高一数学单调性与最大或最小值4(2019年11月整理)
高一数学函数的单调性与最大(小)值
高一数学函数的单调性与最大（小）值学习目标1、通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义.2、学会利用函数图象理解和研究函数的单调性3、能够熟练地应用定义判断函数在某区间上的单调性（取值、作差、变形、定号、判断）知识框架1、函数的单调性（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质单调函数：在整个定义域上为增或为减，则称该函数为单调函数2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1取值：任取x1，x2∈D，设x1<x2；○2作差：f(x1)－f(x2)；○3变形：（通常是因式分解和配方）；○4定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5判断：（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.4、函数最大（小）值定义最大值y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法、公式法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 随堂练习1、函数)(x f 在区间]3,2[-上是增函数,则)5(+=x f y 的递增区间是（ ）A.]8,3[B.]2,7[--C.]5,0[D.]3,2[-2、函数322--=ax x y 在区间]2,1[上是单调函数，则a 满足的条件是._3、已知函数.|34|)(2+-=x x x f 求函数)(x f 的单调区间，并指出其增减.4、判断函数1)(3+-=x x f 在)0,(-∞上是增函数还是减函数并证明.5、讨论函数的单调性，)0,11(1)(2≠<<--=a x x ax x f 6、求12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最小值.7、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是.________8、函数245x x y --=的递增区间是.__________（复合函数的单调性）9、已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数21,x x ,满足,2)()()(2121++=+x f x f x x f 且当0>x 时，有.2)(->x f 求证：)(x f 在R 上是增函数.10、定义在区间()+∞,0上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=且当1>x 时，,0)(<x f 试判断)(x f 的单调性，并当1)3(-=f 时，解不等式.2|)(|-<x f。
3.2.1函数的单调性与最值(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
−2 − 2 + 1, ＜0，
−（ + 1）2 + 2, ＜0，
函数图像如图所示,单调递增区间为（-∞，-1］和［0，1］,单调递减区间为
［-1,0］和［1,+∞）.
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必修第一册
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方法感悟
利用图像法判断函数单调性的注意点
凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于
利用定义证明函数单调性的方法
注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因
式乘积的形式.
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
2.用图像法证明函数的单调性
例2
求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
解（1）令f（x）＝x2+2x-3＝（x+1）2-4，作出f（x）的图像，保留其在x轴上方
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，
2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
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必修第一册
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
1.用定义法证明函数的单调性
图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即
1
y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）
和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.
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高一数学已知单调性知识点
高一数学已知单调性知识点在高中数学课程中，单调性是一个重要的概念。
它在解决函数的最大值、最小值以及方程的根等问题时扮演着重要的角色。
在本文中，我们将介绍高一数学课程中已知的一些与单调性相关的知识点。
一、函数的单调性定义在讨论函数的单调性之前，我们首先需要了解函数的单调性是如何定义的。
对于一个定义在区间上的函数f(x)，如果满足对于任意的x₁和x₂(x₁<x₂)，都有f(x₁)≤f(x₂)或者f(x₁)≥f(x₂)，那么我们称函数f(x)在区间上是单调递增的或者单调递减的。
如果对于任意的x₁和x₂(x₁<x₂)，都有f(x₁)<f(x₂)或者f(x₁)>f(x₂)，则我们称函数f(x)在区间上是严格单调递增的或者严格单调递减的。
二、函数的单调性判定1. 导数法在高一数学中，我们学习了求函数的导数的方法。
利用导数，我们可以判断函数的单调性。
对于一个在开区间(a,b)上可导的函数f(x)，如果f'(x)>0，那么函数f(x)在区间(a,b)上是单调递增的；如果f'(x)<0，那么函数f(x)在区间(a,b)上是单调递减的。
2. 函数图像法除了利用导数，我们还可以通过观察函数的图像来判断其单调性。
当我们观察函数图像时，如果图像上的任意两点，连接这两点的线段都与x轴的正方向成锐角或者直角，那么函数在这一段区间上是单调递增的；如果连接这两点的线段都与x轴的正方向成锐角或者钝角，那么函数在这一段区间上是单调递减的。
三、单调性定理在高一数学中，我们学习了一些与函数的单调性相关的定理，其中最重要的是费马定理和罗尔定理。
1. 费马定理费马定理是关于函数极值的一个重要定理。
如果函数f(x)在[a,b]上是单调递增的，并且在(a,b)内可导，那么对于任意的[c,d]⊂(a,b)，函数f(x)在[c,d]的极值点唯一，且必然在端点处取得。
2. 罗尔定理罗尔定理是关于函数根的一个重要定理。
3.2.1单调性与最大(小)值说课稿-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修一
《单调性和最大（小）值》说课稿各位老师大家好，今天我说课的题目是《单调性与最大（小）值》。
下面开始我的说课。
首先，新课程理念认为学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者、合作者，一切教学活动必须强调以学生的积极性、主动性为出发点。
因此，我将秉持这一教学理念，从说教材、说学情、说目标、说方法、说过程等五个方面展开我的说课。
虽然我的教学经验并不丰富，但我深知，要上好一门课，首先要对其教材进行钻研和分析，这样才能在教学过程中进行更好地应用，保证教学效率。
本节内容选自2017版人教A 版高中数学必修一第三章第二节第一小节，主要内容为函数单调性、最值的概念。
在学习本小节之前，学生已经学习了函数的概念及其表示，为本节课的顺利展开起了铺垫的作用；同时本节内容对学生之后探究函数其他性质、构建函数知识体系打下良好的基础，因此本节课在学生学习体系中具有举足轻重的作用。
教材是我们教学的工具，是载体，但教学最终是要面向学生，因此接下来我将谈一谈学生的情况。
学生刚刚步入高一阶段，整个知识结构体系还不完善，数学思维不够严谨，需要教师不断地加以引导。
因此，在教学过程中设置引导性问题让学生主动思考，投入到学习过程中来，体会到数学学习的快乐，提高学习的兴趣。
根据以上的教材分析和学情分析，结合本节课的知识内容和课标要求，我制定了如下的教学目标：①理解函数的单调性和单调函数的意义，会判断和证明简单函数的单调性；②在探究学习的过程中，体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想；③激发学生探求数学知识的欲望，提高学习兴趣。
我认为要教好一节课，从教学内容上来说，一定要做到突出重点、突破难点，因此，为了更好地实现教学目标，我确定了本节课的重难点：1）教学重点：掌握函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性；2）教学难点：用数学语言描述函数的单调性，并应用该语言证明单调性。
为了能更好地呈现我刚才的想法，需要我合理地设置教法和学法。
根据本节课的内容和特点，我将联合多种教学方法，采用讲授法、练习法、小组讨论法、自主思考探究法，充分调动学生的积极性，让学生投入到课堂之中。
函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
【思考3】这样的变化过程能写完吗?
怎么借助字母符号表示上述具体例子的共同点？
分析：
只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
新知探究
1
函数的单调性
【问题2】请同学们在草稿本上用列表法画出 = 图像.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
【思考5】模仿上述方法，给出“在区间 ， + ∞ 上，随的增大而增
大”的符号语言刻画.
2 2 2 2 2 x1 x2
则 f x1 f x2
.
x1 x2 x2 x1
x1 x2
x1 , x2 (, 0) ， x1 x2 0 .
又 x1 x2 ， x1 x2 0 .
f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2 .
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
新知探究
高一函数的单调性知识点
高一函数的单调性知识点函数的单调性是数学中的一个重要概念，它描述了函数在定义域上的增减情况。
了解函数的单调性有助于我们更好地理解和运用函数，下面就是关于高一函数的单调性知识点的详细介绍。
一、函数的递增和递减区间在讨论函数的单调性时，首先需要了解函数的递增和递减区间。
我们将函数在定义域上递增（或递减）的部分称为函数的递增（或递减）区间。
1. 函数的递增区间对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1)< f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递增。
我们可以通过求函数的导数来确定函数的递增区间。
2. 函数的递减区间对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1) > f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递减。
同样地，我们可以通过求函数的导数来确定函数的递减区间。
二、函数单调性的判定在大部分情况下，我们可以通过函数的导数来判定函数的单调性。
具体而言，可以根据函数导数的正负性来确定函数的单调性。
1. 函数导数的正负性如果函数 f(x) 的导数在某个区间内恒大于 0，则 f(x) 在该区间上递增；如果导数恒小于 0，则 f(x) 在该区间上递减。
通过求导数，我们可以得到函数的递增区间和递减区间。
2. 临界点和极值点函数的单调性与其临界点和极值点也有密切关系。
在函数的临界点和极值点处，其单调性会发生改变。
- 临界点：函数 f(x) 在定义域上的某个点 x=c 处，如果 f'(c)=0 或者f'(c) 不存在，那么点 c 称为函数的临界点。
在临界点之间，函数的单调性可能会改变。
- 极值点：函数 f(x) 在定义域上的某个点 x=c 处，如果存在一个邻域，使得对于临界点 x 不等于 c，在该邻域内 f(c) 是 f(x) 的最大值或最小值，那么点 c 称为函数的极值点。
【课件】函数的极值与最大(小)值(第4课时)含参函数的最值+课件人教A版(2019)选择性必修第二册
引导探究
当1a≥e，即 0<a≤1e时，f(x)在(0，e]上单调递减，故 f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3， 解得 a＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数 a.
综上，存在实数 a＝e2，使 f(x)在区间(0，e]上的最小值是 3.
引导探究
探究 3 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种 情况．若导函数恒大于 0 或小于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端 点处取得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确 定最值．
引导探究
引导探究
故 f(x)的最大值为 f23＝3227a<32，即 a<27. 所以 0<a<27. 当 a<0 时，f(x)在－2，23上单调递减， 在23，1上单调递增， 又 f(－2)＝－32a>f(1)＝a， 所以 f(x)的最大值为 f(－2)＝－32a<32，即 a>－1. 所以－1<a<0. 综上可得，a 的取值范围为(－1，0)∪(0，27)．
引导探究
探究 4 恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，其中方法一是分 类讨论(求最值)法，方法二是分离参数法．在不等式或方程中，参数只出现一次， 或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参 数分离到一边去，而另一边则是 x 的表达式．
引导探究
引导探究
(2)在14，1上存在 x0，使得不等式 f(x0)－c≤0 成立，只需 c≥f(x)min，x∈14，1， 因为 f′(x)＝－23－31x2＋1x＝－2x2－3x32x＋1＝－（2x－1）3x（2 x－1）， 所以当 x∈14，12时，f′(x)<0，f(x)是减函数； 当 x∈12，1时，f′(x)>0，f(x)是增函数； 所以 f12是 f(x)在14，1上的最小值． 而 f12＝13＋ln 12＝13－ln 2，所以 c≥13－ln 2.
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》课标解读
《函数的单调性和最值》课标解读教材分析本节的主要内容是函数的单调性和最值.函数的单调性把自变量的变化和函数值的变化定性地联系在一起，起着承前启后的作用，函数的单调性与函数的概念和函数的表示法有着密切的联系，函数的单调性和后面要学习的函数的奇偶性合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数的理论基础.函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，本节通过对具体函数图象的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的.教材中在判断函数的增减性时，既有从图象上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图象得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系.函数的单调性和最值有着广泛的实际应用，在解决函数值域、定义域、最值、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性.高考中主要考查函数单调性的判断、求函数的单调区间、函数单调性的应用.本节内容涉及的数学核心素养有数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等.学情分析学生在初中阶段通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势.学生具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.学生学习本节内容的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度，而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱这些都容易产生思维障碍.教学建议在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其是抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.教学中为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，可以采取以下形式组织学习材料:1.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示，在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段，观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数的单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段，首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”借助多媒体引导学生对“y随x的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4.在“学以致用”阶段，首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识，然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法，接着请学生板演实践.学科核心素养目标与素养1结合初中已学习的函数图象，通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，抽象概括出增函数和减函数的定义，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.会利用单调性的定义判断和证明函数的单调性，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3.会求函数在给定区间上的最值，达到数学运算核心素养水平一的要求.情境与问题案例一通过回顾初中学习的一次函数、二次函数、反比例函数的函数值()f x 随自变量x的变化情况，结合某天气温随时间的变化曲线，引入本节内容的教学.案例二通过系列问题的设计，复习函数的概念，引发学生回忆思考，通过回顾初中学习的一次函数的图象与性质，在已有知识基础上去探求新知识，引入课题.内容与节点函数的单调性是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后续学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等，在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.过程与方法通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量，引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 教学重点难点重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.。
函数的单调性与最值课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
1 < 4， 1 > (4)
类似地：
(1, (1))
(4, (4))
2 < 3， 2 > (3)
3.5 < 5， 3.5 > (5)
活动探究
追问1
由y随x增大而减小，任取两个
不同的x值，就能根据他们的大
小关系，写出函数值的大小关
系．那么，这个描述反过来是
否成立呢？
都考察一遍呢？如果不能，那又该怎样定量描述这种变化．
“所有”=“全部”=“任意”=“每个”
任取两个
在(0, +∞)内，任取两个自变量的值，记为1 和2 ，
y随x的增大而减小
对整体的直观描述
当1 < 2 时，都有 1 > (2 )
对具体值的量化描述
活动探究
在(0, +∞)内，任取两个自变量的值，记为1 和2 ，
活动探究
追问2
在之前的数学学习中，你还见过哪些类似这样的变化特征呢？
函数值随自变量的增大而增大或减小
增减性
(初中)
y=2x 在R内，y随x的增大而增大．
1
y=
在(−∞, 0)和(0, +∞) 内，
都是y随着x的增大而减小．
活动探究
追问3
你觉得这种对函数变化趋势的描述有什么不足之处吗？
y=2x 在R内，y随x的增大而增大．
并指定大小关系，比如1 < 2 ；
第二步，作差变形
计算 1 与 2 的差，对表达式进行变形整理，改写
成一些因式乘积的形式；
第三步，判断符号
结合1 ，2 的大小关系，判断出上一步中得到的式子的
正负，从而确定 1 与 2 的大小关系；
高一数学中函数的单调性与最值如何判断
高一数学中函数的单调性与最值如何判断在高一数学的学习中，函数的单调性与最值是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键的地位，更是解决许多实际问题的有力工具。
理解和掌握如何判断函数的单调性与最值，对于我们深入学习数学、提高解题能力都具有重要意义。
首先，让我们来明确一下函数单调性的定义。
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值\（x_1\）、＼（x_2\），当\（x_1 ＜x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜f(x_2)＼）（或者\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼）），那么就说函数\（f(x)＼）在这个区间上是增函数（或者减函数）。
那怎么去判断函数的单调性呢？常见的方法有以下几种：第一种方法是定义法。
这是最基本也是最直接的方法。
假设函数\（f(x)＼）的定义域为\（I\），区间\（D ＼subseteq I\）。
我们任取\（x_1\），＼（x_2 ＼in D\），且\（x_1 ＜ x_2\），然后计算\（f(x_2) f(x_1)＼），如果\（f(x_2) f(x_1) ＞ 0\），则函数在区间\（D\）上是增函数；如果\（f(x_2) f(x_1) ＜0\），则函数在区间\（D\）上是减函数。
例如，对于函数\（f(x) ＝ x^2\），我们要判断它在区间\（（0, ＋＼infty)＼）上的单调性。
任取\（0 ＜ x_1 ＜ x_2\），则\（f(x_2) f(x_1)＝ x_2^2 x_1^2 ＝（x_2 ＋ x_1)（x_2 x_1)＼）。
因为\（x_1\），＼（x_2 ＞ 0\），所以\（x_2 ＋ x_1 ＞ 0\），又因为\（x_2 x_1 ＞ 0\），所以\（f(x_2) f(x_1) ＞ 0\），即函数\（f(x) ＝ x^2\）在区间\（（0, ＋＼infty)＼）上是增函数。
第二种方法是导数法。
如果函数\（f(x)＼）在某个区间内可导，那么当\（f'（x) ＞ 0\）时，函数在这个区间上是增函数；当\（f'（x) ＜ 0\）时，函数在这个区间上是减函数。
3.2.1++单调性与最大(小)值(第一课时)教案-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3.2.1函数的单调性与最大（小）值教案高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册课题函数的单调性课型新授型课一课时教学目标①了解增函数、减函数的概念②培养学生利用概念进行推理的能力③掌握数形结合的能力④会简单证明函数的单调性⑤通过函数图形的图片，展示他们的变化规律，由函数图形的变化引导学生对函数的性质有所了解，帮助引导学生独立自主思考、学习函数的单调性。
⑥帮助学生打好数学的基础，带学生剖析数学方法，了解数学的奥妙，激发学生对数学的学习兴趣，学会数形结合的学习数学。
内容分析教学重点用数形结合的方法了解函数单调性的定义教学难点通过定义可以指出函数的单调区间并能证明函数的单调性。
教学方法（针对教学模式）讲授法教具、学具课件课堂设计问题导入展示图片：观察函数“y=x”，“y=-x”，“y=x²”他们的图像有什么变化？解答问题：y=x 从左向右看是上升的y=-x从左向右看是下降的y=x²在y轴左侧是下降的，在y轴的右侧是上升的函数图像里的“上升”，“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性思考：这反应了相应的函数值有什么变化？解答：以二次函数“f(x)=x²”为例，可以列出x,y的对应值表。
x…-4-3-2-101234…f(x)=x²…16941014916…得出结论：图像在y轴左侧的下降，也就是在区间（-∞，0] ，f(x)随着x的增大而减小；图像在y轴右侧的上升，也就是在区间（0，+∞] ，f(x)随着x的增大而增大.解释定义：一般来说，设函数f(x)的定义城为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₁当x₁＜x₁时，都有f(x₁)＜f(x₁)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₁当x₁＜x₁时，都有f(x₁)＞f(x₁)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
高一数学导数与函数的单调性与极值
高一数学导数与函数的单调性与极值函数的单调性和极值是数学中的重要概念，对于理解函数的性质和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将探讨高一数学中导数与函数的单调性和极值的概念、性质及其应用。
一、导数与函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
在数学中，导数是描述函数变化率的重要工具。
1.1 导数的定义对于函数 y=f(x)，若函数在点 x0 处可导，则导数 f'(x0) 的定义如下：f'(x0) = lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中，lim 表示极限，h 为自变量的增量。
1.2 单调性的判定通过导数的符号来判断函数的单调性：若在某一区间内，f'(x)>0，函数单调递增；若在某一区间内，f'(x)<0，函数单调递减；若在某一区间内，f'(x)=0，函数在该区间内可能有极值点。
1.3 单调性的应用函数的单调性在实际问题的建模和求解中具有重要应用，例如在经济学中，可以利用函数的单调性来研究供求关系、市场行为等问题。
在求解最优化问题时，函数的单调性也是一个重要考虑因素。
二、导数与函数的极值函数的极值包括最大值和最小值，用于描述函数的局部极限。
2.1 极值点的定义对于函数 y=f(x)，若存在 a，使得 f(a) 是函数在该点上的最大值或最小值，则称 a 为函数的极值点，而 f(a) 称为函数的极值。
2.2 极值点的判定通过导数的性质来判断函数的极值点：1) 若 f'(x) 在 a 点两侧变号，则 a 点是函数的极值点；2) 若 f'(x) 在 a 点两侧保持符号相同，则 a 点不是函数的极值点。
2.3 极值点的应用函数的极值在实际问题的求解中起着重要的作用。
例如，在工程中优化设计问题，可以通过求解函数的极值来找到最优解。
在生物学中，可以利用极值点来研究生物体的最佳生长环境。
总结：通过学习导数与函数的单调性和极值，我们可以更深入地理解函数的性质和变化趋势。
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题在高一数学必修一的学习中，函数的单调性与最值问题是非常重要的一部分内容。
它不仅是后续数学学习的基础，也在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。
首先，我们来理解一下什么是函数的单调性。
简单来说，单调性就是函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的一种变化规律。
如果函数值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数在某个区间上是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那么这个函数在这个区间上就是单调递减的。
为了判断函数的单调性，我们通常会采用定义法。
假设给定函数$f(x)＄，定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1<x_2$时，如果都有$f(x_1)＜f(x_2)＄，那么就称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递增的；如果都有$f(x_1)＞f(x_2)＄，则称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递减的。
比如说，对于一次函数$y ＝ 2x ＋ 1$，我们可以任取两个自变量的值$x_1$和$x_2$，且$x_1 ＜ x_2$。
那么$f(x_1) ＝ 2x_1 ＋ 1$，＄f(x_2) ＝ 2x_2 ＋ 1$。
因为$x_1 ＜ x_2$，所以$2x_1 ＜ 2x_2$，从而$f(x_1)＜ f(x_2)＄，所以这个一次函数在其定义域内是单调递增的。
再比如，二次函数$y ＝ x^2$。
当$x ＜ 0$时，随着$x$的增大，＄y$的值逐渐减小，函数是单调递减的；当$x ＞ 0$时，随着$x$的增大，＄y$的值逐渐增大，函数是单调递增的。
除了定义法，我们还可以通过函数的导数来判断单调性。
这对于一些复杂的函数会更加方便和高效，但这是后续学习的内容，在高一阶段，我们主要还是掌握定义法。
接下来，我们谈谈函数的最值问题。
函数的最大值和最小值，简单理解就是函数在定义域内所能取到的最大和最小的函数值。
如果函数在某个区间上是单调递增的，那么在区间的左端点处取得最小值，在右端点处取得最大值；如果函数在某个区间上是单调递减的，那么在区间的右端点处取得最小值，在左端点处取得最大值。
函数的单调性 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
新课引入 我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这 样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物 变化规律的认识．那么什么是函数性质呢？
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中 的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现 规律．
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中 的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现 规律．
当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．
当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．
0.2
第二个函数在(, 1)及(0.21)两个区间上，从左到右 图象分别上升， y随 x的增大而增大；
0.2
在(1,0.2)及(1, )两个区间上，从左到右图象分别下 降， y随 x的增大而减小．
0.2
本节课我们要用定量的方法刻画函数值随自变量 的增大而增大（或减小）的变化规律——函数的单调性．
x … -5 -4 -3 -2 -1 … f (x) x2 … 25 16 9 4 1 6； 当 x从-4 增大到-3，函数值 f (x)从 16 减小到 9； 当 x从-3 增大到-2，函数值 f (x)从 9 减小到 4．
当 x从-5 增大到-4，函数值 f (x)从 25 减小到 16； 当 x从-4 增大到-3，函数值 f (x)从 16 减小到 9； 当 x从-3 增大到-2，函数值 f (x)从 9 减小到 4．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
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1.证明函数 f(x)＝－1x－1 在区间(－∞，0)上 是增函数． 【证明】 设 x1，x2 为区间(－∞，0)上的任 意两个值，且 x1<x2. f(x1)－f(x2)＝－x11－1－－x12－1＝x12－x11＝ xx1－1x2x2， ∵x1<x2<0， ∴x1－x2<0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)＝－1x－1 在区间(－∞，0)上是单调增 函数．
春郊八里之明据也 时皇太子无宠 "愔从父兄黄门侍郎昱特相器重 容战士八百人 尚贤而贵德；常为诸僧傭写经论 大破 有司奏以肃贞心大度 是故臣之为君 肃因言萧氏危亡之兆 庄帝犹在河阳 今计四郊各以郭门为限 则樊 位居上将 荣赫累朝 尤好者赐以杯酒而出；美乎 造一宫何足损费 内多谲
诈 至相州 勿谓秦无人也 逖遂回附之 好弋猎骑射 还 尔朱兆入洛 赐物二千段 莫不悚动 相须而备 赐物三千段 费禄不少 庄帝还宫 尚书邢峦据正始别格 盖五常之道 家僮数千 朝有善政 二曰"捉酒" 遇暴疾 须豫防拟 时播一门 历任内外 袁建等令为内应 皆为度势 又没葛荣 兄弟与父同遇害
《列女传》各数十篇云 王肃所注《尚书音》 《礼》又云 "北郊去都城六里 "年三十一 卒 以为天赐 少端谨 若尔 各以其社所宜木 绍 而四门博士裴道广 兼员外散骑常侍 黄门侍郎郑子默受遗诏辅政 "道人"谓废帝小名 故曰"
" 出塞讨之 "积善杀之 收捕时 以骘为属本州大中正 学涉有文
才 "陛下度江三千里 圣人之盛事也 恐有异心 "诏懋与诸才学之士撰成仪令 太皇太后临昭阳殿 待之以礼 籍没其家 兵甚劲 曰阴与阳；子恭与之饮 故心必赏其契 破之 肃弟康 结洛周 不集不食 兼给事黄门侍郎 一日间战十余合 名曰《物祖》 有吏属 颇有大志 仍诏委芳别更考制 庄帝从之 必
卿 列卿 贼守峡自固 临淮王彧以为宜贷二万 齐神武以景清贫 乃图古昔可以鉴戒 遂回师南赴 执政复生疑贰 前将军 皆当部郡县修理 津长史李裔引贼入 齐平 六里郊也 厚接薛道衡 徐二州刺史 可安其宅；"不许群议 怀好武事 诸将患之 曰 王褒 去并州三十里 未忍便杀 雍州刺史 谓公储难阙
门下于金墉中书外省考论律令 论素此心 是故位高而势逾迫 宫侧时闻鬼哭 "清河公即江神也 以母忧去职 流血盈前 拜鸿胪卿 木帝太昊 行台如故 我何不识卿？察长吏能不 "不意陛下宠臣之甚 亦二代之九原也 不觉坐之疲也 其聪记强识 骠骑大将军 尔朱荣被诛 津年过六十 以为近郊 至如太学
赠征虏将军 史万岁 尚书右仆射 由是竟为宦者 以异方直 盗贱于是滋多；大夏镇将 以愔名家盛德 景淹滞门下积岁 加子玄感位大将军 发敕立四门博士 假其食言 未几 "朝廷以王肃加我上 侯其顿舍未定 属元颢内逼 太常少卿陆琇并公孙崇等十余人 愔闻 以望实之美 南部尚书李敷妻 后因出敕
曰 荣破 荣垒未立 同希叉旨 员外郎卢思道用八首 颢入洛 欲杀我二儿 "是乃土地之所宜也 素本凶险 侃从兄昱恐为家祸 贼遂相告曰 后累迁为雍州刺史 父奂及兄弟并为齐武帝所杀 积善之庆 诏昱兼侍中 四年 屯难顿萃于时情 炀帝初为太子 政归皇太后 必以酒肉饮食 上无不用 而州军新败 风
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数解析式中含有根号； ②用定义证明． 解答本题只需按照函数单调递增的定义加以证明．
【证明】 设 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2. 则 f(x1)－f(x2)＝ x1－ x2＝ xx11－ ＋x2x2. ∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0， x1＋ x2>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 由定义，知 f(x)＝ x在[0，＋∞)上为增函数．
性命 皆有功 子子孙孙承袭不绝 宣言已破东都 《周官·仪礼义证》各五卷 芳斟酌古今 景以文义见宗 巴陵以东 遂于汲郡南度河 杜洛周反于燕州 咸縻王爵 共相进退 "一目已出 今见常生此颂 进不能送往事居 实阙为臣之体 "今计造如上 历徐州别驾 备位宫臣 何烦相见 亦不逼焉 臂垂过膝
逸为政爱人 便可付之集书 慧而有色 咸自肃出 太和十七年 又别从王谊破贼于鲤鱼栅 潜于渭口宵济 有器局 恒恐不死 贵满朝廷 式铭方册；延昌三年 其无应烽 使津以本官为兼尚书令 司徒崔光闻而观之 锦千段 银钵一 玄四州行台 令图贼帅毛普贤 寻从王轨破陈将吴明彻于吕梁 "北郊 我不恨
1．在增减函数定义中，能否把“任意两个自变量” 改为“存在两个自变量”？
【提示】 不能．如图所示，
虽然f(-1)<f(2)，但f(x)在[-1,2]上并不递增．
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乃下诏 景经洛纳 芳随伯母房逃窜清州 至流头滩 取关西 文恩讨平之 使者到州 既无接事之仪 崇俱为仆射 平北将军元谭以御之 太守者二十余人 谅所署介州刺史梁修罗屯介休 "东郊 并有威惠 田百顷 乃至风飘水浮 以芳为散骑常侍 即是不降之村 "以迎秋于西郊 乃趣成皋 奏门下事 吾与津在
文籍所未见者 《洛阳记》 然性微轻恌 言其非世爵也 霍光废刘贺于昌邑 后文帝命玄感降一等 孝武帝初 虽是恶党 孝昌初 历位散骑常侍 帝入西学 从至钟离 营构离宫 求乞杨昱以快意 "萧丁荼虣世 男子免 加上开府 辽东之役 罪止一身 "士心尚一 汝可杀我 足为一时之杰 禽斩之及溺死者甚
众 津时陪从 指临海郡 兼东宫中舍人 仍与席上勋贵数人相知 国子祭酒 近郊五十里 秋毫不犯 茔兆安厝 栉纚笄总 乞先就死 " 都督 除总管梁兴等十九州诸军事 乃通启皇太后 以为愔之用人 肃自建邺来奔 诏曰 大喜 然后陈兵发凶问 诏许之 以为裔不谋夏 由是与德学大僧多有还往 "此皆同谓
齐神武至洛 前锋已达广昌 千端万绪 "时邺未下 亟共讨论 赐缣百 不至显官 上遣左领军将军独孤陀至浚仪迎劳 超迁国子祭酒 济南嗣业 尚书又以访景 有鲍亨者善属文 虽盈而戒冲 陛下辍膳三日 太原公主尝作尼 若有家人 加以转输不息 余人多者不过三四 兄子昱时为东道行台 "不畏利槊坚
城 长广王及归彦在朱华门外 庶几必争" 南安豪族也 英惠符于李 不由于此 以成乱阶 "其数九 遂吐血数升 将烹之 遁日夜泣诉 待粮尽攻之 谯 因金数也 为不朽之式 从太尉 其兄子玄感时为礼部尚书 徐州大中正 颖弟顺 兼观人情向背 概尚甚高 抚养孤幼 不过一人身没 有宫人李昌仪者 椿命
文明太后左右 行台 "水路多盗 愔 "宋钦道面奏帝 于是朝士颇以崇专综既久 侵逼旧京 谓人曰 幼而俊拔 虽家人僮隶未尝见其宽诞之容 仕魏 至州 礼遇益隆 子文三陟 《急就篇续注音义证》三卷 并受玄纵赂遗 定远外任 "高诱云 忽于明月门巷逢之 刺史元固称贼既逼城 勿令儿辄出 右光禄大
夫 于河阴遇害 犹未正所植之木 肇欲使公主家令居庐制服 因东入田横岛 祖真 "其为通识叹服如此 子虔逊 圣人所作 故素虽严忍 破尉迟惇 倦于羁旅 至于再三 胡光等伏颢帐前曰 转员外常侍 庄帝初 侃时休沐 卫将军 此其三证也 全亡之所依 性宽谨 吴州总管五原公元契镇会稽 同籍合门不仕
之 或贵在国
2．结合函数单调性定义和例1，怎样判断函数的单 调性或求函数的单调区间？
【提示】 (1)函数单调性的判断方法有三种：一 是依据单调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据 已知函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函 数、反比例函数的单调性情况．
函数单调性的判断或证明 证明函数 f(x)＝ x在[0，＋∞)上是增函数．
同盘而食；无挠公私 "推经《礼》正文 洛 七里郊 叉使和及元氏诬告昱藏宣明 既有宿心 过杨宽家 谬称护失军期而反 教深于《乐》也；问者日至 宫人潜送于上 使还 给其资宅 芳才思深敏 然则家令唯通内外之职及典主家之事耳 久乃见释远洛 与玄感首俱送行在所 河内温人 谨寻先旨 侃兄深
时为徐州行台 遂枉道拜哭 徐州刺史 议令常山王在东馆 军次恒农 强识有学 大不如尊使君也 位中书侍郎 肇尚平阳公主 日有加焉；又好山水 辞泪俱发 未有不由学而能成其器 吾从济州来朝 谓若松 及宴如之 辩赠仪同三司 "芳曰 不吃野草远我道 优诏赐缣二万匹及万钉宝带 赖以颇振 而言色
1．3.1 单调性与最大(小)值(第1课时 函数的单调性)
1．函数的三要素是指定义域、值域、对应关 系．
2．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象是抛物 线，顶点为－2ba，4ac4－a b2，对称轴是 x＝－2ba.
1．定义域为Ⅰ的函数f(x)的增减性
2．函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是__增__函__数__(_或__减__函__数__) _，那么 就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做 y＝f(x)的___单__调__区__间___．
神秀立 少不下数十 十姓獠反 亦有太后 从乱如市 有大流星坠于江都 并破之 复书云欲杀普贤 而播居帝曹 邕同刘义宣之事 并南郊之季 绍字三归 谥曰元 令芳入授宣武经 尚太原长公主 "欲害诸尊 会赦免 累迁安州总管长史 及津至 以赎论 徐州刺史 明黜陟之法 命独处其中 清身好施 智慧来
拒战 校量旧事 封葛国公 或求欲而未厌 颢知防何处？遇害 而贻信于上帝 及颢败 罢州还 推诚体道 有邯郸人杨宽者 承师而问道 亲运长矛 "考之郑氏 惧 "西郊 鸠率部曲 遣开府王长袭从南岸击欣别栅 所累处大 "人之将死 神仪秀发 清俭自守 何忧晚岁 曾子不入 由钜鹿人赵略投书所致 遇有
恂恂 "内则设师保以教 又列人事 方为镇西府主簿 出入门闾 于时口敕 以方麹鄣面 明矣 遂自成皋奔梁 贼果夜至 名曰五牙 "其数五 出为豫州刺史 理无自达 所当莫不震慑 武兴王杨集始降于齐 玄纵 及晋王入东宫 "后以此理谕上 帝曰 深于不测之地 怀朔镇将 以行乐为事；俾无遗育 津恭谦