上海市闸北区2010届高三数学(文)学科模拟考试卷2010.4

合集下载

数学_2010年上海市高考数学模拟试卷(文科)_(含答案)

2010年上海市高考数学模拟试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 函数f(x)=x 3+1的反函数f −1(x)=________．2. 已知集合A ={x|x ≤1}，B ={x|x ≥a}，且A ∪B =R ，则实数a 的取值范围是________．3. 若行列式|45x 1x 3789|中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________．4. 某算法的程序框如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________．5. 如图，若正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是________（结果用反三角函数值表示）． 6. 若球O 1、O 2表面积之比S 1S 2=9，则它们的半径之比R 1R 2=________． 7. 已知实数x 、y 满足{y ≤2x ，y ≥−2x ，x ≤3，则目标函数z =x −2y 的最小值是________．8. 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是________．9. 过点A(1, 0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2=2x 交于M 、N 两点，则|MN|=________．10. 函数y =2cos 2x +sin2x 的最小值是________．11. 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名有________种选法．12. 已知F 1、F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→．若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．13. 已知函数f(x)＝sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈(−π2,π2)，且公差d≠0，若f(a1)+f(a2)+...f(a27)＝0，则当k＝________时，f(a k)＝0．14. 某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(−2, 2)，(3, 1)，(3, 4)，(−2, 3)，(4, 5)，(6, 6)为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15. 已知直线l1：(k−3)x+(5−k)y+1=0与l2:2(k−3)x−2y+3=0垂直，则k的值是（）A 1或3B 1或5C 1或4D 1或216. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）A B C D17. 点P(4, −2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A (x−2)2+(y+1)2=1B (x−2)2+(y+1)2=4C (x+4)2+(y−2)2=1 D (x+2)2+(y−1)2=118. 有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A 甲地：总体均值为3，中位数为4B 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C 丙地：中位数为2，众数为3D 丁地：总体均值为2，总体方差为3三、解答题（共5小题，满分78分）19. 已知复数z=a+bi(a、b∈R+)（I是虚数单位）是方程x2−4x+5=0的根．复数w=u+3i(u∈R)满足|w−z|<2√5，求u的取值范围．20. 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m→=(a,b)，n→=(sinB,sinA)，p→=(b−2,a−2)．（1）若m→ // n→，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若m→⊥p→，边长c＝2，角C=π3，求△ABC的面积．21. 有时我们可用函数f(x)={0.1+15ln a a−x ,x ≤6,x−4.4x−4,x >6，描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x +1)−f(x)总是上升的还是下降的？并说明理由；(2)根据经验，学科甲，乙，丙对应的a 的取值区间分别为(115, 121]，(121, 127]，(127, 133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(参考数据：e 0.04≈1.04，e 0.05≈1.05，e 0.06≈1.06)22. 已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为F(√3，0)，一条渐近线m:x +√2y =0，设过点A(−3√2, 0)的直线l 的方向向量e =(1, k)，（1）求双曲线C 的方程；（2）若过原点的直线a // l ，且a 与l 的距离为√6，求k 的值；（3）证明：当k >√22时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为√6． 23. 已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列（1）若a n =3n +1，是否存在m ，n ∈N ∗，有a m +a m+1=a k ？请说明理由；（2）若b n =aq n (a 、q 为常数，且aq ≠0)对任意m 存在k ，有b m ⋅b m+1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件；（3）若a n =2n +1，b n =3n 试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和式数列中{a n }的一项，请证明．2010年上海市高考数学模拟试卷（文科）答案1. √x −132. a ≤13. x >83且x ≠44. y ={x −2,x >12x ，x ≤15. arctan √56. 37. −98. 83π 9. 2√610. 1−√211. 2512. 313. 1414. (3, 3)15. C16. B17. A18. B19. −2<u<6．20. ∵ m // n∴ asinA＝bsinB即a⋅a2R =b⋅b2R．其中R为△ABC外接圆半径．∴ a＝b∴ △ABC为等腰三角形．由题意，m⋅p＝0∴ a(b−2)+b(a−2)＝0∴ a+b＝ab由余弦定理4＝a2+b2−2ab⋅cosπ3∴ 4＝a2+b2−ab＝(a+b)2−3ab ∴ (ab)2−3ab−4＝0∴ ab＝4或ab＝−1（舍去）∴ S△ABC=12absinC=12×4×sinπ3=√321. 解：(1)当x≥7时，掌握程度的增长量f(x+1)−f(x)总是下降的，理由如下：当x≥7时，f(x+1)−f(x)=0.4(x−3)(x−4)，而当x≥7时，函数y=(x−3)(x−4)单调递增.又(x−3)(x−4)>0，故函数f(x+1)−f(x)单调递减，当x≥7时，掌握程度的增长量f(x+1)−f(x)总是下降.(2)由题意可知，0.1+15ln aa−6=0.85，整理得aa−6=e0.05，则a=e 0.05e0.05−1⋅6=20.50×6=123，123∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科.22. （1）解：由题意知，c=√3，ba =√22，再由c2=a2+b2，a=√2，b=1，∴ 双曲线方程为：x 22−y2=1．（2）解：直线l的方程y−0=k(x+3√2)，即kx−y+3√2k=0．∵ 过原点的直线a // l，∴ 直线a方程为：kx−y=0，两平行线间的距离√2k|√1+k2=√6，∴ k=±√22．（3）证明：设过原点且平行于l 的直线b:kx −y =0，则直线l 与b 的距离d =√2|k|√1+k 2，当k >√22时，d >√6．又双曲线C 的渐近线为x ±√2y =0，∴ 双曲线C 的右支在直线b 的右下方，∴ 双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于√6，故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为√6．23. 解：（1）由a m +a m+1=a k ，得6m +6+3k +1，整理后，可得k −2m =43，∵ m 、k ∈N ， ∴ k −2m 为整数∴ 不存在n 、k ∈N ∗，使等式成立．（2）当m =1时，则b 1⋅b 2=b k ，∴ a 2⋅q 3=aq k ∴ a =q k−3，即a =q c ，其中c 是大于等于−2的整数反之当a =q c 时，其中c 是大于等于−2的整数，则b n =q n+c ，显然b m ⋅b m+1=q m+c ⋅q m+1+c =q 2m+1+2c =b k ，其中k =2m +1+c∴ a 、q 满足的充要条件是a =q c ，其中c 是大于等于−2的整数（3）设b m+1+b m+2+...+b m+p =a k当p 为偶数时，(∗)式左边为偶数，右边为奇数，当p 为偶数时，(∗)式不成立．由(∗)式得3m+1(1−3p )1−3=2k +1，整理得3m+1(3p −1)=4k +2当p =1时，符合题意．当p ≥3，p 为奇数时，3p −1=(1+2)p −1=C p 0+C p 1⋅21+C p 2⋅22++C p p ⋅2p −1=C p 1⋅21+C p 2⋅22++C p p ⋅2p=2(C p 1+C p 2⋅2++C p p ⋅2p−1)=2[2(C p 2+C p 2⋅22++C p p ⋅2p−2)+p]∴ 由3m+1(3p −1)=4k +2，得3m+1[2(C p 2+C p 2⋅22++C p p ⋅2p−2)+p]=2k +1∴ 当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立．∴ 当p 为奇数时，命题都成立．。

2010年高考摸底考试数学试卷及答案

高三开学摸底考试数学试题（文理合卷满分150分，时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合{|A x y ==，2{|0}6xB x x -=>-，则A B ＝（）A ． {|46}x x <≠且 2．（文）若函数())22cos(2sin x x x g -=π的最小正周期是（）A ．4πB ．2πC ．3πD ．2π（理）如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间()t s 与小球相对平衡位置（即静止的位置）的高度()h cm 之间的函数关系式是2sin(4)4h t ππ=+（[0,)t ∈+∞则小球最高点与最低点的距离、每秒能往复振动的次数分别为（）A ．2 ，2B ．4 ，2C ．4 ，2π D ．2 ，2π3．已知球面上有三点A 、B 、C ， AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，且球心O 到平面ABC 的距离为12，则球的半径为（） A ．13cm B ．12cm C ．24cm D ．26cm 4．某展柜用同样的长方体型商品堆成如下图的若干堆展品：现用()f n 表示第n 堆的商品总数，则(1)f n -＝（） A ．2nB ．221n n -+ C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 5．（文）某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取（） A ．65人，150人，65人 B ．30人，150人，100人 C ．93人，94人，93人 D ．80人，120人，80人……第1第2第3……（理）若函数()1xf x x =+（1x ≠-）的反函数为1()y f x -=，则1(1)f i --＝（） A ．1i --B ．1i -+C ．1122i -+ D ． 1122i +6．若m 、n 、是空间两条不同直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，对于下列命题：①. m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β ②. α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β③. m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α④.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m其中正确的命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．47．集合M ＝{()|1}x y x ≥，，P ＝{()|10}x y x y -+≤，，S ＝{()|220}x y x y --≤，，若T=M P S ，点(,)E x y T ∈，则22u x y =+的最小值是（）A ．1B ．2C ． 25D ．58．（文）设()54325101051f x x x x x x =-+-++，则()f x 的反函数()1f x -为（）（）A ．()11fx -=+B ．()11f x -=+C ．()11f x -=-D ．()11fx -= （理）已知数列{}n a 满足11n n n a a a +--=，且121a a ==，而该数列的第5项5a 与三角式5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数相等，则cos θ＝（）A B C ． 22±D ．129．二次函数212y x =的图像是抛物线，其焦点的坐标是（） A ．(0,1) B ．1(,0)2 C ．1(0,)2 D ．1(0,)810．已知||2||a b = ，命题p ：关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 没有实数根，命题q ：,[0,]4a b π<>∈ ，则命题p 是命题q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．某师范大学的数学教育专业有6名青年志愿者，为响应团中央发起的中国青年志愿者扶贫接力计划，志愿到某市的A 县、B 县、C 县三个县任教五年，则一县4名，另两县每县1名的概率为（）A ．2081B ．1081C ．5243 D ．1024312．对任意正整数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=⋅，且1(1)2f =，则(1)f +(2)f ＋(2008)f +…＝（）A ．2008112-B ．2007112-C ．2009112-D ．2008112-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.13．某高校在2008年9月初共有m 名在校学生，其中有n 名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例_____（选填“变大”、“ 变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为_______. 14．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为)0F，直线1y x =-与其相交于M ,N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是_______. 15．（文）有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少?”（注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍），由此诗知该君第二日读的字数为_______．（理）已知点集}|),{(y y x L ⋅==，其中(2,2)m x b =- ，(1,1)n b =+，点(,)n n n P a b L ∈，1{(,)|1}P L x y x == ，且11n n a a +-=，则数列{}n b 的通项公式为_______.16．对于下列四个命题①.若向量a ，b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b的夹角为钝角；②.已知集合{}A =正四棱柱，B {}=长方体，则B B A = ；③.在直角坐标平面内，点(,3)M a a -与(cos ,sin )N αα在直线02=-+y x 的异侧；④.对22⨯数表定义平方运算如下：2a b a b a b c d c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝22a ab ac cd bc ⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭bc bd d ，则21011⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝1021⎛⎫⎪-⎝⎭其中真命题是_ _（将你认为的正确命题的序号都填上）．三、解答题：（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向.1)(),sin ,sin 2(),cos 32,(sin -⋅===x f x x x x 设（Ⅰ）若)(],2,0[x f x 求π∈的值域；（Ⅱ）若函数()(0),y f x x ααα==>的图象关于直线对称求的最小值.科18．（本小题满分12分）（文）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止.（Ⅰ）求某乘客在第i 层下电梯的概率)5,4,3,2(=i ；（Ⅱ）求电梯停下的次数不超过3次的概率；（理）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. （I ）求某乘客在第i 层下电梯的概率)5,4,3,2(=i ；（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；（Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望. 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，若(4,)a x y =+ ，(4,)b x y =-，且10a b += .（Ⅰ）求动点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点N （2，1），是否存在一条直线l 与轨迹C 相交于A 、B 两点，且以点N为线段AB 的中点？若存在，求出直线l 的方程；不存在，请说明理由. 20．（本小题满分12分）如图，在空间中的直角三角形ABC 与直角梯形EFGD 中，平面ABC//平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，AC ∥DG .且AB=AD ＝DE=DG=2,AC=EF=1. （Ⅰ）求证：四点B 、C 、F 、G 共面；（Ⅱ）求平面ADGC 与平面BCGF 所组成的二面角余弦值；（Ⅲ）求多面体ABC-DEFG 的体积.A BC D EG21．（本小题满分12分）已知函数),,()(23R c b a c bx ax x x f ∈++-=．（Ⅰ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，试求b a ,的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，当]6,2[-∈x 时，)(x f ＜2｜c ｜恒成立，求c 的取值范围． 22．（本小题满分14分）设函数()y f x =的定义域与值域均为R ，其反函数为1()y f x -=，且对任意实数x 都有125()()33f x f x x -+=.现有数列11a =，253a =，1()n n a f a +=（*n N ∈）. （Ⅰ）令1n n nb a a +=-（*n N ∈），求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）（文）求满足121n m a m ->+对所有n N *∈恒成立的m 的取值范围.（理）令113n n c a =-，n S 为数列{}n nc 的前n 项和，求证不等式2233n S n n ≤-+.参考答案1．B A ＝{|x y =＝2{|log 20}x x -≥＝{4}x ≥,2{|0}6xB x x -=>-＝{|26}x x <<, ∴{|46}A B x x =≤< .评析集合及其运算是高中数学的入门基础，也是历届高考的热点，几乎年年必考.求解集合类问题注意两看技巧：一看代表元素，二看属性.本题{|A x y ==的代表元素是x ，属性是y =所以集合A 的本质是满足函数式y =x 的范围，即该函数的定义域；类似集合B 的本质是不等式206xx ->-的解集. 2．（文）B ()x x x x x g 4cos 21212sin )22cos(2sin 2-==-=π，∴函数的周期为2π=T评析本题属于基础题，试题是由教材高一（下）复习参考题改编而来；重视教材的示范作用是我们备战高考的一个不可或缺的环节.（理）B ∵在三角函数式2sin(4)4h t ππ=+中，振幅2A =，周期2142T ππ==, ∴小球最高点与最低点的距离24d A ==，每秒能往复振动的次数12f T==. 评析本题属于基础题，试题是由教材高一（下）复习参考题的第33题改编而来；重视教材的示范作用是我们备战高考的一个不可或缺的环节.3．A ∵62＋82＝102 , ∴△ABC 是直角三角形, ∵球心O 在平面ABC 内的射影M 是△ABC 所在截面圆（外接圆）的圆心. ∴M 是直角三角形斜边AC 上的中点，且OM ⊥AC, 在Rt △OAM 中，球半径为13R =.评析试题是由教材高二（下）第79页例3“反演”而来，其中找准点M 在平面ABC 的射影是关键.重视教材的示范作用是我们备战高考的一个不可或缺的环节. 4．B 第n 堆的堆放规律：从上向下，依次是1，3，5，7，……，21n -,∴[1(21)]()2n n f n ⋅+-=＝2n ，即2(1)(1)f n n -=-＝221n n -+.评析本题是由广东高考题对比演化而来，主要考查等差数列求和、函数符号等知识以及由已知特殊项归纳、探索一般规律的能力. 5．（文）A 抓住分层抽样按比例抽取的特点有5600130030001300280x y z===. ∴65x z ==，150y =，即专科生、本科生与研究生应分别抽取65，150，65. 评析简单随机抽样与分层抽样方法是文科数学高考的一个常考点，求解的关键是明确各类抽样的基本特点. （理）A 由函数1x y x =+（1x ≠-）解得1y x y=-（1y ≠）, ∴函数()1x f x x =+ （1x ≠-）的反函数为1()1xfx x-=-（1x ≠）, ∴1(1)f i --＝11(1)ii ---＝1i i -＝1i --.评析本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬. 6．A 命题①错误，在正方体AC 1中，令m ＝AB ，n ＝BC ，α＝面A 1B 1C 1D 1 ,β＝面ABCD ，显然满足m ⊥n ，α∥β，m ∥α，但n ⊆β；命题②错误，在正方体AC 1中，令γ＝面ABCD ，α＝面AA 1B 1B ，β＝面AA 1C 1C ，显然满足α⊥γ，β⊥γ，但不满足α⊥β；命题③错误，在正方体AC 1中，令m ＝BB 1，n ＝BC ，α＝面ABCD ，显然满足m ⊥α，m ⊥n ，但n ⊆α；命题④错误，在正方体AC 1中，令m ＝AB 1，n ＝CD 1，α＝面ABCD ，显然m 、n 与α所成的角均为450，n ∥m.评析正方体蕴含大量的线面关系、空间几何量等，是立体几何的一个聚宝盆，特别是求解“立体几何的线面关系的判定”型问题时，常常在正方体中寻找反例.7．D 由条件T=M P S 可转化为线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，作出可行域如右图阴影部分所示.而22u x y =+ 表示的几何意义为阴影部分的点到坐标原点的距离，显然右图中的点A 到原点的距离最小. ∴110x x y =⎧⎨-+=⎩，即A （1，2）， ∴22min min ()u x y =+＝5.评析本题是以集合语言包装的非线性的规划问题，求解这类问题的关键在于准确作出平面区域，明确所求式子的几何意义.一般地说，所求式子属于分式型注意联系斜率，而含有平方和或可化为平方和时注意联系距离求解.8．（文） A ．逆用二项式定理，得()()512f x x =-+，从而有()5121x y ,x -=--=∴1x =()11fx -=评析二项式定理的运用十分广泛，既可以正向运用，将一个二项式展开成多项式的形式，从而解决有关整除性问题、近似计算问题、不等式证明问题等等，又可以逆向运用，将一个多项式合并成一个二项式的形式，从而实现化简的目的．重视公式和定理的逆向运用，有助于培养逆向思维的能力，这一点，应该予以足够的重视．（理）C ∵11n n n a a a +--=，且121a a ==, ∴3212a a a =+=，4323a a a =+=，5435a a a =+=,又∵5)1cos (+θx 的通项为R R x C -⋅55)cos (θ , 令52R -=，则3R =,∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是325cos C θ⋅, 据题意有325cos 5C θ⋅=，即21cos 2θ=, ∴22cos ±=θ. 评析 “由21cos 2θ=得出cos θ=”，这类错误尽管很可笑，却来自于同学们，而且不在少数，在高三复习注意改正这类低级错误，减少不必要的损失.9．C 将抛物线212y x =化成标准形式22x y =，所以焦点F 在y 轴上，其坐标为F 1(0,)2.评析本题易犯两个错误：①抛物线212y x =未整理成标准形式；②抛物线22x py=的焦点是(0,)2P ，而不是(0,)P ，也不是(,0)2P.这两点是易错点，应特别小心.10．B ∵关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 没有实根，||2||a b =∴△＝24b ac -＝2||4a a b -⋅ ＝2||4||||cos ,a a b a b -⋅⋅<>＝22||2||cos ,0a a a b -<><.∴1cos ,2a b <>> 又∵0cos ,a b π≤<>≤ ∴0cos ,3a b π≤<><∴命题q ：,[0,][0,)43a b ππ<>∈⊆ ∴命题p 是命题q 的必要但不充分条件.评析本题的实数方程系数是向量式，让部分同学望而却步，但实际上比较基础，主要考查向量夹角与简易逻辑等知识点；沉着是求解这类面目比较新颖的题目的关键. 11．B 大致可分为两个过程：①分成三组，其中一组4名，另两组每组1名，属于局部均匀分组问题，有4116212215C C C A =种不同的分法；②再分到A 、B 、C 三个县，有33A 种不同的分法.由分步计数原理知满足“一县4名，另两县每县1名”有4113621322A 90C C C A ⨯=种不同的分法.而总数共有63729=种不同的分法，所以满足“一县4名，另两县每县1名”的概率为90729m p n ==＝1081. 评析本题的概率计算是以分组分配问题为基础的，而分组分配问题是中学数学的一个难点，也是近年高考的难点.突破关键是分清“均匀分组问题”、“ 不均匀分组问题”、“ 不均匀定向分配问题”、“不均匀不定向分配问题”及“均匀分配问题”五个基本类型；其中“不均匀不定向分配问题型”和“均匀分组问题型”的计算要特别小心. 12．A ∵任意正整数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=⋅，∴令x n =，1y =，则(1)()(1)f n f n f +=⋅，即(1)1(1)()2f n f f n +==.∴()f n 是以1(1)2f =为首项，公比12q =的等比数列， ∴(1)(2)(2008)f f f +++…＝2008200811[1()]1221()1212-=--.评析本题以抽象函数为载体，考查无穷等比递减数列的各项和的求法（文科：数列求和问题），对数学逻辑思维能力的要求比较高.求解的关键是利用已知灵活赋值，转化为递推式(1)1()2f n f n +=求解.13．增大 “若0m n >>，0b >，则n n bm m b+<+”.补录前补录后利用表格分析评析本题结合今年“高校补录”这一热点，将教材高二（上）改编的6.3节例2改编、引申而来，与题目“已知b 克糖水中含有a 克糖()0>>a b ，再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解）糖水变甜了，试根据这一事实提炼一个不等式_________”类似，难度不大. 14．22125x y -= 设所求双曲线的方程是()2222100x y a ,b a b -=>>，将其与直线1y x =-联立，消去y 并整理得：()222222220b a x a x a a b -+--=．依题意有：()2222232a b a --=-，整理得：2252a b =．又227a b +=，∴2225a ,b ==．得所求双曲线的方程是22125x y -=．评析充分运用数学选择题是单项选择的特征，即有且仅有一个正确选择支这一信息，或从题干出发通过分析、推理、计算、判断，逐一排除错误选择支，或从所给选择支提供的信息入手，逐一检验是否与题干相容，若不相容则可排除，排除了 3 个选项后，剩下的一个即为正确的选项．这样一些解选择题的策略与技巧，要注意掌握并能够灵活地加以运用才好．15．（文）9910 设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为3(12)12a --=7a =34685，解得a =4955，则2a =9910，即该君第二日读的字数为9910．评析本题以一首诗词为背景，考查等比数列及其求和公式．本题与2004年重庆的高考卷《送瘟神》相似，较好地体现了人文精神及人文价值的历史体现形式，其知识的表达方式对平时教学或学习有很多参考价值．（理） 2n b n =+ ∵}|),{(n m y y x L ⋅==，(2,2)m x b =- ，(1,1)n b =+，∴y ＝m n ⋅ ＝(2,2)(1,1)x b b -⋅+＝22(1)x b b -++＝2x +，新生人数 n n b + 总体人数 mm b +新生比例 n mn bm b++ 大小关系 n n b m m b +<+ 限定条件0m n >>，0b >∵1{(,)|1}P L x y x == ，∴1(0,2)P ，11a =，13b =，又∵11n n a a +-= ， ∴n a n = ， ∵点(,)n n n P a b L ∈， ∴22n n b a n =+=+.评析本题知识覆盖面广，但题目不难，主要考查数学的抽象思维能力和逻辑分析能力；求解本题的基本策略是逐步具体化条件.16．答案：③ ④ 命题①错误，当a 与b 共线时，也有0a b ⋅<；命题②错误，正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形；所以B A A = ；命题③正确，因3|(3)|32αααα+-≥--=>，cos sin )24πααα+=+<，所以M与N 在直线02=-+y x 的异侧；命题④正确，21011⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝10101111⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭＝110(1)1001111(1)1011⨯+⨯-⨯+⨯⎛⎫⎪-⨯+⨯--⨯+⨯⎝⎭＝1021⎛⎫⎪-⎝⎭点拨：本题属于不定选项型填空题，比较难；这类题目频频出现在近年高考试卷中，得分率比较低，多选、少选、错选都是零分，能很好克服单项选择题的“瞎猜”的缺点，是单项选择题有益补充.求解这类题目必须逐项判断正确，这需要较好上午数学基本功. 17．解：（1）1cos sin 32sin 21)(2-+=-⋅=x x x x f …………2分分分分8]2,1[]1,21[)62sin(6]65,6[62]2,0[4)62sin(22cos 2sin 3 -∈⇒-∈-⇒-∈-⇒∈-=-=y x x x x x x ππππππ（2）由题设，).(32,262Z k k k ∈+=+=-ππαπππα即 …………10分 .3,0,0min παα==∴>时当k …………12分评析平面向量是现行教材中的新增内容，近年来的高考对向量内容的考查逐步加强、渐趋完善，其中，向量与三角结合，既是一个热点，也是一个亮点，以平面向量为载体，以三角函数为背景，综合考查三角恒等变换、三角函数的图像和性质以及平面向量的有关知识．求解本题，将|m n|+表示为θ的函数关系式是关键，三角公式的灵活运用是基础．在解题的过程中，要注意角的范围的限制作用，以防止漏解或增解，确保解题准确无误．18．（文）解：（Ⅰ）某乘客在第i 层下电梯的概率为41………6分（Ⅱ）电梯停下次数为4的概率32344441==A P ………9分故电梯停下的次数不超过3次的概率3229323111=-=-=P P ………12分（理）解：（Ⅰ）41)(=i F ； ………3分（Ⅱ）256175)411(14=--=P ………7分（Ⅲ）ξ可取1、2、3、4四种值6414)1(414===C P ξ； 64214)22()2(4424=-==C P ξ；64364)3(4332434===A C C P ξ；6464)4(444===A P ξ 故ξ的分别列如下表：ξ1 2 3 4P641 6421 6436 646 ……………………11分 ∴6417564646436364212641=⨯+⨯+⨯+=ξE ……………………12分评析近年全国各套试卷中，都以解答题形列态考查排组合与概率统计问题，这类问题是近年高考的热点，文科数学多以概率计算为主，理科数学以概率、概率分布列为主；大致在解答题前三个位置出现,属中档题的范围.就本题而言，以网络信息安全为背景，考查n 次独立事件恰好k 次发生的概率，对立事件与相互独立事件概率的计算，考查运用数学知识解决实际问题的能力；求解本题的关键是识别概率类型，从容求解.19．（1）∵(4,)a x y =+ ，(4,)b x y =-，且10a b +=10，即动点),(y x M 到两定点F 1(4,0)-，F 2(4,0)的距离距离之和为常数10 ……………………3分∵108>， ∴动点),(y x M 的轨迹C 是以F 1(4,0)-，F 2(4,0)为焦点，210a =的椭圆∴221259x y += …………………… 5分（2）假设存在以点N 为线段AB 的中点的直线l ，显然直线l 不可能与x 轴垂直，……6分设A 11(,)x y ，B 22(,)x y （12x x ≠），则∵点A 、B 在椭圆C ：221259x y +=上，∴22111259x y +=，22221259x y += ∴12121212()()()()0259x x x x y y y y +-+-+= ……………………8分又∵点N 是线段AB 的中点，N （2，1）， ∴124x x +=，122y y += ∴12124()2()0259x x y y --+=， ∴12121825AB y y k x x -==-- ……………………10分∴直线l ：181(2)25y x -=--，即1825610x y +-= ……………………11分故存在满足以点N 为线段AB 的中点的直线l ，其方程为1825610x y +-= ……………………12分评析本题是平面向量与圆锥曲线相综合的问题，主要考查平面向量基本运算、椭圆求法以及中点弦问题，考查解析几何“设而不求”的技巧.解析几何板块在历届高考中必有一个解答题，而且在以往高考试卷中多以压轴题形态出现；在近年的一些省市高考卷中，解析几何类题目是以中档题形态出现，在备战高考时应留意解析几何这一新动态. 20．解法一向量法由 AD ⊥面DEFG 和直角梯形EFGD 可知，AD 、DE 、DG 两两垂直，建立如图的坐标系，则A （0，0，2），B （2，0，2），C （0，1，2），E （2，0，0），G （0，2，0），F （2，1，0）（1）(2,1,0)(2,0,2)(0,1,2)BF =-=-(0,2,0)(0,1,2)(0,1,2)CG =-=-∴BF CG =，即四边形BCGF 是平行四边形.故四点B 、C 、F 、G 共面. ……………………4分（2）(0,2,0)(2,1,0)(2,1,0)FG =-=-，设平面BCGF 的法向量为1(,,)n x y z =，则112020n CG y z n FG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2y =，则1(1,2,1)n =，而平面ADGC 的法向量2(1,0,0)n i ==A B C DE GF M N ∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅=故面ADGC 与面BCGF 所组成的二面角余弦值为6……………………8分（3）设DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，则A B C -D E F G V 多面体＝ADM-BEF ABC-MFG V V 三棱柱三棱柱+＝ADM MFG DE S AD S ⨯+⨯△△＝1122122122⨯⨯⨯+⨯⨯⨯＝4. ……………12分解法二（1）设DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF//DE ，且MF ＝DE又∵AB//DE ，且AB ＝DE ∴MF//AB ，且MF ＝AB∴四边形ABMF 是平行四边形，即BF//AM ，且BF ＝AM 又∵M 为DG 的中点，DG=2,AC ＝1，面ABC//面DEFG ∴AC//MG ，且AC ＝MG ，即四边形ACGM 是平行四边形 ∴GC//AM ，且GC ＝AM 故GC//BF ，且GC ＝BF ，即四点B 、C 、F 、G 共面………………4分（2）∵四边形EFGD 是直角梯形，AD ⊥面DEFG ∴DE ⊥DG ，DE ⊥AD ，即DE ⊥面ADGC ，∵MF//DE ，且MF ＝DE ， ∴MF ⊥面ADGC在平面ADGC 中，过M 作MN ⊥GC ，垂足为N ，连接NF ，则显然∠MNF 是所求二面角的平面角.∵在四边形ADGC 中，AD ⊥AC，AD ⊥DG ，AC=DM ＝MG ＝1∴CD CG == ∴cos DGC ∠＝2222GCGD CD GC GD +-⨯⨯∴sin 5DGC ∠=，∴MN ＝sin MG DGC ⋅∠5=在直角三角形MNF 中，MF ＝2，MN =∴tan MNF ∠＝MF MNcos MNF ∠故面ADGC 与面BCGF 所组成的二面角余弦值为6……………………8分（3）ABC-DEFG V 多面体＝ADM-BEF ABC-MFG V V 三棱柱三棱柱+＝ADM MFG DE S AD S ⨯+⨯△△ACDGMN＝1122122122⨯⨯⨯+⨯⨯⨯＝4. ……………………12分评析本题以不规则几何体为载体，考查空间线面关系的判断与证明，空间几何量的计算，准确把握立体几何的最新发展趋势：由正方体、正四棱柱等规则几何体的考查向不规则几何体过渡，但仍坚持向量法与公理化法的“双轨”处理模式，在复习备考时应引起高度注意.21．（I ）∵函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，∴－1，3是方程0232=+-b ax x 的两根，∴213,3,39.13,3a a b b ⎧-+=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩……………………5分（II ）963)(,93)(2'23--=+--=x x x f c x x x x f ，当x 变化时，有下表x（-∞，-1）-1 （-1，3）3 （3，+∞）f ’（x ）+ 0 - 0 + f （x ）↗Maxc+5↘Min c-27↗而(2)2,(6)54,[2,6]f c f c x -=-=+∴∈-时，f （x ）的最大值为c+54． ……10分要使f （x ）<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可．当c ≥0时，c+54<2c ， ∴c>54．当c ＜0时，c+54<－2c ，∴c ＜－18．故实数c 的取值范围是（-∞，－18）∪（54，+∞）． ……………………12分评析：三次函数是近年高考命题的热点之一，这是因为三次函数的导数是二次函数，而二次函数又是中学数学的重点内容．这可以牵扯到二次函数、二次不等式和二次方程． 22．（1）∵1()n n a f a += ， ∴11()n n a f a -+=∵任意实数x 都有125()()33f x f x x -+= ， ∴111125()()33n n n f a f a a -++++= ∵1()n n a f a += ，即11()n n a f a -+= ， ∴12()n n f a a ++=，11()n n f a a -+=∴212533n n n a a a +++=，即2112()3n n n n a a a a +++-=- ∵1n n n b a a +=-（*n N ∈），11a =，253a =∴数列{}n b 是以2152133a a -=-=为首项，以23q =为公比的等比数列故数列{}n b 的通项为2()3nn b =.……………………7分（2）（文）由12()3nn n n b a a +=-=得1n a a -＝11221()()()n n n n a a a a a a ----+-++-＝1222222()()()3333n n --++++ ＝122[1()]3n --……………………10分又∵11a =， ∴1233n n n a -=-（*n N ∈），即数列{}n a 是递增数列，且3n a <（*n N ∈）∴满足121n m a m ->+对所有n N *∈恒成立的参数m 必须满足1321m m -≥+，即4152m -≤≤-.又12m ≠-，故满足121n m a m ->+对所有n N *∈恒成立的参数m 的取值范围为4152m -≤<-.……………………14分（理）由12()3nn n n b a a +=-=得11n a a +-＝1121()()()n n n n a a a a a a +--+-++-＝122222()()()3333nn -++++ ＝22[1()]3n -又∵11a = ∴1233n n n a -=-（*n N ∈），即1112211(3)()3333n nn n n c a -=-=--=……………………8分∴n S ＝12323n C C C nC +++…＝2322222()3()()3333n n +⨯+⨯+⨯………………（1）（1）式左右两边同乘23得 2341222222()2()3()(1)()()333333n n n S n n +=+⨯+⨯+-⨯+⨯……（2）（1）式减去（2）式得231122222()()()()333333n n n S n +=++++-⨯…＝1222[1()]()33n n n +--⨯∴n S ＝1122633n n n nn +-⨯--＝26(32)()3n n -+⋅……………………12分 ∵2221121()(1)1()133333nnn n C n =-=-+⨯+≥-…… ∴2212(32)()(32)(1)3333n n n n n n +⋅≥+⋅-=-++∴222226(32)()6(3)3333n n S n n n n n =-+⋅≥--++=-+ 故2233n S n n ≤-+……………………14分评析本题是函数与数列问题型综合问题，是近年数学高考的一个常考点，以抽象函数为背景，考查数列不等式的证明（理科数学）或以恒成立的形式考查不等式的解法（文科数学）；求解本题得的关键明确抽象函数式125()()33f x f x x -+=的含义，同时注意挖掘隐含条件“()f b a =⇔1()a f b -=”.。

2010年全国高三数学高考模拟试卷(文理合卷+精析讲解)4

2010数学高考模拟试题（文理合卷）【命题报告】本套试卷在命题前，详细地剖析了最新的2010年《考试大纲》，对高考的热点、难点和重点进行了全面的研究。

命题时，注重对基础知识的全面考查，同时又强调考查学生的思维能力。

在试题的设计上，进行了一些创新尝试。

比如第8、12、16 （理）题是对能力要求较高的题，第11题是导数、反函数与不等式的综合小问题，题型比较新。

命题时还在知识点的交汇点处设计试题，强调知识的整合，比如第2 题是向量与数列，第9题是向量与三角函数，第15题球内接几何体，第22题是向量与解几的结合，第12题是函数与数列的结合，第14题是函数性质与双曲线的结合，第16题是数列与概率的结合。

总之本套试卷很好地代表了高考的命题趋势和方向。

考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1、（理）已知实数b 是关于x 的方程2(6)90x i x ai -+++=()a R ∈的解，则a b +的值为 ( )A. 0B. 3C. 6D. 9（文）不等式组(3)()004x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是 ( )A. 矩形B. 三角形C. 直角梯形D. 等腰梯形 2、（理）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1200920a OA a OB OC ++=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点），则2009S = （） A. 2009 B. 2010 C. -2009 D. -2010 （文）设P 为ABC ∆内一点，且3145AP AB AC =+，则ABP ∆的面积与ABC ∆面积之比为（）A.14 B. 34 C. 15 D. 453、若P 为双曲线221445x y -=的右支上一点，且P 到左焦点1F 与到右焦点2F 的距离之比为4:3，则P 点的横坐标x 等于（）A. 2B. 4C. 4.5D. 54、已知1()10x f x x <≤=-≤<⎪⎩，且0||1,0||1,0m n mn <<<<<，则使不等式()()f m f n >-成立的m 和n 还应满足的条件为（）A m>nB m <nC m+n>0D m+n<0 5、曲线sin(2)(0,0,0)y M x N M N ωφω=++>>>在区间],0[ωπ上截直线y=4，与y=－2所得的弦长相等且不为0，则下列描述中正确的是（）A ．3,1>=M NB ．3,1≤=M NC ．23,2>=M N D ．23,2≤=M N6、函数322()2103f x x x ax =-++在区间[1,4]-上有反函数，则a 的X 围为是 ( )A. (,)-∞+∞B.[)2,+∞C.(16,2)-D. (][),162,-∞-⋃+∞7、（理）用1到9这9 个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（）A.128 B.928 C. 514 D.12（文）用1到5这5 个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是的倍数的概率为（） A. 110 B.310 C. 25 D.458、ABC ∆的BC 边在平面α内，A 在α上的射影为A '，若BAC BA C '∠>∠，则ABC ∆一定为（）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、以上都不是9、已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1AC BC ⋅=-，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为（） A, 59-B, 95-C, 2 D, 3 10、函数13x y a+=-(0,1)a a >≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n+的最小值为（） A. 6 B. 8 C. 10 D. 1211、（理）已知函数2||(0)y ax b x c a =++≠在其定义域内有四个单调区间，且,,a b c ∈{2,1,0,1,--2,3,4}，在这些函数中，设随机变量ξ=“||a b -的取值 ”，则ξ的数学期望E ξ为 ( )A. 4B.295 C. 25 D. 89（文）若21091001910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++……，则9a 等于（）A. 9B. 10C. -9D. -10 12、（理）对数列{}n x ，满足143x =，1331n n n x x x +=+；对函数()f x 在(2,2)-上有意义，122f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且满足,,(2,2)x y z ∈-时，有()()()1x y z f x f y f z f xyz ⎛⎫++++= ⎪+⎝⎭成立，则 ()n f x 的表示式为（）A. 2n -B. 3nC. 23n-⨯ D.23n ⨯（文）对数列{}n x ，满足145x =，1221n n n x x x +=+；对函数()f x 在(2,2)-上有意义，122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且满足,(2,2)x y ∈-时，有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭成立，则数列 {}()n f x 是（）A. 以4-为首项以2为公差的等差数列B. 以4-为首项以2为公比的等比数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13、（理）点P 在焦点为12(0,1),(0,1)F F -，一条准线为4y =的椭圆上，且1215||||4PF PF ⋅=，12tan F PF ∠____________。

闸北区

上海市闸北区2010届高三数学（文）学科模拟考试卷（2010.4）一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1. 在行列式中，元素的代数余子式的值是.2.已知是实数，是纯虚数，则. 3．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为.4.函数的值域为.5．若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是.6．设某圆锥的底面的边界恰是球的一个大圆，且圆锥的顶点也在球的球面上，设球的体积为，设该圆锥的体积为，则.7.在，细菌受到的消毒溶液消毒，每小时细菌的死亡率为．在此环境中对一批消毒对象进行消毒，要使细菌的存活率低于原来的，消毒时间最少为小时.（结果四舍五入精确到1小时）8．设曲线定义为到点和距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线绕坐标原点逆时针旋转，则此时曲线的方程为_____________．9．已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．则取出的2个球中恰有1个红球的概率等于_________．10.已知向量，，对任意，恒有.现给出下列四个结论： ①；②；③，④.则正确的结论序号为_____________．（写出你认为所有正确的结论序号） 11．设双曲线的半焦距为．已知原点到直线：的31214053--a a a 1a i i -+=a y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x y x z +=5)R (2cos 2sin ∈-=x x x y {}n a 21a 1a O O O1V 2V =21:V V C 2.20%5%11%5C )1,1(--)1,1(C 45C b a ≠1||≠R t ∈≥-||t ||-//⊥)(-⊥)(-⊥)0,0(12222>>=-b a by a x c l ab ay bx =+距离等于，则的最小值为_________．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．设函数，则的值为【】 A ．0 B ．1 C ．10D ．不存在 13．若，则【】A ．B ．C ．D ． 14．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为【】15．已知方程的根大于，则实数满足【】A ．B ．C ．D ．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16.（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．设，. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图像；（2）若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.17．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在平行六面体中，，，平面，与底面所成角[来源:学科网ZXXK] 为，．（1）若，求异面直线与所成角的大小； 141+c c )12(l 2)(-=x g x f )0(1-fm =α2tan =-ααtan cot 2m 2m ±m 2m2±GHI ∆)0(0)]([222222>>=---a b b a b x k a x b a k a b k >||a b k <||b a k >||ba k <||R x ∈||)21()(x x f =)(x f k x f x f ≤+)2()(R x ∈k 1111D C B A ABCD -1=AD 2=CD ⊥D A 1ABCD 1AA ABCD θθ2=∠ADC 45=θC A 11BB（2）求平行六面体的体积的取值范围．[来源:Z#xx#]18．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增人．（1）若，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？19．（满分16分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题10分．如图，平面上定点到定直线的距离，为该平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于、两点，交直线于点，已知，，求证：为定值．20．（满分19分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题9分．[来源:学科网ZXXK]已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，当且时，且．其中、均为非零常数．（1）若数列是等差数列，求的值；（2）令，若，求数列的通项公式；（3）证明：数列为等比数列的充要条件是．1111D C B A ABCD -V a 9=a F l 2||=FM P P l Q 0)()(=-⋅+P C F C A B l N1λ=2λ=21λλ+R )(x f {}n a a a =112a a ≠*∈N n 2≥n )(1-=n n a f a )()()(11---=-n n n n a a k a f a f a k {}n a k n n n a a b -=+1)(*∈N n 11=b {}n b {}n a kx x f =)()1(≠k闸北区2010届高三数学（文科）模拟卷参考答案与评分标准（2010.4）一、1．；2．1； 3．5；4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10.④； 11．4.二、12．B ； 13．C ；14．A ；15．A ．三、16.（1）（2），……………………………………………1分对于任意，恒成立. 令，则（）… ………………………3分对称轴，则当时，，…………………………………2分所以即可.… ……………………………………………………………1分17．（1）解法一：由平行六面体的性质，知或其补角即为所求．连结，由已知，得，所以，可求得，，………………3分解法一：由余弦定理，有，………3分所以，异面直线与所成角为．……1分解法二：在等腰中，有，…………3分 2-]2,2[-),1()1,21(+∞ 1:42612422=+x y 21||)21()(x x f =||2)21()2(x x f =R x ∈k x x ≤+||2||)21()21(]1,0()21(||∈=t x t t y +=210≤<t 21-=t 1=t 2max =y 2≥k C AA 1∠AC 451=∠AD A 11=DA 21=AA 51==C A AC 1010cos 1=∠C AA C A 11BB 1010arccosC AA 1∆10105222cos 111===∠C A AA C AA所以，异面直线与所成角为．………………………1分解法三：分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，…………………………………………2分，…………………………………………………………………1分所以，异面直线与所成角为．………………………………1分（2）由已知，有，……………………………………………………1分由面积公式，可求四边形的面积为，…………………………2分平行六面体的体积．……2分所以，平行六面体的体积的取值范围为．……2分18．（1）设从今年起的第年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为万元．则；………………………………………4分解法一：由题意，有，…………………………………………1分解得，．………………………………………………………………1分所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．……………1分解法二：由于，所以…2分所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．……………1分（2）解法一：设，则，…………………………4分 C A 11BB 1010arccos DA DC 1DA x y z xyz O -)0,0,1(A )0,2,0(C )1,0,0(1A )1,0,1(1-=AA )1,2,0(1-=C A 1010cos 1=∠C AA C A 11BB 1010arccosθtan 1=DA ABCD θ2sin 21111D C B A ABCD -θθθ2sin 4tan 2sin 2=⋅=V 1111D C B A ABCD -V )4,0(x y )101,(800602000*≤≤∈++=x N x axx y 310800602000≥++xx 10340>≥x 101,*≤≤∈x N x 01080040030310800602000<+-=-++xx x x 10121≤<≤x x =-)()(12x f x f 22800602000ax x ++11800602000ax x ++-0)800)(800())(200080060(1212>++--⨯=ax ax x x a所以，，得．…………………………………2分所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． ……………………………………………………………………………………1分解法二： ……………………………………………………………………………………4分由题意，得，解得．……………………………2分所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． ……………………………………………………………………………………1分19．（1）方法一：如图，以线段的中点为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系．则，．……………………………2分设动点的坐标为，则动点的坐标为，，…………2分由，得．……2分方法二：由得，．…………………2分所以，动点的轨迹是抛物线，以线段的中点为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系，可得轨迹的方程为：．…………………………………………………………4分（2）方法一：如图，设直线的方程为，，，……1分则. ……………………………………………………………………………1分联立方程组消去得，，，故…………………………………………1分 020*******>-⨯a 24<a )808060200060(1)800(8006080060602000800602000a x a a a x a a a x ax x y +⋅-+=+⋅-⋅++=++=0800602000<⋅-a24<a FM O FM y xOy )1,0(FP ),(y x Q )1,(-x )1,(y x --=)1,0(y --=0)()(=-⋅+PQ PF PQ PF y x 42=0)()(=-⋅+||||PF PQ =P C FM O FM y xOy C y x 42=AB 1+=kx y ),(11y x A ),(22y x B )1,2(--kN ⎩⎨⎧+==,1,42kx y y x y 0442=--kx x 016)4(2>+-=∆k……………………………………………………………………………1分由，得，，，……………………………………………………2分整理得，， .…………………4分方法二：由已知，，得. …………………2分，①…………………………………………………3分 [如图，过、两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，则有②…………………………………………………3分由①，②得. …………………………………………………………………2分20．（1）由已知，，得由数列是等差数列，得所以，，，得．………………………5分（2）由，可得且当时，所以，当时，，………………………4分 ⎩⎨⎧-==+.4,42121x x k x x 1λ=2λ=1112x k x λ-=+2222x kx λ-=+1121kx --=λ2221kx --=λ0442222)11(2221212121=-⋅--=⋅+⋅--=+--=+k k x x x x k x x k λλ1λ=2λ=021<⋅λλ||||21BF NB =λλA B l 1A 1B .||||||11BF BB NB ==021=+λλ)(1-=n n a f a )()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n =-+n n a a 1)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n {}n a =-+n n a a 11--n n a a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n 1--n n a a )(1--=n n a a k ),4,3,2(⋅⋅⋅=n 1=k 0121≠-=a a b =-=232a a b .0)()()(1212≠-=-a a k a f a f 2>n =-=+n n n a a b 10)()()()(12111≠-=⋅⋅⋅=-=----a a k a a k a f a f n n n n n 2≥n =--=-+-111n n n n n n a a a a b b k a a a a k a a a f a f n n n n n n n n =--=------1111)()()(因此，数列是一个公比为的等比数列．…………………………………………1分（3）充分性证明：若，则由已知，得所以，是等比数列．…………………………………………………………………3分必要性证明：若是等比数列，由（2）知，[来源:学科网] ，．…………………………………………1分当时，．上式对也成立，所以，数列的通项公式为：．[来源:学科网]所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列．所以，．……………………………………………………………………1分当时，．………………………1分上式对也成立，所以，…………………………1分所以，．…………………………………………1分即，等式对于任意实数均成立．所以，．…………………………………………………………………1分{}n b k kx x f =)()1(≠k 01≠=a a )(1-=n n a f a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n )0(1≠=-k ka a n n ),4,3,2(⋅⋅⋅=n {}n a {}n a )(121a a k b n n -=-)(*∈N n 111212121)()()(a a a a a a a a b b b n n n n -=-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++--)2(≥n )(1211-+⋅⋅⋅+++=n n b b b a a 1=k )1)((121--+=n a a a a n )2(≥n 1=n {}n a )1)()((--+=n a a f a a n )(*∈N n 1=k {}n a a a a f -)(1≠k 1≠k kk a a a a n n ---+=-11)(1121)2(≥n 1=n k k a a f a a n n ---+=-11))((1kk a a f k a a f a n -----+=-1))((1)(101)(=--+ka a f a ka a f =⇒)(ka a f =)(a kx x f =)()1(≠k。

【文】2010上海高考数学-推荐下载

一、填空题（本大题满分 56 分，每小题 4 分）
1．已知集合 A{1,3,m}，B{3,4}，A⋃B{1,2,3,4}，则 m_______________．
2．不等式 2 x 0 的解集是_______________． x4

3．行列式 cos 6
sin 6
的值是_______________．
2
4
2010 上海高考数学
20．（本题满分 14 分）第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝．再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． (1) 当圆柱底面半径 r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）； (2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2010年上海高考数学文科试卷带详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4AB =则m = .【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出两个集的并集，根据集合的定义求元素. 【参考答案】2【试题解析】显然m =2. 2.不等式204xx ->+的解集是 . 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】直接给出分数不等式，求不等式的解集. 【参考答案】{}24|<<-x x 【试题解析】204xx ->+等价于（x -2）(x +4)<0,所以4x -<<2. 3.行列式ππcossin 66ππsin cos 66的值是 .【测量目标】行列式的运算.【考查方式】直接给出行列式，根据行列式运算法则求值. 【参考答案】0.5 【试题解析】ππcossin66ππsin cos 66=πππππ1cos cos sin sin cos 666632-==.4.若复数12i z =-（i 为虚数单位），则z z z += .【测量目标】复数的基本运算.【考查方式】直接给出复数z ，求其共轭复数，进而根据运算法则求值. 【参考答案】62i -【试题解析】z z z +=(12i)(12i)12i 62i -++-=-.5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取个体. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出样本，根据分层抽样求样本的个体. 【参考答案】20【试题解析】从C 中抽取20102100=⨯. 6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =则该四棱椎的体积是 . 【测量目标】锥的体积.【考查方式】直接给出四棱锥的底面边长和高的值，利用椎体体积公式求体积. 【参考答案】96 【试题解析】9683631=⨯⨯=V . 7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = . 【测量目标】点到直线的距离公式.【考查方式】给出圆一般方程，得到圆心坐标，根据点到直线的距离公式求解. 【参考答案】3【试题解析】圆心（1,2）到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯.8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 . 【测量目标】抛物线的定义及其标准方程.【考查方式】给出符合抛物线定义的动点数据，利用代数关系求动点的轨迹方程. 【参考答案】y 2=8x【试题解析】P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，p =2所以其方程为y 2=8x. 9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 . 【测量目标】反函数的概念和性质.【考查方式】直接给出函数，求其反函数，进而得出交点坐标. 【参考答案】(0,-2)【试题解析】函数3()log (3)f x x =+的反函数为33-=xy ，另x =0，有y =2-.10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为（结果用最简分数表示）. 【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】给出等可能事件，利用排列组合求概率.【参考答案】351【试题解析】“抽出的2张均为红桃”的概率为213252C 3C 51=.11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 .【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图的逻辑结构，得到S 与a 的数量关系. 【参考答案】S ←S +a.【试题解析】依步骤得S ←S +a.12.在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，第11 题图记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅.当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= . 【测量目标】矩阵的定义.【考查方式】给出矩阵的行和列，求出各对角元素值，最后求和. 【参考答案】45【试题解析】11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45.13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b ∈R ），则a 、b 满足的一个等式是 . 【测量目标】双曲线的几何性质，平面向量的线性运算.【考查方式】根据给出的方向向量，求出渐进线的方程，从而得到双曲线的标准方程，再利用平面向量得到点到坐标原点的向量坐标求出啊，a ，b 关系. 【参考答案】4ab =1.【试题解析】1(2,1)e =、2(2,1)e =-是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为.x y 21±=，又1,2,5==∴=b a c (步骤1) 双曲线方程为1422=-y x ，12OP ae be =+=),22(b a b a -+，1)(4)22(22=--+∴b a b a ，化简得4ab =1 . （步骤2）14.将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（n ∈*N ，2n）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞= .【测量目标】简单的极限运算.【考查方式】直接给出直线方程，观察图形得出可行域代数关系，利用极限求最小值.【参考答案】12【试题解析】B )1,1(++n nn n 所以BO AC ⊥，（步骤1） n S =)1(21)2221(221+-=-+⨯⨯n n n n 所以lim n n S →∞=12 . (步骤2)二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩的目标函数z x y =+的最大值是 ( )A .1B .32C.2D.3 【测量目标】线性规划求目标函数的最值.【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划求目标函数的最大值.【参考答案】C 【试题解析】当直线z x y =+过点B (1,1)时，z 最大值为2. 16.“()π2π4x k k =+∈Z ”是“tan 1x =”成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充要条件的判定. 【考查方式】充分，必要条件. 【参考答案】A【试题解析】ππtan(2π)tan144k +==，所以充分；但反之不成立，如5πtan 14=. 17.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 ( ) A.（0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2）【测量目标】二分法的计算.【考查方式】根据给出的函数，构造新的函数，将选项带入新函数得到答案. 【参考答案】D【试题解析】04147lg)47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数.02lg )2(>=f 知0x 属于区间（1.75，2）.18.若ABC △的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC △ ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形内角正弦的比值，从而得到三角形边长的比值，利用余弦定理得到余弦值，最后判断角的大小. 【参考答案】C【试题解析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得::a b c =5:11:13由余弦定理得22251113cos 02511C +-=<⨯⨯，所以角C 为钝角. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）已知π02x <<，化简： 2πlg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)24x x x x x +-+--+.【测量目标】三角函数的诱导公式，对数的化简和计算.【考查方式】给出计算式，通过三角函数的变换，化简，再根据对数的基本运算求值. 【试题解析】原式=2lg(sin cos )lg(cos sin )lg(sin cos )0x x x x x x +++-+=．20.（本满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.【测量目标】平面图形的直观图和三视图，柱体的面积.【考查方式】写出含未知量底面积代数式，利用函数的知识求最值，根据空间想像能力绘制较为准确三视图.【试题解析】(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)， (2) 23π(0.4)0.48πS r =--+，（步骤1） (3) 所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； (4) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图．（步骤2）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n ∈*N(1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 【测量目标】数列的通项公式与前n 项和n S 的关系.【考查方式】给出数列前n 项和的代数关系式，证明等比数列，进而求出等比数列的前n 和，利用比较大小求解.【试题解析】(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，（步骤1）又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（步骤2）从而1575906n n S n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ (n ∈*N )；（步骤3）由S n +1 > S n ，得156522,log 114.96525n n -⎛⎫<>+ ⎪⎝⎭≈，最小正整数n =15．（步骤4） 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m . （1）若21x -比3接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +接近2（3）已知函数()f x 的定义域{}π,,D x x k k x ≠∈∈Z R .任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.【测量目标】解一元二次不等式，不等式的基本性质，函数的单调性与最值，奇偶性和周期..【考查方式】给出条件求符合条件自变量的取值范围.满足条件的绝对不等式相互之间比较大小.根据函数的奇偶，周期性，以及最小值求解函数的单调区间.【试题解析】(1) x ∈(-2,2)；（步骤1）(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有223322a b ab a b +>+>（步骤2）因为2233222()()0a b ab a b a b a b +--+-=-+-<，（步骤3）所以223322a b ab a b +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2(3) 1sin ,(2ππ,2π)()1|sin |,π1sin ,(2π,2ππ)x x k k f x x x k x x k k +∈-⎧==-≠⎨-∈+⎩,k ∈Z ，（步骤4） f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0，(步骤5) 函数f (x )在区间π(π,π)2k k -单调递增，在区间π(π,π+)2k k 单调递减，k ∈Z ．（步骤6） 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三顶点.（1）若点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标；（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a=-，证明：E 为CD 的中点；（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标.【测量目标】平面向量的线性运算，直线方程和椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，椭圆中的探索性问题.【考查方式】通过向量坐标的基本运算求M.根据直线方程和椭圆方程的位置关系，解出两直线的斜率代数关系，再进行证明.根据向量等式的关系以及直线和椭圆方程的线性关系求出坐标. 【试题解析】(1) (,)22ab M -；（步骤1）(2) 由方程组122221y k x p x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11l y k x p =+：交椭圆Γ于C 、D 两点，所以∆>0，即22221a k b p +-＞0，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，(步骤2)则212102221201022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，（步骤3）又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x ya kb ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩，（步骤4）故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ +=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程．（步骤5）1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=-，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)．（步骤6）。

2010上海各区模拟考压轴题

本试卷共8页，第1-３页为选择题和填空题，第４-8页为解答题及答卷。

请将选择题和填空题的答案做在第４页的答卷上。

全卷共三大题20小题，满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 P (A+B )=P (A )+(B )S ＝4πR 2如果事件相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·(B )球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么V ＝43πR 3P n (k)＝k n C P k(1-P)n-k其中R 表示球的半径第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将唯一正确的答案代号填在第４页的答题卷上 1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（）. (A)21 (B) 41 (C) 81 (D) 87 2.与411π-终边相同的角为（）.(A) 43π-(B) 4π- (C) 4π (D) 43π3．已知集合{}1916),(22=+=y x y x S ， {}1),(22=+=y x y x M ，则S 与M 的关系是（）. (A)M S ≠⊂ (B)S M ≠⊂ (C)Φ=M S (D)M M S =4.函数x x x f ln 2)(2-=的增区间为（）.(A) ),0[+∞ (B))21,(-∞ (C) ),21(+∞ (D) ),0(+∞5.观察下列四个电路图，结论正确的是（）.A C(A) 图①中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件； (B) 图②中开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件； (C) 图③中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分且必要条件； (D) 图④中开关A 闭合是灯泡B 亮的不充分又不必要条件.6.设j i,是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的单位向量且j i AC ,j i AB4324+=+=，则ABC ∆的面积等于（）.(A) 15 (B) 10 (C) 7.5 (D) 57.()x f 与()x g 是定义在R 上的可导函数.若()()x g x f '='，则()x f 与()x g 满足（）. (A) ()()x g x f = (B)()()x g x f -是常数函数 (C) ()()0==x g x f (D) ()()x g x f +是常数函数.8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则θθ22cos sin -的值为（）. (A)2512-(B) 2524 (C) 257 (D) 257- 9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设{}n a 是公比为q 、前ｎ项和为n S 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量：; ①21s s 与②32s a 与；③n a a 与1；④n a q 与中，一定能成为该数列的“基本量”的是（）.(A) ①② (B) ①④ (C) ③④ (D) ①②③10.已知直线n m 、及平面α,其中n m //,那么在平面α内到两条直线n m 、距离相等的点的集合可能为① 一条直线；② 一个平面；③ 一个点；④ 空集.其中正确的是（）. (A) ①②③； (B) ①②④； (C) ①④； (D) ②④．③④ＡＣ第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 请将答案填在第４页的答题卷中.11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有()*n n ∈N 行，在这些数中非1的数字之和是_______.11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 ……………………12．若点距离的最小值到直线上的动点，则点为抛物线05102=++=y x P x y P 为（3分），此时点P 的坐标为（2分）.13.定义在R 上的函数()x f ，对任意实数x ，都有()()33+≤+x f x f 和()()22+≥+x f x f ，且()11=f ，则()2005f 的值为_________.14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边DE 将其倾斜，随着容器的倾斜程度不同，水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，试尽可能多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规律： .（要求：各种规律的表述要科学,准确.每答对1个给1分,本题满分5分）三、解答题：15．（本题满分12分）已知23+>ax x 的解集为()b 4，，求实数b a ,的值.ＢＰ)16.（本题满分13分）已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f , 且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4215πx cos x sin f 的值.17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC 中，AO ⊥OC ，AB ∥OC ，1,2====AB OA OS OC .⊥SO 平面OABC .以OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz .（Ⅰ）求异面直线SC 与OB 所成角；（Ⅱ）设()q p n ,,1= ，满足⊥n 平面SBC .求： ①n的坐标；②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）；③点O 到平面SBC 的距离.18.（本题满分14分）设R y x ∈,，j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j )y (i x b ,j )y (i x a2 2-+=++=，且8=+b a.（Ⅰ）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.zyx20（本题满分14分）直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）.（Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.2005年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案二、填空题答案11. n n22- 12.)5,25(,425- 13.()2005f ＝200514. ⑴ 水面是矩形；⑵ 四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形； ⑶ 水面的大小是变化的，水面与平面CDEF 所成二面角越小，水面的面积越大； ⑷ 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等； ⑸ 侧面积不变； ⑹ 侧面中两组对面的面积之和相等； ⑺ 形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值； ⑻ AB+CD 为定值； ⑼ 如果长方体的倾斜程度为α时，则水面与与底面所成的角为90︒-α； ⑽ 底面的面积＝水面的面积×cos （90︒-α）＝水面的面积×sin α； ⑾ 当倾斜程度增大，点A 在BD 之间时，A 与B 重合时，BD ＝2h （h 为水面原来的高度）； ⑿ 若容器的高度PD ＜２ｈ，当A 与B 重合时，水将溢出； ⒀ 点A 在BD 内部时，△ADC 的面积为定值 .三、解答题15．（本题满分12分）已知23+>ax x 的解集为()b ,4，求实ＢＰ )数b a ,的值.法一：如图,在同一直角坐标系中，作出y ＝x （x ≥0）及y ＝ax ＋32 的大致图像，设y ＝ax ＋32 与Y 轴及y ＝x 分别交于A 、B 、C 点由条件及图像可知A （0,32），B （4，2），812234==+a a 得则令C （b, b ）（b ＞０）由BC AB k k =得 4204232--=--=b b a 3681==⇒b ,a 法二：()023232<+-⇔+>x x a ax x 依题意，上式等价于()()02<--b x x a∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==+023212a b a b a∴⎪⎩⎪⎨⎧==3681b a16.（本题满分13分）已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f ,且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2sin 15πx x f 的值.解：由cosx －sinx ＝523，可得cos （x+4π）＝53且sin2x ＝257∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+4215πx cos xsin ＝７又∵()x f y =是关于x ＝3对称的函数，∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2sin 15πx x f ＝ f （7）＝ f （-1）＝320…17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC 中，AO ⊥OC ，AB ∥OC ，1,2====AB OA OS OC .⊥SO 平面OABC .以OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz .（Ⅰ）求异面直线SC 与OB 所成角；（Ⅱ）设()q p n ,,1=，满足⊥n 平面SBC .求： ①n的坐标；②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）； ③点O 到平面SBC 的距离.解：（Ⅰ）.如图: Ｃ（２,０,０），Ｓ（０,０,１），Ｏ（０,０,０），Ｂ（１,１,０）， ∴()()011102,,,,=-=∴ 510=⋅=><252,COS故异面直线SC 与OB 所成的角为510arccos ．(Ⅱ).①∵()()011111,,,,-=-=zyz由⊥n 平面SBC ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥⇒n SBn⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒0n n ⇒⎩⎨⎧=+-=-+0101p q p⇒⎩⎨⎧==21q p 故 ()211,,n =② （法一）过O 作OE ⊥BC 于E ，连SE ，则SE ⊥BC ，故BC ⊥面SOE过O 作OH ⊥SE 于H ，则OH ⊥面SBC ∵OE ＝2 ∴SE=336321=⨯=⋅=SE OE SO OH ∴点O 到平面SBC 的距离为36. （法二）（注：也可以利用法向量求解，相应给分） ③ 延长CB 与OA 交于F ，则OF ＝2 连FH ，则∠OFH 为所求角β此时66236=÷=βsin ，∴β＝66arcsin 为所求.18. （本题满分14分）设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量，若j )y (i x b ,j )y (i x a 22-+=++=，且8=+b a.（Ⅰ）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）(解法一)由 8=+b a 知点M （x,y ）到两个定点F 1（0.-2）、 F 2（0,2）的距离之和为8∴轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆，它的方程是1161222=+y x(解法二)：由题意得()()8222222=+++-+y x y x两次平方得()[]()222824y y x -=-+整理得：1161222=+y x（Ⅱ）∵l 过y 轴上的点（0，3），若l 是y 轴时，则A 、B 两点是椭圆的顶点由 0=+=知P 与O 重合这与四边形OAPB 是矩形矛盾， ∴直线l 是y 轴不可能当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的的方程是y ＝kx+3由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=116123kx y 22y x ()021183422=-++⇒kx x k此时()()()恒成立021*******>-++=k k ∆且23418k k x x B A +-=+,23421kx x B A +-=⋅ ∵+=，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l,使四边形OAPB 是矩形,则0=⊥OA ,OB OA 即, 有0=+B A B A y y x x∴()()09312=++++B A B A x x k x x k ∴()093418334211222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+k k k k k ∴451652±=⇒=k k∴当时，45±=k 存在直线l :345+±=y 使四边形OAPB 是矩形. 19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.解：⑴ 全部并联，可靠度1-()420.＝0.9984＞0.85⑵ 每两个串联后再并联，可靠度()228.011--＝0.8704＞0.85⑶ 每两个并联后再串联，可靠度()22201.-＝0.9216＞0.85⑷ 三个串联后再与第四个并联，可靠度1-0.2()3801.-＝0.9024＞0.85⑸ 两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度1-0.22()2801.-＝0.9856＞0.8520．（本题满分14分）直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）. （Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.解：Ⅰ.求区域内部（不包括边界）的整点个数n a ,就是求不等式x ＋y ＜n 的正整数解，当x ＝1时，y ＝1,2,…,（n-2），共n-2个值，当x ＝2时，y ＝1,2,…,（n-3），共n-3个值，依此类推得：n a ＝1+2+…+（n-2）＝()()212--n n .求区域（包括边界）的整点个数n b ,就是求不等式x ＋y ≤n 的非负整数解，同上得：n b ＝（n+1）+n+…+2+1+＝()()212++n nⅡ. 对区域内部的n a 个整点中的每一个都有三种着色方法，由乘法原理知：()()22133--==n n a n n A ，同理()()22122++==n n b n nB ⑴ 当()()()()()()()()()()221421342142122122893++--------=>=>==n n n n n n n n n n n n B A时有()()()()2212143++>--n n n n 得1502152≥⇒⎭⎬⎫∈>+-n N n n n∴n ≥14时，n A ＞n B⑵ 当()()()()()()()()()()()()时2212154852212223310211021++----=<=<==----n n n n n n n n B A n n n n有()()()()221n 21-n 54++<-n n 得1202132≤⇒⎭⎬⎫∈<+-n N n n n∴n ≤12时，n A ＜n B ．最后，ｎ=13、14时，比较n A 与n B 的大小由10513661323==B ,A有 488631477106636613..lg A lg =⨯==6053130100105210513..lg B lg =⨯==所以n=13时，n A ＜n B ．同理，n=14时，n A >n B 故3≤n ≤13时，n A ＜n B ．n ≥14时，n A ＞n B .。

闸北区2010学年度第一学期高三数学定位考试题

考生注意： 1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码． 3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本题满分50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．=++⋅⋅⋅+++-∞→2)12(753lim n nn C n ． 2．已知两条不同的直线n m 、和平面α．给出下面三个命题：①α⊥m ，α⊥n n m //⇒；②α//m ，α//n n m //⇒；③α//m ，α⊥n n m ⊥⇒．其中真命题的序号有．（写出你认为所有真命题的序号）3．若复数z 满足：i z z 2=-，iz z =，（i 为虚数单位），则=2z ．4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,,0,121)(2x x x x f x 与函数)(x g 的图像关于直线x y =对称，则当0>x 时，=)(x g ．5．如右图，矩形ABCD 由两个正方形拼成，则CAE ∠的正切值为．6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段CD 的中点，若a AC =，b BD =，则=AE ．（用a 、b 表示）7．现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥V 的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥V 的体积为．8．某班级在5人中选4人参加4×100米接力．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有种．（用数字作答）．9．若不等式02>++c bx ax 的解集为}21|{<<-x x ，则不等式||2x b c x b a >++的解集为．10．设常数R ∈a ，以方程20112||=⋅+x a x 的根的可能个数为元素的集合=A ．二、选择题（本题满分15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．我们称侧棱都相等的棱锥为等腰棱锥．设命题甲：“四棱锥ABCD P -是等腰棱锥”；命题乙：“四棱锥ABCD P -的底面是长方形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面”．那么，甲是乙的【】A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件12．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=323)arccos(sin ππx x y 的值域是【】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛656ππ， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,6ππ C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡320π， D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡650π， 13．某人从2010年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率%50.2保持不变，到2015年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为【】A . 11314元B . 53877元C . 11597元D .63877元应的题号）内写出必要的步骤．14．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆三个顶点的直角坐标分别为)3,4(A ，)0,0(O ，)0,(b B ．（1）若5=b ，求A 2cos 的值；（2）若AOB ∆为锐角三角形，求b 的取值范围．15．（满分15分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题9分．如图，在直角梯形ABCD 中， 90=∠=∠C B ，2=AB ，22=CD ，1=BC ．将ABCD （及其内部）绕AB 所在的直线旋转一周，形成一个几何体．（1）求该几何体的体积V ；（2）设直角梯形ABCD 绕底边AB 所在的直线旋转角θ（),0('πθ∈=∠CBC ）至''D ABC ，问：是否存在θ，使得''DC AD ⊥．若存在，求角θ的值，若不存在，请说明理由．⇒16．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m 万件与年促销费用x 万元（0≥x ）满足13+-=x k m （k 为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？（2）试将2011年该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数，并求2011年的最大利润．17．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．设)(x f 为定义域为R 的函数，对任意R ∈x ，都满足：)1()1(-=+x f x f ，)1()1(x f x f +=-，且当]1,0[∈x 时，.33)(x x x f --=（1）请指出)(x f 在区间]1,1[-上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；（2）试证明)(x f 是周期函数，并求其在区间)Z ](2,12[∈-k k k 上的解析式．18．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．已知数列{n a }和{n b }满足：对于任何*N ∈n ，有n n n b b a -=+1，λλλ()1(12n n n b b b -+=++为非零常数），且2121==b b ，．（1）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（2）若3b 是6b 与9b 的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的*N ∈n ，n b 是否一定能是数列{n b }中某两项（不同于n b ）的等差中项，并证明你的结论．考生注意： 1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码． 3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本题满分50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．=-+⋅⋅⋅+++∞→2)12(531lim nn C n ． 2．已知两条不同的直线n m 、和平面α．给出下面三个命题：①α⊥m ，α⊥n n m //⇒；②α//m ，α//n n m //⇒；③α//m ，α⊥n n m ⊥⇒．其中真命题的序号有．（写出你认为所有真命题的序号）3．若复数z 满足：i z z 2=-，iz z =，（i 为虚数单位），则=2z ．4．设函数)0(41)(2≤=x x x f 与函数)(x g 的图像关=)(x g ．5．如图，矩形ABCD 由两个正方形拼成，则CAE ∠的正切值为．6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段CD 的中点，若a AC =，b BD =，则=AE ．（用a 、b 表示）7．现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥V 的体积为．8．某班级在5人中选4人参加4×100米接力．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有种．（用数字作答）．9．若不等式02>++c bx ax 的解集为}21|{<<-x x ，则不等式||2x b c x b a >++的解集为．10．设常数R ∈a ，以方程20112||=⋅+x a x 的根的可能个数为元素的集合=A ．二、选择题（本题满分15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．我们称侧棱都相等的棱锥为等腰棱锥．设命题甲：“四棱锥ABCD P -是等腰棱锥”；命题乙：“四棱锥ABCD P -的底面是长方形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面”．那么，甲是乙的【】A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件12．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=323)arccos(sin ππx x y 的值域是【】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛656ππ， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,6ππ C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡320π， D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡650π， 13．某人从2010年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率%50.2保持不变，到2015年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为【】A . 11314元B . 53877元C . 11597元D .63877元应的题号）内写出必要的步骤．14．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．已知在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆三个顶点的直角坐标分别为)3,4(A ，)0,0(O ，)0,(b B ．（1）若5=b ，求A 2cos 的值；（2）若A ∠为钝角，求b 的取值范围．15．（满分15分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题9分．如图，在直角梯形ABCD 中， 90=∠=∠C B ，22=AB ，2=CD ，2=BC ．将ABCD （及其内部）绕AB 所在的直线旋转一周，形成一个几何体．（1）求该几何体的体积V ；（2）设直角梯形ABCD 绕底边AB 所在的直线旋转角θ（),0('πθ∈=∠CBC ）至''D ABC ，若AD AD ⊥'，求角θ的值．⇒16．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m 万件与年促销费用x 万元（0≥x ）满足123+-=x m ．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？（2）试将2011年该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数，并求2011年的最大利润．17．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．设)(x f 为定义域为R 的函数，对任意R ∈x ，都满足：)1()1(-=+x f x f ，)1()1(x f x f +=-，且当]1,0[∈x 时，.2)(2x x x f -=（1）请指出)(x f 在区间]1,1[-上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；（2）试证明)(x f 是周期函数，并求其在区间)Z ](2,12[∈-k k k 上的解析式．18．（满分20分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题7分，第2小题8分．已知数列{n a }中，2121==a a ，，且)0,2()1(11>≥-+=-+q n qa a q a n n n ．（1）设)N (*1∈-=+n a a b n n n ，证明：数列{n b }是等比数列；（2）试求数列{n a }的通项公式；谢谢大家。

上海模考题真题-2010届闸北区高三二模卷

闸北区2009学年第二学期高三语文教学质量检测试卷阅读(80分)(一)阅读下文，完成1—6题。

(17分)①周国平的散文不是时下流行的各种“休闲散文”，也不是说古道今的所谓“文化散文”。

作为一个哲学家，他所作的是一种探究人生之谜，追索生活价值和意义的哲理散文。

他关怀的是当前世界中人的境遇和人的精神状况。

在这个日趋世俗的实利主义时代，这样的探究多少显得有些不合时宜。

从这个意义上说，周国平是孤独的’。

然而，追索人生的价值和意义已经成为他难解难分的情结，他在追索中体验着人生的乐趣和心灵的欣慰。

②周围平说他的孤独“带着如此浓烈的爱意，爱着田野里的花朵、小草；树木和河流。

”在《守望的距离》中，他怀着对生活的深深爱意，谈生活和人生的境界。

他认为一个人不能把自己的一切都投入在现实的利益世界中，在其中随波逐流。

“人必然有人格上的独立自主，不能攀援在社会建筑物和他人身上”，在人的现实生活之上，还应有独立自主的精神家园。

失去精神价值的生活，纵然轰轰烈烈，也只是浮光掠影的表象，是一种空虚和无聊的生活。

“每个人都是一个宇宙，都应该有一个自足的精神世界。

这是一个安全的场所，其中珍藏着你最珍贵的宝物，任何灾祸都不能侵犯它。

”他告诫读者，不要让琐屑的生活淹没自己，不要失去自己，尤其不要失去精神家园。

一个人拥有精神家园，他就拥有了人生的价值和意义。

③周国平对探讨死亡情有独钟，因为死亡和人生的意义紧密相连，所谓“未知死，焉知生”即是如此。

对生命的思考，人生价值和意义的寻求，全出于每个人只有一个人生。

人总有一死，无论经历多少喧哗和骚动，有过多少光荣与梦想，结局总要走向寂灭。

他认为人如果想明白了生生必死的道理，他就不会如此看重和孜孜追逐那些到头来一场空的虚名浮利了，因而他感叹“我们短暂的生命过于拥挤，我们把太多的光阴抛洒在繁忙的工场和喧闹的市场。

”一个人思考过死亡就像是“把人生的边界勘察了一番，看到人生的全景和限度，如此他就会形成一种豁达的胸怀”。

2010.4高三数学(文科)题

松江区2010年高考模拟数学（文科）试卷（完成时间120分钟，满分150分） 2010.4一、填空题 (每小题4分,满分56分)1．设集合{}{}221,,,A y y x x R B y y x x R ==+∈==-∈，则AB = ▲ ．2．方程)3lg(lg ++x x =1的解是=x ▲ ． 3．设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f -= ▲ ．4．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为π，则球的表面积为 ▲ ．5．已知直线:0l ax by c ++=与圆1:22=+y x O 相交于A 、B 两点，3||=，则 ·= ▲ ．6．若实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+,0,0,022,04y x y x y x 则y x z -=的最大值为 ▲ ．7．设袋中有黑球、白球共9个，从中任取3个球，若其中含有白球的概率为2021，则袋中白球的个数为 ▲ ． 8．右图是计算111112233420092010++++⨯⨯⨯⨯ 的程序框图，为了得到正确的结果，在判断框中应该填入的条件是 ▲ ．9．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ▲ ．10．已知9)222(-x 展开式的第7项为421，则23lim()n n x x x x →∞++++= ▲ ．11．已知圆C 过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，且圆心C 在此双曲线上，则圆心C 到双曲线中心的距离是 ▲ ．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为 ▲ ．13．汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费+年均维修费）．设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前x 年的总维修费y 满足2y ax bx =+，已知第一年的维修费用为1000元，前二年总维修费为3000元．则这种汽车的最佳使用年限为 ▲ ．14．设函数()F x 和()f x 都在区间D 上有定义，若对D 的任意的子区间[,]u v ，总有[,]u v 上的p 和q ，使得不等式()()()()F u F v f p f q u v-≤≤-成立，则称()F x 是()f x 在区间D 上的甲函数，()f x 是()F x 在区间D 上的乙函数．已知2()3,F x x x x R =-∈，那么()F x 的乙函数()f x = ▲ ．二、选择题 (每小题4分,共16分)15．设,a b R ∈，则“2a b +>且1ab >”是“1a >且1b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件16．将函数1002cos 11sin 3)(x x x f -=的图像向右平移)0(>a a 个单位，所得图像的函数为偶函数，则a 的最小值为A ．65πB ．32πC ．3πD ． 6π 17．三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是A ．4B ．6C ．8D ． 10 18．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是三．解答题（本大题满分78分）19．（本题满分14分）已知1z 、2z 为复数，i a a z )10(5321-++=、22(25)()1z a i a R a=+- ∈ -，若12z z +是实数，求2z 的值．20．（本题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分）如图所示，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到点A 的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；（2）求P 到海防警戒线AC 的距离（结果精确到0.01千米）．21．（本题16分，其中第（1）小题8分，第（2）小题8分）已知椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，长轴是短轴的2倍，且椭圆E过点,)2；斜率为(0)k k >的直线l 过点(0,2)A ，n 为直线l 的一个法向量，坐标平面上的点B 满足条件n AB n ⋅=．（1）写出椭圆E 方程，并求点B 到直线l 的距离；（2）若椭圆E 上恰好存在3个这样的点B ，求k 的值．22．（本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）在数列{}n a 中，已知121,2a a ==，且数列{}n a 的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{}n b 满足212n n na b a -=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，（1）写出数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ；（3）证明：当6n ≥时，12n S n-<． 23．（本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题8分，第（3）题5分）设函数()f x 的定义域为D ，值域为B ，如果存在函数()x g t =，使得函数(())y f g t =的值域仍然是B ，那么，称函数()x g t =是函数()f x 的一个等值域变换．（1）判断下列()x g t =是不是()f x 的一个等值域变换？说明你的理由：()A ()2,f x x b x R =+∈，223,x t t t R =-+∈；()B 2()1,f x x x x R =-+∈，()2,t x g t t R ==∈；（2）设2()log f x x =)(+∈R x ，2()21g t at t =++，若()x g t =是()f x 的一个等值域变换，求实数a 的取值范围，并指出()x g t =的一个定义域；（3）设函数()f x 的定义域为D ，值域为B ，函数()g t 的定义域为1D ，值域为1B ，写出()x g t =是()f x 的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．。

闸北区第一学期高三数学定位考答案

闸北区2010第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案 .1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．x -； 5．31； 6．b a 4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{. 二、11．C ． 12．D ． 13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=AO ，)3,4(--=b AB ，若5=b ，则)3,1(-=AB ． ……………………………………………………2分所以，1010||||cos =⋅=AB AO A ， …………………………………………………….2分所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….2分【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….2分综上所述，)425,4(∈b ． ..………………………………………………2分（2）【解一】若A ∠为锐角，则0>⋅AB AO ，即09164>++-b ，得425⋅BO BA ，即0)4(>--b b ，得0b ．……………….2分若O ∠为锐角，则0>⋅OB OA ，即04>b ，得0>b ．………………...………………..2分综上所述，)425,4(∈b ．..……………………………………………………………………2分【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得22,1=-==EB AB AE DE ，….2分所以，.3222212213122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分（2）【解一】如图所示，以B 为原点，分别以线段BC 、BA 所在的直线为x 轴、z 轴，通过B 点，做垂直于平面ABCD 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．………………….1分由题意，得)2,0,0(A ，)22,0,1(D ，)0,sin ,(cos 'θθC ，)22,sin ,(cos 'θθD ， ………2分 )22,sin ,(cos '-=θθAD ，)22,sin ,1(cos '--=θθDC若''DC AD ⊥，则021sin )1(cos cos 2=++-θθθ， (4)得23cos =θ，与1cos 1≤≤-θ矛盾， (1)故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)【解二】取BA 的中点E ，连DE ，E C '，则E DC '∠（或其补角）就是异面直线''DCAD 与所成的角． (1)在E DC '∆中，26''==AD EC ，1==CB DE ，.cos 22cos 2112'θθ-=-+=CC .3分 .cos 225)cos 211(212'22'θθ-=-++=+=CC DC DC .…….………….…………. .2分 02cos 232cos ''''22'2''>⋅-=⋅-+=∠∴DC ECD C EC DE EC DC E DC θ，.…….….…….…………. .2分故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)16．解：（1）由题意可知，当0=x 时，1=m （万件），由13+-=x km 可得2=k ．所以123+-=x m ．………………………………………………………………………….3分由题意，有2123≥+-=x m ，解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分（2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元），所以，的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(8411628+--=x x ． ……………………………………………….4分因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ，所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分最大值为38、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分单调递增区间：];1,0[单调递减区间：]0,1[-；...…………………………………………1分零点：0=x ．.…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.33)(xxx f --= 设]1,0[21∈x x ，，21x x <，)3333()33()()(21212121x x x x x x x f x f ⋅-+-=-)3311)(33(2121x x x x ⋅+-=证明)(x f 在区间]1,0[上是递增函数由于函数x y 3=是单调递增函数，且03>x恒成立，所以03321<-xx ，0331121>⋅+x x， 0)()(21<-∴x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是增函数．…………………………………………………….4分证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数【证法一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x0)()()()(2121>---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是减函数． …………………………………………………..4分【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得 .33)()(x x x f x f -=-=-以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数 ………………………………………..4分（2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以.33)2()()(22k x xk x k f x f x f ---=-=-=………………………………………….4分 18．解：（1）【解一】由)0,2()1(11≠≥-+=-+λλλn b b b n n n 得， )(11-+-=-n n n n b b b b λ．又1121=-=b b a ，0≠λ，0≠n a ．所以，{n a }是首项为1，公比为λ的等比数列，1-=n n a λ．…………………………….5分由)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n b b b b b b b b ，得)2(121≥+⋅⋅⋅++=--n b b n n λλ所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ……………………………………………….6分上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………..1分【解二】猜测1-=n n a λ，并用数学归纳法证明 …………………………………………….5分 n b 的求法如【解一】 ………………………………………………………………………..7分【解三】猜测⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ，并用数学归纳法证明 ………………………….7分 1-n 1λ=-=+n n n b b a …………………………………………………………………..5分（2）当1=λ时，3b 不是6b 与9b 的等差中项，不合题意；……………………………….1分当1≠λ时，由32b 96b b +=得02258=-+λλλ，由0≠λ得0236=-+λλ（可解得32-=λ）..…………………………………………2分对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项． .………………………………….2分证明：0)2(1263163=---=-+-++λλλλn n n n b b b ，263+++=∴n n n b b b ， .………………………………….3分即，对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项．闸北区2010第一学期高三数学（文科）期末练习卷答案 .1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．)0(2≥-x x ； 5．31； 6．b a 4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{；二、11．C ．12．D ．13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=AO ，)3,4(--=b AB ，若5=b ，则．………………………………………………………………………… ….2分所以，1010||||cos =⋅=AB AO AB AO A ， …………………………………………………….2分所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….3分【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….3分（2）【解一】若A ∠为钝角，则0<⋅AB AO ，…………………………………………….3分即09164<++-b ，…………………………………………………….……………2分解得425>b ，故，),425(+∞∈b ． ..…………………………………………………2分【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得2,2=-==EB AB AE DE ，….2分所以，.321622223122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分（2）连接''CC DD ，，有6'==AD AD ，θcos 882'2'-==CC DD ，………….3分由题意，得22'2'AD AD DD +=， ……………….…………………….………………….2分即12cos 88=-θ ……………….………………….……………….………………….2分21cos -=θ，）（或 12032πθ=． ……………….………………….……………….………………….2分 16．解：（1）由题意，有2123≥+-=x m ， …………………………………………….3分解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分（2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元），所以，的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(84 11628+--=x x ． ……………………………………………….4分因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ，所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数； .………………………………………………………………………1分最大值为2、最小值为0； .…………….……………………………………………………1分单调递增区间：]0,1[-，单调递减区间：];1,0[ ...………………………………………1分零点：0=x ． .…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.2)(2x x x f -=设]1,0[21∈x x ，，21x x <，221<+x x ，0)2)(()2()2()()(212122212121>-+-=---=-x x x x x x x x x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是递减函数． ………………………………………………….4分以下证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数．【证明一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x 0)()()()(2121<---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． ………………………………………………...4分【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得.2)()(2x x x f x f +=-=以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数 ………………………………………..4分（2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以).1(4)21(2)2(2)2()2()()(22-+-+=---=-=-=k k k x x k x k x k f x f x f 4分 18．解：（1）由)0,2()1(11≠≥-+=-+q n qa a q a n n n 得， )(11-+-=-n n n n a a q a a ，即)2(1≥=-n qb b n n ．又1121=-=a a b ，0≠q ，0≠n b ．所以，{n b }是首项为1，公比为q 的等比数列．…………………………………………..5分（2）由（1）有，1-=n n q b)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n a a a a a a a a)2(12≥+⋅⋅⋅++=-n q q n所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111q n q qq a n n ……………………………………………..6分上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………1分（3）1=q 符合题意；…………………………………………………………………………2分若1≠q ，11111-->--+n n q q q 0)111)(1(1>-+--qq n ………………………………………………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧>-+>--0111,011q q n 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--.0111,011q q n 解得：)2,1()1,0( ∈q ………………………………………………………………………..3分综上，)2,0(∈q ………………………………………………………………………………..1分。

闸北区2010学年度第一学期高三数学定位考答案

闸北区2010学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．x -； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{. 二、11．C ． 12．D ． 13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则)3,1(-=． ……………………………………………………2分所以，1010||||cos =⋅=AB AO A ， …………………………………………………….2分所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….2分【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….2分综上所述，)425,4(∈b ． ..………………………………………………2分（2）【解一】若A ∠为锐角，则0>⋅AB AO ，即09164>++-b ，得425⋅，即0)4(>--b b ，得0b ．……………….2分若O ∠为锐角，则0>⋅，即04>b ，得0>b ．………………...………………..2分综上所述，)425,4(∈b ．..……………………………………………………………………2分【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得22,1=-==EB AB AE DE ，….2分所以，.3222212213122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分（2）【解一】如图所示，以B 为原点，分别以线段BC 、BA 所在的直线为x 轴、z 轴，通过B 点，做垂直于平面ABCD 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．………………….1分由题意，得)2,0,0(A ，)22,0,1(D ，)0,sin ,(cos 'θθC ，)22,sin ,(cos 'θθD ， ………2分 )22,sin ,(cos '-=θθAD ，)22,sin ,1(cos '--=θθDC若''DC AD ⊥，则021sin )1(cos cos 2=++-θθθ， (4)得23cos =θ，与1cos 1≤≤-θ矛盾， (1)故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)【解二】取BA 的中点E ，连DE ，E C '，则E DC '∠（或其补角）就是异面直线''DCAD 与所成的角． (1)在E DC '∆中，26''==AD EC ，1==CB DE ，.cos 22cos 2112'θθ-=-+=CC .3分 .cos 225)cos 211(212'22'θθ-=-++=+=CC DC DC .…….………….…………. .2分 02cos 232cos ''''22'2''>⋅-=⋅-+=∠∴DC ECD C EC DE EC DC E DC θ，.…….….…….…………. .2分故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)16．解：（1）由题意可知，当0=x 时，1=m （万件），由13+-=x km 可得2=k ．所以123+-=x m ．………………………………………………………………………….3分由题意，有2123≥+-=x m ，解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分（2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元），所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(8411628+--=x x ． ……………………………………………….4分因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ，所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分最大值为38、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分单调递增区间：];1,0[单调递减区间：]0,1[-；...…………………………………………1分零点：0=x ．.…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.33)(xxx f --= 设]1,0[21∈x x ，，21x x <，)3333()33()()(21212121x x x x x x x f x f ⋅-+-=-)3311)(33(2121x x x x ⋅+-=证明)(x f 在区间]1,0[上是递增函数由于函数x y 3=是单调递增函数，且03>x恒成立，所以03321<-xx ，0331121>⋅+x x， 0)()(21<-∴x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是增函数．…………………………………………………….4分证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数【证法一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x0)()()()(2121>---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是减函数． …………………………………………………..4分【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得 .33)()(x x x f x f -=-=-以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数 ………………………………………..4分（2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以.33)2()()(22k x xk x k f x f x f ---=-=-=………………………………………….4分 18．解：（1）【解一】由)0,2()1(11≠≥-+=-+λλλn b b b n n n 得， )(11-+-=-n n n n b b b b λ．又1121=-=b b a ，0≠λ，0≠n a ．所以，{n a }是首项为1，公比为λ的等比数列，1-=n n a λ．…………………………….5分由)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n b b b b b b b b ，得)2(121≥+⋅⋅⋅++=--n b b n n λλ所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ……………………………………………….6分上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………..1分【解二】猜测1-=n n a λ，并用数学归纳法证明 …………………………………………….5分 n b 的求法如【解一】 ………………………………………………………………………..7分【解三】猜测⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ，并用数学归纳法证明 ………………………….7分 1-n 1λ=-=+n n n b b a …………………………………………………………………..5分（2）当1=λ时，3b 不是6b 与9b 的等差中项，不合题意；……………………………….1分当1≠λ时，由32b 96b b +=得02258=-+λλλ，由0≠λ得0236=-+λλ（可解得32-=λ）..…………………………………………2分对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项． .………………………………….2分证明：0)2(1263163=---=-+-++λλλλn n n n b b b ，263+++=∴n n n b b b ， .………………………………….3分即，对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项．闸北区2010学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．)0(2≥-x x ； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{；二、11．C ．12．D ．13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则．………………………………………………………………………… ….2分所以，1010cos ==A ， …………………………………………………….2分所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….3分【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….3分（2）【解一】若A ∠为钝角，则0<⋅AB AO ，…………………………………………….3分即09164<++-b ，…………………………………………………….……………2分解得425>b ，故，),425(+∞∈b ． ..…………………………………………………2分【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得2,2=-==EB AB AE DE ，….2分所以，.321622223122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分（2）连接''CC DD ，，有6'==AD AD ，θcos 882'2'-==CC DD ，………….3分由题意，得22'2'AD AD DD +=， ……………….…………………….………………….2分即12cos 88=-θ ……………….………………….……………….………………….2分21cos -=θ，）（或 12032πθ=． ……………….………………….……………….………………….2分 16．解：（1）由题意，有2123≥+-=x m ， …………………………………………….3分解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分（2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元），所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(84 11628+--=x x ． ……………………………………………….4分因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ，所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数； .………………………………………………………………………1分最大值为2、最小值为0； .…………….……………………………………………………1分单调递增区间：]0,1[-，单调递减区间：];1,0[ ...………………………………………1分零点：0=x ． .…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.2)(2x x x f -=设]1,0[21∈x x ，，21x x <，221<+x x ，0)2)(()2()2()()(212122212121>-+-=---=-x x x x x x x x x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是递减函数． ………………………………………………….4分以下证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数．【证明一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x 0)()()()(2121<---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． ………………………………………………...4分【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得.2)()(2x x x f x f +=-=以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数 ………………………………………..4分（2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以).1(4)21(2)2(2)2()2()()(22-+-+=---=-=-=k k k x x k x k x k f x f x f 4分 18．解：（1）由)0,2()1(11≠≥-+=-+q n qa a q a n n n 得， )(11-+-=-n n n n a a q a a ，即)2(1≥=-n qb b n n ．又1121=-=a a b ，0≠q ，0≠n b ．所以，{n b }是首项为1，公比为q 的等比数列．…………………………………………..5分（2）由（1）有，1-=n n q b)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n a a a a a a a a)2(12≥+⋅⋅⋅++=-n q q n所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111q n q qq a n n ……………………………………………..6分上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………1分（3）1=q 符合题意；…………………………………………………………………………2分若1≠q ，11111-->--+n n q q q 0)111)(1(1>-+--qq n ………………………………………………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧>-+>--0111,011q q n 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--.0111,011q q n 解得：)2,1()1,0( ∈q ………………………………………………………………………..3分综上，)2,0(∈q ………………………………………………………………………………..1分。

2010年上海高考文科数学试题答案

2010年上海高考文科数学试题答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B = 则m = 2 。

解析：考查并集的概念，显然m=22.不等式204x x ->+的解集是 {}24|<<-x x 。

解析：考查分式不等式的解法204x x ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<23.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 0.5 。

解析：考查行列式运算法则cossin 66sincos66ππππ=213cos6πsin6πsin6πcos6πcos==-π4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= i 26- 。

解析：考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(-=-++-5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。

若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 20 个个体。

解析：考查分层抽样应从C 中抽取20102100=⨯6.已知四棱椎P A B C D -的底面是边长为 6 的正方形，侧棱P A ⊥底面A B C D ，且8P A =，则该四棱椎的体积是 96 。

轨迹方程为 y 2=8x 。

解析：考查抛物线定义及标准方程定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y 2=8x9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 (0,-2) 。

解析：考查反函数相关概念、性质法一：函数3()log (3)f x x =+的反函数为33-=x y ，另x=0，有y=-2法二：函数3()log (3)f x x =+图像与x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点为（0，-2）10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为351（结果用最简分数表示）。

【VIP专享】闸北区2010学年度第二学期高三数学word版

闸北区2010学年度第二学期高三数学（文科）期中练习卷考生注意：1．本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚．3．本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知和都是纯虚数,那么．z iz -+12=z 2．函数的单调递增区间为．)cos(sin x x y --=π)R (∈x 3．某高中共有在读学生430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的2倍．为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高二学生32人，则该样本中的高三学生人数为．4．在平面直角坐标系中，到点和到直线距离相等的动点的轨迹方程为 xOy )0,2(-A 2=x ．5．下列三个命题：①若，则； ②若，，则||||-=+0=⋅≠⋅=⋅；③若，则．其中真命题有．（写出所有真命题的=||||||=⋅//序号）6．有一公园的形状为，测得千米，千米，，则该公园ABC ∆3=AC 1=AB 60=∠B 的占地面积为平方千米．7．设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为的球面上，则该正方体的体积为 π12．8．设是R 上的奇函数，是R 上的偶函数，若，则函数)(x f )(x g x x g x f 2)()(=+的值域为．)()(x g x f -9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为______．（用分数作答）10．若函数无零点，则的取值范围为．x x f a x log 2)(|3|-=-a 11．设，，则的取值范围为．2log log ==y x b a 2=+b a y x +二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．设R ，则 “” 是“” 的【】∈b a ,b a >33b a >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分也不必要条件13．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为【】A ．4B ．3C ．2D ．114．一林场现有树木两万棵，计划每年先砍伐树木总量的，然后再种植2500棵%10树．经过若干年如此的砍伐与种植后，该林场的树木总量大体稳定在【】A ．18000颗B ．22000颗C ．25000颗D ．28000颗15．已知，，O 为坐标原点，动点满足，其中)1,2(-A )1,1(-B P n m +=，且，则动点的轨迹是【】R ∈n m 、2222=-n m P A ．焦距为的椭圆 B ．焦距为的椭圆332C ．焦距为的双曲线D ．焦距为的双曲线332三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．设函数，.)12(log )(2+=x x f R ∈x （1）求的反函数；)(x f )(1x f -（2）解不等式.)(2x f )5log (21+≤-x f 17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为2元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的销售价为元（）时，一年的a 62≤≤a x 97≤≤x 销售量为万件．)12(x -（1）求该分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；L x （2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大，并求的最大L L 值．)(a Q18．（满分15分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题8分．如右图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、ABCD 'O O 下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知，圆E 60E DO '=∠柱侧面积等于．π16（1）求圆柱的体积；V （2）求异面直线与所成角的大小．BE DO θ19．（满分16分）本题有2小题，第1小题8分，第2小题8分．在数列中，，，其中．}{n a 51=a 2431+-=+n a a n n *N ∈n （1）设，证明数列是等比数列；n a b n n 2-=}{n b （2）记数列的前项和为，试比较与的大小．}{n a n n S n S 20112+n 20．（满分18分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分．在中，、为定点，为动点，记、、的对边分别为、、ABC ∆A B C A ∠B ∠C ∠a b ，已知，． c 2=c 12cos 2=C ab （1）证明：动点一定在某个椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；C （2）设点为坐标原点，过点作直线与（1）中的椭圆交于两点，若O B l M N ，，求直线的方程．ON OM ⊥l高三数学（文科）期中练习卷评分标准与参考答案一、1. ； 2．； 3．18； 4．；i 2Z k k k ∈+-],42,432[ππππx y 82-= 5．①③； 6．； 7．8； 8．；23)0,(-∞ 9．； 10．； 11．．1811),3(+∞),2(+∞二、12. C ； 13．B ； 14．C ；15．D ．三、16．解：（1），． ………………………………5分)12(log )(21-=-x x f ),0(+∞∈x （2）由，得)(2x f )5log (21+≤-x f ，且，05log 2>+x )12(log 22+x )12(log 5log 22-≤+x ， ………………………………………………………………5分0223)2(22≤+⨯-∴x ，221≤≤∴x 10≤≤⇒x 综上，得． ………………………………………………………………2分10≤≤x 17．解：（1）该分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式为：L x ，．………………………………………………………6分)12)(2(x a x L ---=]9,7[∈x （2）当时，此时，，42<≤a 92148<+≤a 所以，当时，的最大值， ………………………………3分214+=a x L 4)10()(2a a Q -=当时，此时，，64≤≤a 102149≤+≤a 所以，当时，的最大值．…………………………………………3分9=x L )7(3)(a a Q -=答：若，则当每件产品售价为元时，该分公司一年的利润最大，最大42<≤a 214+a L 值；若，则当每件产品售价为9元时，该分公司一年的利润4)10()(2a a Q -=64≤≤a 最大，最大值．………………………………………………………2分L )7(3)(a a Q -=18．解：（1）设圆柱的底面半径为，由题意，得r ππ1622=⨯r r 解得：．…………………………………………………5分2=r ……………………………2分.1622ππ=⨯=∴r r V （2）连接，由于，B O 'DO B O //'所以，即为与所成角， …………………1分'EBO ∠BE DO θ过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，，E F FB FO 由圆柱的性质，得为直角三角形，四边形为矩形，EFB ∆OF EO '，由，由等角定理，得52BO '==DO 60E DO '=∠ 60AOF =∠所以， 120BOF =∠可解得， …………………………………………………………………………2分32F =B 在中，………………………………………………2分EFB ∆Rt 72FB EF BE 22=+=由余弦定理， ………3分.7035112cos '2'2'2=⨯⨯-+=EO BO EO BO BE θ.703511arccos =∴θ19．解：（1）由得， …………………3分2431+-=+n a a n n )2(3)1(21n a n a n n -=+-+又，，得， ………………………………3分0121≠=-a 02≠-n a n 32)1(21=-+-+n a n a n n 所以，数列是首项为3，公比为3的等比数列， ………………………………2分}2{n a n -（2），n n n n n a n a 3232+=⇒=-，…………………………………………………………………2分)1()13(23++-=n n S n n …………1分)34025323(232011)1()13(23201122-+=--++-=--n n n n n S n n n 设函数，x x f x 323)(+=由于和都是R 上的增函数，所以是R 上的增函数．…1分x y 3=x y 32=x x f x 323)(+=又由于，， 34025733)6(<=f 3402536575)7(>=f 所以，当时，，此时，；………2分}6,5,4,3,2,1{∈n 34025)6()(<≤f n f <n S 20112+n 所以，当且时，，此时，．………2分*N ∈n 7≥n 34025)7()(>≥f n f >n S 20112+n 20．解：（1）在中，由余弦定理，有， ……………1分PAB △C ab b a cos 22222-+=，…………………………3分2222cos 12)cos 1(24||2>=+=++=+C ab C ab b a 所以，点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆．…… ………………1分P C A B ，222=a 如图，以、所在的直线为x 轴，以、的中点为坐标原点建立直角坐标系．A B A B 则，和．(10)A -，(10)B ，椭圆的标准方程为：．………………………………………………………4分C 1222=+y x （2）设，11()M x y ，22()N x y ，①当垂直于轴时，的方程为，不符题意．………………………………1分MN x MN 1x =②当不垂直于轴时，设的方程为．MN x MN (1)y k x =-由得：，………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(,1222x k y y x 0)1(24]21[2222=-+-+k x k x k 所以，．2221214k k x x +=+222121)1(2k k x x +-=⋅于是：． ……………2分22212122122121]1)([)1)(1(k k x x x x k x x k y y +-=++-=--=⋅因为，所以，ON OM ⊥0=⋅所以， ………………………………………………………2分021*******=+-=⋅+⋅kk y y x x 所以，， ……………………………………………………………………1分2±=k 所以，直线的方程为：……………………………………………………1分l ).1(2-±=x y。

数学_2010年上海市闸北区高考数学一模试卷(文科)_(含答案)

2010年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若f(x)=3x ，则f −1(x)=________． 2. 若 |−x 1220x −102|=0，则x =________．3. 若指数函数f(x)的图象经过点(2,14)，则f(−1)的值为________． 4. (x 2+1x )6的展开式中常数项是________．（用数字作答）5. 若|a →|=|b →|=1，且|a →+b →|=√3|a →−b →|，则a →与b →夹角为________．6. 某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30∘方向，它向正北方向航行24海里到达B 处，看灯塔S 在北偏东75∘方向．则此时货轮到灯塔S 的距离为________海里．7. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则该球的表面积是________． 8. 不等式|x −1|+|x +1|≥4a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．9. 若b 1=1，对于任何n ∈N ∗，都有b n >0，且nb n+12−2b n 2−(2n −1)b n+1b n =0．则log 2b 2010=________．10. 方程组{xy =1y =x(x −2)共有________组解．11. 已知等比数列{a n }中，a 2=1，则其前三项和S 3的取值范围是________．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12. lim n →∞1+3+5+⋯+(2n−1)n(2n+1)等于（） A 14 B 12 C 1 D 213. 若tanα=4，cotβ=13，则tan(α+β)=( )A −711B π3C −713D 3214. 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A a ⊥α，b // β，α⊥βB a ⊥α，b ⊥β，α // βC a ⊂α，b ⊥β，α // βD a ⊂α，b // β，α⊥β15. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k −1∉A 且k +1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定A ={1, 2, 3, 4, 5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有( )A 10个B 11个C 12个D 13个三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16. 已知复数z1满足(1+i)z1=3+i，复数z0满足z0⋅z1+z0¯=4．（1）求复数z0；（2）设z0是关于x的实系数方程x2−px+q=0的一个根，求p、q的值．17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB=1，PA⋅AC=1，∠ABC=θ(0∘<θ≤90∘)．（1）若θ=90∘，E为PC的中点，求异面直线PA与BE所成角的大小；（2）试求四棱锥P−ABCD的体积V的最小值．18. 设f(x)=2cos2x+√3sin2x，g(x)=12f(x+5π12)+x+a，其中a为非零实常数．（1）若f(x)=1−√3，x∈[−π3，π3]，求x；（2）试讨论函数g(x)在R上的奇偶性与单调性，并证明你的结论．19. 一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权．根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产x（百套）的销售额R(x)（万元）满足：R(x)={−0.4x2+4.2x−0.8，0<x≤514.7−9x−3，x>5（1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？此时，利润是多少万元？20. 记数列{a n}的前n项和为S n，所有奇数项之和为S′，所有偶数项之和为S″．（1）若{a n}是等差数列，项数n为偶数，首项a1=1，公差d=32，且S″−S′=15，求S n；（2）若无穷数列{a n}满足条件：①S n+1=1−35S n(n∈N∗)，②S′=S″．求{a n}的通项；（3）若{a n}是等差数列，首项a1>0，公差d∈N∗，且S′=36，S″=27，请写出所有满足条件的数列．2010年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）答案1. log3x2. −43. 24. 155. 60∘6. 12√27. 8π8. (−∞,12]9. 2009 10. 311. (−∞, −1]∪[3, +∞) 12. B 13. A 14. C 15. D16. 解：（1）因为(1+i)z 1=3+i ，所以z 1=3+i1+i =2−i ，设z 0=a +bi(a, b ∈R)，且z 0⋅z 1+z 0¯=4．所以(a +bi)(2−i)+a −bi =4⇒(3a +b)+(b −a)i =4 由两复数相等的定义得：{3a +b =4b −a =0，解得{a =1b =1所以复数z 0=1+i ．（2）z 0是关于x 的实系数方程x 2−px +q =0的一个根，得1−i 是实系数方程x 2−px +q =0的根，所以p =(1+i)+(1−i)=2 q =(1+i)⋅(1−i)=217. 解：（1）设O 为AC 的中点，连接OE ，则OE // PA ，∠OEB 即为异面直线PA 与BE 所成角∵ PA ⊥平面ABCD ∴ OE ⊥平面ABCD∴ △BOE 为直角三角形 ∵ θ=90∘，AB =1， ∴ AC =√2．又∵ PA ⋅AC =1， ∴ PA =√22 ∴ OE =√24，BO =√22所以，异面直线PA 与BE 所成角∠OEB =arctan2（2）由已知，四边形ABCD 的面积S =sinθ，由余弦定理可求得AC=√2−2cosθ，∴ PA=√2−2cosθ，∴ V=13⋅√2−2cosθ∴ V=√26⋅√sin2θ1−cosθ=√26⋅√1+cosθ所以，当cosθ=0，即θ=90∘时，四棱锥V−ABCD的体积V的最小值是√26．18. 解：（1）由已知f(x)=2cos2x+√3sin2x=1+2sin(2x+π6)，由1+2sin(2x+π6)=1−√3得：sin(2x+π6)=−√32，∵ −π3≤x≤π3，−π2≤2x+π6≤5π6∴ 2x+π6=−π3，x=−π4．（2）由已知，得g(x)=x−sin2x+a+12，①∵ 当a=−12时，对于任意的x∈R，总有g(−x)=−x−sin(−2x)=−(x−sin2x)=−g(x)，∴ g(x)是奇函数．（没有过程扣1分）②当a≠−12时，∵ g(π2)≠±g(−π2)或g(π)≠±g(−π)等所以，g(x)既不是奇函数，又不是偶函数．（没有过程扣1分）∵ g(0)>g(π6)，故g(x)不是单调递增函数，又∵ g(π6)<g(π2)，故g(x)不是单调递减函数．∴ g(x)既不是单调递减函数，也不是单调递增函数．（没举反例扣1分）注：用求导的方法做对给满分令g′(x)=1−2cos2x=0⇒x=kπ±π6，易得：g(x)在区间(kπ−π6，kπ+π6)(k∈Z)上递增，在区间(kπ−π6，kπ+5π6)(k∈Z)上递减．19. 解：（1）R(7.5)−1×7.5−2=3.2，所以，生产750套此种品牌运动装可获得利润3.2万元（2）由题意，每生产x（百件）该品牌运动装的成本函数G(x)=x+2，所以，利润函数f(x)=R(x)−G(x)={−0.4x2+3.2x−2.8，(0<x≤5)12.7−x−9x−3，(x>5)当0<x≤5时，f(x)=−0.4(x−4)2+3.6，故当x=4时，f(x)的最大值为3.6．当x>5时，f(x)=9.7−[(x−3)+9x−3]≤3.7，故当x=6时，f(x)的最大值为3.7．所以，生产600件该品牌运动装利润最大是3.7万元20. 解：由题意知（1）若数列{a n}项数n为偶数，由已知，得S″−S′=15=32⋅n 2解得n=20，S n=1×20+20×192×32=305；（2）∵ S n+1=1−35S n(n∈N∗)①∴ S n=1−35S n−1(n∈N∗, n≥2)②即①减去②得：a n+1a n =−35．所以数列{a n}是从第二项开始的无穷等比数列，公比q=−35，且0<|q|<1∴ S′=a1+a2q1−q2，S″=a21−q2，又∵ S′=S″，∴ a1=a21+q =52a2，又∵ S n+1=1−35S n(n∈N∗)，当n=1时，S2=1−35S1∴ 8a1+5a2=5∴ a1=12所以，对应的数列的通项为a n={12(n=1)1 5(−35)n−2(n≥2)（3）假设数列{a n}项数n为偶数，S″−S′=n2⋅d>0与S″−S′=−9矛盾．故数列{a n}项数n不为偶数．解法1：设数列{a n}项数n=2k+1(k∈N)，则S′=a1+a3+⋯+a2k+1=a1+a2k+12⋅(k+1)S″=a2+a4+a6+⋯+a2k=a2+a2k2⋅k∵ a1+a2k+1=a2+a2k，∴ S ′S ″=k+1k=3627，解得k =3，项数n =2×3+1=7， ∵ S 7=S ′+S ″=63=7a 1+7×62⋅d ，∴ a 1+3d =9， ∵ a 1=9−3d >0，∴ d <3．又d ∈N ∗，所以，d =1或d =2．当d =1时，a 1=6，此时，a n =6+(n −1)⋅1=n +5，所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．当d =2时，a 1=3，此时，a n =3+(n −1)⋅2=2n +1 所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．解法2:{(k +1)a 1+(k+1)(k+1−1)2⋅2d =36k(a 1+d)+k(k−1)2⋅2d =27{(k +1)a 1+(k +1)kd =36ka 1+k 2⋅d =27，解得k =3，项数n =2×3+1=7， ∵ S 7=S ′+S ″=63=7a 1+7×62⋅d ，∴ a 1+3d =9，∵ a 1=9−3d >0，∴ d <3．又d ∈N ∗，所以，d =1或d =2．当d =1时，a 1=6，此时，a n =6+(n −1)⋅1=n +5，所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．当d =2时，a 1=3，此时，a n =3+(n −1)⋅2=2n +1 所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．。