
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
作法：
B
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； A
C
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
l
则点C 即为所求．
B′
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. C
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形，
C′ D ′
于是AD=FD′, 同理，BE=GE′，
E E′
由两点之间线段最短可知，GF最小.
BG
课堂检测
13.4 课题学习 最短路径问题/
拓广探索题
巩固练习
13.4 课题学习 最短路径问题/
如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河 边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人 设计出最短的放牧路线.
解：如图AP+AB即为最 短的放牧路线.
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
知识点 2 利用平移知识解决造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）？
解：连接AB,与直线l相交于一点C.
A
C
根据“两点之间，线段最
l
短”，可知这个交点即为所求.
B
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；
人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题课件
A
l
C
B/
任务1:测量点C到A 、 B的距离,求和， 填入学案的空格上。
任务2:小组合作，由组 长安排分工(一人找点,一 人测量,一人计数，其余 监督)任意在直线L上取 点C ′(不与点C重合)探究 测量，填入空格。
A C
B
L
B/
证明:
在L上任取另一点C ‘,连接AC ' 、BC'、B'C'.
通过这节课的学习说说你的收获：
作业 课本P93复习题第15题。
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为Ａ M＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋
N
P
Q
B2
B1
B
ＰＱ＋ＱＢ转化为
AB2+B2B1+B1B．
问题延伸二 A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G
H B1 B
延伸小结
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、
６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用
平移转化桥长来解决问题．
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
八年级数学人教版上册13.4节主要讲述最短路径问题，这是学生对图论初步了解后的进一步深化。在学习了图的定义、表示和遍历等基础知识后，最短路径问题既是对前面知识的综合运用，又是向更为复杂图论问题的过渡。
本节课内容对于学生来说具有一定的难度，需要他们能够理解并掌握最短路径的算法，并能够运用到具体的问题中。同时，这也是对学生逻辑思维能力和问题解决能力的考查。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用PPT展示生活中的最短路径问题，如旅行中最短路线的选择、网络数据传输的最短路径等，引导学生关注最短路径问题在现实生活中的应用。
2.向学生提出问题：“如何找到两点之间的最短路径？”让学生思考并发表自己的观点，为导入新课做好铺垫。
3.教师总结：今天我们将学习图论中的一个重要问题——最短路径问题，希望通过本节课的学习，大家能够掌握最短路径的求解方法，并能够运用到实际问题中。
4.在解决问题的过程中，引导学生总结规律，提高学生的归纳总结能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.分配具有挑战性的任务，让学生在合作中共同解决问题，提高解决问题的效率。
3.鼓励学生互相评价、互相学习，培养学生的自主学习和反思能力。
4.教师在小组合作过程中进行巡视指导，关注学生的学习情况，及时给予帮助和引导。
在教学过程中，我通过设计丰富多样的教学活动，引导学生主动探究、合作交流，从而提高他们对最短路径问题的理解和运用能力。同时，注重培养学生的数学素养，让他们在学习过程中感受到数学的趣味性和实用性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的概念，掌握基本的最短路径算法。
初中数学人教版八年级上册《13.4最短路径问题课时2》课件
A∙
M
a
A′ N
b
∙B
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，
垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B. ∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′， ∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′.
A∙
M
A′
∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点 间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最小 值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，根据的是两 点之间，线段最短.
Q1
l2
N ∙Q ∙P
l1 M
P1
某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中 OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子 再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最 短.
A
∙C
O
B
解析：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1； （2）作点C关于OB的对称点C2； （3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接 CD，CE. 所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后 O 回到点C处，依照这样的路线所走的路程最短.
C1 A
D
∙C
E
B
C2
如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处动身，先到公路l1上设 卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处实行任务，他们应如何走才能使 总路程最短？
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课题学习最短路径问题教学设计
教学目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
教学重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
教学难点
探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理
教学过程
一、创设情景，明确目标
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，
二、合作探究，达成目标
探究点一探索最短路径问题
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别
向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使
所用的输气管线最短？
活动二：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一
位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军
专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到
河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
分析：
问题（1），
点A, B分别是直线L不同侧的两个点，如何在L上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？利用“两点之间线段最短” 连接A，B交L为所求的点。
问题（2），
如果点A，B同一侧时，利用轴对称性以直线l对称轴找A或B的
对称点，就可以把问（2）转化为问题（1）的情况，从而使新问题得
到解决.
作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．
2013年济南）已知：抛物线的对称轴为x=-1与X 轴交于A ，B 两点，与Y 轴交于点C 其中A （-3,0），C （0，-2)
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得 的周长最小．请求出点P 的坐标．
问题三，
如图13.4-5，牧马营地在点P
饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．
分析：
要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，为此作点P 关于直线a 的对称点P 1，作点P 关于直线b 的对称点P 2，连接P 1P 2，分别交直线a ，b 于点A ，B ，连接P A ，PB ，即得放牧所走的最短路线．
解：
作点P 关于直线a 的对称点P 1，关于直线b 的对称点P 2，连接P 1P 2，分别交直线a ，b 于点A ，B ，连接PA ，PB .由轴对称的性质知，PA ＝P 1A ，PB ＝P 2B ，所以先到点A 处吃草，再到点B 处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走的总路程最短．
△
C
为庆祝教师节，阳光中学八年级(2)班举行了一次文艺晚会，桌子摆成两条线如图中的桌子OA 上摆满了苹果，桌子OB 上摆满了橘子，坐在C 处的小华想先拿苹果再拿橘子，然后回到座位C 处．请你帮助小华设计一条行走路线，使小华所走路程最短．
分析：
1）小华、苹果、橘子三个位置不在同一条直线上，三点连接起来构成一个三角形，求所走的路程最短实际是求这个三角周长的最小值。
(2)利用轴对称的性质将三点搬到同一条直线上，在运用“两点之间线段最短”定理。
四，课堂小结：
（一）问题1,2是两个定点找一个动点：
（1）如果在直线异侧，则直接连接两点与直线的交点；
（2）如果在直线同侧，则找一点对称点再将对称点与另 一点连接与直线的交点。
（二）问题3是一定点找两动点，方法是分别找两动点的对 称点再分别连接两对称点跟直线的交点。
（三）问题1,2,3都是直接或间接的运用“两点之间线段最短”定理。
五，课后作业：
如图，在矩形OABC
中，已知A 、B 两点的
坐标分别为 A （4,0）C(0,2），D 为
OA 的中点．设P 点是
﹤AOC 平分线 上的一个动点（不与点
O 重合）． （1）试证明：无论点P
运动到何处，PC 总与
PD 相等；
（2）当点P 运动到与
点B 的距离最小时，试确定过O ,P,D 三点的抛物线的解析式；
（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，⊿PD E 的周长最小？求出此时点P 的坐标和⊿PD E 的周长；
（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使 ＜CPN=900 ？若存在，请直接
写出点P 的坐标．。