1.1第1课时 菱形的性质 课件
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1.菱形的性质与判定第1课时菱形的性质PPT课件(北师大版)
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2．如图，菱形ABCD的边长为4 cm，对角线AC，BD 交于O，∠BAD＝60°.求对角线AC，BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4 cm ∴BO＝2 cm，∴AO＝2 3 cm，∴AC＝4 3 cm
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
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知识点3：对角线平分对角
【例3】如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，
连接OB，OD，求证：OB＝OD.
【例3】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO AD＝AB
在△ADO和△ABO中， ∠DAO＝∠BAO ， AO＝AO
∴△ADO≌△ABO(SAS)，∴OB＝OD.
第1课时 菱形的性质
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（一）基础呈现 菱形的定义：有一组邻边 相等 的 平行四边形 叫做 菱形． 菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的所有性质； （2）菱形不同于一般平行四边形的性质： ①四条边都 相等 ； ②两条对角线 垂直平分 ，并且每条对角线平分对角． ③菱形是轴对称图形，有 2 条对称轴．
（2）平行四边形的对角
相等
.
（3）平行四边形的对角线 互相平分 .
第1课时 菱形的性质
知识回顾
几何语言 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴（边）__如__A__B_＝__C_D_________________________； （角）____∠__A__＝__∠__C_________________________； （对角线）__O_A__＝__O_C_，__O__B_＝__O_D__等______________.
第1课时 菱形的性质
1.1+菱形的性质与判定+第1课时菱形的性质+课件+2024-2025学年北师大版数学九年级上册
相垂直 ； 菱形也是中心对称图形，对称中心是对角
线的交点.
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（3）菱形特有的性质：
定理：菱形的四条边 相等 .
定理：菱形的对角线 互相垂直 ，并且每一条对角线
平分一组对角.
注意：菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三
角形，两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
典例导思
题型一 利用菱形的性质进行计算学用P1
∴ BF ＝ CF ＝ BC .
∴ CF ＝ CE .
（第4题）
在△ CEM 和△ CFM 中，
∵ CE ＝ CF ，∠ MCE ＝∠ MCF ， CM ＝ CM ，
∴△ CEM ≌△ CFM （SAS）.
∴ ME ＝ MF.
典例导思
如答案图，延长 AB ， DF ，相交于点 G .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ G ＝∠2.
∴ EH ＝ .
∴ EF ＝
＋ ＝
+
＝
.
（答案图）
典例导思
题型二 利用菱形的性质进行推理
如图，在菱形 ABCD 中， E ， F 分别是 CB ， CD 上
的点，且 BE ＝ DF .
（1）求证： AE ＝ AF ；
证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D .
C. 2.5
D. 5
（第1题）
典例导思
2. 如图，在菱形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， AB
的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F ，连接 DF ，若∠ BAD ＝
线的交点.
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（3）菱形特有的性质：
定理：菱形的四条边 相等 .
定理：菱形的对角线 互相垂直 ，并且每一条对角线
平分一组对角.
注意：菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三
角形，两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
典例导思
题型一 利用菱形的性质进行计算学用P1
∴ BF ＝ CF ＝ BC .
∴ CF ＝ CE .
（第4题）
在△ CEM 和△ CFM 中，
∵ CE ＝ CF ，∠ MCE ＝∠ MCF ， CM ＝ CM ，
∴△ CEM ≌△ CFM （SAS）.
∴ ME ＝ MF.
典例导思
如答案图，延长 AB ， DF ，相交于点 G .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ G ＝∠2.
∴ EH ＝ .
∴ EF ＝
＋ ＝
+
＝
.
（答案图）
典例导思
题型二 利用菱形的性质进行推理
如图，在菱形 ABCD 中， E ， F 分别是 CB ， CD 上
的点，且 BE ＝ DF .
（1）求证： AE ＝ AF ；
证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D .
C. 2.5
D. 5
（第1题）
典例导思
2. 如图，在菱形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， AB
的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F ，连接 DF ，若∠ BAD ＝
北师大九年级数学上册--第一单元 1.1 菱形的性质与判定 1 课件
∴AB=AD，OB=OD
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
（等腰三角形的三线合一）
同理得：AC平分∠BCD， BD平分∠ ABC和∠ADC
D
边
菱形的两组对边平行且相等
菱形的四条边相等
A
菱形的两组对角分别相等
56
1 2
O
3 4
C
78
B
角 菱形的邻角互补
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
对角线
= 菱菱每形形一的的条两两对条条 角对对线角角平线线分互互一相相组平垂对∴分直角∠∴∴，。∴DA∴O∴AABAA∠∠BDA=∠∠=B+BDACO∠13C∥∥AD==C⊥=AB∠∠CB;CO=CB=C24BD∠CB∠D=D==DADO1CBA8DBC0° = 菱形是中心对称图形，对称 ∠5=∠6
的长为 ，则另一条对角线的长为 ．
12．如图所示，两个全等菱形的边长为 1 米，
一个微型机器人由 A 点开始按 A﹣＞B﹣＞C
﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A 的
顺序沿菱形的边循环运动，行走 2015 米
停下，则这个微型机器人停在
点．
(1)图中有哪些线段是相等的？ 哪些角是相等的？
(2)图中有哪些等腰三角形？直 角三角形？
(3)两条对角线AC、BD有什么 特定的位置关系？
因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有 平行四边形的所有性质外，还有平行四边形的所没 有的特殊性质。
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直
平分，每一条对角线平分一组 对角。
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD=BC，AB=CD （菱形的对边相等）
又∵AB=BC ∴AB=BC=CD=AD
菱形性质与判定课件ppt
面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里，底是菱形的一条边，高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等， 因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素，如菱形窗格、菱形图案的墙面等，增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分，创造出独特视觉效果，同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力，在桥梁、道路、隧道等工程建设中，菱形结构 常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直，因此 可以通过测量任意一组邻边的夹角是 否为90度来判断一个四边形是否为菱 形。
邻边长度相等
除了互相垂直外，菱形的任意一组邻 边的长度还相等。这也是菱形的一个 基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等，与矩形 相同；但菱形的邻边也相 等，这是矩形不具备的性 质。
角度关系
两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补，即∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直： AC⊥BD。
对角线长度关系：对 角线长度不一定相等 ，但满足 AC²+BD²=4AB²。
1.1.1 菱形的性质与判定 课件
∴△ABD是等边三角形
B
∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
=
− =
∴AC=2OA=6
− =
A
O
D
C
新知讲解
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
1.1.1 菱形的性质与判定
北师版九年级上册
教学目标
1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的“特殊与一般”的关系。
2、理解并掌握菱形的性质定理; 在证明性质和运用性质解决问题的过程中进
一步发展学生的逻辑推理能力。
新知导入
平行四边形有哪些特征?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的特征?
对边平行且相等
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
新知讲解
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
几何语言:
A
B
D
C
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
注意：定义中的“平行四边形”
不能写成“四边形”.
新知讲解
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你
平行四
边形
对角相等邻角互补
对角线互相平分
四个角是直角
矩形
对角线相等
新知导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你
能发现它们有什么样的共同特征？
通过观察发现这些平行四边形的邻边都相等，这就是本节课
B
∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
=
− =
∴AC=2OA=6
− =
A
O
D
C
新知讲解
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
1.1.1 菱形的性质与判定
北师版九年级上册
教学目标
1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的“特殊与一般”的关系。
2、理解并掌握菱形的性质定理; 在证明性质和运用性质解决问题的过程中进
一步发展学生的逻辑推理能力。
新知导入
平行四边形有哪些特征?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的特征?
对边平行且相等
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
新知讲解
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
几何语言:
A
B
D
C
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
注意：定义中的“平行四边形”
不能写成“四边形”.
新知讲解
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你
平行四
边形
对角相等邻角互补
对角线互相平分
四个角是直角
矩形
对角线相等
新知导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你
能发现它们有什么样的共同特征？
通过观察发现这些平行四边形的邻边都相等，这就是本节课
1.1菱形的性质课件数学华师大版八年级下册
22
A E A 2 D D 2 1 E 2 5 3 2 1 c 2 .m
∴AC=2AE=2×12=24(cm). 菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积 21BD AE
2
2 1 1 0 1 2 12 c0 2 m . 2
A
BE
D
C
当堂训练
1.一个菱形的周长为8cm,一条对角线长为2 cm.则这个菱
AB=AD=BD 即 △ABD是等边三角形
∴∠ABD=60° ∴ ∠ABC=2∠ABD=120°（菱形对角线平分对角）
②∵菱形ABCD ∴AB=BC=CD=DA ∴菱形ABCD的周长 = 2×4 = 8 cm
例3 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点 O,AB＝5，OA＝4，求这一菱形的周长与两条对角 线的长度。
A
B
O
EC
D
S菱形ABCD SABD SBCD
【菱形的面积公式】 S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长 10cm.
求:.对角线AC的长度; .菱形的面积
解: ∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=900, D E 1B D 1 1 05 cm .
形的四个内角的度数为 60°、120°。、60°、120°
2.菱形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ C）
A、对角线互相平分 B、对边相等且平行 C、对角线平分一组对角 D、对角相等
课堂小结
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质:
1.对边平行，且四边都相等;
2.对角相等; 3.对角线互相平分且互相垂直 ．
A E A 2 D D 2 1 E 2 5 3 2 1 c 2 .m
∴AC=2AE=2×12=24(cm). 菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积 21BD AE
2
2 1 1 0 1 2 12 c0 2 m . 2
A
BE
D
C
当堂训练
1.一个菱形的周长为8cm,一条对角线长为2 cm.则这个菱
AB=AD=BD 即 △ABD是等边三角形
∴∠ABD=60° ∴ ∠ABC=2∠ABD=120°（菱形对角线平分对角）
②∵菱形ABCD ∴AB=BC=CD=DA ∴菱形ABCD的周长 = 2×4 = 8 cm
例3 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点 O,AB＝5，OA＝4，求这一菱形的周长与两条对角 线的长度。
A
B
O
EC
D
S菱形ABCD SABD SBCD
【菱形的面积公式】 S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长 10cm.
求:.对角线AC的长度; .菱形的面积
解: ∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=900, D E 1B D 1 1 05 cm .
形的四个内角的度数为 60°、120°。、60°、120°
2.菱形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ C）
A、对角线互相平分 B、对边相等且平行 C、对角线平分一组对角 D、对角相等
课堂小结
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质:
1.对边平行，且四边都相等;
2.对角相等; 3.对角线互相平分且互相垂直 ．
1.1第1课时 菱形的性质
数 学
新课标（BS） 九年级上册
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
新 知 梳 理
► 知识点一 菱形的定义
有一组____________ 邻边相等 的平行四边形叫做菱形．
[ 注意 ] 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切 性质．
第1课时 菱形的性质
► 知识点二
Rt△AEB中，∠B＝60°，AB＝4，即可求出AE的长．
第1课时 菱形的性质
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D. ∵点 E，F 分别是边 BC，AD 的中点，∴BE＝DF. 在△ABE 和△CDF 中， ∵AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC 是等边三角形． ∵点 E 是边 BC 的中点，∴AE⊥BC. 在 Rt△AEB 中，∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°. 1 又∵AB＝4，∴BE＝ AB＝2. 2 ∴AE＝ AB2－BE2＝ 42－22＝2 3.
菱形的轴对称性
轴对称 图形，有______ 两 条对称轴． 菱形是________
第1课时 菱形的性质
► 知识点三
菱形的性质定理
相等 ． 定理：菱形的四条边________ 互相垂直 ． 定理：菱形的对角线__________
第1课时 菱形的性质
重难互动探究
探究问题一 利用菱形的性质进行计算
例1 [教材例1变式题] [2013· 广州] 如图1－1－2所示，四边 形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝
[归纳总结] 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据 已知得出BO的长是解题关键．
新课标（BS） 九年级上册
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
新 知 梳 理
► 知识点一 菱形的定义
有一组____________ 邻边相等 的平行四边形叫做菱形．
[ 注意 ] 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切 性质．
第1课时 菱形的性质
► 知识点二
Rt△AEB中，∠B＝60°，AB＝4，即可求出AE的长．
第1课时 菱形的性质
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D. ∵点 E，F 分别是边 BC，AD 的中点，∴BE＝DF. 在△ABE 和△CDF 中， ∵AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC 是等边三角形． ∵点 E 是边 BC 的中点，∴AE⊥BC. 在 Rt△AEB 中，∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°. 1 又∵AB＝4，∴BE＝ AB＝2. 2 ∴AE＝ AB2－BE2＝ 42－22＝2 3.
菱形的轴对称性
轴对称 图形，有______ 两 条对称轴． 菱形是________
第1课时 菱形的性质
► 知识点三
菱形的性质定理
相等 ． 定理：菱形的四条边________ 互相垂直 ． 定理：菱形的对角线__________
第1课时 菱形的性质
重难互动探究
探究问题一 利用菱形的性质进行计算
例1 [教材例1变式题] [2013· 广州] 如图1－1－2所示，四边 形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝
[归纳总结] 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据 已知得出BO的长是解题关键．
菱形的性质课件
AC = 6cm，求菱形的周长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，AO =OC，BO = OD.
∵AC = 6 cm，BD = 12 cm，
∴AO = 1 AC =3 cm， BO = 1 BD = 6 cm.
2
2
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
AB = AO2 BO2 32 62 3 5. ∴菱形的周长 = 4AB = 4×3 5 = 12 5 (cm)．
1.1.1 菱形的性质
求证: (2) AC⊥BD； 证明: (2) ∵AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB = OD ( 菱形的对角线互相平分 ). 在等腰三角形 ABD 中， ∵OB = OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD，
B
A
O
C
D
1.1.1 菱形的性质
1.1.1 菱形的性质
在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2 + OB2 = AB2 ， ∴OA = AB2 BO2 62 32 3 3. ∴AC = 2OA = 6 3.( 菱形的对角线互相平分 ).
1.1.1 菱形的性质
2.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD = 12cm，
北师大版九年级上册数学同步课件
1.1.1 菱形的性质
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
1.1.1 菱形的性质
学习目标 1. 了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2. 探索并证明菱形的性质定理. 重点 3. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题. 难点
1.1.1 菱形的性质 新课引入
1.1.1 菱形的性质
解: ∵四边形 ABCD 是菱形，
北师大版九年级数学上册 1.1.1菱形的性质 课件(共31张PPT)
平行四边形
菱形
思考
归纳总结
定义：
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？
思考
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
（2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD.
（第4题图）
4.如图，四边形 是菱形， 是两条对角线的交点，过点 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的面积为24时，阴影部分的面积为____．
12
知识点三 菱形的性质
（第5题图）
5.如图， 为菱形 的对角线，已知 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
D
A.12 B.16 C.10 D.5
（第9题图）
9.如图，在 中， , ，以点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 ，再分别以点 , 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 的长为_ _____．
10.如图，点 为菱形 的对角线 上一点，连接 ， .点 在边 上，且 .求证： .
. 四边形 是菱形， . . . .
（2） 若 ，求菱形 的周长．
解：由（1）知， ， . . 菱形 的周长 ．
周长=边长的四倍
角
对角线
1.两组对边平行且相等2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.1菱形的性质与判定 课件 北师大版数学九年级上册
感悟新知
解：四边形DECF 是菱形. 理由如下： ∵ DE∥ FC，DF∥ EC， ∴四边形DECF 为平行四边形. ∵ AC ∥ DE，∴∠ 2= ∠ 3. ∵ CD 平分∠ ACB，∴∠ 1= ∠ 2. ∴∠ 1= ∠ 3.∴ DE=EC. ∴平行四边形DECF 是菱形.
知1－练
感悟新知
知1－练
∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ ABC= ∠ ADC， ∠ BCD= ∠ DAB
感悟新知
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对角线互相 ∵四边形ABCD 是菱形，
垂直 ∴ BD ⊥ AC
对
角 线
每条对角线 平分一组对
角(拓展)
∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ BAC= ∠ DAC= ∠ BCA=∠ DCA，∠ ABD= ∠ CBD= ∠ ADB=∠ CDB
对角线互相垂 直的平行四边
形是菱形
知3－讲
判定
符号语言
图形
在ABCD 中， 或AB=AD 或
∵ AB=BC，
BC=CD或AD=CD，
∴ ABCD 是菱形 即一组邻边相等
∵ AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD 是菱形
在ABCD 中， ∵ AC ⊥ BD， ∴ ABCD 是菱形
感悟新知
知3－讲
学习目标
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
两个条件缺一不可.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
则ABCD 是菱形.
感悟新知
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